Escalerende garantietoezeggingen: Een alternatief voor het StAr RAM-contract? Technische uitwerking

Transcriptie

1 Escalerende garanieoezeggingen: Een alernaief voor he SAr RAM-conrac? Technische uiwerking Servaas van Bilsen, Roger J. A. Laeven en Theo E. Nijman April 7, 203 Absrac Di documen beva de echnische uiwerking van i he EG conrac, ii he flexibele reële conrac en iii he conrac me een rendemensgaranie. Deze conracen zijn geanalyseerd in: Bilsen, S. van, R.J.A. Laeven en T.E. Nijman 203. Escalerende garanieoezeggingen: Een alernaief voor he SAr RAM-conrac?, mimeo. Noaie We gebruiken in de echnische uiwerking van de pensioenconracen de volgende noaie: Table : Parameers Parameer Omschrijving µ verwach rekenkundig rendemen op he zach pensioenvermogen C pensioenpremie als percenage van he genoen loon T overlijdensleefijd deelnemer P pensioneringsleefijd deelnemer E oeredingsleefijd deelnemer i geboorejaar deelnemer rendemensgaranie R G Deze abel oon de omschrijving van de parameers. Wij zijn Lans Bovenberg erkenelijk voor discussies over de vormgeving van pensioenuikeringen. Malab compuercode om de echnische uiwerking e implemeneren is op verzoek verkrijgbaar bij de aueurs. Di onderzoek is gedeelelijk gefinancierd door de Nederlandse Organisaie voor Weenschappelijk Onderzoek NWO. Tilburg Universiy, CenER en Nespar, S.vanBilsen@uv.nl. Universiy of Amserdam, ACIS, CenER, Eurandom en Nespar, R.J.A.Laeven@uva.nl. Tilburg Universiy, CenER en Nespar, Nyman@uv.nl.

2 Table 2: Variabelen Variabele Omschrijving R n njaarsrene gezien vanaf begin ijdsip R rendemen op he hard pensioenvermogen ussen ijdsip en + r rendemen op he zach pensioenvermogen ussen ijdsip en + F,s n verwache njaarsrene aan he einde van ijdsip s gezien vanaf begin ijdsip W H hard pensioenvermogen aan he einde van ijdsip voor indexaie W H hard pensioenvermogen aan he einde van ijdsip na indexaie W Z zach pensioenvermogen aan he einde van ijdsip voor indexaie W Z zach pensioenvermogen aan he einde van ijdsip na indexaie W oaal pensioenvermogen aan he einde van ijdsip ρ v verwach reëel rendemen op he oaal pensioenvermogen ussen ijdsip en + ω deel van he oaal pensioenvermogen da in zakelijke risicodragende waarden word belegd ussen ijdsip en + I genoen loon aan he begin van ijdsip y hooge van de nieuw op e bouwen nominale garanie aan he begin van ijdsip Y hooge van he oaal opgebouwd pensioeninkomen aan he einde van ijdsip voor indexaie Y hooge van he oaal opgebouwd pensioeninkomen aan he einde van ijdsip na indexaie Y,s verwache vervangingsraio begin ijdsip s gezien vanaf einde ijdsip π,s verwache inflaie ussen ijdsip s en s + gezien vanaf begin ijdsip π gerealiseerde inflaie aan he einde van ijdsip f geïndexeerde deel van de gerealiseerde inflaie aan he einde van ijdsip sochasische verdisconeringsvoe aan he begin van ijdsip M Deze abel oon de omschrijving van de variabelen. 2 Technische uiwerking van he EG conrac De volgorde in elke periode is als volg:. Premie word beaald en pensioenuikering word onvangen aan he begin van periode. 2. Rendemen op he zach hard pensioenvermogen word aan he einde van periode bijgeschreven op he zach hard pensioenvermogen da beschikbaar is aan he begin van periode. 3. Indexaie en overheveling van zach naar hard pensioenvermogen vind direc daarna aan he einde van periode plaas; vervolgens worden de pensioenvermogens overgedragen naar de volgende periode en word verder erug gegaan naar sap hierboven. De volgende vergelijkingen gelden voor de onwikkeling van de pensioenvermogens: { W H W H = + α CI + R voor = E + i,..., P + i ; W H Y + R voor = P + i,..., T + i; W Z = { W Z + α CI + r voor = E + i,..., P + i ; W Z + r voor = P + i,..., T + i. We hebben de volgende iniiële waarden: W H E+i = W H E+i = 0 en W Z E+i = W Z E+i = 0. 2

3 In bovensaande vergelijkingen is α he deel van de premie da word oegevoegd aan he hard pensioenvermogen. α word zodanig bepaald da de nieuw op e bouwen nominale garanie, y, in verwaching meegroei me de verwache onwikkeling van de lonen of de prijzen; zie de verdere uileg hieronder. De expliciee uidrukkingen voor W H en W H zijn resp.: W H = W H = T +i n=maxp +i,0 T +i n=maxp +i,0 Y + R n n voor = E + i,..., T + i; Y + R n + n voor = E + i,..., T + i. He hard pensioenvermogen is dus gelijk aan de verdisconeerde waarde van de oekomsige gegarandeerde pensioenuibealingen. He rendemen op he hard pensioenvermogen, R, word gegeven door: R = W H W H +αci W H W H +αci voor = E + i,..., P + i ; W H Y W H Y voor = P + i,..., T + i. De premie-inleg, CI, is per consrucie gelijk aan he vermogen da nodig is om de nieuw op e bouwen nominale garanie, y, e allen ijde waar e kunnen maken plus he vermogen da nodig is om de beoogde indexaie van y na e sreven. De hooge van de nieuw op e bouwen nominale garanie, y, word elk jaar zodanig vasgeseld da deze garanie in verwaching meegroei me de verwache onwikkeling van de lonen of de prijzen. De beoogde nominale garanie aan he begin van ijdsip s als gevolg van behorend bij de premie-inleg aan he begin van ijdsip word gegeven door s > : ] s s v y + π,v = y [ + π,v + π,u. v= v= u= De eerse erm aan de recherkan van deze gelijkheid is de nieuw op e bouwen nominale garanie y. De beoogde ophoging van de nieuw op e bouwen nominale garanie y aan he einde van ijdsip v, v {,..., s }, is y π v,v u= + π,u. In verwaching word aan he einde van elk ijdsip v < s een bedrag er waarde van y π v,v u= +π,u +F s v+,v s v+ overgeheveld van zach naar hard pensioenvermogen. He vermogen da nodig is om de beoogde indexaie aan he einde van ijdsip v na e sreven is nu gelijk aan de verwache overheveling verdisconeerd egen he verwach rendemen op he zach pensioenvermogen, µ. We kunnen derhalve meer specifiek de volgende gelijkheid opsellen s > : CI = y + R s s π v,v u= s + + π,u v= + µ v+ + F s v+,v s v+. Voor he deel van de premie da word oegevoegd aan he hard pensioenvermogen, α, geld: α CI = y + R s s voor = E + i,..., P + i. 3

4 Gebruikmakend van vinden we nu voor {E + i,..., P + i }: waarbij α = HN H R, 2 H N = T +i H R = T +i +R s [ s ; +R s + s s v= ] π v,v u= +π,u +µ v+ +F s v+ s v+,v We beschrijven nu de wee verschillende indexaiemechanismen voor he EG conrac: Uismeren van financiële schokken. Direce verwerking van financiële schokken.. Uismeren van financiële schokken He geïndexeerde deel van de gerealiseerde inflaie, f v, word voor elke v {E + i,..., T + i } als volg bepaald: f v π v W H v = maxv,p +i =E+i Direce verwerking van financiële schokken { v u= y + r v + µ v+ π,v + π,u u= [ s=maxv+,p +i + R s v+ s v+ ]}. 3 v+ In he geval van direce verwerking van financiële schokken word he geïndexeerde deel van de gerealiseerde inflaie, f, als volg implicie bepaald: W Z f π s π,v + f π v u=+ = s=maxp +,+ + R s + s π,u v=+ + µ v+ + + F s v+ s v+ Y,v Als hierui volg da f < 0, dan word f = 0. De volgende vergelijking geld voor de onwikkeling van he opgebouwd pensioeninkomen: 2 { Y y + Y voor = E + i,..., P + i ; = Y voor = P + i,..., T + i ; waarbij Y = + f π Y. 2 We hebben de iniiële waarden Y E+i = Y E+i = 0.. 4

5 Voor de vermogensonwikkeling geld voor elke {E + i,..., T + i }: W H = W H + f π ; W Z = W Z f π W H. We merken en sloe op da he zach pensioenvermogen, W Z, nie negaief kan worden. Er geld immers: W Z = s s=maxp +,+ v=+ π,v + f π v u=+ + π,u + µ v+ + + F s v+ s v+ Y 0. 3 Technische uiwerking van he flexibele reële conrac In deze secie word he flexibele reële conrac uigewerk voor een individuele deelnemer. Op elk ijdsip {E + i,..., T + i} moe de volgende budgeresricie gelden:,v W = Y F. 4 De linkerkan van 4 geef he oaal pensioenvermogen aan he einde van ijdsip. De pensioenverplichingen worden daarenegen gegeven door de recherkan van vergelijking 4. Deze pensioenverplichingen besaan ui wee componenen: Y en F. Y is he opgebouwd pensioeninkomen aan he einde van ijdsip na indexaie en F is de annuïeisfacor na indexaie. He pensioenvermogen W is afhankelijk van he gerealiseerde rendemen op he zach pensioenvermogen. We vinden dus: W Y F. Y is he opgebouwd pensioeninkomen aan he einde van periode voor indexaie en F is de annuïeisfacor voor indexaie. Schokken in W kunnen op en minse wee manieren in de pensioenverplichingen worden verwerk: aanpassing van Y en/of aanpassing van F. Direce verwerking van financiële schokken In he geval van direce verwerking van financiële schokken word Y word in di geval gegeven door: jaarlijks bijgeseld. F F = F = s=max+,p +i s v=+ + ρ v. Uismeren van financiële schokken over N jaar RAM. In he geval van uismeren van financiële schokken over N jaar word F budgeresricie 4 sluiend e krijgen. We definiëren F als volg: aangepas om de F = s=max+,p +i min+n,s v=+ + g,v + g,v s v=+ + ρ, v 5

6 waarbij g,v = g,v + g,v is de aanpassingsfacor ussen ijdsip v en v + gezien vanaf he einde van ijdsip, g,v = g is onafhankelijk van v en N is de uismeerperiode. De verandering in de aanpassingsfacor, g, word dus gebruik om de budgeresricie sluiend e krijgen. De verwache vervangingsraio, Y,s, aan he begin van ijdsip s zonder rekening e houden me nieuwe pensioenopbouw gezien vanaf he einde van ijdsip word gegeven door: min+n,s Y,s = Y + g,v, v=+ waarbij Y = Y. Hierui volg da: W = s=max+,i+p Y,s s v=+ + ρ v. 4 Technische uiwerking van he rendemensgaranieconrac In deze secie word he rendemensgaranieconrac uigewerk. De garanie G, die moe worden waargemaak op de pensioendaum, bedraag: G = P +i =E+i CI + R G P +i. De pensioenuivoerder garandeer dus een rendemen van R G op de ingelegde pensioenpremies. He beschikbaar vermogen aan he einde van periode P + i word gegeven door: max W P +i, G = W P +i + max 0, G W P +i, waarbij W als volg evolueer: W = W + gci + ω R + ω r voor = E + i,..., P + i. De deelnemer beaal jaarlijks een deel van de premie, gci, in ruil voor de garanie G. De geen arbirage condiie impliceer da de prijs van de garanie gelijk is aan de verwache verdisconeerde uibealing van de garanie: [ P +i ] gce I M = E [M P +i max 0, G W P +i ], =E+i waarbij E[ ] de verwachingswaarde is. De garanieprijs, g, kan nu numeriek worden bepaald. 6