Leidraad bij het college Analyse 1 (voorjaar 2007)

Transcriptie

1 Leidrd bij het college Anlyse 1 (voorjr 2007) Kls Lndsmn Institute for Mthemtics, Astrophysics, nd Prticle Physics Rdboud Universiteit Nijmegen Toernooiveld ED NIJMEGEN e-mil: lndsmn@mth.ru.nl website: lndsmn/anlyse12007.html tel.: kmer: HG Werkcollege: Dion Coumns coumns@mth.ru.nl (wiskunde) Tim de Lt t.delt@student.science.ru.nl (ntuurkunde) Schem (weken 6, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 21 25): dinsdg 13:45 15:30 hoorcollege in HFML 220; donderdg 13:45 15:30 werkcollege: wiskundigen in HG01.340; ntuurkundigen in HFML 220 (3e kwrtl) en HG (4e kwrtl) vrijdg 09:00 10:30 spreekuur (HG03.078) / studieuur / responsiecollege (HFML 220) (dinsdg en op de website wordt ngekondigd of er vrijdg een repsonsiecollege plts zl vinden; stndrd is spreekuur/studieuur). Uitzonderingen op schem: Week 8: vkntie Week 9: geen hoorcollege op dinsdg, hoorcollege op vrijdg, geen werkcollege Week 10: geen hoorcollege op dinsdg, wel werkcollege op donderdg, niets op vrijdg Week 15: geen enkele ctiviteit (tentmenweek) Week 17: geen hoorcollege op dinsdg, hoorcollege op donderdg 13:45 15:30 in HFML 220, werkcollege wiskunde vrijdg 08:45-10:30 in HFML 220, werkcollege ntuurkunde 7 mei 15:45-17:30 in HG Week 18: meivkntie Week 19: hoorcollege op dinsdg, geen werkcollege op donderdg (Dies), werkcollege wiskunde vrijdg 08:45-10:30 in HFML 220, werkcollege ntuurkunde 14 mei 15:45-17:30 in HG Week 20: repsonsiecollege op dinsdg 14:15-15:30, geen werkcollege i.v.m. Hemelvrt

2 2 Algemeen: Het cijfer voor het vk is het hoogste vn de volgende twee: het cijfer voor het mondeling tentmen n floop of het gemiddelde vn het cijfer voor het mondeling en het cijfer voor het werkcollege. Het mondeling tentmen zl bestn uit vier vrgen vn een voorf uit te delen lijst vn 10 vrgen die de stof goed smenvtten. De eerste vrg mg je bovendien zelf kiezen! De opgven worden op het hoorcollege vn dinsdg uitgedeeld en stn dn ook op de website. De dedline voor de inleveropgven is de mndg drop om 15:30. Je mg ook de oefenopgven inleveren (telt niet mee voor het cijfer vn het werkcollege). Bereid het werkcollege goed voor! Dn kun je optiml gebruik mken vn de deskundige begeleiding. Het is de bedoeling dt je de op het hoorcollege behndelde prgrfen uit Zorich ook nog zelf doorleest. Het hoorcollege bevt voorl de grote lijnen, het boek de detils. Drom is er ook geen vier uur hoorcollege per week.

3 3 Week 1: Verzmelingen N een historische inleiding over de nlyse behndelen we 1.2 uit Zorich. Lees zelf ook 1.1. Hoorcollege Het is duidelijk uit de historische inleiding dt nlyse moeilijker ws dn Newton en Euler dchten. Het vk werd precies door drie ontwikkelingen: 1. De invoer vn verzmelingen ls grondslg vn de hele wiskunde (Cntor); 2. De definitie vn een functie ls een fbeelding tussen twee verzmelingen (en nog preciezer ls een specil gevl vn een reltie tussen twee verzmelingen); 3. De definitie vn de reëele getllen ls een beplde verzmeling met extr structuur. Punt 1 is het onderwerp vn deze week, zij het in beperkte mte: Verzmelingenleer is een prt vk in een hoger jr dt nuw met logic verbonden is. We zullen dus niet veel verder komen dn enige opmerkingen. De zogenmde nïeve verzmelingenleer vn Cntor (en Dedekind) gt uit vn het principe dt een verzmeling is gedefinieerd door hr elementen ; dt zijn dn beplde onderscheidbre entiteiten. We kunnen op twee mnieren verzmelingen vormen: Concreet door opsomming, bijvoorbeeld N = {0, 1, 2, 3,...}. Abstrct door lle objecten met een beplde eigenschp te nemen: wrbij P (x) uitdrukt dt x een beplde eigenschp P heeft. S = {x P (x)}, (1) Deze npk leidt tot problemen, zols de prdox vn Russell (i.e. beschouw de verzmeling R vn lle verzmelingen die zichzelf niet ls element hebben: is R een element vn zichzelf?). Het vormen vn verzmelingen op de beschreven mnier is dus niet mogelijk: er zijn regels nodig die zeggen wnneer een beplde eigenschp inderdd een verzmeling definieert. Dit inzicht heeft geleid tot de zogenmde xiomtische verzmelingenleer. Er zijn (minstens) twee gngbre xiomsystemen: die vn Zermelo & Frenkel (zie Zorich 1.4.2) en die vn Bernys & von Neumnn. We gn in de nlyse stilzwijgend uit vn de xiom s vn Zermelo & Frenkel, zonder hier diep op in te gn. Voor de kenners: dit stelsel bevt het beruchte keuze-xiom (dt volgens critici geen goede rechtvrdiging heeft). De belngrijkste verfijning ten opzichte vn de twee genoemde constructies vn een verzmeling is ls volgt: volgens het comprehensie-xiom vn Zermelo & Frenkel (Axiom 2 op p. 27 vn Zorich, die dit het Axiom of seprtion noemt) geldt dt ls A een verzmeling is en P een eigenschp, dn S = {x A P (x)}, (2) opnieuw een verzmeling is. Merk het subtiele verschil met (1) op: in (2) weet je l dt x in een bestnde verzmeling ligt. Dit blijkt prdoxen ls die vn Russell te omzeilen, mr er bestt geen bewijs dt de xiom s vn Zermelo & Frenkel consistent zijn! Het gt lleen mr goed tot nu toe... Als toepssing kun je gegeven B A de verzmeling C A (B) A\B := {x A x / B} = {(x A) (x / B)} (3) vormen. Hier betekent het symbool en ; evenzo betekent of. Het tweede belngrijk xiom (Axiom of extensionlity, no. 1 op p. 27 vn Zorich) is dt A = B precies geldt ls x A x B, i.e. ls de verzmelingen A en B dezelfde elementen hebben. Ligt erg voor de hnd, mr iemnd moest het opschrijven! Het symbool betekent dn en slechts dnöfwel desd.

4 4 Jullie zijn hopelijk l vertrouwd met de operties die je op verzmelingen kunt toepssen, zols de vorming vn het complement (3), en de vereniging en de doorsnede vn twee verzmelingen A en B (zie Zorich). Zorich gt er voor de veiligheid steeds vnuit dt A en B beide deelverzmelingen vn een zekere verzmeling M zijn, mr dt is lng niet ltijd nodig. Wr Zorich dus bijvoorbeeld schrijft A B := {x M (x A) (x B)} (4) zullen wij vk schrijven A B := {x (x A) (x B)}. (5) De eigenschppen vn de symbolen (deelverzmeling), (doorsnede), (vereniging) en C (complement) komen in de opgven n bod. Ten slotte kun je uit twee gegeven verzmelingen A en B het Crtesisch product of simpelweg product A B mken. Dit bestt uit de geordende pren A B := {(x, y) (x A) (y B)}. (6) We gn hier volgende week nder op in. Voor A A schrijven we vk A 2. Opgven Om te oefenen: 1. Neem de verzmelingen A = {1, 2, 3, 4} en B = {2, 4, 6}. Bepl A B, A B, A\B, B\A, A B, B Dezelfde vrgen voor A = N en B = {lle even getllen}. 3. Nog steeds met A = N en B = {lle even getllen}: wt is C N (A)? Wt is C N (B)? b,c,d uit Zorich ,b ,b (ntwoord stt in feite in boek, schrijf voor jezelf op) Om in te leveren: ,e c,d. 3. Bewijs (ls uitbreiding vn d) dt A ( n i=1 B i) = n i=1 (A B i) b,c,d. Let op: de nnme X Y die in ) is geformuleerd slt op onderdeel b. Bij b) moet worden toegevoegd de voorwrde: A en B

5 5 Week 2: Functies We behndelen 1.3 (zonder Exmple 1, 2, 3, 8, 10, 11, 12; Exmples 4, 5, 6, 7, 9 moet je wel doorlezen ls er in het college geen tijd voor blijkt te zijn) en xiom s 1 tot en met 5 uit (voor zover nodig om het Crtesisch product netjes te definieren). Hoorcollege De nlyse is gebseerd op het begrip functie. Newton werkte in de 17e eeuw nog niet met dt begrip; voor hem ws wt wij nu de grfiek vn een functie y = f(x) vn R nr R noemen de bn vn een deeltje in het pltte vlk. De vrije vribele ws bij hem niet zozeer x mr de tijd t: hij prmetriseerde de grfiek vn f ls de bn {(x(t), y(t))}. Euler voerde in de 18e eeuw meerdere functiebegrippen in. In eerste instntie zg hij een functie ls een concreet gegeven lgebrisch voorschrift, i.e. een formule. Voorbeeld: y = exp(x), met exp(x) := 1 + x x2 +. Lter zg hij (bij zijn studie vn de trillende snr) in dt op verschillende delen vn de x-s ook verschillende formules mogen gelden. Voorbeeld: y = 0 voor x < 1, y = x + 1 voor 1 x 0, y = 1 x voor 0 x 1 en y = 0 voor x > 1 (teken deze functie en g n dt zij continu is!). Lter kwm hij tot het inzicht dt een functie in het lgemeen moet uitdrukken dt een grootheid y fhngt vn een ndere grootheid x (N.B. men hd toen nog geen goed begrip vn de reëele getllen). Het moderne functiebegrip is gebseerd op de verzmelingenleer. Een functie f tussen twee verzmelingen X en Y is intuïtief gesproken een fbeelding f : X Y, oftewel een voorschrift dt n iedere x X een element f(x) Y toevoegt. Mr wt is precies een fbeelding of een voorschrift? Deze begrippen mogen niet in het vge worden gelten, mr moeten zelf worden uitgedrukt in termen vn verzmelingen. Om dt te doen is het Crtesisch product vn X en Y nodig. Dt is in de eerste week l n bod gekomen, mr nu geven we een precieze definitie. Crtesisch product Stel dt x en y verzmelingen zijn of elementen vn een verzmeling (vnuit een hoger stndpunt is hier eigenlijk geen verschil tussen: lles kn ls een verzmeling opgevt worden!). Dn betekent de nottie {x, y} het volgende: {x, y} := {z (z = x) (z = y)}. (7) Hieruit volgt bijvoorbeeld onmiddellijk dt {2} = {2, 2} (mr {2} {2, {2}}!). Het object {x, y} heet het ongeordende pr vn x en y. Als x y heeft {x, y} twee elementen, en ls x = y slechts één. Hoe weten we dt {x, y} een verzmeling is? Dit volgt uit het pr-xiom (Piring xiom, no. 4 op p. 27 vn Zorich). Dit zegt dt voor lle verzmelingen X en Y de verzmeling {X, Y } bestt. Het geordende pr vn x en y is nu gegeven door (x, y) := {{x}, {x, y}}. (8) Deze verzmeling bestt vnwege het pr-xiom. Opnieuw geldt: ls x y heeft de verzmeling (x, y) twee elementen, in het gevl x = y is er slechts één element, nmelijk {x} (hetgeen iets nders is dn x!). G mr n: (x, x) = {{x}, {x, x}} = {{x}, {x}} = {{x}}. Nu kunnen we het Crtesisch product vn twee verzmelingen X en Y definieren door X Y := {(x, y) (x X) (y Y )}. (9) Is dit een verzmeling? Om dit te bewijzen zijn twee nieuwe xiom s nodig. Het Union xiom (no. 3 op p. 27 vn Zorich) zegt dt ls M een verzmeling is wrvn de elementen verzmelingen zijn, dn de unie M := {x A M : x A} (10)

6 6 een verzmeling is. mchtsverzmeling Vervolgens zegt het Power set xiom (no. 5 op p. 28 vn Zorich) dt de P(X) := {x x X} (11) vn een verzmeling X opnieuw een verzmeling is (dit is dus de verzmeling vn lle deelverzmelingen vn X). Let op: uiterrd geldt X = {x x X}; (12) je moet dus goed onderscheiden tussen in (11) en in (12). Nu kunnen we bewijzen dt X Y bestt. Als x X en y Y, dn is (x, y) P(P(X Y )), wnt {x} P(X) P(X Y ) en {x, y} P(X Y ). Dus {{x}, {x, y}} P(X Y ), wt precies hetzelfde betekent ls {{x}, {x, y}} P(P(X Y )). 1 Met de definitie (8) kunnen we (9) dus schrijven ls X Y := {(x, y) P(P(X Y )) (x X) (y Y )}. (13) Nu is X Y een verzmeling vnwege het Union xiom, P(P(X Y )) is een verzmeling dnkzij het Power set xiom, en ten slotte is X Y een verzmeling dnkzij het comprehensie-xiom. Alles klopt! Wt is een functie? Nu kunnen we het begrip functie precies mken. Een functie vn X nr Y is een specil gevl vn een reltie tussen X en Y. Dt is per definitie een deelverzmeling R X Y. Een reltie is meestl bepld door een eigenschp P vn de pren (x, y), dus R := {(x, y) X Y P (x, y)}. (14) Voorbeeld: ls Y = X kun je nemen de reltie R = X X, gegeven door := {(x, y) X X x = y}. (15) Hier geldt dus: P (x, y) = (x = y). Voorbeeld: ls X = Y = R en f(x) een functie is in de zin vn Euler (dus een concreet voorschrift), dn kun je de reltie nemen R f R R, gegeven door R f = {(x, y) R R y = f(x)}. (16) Dit is een deelverzmeling vn het pltte vlk, die precies hetzelfde is ls de grfiek vn f. We willen nu het ltste voorbeeld generliseren. We zeggen dt een reltie R X Y functioneel is, of een functie definieert, of zelfs een functie is (slechte terminologie!), ls het volgende geldt: ls (x, y) R en (x, z) R dn y = z. We kunnen dn schrijven: y = f(x). Dit voorschrift hoeft niet op de hele X gedefinieerd te zijn, wnt niet bij iedere x X hoeft een y te horen zodt (x, y) R. In termen vn het domein D f X vn f, D f := {x X y Y : (x, y) R} (17) is f : D f Y bepld door y = f(x) ls x D f en (x, y) R. Als je wilt dt een functie ltijd op de hele X is gedefinieerd, moet je de eis toevoegen dt D f = X. Wt hier in feite gebeurt, is dt een functie wordt gedefinieerd door hr grfiek. Uit clculus of de middelbre school ben je juist het omgekeerde gewend: je begint met de functie en tekent dn de grfiek. Hier drien we dt dus om. We zullen een functie vk met f : X Y noteren, mr dit object is uiteindelijk gedefinieerd door de bijbehorende functionele reltie R f X Y. Je gt vn R f nr f door het voorschrift y = f(x) desd (x, y) R f, en vn f nr R f door R f = {(x, y) X Y y = f(x)} = {(x, f(x))}. (18) 1 Zorich schrijft op p. 28 foutief P(X) P(Y ) i.p.v. P(X Y ).

7 7 Injectief-surjectief-bijectief Je moet de volgende begrippen binnen enkele weken kunnen dromen: Een functie f : X Y heet injectief ls geldt: f(x 1 ) = f(x 2 ) desd x 1 = x 2, oftewel meer officieel (x 1, y) R f en (x 2, y) R f x 1 = x 2. Een injectieve functie heet een injectie. Een functie f : X Y heet surjectief ls f(x) = Y, wrbij Informeel kun je dit ook schrijven ls f(x) := {y Y x X : (x, y) R f }. (19) f(x) = {f(x) x D f }. (20) De verzmeling (19) of (20) heet het beeld of bereik vn f. Een surjectieve functie heet een surjectie. Een functie f : X Y heet bijectief ls deze zowel injectief ls surjectief is. Meestl wordt ngenomen dt ook geldt D f = X. Een dergelijke functie heet een bijectie (vn X nr Y ofwel tussen X en Y ). Als D f X, is f een bijectie tussen D f en Y. Voor een bijectie geldt dt bij iedere y Y precies één x X hoort zodt y = f(x) oftewel (x, y) R f. Let op! Of f nu een bijectie is of niet, ls B Y kunnen we ltijd schrijven f 1 (B) := {x X f(x) B} = {x X y B : (x, y) R f }. (21) Dn geldt bijvoorbeeld (zie (17)) f 1 (Y ) = D f. (22) Als echter f bijectief is, bestt er een unieke functie f 1 : Y X met de eigenschp: ls (x, y) R f dn (y, x) R f 1. Het begrip bijectie krijgt meer body ls we het idee vn smenstellen vn functies er bij betrekken. Informeel is dit idee duidelijk. Als f : X Y en g : Y Z functies zijn, kunnen we een functie g f : X Z mken door (g f)(x) := g(f(x)). (23) In termen vn relties ziet dt er zo uit: ls de relties R f X Y en R g Y Z functioneel zijn, is de reltie R g R f X Z dt ook (oefening), wrbij R g R f = {(x, z) X Z y Y : (x, y) R f (y, z) R g }. (24) Als (x, z) R g R f schrijven we dn z = g f(x). G n dt dit klopt met (23). De smenstelling vn f en g is duidelijker met pltjes, zie Zorich. Hoe dn ook, ls f : X Y een bijectie is met inverse f 1 : Y X, dn geldt f f 1 = id Y en f 1 f = id X, met id X (x) := x en id Y (y) = y voor lle x X en y Y. Andere relties In de wiskunde komen ook vk relties voor die geen functies zijn. De belngrijkste zijn: Equivlentiereltie. Dit is een reltie R X X die voldoet n: 1. (x, x) R x X (reflexief); 2. (x, y) R (y, x) R (symmetrisch); 3. (x, y) R (y, z) R (x, z) R (trnsitief). Een equivlentiereltie op X deelt de onderliggende verzmeling X op in disjunctie deelverzmelingen: X = λ X λ, wrbij een gegeven deel X λ bestt uit een gegeven x X en lle y X wrvoor geldt dt (x, y) R. We schrijven vk x y i.p.v. (x, y) R.

8 8 Prtiële ordening. Dit is een reltie R X X die voldoet n: 1. (x, x) R x X (reflexief); 2. (x, y) R (y, x) R y = x (ntisymmetrisch); 3. (x, y) R (y, z) R (x, z) R (trnsitief). We schrijven vk x y i.p.v. (x, y) R. Het verschil tussen een equivlentiereltie en een prtiële ordening ligt dus in één enkele eigenschp (de eerste is symmetrisch en de tweede ntisymmetrisch), mr dit verschil is enorm. Een voorbeeld vn een equivlentiereltie op R is x x + n voor n N. Een voorbeeld vn een prtiële ordening op R is x y in de gebruikelijke zin. Opgven Om te oefenen: 1. Definieer de verzmelingen E = {1, 2, 3} en M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dn is E M en is de krkteristieke functie χ E : M R dus bepld. Wt is χ E (1)? Wt is χ E (5)? 2. Definieer de functie f : R R d.m.v. f(x) := x Is f injectief? Is f surjectief? Definieer nu ook g : R R ls g(x) := x + 1. Bepl de functies f g en g f ,b ,b. Om in te leveren: 1. Doe de oefening n (23): bewijs dt ls de relties R f X Y en R g Y Z functioneel zijn, de reltie R g R f X Z dt dn ook is c,d,j ,b ,b,c,d,e. Pk dit slim n: bewijs bijvoorbeeld b c d e. Wrom levert dt een volledig bewijs? (wrom volgt dn bijvoorbeeld dt b en e equivlent zijn?) ,b,c.

9 9 Week 3: de reële getllen We behndelen 2.1.1, ngevuld met de constructie vn R d.m.v. Cuchy-rijen in Q en de lterntieve constructie vn R d.m.v. Dedekind-sneden. De eerste constructie is te vinden in het boekje Getllen vn Frns Keune en wordt hier weggelten: het begrip Cuchy-rij komt in Anlyse 1 lter n bod moet je zelf goed doorlezen en nvullen met de bewijzen die Zorich weglt. Hoorcollege Algemene opmerkingen We moeten een verschil mken tussen constructies vn de reële getllen R, zols die in het college Getllen, en de definitie vn R door middel vn xiom s, zols in het boek vn Zorich. Een constructie vn R is in feite een expliciet model, dt beplde eigenschppen blijkt te hebben. Bij een definitie vn R beginnen we juist met deze eigenschppen, die dn de sttus hebben vn xiom s. Ook de volgorde is precies ndersom: bij Getllen wordt, net ls in de geschiedenis, begonnen met de ntuurlijke getllen N. Druit wordt Z gemkt, dn Q, en ten slotte R. In de nlyse beginnen we juist met R, en definieren uiteindelijk N ls een beplde deelverzmeling vn R. Meestl legt een stelsel xiom s het te definieren wiskundige object niet uniek vst. In gunstige gevllen zijn echter lle constructies (technisch: modellen) die n de xiom s voldoen in zekere zin n elkr gelijk (technisch: isomorf). Het zl blijken dt onze xiom s voor R deze eigenschp hebben: ze leggen het wiskundig object de reële getllenüniek vst op isomorfie n. We zullen precies zeggen wt deze ltste uitsprk betekent. An de lijst vn xiom s voor R in Zorich, $ 2.1.1, is weinig toe te voegen. De xiom s zijn in deze vorm fkomstig vn Dvid Hilbert ( ), één vn de grootste wiskundigen uit de geschiedenis. Het beslissende xiom IV op p. 38 ws l geformuleerd door Richrd Dedekind ( ). Wel willen we opmerken dt de gng vn zken typerend is voor de wiskunde vn de twintigste eeuw (wrvn Dedekind en Hilbert belngrijke wegbereiders wren): een wiskundig object (in dit gevl de reële getllen) wordt gedefinieerd door te beginnen met een verzmeling en deze vervolgens n te kleden met extr structuren. In het gevl vn R wordt de beginverzmeling niet nder gespecificeerd: er wordt niet gezegd hoeveel elementen die moet hebben, er wordt in feite heleml niets over gezegd behlve dt deze niet leeg is. Ps lter, ls een ntl xiom s de revue zijn gespsseerd, wordt een enkele eis opgelegd, nmelijk dt 0 1 (N.B. dit xiom is in het college per ongeluk vergeten!!!). Uit lle xiom s smen blijkt dn uiteindelijk dt R overftelbr veel elementen moet hebben. Op de onderliggende verzmeling R, die je ls het decor zou kunnen beschouwen, worden drie verschillende structuren gedefinieerd. Dit zijn optelling +, vermenigvuldiging en ordening. Optelling en vermenigvuldiging zijn beide functies vn R R nr R met beplde eigenschppen. Een ordening op een verzmeling X is een specil gevl vn een prtiële ordening (zie Week 2), met de extr eigenschp dt ieder pr elementen geordend is. Met ndere woorden, er geldt dt ofwel (x, y) R ofwel (y, x) R. Let op: lle drie de operties +, en zijn een specil gevl vn een reltie R R R; we hebben tenslotte l gezien dt ook een functie een bepld soort reltie is. In de moderne wiskunde blijkt dt het lleen zinvol is om verschillende structuren (in dit gevl dus +, en ) op een verzmeling n te brengen ls er xiom s zijn die deze structuren met elkr in verbnd brengen: nders hngt het geheel ls los znd n elkr. In ons gevl worden + en verbonden door het xiom vn distributiviteit (p. 37), terwijl + en en ook en worden verbonden door de twee xiom s op p. 38. Dedekind-sneden Zelfs met de lijst vn xiom s I, II, III (in de nummering vn Zorich) die prt +, en definieren én de xiom s die deze operties met elkr verbinden zijn we nog niet klr: de rtionele getllen Q voldoen n l deze xiom s. Het xiom dt uiteindelijk R blijkt te beplen is het

10 10 volledigheidsxiom vn Dedekind (i.e. xiom IV op p. 38). Om te illustreren dt in Q niet en in R wel n dit xiom is voldn nemen we X = {x Q x 2 < 2 x < 0}; (25) Y = {y Q y 2 > 2 y > 0}. (26) De c wrvoor geldt dt x c y voor lle x X en y Y is uiterrd c = 2: zols de oude Grieken l wisten ligt 2 niet in Q. De door Dedekind zelf gegeven constructie vn R mkt vn de nood een deugd. Hij beschouwde R ls de verzmeling DC(Q) vn sneden vn Q (deze heten sindsdien dn ook Dedekind sneden), wrbij een snede is gedefinieerd ls een pr (X, Y ), X Q, Y Q, zodt: 1. X nd Y ; 2. X < Y in de zin dt x < y voor lle x X en y Y ; 3. X Y = Q; 4. X Y = ; 5. X heeft geen grootste element (i.e. er bestt geen x 0 X zodt x x 0 voor lle x X). Uiterrd bevt X lle informtie over de snede, ngezien per definitie geldt Y = C Q (X); ls we uitgn vn X moet deze wel voldoen n de eis X < C Q (X) en X nd X Q. De reltie tussen een snede (X, Y ) vn Q en een getl vn R zols je dt gewend bent loopt vi het volledigheidsxiom: volgens dit xiom bestt er nmelijk een c zodt x c y voor lle x X en y Y. Dit geeft en fbeelding vn DC(Q) nr R, (X, Y ) c. Omgekeerd geeft c R je een snede (X, Y ) met X = {x < c} en Y = {y c}. Dit verklrt ook de ltste eis no. 5 op een snede: zonder deze eis zou ook de snede X = {x c} en Y = {y > c} mogelijk zijn en hebben we geen bijectie tussen R en DC(Q). Door middel vn deze bijectie kunnen we operties +, en op DC(Q) definieren, die dn n de xiom s voor R voldoen. Zo vind je bijvoorbeeld, met de nottie (X 1, Y 1 ) + (X 2, Y 2 ) (X 1 + X 2, Y 1 + Y 2 ), X 1 + X 2 = {x 1 + x 2 x 1 X 1, x 2 X 2 }. (27) Dn hebben we (X 1, Y 1 ) (X 2, Y 2 ) desd X 1 X 2. Vermenigvuldiging is lstiger: dt lten we n de lezer over, evenzo de verifictie vn de xiom s. Uniciteit vn de reële getllen Wt betekent nu de uitsprk dt lle constructies vn R isomorf zijn? Ten eerste is een constructie vn R per definitie een verzmeling X met operties +, en die n lle xiom s voldoet zols gegeven in We schrijven: (X, +,, ). Stel nu dt we twee vn dergelijke constructies hebben, genmd (X 1, + 1, 1, 1 ) en (X 2, + 2, 2, 2 ). We zeggen dt deze constructies vn R isomorf zijn ls er een bijectie f : X 1 X 2 bestt (i.e. een inverteerbre functie, zie Week 2) met de eigenschppen: f(x + 1 y) = f(x) + 2 f(y); (28) f(x 1 y) = f(x) 2 f(y); (29) x 1 y f(x) 2 f(y). (30) Met ndere woorden, f brengt de structuur (+,, ) op de eerste verzmeling over in de structuur op de tweede. In de opgve bewijs je de volgende crucile stelling, die de xiom s vn R in zekere zin rechtvrdigt: Alle constructies vn R zijn isomorf.

11 11 Opgven Om te oefenen: Lees heleml door en geef lle overgeslgen bewijzen. Om in te leveren: Opgven 23 en 24 vn

12 12

13 13 Week 4: Eigenschppen vn de reële getllen I. We behndelen 2.1.3, 2.2.1, 2.2.2, en Lees en zelf door. Hoorcollege Supremum en infimum Een belngrijk gevolg vn met nme het volledigheidsxiom vn Dedekind (i.e. xiom IV op p. 38) is het bestn vn het supremum sup(x) (ook genmd: kleinste bovengrens, lowest upper bound, l.u.b.) vn een vn boven begrensde verzmeling X R en het bestn vn het infimum inf(x) (ook: grootste ondergrens, gretest lower bound, g.l.b.) vn een vn onder begrensde verzmeling X R. In het eerste gevl neem je n dt er een d R is zodt x d voor lle x R: dit is per definitie de eigenschp dt X vn boven begrensd is. Dn volgt dt er een kleinste d is met deze eigenschp, en dt is nu sup(x). Om dit te bewijzen kies je bij gegeven X de verzmeling Y := {y R x y x X}. Het volledigheidsxiom geeft je een c R met X c Y. In dit specile gevl is deze c echter uniek: uit de constructie volgt dt ls er c en c zijn met X c Y en X c Y, dn geldt c c en c c. De xiom s op R en i.h.b. op de prtiële ordening (ntisymmetrie) geven dn echter c = c. Deze unieke c is sup(x). Het bewijs vn het bestn vn inf(x) voor een deelverzmeling X R wrvoor er een d R is zodt d x voor lle x X is precies zo, mr nu moet je even X en Y vn nm ruilen. Neem dus n dt je Y R hebt wrvoor er een d R is zodt d y voor lle y Y (dit is per definitie de uitsprk dt Y vn onder begrensd is) en definieer X := {x R x y y Y }. Opnieuw is er een c met X c Y en opnieuw is deze uniek. Deze unieke c is inf(y ). Het is duidelijk dt sup(x) niet hoeft te bestn ls X niet vn boven begrensd is: neem X = R of X = N. Het eerste gevl geeft je ook een tegenvoorbeeld dt inf(x) niet hoeft te bestn ls X niet vn onderen begrensd is. Hoe zit het met de ntuurlijke getllen? In het college Getllen mk je R uit N; in Anlyse mken we juist N uit R! Nu we R eenml hebben, zeggen we: N is per definitie de kleinste inductieve deelverzmeling vn R is die 1 bevt. Hierin is 1 in de xiom s gedefinieerd ls het eenheidselement voor vermenigvuldiging (i.e. 1 x = x voor lle x R) en zeggen we dt E R inductief is ls geldt: x E x + 1 E. Het begrip kleinste kun je ook nog precies mken door te zeggen: N is de doorsnede vn lle inductieve deelverzmelingen vn R is die 1 bevtten. Deze definitie geeft onmiddellijk wt Zorich (p. 47) het Principle of mthemticl induction noemt: Als E N R zodnig is dt geldt: 1 E en x E x + 1 E, dn geldt E = N. Als je even ndenkt, zie je dt dit eigenlijk weer de bovenstnde definitie vn N is. Wt meestl het principe vn volledige inductie wordt genoemd volgt hieruit: Stel dt P (n) een beplde eigenschp is die voor lle n N is gedefinieerd. Stel dt P (1) wr is en stel dt je het volgende kunt bewijzen: ls P (n) wr is, dn is ook P (n + 1) wr. Dn geldt P (n) voor lle n N. Je kunt bij P (n) bijvoorbeeld denken n: een zekere functie f : R R heeft in n de wrde n!. Ook dit principe is eigenlijk equivlent met onze definitie vn N (denk even n).

14 14 Z en Q Uit N mken we de gehele getllen Z R: Z := N {0} N, wrbij N := { n n N}. Hier is x voor x R (en dus ook x N gedefinieerd door de xiom s ls het (unieke) getl wrvoor ( x) + x = 0, wrbij 0 l ws gedefinieerd ls het (unieke) getl met de eigenschp y + 0 = y voor lle y R. Het is lleml mooi opgebouwd! Uit Z mken we vervolgens de rtionele getllen Q R: Q := {mn 1 m Z, n Z\{0}}, wrbij voor gegeven y R, y 0, het getl y 1 door de xiom s is gedefinieerd ls het (unieke) getl wrvoor y y 1 = 1 voor lle y R, wrbij opnieuw 1 R l gedefinieerd ws ls het (unieke) getl met de eigenschp y 1 = y voor lle y R. We kunnen dn ook de breuk mn 1 zien ls het unieke getl met (mn 1 ) n = m. Getllen die niet rtioneel zijn heten irrtioneel. Dit geeft de (fluwe) opsplitsing R = Q (R\Q). Het is voor Anlyse 1 vn minder belng, mr wel leuk om te weten dt ook de verzmeling R\Q vn irrtionele getllen weer op te splitsen is in de lgebrische irrtionele getllen en de rest. Een getl x R heet lgebrisch ls het de oplossing is vn een vergelijking n k=0 c kx k = 0, met c k Z. Zo is 2 lgebrisch. Ook lle elementen vn Q zijn lgebrisch. De rest heet trnscendent. Voorbeelden vn trnscendente getllen zijn e en π; het is heel moeilijk om vn een concreet getl te bewijzen dt het trnscendent is. Krdinliteit Hoe groot is N ten opzichte vn R? Voor en eindige verzmeling X is de grootte te beplen door het ntl elementen te tellen. Dit ntl noemen we de krdinliteit vn X, nottie crd(x). Een verzmeling met n elementen heeft dn per definitie krdinliteit n. Een belngrijke stelling over eindige verzmelingen is: crd(x) crd(y ) desd er een injectie f : X Y bestt; crd(x) = crd(y ) desd er een bijectie f : X Y bestt. Cntor zg in dt deze eigenschp vn eindige verzmeling een goede definitie oplevert voor oneindige verzmelingen. In het volgende zijn X en Y willekeurige verzmelingen. We zeggen dt crd(x) crd(y ) ofwel X Y ls er een injectie f : X Y bestt; We zeggen dt crd(x) = crd(y ) ofwel X Y ls er een bijectie f : X Y bestt. Dit leidt tot de nottie: We zeggen dt X Y ls X Y mr niet X Y (er is dus een injectie X Y mr geen bijectie). Als we slordig zijn kunnen we zeggen dt een equivlentiereltie geeft op de verzmeling vn lle verzmelingen, mr hels bestt deze verzmeling niet ls zodnig. Wel kunnen we spreken vn de ctegorieöf de klsse vn lle verzmelingen, en drop geeft inderdd zo iets ls een equivlentiereltie met de gebruikelijke eigenschppen (zie p. 7 ondern). De reltie lijkt op een prtiële ordening, met uitzondering vn de ntisymmetrie: ls crd(x) crd(y ) en crd(y ) crd(x) dn hoeft niet te gelden X = Y. Wel geldt de Stelling vn Schröder Bernstein: Als crd(x) crd(y ) en crd(y ) crd(x) dn is crd(x) = crd(y ).

15 15 Voor eindige verzmelingen is dit een tutologie! Mr in het lgemeen is het een diep resultt (dt we hier niet bewijzen): schrijf mr uit wt het precies betekent. Tevens hebben we de Stelling vn Cntor: Er geldt ofwel crd(x) crd(y ) ofwel crd(y ) crd(x) (of llebei). Je kunt dus vn iedere twee verzmelingen zeggen welke de grootste is, of dt ze even groot zijn. Dit kn tot grote verrssingen leiden. Zo blijkt: N Z Q, (31) terwijl je toch zou denken dt Q een stuk groterïs dn N. Mr je moet hier heel goed op de definities letten: er bestt inderdd een bijectie tussen N en Q (zie Zorich p. 75, mr probeer het eerst zelf!). Verzmelingen met dezelfde krdinliteit ls N heten ftelbr. Echter: N R. (32) De verzmeling vn reëele getllen is dus niet ftelbr! We zullen dit volgende week bewijzen. Nu kun je je fvrgen: bestt er een verzmeling X met een krdinliteit die tussen die vn N en die vn R inligt? Met ndere woorden, bestt er een X met de eigenschp crd(n) < crd(x) < crd(r)? Dit is de continuümhypothese. Het blijkt dt deze vrg niet binnen de (gebruikelijke) wiskunde te bentwoorden is. Opgven Om te oefenen: opgven 2 en 1,b,c,d,e no. 5. Om in te leveren: opgven 1f en 16, no. 2,b,c,d.

16 16

17 17 Week 5: Eigenschppen vn de reële getllen II. We behndelen (in deze volgorde) 2.4.2, 2.3.1, 2.4.1, en Hoorcollege Aftelbrheid en overftelbrheid We bewijzen eerst dt N R, onder voorbehoud vn het Principe vn Cuchy en Cntor. Omdt R [0, 1] (zie opgve d) vn vorige week) is het voldoende om te lten zien dt N [0, 1]. Als N [0, 1] dn bestt er per definitie een bijectie f : N [0, 1]. De eis dt f injectief is (de helft vn de definitie vn een bijectie) houdt in dt {f(1), f(2),...} [0, 1] met f(m) f(n) ls m n. De eis dt f surjectief is (de ndere helft vn de definitie vn een bijectie) geeft dn {f(1), f(2),...} = [0, 1]. Een slim rgument geeft echter het bestn vn c [0, 1] zodt c f(n) voor lle n N. De functie f kn dus niet surjectief zijn. Het rgument gt ls volgt. Schrijf I 0 = [0, 1] en kies een gesloten intervl I 1 I 0 zodnig dt f(1) / I 1. (Oefenopgve: Wrom kn dit?) Herhl deze procedure: gegeven I n, kies I n+1 I n zodt f(n + 1) / I n+1. Neem nu de doorsnede n I n vn l deze intervllen. Deze doorsnede blijkt niet leeg te zijn (zie onder), en bevt dus een getl c n I n. Met ndere woorden, c I n n N. An de ndere knt geldt f(m) / I m voor iedere m N en dus ook f(m) / n I n m N. Mr ls c n I n en f(m) / n I n volgt f(m) c voor iedere m N. Dus c komt niet voor op de lijst {f(1), f(2),...} en f kn niet surjectief zijn. Q.E.D. Dit bewijs berust op het Principe vn Cuchy en Cntor (p. 71): Stel dt voor iedere n N een gesloten intervl I n R is gedefinieerd; dit betekent dt I n = [ n, b n ] := {x R n x b n }, (33) uiterrd met n b n. Stel bovendien dt I n+1 I n voor lle n. Dn is de doorsnede n I n vn l deze intervllen niet leeg. Als bovendien b n n 0 (in de zin dt ε > 0 N N : b n n < ε n > N), dn bestt n I n uit één enkel punt. Neem ls voorbeeld I n = [0, 1/n]. Dn is n I n = 0. Het principe is een simpel gevolg vn het volledigheidsxiom vn Dedekind (zie boek). Let ook op de volgende terminologie: Een intervl met < b < heet gesloten.een intervl met < b heet open. [, b] := {x R x b} (34) ], b[ (, b) := {x R < x < b} (35) Uit het resultt N R (dt dus volgt uit het volledigheidsxiom) blijkt dt niet lle oneindige verzmelingen dezelfde krdinliteit hebben. 2 Een verzmeling met de krdinliteit vn N heet ftelbr. Een verzmeling met de krdinliteit vn R heet overftelbr. Zo zijn Z en Q ftelbr. Het eerste zie je door expliciet een bijectie tussen Z en N op te schrijven. Het tweede loopt vi een nuttig tussenresultt: 1. Een oneindige deelverzmeling vn een ftelbre verzmeling is ftelbr. 2 Een verzmeling heet eindig ls deze een eindig ntl elementen bevt. Een verzmeling heet oneindig ls deze niet eindig is. Het is echter niet zo fri om een eigenschp (in dit gevl oneindigheid) te definieren door het niet hebben vn een beplde ndere eigenschp. Je kunt een oneindige verzmeling echter ook ls volgt definieren (Dedekind): Een verzmeling X heet oneindig ls deze een echte deelverzmeling Y bevt met dezelfde krdinliteit ls X, i.e. Y X. (Een deelverzmeling Y X heet echt ls Y X en Y.) Volgens onze definities betekent dit dt er dn een bijectie f : Y X bestt. Kijk mr eens nr N. De even getllen E vormen een echte deelverzmeling vn N terwijl er een bijectie f : E N bestt, bijvoorbeeld f(n) = n/2. Hieruit volgt dus dt N een oneindige verzmeling is.

18 18 2. Als voor iedere n N een ftelbre verzmeling X n is gedefinieerd, is de vereniging n N X n vn l deze X n ftelbr. Het eerste kn nuwelijks een verrssing zijn, het tweede ligt niet zo voor de hnd. Lees zelf het bewijs vn deze Proposition op p. 74. De essentie is ls volgt: Omdt iedere X n ftelbr is, kunnen we bijecties f n : X n N vinden. Dit geeft een injectie n X n N N wrbij x X n wordt fgebeeld op (n, f n (x)) N N. 3 Er bestt een bijectie N N N, gegeven door Hieruit volgt N N N. (m, n) 1 (m + n)(m + n + 1) + m. 2 Volgens tussenresultt 1 boven is dn n N X n ftelbr. Nu kunnen we ook bewijzen dt Q ftelbr is, i.e. N Q. (36) Omdt Z N volgt ook dt Z Z Z 2 Z N. Nu geldt Q Z 2, wnt een breuk q heeft een unieke uitdrukking q = m/n ls je eist dt de noemer positief en zo klein mogelijk is. Het eerste resultt vertelt je dn dt Q ftelbr is. Q.E.D. Op een dergelijke wijze kn ook worden ngetoond dt de lgebrïsche getllen ftelbr zijn. Angezien de trnscendente getllen dr per definitie het complement vn zijn in R, moet wel gelden dt de trnscendente getllen overftelbr zijn: nders zou R niet overftelbr zijn! Heine Borel en Bolzno-Weierstrss Nst het Principe vn Cuchy en Cntor zijn er nog twee belngrijke gevolgen vn het volledigheidsxiom voor R. De bewijzen hiervn stn duidelijk in het boek (zie resp. p. 72 en 73). 1. Heine Borel Stelling ofwel Borel Lebesgue Lemm: Iedere open overdekking vn een gesloten intervl in R heeft een eindige deeloverdekking Bolzno Weierstrss Principe: Iedere oneindige begrensde deelverzmling vn R heeft (tenminste) één limietpunt. Wt betekenen l deze termen? Een overdekking vn eenverzmeling Y is een verzmeling {X λ } λ Λ vn verzmelingen X λ X met de eigenschp dt Y λ Λ X λ. Dit kun je zo lezen: voor iedere x Y is er minstens één X λ zodt x X λ. De verzmeling {X λ } λ Λ kn eindig, ftelbr, of overftelbr zijn (of zelfs nog erger) l nr gelng de indexverzmeling Λ dt is. Voorbeelden zijn Λ = {1, 2,..., n} met n <, zodt {X λ } λ Λ {X 1, X 2,..., X n }, of Λ = N, zodt {X λ } λ Λ {X 1, X 2,...}. Als Y overftelbr is (bijv. Y = R), kun je een overftelbre overdekking vn Y mken door te kiezen Λ = Y en X λ = λ Y. Meestl is het zo dt Y is gegeven ls deelverzmeling vn een verzmeling X en dt lle X λ X. Bij Heine Borel gt het om Y = [, b] en X = R. De eis is dt iedere X λ open is in R, dus X λ = ( λ, b λ ). Stel Y = [0, 1]; dit is een gesloten intervl. Een voorbeeld vn een eindige open overdekking vn [0, 1] is {( 1, 2/3), (1/2, 2)}. Een voorbeeld vn een ftelbre open overdekking vn het open intervl (0, 1) is Λ = N\{1, 2} = {3, 4, 5,...} en X n = ( 1 n, 1 1 n ). De uitsprk vn 3 Deze injectie is lleen goed gedefinieerd ls lle verzmelingen X n disjunct zijn, i.e. geen elementen gemeenschppelijk hebben (m..w. X n X m = ). Als er wel dubbele elementen zin, i.e. ls x X n hetzelfde blijkt te zijn ls y X m, m n, dn moet eerste één vn een dergelijke groep identieke elementen worden gekozen. Dit kn m.b.v. het keuze-xiom. 4 Andere formulering: een gesloten intervl in R is compct. Dit is precies dezelfde uitsprk, wnt een deelverzmeling vn R is per definitie compct ls iedere open overdekking vn een eindige deeloverdekking heeft.

19 19 Heine Borel is in dt gevl niet wr! Dt komt omdt ook niet n de nnmen voldn is: het intervl (0, 1) is niet gesloten. Stel nu dt een open overdekking {X λ } λ Λ vn [, b] R oneindig is. De stelling zegt nu dt er een eindige deelverzmeling {X λ } λ Λ0 vn {X λ } λ Λ bestt (dus Λ 0 Λ is eindig) die nog steeds een overdekking vn [, b] is. De stelling volgt uit het Principe vn Cuchy en Cntor (en dus uiteindelijk uit het volledigheidsxiom); zie boek, p. 72 voor het bewijs. Een deelverzmeling X vn R heet begrensd ls X [, b] voor beplde < b < (met ndere woorden, X is bevt in een gesloten intervl). Een limietpunt vn een (niet noodzkelijk begrensde) deelverzmling X vn R is een punt p R met de volgende eigenschp: iedere open omgeving vn p bevt oneindig veel punten vn X. Hierbij is een open omgeving vn p een open intervl (, b) dt p bevt, i.e. < p < b. Een ndere formulering vn het begrip limietpunt is drmee: een punt p R is een limietpunt vn een deelverzmling X R ls voor iedere δ > 0 de verzmeling (p δ, p + δ) oneindig veel punten vn X bevt. Je denkt bij een limietpunt misschien n de volgende situtie: X = {1/n, n N} en p = 0 Dt klopt! Mr een heel nder soort voorbeeld is X = Q, wrvn iedere p R limietpunt is. Dit volgt uit het volgende belngrijke resultt (zie p. 54 boek, no. 9, dt weer uit de xiom s vn R en de definitie vn Q volgt): Als < b voor, b R dn is er een r Q zodt < r < b. Uiterrd is Q onbegrensd in R, en toch heeft Q niet één mr zelfs overftelbr vbeel limietpunten. Het feit dt iedere p R limietpunt is vn Q is dus wel een illustrtie vn het begrip limietpunt, mr niet een illustrtie vn het Bolzno-Weierstrss Principe. Dt de nnme in dit principe nodig is blijkt uit het volgende voorbeeld: N R heeft geen enkel limietpunt. Dt komt uiterrd omdt N niet begrensd is. Opgven Om te oefenen: 1. In het bewijs dt N R is gebruikt dt een gesloten intervl I 1 I 0 bestt zodnig dt f(1) / I 1. Bewijs dt dit inderdd kn nos. 1b. 3. Bewijs dt iedere p R een limietpunt is vn Q. (Gebruik de genoemde eigenschp vn Q zonder bewijs: Als < b voor, b R dn is er een r Q zodt < r < b.) Om in te leveren: nos. 2bc no. 3 lleen voor het Bolzno-Weierstrss Principe nos. 3bcd. Responsiecollege In het responsiecollege op vrijdg 23 mrt vn 09:00-10:30 (in HFML 220) gn we smen opgven nos. 4 en 5 mken en wt omliggende theorie behndelen. Het is niet strict nodig dit responsiecollege voor te bereiden, mr het helpt wel om beter mee te kunnen doen.

20 20

21 21 Week 6: Limieten vn rijen. We behndelen dinsdg in vogelvlucht 3.1.1, en Lees deze prgrfen ook goed door! Vrijdg doen we (in het tweede uur, in het eerste uur mken we de verzmelingenleer smen f). Hoorcollege Definitie vn convergentie en limiet vn een rij Terminologie: rij = sequence, reeks = series. Een rij in R is een functie x : N R, met nottie x(n) x n. Ook wordt de functie wel ls (x n ) geschreven. Er is een verschil tussen de functie x en hr beeld x(n) := {x 1, x 2,..., } in R! Als x injectief is vlt dit verschil niet zo op, mr ls bijvoorbeeld x(n) = c 1 voor lle even n en x(n) = c 2 voor lle oneven n, dn word je uit x(n) = {c 1, c 2 } niet veel wijzer over x. Een reeks is een specil gevl vn een rij: gegeven een functie : N R (en dus een rij) mk je een nieuwe rij x(n) := n k=1 (k). De theorie vn reeksen is dus een specil gevl vn de theorie vn rijen. Al vnf de middeleeuwen heeft men geworsteld met rijen ls x(n) := ( 1) n, x(n) := 1/n en reeksen ls x(n) = ( 1)n 2n 1. (37) De eerste rij convergeerde volgen sommigen nr 0, volgens nderen nr 1/2, volgens weer nderen nr geen enkel getl, de tweede zou toch nr moeten gn, de derde nr π/4 (Leibniz). Begrippen ls convergentie en limiet (bijvoorbeeld vn meetkundige benderingen vn oppervlkten) gn in zekere zin zelfs terug op Archimedes of nog drvoor. Sinds eind negentiende eeuw weten we hoe dit moet worden geformuleerd. Essentieel is de volgende definitie (zie p. 80): Voor een gegeven rij x : N R zeggen we dt lim n x n ε > 0 N N zodt x n A < ε n > N. = A (met A R) ls Dit kun je ook iets bstrcter zeggen (zie Definition 2 op p. 80 en de eerste oefenopgve). Het getl A heet de limiet vn de gegeven rij en we zeggen dt de rij nr A convergeert. Voorbeeld: de limiet vn x(n) := 1/n is 0, ofwel lim n 1/n = 0. Ook de limiet vn (37) is inderdd π/4 in deze strenge zin. Vk lten we n weg en schrijven we lim n x n = A of zelfs lim x n = A. Een rij hoeft geen limiet te hebben. Er is bijvoorbeeld geen enkele A R wr de rij x(n) := ( 1) n nr convergeert. Mr je zou moeten kunnen zeggen dt de rij x(n) = n nr convergeert. Dt kn: Voor een gegeven rij x : N R zeggen we dt lim n x n = ls y > 0 N N : x n > y n > N. Tevens zeggen we dt lim n x n = ls y < 0 N N : x n < y n > N. Er zijn dn dus drie mogelijkheden: 1. Een rij convergeert nr A R; 2. Een rij convergeert nr ± ; 3. Een rij convergeert niet. In het tweede en derde gevl zeggen we beide dt de rij divergeert, ofschoon er een groot verschil tussen deze twee mogelijkheden is! We gn nog eens terug nr het begrip limietpunt vn de leidrd vn vorige week (toen niet of stiefmoederlijk behndeld op het college, nu beter!). We herhlen: een punt p R is een limietpunt vn een deelverzmling X R ls voor iedere δ > 0 de verzmeling (p δ, p + δ) oneindig veel punten vn X bevt. Hou dit nst Definition 2 op p. 80:

22 22 Er geldt lim n x n = A ls ε > 0 geldt dt er een N N bestt zodt {x(n) n > N} (A ε, A + ε). Met ndere woorden, de strt vn de rij ligt geheel in iedere open omgeving vn A. De limiet vn een rij x : N R (ls die bestt) niet ltijd een limietpunt (neem een constnte rij x(n) := A, die convergeert nr A). Als x injectief is, geldt wel dt de limiet vn x (ls die bestt) tevens een limietpunt is vn de verzmeling X = x(n) R. Anders dn een limietpunt is de limiet (ls die bestt) uniek (Theorem 1c) op p. 82). De rij x(n) := ( 1) n + 1/n heeft geen limiet, mr wel twee limietpunten (welke?). Je kunt (eindige) limieten mnipuleren zols je verwcht: Theorem 2 op p. 82 is erg belngrijk om correcte berekeningen uit te kunnen voeren. Zie Inleveropgve 1. Omdt het resultt vn deze stelling te verwchten viel, lten we het bewijs weg op het college. Convergentiecriteri Om in de prktijk te lten zien of c.q. dt een rij convergeert is het volgende nuttig. 1. Noodzkelijke én voldoende voorwrde voor convergentie: x is een Cuchy-rij in de zin dt ε > 0 N N : x n x m < ε n, m > N. 2. Noodzkelijke voorwrde voor convergentie: x is begrensd in de zin dt er een intervl [, b] R is zodt x(n) [, b]. De implictie is dus: convergent begrensd, ofwel ongebrensd divergent. 3. Voldoende voorwrden voor convergentie: één vn de volgende twee x is monotoon stijgend en vn boven begrensd in de zin dt x n+1 x n voor lle n en x n < c voor een c R; x is monotoon dlend en vn beneden begrensd in de zin dt x n+1 x n voor lle n en x n > c voor een c R. Het tweede criterium kun je mkkelijk zelf bewijzen. Het eerste volgt uit het Principe vn Cuchy en Cntor, zie boek pp Het derde volgt uit het bestn vn suprem en infim vn resp. vn boven en vn onder begrensde deelverzmelingen vn R, zie week 4. Als bijvoorbeeld x is monotoon stijgend en vn boven begrensd is, heeft x(n) een supremum sup(x(n)). Dit is precies de limiet vn x. De clims zijn dus niet wr in Q! Een illustrtie vn punt 1 is de decimlexpnsie vn een irrtioneel getl, = Dit geeft nleiding tot de rij x(n) := n. An het Cuchy-criterium is voldn, zodt x(n). Een negtieve illustrtie is de hrmonische reeks x n := n. Hier geldt x 2n x n > 1, zodt de reeks wel moet divergeren (de som is ). 2 Een voorbeeld vn punt 3 is de definitie vn e d.m.v. ( e := lim n. (38) n n) Met enige moeite (zie boek pp ) is in te zien dt de rij in het rechterlid monotoon dlend is met ls ondergrens 1. Er is dus een limiet, en die limiet noemen we e. Op dezelfde mnier kun je definieren ( e x := lim 1 + x n. (39) n n)

23 23 Divergente rijen Ook over mogelijk divergente rijen is vn lles te zeggen. Iedere rij heeft een deelrij die convergeert nr een A R of divergeert nr ±. Hier is een deelrij vn x een oneindige deelverzmeling M N en de beperking vn x : N R tot M. Voorbeeld: (x n ) = (1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6,...) (40) heeft een deelrij die divergeert nr (en wel (1, 3, 5,...)) en een deelrij die convergeert nr 0 (het complement). Wrom is dit zo? De rij is begrensd of niet. Zo niet, dn geldt divergentie vn een deelrij nr ± (nders zou de rij begrensd zijn!). In het eerste gevl heeft de rij ofwel een constnte strt (x(n) = c n > N) ofwel niet. In het eerste gevl convergeert de rij nr c. In het tweede gevl is de strt injectief. Dn is Bolzno-Weierstrss n de orde: er is een limietpunt en een bijbehorende deelrij dt dr nr convergeert (zie boek bovenn p. 91). Hiermee is tevens bewezen: Iedere begrensde rij heeft een convergente deelrij. Ook ls de limiet vn een rij niet bestt, zelfs niet ls ±, kun je de volgende twee grootheden (mogelijk ± ) n de rij toekennen: limx lim inf x lim inf n x n := lim n inf{x k k n}. limx lim sup x lim sup n x n := lim n sup{x k k n}. Uit de gegeven rij x mk je in het eerste gevl dus eerste een nieuwe rij x(n) := inf{x k k n}, en neemt dn lim n x n. In het tweede gevl nvennt. Als de rij x niet vn beneden begrensd is, is lim inf x =. Als de rij x niet vn boven begrensd is, is lim sup x =. Neem nog eens (40). Dn is lim sup x = en lim inf x = 0. Als een begrensde meerdere limietpunten heeft (en dt kunnen er oneindig veel zijn!), dn geeft lim inf het kleinste limietpunt en lim sup het grootste. Als de rij convergeert of divergeert nr ±, geldt (uiterrd) lim sup x = lim inf x = lim x. (41) Een interessnt gevolg is: Een rij convergeert desd lle deelrijen convergeren. Probeer lle voorbeelden op p. 92 te begrijpen! Opgven Om te oefenen: 1. Op p. 80 stn twee verschillende definities vn de limiet vn een rij: in Definition 2 en vier regels dr onder. Lt zien dt deze twee definities equivlent zijn. 2. Lt zien dt een rij niet twee verschillende limieten kn hebben. 3. Werk Exmple 1 t/m 4 op p. 81 heleml uit. Om in te leveren: 1. Bereken zorgvuldig (i.e. bewijs lle stppen): () lim n n n2 +n ; (b) lim n 1+ n+n 2n 1 ;

24 24 (c) lim n (1 + n 1/2 ) n. 2. Bekijk Theorem 2b) ondern p. 82. Zorich neemt hier n dt A, B ±. Is de stelling ook wr ls A = lim n x n = (in de zin dt y > 0 N N : x n > y n > N)? Zo j, geef een bewijs. Zo nee, geef een extr voorwrde op B wronder de uitsprk 2b) ook wr is ls A =. 3. Stel dt (x n ) en (y n ) begrensde rijen zijn. () Bewijs dt lim sup (x n + y n ) lim sup x n + lim sup y n. n n n (b) Geef een voorbeeld wrin een stricte ongelijkheid geldt. (c) Geef een extr voorwrde op de rij (x n ) of (y n ) wronder gelijkheid geldt.

25 25 Week 7: Reeksen. Limieten vn functies. De bekende wiskundige en tv-persoonlijkheid Peter Hochs behndelt dinsdg in 3.1.4, en t/m Exmple 9 (pp ). De rest vn sln we over. Donderdg is er gewoon werkcollege. Vrijdg is er geen responsiecollege (Goede Vrijdg). De week drop is Psvkntie en is er geen ctiviteit. We pkken de drd weer op in week 16 (dus op 17 pril). Hoorcollege Reeksen Lees H. 12 vn Mrsden & Weinstein, Clculus II eerst nog eens door. We hebben vorige week l gezien: een reeks is een specil gevl vn een rij: gegeven een functie : N R (en dus een rij) mk je een nieuwe rij met termen x(n) x n := n (k) k=1 n k. De theorie vn reeksen is dus een specil gevl vn de theorie vn rijen. Omgekeerd is een rij ook weer een specil gevl vn een reeks (hoe?), l zullen we deze observtie zelden gebruiken. Net ls voor rijen zijn er dus drie mogelijkheden: 1. Een reeks convergeert nr A R; 2. Een reeks convergeert nr ± ; 3. Een reeks convergeert niet. Ook nu zeggen we in het tweede en derde gevl dt de reeks divergeert. De convergentiecriteri voor rijen uit de vorige week hebben de volgende vertling nr reeksen: 1. Noodzkelijke én voldoende voorwrde voor convergentie: ε > 0 N N : m k < ε n, m > N, k=n wnt desd is (x n ) is een Cuchy-rij (Theorem 6 op p. 95). 2. Noodzkelijke voorwrde voor convergentie: lim k k = 0, wnt nders kn de rij (x n ) onmogelijk begrensd zijn (Corollry 7 op p. 96). 3. Voldoende voorwrde voor convergentie: Alle k 0 (of in ieder gevl vnf een zekere k = N, wnt lleen de strt vn een rij is belngrijk voor convergentie) en n k=1 k M voor lle n N, wnt dn is de rij (x) monotoon stijgend en vn boven begrensd (Theorem 7, p. 98). Uit nummertje drie volgen onmiddellijk Theorem 8 op p. 98 en Corollry 9 op p. 99. Hoewel je met een of meer vn deze drie methoden soms kn zien wt er met een beplde reeks gebeurt, zijn er diepere criteri die uitsluitsel kunnen geven ls je met de drie punten niet opschiet. Deze criteri geven vk sterkere informtie dn convergentie, nmelijk bsolute convergentie. Dit betekent dt k k convergeert, wt weer impliceert dt ook k k convergeert. Keer op keer zl blijken dt je met bsoluut convergente rijen kunt mnipuleren bijn zols je wilt, net ls lter met bsoluut convergente integrlen. Heel belngrijk is de Cuchy-test (ook wel genoemd worteltest). Deze volgt uit de convergentiecriteri voor de meetkundige reeks q k 1 = q k = 1 1 q k=1 k=0 ( q < 1),

26 26 en divergent voor q 1 (zie Zorich p. 96) of Mrsden & Weinstein, Clculus II, p. 564). In de Cuchy-test moet je uitrekenen α := lim sup n 1/n. n De reeks k k is dn bsoluut convergent ls α < 1 en divergent ls α > 1. Als α = 1 heb je pech; dn geeft de test geen uitsluitsel (zie beneden voor een voorbeeld). De Cuchy-test bevt lim sup en niet lim. Dt is hndig ls de lim niet bestt; soms bestt de lim sup dn wel. Neem ls voorbeeld de reeks met k = c 1 ls k even en k = c 2 ls k oneven, met 0 < c 1 < c 2. Dn bestt lim n 1/n niet, terwijl lim sup n 1/n = c 2. Als c 2 < 1 convergeert de rij dus en ls c 2 > 1 divergeert zij. Als c 2 = 1 divergeert de rij nr, dt volgt niet uit de Cuchy-test mr dt zie je direct. Dt komt vk voor: ls α = 1 in de Cuchy-test kun je door invullen vk meteen zien wt er gebeurt. Vk, mr niet ltijd! Neem mr eens k k p voor p R. Dn is α = 1 voor lle p, mr je ziet niet direct wt er n de hnd is. In dit specifieke gevl geeft weer een ndere test vn Cuchy (wt een kerel!) uitsluitsel, zie Proposition 2 op p. 101 en de drop volgende uitwerking. Een soortgelijke test is die vn d Alembert (zie p. 100). Niet opgenomen in Zorich mr wel uitermte nuttig is de Alternting Series Test in Mrsden & Weinstein, Clculus II, p. 573): ls (in de strt) iedere k een tegengesteld teken heeft t.o.v. zijn voorgnger en k 0, dn convergeert k k. Druit zie je dt k ( 1)k 1/k convergeert, terwijl k 1/k divergeert (hetgeen bijvoorbeeld volgt uit het Cuchy-criterium, zie Zorich p. 87). Limieten vn functies We willen zeggen wt de betekenis is vn de uitsprk lim f(x) = A. (42) x Het ruwe idee is dt dit geldt voor f : R R, mr ls je kijkt nr f(x) = 1/x dn wil je iets kunnen zeggen ls lim x 0 = terwijl x = 0 niet tot het definitiegebied vn f behoort. Ook willen we soms een functie uitbreiden. Stel dt f(x) = sin(x)/x, voor x 0. Dn willen we kunnen zeggen dt lim x 0 f(x) = 1 (zie p. 117). Drom nemen we n dt f : E R met E R, wrbij een limietpunt vn E is. I.h.b. hoeft niet in E te liggen. Dn begrijp je wrom Definition 1 op p. 107 de gegeven vorm heeft, en wrom lle rre notties met dt bolletje po p. 108 slim zijn bedcht. Het verbnd tussen limieten vn functies en limieten vn rijen wordt gegeven door de frie stelling vn Heine, Proposition 1 op p. 111: (42) geldt desd ls voor iedere rij x : N E\{} met x n geldt dt de rij f(x n ) convergeert nr A. Om dus te bewijzen dt (42) NIET geldt, is het voldoende om voor een slim gekozen rij te lten zien dt f(x n ) niet convergeert nr A! Illustrtie vn de begrippen tot nu toe: neem E 1 = R + := {x R x > 0} en f(x) = 1 op E 1. Dn is lim x 0 = 1. Neem nu E 1 = R := {x R x < 0} en f(x) = 0 op E 2. Dn is lim x 0 = 0. Neem ten slotte deze f op E 1 E 2 = R\{0}. Dn bestt lim x 0 niet! Een nuttige techniek is het inklemmen vn f, zie Theorem 3 op p Bekijk goed het voorbeeld sin(x)/x.