Theo Nijman en Bas Werker Marktconsistente Waardering van Zachte (Reële) Pensioencontracten. Netspar OCCASIONAL PAPERS

Transcriptie

1 Nespar OCCASIONAL PAPERS Theo Nijman en Bas Werker Markconsisene Waardering van Zache Reële) Pensioenconracen

2 Markconsisene Waardering van Zache Reële) Pensioenconracen Theo E. Nijman en Bas J.M. Werker Nespar en Universiei van Tilburg Voorlopige versie: commenaar welkom Sepember 6, 011 Di documen beschrijf markconsisene waardering van zach reële) pensioenconracen zoals die in de uiwerkingsovereenkoms bij he pensioenakkoord worden voorgeseld. Aangeoond word da, indien oe- en afslagen worden verleend door schokken in de markconsisene dekkingsgraad ui e smeren over een aanal jaren, de markconsisene disconeringsvoe afhang van de horizon van de pensioenoezegging. Ook worden resulaen afgeleid voor verdelingsmechanismen gebaseerd op nie markconforme waardering van de verplichingen, bijvoorbeeld door risicoloos e disconeren of door e disconeren egen he verwach porefeuillerendemen. De horizon afhankelijke markconsisene disconeringsvoe lig ussen de reële) risicovrije rene en he verwach reëel) porefeuillerendemen. Deze disconeringsvoe is van belang voor he bepalen van de dekkingsgraad van een fonds en dus voor de beoordeling of financiële ruime besaa voor he oekennen van oeslagen, danwel da afslagen vereis zijn. De disconeringscurve speel ook een groe rol bij de bepaling van de kosendekkende premie voor nieuwe opbouw en bij waardeoverdrach. Als schokken in financiële marken binnen 10 jaar moeen zijn geabsorbeerd, zoals he pensioenakkoord lijk e verondersellen, volg bij een duraion van de verplichingen van 15 jaar da grofweg 70% van de risicopremie in de onderliggende beleggingsporefeuille bij markconsisene waardering van de oale verplichingen kan worden meegenomen. Daarmee leid markconsisene waardering van de verplichingen o een endogene grooe van de reserve die de laase deelnemers precies compenseer voor he fei da zij geen schokken meer gedeelelijk kunnen doorschuiven naar volgende generaies. De grooe van deze reserve neem af naar mae he fonds minder risico neem. Bas Werker is eveneens als research fellow verbonden aan de Duisenberg School of Finance 1

3 1 Samenvaing In di documen bespreken we markconforme waardering van pensioenrechen in collecieve conracen waarin schokken in financiële marken en in serfekansen over meerdere perioden worden uigesmeerd. Als er geen sprake is van uismeren van deze schokken is de markconforme disconeringsvoe gelijk aan he verwach porefeuillerendemen. Als schokken wel worden uigesmeerd verschil de mae van risico die gelopen word me de horizon van de verpliching. He verevenen van schokken leid er dan oe da nie de gehele risicopremie op de onderliggende beleggingsporefeuille meegenomen mag worden in de waardering van de verplichingen. We beperken ons di documen o invullingen van he SAR akkoord waarin oe- of afslagen berekend worden als S S ) /N me S de huidige dekkingsgraad, S een sreefwaarde voor deze dekkingsgraad, en N een vereveningsparameer. Onze berekeningen onen aan da voor een fonds me een duraion van de verplichingen van 15 jaar da jaarlijks 10% van een achersand in dekkingsgraad absorbeer N = 10) ongeveer de helf van de aandelenrisicopremie ingeboek mag worden bij he bepalen van de waarde van de oale verplichingen. Indien schokken sneller worden oegedeeld en jaarlijks 0% van een achersand in dekkingsgraad word genomen N = 5) sijg di percenage o ongeveer 70%. Markconsisene waardering van financiële iels kan gebeuren volgens en minse drie equivalene mehoden: risiconeuraal waarderen, disconeren van verwache uibealingen egen een markconsisene disconeringsvoe en he haneren van een pricing kernel of sochasic discoun facor zie Cochrane, 005). De waardering is ongeach de gebruike echniek gebaseerd op modelaannames bereffende de onderliggende risicofacoren. Voor veel financiële producen is he ook onvermijdelijk om subjecieve aannames e maken over nie direc waarneembare parameers zoals de risicopremie op aandelen of de correlaie ussen rendemenen op verschillende financiële waarden. Da is ook bij de waardering van de zache reële pensioenconracen he geval. Onze analyse leid o een analyische uidrukking voor de waardering van verplichingen in zache reële pensioenconracen onder verondersellingen die direc aansluien bij die van de Black Scholes formule voor he waarderen van opies op aandelen en gangbare duraion modellen voor he omgaan me renerisico. De oezichhouder zou he gebruik van de waarderingsmehode kunnen vereenvoudigen door een applicaie aan e bieden die de juise disconeringscurve bepaal ui de inpu parameers. He principe van een horizon afhankelijke disconeringsvoe geld ook voor andere mogelijke invullingen van he SAR akkoord dan he conrac da hier word onderzoch. In die gevallen kan evenueel worden eruggevallen op numerieke bepaling van de juise disconeringscurve, ook wel aangeduid als Value Based ALM. Als alleen sprake is van aandelenrisico vereenvoudigen de uidrukkingen voor de disconeringscurve aanzienlijk. De op basis van rekenkundige rendemenen gemeen disconeringsvoe op horizon h voor de verwache pensioenbealingen

4 kan in da geval worden geschreven als µh) = r + wη S σ e 1 1 ] ρh, 1) h) me r de risico-vrije reële) rene, w de aandelenexposure van de beleggingsporefeuille van he fonds, η S σ e de risicopremie op aandelen in de financiële mark, σ e de volailiei van aandelen en ρ = 1 1/N. De gevonden grooe van de markconforme risicopremie is eenvoudig e moiveren. Di paper gaa ui van een siuaie da de pensioenen in jaar vasliggen en gebaseerd worden op de dekkingsgraad aan he einde van jaar 1. Di beeken da pensioenbealingen op een horizon van h = 1 jaar geen risicoexposure hebben. Pensioenbealingen me een horizon van h = jaar hebben geen exposure naar schokken in jaar +, maar een exposure van 1 ρ = 1/N naar schokken in he eerse jaar. Voor h = 3 vinden we een exposure van 1 ρ naar schokken in he eerse jaar en 1 ρ naar schokken in he weede jaar. In he algemeen is de gemiddelde exposure voor een horizon h naar schokken dus gelijk aan h 1 i=0 i ). Deze som uiwerken lever de gegeven expressie voor de disconovoe. Direc val in e zien da als h gelijk is aan 1 de disconeringsvoe gelijk is aan de reële) risicovrije rene. Voor lange horizon groe h) endeer de disconeringsvoe naar he verwach rendemen op de beleggingsporefeuille. Merk op da voor N = 1 geld da ρ = 0 en de disconovoe gegeven word door r + wη S σ e 1 1/h). In bovensaande inerpreaie van he pensioenakkoord is veronderseld da rendemensschokken pas na een jaar o daadwerkelijke aanpassing van de pensioenen leiden. In Bovenberg en Nijman 011) word veronderseld da de aanpassing onmiddelijk plaasvind waardoor de lich hogere disconovoe µh) = r + wη S σ e 1 ] ρh, ) h) geld. Voor N = 1 geld dan ρ = 0 en µh) = r + wη S σ e zoda de gehele risicopremie op aandelen gebruik moe worden voor de waardering van verplichingen omda de pensioenbealingen in die siuaie volledig en direc risicodragend zijn. Deze iming effecen spelen uieraard ook bij he oekennen van inflaiecompensaie en laen we verder op di momen buien beschouwing. Wij laen zien da de dynamiek van de markconforme dekkingsgraad word gegeven door log S S µ = ρ log S ) S µ + we, 3) µ = Nwη S σ e D V D V ), 4) me e he excess rendemen op aandelen en D V de duraion van de verplichingen 1. He nie oedelen van de gehele risicopremie leid eroe da op 1 Wederom is deze formule aangepas voor he gebruik van rekenkundige rendemenen en opziche van de meekundige rendemenen in de res van di arikel. 3

5 ermijn een reserve in he fonds onsaa. Indien een markconforme disconeringsvoe gekozen is, dan zal de posiieve verwaching van deze reserve ook precies markconform zijn. Indien he fonds minder risico neem, zal de verwache grooe van deze reserve ook afnemen. He nieuwe pensioenconrac In he nieuwe pensioenconrac zoals overeengekomen door sociale parners worden financiële en demografische) schokken oegedeeld aan de deelnemers in een pensioenfonds. In di conrac speel de dekkingsgraad een cenrale rol. Deze dekkingsgraad word enerzijds gebruik als suurvariabele en behoeve van de jaarlijkse aanpassing van opgebouwde rechen) en anderzijds om de financiele siuaie van he pensioenfonds samen e vaen en, mogelijk, oezich e houden. Beide inerpreaies saan los van elkaar, doch worden vaak vereenzelvigd. In di documen haneren we de erminologie dekkingsgraad slechs indien deze gebaseerd is op een markconforme waardering van de verplichingen. We laen de mogelijkheid open da indexaie word verleend op basis van een suurvariabele die nie gelijk is aan de dekkingsgraad. Di is bijvoorbeeld he geval indien verplichingen worden verdisconeerd me he volledige verwache rendemen op de beleggingsporefeuille of, anderszijds, me slechs de risicovrije rene. We spreken dan consequen van veronderselde waarde van de verplichingen. We geven me Z i de oaal opgebouwde rechen, op ijdsip, aan van de deelnemers die over i jaar me pensioen gaan. Voor i 0 zijn he de rechen van deelnemers die al i jaar me pensioen zijn. Voor deze laase groep is Z i dus precies gelijk aan de pensioenbealing die zij in jaar onvangen. De oale pensioenbealing van he fonds aan gepensioneerden, in jaar, word me deze noaie dus gegeven door i 0 Z i. Voor groepen die nog nie gepensioneerd zijn, geef Z i he niveau van he e onvangen pensioen aan, in geval er geen enkele oekomsige aanpassing meer zou volgen. Kern van he nieuwe pensioenconrac is da elk jaar de opgebouwde rechen verhoogd of verlaagd worden naar gelang de financiele siuaie van he fonds. We geven de oe e kennen aanpassing oe- of afslag) in jaar aan me y. In di gehele documen maken we gebruik van meekundige verdisconering. De onwikkeling van de opgebouwde rechen word dan gegeven door Z,i = exp y ) Z,i+1. 5) We nemen aan da de pensioenaanpassingen y afhankelijk zijn van een suurvariabele die we aangeven me S. Concree beschouwen wij he mechanisme y = 1 N log S / S ) 1 N S S ). Hierin is N een vereveningsparameer en S een sreefwaarde voor de suurvariabele waarboven pensioenen verhoogd zullen worden en waaronder deze verlaagd worden. Als bijvoorbeeld N = 5 word jaarlijks 0% van de reserende 4

6 achersand en opziche van de sreefwaarde van de suurvariabele geabsorbeerd in de oe- of afslag. He pensioenakkoord laa meer mogelijke invullingen oe. Bovensaande aanname leid eroe da de onwikkeling van de suurvariabele val binnen de klasse van lineaire) AR1) processen. Hierdoor zijn analyische berekeningen, me de bijbehorende inzichen, mogelijk. Andere aanpassingsmechamismen kunnen door middel van simulaie geanalyseerd worden. Merk op da bovensaande formule nie explicie rekening houd me inflaie. Alle waarde)grooheden in di documen kunnen zowel nominaal als reëel geïnerpreeerd worden. We beperken ons in deze noiie o suurvariabelen die verkregen worden door de opgebouwde rechen e verdisconeren me enige disconovoe. Merk op da deze suurvariabele slechs dan gelijk is aan de markconforme dekkingsgraad indien deze disconovoe gelijk is aan de markconforme disconovoe van de beloofde pensioenbealingen, rekening houdend me de onzekerheid daarin. Er is veel discussie in de landelijke dagbladen over de juise keuze van deze disconovoe. Hierbij komen voorsellen varierend van de risicovrije rene o he onderliggende porefeuille rendemen voorbij. Wij onen aan da de markconforme disconeringsvoe horizon afhankelijk is en brengen de consequenies in beeld van he haneren van afwijkende disconeringsvoeen. We onderzoeken daarom als veronderselde disconeringsvoe, op ijdsip en horizon h, θ h) = θ 0 r + θ 1 + θ h, N), 6) waarin r de kore rene aangeef. De keuze θ 0 = 0 en θ h, N) = 0 leid o he gebruik van consane disconovoeen er grooe van θ 1. Wij verondersellen da de ermijnpremie slechs een funcie is van de loopijd. De keuze θ 0 = 1, θ 1 = 0 en θ 1 h, N) = θ 1 h) maak daarmee he gebruik van de reneermijnsrucuur zonder enige risico opslag mogelijk. He oevoegen van risicopremies kan door deze in θ 1 op e nemen, of als ze afhangen van de horizon en/of de vereveningsparameer N, in θ h, N). Ter idenificaie zullen we laer soms opleggen da θ D V, N) = 0, waarbij D V de duraion van de verplichingen is. Verderop in di paper laen we zien voor welke parameer keuzen bovensaande disconovoeen markconform zijn. Indien de disconovoeen nie markconform zijn bepaald, bijvoorbeeld door ze gelijk e sellen aan he consane verwache porefeuillerendemen, zullen we consequen spreken van veronderselde disconovoeen, leidend o een veronderselde waarde van de verplichingen aan e duiden me V ). De suurvariabele S word nu verkregen door de markwaarde van de aciva, aangeduid me A, e delen door deze veronderselde waarde van de verplichingen V. Deze veronderselde waarde van de verplichingen word bepaald door de oekomsige pensioenuibealingen e verdisconeren me de veronderselde disconovoeen. Hierbij houden we rekening me sochasiek in de) serfekansen. Definieer hieroe p i:h als de overlevingskansen, op ijdsip, van cohor i over een horizon van h jaar. Daarmee word de suurvariabele gegeven door A S = h 0 exp hµ h)) i h Z,ip i:h. 7) 5

7 Merk op da bovensaande definiie impliceer da bij he bepalen van de veronderselde waarde van de verplichingen, en dus van de suurvariabele, geen rekening gehouden word me de naar verwaching oe e kennen indexaies na ijdsip, dus me E j=1 y +j. Di is ook in he huidige pensioenconrac he geval en gevolge van he gebruik van saffels. Alle in deze noiie e beschouwen suurvariabelen zullen een auoregressief process van orde 1 volgen. Meer precies krijgen we log S S µ = ρ log S ) S µ + ε, 8) y = 1 N log S S, 9) waarin ρ en µ nader e bepalen coëfficienen zijn en ε onafhankelijk en ideniek normaal verdeelde soringen zijn, me verwaching nul en varianie σ ε. 3 De verondersellingen Markconsisene waardering van risicovolle oezeggingen kan gebaseerd worden op verschillende mehoden, zoals risk neural pricing, disconering egen een markconsisene disconeringsvoe of he gebruik van een sochasic discoun facor zie Cochrane, 005). Deze drie mehoden zijn gebaseerd op idenieke verondersellingen en leiden o idenieke resulaen. Ongeach de gehaneerde mehode zijn verondersellingen nodig over he gedrag van financiële marken. Afhankelijk van de aard van he financiële produc zijn veelal subjecieve verondersellingen nodig over parameers in he model, zoals de risicopremie op aandelen of de correlaie ussen rendemenen op verschillende financiële iels. In di documen verondersellen we da er sprake is van drie risicofacoren: rene, aandelenrisico en langlevenrisico. Langlevenrisico word veronderseld nie geprijsd e zijn. Rene en aandelenrisico word gemodelleerd me behulp van, respecievelijk, de modellen van Black en Black-Scholes. Hiermee sluien we aan bij sandaard duraion analyse voor wa beref de vasrenende aciva. We maken geen expliciee verondersellingen over evenuele sochasische) inflaie. Alle waarde)grooheden in di documen kunnen zowel nominaal als reëel geïnnerpreeerd worden. Een formele beschrijving van de financiele mark is als volg. De rene schokken r, de aandelenschokken e en de langlevenschokken α worden veronderseld gezamenlijk normaal verdeeld e zijn: e r α N 0 0 α, σ e σ r σ α. 10) Rendemenen op aandelen worden gegeven door R = exp r + η S σ e 1 ) σe + e, 11) 6

8 waarbij η S σ e de risico premie op aandelen is. We kiezen voor deze noaie omda dan apar in beeld e brengen is wa he effec is van meer of minder aandelen volailiei en wa van een hoger of lagere prijs van aandelenrisico. Merk ensloe op da aandelen- en reneschokken onafhankelijk veronderseld worden. Prijzen in deze financiële mark worden bepaald door de zogenaamde pricing kernel. Deze pricing kernel specificeren we, conform de modellen van Black en Black-Scholes. De log)reurn van de pricing kernel is dan m = r η S e σ e 1 η S η r r σ r 1 η r. 1) Voor wa bereff langlevenrisico verondersellen we he volgende. Geef me p i:h de overlevingskans, op ijdsip, van leefijdscohor i over een horizon h weer. We nemen aan da de dynamiek in deze serfekansen word gegeven door p i 1: = exp α ) p i:h waarin α cohor onafhankelijke, ideniek en onafhankelijk normaal verdeelde, schokken zijn. 4 Dynamiek van de suurvariabele He is eviden da he risicoprofiel van oekomsige pensioenbealingen afhang van he beleggings- en vereveningsbeleid van he pensioenfonds. We bepalen de markconsisene waarde van pensioenoezeggingen zonder da een beroep word gedaan op oekomsige premieinkomsen. De dynamiek van de suurvariabele word in de eller bepaald door de dynamiek van de aciva van he fonds, op hun beur bepaald door he beleggingsbeleid en onwikkelingen op de financiële marken. In de noemer is de dynamiek van de veronderselde waarde van de verplichingen van belang. We beschouwen beiden apar. 4.1 Dynamiek van de aciva A Voor wa beref de aciva, verondersellen we da he fonds, op ijdsip, een fracie w van he vermogen in aandelen beleg en de fracie 1 w in vasrenende waarden me een duraion van D A. Da leid er oe da de waarde van de aciva op ijdsip + 1 gegeven worden door A = A Z i exp r + w η S σ e 1 ] ) σe + e 1 w ) D A r. i 0 Merk op da deze specificaie een beperke) onderschaing van he rendemen geef omda de ermijnpremie voor de vasrenende waarde nie meegenomen is. Deze kan, in concree implemenaies, evenueel meegenomen worden in de prijs van aandelenrisico η S. 7

9 4. Dynamiek van de veronderselde verplichingen V Zoals hierboven beschreven gaan we ui van een suurvariabele die gebaseerd is op een waardering van de verplichingen me, vooralsnog, arbirair gekozen disconovoeen. In he bijzonder zijn deze dus nie noodzakelijk markconform. Deze veronderselde waarde van de verplichingen op ijdsip, V verschil van die op ijdsip om de volgende redenen. 1. De pensioenbealingen in jaar, dus i 0 Z i, drukken nie meer op de verplichingen;. Alle rechen Z,i zijn aangepas me de facor exp y ); 3. De oekomsige pensioenbealingen dienen een periode eerder uibeaald e worden; 4. De veronderselde disconovoeen θ h) verschillen van die op ijdsip omda de rene r gewijzigd is. De gevolgen van de eerse effecen kunnen exac berekend worden. Voor de wijziging in de disconovoeen zelf maken we gebruik van een duraion analyse benadering. De veronderselde waarde van de pensioenverplichingen op ijdsip word gegeven door V = exp hθ h)) Z,i p i:h 13) h 0 i h Definieer verder de veronderselde duraion van de verplichingen als D V = h 0 h exp hθ h)) i h Z,ip i:h. 14) V Afzien van de wijziging in de disconovoeen da wil zeggen gebruikmakend van de veronderselde disconovoeen θ h + 1)) leid di o een veronderselde waarde van de verplichingen op ijdsip + 1 er grooe van exp hθ h + 1)) Z,i p i:h h 0 i h = exp y ) ) exp h θ h + 1) Z,i+1 p i:h h 0 i h = exp y ) ) exp h θ h + 1) h 0 i h+1 = exp y ) exp h 1) θ h)) h 1 i h = exp y + α ) exp θ h) h θ h) h 1 Z,i p i 1:h Z,i p i 1: ) i h Z,i p i:h 8

10 exp y + α + θ D V )) exp h θ h) h 1 ) i h Z,i p i:h = exp y + α + θ D V )) V Z i, 15) i 0 waar de benadering gebaseerd is op duraion analyse. Rekening houdens me de wijziging van de disconovoeen komen we o de volgende onwikkeling van de veronderselde verplichingen. V = h 0 exp hθ h)) i h Z,i p i:h exp D V θ D V ) θ D V )]) exp hθ h + 1)) Z,i p i:h h 0 i h exp y + α + θ D V ) D V θ D V ) θ D V )]) V Z i i 0 exp y + α + θ D V ) D V θ 0 r ) V Z i, 16) i 0 waarbij de laase benadering afzie van he effec van de verandering in de suurvariabele op de verwache indexaie. In concree specificaies is de aanbeveling de accuraaheid van bovensaande benaderingen door middel van, bijvoorbeeld, simulaie e conroleren. 4.3 Dynamiek van de suurvariabele S Op basis van bovensaande resulaen vinden we auoregressieve dynamiek voor de suurvariabele S, waarbij de auoregressieve parameer afhang van de vereveningsperiode. We vinden direc S = A V A i 0 Z i ) exp r + w ηs σ e 1 σ e + e ] 1 w ) D A r ) exp y + α + θ D V ) D V θ 0 r ) V ] i 0 Z i = A i 0 Z i V i 0 Z exp y α + w e + D V A, r ) i exp r + w η S σ e 1 ] ) σ e θ D V ) 1 i 0 = S Z i/a 1 i 0 Z exp y α + w e + D V A, r ) i/v exp r + w η S σ e 1 ] ) σ e θ D V ), 9

11 waar D V A, = θ 0 D V 1 w ) D A de veronderselde duraion gap op ijdsip aangeef. We roepen in herinnering da i 0 Z i de oale pensioenbealingen in jaar zijn. We vinden hiermee de volgende dynamiek voor de log-suurvariabele log S = log S y + log 1 i 0 Z i/a 1 i 0 Z i/v α + w e + D V A, r + 1 θ 0 ) r θ 1 θ D V, N) + w η S σ e 1 σ e ]. 17) We voeren een aanal verondersellingen in om de analyse analyisch e kunnen voorzeen. Deze zeen we hieronder op een rij. Allereers verondersellen we θ 0 = 1, da wil zeggen da de veronderselde disconovoe gezien word als de rene plus een opslag. Hiermee voorkomen we da de AR1) dynamiek in de rene zelf, een AR1) dynamiek voor de suurvariabele versoor. De erm log 1 ) i 0 Z i/a / 1 ) i 0 Z i/v zullen we in de analyse verder verwaarlozen. Merk op da deze erm exac nul is indien hezij i 0 Z i = 0, hezij V = A. In he algemeen kunnen afschaingen van he ype log 1 i 0 Z i/a 1 i 0 Z i/v i 0 Z i A A + V 1 V, 18) gebruik worden zolang de ui e bealen pensioenen een klein gedeele van de aciva/verplichingen uimaken. Via simulaie kan weer worden nagegaan in welke gevallen deze benadering o meer dan verwaarloosbare afwijkingen in de waardering leid. Voor sinking gians is he zeker van belang de invloed van deze benadering goed e onderzoeken. Voor he vereveningsmechnisme verondersellen we y = N 1 log S / S ). Hiermee blijf de analyse lineair en daarmee analyisch uivoerbaar. Tensloe verondersellen we een consan beleggingsbeleid in de zin da de aandelenexposure w, de duraiongap D V A,, en de duraion van de verplichingen D V, gelijk blijf. Di is nie srik noodzakelijk om de berekeningen e kunnen uivoeren, maar vereenvoudig de siuaie aanzienlijk. Deze aannames invullen lever log S = 1 1 ) log S S N S α + we + D V A r θ 1 θ D V, N) + w η S σ e 1 ] σ e. 19) Hierui volg da deze suurvariabele inderdaad aan de dynamiek 8) voldoe. Meer precies hebben we ρ = 1 1 N, 0) 10

12 ε = α α + we + D V A r, 1) µ = N w η S σ e 1 ] ) σ e α θ 1 θ D V, N). ) 5 Markwaarde van de verplichingen Voorgaande analyse leid o de dynamiek van de suurvariabele gebaseerd op een veronderselde waarde van de verplichingen) en daarmee van de oe e kennen indexaies y en dus de pensioenbealingen Z i. Indien markwaardering word nagesreefd, bijvoorbeeld me als argumen da pensioenfondsen voor de aciva zijde van de balans ook op financiële marken moeen opereren, kan bovensaande analyse eveneens gebruik worden. We nemen aan da de suurvariabele aan de dynamiek 8) voldoe. Beschouw nu de oezegging Z i over een horizon van h jaar. Deze leid o een feielijke pensioenbealing indien i h er grooe van, rekening houdend me een overlevingskans p i:h, Z i exp j=0 y +j ) p i:h. Merk op da geld y +j = 1 µ + log S ] +j N S µ j=0 j=0 = h N µ + 1 ρ j log S ) N S µ + = h N µ + 1 N = h N µ + 1 N j=0 h h ] j ρ j i ε +i log S S µ ) + 1 N ρ j i ε +i j=i log S ) S µ + 1 h i N ε +i. 3) Gebruikmakend van de sochasic discoun facor voor de financiële mark die we in deze noiie beschouwen, vinden we voor de waarde op ijdsip van de pensioenbealing voor huidig cohor i over een horizon h i Z i p i:h E exp y +j + m +j+1 4) j=0 h = Z i p i:h exp N µ + 1 h N E exp m +h + h i h = Z i p i:h exp N µ + 1 h N log S S µ )) N) ε +i + m +i log S )) S µ ] ) 11

13 h i E exp r + + N) ε e +i +i r +i 1 η S σ e h = Z i p i:h exp N µ hr + 1 h log S )) N S µ h i E exp h = Z i p i:h exp 1 exp Var N) ε +i h i) r +i η S e +i N µ hr + 1 N { h i h σ e 1 η S η r r +i σ r 1 η S η r r +i σ r log S ) S µ h 1 η S + ηr ) ) N) ε +i h i) r +i η S e +i σ e } ) r +i η r. σ r In geval de suurvariable word verkregen door de rechen Z i e verdisconeren me veronderselde disconovoeen zoals in hoofdsuk 4, zie 0)-), krijgen we meer precies N) = 1 en { } h i Var N) ε e +i r +i +i h i) r +i η S η r σ e σ r = h i) σ 1 α + ρ h i ) D V A h i) η ) r σr σ r 1 + ρ h i ) w η ) S σ σ e. 5) e Invullen lever voor de markwaarde van de verplichingen h Z i p i:h exp N µ hr + h) log S )) S µ h 1 exp 1 N η S 1 ] η r + 1 h i ) σ α Merk op da ρ h i ) D V A h i) η r σ r ρ h i ) w η ) ) S σe, σ e ) σ r 6) h i ) = h ρh. 7) Di invullen lever uieindelijk voor de markwaarde van de verplichingen op ijdsip, voor cohor i me horizon h in geval h i) h Z i p i:h exp N µ hr h) + h) log S )) S µ 8) 1 1 η r 1 η r ] ) ] )

14 exp wη S σ e h ] ρh D V A σ r h i ) h i) + η ) r σ r + D V A σ r + w σ e h i )) h i ) + σ α h i ) ). De markconforme disconovoe word voor de algemene specificaie van de suurvariabele dus gegeven door µ µ h) = r h) N + 1 h ) log S )] h S µ 9) + wη S σ e 1 1 ] ρh h) me µ = N + D V Aσ r h D V A σ r h w σ e h h i ) h i) + η r σ r h i ) h i ) σ α h ) h i ), w η S σ e 1 ] ) σ e α θ 1 θ D V, N). 30) In geval van he gebruik van de markconsisene dekkingsgraad als suurvariabele en dus van markconsisene waardering van de verplichingen dien uieraard e gelden θ h) = µ h). Als we de veronderselde disconeringsvoe normaliseren zoda θ D V ) = 0 bepaal di precies de markconsisene waarde voor θ 1. Merk op da he lange ermijn gemiddelde µ van log S / S in da geval posiief is. Di leid o he onsaan van een reserve die precies markconsisen is. Merk op da µ daal naarmae he fonds minder risico neem, da wil zeggen, als w daal. De uidrukking in 9) specifeer de meekundige disconeringsvoe, op basis van meekundig gedefinieerde rendemensparameers, als er sprake is van zowel aandelen-, rene- en langlevenrisico. Als alleen aandelenrisico word bezien en gekeken word naar he rekenkundig rendemen vereenvoudig de uidrukking o µh) = r + wη S σ e 1 1 ] ρh. 31) h) Indien we een fonds me N = 10 en D V = 15 beschouwen, vinden we da )/15/0.1 = 47% van de aandelenrisicopremie bij markconforme 13

15 waardering van de verplichingen meegenomen mag worden. Een snellere oedeling van schokken in de vorm van N = 5 leid o )/15/0. = 68%. 14