Aantekeningen bij het college Functies en Reeksen

Transcriptie

1 Antekeningen bij het college Functies en Reeksen Erik vn den Bn Njr Antekeningen bij Hoofdstuk Krkteriseringen vn totle differentieerbrheid, bewijs vn Lemm. Het bewijs vn Lemm. in het dictt wordt componentsgewijs gegeven. Op college is het bewijs zonder ontbinding in componenten gegeven. We geven deze versie hier nogmls. We veronderstellen dt f W R n X! R p en dt inw.x/: Verder veronderstellen we f totl differentieerbr is in ; dwz. er is bestt een lineire fbeelding A W R n! R p zo dt kf.x/ f./ A.x /k lim D : x! kx k Schrijf r.x/ D f.x/ f./ A.x /; voor x X: Dn geldt wegens het bovenstnde dus dt lim x! kr.x/k kx k D : We definiëren de fbeelding L W X! Lin.R n ; R p / door L./ D A; en voor x X n fg door L.x/ D A C kx k r.x/.x / T : Deze formule moet ls volgt gelezen worden:.x / T stt voor de rij mtrix met componenten.x j j /; voor j n: Op deze mnier kn.x / T opgevt worden ls lineire fbeelding R n! R: We merken op dt.x / T.v/ D h x ; v i.v R n /: Verder moet r.x/.x / T gelezen worden ls de lineire fbeelding R n! R p ; v 7!.x / T.v/r.x/: Voor lle x X n geldt nu L.x/.x / D A.x / C kx k r.x/.x / T.x / D D D A.x / C kx k h x ; x ir.x/ A.x / C r.x/ f.x/ f./: Uiterrd geldt ook voor x D dt L.x/.x / D f.x/ f./: Verder merken we op dt voor x X n fg geldt dt kl.x/ L./k D kx k kr.x/.x / T k D kx k kr.x/kk.x / T k kr.x/k kx k : De ltste uitdrukking heeft limiet nul voor x! ; en we concluderen dt lim x! L.x/ D L./:

2 Het verbnd met de gewone fgeleide Lemm. We beschouwen een functie f W I! R n ; met I een open intervl. ij I: Dn zijn de volgende twee uitsprken equivlent. () De functie f is differentieerbr in in de oude zin (vn Anlyse A). (b) De functie f is totl differentieerbr in : Is f differentieerbr in ; dn wordt het verbnd tussen de twee fgeleiden gegeven door f./ D Df././: Bewijs: Veronderstel eerst dt () geldt, dus dt f differentieerbr is in met fgeleide f./ R n : Dn geldt dt f.t/ f./ lim D f./: t! t Definieer de lineire fbeelding A W R! R n door A.v/ D vf./; voor v R: Dn geldt dt dus ook f.t/ f./.t /f./ lim D ; t! t jf.t/ f./ A.t /j lim D : t! jt /j Hieruit blijkt dt f totl differentieerbr is in met totle fgeleide Df./ D A W h 7! hf./: In het bijzonder geldt dus f./ D Df././: Hiermee is (b) ngetoond. Veronderstel omgekeerd dt (b) geldt, dus dt f totl differentieerbr is in met totle fgeleide Df./: Schrijf D Df././: Dn is R n en Df./.h/ D hdf././ D h voor lle h R: Er volgt dt lim t! ˇ f.t/ f./ t ˇ D lim ˇ D t! f.t/ f./.t / t jf.t/ f./ Df./.t /j lim D : t! jt j Hieruit concluderen we dt f differentieerbr is in in de zin vn Anlyse A, met ls fgeleide f./ D D Df././: Specil gevl vn de kettingregel Veronderstel dt I R en Y R n open deelverzmelingen zijn, f W I! Y; g W Y! R p fbeeldingen, en I een punt zo dt f differentieerbr is in en g totl differentieerbr is f./: Dn is gıf W I! R p differentieerbr in ; en er geldt dt.gıf /./ D Dg.f./.f.//: Bewijs: er geldt dt f totl differentieerbr is ; en dt f./ D Df././: Uit de kettingregel voor totle differentieerbrheid volgt dt gıf totl differentieerbr is in en dt D.gıf /./ D Dg.f.//ıDf./: Hieruit volgt dt gıf W I! R p differentieerbr is in de oude zin, en dt.gıf /.t/ D D.gıf /././ D Dg.f./ıDf././ D Dg.f./.f.//: Dus () geldt. De ltste bewering is onderweg ook bewezen. ˇ

3 Antekeningen bij Hoofdstuk Verwisseling vn de differentitievolgorde In het college hebben we prgrf. over de verwisseling vn limieten overgeslgen. Het dr verkregen resultt, Lemm., is tmelijk lstig, en wordt voorl gebruikt in het bewijs vn Stelling.4. Als we de voorwrden in Stelling.4 iets sterker mken, dn wordt het bewijs vn Stelling.4 gemkkelijker. In de onderstnde iets zwkkere versie vn de stelling wordt de eis dt D D f bestt op V en continu is in.; / toegevoegd. Stelling.4 Lt V R een open deelverzmeling zijn, en f W V! R een prtieel differentieerbre functie. Lt.; / V; en veronderstel dt n de volgende voorwrden voldn is: () D f is prtieel differentieerbr nr de tweede vribele; (b) D f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele; (c) D D f en D D f zijn continu in.; /: Dn is D D f.; / D D D f.; /: (#) Schets vn het bewijs: We definiëren Q ls in het bewijs in het dictt, door de formule Q.h; k/ D.hk/.f. C h; C k/ f. C h; / f.; C k/ C f.; // : (*) Dn wordt (.4) (zie dictt) op de zelfde mnier bewezen ls in het dictt. Dus lim Q.h; k/ D D D f.; /:.h;k/!.;/ We merken nu op dt de eerste en de tweede vribele in de definitie vn Q precies dezelfde rol spelen. Bovendien zijn de eisen ()-(c) door toevoeging vn de extr eisen symmetrisch in de eerste en de tweede vribelen gemkt. Hieruit volgt dt (.4) ook geldt met verwisseling vn de volgorde vn de prtiële fgeleiden. Dus: lim Q.h; k/ D D D f.; /:.h;k/!.;/ Uit de uniciteit vn de limiet leiden we (#) f. Oneigenlijke integrlen Het dictt is erg summier wt betreft de behndeling vn oneigenlijke integrlen. Lten we eerst het begrip oneigenlijke integrl precies invoeren. Veronderstel eerst dt I R een intervl vn de vorm I D Œ; bœ is, met < b : Veronderstel nu dt f W I! R een functie is, en veronderstel dt f Riemnn-integreerbr is over elk intervl Œ; q I; met < q < b: Definitie. limiet De functie f heet oneigenlijk Riemnn-integreerbr over het intervl Œ; bœ indien de ˇ lim f.x/ dx ˇ"b 3

4 bestt. Is dit het gevl, dn noemen we de limiet de oneigenlijke integrl vn f over Œ; bœ en we noteren hem met ˇ f.x/ dx WD lim f.x/ dx: ˇ"b Indien de limiet niet bestt, dn zeggen we ook wel dt de oneigenlijk integrl R b f.x/ dx divergeert. Voorbeeld. We beschouwen de functie f W x 7! x s op I D Œ; Œ; met s R een constnte, ongelijk n : Deze functie is continu, dus Riemnn-integreerbr op ieder deelintervl Œ; ˇ I: Voor ˇ > geldt dt ˇ f.x/ dx D xsc ˇ ˇsC s C ˇ D s C : (.) De ltste uitdrukking heeft een limiet voor ˇ " dn en slechts dn ls s C < : In dit gevl is de functie f oneigenlijk Riemnn integreerbr over Œ; Œ; met ls oneigenlijke integrl de limiet: x s ˇsC dx D lim D ˇ! s C s C ;.s < /: De uitdrukking (.) heeft geen limiet voor s > ; ofwel, de integrl divergeert in dt gevl. Tenslotte beschouwen we ook nog het gevl dt s D : Dn heeft f.x/ D =x de functie log x ls primitieve, en dus heeft ˇ dx D log ˇ x geen limiet voor ˇ! : De bijbehorende integrl R ˇ x dx is dn ook divergent. Smenvttend concluderen we dt het onderstnde lemm geldt. Lemm.3 ij s R: Dn convergeert de oneigenlijke Riemnn-integrl x s dx (.) dn en slechts dn ls s < : In dt gevl is de wrde vn de integrl gelijk n =.s /: Soortgelijke beschouwingen ls hier boven leiden tot het begrip vn oneigenlijke Riemnn-integreerbrheid op intervllen vn de vorm I D; b met < b < : Een interessnt voorbeeld wordt gegeven door het onderstnde lemm. Lemm.4 ij s R: De oneigenlijke integrl x s dx is convergent dn en slechts dn ls s > : In dt gevl is de oneigenlijke integrl gelijk n =.s C /: 4

5 Bewijs De functie f W x 7! x s is continu op het intervl I D; ; dus Riemnn-integreerbr op ieder deelintervl Œ; I: We veronderstellen eerst dt s : Dn is.s C / x s primitieve vn f; dus x s dx D sc s C s C voor lle < < : We zien dt de limiet voor # bestt dn en slechts dn ls s > : In dt gevl geldt x s D s C : We beschouwen tenslotte het gevl dt s D : Dn heeft f de functie log ls primitieve op I; zodt x dx D log : Deze uitdrukking heeft geen limiet voor # ; zodt de bijbehorende oneigenlijke integrl divergent is. Het lemm volgt. Ook het gevl vn een tweezijdig open intervl I D; bœ; met < b dient bekeken te worden. Lt f W I! R en veronderstel dt f Riemnn-integreerbr is over elk deelintervl Œ; ˇ I met < < ˇ < b: De volgende observtie is voor de hnd liggend, mr belngrijk. Lemm.5 De volgende twee uitsprken zijn equivlent. () Er is een < c < b zo dt f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ; c: (b) Voor lle < c < b is de functie f oneigenlijk Riemnn-integreerbr over ; cœ: Bewijs ij < c < c < b: Dn geldt voor lle met < < c dt c f.x/ dx D c c f.x/ dx C f.x/ dx: c Hieruit blijkt dt de limiet voor # vn de eerste integrl bestt dn en slechts dn ls de limiet vn de tweede integrl bestt. Dus f is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over ; c dn en slechts dn ls f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ; c : Bovendien geldt in dt gevl dt Het lemm volgt. c f.x/ dx D c c f.x/ dx C f.x/ dx: c Uiterrd geldt een soortgelijk lemm met betrekking tot de bovengrens b vn het intervl. Dit mkt dt de volgende definitie zinvol is. Definitie.6 Lt I D ; b Œ een open intervl zijn, met < b : Lt f W I! R: De functie f heet oneigenlijk Riemnn-integreerbr indien voldn is n de volgende eisen. () de functie f is Riemnn-integreerbr over ieder deelintervl Œ; ˇ I I (b) er is een c I zo dt f oneigenlijk Riemnn-integreerbr is over ; c en over Œc; bœ: 5

6 Indien n de bovenstnde eisen voldn is, dn wordt de oneigenlijke integrl vn f over I gedefinieerd door c f.x/ dx D f.x/ dx C f.x/ dx: (.3) c Opmerking. Conditie () zullen we in het vervolg ook wel smenvtten ls: () : de functie f is lokl Riemnn-integreerbr op I: Om in de prktijk ook ddwerkelijk te kunnen beslissen of een functie oneigenlijk integreerbr is, is het volgende Cuchy criterium voor limieten belngrijk. Stelling.7 (Cuchy-criterium voor limieten) Lt V; W een tweetl metrische ruimten, en F W V D! W een fbeelding. ij D en veronderstel dt W compleet is (d.w.z., iedere Cuchy rij in W convergeert). Dn zijn de volgende uitsprken equivlent: () F(x) heeft een limiet voor x! I (b) voor iedere > bestt een ı > zo dt voor lle x; y V geldt: x; y B.I ı/ \ D H) d W.F.x/; F.y// < : Bewijs Stel (), en noem de limiet b: ij > : Er bestt een ı > zo dt voor lle x B.I ı/ \ D geldt dt d W.F.x/; b/ < =: Veronderstel nu dt x; y B.I ı/ \ D: Dn geldt dt d W.F.x/; F.y// d W.F.x/; b/ C d W.b; F.y// < = C = < : Hiermee is (b) bewezen. Veronderstel omgekeerd dt (b) geldt. Kies een rij.x n / n in D met limiet (zo n rij bestt, omdt limietpunt vn D is). We zullen eerst ntonen dt.f.x n // no een Cuchyrij in W is. Dit gt ls volgt. ij > : Er is een ı > met de in (b) geformuleerde eigenschp. Tevens is er een N N zo dt voor lle n > N geldt dt x n B.I ı/ \ D: Voor lle n; m > N geldt dus dt x n ; x m B.I ı/ \ D; dus wegens (b) ook n; m > N H) d W.F.x n /; F.x m // < : De rij.f.x n // is dus inderdd een Cuchy rij in W: Angezien W volledig is, heeft de rij.f.x n // n een limiet b W: We zullen lten zien dt lim F.x/ D b: (.4) x! Dit gt ls volgt. Lt > : Dn is er een ı > met de eigenschp vn (b). Tevens is er een N N zo dt x N B.I ı/ \ D: Voor lle x B.I ı/ \ D geldt nu d W.F.x/; F.x N // < =; dus d W.F.x/; b/ < d W.F.x/; F.x n // C d W.F.x n /; b/ < = C = D : Hiermee is (.4) ngetoond. 6

7 Op de gebruikelijke mnier kunnen we hieruit het volgende concrete resultt voor limieten vn functies vn een vribele fleiden. Gevolg.8 Lt I D ; bœ een open intervl zijn met met < b : Lt F W I! R een functie zijn. Dn zijn de volgende uitsprken equivlent: () lim x"b F.x/ bestt; (b) voor elke > bestt een ˇ I zo dt voor lle x; y I W x; y > ˇ H) jf.x/ F.y/j < : Uiterrd bestt een soortgelijk resultt ten nzien vn de ondergrens vn I: Stelling.9 Lt I D ; bœ een open intervl zijn, met < b : Veronderstel dt f; g W I! R locl Riemnn-integreerbr zijn, en dt jf j g op I: Indien g oneigenlijk Riemnnintegreerbr is op I; dn is f dt ook, en er geldt bovendien dt f.x/ dx ˇ ˇ g.x/ dx: Bewijs Uit de voorwrden blijkt in het bijzonder dt g op het intervl I: Lt < c < b: We lten eerst zien dt f Riemnn-integreerbr is op Œc; bœ: Schrijf F./ D c f.x/ dx en G./ D c g.x/ dx; voor Œc; bœ: De belngrijke opmerking is nu dt voor lle p; q Œc; bœ met q p geldt dt q q jf.p/ F.q/j D ˇ f.x/ dx ˇ jf.x/j dx p q p g.x/ dx D p jg.p/ G.q/j: Angezien g oneigenlijk Riemnn-integreerbr is, bestt de limiet lim "b G./: ij > : Dn bestt er wegens het Cuchy-criterium voor G een ˇ Œc; bœ zo dt voor lle p; q Œc; bœ met p; q > ˇ geldt dt jg.q/ G.p/j < : Hieruit volgt dt voor lle p; q I met p; q > ˇ geldt dt jf.q/ F.p/j jg.q/ G.p/j < : Met het Cuchy-criterium concluderen we nu dt F./ een limiet heeft voor " b: Dus f is oneigenlijk Riemnn-integreerbr over Œc; bœ: Voor lle Œc; bœ geldt f.x/ dx ˇ ˇ g.x/ dx: c c 7

8 Door de limiet voor " b te nemen en te gebruiken dt niet-strikte ongelijkheden behouden blijven onder limietnme concluderen we de ongelijkheid f.x/ dx ˇ ˇ g.x/ dx: c c Op soortgelijke mnier leiden we f dt f oneigenlijk integreerbr is over ; c en dt c c ˇ f.x/ dx ˇ g.x/ dx: Hieruit volgt: ˇ f.x/ dx ˇ D D ˇ ˇ c c c f.x/ dx C c f.x/ dx ˇ f.x/ dx ˇ f.x/ dx ˇ C ˇ c g.x/ dx C g.x/ dx c g.x/ dx: Voorbeeld. We beschouwen nu de integrl voor de Gmm functie:.x/ WD t x e t dt; (.5) met x > : Voor t ; geldt dt jt x e t j t x en R t x dt convergeert, dus ook t x e t dt convergeert. ij N N; N > x : Dn geldt voor t dt t x e t t N e t : Uit lim t! t N e t= D volgt het bestn vn een constnte C > zo dt t N e t Ce t= ;.t /: Omdt de integrl R et= dt convergent is, concluderen we nu dt t x e t dt convergent is. We concluderen hieruit tenslotte dt de integrl (.5) convergent is voor lle x > : Uit het mjorntiekenmerk voor de convergentie vn oneigenlijke integrlen volgt het eveneens gemkkelijk hnteerbre limietkenmerk. 8

9 Gevolg. (Limietkenmerk) Lt I een intervl vn de vorm Œc; bœ zijn, met < c < b : Veronderstel voorts dt f; g W I! R lokl Riemnn-integreerbre functies zijn, terwijl g > op I en jf.x/j lim D L Œ; Œ: x"b g.x/ Als g oneigenlijk integreerbr is op I; dn is f dt ook. Bewijs Er bestt een ˇ > zo dt jjf.x/j=g.x/ Lj < voor lle x Œˇ; bœ: Hieruit volgt dt jf.x/j.l C /g.x/ voor l dergelijke x: De functie.l C /g.x/ is oneigenlijk integreerbr over I; dus ook over Œˇ; bœ; en wegens het mjorntiekenmerk volgt dt f oneigenlijk integreerbr is over Œˇ; bœ: Hieruit volgt dt f oneigenlijk integreerbr is over I: Opmerking. Uiterrd geldt een soortgelijk limietkenmerk voor lokl integreerbre functies op een intervl vn de vorm I D ; c; met < c < : Ook voor oneigenlijke integrlen geldt een verwisselingsstelling met limieten. We bewijzen eerst een technisch resultt, dt ook in het dictt gegeven wordt (Opmerking.8). Druit leiden we dn een mjorntiecriterium f dt in de prktijk vk goed werkt. Lemm.3 Lt I D; bœ een open intervl zijn met < b ; V een metrische ruimte, en f W V I! R een continue functie. Veronderstel verder dt de volgene voorwrden vervuld zijn: () Voor elke x V is de functie t 7! f.x; t/ oneigenlijk integreerbr over I: (b) Voor iedere > bestn ; ˇ I zo dt voor lle x V geldt dt: ˇ f.x; t/ dt ˇ < en f.x; t/ dt ˇ ˇ < : Dn is de functie F W V! R gedefinieerd door ˇ continu. F.x/ D f.x; t/ dt Bewijs Lt V: Dn is het voldoende de continuïteit vn F in het punt n te tonen. ij > : Dn bestn er ; ˇ I zo dt < < ˇ < b en zo dt ˇ f.x; t/ dt ˇ < =5 en f.x; t/ dt ˇ ˇ < =5; voor lle x V: Uit de Stelling.5 (dictt) volgt dt de functie F W x 7! ˇ ˇ f.x; t/ dt 9

10 continu is op V; dus in het bijzonder in : Er bestt dus een ı > zo dt voor lle x B.I ı/ geldt dt jf.x/ F./j < =5: We merken nu op dt voor lle x B.I ı/ geldt dt dus F.x/ D jf.x/ F./j jf.x/ F./j C ˇ f.x; t/ dt ˇ C ˇ f.; t/ dt ˇ C ˇ < =5 C 4=5 D : f.x; t/ dt C F.x/ C f.x; t/ dt; ˇ ˇ Œf.x; t/ dt ˇ C ˇ ˇ f.; t/ dt ˇ Uit het bovenstnde leiden we het volgende prctisch goed toepsbre mjorntiecriterium f. Stelling.4 Lt I D; bœ een open intervl zijn met < b ; V een metrische ruimte, en f W V I! R een continue functie. Veronderstel verder dt er een oneigenlijk Riemnnintegreerbre functie g W I! R bestt zo dt Dn is de functie F W V! R gedefinieerd door jf.x; t/j g.t/ voor lle.x; t/ V I: continu. F.x/ D f.x; t/ dt Bewijs We zullen lten zien dt de voorwrden Lemm.3 vervuld zijn. ij x V: Dn is de functie f x W t 7! f.x; t/; I! R continu, dus lokl Riemnn-integreerbr, terwijl jf x j g op I: Dus f x is oneigenlijk integreerbr wegens Stelling.9. Hiermee is voorwrde () ngetoond. ij > en zij c I: Uit de oneigenlijke Riemnn-integreerbrheid vn g volgt het bestn vn een < < c zo dt ˇˇˇˇ g.t/ dt ˇ D ˇ c c g.t/ dt g.t/ dt ˇ < : Volgens Stelling.9 geldt nu ook, voor elke x V; dt ˇ f.x; t/ dt ˇ g.t/ dt < : Op soortgelijke wijze volgt de tweede ongelijkheid uit voorwrde (b).

11 Het idee vn de voorwrde in Stelling.4 is dt t 7! f.x; t/ gedomineerd wordt door de oneigenlijk integreerbre (niet-negtieve) functie t 7! g.t/; met uniformiteit in de prmeter x V: Dit dwingt de voorwrden vn Lemm.3 f. Er is ook een versie vn differentitie onder het integrlteken voor oneigenlijke integrlen. Ook dit gt weer in termen vn een geschikte uniforme dominntie. Stelling.5 ij X R een open intervl en I D; bœ een open intervl met < b : ij verder f W X I! R een continue functie die voldoet n de volgende eigenschppen. () voor lle x V is de functie f x W t 7! f.x; t/ oneigenlijk Riemnn-integreerbr over I I (b) de functie f is prtieel differentieerbr nr de eerste vribele, en er is een oneigenlijk Riemnn-integreerbre functie g W I! R zo dt Dn is de functie F W V! R gedefinieerd door jd f.x; t/j g.t/ voor lle.x; t/ X I: F.x/ D (continu) differentieerbr op V en er geldt dt F.x/ D f.x; t/ dt D f.x; t/ dt: (.6) Bewijs ij X: We zullen de differentieerbrheid vn F in ntonen. Hiertoe definiëren we in nvolging vn het dictt de functie q W X I! R door en q.x; t/ D f.x; t/ f.; t/ ;.x X n fg; t I /; x q.; t/ D D f.; t/;.t I /: Dn is de functie q continu op X I: We zullen lten zien dt voor lle x X en t I geldt dt jq.x; t/j g.t/: (.7) Voor x D volgt dit uit de voorwrde (b). Lt.x; t/ X n fg I: Dn geldt vnwege de middelwrdestelling toegepst op de eerste vribele vn f dt er een tussen en x gelegen D.x; t/ bestt zo dt q.x; t/ D D f.; t/: De schtting (.7) volgt nu ook uit voorwrde (b). Wegens het mjorntiekenmerk is de functie q W t 7! q.x; t/ oneigenlijk Riemnn-integreerbr over I; voor elke x X: Wegens Stelling.4 is de functie Q W X! R gedefinieerd door Q.x/ D q.x; t/ dt continu op X; dus in het bijzonder in : Uit de definities volgt direct dt F.x/ F./ D Q.x/.x / voor lle x X n fg: En uiterrd is de bewering ook geldig voor x D : Omdt Q continu is in leiden we hieruit f dt F differentieerbr is in ; en dt de fgeleide gegeven wordt door F.x/ D Q./ D D f.; t/ dt: Hieruit volgt dt F differentieerbr is op X: Uit de formule (.6) volgt door toepssing vn Stelling.4 dt de fgeleide continu is.

12 Voorbeeld.6 We pssen het bovenstnde toe op de Gmm functie.x/ D t x e t dt;.x > /: ij < < b en X D; bœ: Dn geldt voor lle t ; dt t x D e.x/ log t t : De functie f.x; t/ D t x e t is continu op ; bœ; en voor lle.x; t/ X; geldt dt jf.x; t/j g.t/ WD t e t ; terwijl g oneigenlijk integreerbr is, dus F W x 7! t x e t dt definieert een continue functie op X: Anderzijds is f ook continu op ; bœœ; Œ; terwijl op deze verzmeling een mjorntie vn de vorm jf.t; x/j t b e t bestt. De ltste functie is weer oneigenlijk integreerbr op ; Œ; dus F W x 7! t x e t dt definieert een continue functie op ; bœ: Hieruit volgt dt D F CF continu is op ; bœ: Angezien ; b willekeurig wren volgt dt continu is op ; Œ: Voorbeeld.7 We tonen n dt de Gmm-functie willekeurig vk differentieerbr is op ; Œ; terwijl.k/.x/ D.log t/ k t x e t dt;.k N; x > /: Hiertoe lten we eerst zien dt de gegeven integrl convergeert, voor gegeven k N en x > : Schrijf f k.x; t/ voor de integrnd, en veronderstel dt k en x vst zijn. ij > willekeurig. Dn is lim t#.log t/ k t D ; dus er bestt een constnt C > zo dt.log t/ k C t voor lle t ; : Dit geeft een schtting vn het type jf k.x; t/j C t x ;. < t /: Hierbij kunnen we > kiezen met < x; zodt de integrnd op ; gedomineerd wordt door de oneigenlijk integreerbre functie C t x : Hieruit volgt de convergentie vn R f k.x; t/ dt: Voor de integrtie over Œ; Œ merken we op dt lim.log t! t/k t N e t= D voor lle k; N N: Hieruit volgt dt er een C k > bestt zo dt jf k.x; t/j C k e t=.t /: Hieruit volgt de convergentie vn R f.x; t/ dt: Lt nu < < b zijn, en veronderstel dt k N: Dn geldt voor lle x ; bœ dt jf k.x; t/j jf k.; t/j;. < t /;

13 en dt Voor lle k N; x > ; t > geldt dt jf k.x; t/j jf k.b; f k.x; t/ D f kc.x; t/: Het resultt volgt nu met inductie nr k; door toepssing vn Stelling.5. Extr vrgstukken Hoofdstuk Vrgstuk.4 Gegeven is een continue functie f W Œ;! R: Toon n dt de integrl f.t/ t x. t/ y dt convergent is voor x; y > ; en op dt gebied een continue functie vn.x; y/ definieert. Vrgstuk.5 integrl divergeert. Vrgstuk.6 Gegeven is een continue functie f W Œ;! R met f./ D : Toon n dt de f.t/ t Toon n de oneigenlijke integrl dt convergeert. sin t t p t dt 3

14 Vrgstuk.7 () Toon n dt de oneigenlijke integrl convergeert. (b) Toon n dt de oneigenlijke integrl cos x x sin t t dx dt convergeert. Hint: dit lukt niet met het mjorntie-criterium. Beschouw de integrl R ˇ en gebruik prtiële integrtie om de integrl te vergelijken met de integrl in (). sin t t dt Vrgstuk.8 We bekijken nogmls de volgende oneigenlijke integrl uit Vrgstuk.6: F.t/ WD x C t dx;.t > /: Gebruik in de volgende onderdelen direct de behndelde stellingen over oneigenlijke integrtie. () Lt zien dt de integrl convergeert voor iedere t > : (b) Bewijs dt de functie F continu differentieerbr is, met fgeleide F.t/ D.x C t/ dt: (c) Toon n dt voor k N geldt dt.k/š dx D. C x / kc kc.kš/ : Vrgstuk.9 () Lt zien dt door f.x/ D e t cos.xt/ dt een continu differentieerbre functie gedefinieerd wordt. (b) Toon n dt xf.x/ D f.x/ voor lle x R: (c) Toon n dt f.x/ D p e x =4 ; voor lle x R: Hint: differentieer de functie g.x/ D f.x/e x =4 : 4

15 3 Antekeningen bij Hoofdstuk 5 Over mchtreeksen Op het college zijn de volgende resultten behndeld, die niet direkt in het diktt te vinden zijn. Lemm 5. Lt k C; voor k N: Dn geldt: X k convergent H) lim n D : n! k Bewijs Schrijf s n D P n kd k: Dn heeft de complexe rij.s n / n een limiet die we noteren met s: Dus lim n! s n D s: Hieruit volgt dt ook lim n! s n D s: Anderzijds geldt n D s n s n : Met de somregel voor limieten leiden we nu f dt lim n D lim.s n s n / D s s D : n! n! Lt C en r > : In het vervolg zullen we de nottie D.I r/ WD fz C j jz j < rg gebruiken voor de open schijf (Engels: disk) met middelpunt en strl r: Merk op dt we voor deze verzmeling, gezien ls metrische ruimte, ook wel de nottie B.I r/ gebruikt hebben. Tevens zullen we de nottie ND.I r/ D fz C j jz j rg voor de gesloten schijf gebruiken. Lemm 5. Lt de mchtreeks P n nz n convergent zijn voor z D z : Dn is de mchtreeks uniform bsoluut convergent op iedere gesloten schijf ND.I r/; voor < r < jz j: Bewijs Uit de convergentie vn de reeks volgt dt lim n! n z n D : Derhlve is de rij. nz n/ n begrensd, dus er bestt een M > zo dt j n z nj M: ij < r < jz j: Dn geldt voor lle z ND.I r/ dt j n z n j D ˇ z r n ˇj nz nˇˇˇˇ n M : jz j z De meetkundige reeks P n.r=jz j/ n is convergent. Met het mjorntiekenmerk volgt nu dt P n z n uniform convergent is op ND.I r/: Gevolg 5.3 Veronderstel dt de mchtreeks P n nz n convergent is voor z D z : Dn wordt door X f.z/ WD n z n nd een continue functie D.I jz j/! C gedefinieerd. Bewijs ij D.I jz j/: Dn is er een r > met jj < r < jz j: De mchtreeks in uniform bsoluut convergent, dus uniform convergent op ND.I r/; dus f jd.ir/ N is continu. Hieruit volgt in het bijzonder de continuïteit vn f in het punt : 5

16 Complexe differentieerbrheid Voor functies C! C bestt een specil begrip vn differentieerbrheid. Definitie 5.4 ij U C een open verzmeling, f W U! C een functie en C: De functie f heet complex differentieerbr in het punt indien de limiet f.z/ f./ lim z! z bestt. Is dit het gevl heet de limiet de complexe fgeleide vn f in het punt ; en wordt hij genoteerd met f./ D df dz./: De functie f heet complex differentieerbr op U indien hij complex differentieerbr is in ieder punt vn U: Deze definitie vertoont veel gelijkenis met de definitie vn differentieerbrheid voor functies R! R: Het is dn ook niet verbzend dt bekende rekenregels zols de somregel, productregel en quotiëntregel doorgn voor dit nieuwe begrip vn fgeleide. Voorbeeld 5.5 Door herhld toepssen vn de productregel leiden we f dt de functie z 7! z n complex differentieerbr is met fgeleide: (5.) d dz zn D nz n : Ook de lterntieve krkterisering vn differentieerbrheid kn in deze context bewezen worden. Lemm 5.6 ij U C open, C en f W U! C een functie. Dn zijn de volgende beweringen equivlent. () De functie f is complex differentieerbr in : (b) Er bestt een functie ' W U! C; continu in ; zo dt Indien () en (b) gelden, dn is './ D f./: f.z/ f./ D '.z/.z /: Het bewijs vn deze stelling is in essentie identiek n dt vn de overeenkomstige stelling voor functies vn een reële vribele (zie het diktt Inleiding Anlyse), met dien verstnde dt overl R vervngen dient te worden door C: Uit het bovenstnde lemm volgt weer gemkkelijk de volgende kettingregel. Het bewijs is in essentie identiek n het bewijs dt gegeven wordt in het dictt Inleiding Anlye. Lemm 5.7 Lt U; V C open verzmelingen zijn, f W U! C en g W V! C functies met f.u / V: Veronderstel dt f complex differentieerbr is in en g differentieerbr in f./: Dn is de smenstelling gıf W U! C differentieerbr in ; met fgeleide.gıf /./ D g.f.//f./: 6

17 In het vervolg veronderstellen we dt U C open is, dt C en dt f W U! C: Angezien C opgevt kn worden ls R met de extr structuur vn complexe vermenigvuldiging, kunnen we spreken over prtiële differentieerbrheid en totle differentieerbrheid vn f in : Hieronder beschrijven we het verbnd met complexe differentieerbrheid. Het verbnd met totle differentieerbrheid wordt door de volgende stelling gegeven. Lemm 5.8 De volgende uitsprken zijn equivlent. () De functie f is complex differentieerbr in : (b) De functie f W U! C is totl differentieerbr in en de reëel lineire fbeelding Df./ W C! C is ook complex lineir, dwz voldoet n voor lle w C D R : Df./.iw/ D idf./.w/ Als () en (b) gelden dn wordt het verbnd tussen complexe en totle fgeleide gegeven door Df./.w/ D f./w.w C/: Bewijs Veronderstel eerst dt () geldt. Dn is er een ' W U! C die voldoet n de voorwrden vn Lemm 5.6. De fbeelding w 7! '.z/w is reëel lineir ls fbeelding C D R! C D R : Hieruit volgt dt f tevens totl differentieerbr is in ; met totle fgeleide Df./ W w 7! './w D f./w: Veronderstel omgekeerd dt (b) geldt. Schrijf D Df././: Dn geldt vnwege de complexe lineriteit dt Df./.i/ D idf././ D i ; dus Df./.u C iv/ D u C vi D.u C iv/ voor lle.u; v/ R : Hieruit leiden we f dt f.z/ f./.z / jf.z/ f./ Df./.z /j ˇ z ˇ D jz j! voor z! : We concluderen dt f.z/ f./ lim D z! z Dus f is complex differentieerbr in ; met fgeleide f./ D Df././: De ltste bewering is in het bovenstnde eveneens bewezen. Gevolg 5.9 Veronderstel dt f W U! C complex differentieerbr is in U: Dn is f ook prtieel differentieerbr in en er D f./: 7

18 Bewijs Uit het voorgnde resultt volgt dt f totl differentieerbr is in : Dus f is prtieel differentieerbr in ; met prtiële fgeleiden: D f./ D Df./.; / D Df././ D f./ D f./ en D f./ D Df./.; / D Df./.i/ D idf././ D if./: Opmerking 5. Is f W U! C complex differentieerbr in ; dn geldt wegens het (5.) Ontbinden we f in reëel en imginir deel, f D f C if ; dn @x./ @y./ We kunnen derhlve de vergelijking (5.) componentsgewijs @y./: Deze vergelijkingen stn bekend ls de Cuchy-Riemnn vergelijkingen. Lemm 5. Lt f W U! C een functie zijn, U C open. Dn zijn de volgende beweringen equivlent. () f is complex differentieerbr op U en f is continu op U I (b) f is prtieel differentieerbr op U; en de prtiële fgeleiden D f en D f zijn continu en voldoen n de Cuchy-Riemnn vergelijkingen. Bewijs De implictie./ H).b/ is in het bovenstnde reeds bewezen. Veronderstel nu (b). Dn is f totl differentieerbr op U en voor de totle fgeleide Df geldt dt Df.z/.i/ D Df.z/.; / D D f.z/ D id f.z/ D idf.z/./: Combineren we dit met de lineriteit vn Df.z/ over R; dn zien we dt Df.z/.u C iv/ D udf.z/./ C vdf.z/.i/ D.u C iv/df.z/./: Hieruit volgt de complexe lineriteit vn Df.z/ voor elke z U: Met Lemm 5.8 volgt nu dt () geldt. 8

19 5. Differentieerbrheid vn mchtreeksen Een functie gedefinieerd door een mchtreeks, kn gedifferentieerd worden door de mchtreeks term voor term te differentiëren. De volgende twee lemms dienen ls voorbereiding op dit resultt. Lemm 5. De mchtreeks P n nzn heeft convergentiestrl : nc Bewijs Er geldt dt lim n! n D : Hieruit volgt (zie extr opgve) dt lim sup n! jnj =n D : De convergentiestrl vn de mchtreeks is dus : Lemm 5.3 ij de convergentiestrl vn de mchtreeks P n nz n. Dn heeft de mchtreeks X n n z n (5.3) die hieruit door termsgewijze differentitie ontstt ook convergentiestrl. n Bewijs Stel dt jzj <. Kies een willekeurig reëel getl r zo dt jzj < r <. Uit de convergentie vn P n nr n volgt dt lim n! n r n D, dus er bestt een M > zo dt voor lle n geldt j n r n j M, ofwel dus j n j M r n ; jzj n jn n z n j nm : r Volgens Lemm 5. heeft de reeks P nw n convergentiestrl. Met het mjorntiecriterium zien we nu dt de reeks (5.3) convergeert voor jzj < r. Dit geldt voor iedere r < ; dus de reeks (5.3) heeft convergentiestrl minstens : De convergentiestrl kn echter niet groter dn zijn. Wnt in dt gevl zou er een z met jzj > bestn wrvoor de reeks (5.3) bsoluut convergeert. Wegens j n z n j jn n z n j voor n jzj zou druit met het mjorntiekenmerk de bsolute convergentie vn de reeks P n nz n volgen, tegensprk. Stelling 5.4 Lt P n nz n convergentiestrl hebben. Dn is de functie f W D.I /! C; gedefinieerd door f.z/ D X n z n n complex differentieerbr, met fgeleide gegeven door f.z/ D X n n z n.jzj < /: n 9

20 Bewijs Fixeer z met jz j < ; kies r zo dt jz j < r <. We definiëren een rij functies.g n / n op de gesloten schijf ND.I r/ door: g n.w/ D n w n z n w z (5.4) ls w 6D z, en door g n.z / D nz n. ij voorts g de constnte functie. Dn is elke functie g n continu in z. Verder is voor elke w met jwj r: jg n.w/j D j n.w n C w n z C ::: C z n /j nj n jr n : Uit het uniforme mjorntiekenmerk volgt nu dt de reeks P n g n uniform convergeert op jwj r. De somfunctie is derhlve continu in z, dus f.w/ f.z / X lim D lim g n.w/ D X g n.z /: w!z w z w!z n n Hieruit volgt dt f complex differentieerbr is in z, met de gewenste fgeleide. Door herhld toepssen vn de bovenstnde stelling volgt direkt: Gevolg 5.5 Een mchtreeks stelt binnen zijn convergentiecirkel een willekeurig vk complex differentieerbre functie voor. Heeft P n nz n convergentiestrl > en is f.z/ D X n n z n ;.jzj < /; dn is f.n/./ D nš n. Gevolg 5.6 ij r > en veronderstel dt de complexe mchtreeksen P n nz n en P n b nz n convergent zijn op D.I r/: Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () n D b n voor lle n NI (b) P nd nz n D P nd b nz n voor lle z D.I r/: Bewijs De implictie./ H).b/ is evident. De ndere implictie is een direct gevolg vn Gevolg 5.5. We kunnen Stelling 5.4 gebruiken om de complexe e-mcht in te voeren. Stelling 5.7 Er is een unieke complex differentieerbre functie f W C! C met f D f en f./ D : Deze functie voldoet n f.z C w/ D f.z/f.w/;.z; w C/; (5.5) en wordt gegeven door f.z/ D X nd z n ;.z C/: (5.6) nš

21 Bewijs Uit de theorie vn de Tylorreeks met rest volgt dt de reeks 5.6 convergeert voor lle z R: Met Lemm 5. volgt hieruit dt de reeks convergeert voor lle z C: We definiëren de functie f W C! C door (5.6). Met Lemm 5.3 volgt hier weer uit dt f complex differentieerbr is op C; met fgeleide f D f: Het is evident dt f./ D ; dus het bestn vn f is ngetoond. We gn nu de uniciteit vn f en tegelijkertijd (5.5) ntonen. De functie ' W C! C; gedefinieerd door '.z/ WD f.z/f.z/ is complex differentieerbr op C; met fgeleide gelijk n: '.z/ D f.z/f.z/ f.z/f.z/ D (gebruik produkt en kettingregel). Wegens de Cuchy-Riemnn vergelijkingen volgt hieruit dt D ' D D ' D ; dus ' is constnt op C: Door z D te substitueren vinden we dt ' D ; dus f.z/f.z/ D voor lle z C: Hieruit concluderen we dt f.z/ voor lle z en f.z/ D f.z/: Lt w C willekeurig, mr vst zijn. Lt g W C! C complex differentieerbr zijn en voldoen n g D g en g./ D : Dn is de functie h W C! C gedefinieerd door complex differentieerbr, met fgeleide h.z/ WD f.z/ g.z C w/ h.z/ D f.z/ f.z/g.z C w/ C f.z/ g.z C w/ D f.z/ g.z C w/ C f.z/ g.z C w/ D : Hieruit volgt dt h constnt is en gelijk n h./ D g.w/: We concluderen dt g.z C w/ D f.z/g.w/ voor lle z C: Deze conclusie geldt voor iedere w; dus ook voor w D ; en we zien dt g D f: Dus f is uniek, en tevens geldt (5.5). Op grond vn de bovenstnde stelling definiëren we de complexe e-mcht door e z WD X nd z n nš ;.z C/: Voor z R komt deze definitie overeen met de vroeger gegeven definitie. Wegens bovenstnde stelling geldt dt d dz ez D e z op C: Tevens gelden de volgende eigenschppen: () e D I (b) e z e z D I (c) e zcw D e z e w I

22 voor lle z; w C: In termen vn de complexe e-mcht kunnen we weer de goniometrische functies sin; cos W R! R definiëren. Definitie 5.8 De functies sin W R! R en cos W R! R worden gedefinieerd door cos y D Re.e iy /; sin y D Im.e iy /; voor y R: Uit e xciy D e x e iy en de bovenstnde definitie volgt de bekende formule vn Euler, nmelijk e xciy D e x.cos y C i sin y/;.x; y R/: Tenslotte volgt uit de mchtreeksontwikkeling voor de e-mcht dt e iy D X nd Door reëel en imginir deel te nemen vinden we dt en sin y D cos y D i n yn nš : X Re.i k / yk.k/š D X kd kd./ k yk.k/š X Im.i kc / ykc.k C /Š D X./ k ykc.k C /Š : kd kd Dit zijn de bekende Tylorreeksontwikkelingen voor sinus en cosinus. Lt in het vervolg V een open deelverzmeling vn C zijn. Definitie 5.9 Een functie f W V! C heet nlytisch (of holomorf) indien voor elk punt V een in V gelegen open cirkelschijf D met middelpunt bestt zo dt f op D gegeven wordt door een mchtreeks: f.z/ D X n c n.z / n (5.7) met c n C. Wegens Stelling 5.4 en Gevolg 5.5 is een nlytische functie f W V! C willekeurig vk complex differentieerbr, en zijn de fgeleide functies f.n/ weer nlytisch. Verder moeten de coefficienten in (5.7) wegens Gevolg 5.5 gelijk zijn n c n D f.n/./ : (5.8) nš Derhlve is de mchtreeksontwikkeling overl uniek bepld door de functie. Een belngrijk resultt in Hoofdstuk 5 vn het diktt Functies en Reeksen is het volgende. Stelling 5. ij V C open, en f W V! C complex differentieerbr, terwijl f continu op V is. Dn is f nlytisch op V: Voor het bewijs vn dit resultt is de in Hoofdstuk 4 vn het diktt bewezen stelling vn Cuchy nodig. Wij zullen dit resultt in de huidige cursus niet behndelen, mr verwijzen hiervoor nr de niveu 3 cursus Complexe Functies.

23 6 Extr ntekeningen bij Hoofdstuk 6: Fourierreeksen Integrtie vn vectorwrdige functies In deze sectie zullen we de integrtie vn vectorwrdige functies bespreken. Angezien C opgevt kn worden ls R ; met ls extr structuur de complexe vermenigvuldiging, vlt hieronder ook de integrtie vn complexwrdige functies. We strten met de theorie voor continue functies, wr de vrg nr Riemnn-integreerbrheid minder urgent is. Lemm 6. ij f W Œ; bœ! R n een continue functie. Dn is er precies één vector I.f / R n met de eigenschp dt h I.f /; v i D h f.x/; v i dx; voor lle v R n : In het bijzonder geldt voor iedere j n dt I.f / j D met f j W Œ; b! R de j -de component vn de functie f: f j.x/ dx; (6.9) Bewijs We merken op dt voor iedere v R n de functie f v W Œ; b! R; x 7! h f.x/; v i continu, dus Riemnn-integreerbr is. Door voor v chtereenvolgens de vectoren uit de stndrdbsis vn R n te nemen, zien we dt I.f / gegeven moet zijn door (6.9). Lt I.f / door die formule gegeven zijn. ij v R n en schrijf v D.v ; : : : ; v n /: Dn is nx nx h I.f /; v i D v j I.f / j D v j f j.x/ dx D j D j D nx v j f j.x/ dx D j D f v.x/ dx: Om voor de hnd liggende redenen noteren we de vector I.f / met R b f.x/ dx; en noemen dit de vectorwrdige integrl vn de continue functie f over Œ; b: Voor vectorwrdige integrtie geldt de driehoeksongelijkheid. Lemm 6. ij ; b R; met < b: ij f W Œ; b! R n continu. Dn is de functie kf k W Œ; b! R; x 7! kf.x/k continu, dus Riemnn-integreerbr over Œ; b; en k f.x/ dx k kf.x/k dx: 3

24 Bewijs Schrijf I.f / D R b f.x/ dx: Er bestt een v Rn met kvk D ; zo dt h I.f /; v i D ki.f /k: (Als I.f / ; dn kunnen we v D I.f /=ki.f /k nemen.) Nu geldt ki.f /k D h I.f /; v i D D D h f.x/; v i dx jh f.x/; v ij dx kf.x/kkvk dx kf.x/k dx: Voorbeeld 6.3 Voor een continue functie f W Œ; b! C geldt dt f.x/ dx D Ook is jf j Riemnn-integreerbr, en er geldt: f.x/ dx C i f.x/ dx: j f.x/ dxj jf.x/j dx: Voorbeeld 6.4 Schrijf k voor de functie x 7! e ikx : Is f W R! C een continue functie, die periodiek is met periode ; dn is ook de functie x 7! f.x/e ikx continu. Er geldt dt j.ff / k j D j wr kf k R stt voor de supnorm vn f over R: f.x/e ikx dxj jf.x/j dx kf k R ; Tenslotte eindigen we met de fundmentlstelling voor vectorwrdige integrtie. Lemm 6.5 ij f W Œ; b! R n een continue functie, en zij F W Œ; b! R n een primitieve vn f; dwz. een differentieerbre functie met F D f: Dn geldt f.x/ dx D F.b/ F./: (6.) 4

25 Bewijs Dit komt omdt zowel integrtie ls differentitie componentsgewijs uitgevoerd kunnen worden. Preciezer, schrijf f D.f ; : : : ; f n / en F D.F ; : : : ; F n /: Dn geldt dt Fj D f j voor elke j n: Dus geldt. f.x/ dx / j D De identiteit (6.) geldt dus componentsgewijs. f j.x/ dx D F j.b/ F j./ D.F.b/ F.// j : Voorbeeld 6.6 We beschouwen de functie k W x 7! e ikx ; voor k n fg: Dn is de functie F.x/ D.=ik/ k een primitieve vn k : Voor lle ; b R geldt dus: e ikx dx D eikb e ik : ik In het bijzonder is de integrl over Œ; gelijk n nul. Uit het bovenstnde volgt, voor lle m; n dt e imx e inx dx D e i.mn/x dx D ı mn : Voor de liefhebber: Riemnn-integreerbrheid voor vectorwrdige functies In de vectorwrdige context is het werken met onder- en bovensommen minder geschikt. In plts drvn werken we met Riemnn-sommen. ij f W Œ; b! R n een begrensde functie, dwz. er bestt een M > zo dt kf.x/k M voor lle x Œ; b: Onder een verdeling vn het intervl I D Œ; b verstn we een eindige verzmeling V I met ; b V: ij D x < x < < x p D b de ordening nr grootte vn de elementen vn V: We schrijven ook V D f D x < x < < x p D bg: Onder een verzmeling vn strooipunten bij V verstn we een collectie punten f ; : : : ; p g I met j Œx j ; x j voor lle j p: Bij V en definiëren we de Riemnn-som S.f; V; / door px S.f; V; / WD f. j /.x j x j /: j D De definitie vn Riemnn-integreerbrheid kn ls volgt gegenerliseerd worden vn sclire functies nr vectorwrdige functies. Definitie 6.7 vervuld zijn: () f is begrensd; De functie f W Œ; b! R n heet Riemnn-integreerbr indien de volgende condities (b) voor iedere > bestt een verdeling V vn Œ; b zo dt voor elk tweetl collecties ; vn strooipunten bij V geldt dt ks.f; V; / S.f; V; /k < : (6.) 5

26 Lemm 6.8 Lt f W Œ; b! R n een begrensde functie zijn. Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () De functie f is Riemnn-integreerbr. (b) Voor iedere v R n geldt dt de functie f v W Œ; b! R; x 7! h f.x/; v i Riemnnintegreerbr is. (c) Er bestt een unieke vector I.f / R n met de volgende eigenschp. Voor iedere > bestt een verdeling V vn Œ; b zo dt voor elke collectie vn strooipunten bij V geldt dt ks.f; V; / I.f /k < : (6.) Bewijs Voor n D is dit resultt bewezen in Inleiding Anlyse. We veronderstellen nu dt lgemener n : Veronderstel dt () geldt en zij v R n : Dn geldt voor iedere verdeling V en iedere collectie strooipunten drbij dt h S.f; V; /; v i D S.f v ; V; /: ij > : Wegens () bestt er een verdeling V zo dt (6.) geldt voor lle collecties strooipunten ; bij V; met =.kvk C / in plts vn : Hieruit volgt dt js.f v ; V; / S.f v ; V; /j D jh S.f; V; / S.f; V; /; v ij ks.f; V; / S.f; V; /kkvk < : Hieruit volgt de Riemnn-integreerbrheid vn f v : Veronderstel nu dt (b) geldt. ij e ; : : : ; e n de stndrdbsis vn R n en schrijf f D.f ; : : : ; f n /; dn is f j D f ej : Met (b) volgt dt iedere component f j Riemnn-integreerbr is. Definieer I.f / R n door I.f / j D R b f j.x/ dx: Dn volgt voor iedere j het bestn vn een verdeling V j vn Œ; b zo dt S.f j ; V j / S.f j ; V j / < =n: Deze schtingen gelden ook met V j vervngen door de gemeenschppelijke verfijning V D V [ [ V n : Voor iedere collectie vn strooipunten bij V geldt nu dt S.f j ; V; / en I.f / j tussen S.f j ; V / en S.f j ; V / liggen, dus ook Hieruit volgt dt js.f j ; V; / I.f / j j < =n: ks.f; V; / I.f /k Hieruit volgt het bestn vn I.f /: D nx js.f; V; / j I.f / j j j D nx js.f j ; V; / I.f / j j < n=n D : j D 6

27 Voor de uniciteit redeneren we ls volgt. Stel dt I.f / de geformuleerde eigenschp heeft. ij > : Dn is er een verdeling V vn Œ; b zo dt voor elke collectie strooipunten bij V geldt dt (6.). Hieruit volgt voor de j -de component dt js.f j ; V; / I.f / j j D js.f; V; / j I.f / j j < : Hieruit volgt dt f j Riemnn-integreerbr is, met integrl I.f / j : Dus I.f / is uniek. Veronderstel tenslotte dt (c) geldt. ij > : Er bestt een verdeling V zo dt (6.) geldt met = in plts vn : Is ; een tweetl collecties strooipunten bij V; dn volgt ks.f; V; / S.f; V; /k ks.f; V; / I.f /k C ki.f / S.f; V; /k < = D : Dus f is Riemnn-integreerbr. ij f W Œ; b! R n Riemnn-integreerbr, dn noemen we de unieke I.f / R n die voldoet n conditie (c) om voor de hnd liggende redenen de Riemnn-integrl vn f over Œ; b; en we schrijven f.x/ dx D I.f /: Uit het bovenstnde volgt dt de integrl bepld is door componentsgewijze integrtie: I.f / j D f j.x/ dx;. j n/: Opmerking 6.9 In het bijzonder geldt dt een continue functie f W Œ; b! R n Riemnnintegreerbr is. In de vorige prgrf hebben we deze reltie niet hoeven leggen, omdt we de integrl direct konden definiëren. We hebben nu voldoende chtergrond om de driehoeksongelijkheid voor vectorwrdige Riemnnintegrlen te bewijzen. Lemm 6. ij f W Œ; b! R n een Riemnn-integreerbre functie.; b R; < b/: Dn is ook de functie kf k W x 7! kf.x/k Riemnn-integreerbr op Œ; b; en er geldt k f.x/ dxk kf.x/k dx: Bewijs We tonen eerst n dt kf k Riemnn-integreerbr is. Dit is het lstigste deel vn het bewijs. De rest vn het bewijs is hetzelfde ls dt voor een continue functie f; zie de vorige prgrf. ij > : Voor iedere k n bestt een verdeling V k zo dt S.f k ; V k / S.f k ; V k / < =n: Voor de gemeenschppelijke verfijning V D V [ [ V n vn deze verdelingen gelden deze schttingen met V in plts vn V k : Schrijf V D fx < x < < x p g en zij D f j g en D f j g 7

28 een tweetl collecties vn strooipunten bij V: Dn geldt S.kf k; V; / S.kf k; V; / D px.kf. j /k kf. j /k/.x j x j / j D px kf. j / f. j /k.x j x j / j D nx kd j D nx px jf k. ij / f k. j /j.x j x j / px.sup kd j D I.j / f k inf f k /.x j x j / I.j / nx.s.f k ; V / S.f k ; V // < n=n D : kd Deze schtting geldt ook met verwisseling vn en ; dus js.kf k; V; / S.kf k; V; /j < : We concluderen dt kf k inderdd Riemnn-integreerbr is. Schrijf I.f / D R b f.x/ dx: Er bestt een v R n met kvk D ; zo dt h I.f /; v i D ki.f /k: (Als I.f / ; dn kunnen we v D I.f /=ki.f /k nemen.) Nu geldt ki.f /k D h I.f /; v i D D h f.x/; v i dx jh f.x/; v ij dx kf.x/kkvk dx kf.x/k dx: Voorbeeld 6. Een functie f W Œ; b! C is Riemnn-integreerbr indien zowel f D Ref ls f D Imf Riemnn-integreerbr zijn. Bovendien is in dt gevl f.x/ dx D Ook is jf j Riemnn-integreerbr, en er geldt: f.x/ dx C i f.x/ dx: j f.x/ dxj jf.x/j dx: 8

29 Voorbeeld 6. Schrijf k voor de functie x 7! e ikx : Is f W R! C lokl Riemnn integreerbre functie, die periodiek is met periode ; dn zijn zowel de functis f D Ref ls f D Imf Riemnnintegreerbr, en ook de functies x 7! f cos kx C f sin kx en x 7! f.x/ sin kx C f.x/ cos kx: Dit zijn het reële en het imginire deel vn de functie x 7! f.x/e ikx : Deze functie is dus ook Riemnn-integreerbr. Er geldt dt j.ff / k j D j f.x/e ikx dxj wr kf k R stt voor de supnorm vn f over R: jf.x/j dx kf k R ; Product vn Riemnn-integreerbre functies In de ntekeningen bij Hoofdstuk 6 zullen we regelmtig gebruik mken vn het volgende resultt voor Riemnn-integreerbre functies. Lemm 6.3 Veronderstel dt ; b R met < b: Lt f; g W Œ; b! R een tweetl Riemnnintegreerbre functies zijn. Dn is ook de productfunctie fg W x 7! f.x/g.x/; Œ; b! R Riemnnintegreerbr. Bewijs Deel vn de eis vn Riemnn-integreerbrheid is dt f en g begrensd zijn. De sup-normen geven we n met M f D kf k Œ;b en M g D kgk Œ;b : ij I Œ; b een deelintervl. Dn geldt voor lle x; y I dt jf.x/g.x/ f.y/g.y/j D f.x/.g.x/ g.y// C.f.x/ f.y//g.y/j kf k Œ;b jg.x/ g.y/j C jf.x/ f.y/jkgk Œ;b vr I f kgk Œ;b C vr I g kf k Œ;b.vr I f C vr I g/.m f C M g /: ij > : Uit de Riemnn-integreerbrheid vn f en g volgt het bestn vn een verdeling V D f D x < < x n D bg vn Œ; b; zo dt S.f; V / S.f; V / < =.M f C M g C /; S.g; V / S.g; V / < =.M f C M g C / (gebruik een gemeenschppelijke verfijning). Hieruit volgt dt S.fg; V / S.fg; V / nx D vr I.j /.fg/.x j x j / j D.M f C M g / nx.vr I.j / f C vr I.j / g/.x j x j / j D D.M f C M g /.S.f; V / S.f; V / C S.g; V / S.g; V // < : 9

30 Gevolg 6.4 Lt ; b R; < b; en lt f; g W Œ; b! C Riemnn-integreerbr zijn. Dn is de functie fg W Œ; b! C Riemnn-integreerbr. Bewijs Schrijf f D f C if en g D g C ig met f ; f ; g ; g reëelwrdig. Door toepssing vn het bovenstnde lemm volgt dt f g f g en f g C f g Riemnn-integreerbr zijn. Hieruit volgt dt fg D.f g f g / C i.f g C f g / Riemnn-integreerbr is. Het bewijs vn Stelling 6. Het bewijs dt in het dictt gegeven wordt vn Stelling 6. is te ingewikkeld. Het kn ls volgt eenvoudiger gegeven worden. In de eerste plts merken we op: Lemm 6.5 De fbeelding F W C.R=/! C is injectief. Bewijs De fbeelding F is complex lineir. Het is dus voldoende te bewijzen dt de kern vn F de nulruimte is. Lt f C.R=/ en veronderstel dt Ff D : Voor de Fourier coëfficiënten geldt dus c k D.Ff / k D voor elke k : Hieruit volgt dt voor iedere < r < de functie f r C.R=/; gedefinieerd door X f r.x/ D r jkj c k e ikx kd gelijk is n nul. Anderzijds geldt dt f r! f uniform op R; voor r " : We concluderen dt f D : Bewijs vn Stelling 6.: Veronderstel dt f C.R=/; schrijf c k D.Ff / k en veronderstel dt P jc k j < : Dn wordt door X g.x/ D c k e ikx kd een continue functie g C.R=/ gedefinieerd met Fg D c D Ff: Uit de injectiviteit vn de Fourier trnsformtie volgt nu dt f D g: Opmerkingen over de Poisson-kern Voor twee functies f; g C.R=/ definiëren we het convolutieproduct door f g.x/ D f.x y/g.y/ dy: Uit de continuiteit vn de functies.x; y/ 7! f.x y/ en.x; y/ 7! g.y/ volgt met de productregel dt de integrnd een continue functie vn.x; y/ is. Wegens een stelling over continuiteit vn integrlen met een prmeter volgt hieruit dt de functie f g W R! C continu is. Het is evident dt f g periodiek is met periode, dus f g C.R=/: 3

31 Door de substitutie z D x y uit te voeren in de integrl vn het convolutieproduct zien we dt f g.x/ D f.z/g.x z/ dz D g f.x/: Het convolutieproduct is dus commuttief. In het vervolg veronderstellen we dt f C.R=/: We noteren de Fourier coëfficiënten vn f met c k D.Ff / k : In termen vn deze coëfficiënten definiëren we de functies f r W R! C voor r < door X f r D r jkj c k e ikx : kd In het dictt wordt bewezen dt f r C.R=/; voor lle r < : Bovendien wordt bewezen dt f r D P r f; met P r.x/ D X kd r jkj e ikx : (6.3) Uit P kd rjkj < volgt dt P r C.R=/ met de definiërende reeks ls Fourier reeks. In het bijzonder wordt de nulde Fourier coëfficiënt gegeven door r D : Hieruit volgt weer dt P r.x/ dx D : (6.4) De som vn de reeks (6.3) is te beplen door gebruik te mken vn de formule voor de som vn een meetkundige reeks, zie het dictt. Dit geeft: P r.x/ D We merken nu op dt het volgende geldt: r. r/ C r. cos x/ Lemm 6.6 ij < ı < : Dn convergeert P r op V WD Œ; ı [ Œı; unform nr nul, voor r " : Bewijs Voor x V geldt dt cos x > cos ı; dus P r.x/ r. r/ C r. cos ı/ Het rechterlid heeft limiet nul voor r " : Hieruit volgt dt kp r k V! : Lemm 6.7 Lt g C.R=/: Dn geldt dt P r g! g uniform op R; voor r " : Bewijs We kunnen dit fleiden puur door gebruik te mken vn (6.4) en Lemm (6.6) en het feit dt P r : De redentie is ls volgt. We merken op dt P r g.x/ g.x/ D D 3 g.x y/p r.y/ dy g.x/ Œg.x y/ g.x/p r.y/ dy:

32 wrbij de tweede identiteit volgt door toepssing vn (6.4). Hieruit volgt door toepssing vn de driehoeksongelijkheid voor integrlen dt jp r g.x/ g.x/j jg.x y/ g.x/jp r.y/ dy: De functie g is continu dus uniform continu op Œ; : Vnwege de periodiciteit is de functie ook uniform continu op R: Er is dus een < ı < zo dt voor u; v R met ju vj ı geldt jg.u/g.v/j < =: Voor lle x Œ; en lle y Œı; ı volgt dus dt jg.x y/g.x/j < =: Anderzijds geldt voor lle x; y R dt jg.x y/ g.x/j jg.x y/j C jg.y/j kgk R : Splitsen we de bovenstnde integrl op in een stuk over Œı; ı en een stuk over V WD Œ; n ı; ıœ dn vinden we jp r g.x/ g.x/j ı ı P r.y/ dy C kgk R kp r k V dy V P r.y/ dy C kgk R kp r k V D = C kgk R kp r k V : Uit Lemm 6.6 volgt nu dt er een R < bestt zo dt voor lle R < r < geldt kp r k V < =. C kgk R /: Voor dergelijke r geldt dus voor lle x Œ; de schtting jp r g.x/ g.x/j ; dus ook kp r g gk Œ; : De uniforme convergentie volgt. Voor p N noteren we met C p.r=/ de ruimte vn functies g C.R=/ die bovendien C p zijn, dwz. lle fgeleiden g; g ; : : : ; g.p/ bestn en zijn continu. Met C.R=/ noteren we de ruimte vn lle functies g C.R=/ die willekeurig vk differentieerbr zijn. Lemm 6.8 Als g C.R=/ en h C.R=/; dn geldt dt g h C.R=/ en Bewijs Er geldt dt d dg.g h/ D dx dx h: g h.x/ D '.x; y/ dy; met '.x; y/ D g.x y/h.y/: Hieruit blijkt dt ' continu is op R ; en bovendien dt ' prtieel differentieerbr is nr de eerste vribele, met prtiële fgeleide D '.x; y/ D g.x y/h.y/: Angezien D ' weer continu is, is differentitie onder het integrlteken geoorloofd, en we vinden: d g h.x/ D dx D '.x; y/ dy D.g / h.x/: Hieruit volgt dt g h differentieerbr is met fgeleide.g / h: Angezien g ; h C.R=/; vinden we dt de fgeleide continu is. Dus g h is C ; en de formule voor de fgeleide geldt. 3

33 Gevolg 6.9 ij p N of p D : Als g C p.r=/ en h C.R=/; dn is g h C p.r=/: Bewijs Dit volgt door herhlde toepssing vn het vorige lemm. Uit dit gevolg gecombineerd met Lemm 6.7 volgt dt iedere functie g C.R=/ uniform benderd kn worden met willekeurig vk differentieerbre functies. Gevolg 6. ij g C.R=/: Voor iedere > is er een functie h C.R=/ met kg hk R < : Opmerking 6. In de tl vn de metrische ruimten zeggen we ook dt C.R=/ dicht ligt in C.R=/; ten nzien vn de uniforme metriek. Bewijs Voor elke r < is P r C.R=/: Dus ook P r g C.R=/: Ps nu Lemm 6.7 toe. Dn zien we dt de bewering geldt met h D P r g; voor r voldoende dicht bij : Gevolg 6. ij < b en g C.Œ; b/: Dn bestt er voor iedere > een functie h C.Œ; b/ met kg hk Œ;b < : Bewijs Door verschuiven en herschlen kunnen we reduceren tot het gevl dt D en b D =: Lt g C.Œ; = en > : We definiëren nu een functie Qg C.R=/ met Qgj Œ;= D g ls volgt 8 <.x= C /g./ voor x I Qg.x/ D g.x/ voor x =I :. x=/g.=/ voor = x : De functie Qg is continu op Œ; terwijl Qg./ D Qg./ D : Hieruit volgt dt Qg uit te breiden is tot een functie Qg C.R=/: Nu is er een Q h C.R=/ zo dt k Qg Q hk R < : Definieer h D Q hj Œ;b : Dn is kg hk Œ;b k Qg Q hk R < : Het volgende lemm stt bekend ls het Riemnn-Lebesgue lemm voor stuksgewijs continue functies. Lemm 6.3 ij ; b R; < b: ij f W Œ; b! C stuksgewijs continu. Dn geldt lim f.x/e ix dx D : jj! 33