Syllabus Analyse A3. door T. H. Koornwinder. Universiteit van Amsterdam, Faculteit WINS Vakgroep Wiskunde, cursus 1995/96

Transcriptie

1 Ter inleiding Syllbus Anlyse A3 door T. H. Koornwinder Universiteit vn Amsterdm, Fculteit WINS Vkgroep Wiskunde, cursus 995/96 Deze syllbus is een direct vervolg op de syllbus Anlyse A. Net ls dr gt het in de huidige syllbus om nlyse op R, dus om rijen en reeksen vn reële of eventueel complexe getllen, en om functies gedefinieerd op deelverzmelingen vn R. In vergelijking met Anlyse A zl er echter nog meer ndruk worden gelegd op precieze bewijzen vn stellingen. Deze precisie wordt mogelijk gemkt doordt we in het eerste hoofdstuk een goede fundering vn de reële getllen zullen geven. Er zl blijken dt een ntl stellingen uit Anlyse A op grond vn die fundering precies bewezen kunnen worden. Je moet nu niet denken dt de huidige syllbus voornmelijk een meer rigoureuze herhling is vn de syllbus Anlyse A. Het is eerder zo dt hier llerlei nvullingen zullen worden gegeven bij bij de eerder behndelde stof over rijen, continuïteit, reeksen en Riemnn-integrl. Doorgns zullen deze nvullingen wt dieper theoretisch begrip vrgen dn voorheen, terwijl ook de technische vrdigheid in verbnd met deze onderwerpen verder ontwikkeld zl worden. Een ntl begrippen en stellingen uit deze syllbus zullen lter ook in een lgemener kder behndeld worden in het vk Topologie A. Deze syllbus bevt twee soorten opgven. Tussen de gewone tekst vind je geregeld opgven, die je ertoe nsporen om met een net ingevoerd begrip of bewezen stelling direct zelf n de gng te gn door bijv. een voorbeeld of tegenvoorbeeld te bestuderen of door een eenvoudig nvullend resultt te bewijzen. An het eind vn elk hoofstuk vind je wt concretere vrgstukken: echte sommen. Deze ltsten zullen op het werkcollege behndeld worden. Vrgstukken vn de eerste soort zullen soms op het werkcollege behndeld worden, mr het zl ook voorkomen dt de docent reeds tijdens het hoorcollege zo n vrgstuk in diloog met de studenten behndelt of dt je ngespoord wordt om het zelf ls huiswerk te bentwoorden. Hoe dn ook, het mken vn de vrgstukken vn de eerste soort is een goede mnier om bij te blijven met de behndelde stof. Op het tentmen zullen vrgstukken vn beide types voorkomen, echter meer vrgstukken vn de tweede, concrete soort dn vn de eerste, theoretische soort. De orgnistie vn deze syllbus is ls volgt. Hij is opgebouwd uit een ntl hoofdstukken, die meestl weer opgedeeld zijn in een pr deelhoofdstukken. Binnen een hoofdstuk is er een prgrfnummering vn de vorm.b, wrbij het hoofdstuknummer is en b het volgnummer vn de prgrf binnen dt hoofdstuk. Als er ergens verwezen wordt nr Stelling.b, dn wordt de Stelling in prgrf.b bedoeld. Een zelfde conventie geldt voor Definitie.b, Voorbeeld.b, Opgve.b, etc. An het slot vn elk hoofdstuk volgen een ntl vrgstukken die genummerd zijn ls V.b, wrbij weer het hoofdstuknummer is en b het volgnummer vn het vrgstuk binnen dt hoofdstuk. De prgrfnummers en vrgstuknummers zijn in de regel vet gedrukt. Soms zijn ze echter cursief gedrukt. Dit betekent dt die prgrf of dt vrgstuk niet tot de verplichte tentmenstof behoort. Hetzelfde geldt voor bewijzen. Als het woord Bewijs vet is gedrukt, dn behoort het tot de vste stof; ls het cursief is gedrukt, dn is het fculttief. Soms zl de docent de onderdelen met cursieve nduidingen niet behndelen.

2 2 Voor studenten die wt dieper op de stof willen ingn zijn de niet-verplichte gedeelten uiterrd nbevolen mteril. Mogelijk zl de docent zelfs nog meer oversln en niet voor het tentmen eisen. Bijvoorbeeld de deelhoofdstukken 3. en 3.2 en hoofdstuk 4 zullen hiervoor in nmerking komen. Ook zl hoofdstuk 6 (Invoering vn de elementire functies) mogelijk (en hels) door tijdgebrek in de knel kunnen komen. Net zo ls bij Anlyse A, zl soms in voorbeelden en vrgstukken eerder dn hoofdstuk 6 l met sommige elementire functies gewerkt worden. Het wordt ten zeerste ngerden om nst de syllbus ook wt boeken te rdplegen. Hier volgt een kleine selectie vn nvullende litertuur. Zie voor de lgemene theorie o..: [] J. H. J. Almering, Anlyse (geheel herzien door H. Bvinck en R. W. Goldbch), Delftse Uitgeversmtschppij, 6e druk, 99. [2] T. M. Apostol, Clculus, Vol., John Wiley & Sons, Second ed., 967. [3] A. vn Rooij, Anlyse voor beginners, Epsilon Uitgven, Utrecht, 989. [4] W. Rudin, Principles of mthemticl nlysis, McGrw-Hill, Third ed., 976. Zie voor de opbouw vn de reële getllen: [5] H.-D. Ebbinghus e.., Numbers, edited by H. Ewing, Grdute Texts in Mth. 23, Springer-Verlg, 99 (oorspronkelijke Duitstlige versie Zhlen ook door Springer uitgegeven, zweite Auflge, 988). [6] E. G. H. Lndu, Foundtions of nlysis, Chelse Publishing Compny, New York, 95 (oorspronkelijke Duitstlige versie Grundlgen der Anlysis is uitgegeven door Akdemische Verlgsgesellschft, Leipzig, 93). Inhoudsopgve Ter inleiding. De reële getllen 3 2. Rijen vn reële getllen 3. Continuïteit 9 4. Extrem en convexiteit Reeksen Invoering vn de elementire functies De Riemnn-integrl 7 8. Oneigenlijke integrlen 85 Index Dnkwoord Bij het schrijven vn deze syllbus heb ik veel ontleend n de vroegere syllbus Anlyse B vn prof. dr. D. vn Dulst uit 983. Dit betreft voorl de vrgstukken, mr ook de lgemene opzet en een ntl detils. Hoofdstuk is gebseerd op een hndgeschreven syllbus De reële getllen vn dr. H. Pijls uit mrt 994. Wrdevol commentr vn dr. H. C. Doets is in dit hoofdstuk verwerkt. Tenslotte zeg ik dnk n dr. M. S. Dijkhuizen en voorl dr. P. J. I. M. de Pepe, die eerdere versies vn deze syllbus ls docent hebben gebruikt en becommentrieerd. Dr. de Pepe heeft ook tlrijke extr vrgstukken geleverd.

3 De reële getllen 3. Axiomtische krkterisering vn de reële getllen. In syll. Anlyse A, hoofdstuk 3 is een schets gegeven vn de definitie vn de verzmeling R vn reële getllen en de voornmste druit volgende eigenschppen. Het kwm op het volgende neer: (syll. Anlyse A, (3.)) R is ruwweg gedefinieerd ls de verzmeling vn lle oneindig voortlopende decimle breuken (wrbij een breuk die op den duur slechts negens heeft, op evidente wijze wordt geïdentificeerd met een breuk die op den duur slechts nullen heeft). (syll. Anlyse A, (3.4)) Uit de definitie volgt de Stelling vn de intervlschkeling. (syll. Anlyse A, (3.6)) Uit de stelling vn de intervlschkeling volgt (smen met de Archimedische eigenschp, zie verderop) de Stelling vn de kleinste bovengrens. De krkterisering vn de reële getllen ls de oneindig voortlopende decimle breuken gf eigenlijk een model met lle eigenschppen vn de reële getllen. Zodr echter de stellingen vn de intervlschkeling en vn de kleinste bovengrens bewezen wren, werd er niet meer op dit model teruggegrepen, mr werden llerlei verdere eigenschppen over reële getllen bewezen door toepssing vn genoemde twee stellingen. Ook het feit dt de verzmeling Q vn rtionle getllen deel is vn R bleef een belngrijke rol spelen. We zullen nu een ndere weg volgen, die l kort werd ngekondigd in syll. Anlyse A, hst.. Een ntl eigenschppen vn R, zols bestudeerd in syll. Anlyse A, zullen we prt nemen ls xiom s. We willen het zo hebben dt een structuur die voldoet n deze xiom s, hierdoor uniek bepld is (op isomorfisme n, zie verderop). Ook willen we een concreet model hebben dt n de xiom s voldoet. Immers, zonder zo n model zou het wel eens kunnen zijn dt er niets is dt n de xiom s voldoet. De ls xiom s te kiezen eigenschppen vn R zullen uitsprken doen over de lgebrïsche structuur vn R (t.o.v. optelling en vermenigvuldiging), over de structuur vn R ls geordende verzmeling (t.o.v. <), over het verbnd tussen de lgebrïsche en de ordeningsstructuur, en over de volledigheid vn R ls geordende verzmeling. Voor deze ltste eigenschp zullen we de stelling vn de kleinste bovengrens nemen, die nu beter Axiom vn de kleinste bovengrens kn heten. We zullen een model dt n de xiom s voldoet construeren vnuit Q d.m.v. de zogenmde Dedekind-sneden. De bovengenoemde oneindig voortlopende decimle breuken geven een nder model voor R, dt we hier niet verder zullen behndelen. Echter, lle modellen voor R zijn noodzkelijkerwijs isomorf. Onze behndeling vn deze mterie zl tmelijk summier zijn. De lezer wordt sterk ngemoedigd om meer over dit frie onderwerp te lezen in Ebbinghus [5], Rudin [4, Ch.] of Lndu [6]. Ook bij het vk Verzmelingenleer en Logic zl op deze zken worden teruggekomen, zie de betreffende syllbus..2 De opbouw vn de getllen, vn welke soort dn ook, begint met de verzmeling vn ntuurlijke getllen N := {, 2,...}. Door toevoeging vn,, 2,... n N ontstt de verzmeling Z vn de gehele getllen. De breuken p q (p Z, q N) vormen de verzmeling Q vn de rtionle getllen. Twee breuken p p q en q worden ls dezelfde elementen vn Q beschouwd ls pq = p q. Het is mogelijk om N te krkteriseren door een klein ntl xiom s, zie syll. Logic en Verzmelingen. De constructie vn Z uit N en vn Q uit Z

4 4 HOOFDSTUK kn op een knonieke mnier gebeuren, d.w.z. op een heel frie geformliseerde mnier zo dt de ogenschijnlijk rijkere structuur vn het nieuw gevormde object (Z resp. Q) utomtisch uit de structuur vn het oorspronkelijke object (N resp. Z) volgt. Deze knonieke constructies zullen bij het vk Algebr behndeld worden, ook in lgemenere situties. We nemen nu n dt we precies weten wt we met Q bedoelen. Lten we de belngrijkste structuren isoleren die in Q besloten liggen: de structuur vn een lichm en de structuur vn een geordende verzmeling. De structuur vn een lichm houdt in dt er een optellingsopertie is met beplde eigenschppen en een vermenigvuldigingsopertie met beplde eigenschppen en dt de twee operties zich netjes (comptibel) ten opzichte vn elkr gedrgen. Wt de optelling betreft is er bij elke x, y Q een element x+y in Q (de som), is er een element in Q (het nul-element), en is er bij elk element x Q een element x in Q (de tegengestelde) zo dt n de volgende eigenschppen voldn is: x + y = y + x voor lle x, y Q (commuttiviteit), (x + y) + z = x + (y + z) voor lle x, y, z Q (ssocitiviteit), + x = x voor lle x Q, x + ( x) = voor lle x Q. In het vervolg schrijven we x + ( y) korter ls x y. Wt de vermenigvuldiging betreft is er bij elke x, y Q een element xy in Q (het product), is er een element in Q met (het eenheidselement), en is er bij elk element x Q met x een element x in Q (de inverse) zo dt n de volgende eigenschppen voldn is: xy = yx voor lle x, y Q (commuttiviteit), (xy)z = x(yz) voor lle x, y, z Q (ssocitiviteit), x = x voor lle x Q, xx = voor lle x Q met x. In het vervolg schrijven we xy ook ls x/y of x y. De comptibiliteit tussen optelling en vermenigvuldiging wordt gegeven door: x(y + z) = xy + xz voor lle x, y, z Q (distributiviteit). Algemener noemen we een verzmeling F een lichm ls er een optellings- en vermenigvuldigingsopertie in F gegeven zijn zo dt lle bovenstnde eigenschppen gelden met Q vervngen door F. Structuren zols lichmen (en ringen en groepen) zullen bij het vk Algebr nder behndeld worden..3 Opgve Lt, b, c Q. Bewijs de volgende uitsprken. ) Als + x = x voor lle x Q dn = (dus het nulelement in Q is uniek). b) Als x = x voor lle x Q dn = (dus het eenheidselement in Q is uniek). c) + b = + c = b = c. d) + b = = b =. e) + b = = b =. f) ( )( b) = b.

5 DE REËLE GETALLEN 5.4 Zij F een lichm. We noemen twee eenvoudige consequenties vn de lichmsxiom s. Lt, b F. () =. Immers, + = ( + ) =, dus =. (b) ( )b = (b). Immers, ( )b + b = ( + )b = b =..5 Q heeft nst de structuur vn een lichm ook de structuur vn een totl geordende of lineir geordende verzmeling, d.w.z., er is op Q een reltie < gedefinieerd die voldoet n: (i) Voor elke x, y Q geldt; hetzij x < y, hetzij x = y, hetzij y < x (lineriteit); (ii) Als x, y, z Q en ls x < y en y < z, dn x < z (trnsitiviteit). Voor het gemk zullen we zondermeer vn geordende verzmeling spreken ls n (i) en (ii) voldn is. In het vk Verzmelingenleer zullen echter vrinten vn bovenstnde definitie beschouwd worden, wrbij (i) verzwkt wordt. Dn zl de terminologie veel nuwer luisteren. De lichmsstructuur en de ordeningsstructuur vn Q zijn comptibel in de volgende zin: (i) Als x, y, z Q en ls x < y, dn x + z < y + z; (ii) Als x, y Q en ls x > en y >, dn xy >. Een verzmeling F die de structuur heeft vn een lichm en vn een geordende verzmeling zo dt de ltst genoemde twee eigenschppen (i), (ii) gelden (met Q vervngen door F) heet een geordend lichm..6 Zij F een lichm. Als F en n Z dn definiëren we het element n vn F ls volgt: :=, (n + ) := n + (n N), ( n) := (n ) (n N), :=. In het bijzonder kunnen we spreken vn de elementen n (n Z). Zij F een geordend lichm. We leiden een pr eenvoudige eigenschppen f. Zij F. () Als < dn >. Immers, = + ( ) < + ( ) =. (b) Als dn 2 >. Immers, ls > dn 2 = >, terwijl ls < dn 2 = ( ) ( ) > omdt >. (c) Als n N dn n >. Het bewijs gt met volledige inductie nr n. Voor n = hebben we = 2 >. De inductiestp gt met (n + ) = n +, wt > is ls n >. Als gevolg vn (c) zien we dt de fbeelding n n : Z F injectief is. Drom kunnen we voor een gegeven geordend lichm F de verzmeling Z opvtten ls een deelverzmeling vn F. Bovendien kloppen de ordening, optelling, vermenigvuldiging en de elementen en op Z met die op F. Algemener kunnen we Q opvtten ls deelverzmeling vn F zo dt lichmsstructuur en ordeningsstructuur vn Q en vn F met elkr kloppen. Immers, ls p q Q (p Z, q N) dn kunnen we p en q ls elementen vn F opvtten en p q = pq is dn ook een goed gedefinieerd element vn het lichm F. Bovendien geldt dt p q = p in Q q desd p q = p in F (g n). Het is nu een routinezk om n te gn dt lichmsstructuur q en ordeningsstructuur vn Q en vn F met elkr kloppen.

6 6 HOOFDSTUK.7 Zij nu X een geordende verzmeling en zij Y X. We noemen x X een bovengrens vn Y ls y x voor lle y Y. We noemen de verzmeling Y nr boven begrensd ls er een bovengrens vn Y bestt. We noemen x X een supremum vn Y ls x een bovengrens is vn Y en ls elke z X met z < x geen bovengrens is vn Y. Opgve Zij X een geordende verzmeling, zij Y X, en lt x een supremum zijn vn Y. Bewijs dt x uniek is ls supremum vn Y. Bewijs ook dt voor iedere bovengrens z vn Y geldt dt x z. Gezien bovenstnde Opgve mogen we een supremum vn Y ook de kleinste bovengrens vn Y noemen. Het supremum vn Y wordt genoteerd met sup Y. Anloog kunnen we het begrip ondergrens vn Y definiëren. Vervolgens kunnen we het begrip infimum of grootste ondergrens vn Y definiëren, wt genoteerd wordt met inf Y. Definitie Een geordende verzmeling X heeft de eigenschp vn de kleinste bovengrens of, korter, de sup-eigenschp ls elke niet-lege nr boven begrensde deelverzmeling Y X een kleinste bovengrens heeft..8 Axiom De verzmeling R vn de reële getllen is een geordend lichm dt n de sup-eigenschp voldoet. We noemen twee geordende lichmen F en F 2 isomorf ls er een bijectieve fbeelding φ: F F 2 bestt zo dt voor lle x, y F geldt dt φ(x + y) = φ(x) + φ(y), φ(xy) = φ(x) φ(y), en (x < y) (φ(x) < φ(y)). Zo n fbeelding heet een isomorfisme. Stelling Als R en R 2 verzmelingen zijn die beide n het Axiom vn de reële getllen voldoen dn zijn R en R 2 ls geordende lichmen isomorf d.m.v. een uniek isomorfisme. We zullen deze belngrijke stelling hier niet bewijzen, mr verwijzen drtoe nr Ebbinghus [5], zie ook syll. Logic en Verzmelingen..2 Een model voor de reële getllen We zullen nu een verzmeling construeren die n het Axiom.8 vn de reële getllen voldoet. Een reëel getl zl gedefinieerd worden ls een z.g. snede in Q. Het concrete idee bij een snede is dt je de verzmeling Q op een beplde plts door midden snijdt. De plts wr je snijdt zou je snede kunnen noemen. Die plts kn juist bij een element vn Q liggen, bijv. bij het getl 2. Mr de snede zou ook bij een niet-rtionl getl kunnen liggen, bijv. bij 2 (zie syll. Anlyse A, (3.) voor het niet bestn vn 2 binnen Q). Mr 2 is juist een getl dt we nog niet kennen en dt in het te construeren model zijn plts moet vinden. We moeten dus een mnier vinden om een snede bij 2 geheel in termen vn Q te krkteriseren. Drtoe bekijken we de deelverzmeling vn Q die links vn de plts ligt wr we gesneden hebben, en we noemen deze deelverzmeling de snede. In het eerste voorbeeld wordt deze deelverzmeling α := {r Q r < 2 } en in het tweede voorbeeld β := {r Q r < of r 2 < 2}. In het eerste voorbeeld is 2 de kleinste bovengrens in Q vn α. In het tweede voorbeeld heeft β echter geen kleinste bovengrens in Q. Het idee is nu om een model voor R te construeren in de vorm vn een collectie vn deelverzmelingen vn Q, de z.g. sneden, die vn het type α of het type β kunnen zijn. Met de sneden vn het type α krijgen we Q terug, met de sneden vn het type β verkrijgen we elementen vn R die niet in Q liggen. Nu zullen we dit model op een meer formele mnier construeren.

7 DE REËLE GETALLEN 7.9 Definitie Een deelverzmeling α vn Q heet snede ls. α, α Q; 2. p α en q < p = q α; 3. p α = r α r > p. Uit 2. volgt 4. p α en q / α = p < q; 5. r / α en r < s = s / α. Definieer de verzmeling R nu ls de collectie vn lle sneden. Dn is R dus een deelverzmeling vn de collectie vn lle deelverzmelingen vn Q. Bij elk rtionl getl p Q definiëren we een snede Dit definieert een fbeelding i: Q R. i(p) := {r Q r < p}. Opgve Bewijs dt i(p) (p Q) inderdd een snede is. Propositie De fbeelding i is injectief, mr niet surjectief. Bewijs We bewijzen injectiviteit en verwijzen nr de volgende opgve voor de surjectiviteit. Als p, q Q en p q, dn is òf p < q òf p > q. Stel p < q, dn p < p+q 2 < q, dus p+q / i(p) en p+q i(q). Dus i(p) i(q) Opgve ) Bewijs dt de verzmeling β := {r Q r < of r 2 < 2} een snede is. Anwijzing Zij p Q, p >, p 2 < 2. Neem q := p + 2 p2 p + 2. Dn q > p en q2 < 2. b) Bewijs dt Q\β = {r Q r > en r 2 > 2}. c) Bewijs dt β geen kleinste bovengrens in Q heeft. d) Lt p Q. Bewijs dt p de kleinste bovengrens vn i(p) in Q is. e) Concludeer dt de snede β niet vn de vorm i(p) (p Q) kn zijn. Dus de fbeelding i is niet surjectief.. In het vervolg zullen we Q en i(q) met elkr identificeren. We gn nu een ordening, optelling en vermenigvuldiging op R definiëren, en wel zo dt deze, beperkt tot Q, de reeds bekende ordening, optelling en vermenigvuldiging op Q teruggeven. Dn moet er ngetoond worden dt R n de sup-eigenschp voldoet en dt R een geordend lichm is. We beginnen met de ordening <. Definitie Als α, β R definieer dn dt α < β desd α β. Stelling De reltie < definieert een ordening op R. Bewijs Stel α, β R, α β. We moeten ntonen dt ofwel α < β ofwel β < α. Veronderstel dt niet α < β. Omdt ook α β, zl α dn geen deelverzmeling vn β zijn. Dn bestt er een p α met p / β. Voor elke q β geldt dn q < p (wegens.9, no.4) en dus (wegens no.2) q α. Dus β α en dus β < α.

8 8 HOOFDSTUK Voor p, q Q verifieert men onmiddellijk dt p < q desd i(p) < i(q)..2 Stelling De geordende verzmeling R heeft de sup-eigenschp. Bewijs Zij A R, A, β een bovengrens vn A. Definieer γ := α A α. We zullen ntonen dt (i) γ R (dus γ is een snede) en (ii) γ = sup A. (i) We moeten no., 2 en 3 uit Definitie.9 ngn. Eerst no.. γ omdt elke α A niet leeg is. γ Q omdt γ = α A α β (β is bovengrens). G zelf no.2 en 3 n. (ii) γ is een bovengrens vn A wnt α γ voor lle α A. Lt δ < γ. Dn s γ met s / δ. Dr s γ, is s α voor zekere α A. Dus niet α δ. M..w., ls δ < γ dn is δ geen bovengrens vn A. Dus γ is de kleinste bovengrens. Vervolgens kunnen optelling en vermenigvuldiging in R gedefinieerd worden..3 Definitie Als α, β R definieer dn α + β := {r + s r α, s β}, α := {p Q r Q zo dt r > en p r / α}. Dn kn worden bewezen dt α + β en α sneden zijn..4 Definitie Definieer voor α, β > i() in R het element αβ ls de verzmeling vn lle p Q zo dt p rs voor zekere r α, s β met r >, s >. Dn kn worden bewezen dt αβ een snede is. Als α = i() of β = i() dn definiëren we αβ := i() Definieer tenslotte: ( α)( β) αβ := (( α)β) (α ( β)) ls α < i(), β < i(), ls α < i(), β > i(), ls α > i(), β < i(). Er kn worden bewezen dt R t.o.v. de ldus gedefinieerde operties een geordend lichm is. Ook blijkt dt de operties op R beperkt tot Q de reeds bekende operties op Q geven. Zie Rudin, Ch., Appendix voor de detils..5 Opgve Als α, β R en α < β dn bestt er een q Q zo dt α < q < β. (Deze uitsprk is een mnier om uit te drukken dt Q dicht ligt in R, zie het vk Topologie A.).3 Gevolgen vn de sup-eigenschp vn R In het vervolg vtten we R op ls gekrkteriseerd door Axiom.8. Alle verder te formuleren stellingen over R dienen bewezen te worden door direct of indirect terug te grijpen op dit Axiom. Veel over R werd l bewezen in syll. Anlyse A. Dit hoeven we niet lleml meer over te doen, mr voor elke dr geformuleerde uitsprk zul je wel moeten ngn of het bewijs ervn echt lleen gebruik mkte vn Axiom.8 en niet vn ndere kennis, bijvoorbeeld vn een meetkundig pltje.

9 DE REËLE GETALLEN 9.6 Omdt R een geordend lichm is, weten we l dt Q op ntuurlijke mnier in R ingebed ligt (zie.6). Verder volgt uit het xiom vn de kleinste bovengrens onmiddellijk de stelling vn de grootste ondergrens (cf. syll. Anlyse A, (3.6)): Iedere niet-lege, nr beneden begrensde deelverzmeling Y vn R heeft een grootste ondergrens. Een belngrijk gevolg is de reeds in syll. Anlyse A, (3.4) geformuleerde stelling vn de intervlschkeling, ook wel stelling vn Cntor genoemd: Stelling Zij gegeven een rij gesloten intervllen [ n, b n ] (n =, 2,...) in R zo dt [ n+, b n+ ] [ n, b n ]. Dn is n= [ n, b n ]. Bewijs Uit de inclusies vn de intervllen volgt dt n m b m b n indien n < m. Dus n b m voor lle n, m N. Hieruit volgt dt α := sup{ n n N} bestt en α b m voor lle m N. Dit levert weer dt β := inf{b m m N} bestt en α β. We zien dt n α β b n voor lle n N. Dus [α, β] n= [ n, b n ]..7 Stelling (Archimedische eigenschp) Als x, y R en x > dn bestt er een n N zo dt nx > y. Bewijs Stel dt er niet zo n n N bestt. Dn is y een bovengrens vn de niet-lege verzmeling V := {nx n N}, dus z := sup V bestt. Dn z x < z, dus z x is geen bovengrens vn V, dus er bestt n N zo dt z x < nx. Dus z < (n + )x, dus z is geen bovengrens vn V. Dit is een tegensprk. Opgve Bewijs het volgende: ) Als < ε R dn bestt er n N zo dt n < ε. b) lim n n =. c) Zij x, y R met x, y >. Veronderstel dt x y/2 n voor lle n N. Bewijs dt x =. Opmerking In onderdeel b) vn de Opgve nemen we n dt het begrip limiet vn een rij reeds gedefinieerd is, zie syll. Anlyse A, Definitie 6.2. De rij ( n ) met n := n is een vn de eenvoudigste rijen wrvn men convergentie zou willen bewijzen door een limiet te geven. Dit werd reeds gedn in syll. Anlyse A, Voorbeeld 6.3. Als je het dr gegeven bewijs echter nkijkt dn zie je dt de Archimedische eigenschp vn R stilzwijgend gebruikt is. Evenzo werd de Archimedische eigenschp in de vorm vn onderdeel c) vn de Opgve stilzwijgend gebruikt in syll. Anlyse A, (3.5) n het eind vn het bewijs dt de Stelling vn de kleinste bovengrens volgt uit de Stelling vn de intervlschkeling. Tenslotte bewijzen we de uitsprk vn Opgve.5 nogmls, mr nu uitgnde vn Axiom.8. Propositie Als x, y R en x < y dn bestt er een z Q zo dt x < z < y. Bewijs Zonder verlies vn lgemeenheid mogen we nnemen dt x > (wrom?). Uit onderdeel ) vn de Opgve volgt er dt q < 2 (y x) voor zekere q N. Uit de Stelling volgt er dt nq > y voor zekere n N. Dus er is een minimle p N zo dt pq > y. Dus x < (p 2)q < y.

10 HOOFDSTUK Verdere vrgstukken V. Gegeven twee niet-lege, nr boven begrensde, deelverzmelingen A en B vn R en een getl λ >. Lt C := { + b A, b B} en D := {λ A}. Bewijs het volgende: ) C is nr boven begrensd en niet-leeg. b) sup C = sup A + sup B. c) D is nr boven begrensd en niet-leeg. d) sup D = λ sup A. e) Wt is het nlogon vn d) ls λ <?

11 2 Rijen vn reële getllen 2. Enige eigenschppen vn rijen; de stelling vn Cuchy 2. Definitie Zij V een verzmeling (bijv. een deelverzmeling vn R). Een rij in V is een fbeelding vn N nr V. Als we spreken over de rij ( n ) in V, dn bedoelen we drmee dt er n iedere n N een element n V is toegevoegd. We kunnen zo n rij ( n ) in V wt meer uitschrijven ls, 2,.... [In syll. Anlyse A, Definitie 6. werden lleen rijen in R of in C ingevoerd.] We herinneren n twee belngrijke stellingen over rijen die volgen uit de sup-eigenschp vn R. 2.2 Stelling (syll. Anlyse A, Stelling 6.) Elke monotoon zwk stijgende nr boven begrensde rij is convergent. 2.3 Definitie (cf. syll. Anlyse A, Definitie 6.6) Een reëel getl is een limietpunt vn de rij ( n ) in R ls de rij ( n ) een deelrij ( ni ) heeft die convergeert met limiet. Stelling (Bolzno-Weierstrss) Elke begrensde rij in R heeft een convergente deelrij (heeft een limietpunt). Het bewijs in syll. Anlyse A, Stelling 6.7 gebruikt de stelling vn de intervlschkeling, wrvn we in.6 gezien hebben dt hij uit de sup-eigenschp vn R volgt. 2.4 Opgve De volgende Propositie geeft een ndere krkterisering vn limietpunt vn een reële rij, equivlent n de oorspronkelijke definitie in syll. Anlyse A, Definitie 6.6. Bewijs deze Propositie. Propositie Zij ( n ) een rij in R en zij R. Dn is limietpunt vn de rij ( n ) desd voor elke ε > de verzmeling {n N n < ε} oneindig is. 2.5 De volgende ongelijkheden in verbnd met limieten vn convergente rijen zullen vk vn ps komen. Propositie Zij ( n ) een convergente rij in R met limiet. Zij b R. (i) Als n b voor elke n N (of voor elke voldoende grote n N) dn b. (ii) Als n b voor elke n N (of voor elke voldoende grote n N) dn b. Bewijs Uitsprk (ii) volgt uit (i) toegepst op de rij ( n ). We bewijzen (i). Drtoe veronderstellen we dt > b en we zullen bewijzen dt n > b voor elke voldoende grote n. Omdt lim n n =, is er een N N zo dt n < b ls n N. Dus n > ( b) = b ls n N. 2.6 Opgve Mogen we b vervngen door < b op een vn de twee pltsen of op beide pltsen wr b voorkomt in Propositie 2.5()?

12 2 HOOFDSTUK Gevolg Lten ( n ) en (b n ) convergente rijen in R zijn met limieten resp. b. Als n b n voor elke n N (of voor elke voldoende grote n N) dn b. Bewijs Ps Propositie 2.5() toe op de rij ( n b n ). 2.8 De nu te behndelen stelling vn Cuchy is nog niet in syll. Anlyse A n de orde geweest. De bedoeling vn deze stelling is om vn een rij ( n ) in R te kunnen zeggen of deze l of niet convergeert door lleen mr een uitsprk te doen over de n, zonder de mogelijke limiet vn de rij er in te betrekken. Stel bijvoorbeeld dt := lim n n bestt. Zij ε > willekeurig. Dn is er, volgens de definitie vn limiet, een ntuurlijk getl N zo dt ls n > N dn n < ε. Dus ls n, m > N dn n m n + m < ε + ε = 2ε. Begin nu met ε/2 i.p.v. met ε. We hebben dus bewezen dt, ls de rij ( n ) convergeert, het volgende geldt: ε > N N n, m N [ n, m > N = n m < ε ]. (2.) Definitie Een rij ( n ) in R heet fundmentlrij of Cuchy-rij ls conditie (2.) geldt. Stelling (Cuchy) Een rij in R is convergent desd de rij een fundmentlrij is. Bewijs We hebben l bewezen dt elke convergente rij een fundmentlrij is. Neem omgekeerd n dt ( n ) een fundmentlrij is. We tonen eerst n dt de rij begrensd is. Neem ε := in (2.). Er is dn een N N zo dt n m < ls n, m > N. Neem m := N +. Dn geldt voor lle n > N dt n n m + m < + m. Dus voor lle n N geldt dt n mx{, 2,..., N, + N+ }. De rij ( n ) is dus begrensd. Wegens de Stelling vn Bolzno-Weierstrss heeft de rij ( n ) een convergente deelrij ( nk ) k= met zekere limiet R. We lten nu zien dt lim n n =. Zij ε > willekeurig. Dn is er een N N zo dt n, m > N = n m < ε/2, en er is een K N zo dt k > K = nk < ε/2. Kies nu k N zo dt k > K en n k > N. Dn volgt Dus lim n n =. n > N = n n nk + nk < 2 ε + 2 ε = ε. 2.9 We kunnen de stelling vn Cuchy uitbreiden tot het gevl vn een rij in C. De definitie vn fundmentlrij voor een rij ( n ) in C is letterlijk dezelfde ls die in Definitie 2.8. Nu geldt:

13 RIJEN VAN REËLE GETALLEN 3 Propositie Zij ( n ) een rij in C en zij l C. () De rij ( n ) convergeert met limiet l desd de rij (Re n ) convergeert met limiet Re l en de rij (Im n ) convergeert met limiet Im l. (b) De rij ( n ) is een fundmentlrij desd de rijen (Re n ) en (Im n ) fundmentlrijen zijn. (c) (stelling vn Cuchy voor rijen in C) De rij ( n ) convergeert desd deze rij een fundmentlrij is. Bewijs Onderdeel () volgt uit de ongelijkheden mx{ Rel Re n, Im l Im n } l n Re l Re n + Iml Im n in combintie met de definitie vn limiet vn een rij (g n). Onderdeel (b) volgt uit de ongelijkheden mx{ Re m Re n, Im m Im n } m n Re m Re n + Im m Im n in combintie met de definitie vn fundmentlrij (g n). Onderdeel (c) volgt uit de onderdelen () en (b) smen met de stelling vn Cuchy voor rijen in R (g n). 2.2 Uitbreiding vn R met ± 2. Definitie Onder de uitgebreide verzmeling vn reële getllen verstn we de verzmeling R uitgebreid met twee elementen ngeduid met en. We zullen deze verzmeling voorlopig nduiden met R, dus R := { } R { }, wrbij de vereniging disjunct is. We mken R tot een geordende verzmeling door voor de deelverzmeling R de bekende ordening n te houden en verder te definiëren dt < x < voor lle x R. 2. Opgve Ps de begrippen uit.7 toe op het gevl X := R. Merk op dt een bovengrens is vn elke deelverzmeling vn R en dt een ondergrens is vn elke deelverzmeling vn R. Bewijs nu het volgende. Propositie Zij V R. Dn heeft V een supremum en een infimum in R. Wt betreft het supremum kunnen we zes gevllen onderscheiden: ) V en V R. ) V heeft een bovengrens in R. Dn is het supremum vn V in R gelijk n het supremum vn V in R en dit supremum is bevt in R. 2) V heeft geen bovengrens in R. Dn is het supremum vn V in R gelijk n. b) V en V R. 3) V. Dn is het supremum vn V in R gelijk n. 4) / V, V en V \{ } is niet-leeg. Dn is het supremum vn V in R gelijk n het supremum vn V \{ } in R, wt vlt onder gevl ) of 2). 5) V = { }. Dn is het supremum vn V in R gelijk n. c) V =. Dn is het supremum vn V in R gelijk n. Wt betreft het infimum kunnen nloge gevllen onderscheiden worden. Er geldt: inf V sup V desd V niet leeg is.

14 4 HOOFDSTUK Zij ( n ) een rij vn reële getllen. We gn nu de eerdere definities vn convergentie (in R) en vn limietpunt (in R) voor zo n rij uitbreiden zo dt een limiet of limietpunt binnen R wordt toegelten. Definitie Zij ( n ) een rij in R. We zeggen dt de rij ( n ) convergeert in R wnneer ofwel de rij convergeert in R of geldt dt lim n n = of lim n n = (cf. syll. Anlyse A, Definitie 6.3). In l die gevllen kunnen we dus schrijven dt lim n n = voor zekere unieke R. 2.3 Definitie Zij ( n ) een rij in R en zij R. We zeggen dt een limietpunt in R is vn de rij ( n ) ls de rij ( n ) een deelrij ( ni ) heeft die in R convergeert met limiet. Als we voor een rij in R zondermeer spreken vn convergentie of vn limietpunt, dus zonder de toevoeging in R, dn zullen we ltijd de oude definitie binnen R bedoelen, zols gegeven in syll. Anlyse A, Definitie 6.2 en in Definitie Opgve Zij gegeven een rij in R. Bewijs het volgende. ) De rij is nr boven begrensd in R desd geen limietpunt in R is vn de rij. b) (uitbreiding vn de stelling vn Bolzno-Weierstrss) De rij heeft minstens één limietpunt in R. c) De rij is convergent in R desd de rij precies één limietpunt in R heeft. 2.3 Lim sup en lim inf vn een rij 2.5 Definitie Zij ( n ) een rij in R. Zij E de verzmeling vn limietpunten in R vn de rij. Wegens Opgve 2.4 b) is de verzmeling E niet leeg. De lim sup of limes superior vn de rij ( n ) is gedefinieerd ls het supremum in R vn E. Nottie: lim sup n n. De lim inf of limes inferior vn de rij ( n ) is gedefinieerd ls het infimum in R vn E. Nottie: lim inf n n. Merk op dt op grond vn het voorgnde lim sup n n en lim inf n n uniek bestn ls elementen vn R. 2.6 Voorbeeld Om ons een concreet beeld te vormen vn de begrippen lim sup en lim inf kunnen we eerst eens het gevl beschouwen dt de reële rij ( n ) slechts eindig veel limietpunten in R heeft. Dn geldt uiterrd dt lim sup n n het grootste limietpunt in R vn de rij is en lim inf n n het kleinste limietpunt in R. Bijvoorbeeld: ) n := ( ) n. Dn zijn en de limietpunten in R vn de rij ( n ), dus lim sup n n = en lim inf n n =. b) n := exp(( ) n n). Dn zijn en de limietpunten in R vn de rij ( n ), dus lim sup n n = en lim inf n n =. We zullen zoddelijk zien dt ook in het gevl vn oneindig veel limietpunten nog geldt dt de lim sup het grootste limietpunt en de lim inf het kleinste limietpunt is. De Ltijnse termen limes superior (= grootste limietpunt) en limes inferior (= kleinste limietpunt) zijn dus zeer dequt.

15 RIJEN VAN REËLE GETALLEN Opgve Zij ( n ) een rij in R. Bewijs dt de rij convergent is in R desd geldt dt lim inf n n = lim sup n n. 2.8 Stelling Zij ( n ) een rij in R. Zij E de verzmeling vn limietpunten in R vn de rij. Dn bevt E een mximum element en een minimum element. Anders gezegd: lim sup n = sup E = mxe = het grootste limietpunt in R vn ( n ), n lim inf n n = inf E = min E = het kleinste limietpunt in R vn ( n ). Bewijs Veronderstel eerst dt sup E =. Dn is een limietpunt in R vn ( n ). Wnt stel dt dit niet het gevl is. Dn volgt uit Opgve 2.4 dt de rij ( n ) nr boven begrensd is, dus er is een M R zo dt n M voor lle n N. Dus voor iedere in R convergente deelrij ( ni ) vn ( n ) geldt dt lim i ni M (dit volgt uit Propositie 2.5(i) ls de limiet eindig is en is evident ls de limiet gelijk is n ). Dus M is een bovengrens vn E, dus sup E M. Dit is een tegensprk. Veronderstel nu dt supe = b R. We zullen een deelrij ( ni ) vn ( n ) produceren zo dt ni b < 2/i. Deze deelrij zl duidelijk nr b convergeren, wrdoor b limietpunt vn ( n ) is. Zij i N en veronderstel dt we reeds getllen n < n 2 < < n i in N gevonden hebben wrvoor nj b < 2/j (j < i). We gn een geschikte n i opzoeken. Omdt supe = b R, zl er een reële c E zijn met c b < /i. Dn is er een deelrij ( mj ) vn ( n ) die nr c convergeert, dus er is een j zo dt m j > n i en mj c < /i. Dus mj b < 2/i. Neem nu n i := m j. Neem tenslotte sup E =. Dn is E = { } (E is niet leeg), dus is een limietpunt vn ( n ). Het bewijs betreffende inf E gt nloog. 2.9 Opgve ( n ) en (b n ) zijn rijen in R. Geldt: ) lim sup n ( n + b n ) = lim sup n n + lim sup n b n? b) lim sup n ( n b n ) = ( lim sup n n ) ( lim supn b n )? 2.2 Opgve Bewijs: Als ( n ) en (b n ) rijen zijn in R en (b n ) convergeert met lim n b n >, dn geldt lim inf ( n b n ) = ( lim inf )( n lim b ) n, n n n lim sup( n b n ) = ( ) ( lim sup n lim b ) n, n n n [Hierbij volgen we de conventie dt b = en b ( ) = ls b (, ).] Hoe moeten deze twee formules luiden ls lim n b n <? 2.2 We gn nog een ndere krkterisering geven vn lim sup en lim inf die hopelijk zl bijdrgen tot een goed intuïtief gevoel voor deze begrippen. We beginnen met een vrint vn de begrippen bovengrens en benedengrens. Definitie Zij ( n ) een rij in R. Een element x R heet uiteindelijke bovengrens in R vn de rij ( n ) ls er N N bestt zo dt x n voor lle n N, i.e., ls x n geldt met hoogstens eindig veel uitzonderingen, i.e., ls x n voor n voldoende groot, i.e., ls x voor zekere N een bovengrens is vn de rij N, N+, N+2,.... Een element x R heet uiteindelijke ondergrens in R vn de rij ( n ) ls er N N bestt zo dt x n voor lle n N.

16 6 HOOFDSTUK 2 Neem bijvoorbeeld n := ( ) n /n. De rij ( n ) heeft ls enige limietpunt in R. Zij x R. Dn is x een uiteindelijke bovengrens vn ( n ) desd x >, en x is een uiteindelijke ondergrens vn ( n ) desd x < Propositie Zij ( n ) een rij in R met B := lim sup n n en A := lim inf n n, wrbij A, B R. Zij x R. Dn geldt: () Als x > B dn is x een uiteindelijke bovengrens in R vn ( n ). (b) Als x < B dn is x geen uiteindelijke bovengrens in R vn ( n ). (c) Als x < A dn is x een uiteindelijke ondergrens in R vn ( n ). (d) Als x > A dn is x geen uiteindelijke ondergrens in R vn ( n ). Bewijs We bewijzen eerst (). Als () niet zou gelden dn is er een x > B die geen uiteindelijke bovengrens is vn de rij ( n ), dus dn zou n > x voor oneindig veel wrden vn n. In het bijzonder is dn x R en er is een deelrij ( ni ) vn ( n ) zo dt ni > x voor lle i N. De rij ( ni ) zl dn op zijn beurt een in R convergente deelrij hebben (cf. Opgve 2.4 b)) en de limiet vn deze rij in R is x (wrom?). Dus ( n ) heeft een limietpunt x in R, in tegensprk met het feit dt B het grootste limietpunt in R is. Voor het bewijs vn (b) gebruiken we dt B een limietpunt is vn ( n ) (cf. Stelling 2.8). Dus ( n ) heeft een deelrij ( ni ) die in R nr B convergeert, dus bij iedere x < B is er een N N zo dt ni > x ls i > N (wrom?). Dus ls x < B dn geldt n > x voor oneindig veel wrden vn n en kn x geen uiteindelijke bovengrens vn ( n ) zijn. De bewijzen vn (c) en (d) gn nloog Opmerking Er is hoogstens één B R die n eigenschppen () en (b) vn Propositie 2.22 voldoet, dus deze eigenschppen kunnen ook worden gebruikt ls krkterisering vn de lim sup. In ndere woorden: de lim sup vn een rij in R is het infimum in R vn de uiteindelijke bovengrenzen vn deze rij. Evenzo kunnen eigenschppen (c) en (d) vn Propositie 2.22 worden gebruikt ter krkterisering vn de lim inf: de lim inf vn een rij in R is het supremum in R vn de uiteindelijke ondergrenzen vn deze rij. De lim sup zelf kn l of niet een uiteindelijke bovengrens zijn vn ( n ), zols eenvoudige voorbeelden lten zien (g n). Het is dus niet lgemeen juist om de lim sup de kleinste uiteindelijke bovengrens vn de rij te noemen Opmerking Zij nu ( n ) een rij in R met lim sup gelijk B en lim inf gelijk A. Lt x, y R met x < y. We zeggen dt de rij ( n ) uiteindelijk bevt is in het intervl [x, y] ls er een N N bestt zo dt n [x, y] voor lle n N. Nu hebben we de frie krkterisering vn het intervl [A, B] ls de doorsnede vn lle intervllen [x, y] wrin de rij ( n ) uiteindelijk bevt is Opmerking Zij ( n ) een rij in R. Dn geldt: lim sup n = lim n n lim inf n n = lim n ( sup ( m n m ), (2.2) ) inf m. (2.3) m n Hieronder lichten we (2.2) wt toe. Iets nloogs zl gelden in verbnd met (2.3).

17 RIJEN VAN REËLE GETALLEN 7 We vtten b n := sup m n m op ls het supremum in R vn de verzmeling vn lle (mogelijk herhld optredende) reële getllen m met m n. Dn is b n+ b n voor lle n N (wrom?), dus (b n ) is een monotoon zwk dlende rij in R. Er zijn nu drie mogelijkheden voor de rij (b n ): ) b n = voor lle n. Dn definiëren we de limiet in (2.2) door lim n :=. 2) Er is een N N zo dt b n R ls n N. 2) De monotoon zwk dlende rij b N, b N+,... in R is nr beneden begrensd. Dn bestt lim n b n in R wegens de monotone convergentie-stelling b) De monotoon zwk dlende rij b N, b N+,... in R is niet nr beneden begrensd. Dn geldt lim n b n = in R. We geven nu het bewijs vn (2.2) in het gevl dt B := lim sup n n R. Geef zelf het bewijs ls B = of B =. Er volgt uit Propositie 2.22() dt er bij iedere ε > een N N is zo dt b n B + ε ls n N. Er volgt uit Propositie 2.22(b) dt voor iedere ε > geldt dt b n > B ε. Er volgt uit de twee ongelijkheden voor b n dt lim n b n = B, juist wt we wilden bewijzen. Het is een curieus en gelukkig toevl dt de uitdrukking limsup n, die historisch gezien moet worden gelezen ls het grootste limietpunt vn de rij ( n ), ook kn worden gelezen ls lim(sup n ), zie formule (2.2). Verdere vrgstukken V2. Bepl de limietpunten in R en de lim sup en lim inf vn de rij ( n ) ls: ) n = n. b) 2n = n, 2n := n +. c) n = n. d) n = cos( 2 πn2 ). V2.2 Bepl lim sup n n en lim inf n n ls n = / sin( 2 nπ + n ). V2.3 Bepl lim sup n n en lim inf n n ls n = sin(n). V2.4 Zij ( n ) een rij in R en zij E de verzmeling vn limietpunten in R vn deze rij. ) Geef een voorbeeld vn een rij ( n ) zo dt E = {,, 2}. b) Geef een voorbeeld vn een rij ( n ) met E = {n n N} {}. c) Bestt er een rij ( n ) met E = {n n N}? V2.5 Zij de rij (r n ) een ftelling vn Q, d.w.z. dt n r n : N Q een bijectieve fbeelding is. Wt zijn de limietpunten in R en de lim sup en lim inf vn deze rij? V2.6 Zij x (, ). Wt zijn de limietpunten vn de rij ( n ) ls n = nx [nx]? Onderscheid de gevllen x = p/q met p, q N zonder gemeenschppelijke delers, en x irrtionl. V2.7 Bepl de limietpunten vn de rij ( n ) ls: ) n = sin n. b) n = 2 log n [ 2 log n ].

18 8 HOOFDSTUK 2 V2.8 Zij ( n ) een reële rij. Bewijs dt ( n ) een fundmentlrij is of weerleg het d.m.v. een tegenvoorbeeld in de twee volgende situties. ) Er is bovendien gegeven dt n n+ n voor lle n N. b) Er is bovendien gegeven dt voor zekere r (, ) geldt dt n n+ r n voor lle n N. V2.9 Zij r (, ) en zij f: R R een fbeelding zo dt f(x) f(y) r x y voor lle x, y R. Zij x R willekeurig. Definieer op recurrente wijze x n := f(x n ). Bewijs dt de rij (x n ) een fundmentlrij is en drom convergeert in R. [Dit is een onderdeel vn de belngrijke contrctiestelling die in het kder vn metrische ruimtes nder behndeld zl worden in het college Topologie A.] V2. Zij N {2, 3,...}. Zij voor iedere k N een n k {,,..., N } gegeven. Bewijs dt lim (n N + n 2 N n k N k ) (2.4) k bestt in R. Bewijs dt er omgekeerd bij elke x [, ) op recurrente wijze getllen n k {,,..., N } (k N) gedefinieerd kunnen worden door de regel n k := [x N k n N k n k N]. en dt x dn gelijk is n de limiet (2.4). Bewijs dt de zo verkregen rij (n k ) het getl N slechts eindig vk bevt. [In het gevl N = hebben we te mken met oneindig voortlopende decimlbreuken, vergelijk de opmerking hierover in syll. Anlyse A, (3.).]

19 3 Continuïteit 9 De eerste twee delen vn dit hoofdstuk (deelhoofdstukken 3. en 3.2) herhlen begrippen over continue functies en limieten vn functies uit syll. Anlyse A, zij het nu in een iets gegenerliseerde vorm. Deze twee delen zijn voornmelijk bedoeld om n te sln, niet voor systemtische behndeling. 3. Continue functies op willekeurige deelverzmelingen vn R Eerst geven we een, vergeleken met syll. Anlyse A, iets bijgestelde definitie vn de begrippen omgeving en functie. 3. Definitie Zij R. Een omgeving vn (in R) is een deelverzmeling V vn R zo dt ( ε, + ε) V voor zekere ε >. [In syll. Anlyse A, Definitie 8.7 werden slechts de intervllen ( ε, + ε) ls omgeving (ε-omgeving) vn ngeduid.] De verzmeling V := [, ) Q is bijvoorbeeld een omgeving vn. Algemener: zij 2 R, dn is deze verzmeling V een omgeving vn desd 2 < <. 3.2 Definitie Zij V een verzmeling. We noemen f een functie op V ls f een fbeelding vn V nr C is, dus f: x f(x): V C. Over het lgemeen nemen we dus n dt een functie complexwrdig is. Iedere reëelwrdige functie f: V R is utomtisch een complexwrdige functie omdt R C. [In syll. Anlyse A, Definitie 8. werd functie synoniem gesteld met fbeelding, dus kon, wnneer er over functie werd gesproken, niet stilzwijgend worden verondersteld dt de functie complexwrdig ws.] In de syll. Anlyse A werden voornmelijk functies beschouwd op intervllen, zols (, b), [, b], [, b), (, ), etc. Voor de functies f: V C beschouwd in deze syllbus zl V vk een deelverzmeling vn R zijn, mr lng niet ltijd een intervl. 3.3 In syll. Anlyse A, Definitie 9., Opmerking 2 werd gedefinieerd wnneer een functie f: V C continu is in een punt V, echter onder de veronderstelling dt de deelverzmeling V vn R een omgeving vn is. We herhlen deze definitie nu in een lgemenere situtie. Definitie Zij V een deelverzmeling vn R. Zij f: V C. Zij V. Dn heet de functie f continu in ls er voor elke ε > een δ > bestt zo dt voor lle x V geldt dt: x < δ = f(x) f() < ε. (3.) Het enige verschil met de oude definitie uit de syll. Anlyse A is dus dt de implictie (3.) niet meer moet gelden voor lle x (in R) mr slechts voor lle x V. We herschrijven de definitie met behulp vn logische quntoren. De functie f: V C heet continu in V ls: ε > δ > x V ( x < δ = f(x) f() < ε ). (3.2) 3.4 Opgve Bewijs dt de functie f: R R gegeven door f(x) := x 2 continu is in elk punt R door voor iedere R en voor iedere ε > een expliciete δ > te geven zo dt de implictie (3.) geldt voor lle x R.

20 2 HOOFDSTUK Opmerking Merk, uitgnde vn Definitie 3.3, het volgende op. () De functie f: [, b) C is continu in desd er bij elke ε > een δ > bestt zo dt voor lle x [, b) geldt: x < + δ = f(x) f() < ε. In syll. Anlyse A, Definities 9.3, 9. en 8.6, werd f in deze situtie rechtscontinu in genoemd. (b) De functie f: (b, ] C is continu in desd er bij elke ε > een δ > bestt zo dt voor lle x (b, ] geldt: δ < x = f(x) f() < ε. In syll. Anlyse A, Definities 9.3, 9. en 8.5, werd f in deze situtielinkscontinu in genoemd. (c) Lt lgemener V R en f: V C. We zullen de functie f rechtscontinu in noemen ls de functie g die de beperking is vn f tot V [, ), continu in is. Evenzo zullen we de functie f linkscontinu in noemen ls de functie g die de beperking is vn f tot V (, ], continu in is. 3.6 Het is voorl in bewijzen vk nuttig om de bewering dt een functie niet continu is in een zeker punt op een logisch equivlente mnier te herformuleren. Dit kn bijvoorbeeld ls volgt. Propositie Zij f: V C en V. Dn zijn de volgende twee uitsprken equivlent. () f is niet continu in. (b) Er bestn een ε > en een rij (x n ) in V zo dt lim n x n = terwijl f(x n ) f() ε voor lle n N. Bewijs We bewijzen de volgende serie implicties: () (c) (d) (e) (b) (c), wrbij de uitsprken (c), (d) en (e) hieronder gegeven zijn. (c) ε > δ > x V ( x < δ & f(x) f() ε ). (d) ε > δ {n n N} x V ( x < δ & f(x) f() ε ). (e) ε > n N x n V ( x n < n & f(x n ) f() ε ). Merk op dt (c) de ontkenning is vn (3.2). Dit lt zien dt () (c). De ndere implicties zijn trivil of volgen direct uit de definitie vn limiet vn een rij. Het is niet de bedoeling dt je deze Propositie uit je hoofd leert. In de prktijk moet je hr, voorl in de richting () (b), kunnen gebruiken door hr in een pr seconden f te leiden. 3.7 Definitie Zij V een deelverzmeling vn R. We noemen een element vn V een geïsoleerd punt vn V ls er een δ > bestt zo dt het intervl ( δ, +δ) geen ndere punten vn V bevt dn. Anders geformuleerd: is een geïsoleerd punt vn V ls er een omgeving A vn bestt zo dt A V = {}. 3.8 Opgve Zij V R en zij een geïsoleerd punt vn V. Bewijs dt elke functie f: V C continu is in. 3.9 Definitie Zij V R en f: V C. Dn heet de functie f continu op V ls voor lle V geldt dt f continu is in. We zeggen dn ook wel kortweg dt de functie f continu is. 3. Opgve Zij W V R, zij f: V C en zij de functie g: W C de beperking vn f tot W. Bewijs: Als f continu is op V dn is g continu op W.

21 CONTINUITEIT 2 3. Voorbeeld De functie f: x x 2 : Q R is continu op de verzmeling Q vn rtionle getllen. 3.2 Opgve Zij V := {n n N} {}. Zij f: V C. Bewijs dt f continu is op V desd lim n f(n ) = f(). 3.3 Opgve Zij f: Q (, ) R gedefinieerd door f(p/q) := q, wrbij p, q N zonder gemeenschppelijke delers. Bewijs dt f in geen enkel punt continu is. 3.4 Propositie Zij V R en zij f: V C. Dn zijn de volgende twee eigenschppen equivlent. () f is continu in. (b) Voor elke rij ( n ) in V met lim n n = geldt dt lim n f( n ) = f(). [Zie voor de implictie () (b) in een iets speciler gevl ook syll. Anlyse A, Stelling 9.2.] Bewijs Neem eerst n dt () geldt. We bewijzen (b). Zij ε >. Omdt f continu is in, bestt er een δ > zo dt f(x) f() < ε ls x V en x < δ. Omdt de rij ( n ) nr convergeert bestt er een N N zo dt n < δ ls n > N. Omdt de n bovendien in V liggen, volgt er dt f( n ) f() < ε ls n > N. Dus lim n f( n ) = f(). Neem nu n dt () niet geldt. We zullen (b) ontkennen. Omdt f niet continu is in bestn er wegens Propositie 3.6 een ε > en een rij (x n ) in V zo dt lim n x n = en f(x n ) f() ε voor lle n N. Dus er geldt niet dt lim n f(x n ) = f(). Dit ontkent (b). 3.2 Limieten vn functies 3.5 Zij V R en f: V C. In syll. Anlyse A, Definities 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.8, werd de definitie vn limiet vn de functie f gegeven in de volgende vijf gevllen. In de eerste drie gevllen is R. lim x f(x) in het gevl dt (, b) V voor zekere b > ; lim x f(x) in het gevl dt (b, ) V voor zekere b < ; lim x f(x) in het gevl dt (b, ) (, c) V voor zekere b < en c > ; lim x f(x) in het gevl dt (b, ) V voor zekere b R; lim x f(x) in het gevl dt (, b) V voor zekere b R. Kijk nog eens n wt in deze gevllen de definitie is dt de limiet bestt en eindig is. Voor reëelwrdige functies is in syll. Anlyse A, Definitie 8.6 ook gedefinieerd wt bedoeld wordt met een limiet gelijk of. Bij een limiet gelijk of zeggen we echter niet meer dt de limiet bestt. Als we zeggen dt de limiet vn een functie bestt dn bedoelen we dt de limiet bestt ls een eindig getl. 3.6 Soortgelijke uitsprken ls in Propositie 2.5 kunnen gedn worden voor limieten vn functies. Een voorbeeld is de volgende propositie. Propositie Zij (, b) V R, zij f: V R en neem n dt lim x f(x) = l met l R. Zij m R. () Als f(x) m voor lle x (, b) dn l m. (b) Als f(x) m voor lle x (, b) dn l m.

22 22 HOOFDSTUK 3 Bewijs Uitsprk (b) volgt uit () toegepst op de functie x f(x). We bewijzen (). Drtoe veronderstellen we dt l > m en we zullen bewijzen dt f(x) > m voor elke x > die voldoende dicht bij ligt. Uit de limiet-nnme voor f(x) volgt het bestn vn δ > zo dt f(x) l < l m ls < x < + δ. Dus f(x) > l (l m) = m ls < x < + δ. Met kleine npssingen kn deze Propositie herformuleerd en bewezen worden voor het gevl dt lim x f(x) of lim x f(x) of lim x f(x) of lim x f(x) bestt en gelijk is n l. [Het bewijs vn l deze vrinten zou ook kunnen worden teruggebrcht tot Propositie 2.5.] 3.7 In syll. Anlyse A, Definitie 9. ws continuïteit vn een functie f in om te beginnen gedefinieerd door te zeggen dt de limiet voor x vn f(x) gelijk is n f(). Deze definitie mkte gebruik vn het begrip limiet gnde nr vn een functie die gegeven is op een intervl rond, wruit het punt mogelijk is weggelten. We kunnen deze definitie vn limiet uitbreiden tot het gevl dt f op een willekeurige deelverzmeling vn R gedefinieerd is, en we kunnen vervolgens met dit uitgebreide limietbegrip continuïteit krkteriseren. Definitie Zij V R en R. Zij f: V C. Zij l C. Dn bedoelen we met de schrijfwijze lim f(x) = l (3.3) x dt er voor elke ε > een δ > bestt zo dt voor lle x V geldt dt: < x < δ = f(x) l < ε. (3.4) Het voornmste verschil vn deze definitie met die in syll. Anlyse A, Definitie 8.8 is dt de implictie (3.4) nu lleen hoeft te gelden voor lle x V. Merk ook op dt het er voor de definitie niet toe doet of het punt l of niet in V ligt. Als wel in V ligt, dn speelt de functiewrde f() geen enkele rol in de definitie en is het mogelijk dt l f(). 3.8 Propositie Zij V R en f: V C. Dn is f continu in desd lim x f(x) = f(). Bewijs Dit volgt direct door de Definities 3.3 en 3.7 nst elkr te leggen. Stel eerst dt er voldn is n Definitie 3.3. Zij ε >. Dn bestt er δ > zo dt voor lle x V de implictie (3.) geldt. Mr dn geldt zeker de implictie (3.4) met l := f(), dus er is n Definitie 3.7 met l := f() voldn. Stel omgekeerd dt n 3.7 met l := f() voldn is. Zij ε >. Dn bestt er δ > zo dt voor lle x V de implictie (3.4) met l := f() geldt. Bovendien, ls x = dn f(x) f() = < ε. Voor deze δ > geldt dus voor lle x V de implictie (3.). 3.9 Als de limiet vn een functie, zols gedefinieerd door Definitie 3.7, bestt dn zul je geneigd zijn te denken dt deze limiet uniek is. Dit hoeft echter niet ltijd zo te zijn. Het hngt, in de nottie vn Definitie 3.7, f vn de ligging vn het punt t.o.v. de verzmeling V :