Inleiding Verstrooiingstheorie

Transcriptie

1 A.I.O. Cursus S.O.N. Werkgeeenschap Quantutheoretsche Chee deceber 1995 Han sur Lesse, Belgë A Detector Bron A B ϑ ϕ B J.G.Snjders Theoretsche Chee Materalen Stude Centru Rjksunverstet Gronngen

2 Inhoudsopgave I. Inledng 1 Werkzae doorsnedes 3 Energe en puls balans 4 3 Verstroong n het zwaartepuntsystee 5 4 Coplexe botsngen, kanalen 8 II Quantuechansche beschrjvng van verstroong 5 Golfpakketten, Evolute vrje deeltjes 1 a. Eleentare systeen 1 b. Coplexe systeen 15 6 De Lppann-Schwnger toestanden 17 a. Defnte Lppann-Schwnger toestanden 18 b. Lppann-Schwnger vergeljkng 19 c. Berekenng van de ongestoorde Green's functe G 0 (r, q; r, q ) 0 d. Asyptotsch gedrag van de L.S. toestanden 1 e. Evolute van de L.S. golfpakketten 3 f. Berekenng van de werkzae doorsnede ut de L.S. pakketten 5 g. Reactes 7 III Benaderngsethodes 7 Born benaderng 9 8 Faseverschuvngsethode 31 9 Gekoppelde Kanaal Methode 34 IV Draapulsrepresentate 10 Defnte draapuls LS toestanden, de T atrx Interpretate draapuls LS toestanden, de S atrx 39 1 Het Optsche Theorea De S atrx voor potentaalverstroong Gekoppelde kanaal expanse Totale draapuls representate 47 Nawoord 51 Lteratuur 5

3 I. Inledng 1. Werkzae doorsnedes Het soort experent waar de botsngs- of verstroongstheore (Engels: collson or scatterng theory) zch ee bezg houdt s geschetst n fguur 1. Een onoenergetsche bundel deeltjes van type A (de projectelen) wordt gercht op een doel (E. target) bestaande ut deeltjes van type B, waarvan we aanneen dat zj aanvankeljk stl staan. A Detector Bron A B ϑ ϕ fguur 1 B Na afloop van de botsng zal een aantal van de deeltjes A afgebogen (verstrood) worden n een rchtng ( ) t.o.v. de oorspronkeljke rchtng van de bundel, terwjl ook de deeltjes B een snelhed zullen hebben gekregen (n een andere rchtng ' '). We zullen ons aanvankeljk zowel A als B structuurloos voorstellen, zodat er tengevolge van de botsng geen exctates van de nterne vrjhedsgraden van A en B kunnen optreden. Met behulp van een detector, de alleen deeltjes van type A regstreert de zch n rchtng ( ) bewegen, kan experenteel het aantal deeltjes N( ) d geeten worden de per seconde n de rchtng ( ) verstrood worden, waarbj d sn d d de rutehoen de rchtng ( ) s, de door de openng van de detector wordt opgespannen. Inden we aanneen (zoals experenteel doorgaans verzekerd zal zjn) dat het aantal deeltjes B n het doel jl genoeg s o eervoudge botsngen tussen één A en eerdere B's te verwaarlozen, zal N( ) eenvoudg evenredg zjn et het aantal deeltjes B ( N B ) n het doel dat bnnen de bundel lgt. Als we bovenden aanneen dat de geddelde afstand tussen de deeltjes A n de bundel groot genoeg s o de nteracte tussen verschllende deeltjes te verwaarlozen, zal N( ) ook evenredg zjn et de ntenstet van de bundel, d.w.z. het aantal deeltjes A dat per seconde een eenhedsoppervlakte loodrecht op de bundel passeert, de zogenaade flux I A. We kunnen dus schrjven: 3

4 N(, ) dω I A N B (, )dω (1.1 ) De groothed (, ), de de dense oppervlakte heeft, wordt de dfferentële werkzae doorsnede of botsngsdoorsnede (Engels: dfferental cross-secton) genoed en s de fundaentele groothed waarn het resultaat van een verstroongsexperent wordt utgedrukt. De botsngsdoorsnede (, ) s nog slechts afhankeljk van de nteracte tussen ndvduele deeltjes A en B en van de snelhed v A k A A of de energe E A 1 v A A k A A waaree de deeltjes A op het doel worden afgeschoten ( k A s de puls van de deeltjes A). Een globale groothed de dkwjls van belang s, wordt gevord door de z.g. totale botsngsdoorsnede, de gegeven wordt door de so (ntegraal) van (, ) over alle rchtngen: 0 0 (, ) dω (, )sn d d (1.) Het totale aantal per seconde verstroode deeltjes ongeacht hun verstroongsrchtng s dan spelweg N I A N B. s nog slechts afhankeljk van de knetsche energe van A, de zogenaade verstroongsenerge (E). De taak waarvoor de verstroongstheore zch dus gesteld zet s de berekenng van (, ) gegeven de nteracte tussen de deeltjes A en B. Ook het zogenaade nverse verstroongsproblee, naeljk het bepalen van de (onbekende) nteracte tussen A en B gegeven de experenteel bepaalde doorsnee (, ) heeft n het verleden veel aandacht gekregen, aar zullen wj n deze nledng buten beschouwng laten.. Energe en puls balans We kunnen enge spele karaktersteken van een botsng afleden ut de behoudswetten van energe en puls (de zogenaade kneatca van de botsng). Voor de botsng heeft deeltje A een puls k A, terwjl B stlstaat: k B 0. Door de botsng zal een zekere puls q overgedragen worden van A naar B, zodat de pulsen na de botsng gegeven worden door: k A k A q k B q (.1) We zen onddelljk dat een botsng geheel plaatsvndt n één vlak (het vlak opgespannen door k A en q, het zogenaade botsngsvlak) Voor de (knetsche) energeën van bede deeltjes hebben we voor de botsng: 4

5 E A Inledng Verstroongstheore k A E B 0 (.) A terwjl na de botsng geldt: E A (k q) A E B A Energebehoud geeft dus: E A E B E A q B (.3) k A q k n A q q A A A k A B waar n een eenhedsvector s n de rchtng q: q qn. We vnden: A 0 (.4) q B A B k A n (.5) De lengte van q lgt dus volledg vast als zjn rchtng n gegeven s. Va (.3) zjn dan ook de energeën van bede deeltjes bepaald, terwjl va (.1) de verstroongs-rchtng van bede deeltjes vastlggen (n..l. k A q en q qn). In 1 hebben we de dfferentële werkzae doorsnede gedefneerd aan de hand van de verstroongsrchtng van deeltje A. We zen her dus dat geen extra nforate kan worden gewonnen door ook deeltje B te detecteren of door de uttree-energeën te eten. 3.Verstroong n het zwaartepuntsystee In de vorge twee paragrafen hebben we verstroong van twee deeltjes beschreven n het zogenaade laboratoru systee (LabS), een coördnatensystee waarn één van bede deeltjes (het doel) stlstaat, hetgeen het nauwst aanslut bj de gebrukeljke experentele stuate. Voor theoretsche beschouwng en berekenng s het echter handger de botsng te beschrjven n het zwaartepuntsystee (ZS), het coördnatenstelsel waarn het zwaartepunt (Engels: centre of ass) van bede deeltjes stlstaat. Het zwaartepunt s gedefneerd als: R A r A B r B A B (3.1) en heeft n het LabS dus een snelhed: 5

6 v Z A v A A B et v A k A A v B 0 (3.) Het ZS beweegt zch et een snelhed v Z ten opzchte van het LabS, zodat voor de snelheden van A en B voor de botsng n het ZS geldt: v A v A v Z B v A v A B v Z v A A (3.3) B A B en dus k A A v A B v B k B (3.4) De pulsen zjn dus voor de botsng geljk en tegengesteld, zodat ut de wet voor behoud van puls volgt dat dt ook na de botsng het geval oet zjn (de totale puls s nul n het ZS). Ut energe behoud volgt dat grootte van bede pulsen noch tegeljkertjd kunnen toeneen, noch tegeljkertjd kunnen afneen, et andere woorden n ZS kunnen bede pulsen van rchtng veranderen, aar bljven geljn grootte. De stuate n bede coördnatensysteen s geschetst n fguur. v A A A v A v Z A B A Z v v B 0 B Lab. S. A L v Z Z L B v B Voor Botsng Na Botsng v A A v A A Z v B v Z B Z.S. Z Z Z v B B k A k k k B A B fguur. 6

7 We wllen nu de werkzae doorsnede L (, L L ) n het LabS relateren aan de werkzae doorsnede (, Z Z Z ) n het ZS. Aangezen het aantal deeltjes dat per seconde n een bepaalde rchtng wordt verstrood net afhangt van het coördnatensystee waarn deze rchtng wordt utgedrukt oet gelden: N L ( L, L )sn L d L d L N Z ( Z, Z )sn Z d Z d Z (3.5) In 1 zagen we dat N L (, ) evenredg was et N L L B, het aantal deeltjes n het doel, en et I A, het aantal deeltjes A n de bundel dat per seconde een eenhedsoppervlak loodrecht op de bundel passeert en dat stl staat ten opzchte van het doel. Aangezen bede grootheden onafhankeljk van het coördnatensystee zjn geldt dus ook voor de werkzae doorsnedes: L ( L, L )sn L d L d L Z ( Z, Z )sn Z d Z d Z (3.6) Rest ons ( L, L ) ut te drukken n ( Z, Z ). Aangezen het botsngsvlan bede coördnatensysteen hetzelfde s, zen we onddelljk dat L Z. Verder geldt na de botsng: v A v A v Z v A L v A Z v Z en dus fguur 3 v A sn Z v A sn v A cos v v cos Z Z A L L (3.7) Delng van bede vergeljkngen levert sn tg L Z cos (3.8) Z et v Z v A v Z v A A B (3.9) waar we gebruk hebben geaakt van het fet dat n het ZS de pulsen en dus de 7

8 snelheden slechts van rchtng en net van grootte veranderen door de botsng en van de vergeljkng (3.3). Vergeljkng (3.8) geeft de gezochte relate tussen de verstroongshoeken en L Z n bede systeen. Voor de werkzae doorsnede geldt (et L Z ) volgens (3.6) L ( L, L ) d(cos Z ) d(cos L ) Z ( Z, Z ) (3.10) Aangezen ut (3.8) volgt: cos L 1 tg L 1 cos Z (1 cos Z ) 1/ (3.11) vnden we voor (3.10) L ( L, L ) (1 cos Z ) 3/ 1 cos Z Z ( Z, Z ) (3.1) de gezochte relate tussen de werkzae doorsnedes n bede systeen. De totale werkzae doorsnede s nets anders dan het totale aantal verstroode deeltjes per seconde (en per eenhedsflux per verstroongscentru) en hangt dus net af van het coördnatensystee. Z (, )dω Z Z Z Z L (, )dω L L L L (3.13) In de rest van deze cursus zullen we ons bezghouden et de theoretsch hanteerbaardere werkzae doorsnedes n het ZS. De relate et de experenteel toegankeljke doorsnede n het LabS kan dan altjd gelegd worden va vergeljkngen (3.8) en (3.1). 4 Coplexe botsngen, kanalen Inden de deeltjes A en B de aan een botsng deelneen net eleentar zjn, aar beschreven kunnen worden als gebonden toestanden van eerdere eleentare deeltjes (bjvoorbeeld atoen, oleculen, kernen) dan kunnen tengevolge van de botsng coplexere processen optreden dan louter verstroong, doordat ook de nterne toestand van de deeltjes verandert of doordat bede deeltjes eleentare deeltjes et elkaar utwsselen. 8

9 We onderscheden: a. Elastsche verstroong A B A B De nterne toestand van bede systeen s voor en na de botsng geljk, n het ZS verandert slechts de rchtng van hun snelheden. Dt s het geval dat reeds herboven besproken s. Het specale geval dat bede deeltjes eleentar zjn en de botsng dus noodzakeljkerwjs elastsch, noet en wel potentaal verstroong aangezen de nteracte tussen bede deeltjes n dt geval geheel beschreven kan worden door een potentaal V(r) de slechts afhangt van de afstand tussen bede systeen ( r r A r B ). b. Inelastsche verstroong A B A * B * In dt geval verandert de nterne toestand van de systeen. De experenteel eest voorkoende stuate s de waarn A en B voor de botsng zch n hun respecteve grondtoestanden bevnden, aar na de botsng één van bede of bede systeen ntern geëxcteerd zjn. De benodgde exctate energe wordt natuurljk onttrokken aan de knetsche energe voor de botsng, zodat bede deeltjes zch na de botsng langzaer zullen bewegen. Inden de nterne energe voor de botsng E E A E B s en na de botsng E f E A f E B f, vnden we de energebalans n het ZS: k f E A k f E B A f (4.1) B waar en k f de (grootte van de) begn en endpulsen van bede systeen zjn. De endpuls lgt dus vast: k f (E f E ) (4.) waar A B A B (4.3) de zogenaade gereduceerde assa van bede systeen s. Ut pulsbehoud volgt weer dat n het ZS bede deeltjes zch na de botsng et tegengestelde pulsen k f en k f ut elkaar zullen bewegen. We kunnen geheel analoog aan 1 een nelastsche werkzae doorsnede defnëren aan de hand van: N f (, ) dω I A N B f (, )dω (4.4) waar N f (, ) dω het aantal deeltjes A s dat per seconde op een detector n de rchtng (, ) valt en waarvoor geldt dat zowel A als B zch n een gespecfceerde nterne toestand f bevnden. Overgens betekent dt dat en n dt geval ook de 9

10 verstroode deeltjes B zal oeten detecteren o vast te stellen dat ze zch nderdaad n de toestand f bevnden. Als alternatef kan en ook net alleen de verstroongsrchtng (, ) van A eten aar ook hun knetsche energe. Ut (4.) volgt dan de totale energe van bede deeltjes. c. Reactes of Hergroeperngsverstroong A B C D... Inden de eleentare deeltjes de A en B opaken zch na de botsng op een andere wjze rangschkken n gebonden systeen dan ervoor, spreekt en van een herschkkngsbotsng (E. rearrangeent collson) of reacte. Wj zullen ons beperken tot de stuates waarn ook na de botsng preces twee gebonden systeen ontstaan, dat wl zeggen reactes van de vor A B C D. In dat geval kan en weer volgens (4.4) een werkzae doorsnede f (, ) defnëren, waarbj f nu de nterne toestand van C en D aangeeft (et energe E f E f C E f D ) en (, ) de rchtng van één van bede uttredende deeltjes (het andere beweegt zch n het ZS n de tegenovergestelde rchtng). De grootte van de bede pulsen volgt ut energebehoud volgens: E k f E f (4.5) f waar µ en µ f de gereduceerde assa's voor en na de botsng zjn: A B A B f C D C D (4.6) We vnden dus k f f f (E f E ) (4.7) Voor de etng van de reactedoorsnede ( f, ) zal en n dt geval naast de rchtng en nterne toestand van de reacteproducten ook hun denttet oeten vaststellen. d. Esse en absorpte Inden het aantal eleentare deeltjes net behouden bljft, zoals bjvoorbeeld het geval s bj fotonen, kan en ook processen als A A * (absorpte) A * A (esse) A C D (b.v. fotoesse van electronen ) als specale gevallen van verstroong beschouwen en de bjbehorende werkzae doorsnedes defnëren. Veel van de verstroongstheore s ook op deze processen 10

11 toepasbaar, aar n deze nledende cursus zullen we ze verder buten beschouwng laten. Kanalen Iedere rangschkkng n gebonden systeen van de eleentare deeltjes de bj een botsng betrokken zjn, noet en een groeperngskanaal (E. arrangeent channel) In de reacte A B C D vort A B dus een groeperngskanaal terwjl C D tot een ander groeperngskanaal behoort. Inden en ook de nterne toestand van eder van de gebonden systeen n een groeperngskanaal specfceert, spreekt en kortweg van een kanaal (E. channel). In een botsngsexperent s altjd het kanaal vóór de botsng (het ngangskanaal) ééndudg gespecfceerd: de denttet en nterne toestand van projectel en doel lggen vast. De relateve knetsche energe van bede deeltjes (de verstroongsenerge) kan echter nog gevareerd worden. Na de botsng kan het systee n dverse kanalen endgen (de utgangskanalen). Met eder utgangskanaal kunnen we zoals we hebben gezen een werkzae doorsnede (, ) assoceren, de zal afhangen van het utgangskanaal en van de verstroongsenerge. De (, ) en dus ook het gewcht van de dverse utgangskanalen zullen afhangen van de dynaca van het gecobneerde systee. De berekenng van de (, ) vort de taak van de verstroongstheore. Net elk denkbaar utgangskanaal s echter bj gegeven ngangskanaal en verstroongsenerge berekbaar: soge kanalen zjn energetsch verboden. Ut vergeljkng (4.5) volgt naeljk E > E f (4.8) ers de knetsche energe n het utgangskanaal s altjd postef. Kanalen de voldoen aan (4.8) noet en de open kanalen bj gegeven verstroongsenerge E E. De andere kanalen zjn de gesloten kanalen (zj hebben een (, ) 0 ). Het elastsche kanaal (E E f ) s altjd open. De verstroongsenerge E th E f E waarboven een kanaal opengaat noet en de drepel (E. threshold) van dat kanaal. 11

12 II Quantuechansche beschrjvng van verstroong 5. Golfpakketten, Evolute vrje deeltjes O de werkzae doorsnedes van een verstroongsexperent te berekenen, kunnen we ons beperken tot een nteracte van één projecteldeeltje A et één doeldeeltje B. We stellen ons voor dat A n een ver verleden (t 1 <<0) de bron heeft verlaten, et een snelhed A op het doeldeeltje B afsnelt, verstrood raakt door de botsng (en ogeljk geëxcteerd wordt of van karakter verandert n C) en tenslotte ergens n toekost (t >>0) gedetecteerd wordt n de rchtng ( ). De (quantuechansche) kans dat dt gebeurt geven we aan et P f (, ) dω, waar f de geselecteerde endtoestand s. Deze kans heeft een eenvoudge relate et de werkzae doorsnede: Zj N A het aantal projectelen A dat per tjdseenhed de bron verlaat en N B het aantal deeltjes B n het doel. Dan zal het aantal deeltjes n toestand f dat per tjdseenhed de detector berekt gegeven worden door: N f (, ) dω N A N B P f (, ) dω (5.1) De flux van de bundel A wordt gegeven door I A N A D A, waar D A de (bjvoorbeeld door een dafraga bepaalde) doorsnede van de bundel s. Voor de werkzae doorsnede vnden we dus f (, ) N f (, ) I A N B D A P f (, ) (5.) O P f (, ) dω te berekenen zullen we de evolute n de tjd van het botsende systee oeten volgen. a. Eleentare systeen Inden we ons n eerste nstante beperken tot de botsng tussen twee eleentare deeltjes A en B kunnen we de begnstuate voorstellen als n fguur 4 (waarbj B onendg zwaar s gedacht en dus stlstaat n het ZS). Dat wl zeggen we beschrjven de toestand van deeltje A op tjdstp t 0 et behulp van een golfpakket van de vor : (r,t 0 ) e (r r 0 ) (r r 0 ) (5.3) waar χ(r) een functe s de overal nul s behalve n een cylnder, gecentreerd op het punt r 0, van lengte l en doorsnede D A. 1

13 l Zwaartepunt AB D A A B Bron r 0 t t 0 fguur 4 We neen bovenden aan dat (r) genoreerd s, zodat ook geldt: (r,t 0 ) dr (r r 0 ) dr 1 (5.4) O de vor van (r,t) op andere tjdstppen t te bepalen, oeten we de tjdsafhankeljke Schrödnger vergeljkng t totale Haltonaan van het systee A B s (r,t) H (r,t) oplossen, waar H de H H 0 V(r) 1 A V(r) (5.5) A en V de nteracte tussen bede deeltjes. Zolang A nog net n de buurt van B s kunnen we V verwaarlozen en evolueert (r,t) onder nvloed van H 0, de ongestoorde Haltonaan, n dt eenvoudge geval dus de knetsche energe operator van A: t (r,t) H 0 (r,t) (5.6) of n teren van de (ongestoorde) evolute operator: (r,t) U 0 (t,t 0 ) (r,t 0 ) e H 0 (t t 0 ) (r,t 0 ) (5.7) We kunnen de evolute van (5.3) nu geakkeljk vnden door (r) te schrjven n teren van zjn Fourer transfor A(k) : (r) A(k)e kr dk (5.8) 13

14 De functe A(k) zal gepekt zjn rond k 0, terwjl hj alleen aanzenljke waarden zal hebben n een gebed waar k 1 l, waar de lengte l de dense van de cylnder beschrjft. We kunnen (5.3) dan schrjven als: (r,t 0 ) A( k )e k (r r 0 ) d k (5.9) waar k k Aangezen de e k r egenfunctes van H 0 zjn et egenwaarde E( k ) k vnden we ut (5.7) en (5.9): A (r,t) A( k )e [ k (r r 0 ) E( k )(t t 0 )] d k (5.10) Aangezen A( k ) gepekt s rond k kunnen we E( k ) expanderen n ( k ) en alleen de laagste orde teren behouden: E( k ) k A k ( A Substtute n (5.10) geeft dan: k k ) E(k ) v ( k ) (5.11) A (r,t) e [ (r r 0 ) E ( )(t t 0 )] A( k )e ( k k ) [r r0 v (t t 0 )] d k e [ (r r 0 ) E( )(t t 0 )] (r r 0 v (t t 0 )) (5.1) We zen dus dat (r,t) nderdaad de stuate voor de botsng beschrjft: (r,t) (r r 0 v (t t 0 )) (5.13) s alleen dan ongeljk nul als r r 0 v (t t 0 ), et andere woorden (r,t) beschrjft een golfpakket dat zch et een snelhed v A op het doel af beweegt en bnnen de benaderng (5.11) net van vor verandert. Inden het doeldeeltje B een endge assa B heeft, vnden we voor de totale Haltonaan n plaats van (5.5) H 1 A 1 A B V (r A r B ) (5.14) B In plaats van de coördnaten r A en r B s het handg over te gaan op de coördnaten R A r A B r B A B en r r A r B (5.15) 14

15 R s de poste van het zwaartepunt van A en B, terwjl r de relateve poste van bede systeen s. In deze coördnaten utgedrukt ludt de Haltonaan: H 1 M R 1 r V(r) (5.16) waar M A B de totale assa van het systee en A B M de gereduceerde assa s. Aangezen V(r) slechts afhangt van de relateve coördnaat separeert de bewegng van het zwaartepunt van de relateve bewegng. In het ZS kan de verstroong dus geheel utgedrukt worden n de relateve coördnaat r. Vergeljkng (5.3) tot en et (5.13) bljven dan geldg nden en (r,t) nterpreteert als het relateve golfpakket dat de naderng van A en B beschrjft en overal A door de gereduceerde assa vervangt. In het bjzonder oet fguur 4 nu genterpreteerd worden als het relateve golfpakket dat zch naar de oorsprong van de relateve coördnaat beweegt, waar de botsng plaats vndt. Voor de botsng evolueert het golfpakket dus onder nvloed van de ongestoorde Haltonaan : H 0 1 r (5.17) b. Coplexe systeen Het voorafgaande s eenvoudg te generalseren naar de stuate dat zowel A als B saengestelde (gebonden) systeen zjn. De totale Haltonaan wordt dan (n het ZS) gegeven door: H 1 r h A (q A ) h B (q B ) V(r,q A, q B ) 1 r h(q) V(r,q) (5.18) waar q A en q B de nterne coördnaten zjn de de deeltjes A en B beschrjven en h A en h B de bjbehorende nterne Haltonanen van bede systeen. Zj A (q A ) en B (q B ) de (gebonden) egentoestanden van systee A en B: j h A A (q A ) E A A (q A ) h B B B j (q B ) E j B j (q B ) (5.19) We kunnen dan geheel analoog aan (5.3) golfpakketten aken van de vor: (r,q,t 0 ) (r r 0 e ) (r r 0 ) n (q) (5.0) waar (q) A n (q A ) B j (q B ) de nterne golffuncte van bede deeltjes saen s. Onder nvloed van de ongestoorde Haltonaan 15

16 H 0 1 r h(q) (5.1) evolueert (5.0) n tjd analoog aan (5.1) tot (r,q,t) n e[ (r r 0 ) E n (t t 0 )] (r r 0 v (t t 0 )) n (q) (5.) et E k n E n E A E j B, de totale (knetsche nterne) energe van bede systeen. Het golfpakket (5.) beschrjft dus de naderng (et relateve snelhed v ) van twee systeen A en B de zch n de nterne toestanden respecteveljk j bevnden, hetgeen correspondeert et de experentele stuate n het geval van een coplexe botsng. In het geval van reactes dent en zch te realseren dat de spltsng van H n (5.18) n een ongestoord deel H 0 (5.1) en een nteracte V(r,q) afhangt van het groeperngskanaal dat en beschouwt. In het geval van een reacte A B C D wordt het ngangskanaal beschreven door (5.18) et AB de gereduceerde assa van A en B, aar het utgangskanaal door H 1 rcd CD h C (q C ) h D (q D ) V(r CD,q C,q D ) (5.3) waar CD de gereduceerde assa van C en D, r CD de relateve coördnaat van de zwaartepunten van C en D, (q C,q D ) de nterne coördnaten van C en D en h C, h D hun nterne Haltonanen. De totale Haltonaan H beschrjft de knetsche energe en de nteractes van alle eleentare deeltjes waar C en D (en dus ook A en B) ut bestaan en s daaro onafhankeljk van het groeperngskanaal. H 0 en V hangen echter wel af van het groeperngskanaal en we zullen n het vervolg de verkorte notate H H V H 1 r h (q ) (5.4) gebruken voor de opspltsng van H n een ongestoorde Haltonaan en een nteracte n (groeperngs)kanaal. In deze paragraaf hebben we gezen hoe het ngangskanaal van een botsng beschreven kan worden et golfpakketten de evolueren onder de ongestoorde evolute-operator U 0 (t,t 0 ) e H 0 (t t 0 ), hetgeen het experent beschrjft zolang de nteracte nog verwaarloosbaar s. O de botsng zelf te beschrjven en de werkzae doorsnedes te vnden, zullen we oeten nagaan hoe deze pakketten evolueren n de tjd onder nvloed van de volledge Haltonaan H, d.w.z. et evolute operator U(t,t 0 ) e H (t t 0 ). Dt s het onderwerp van de volgende paragraaf. 16

17 6 De Lppann-Schwnger toestanden Inledng Verstroongstheore In de vorge paragraaf hebben we gezen dat vóór de botsng de golffuncte van het botsende systee geschreven kan worden als een golfpakket (5.10/5.) dat opgebouwd s als een superposte van egenfunctes van de ongestoorde Haltonaan H, waar het ngangsgroeperngskanaal van de botsng s: n (r,q,t) A( k k ) k n (r,q)e E k n t d k (6.1) waar: (r,q) e k r k n H E k n (r,q) 1 k n k n (q) h (q) k n (r, q) E k n k n (r,q) E n h n (q) E n n (q) (6.) In het bovenstaande hebben we de oorsprong van het coördnatensystee zo gekozen dat op tjdstp t 0 het centru van het golfpakket zch n deze oorsprong bevndt. In het volgende zullen we aantonen dat gedurende de gehele botsng de evolute van het golfpakket geschreven kan worden op een aner analoog aan (6.1) als: n (r,q,t) A( k k ) k n (r,q)e E k n t d k (6.3) waar de k n(r,q) specale egenfunctes zjn van de totale Haltonaan H bj dezelfde egenwaarde E k n als de k n (r,q) egenfunctes zjn van H : H k n (r,q) 1 h (q) V (r,q) k n (r,q) E k n k n (r,q) (6.4) De k n(r,q) worden de Lppann-Schwnger (L.S.) toestanden genoed. O aan te tonen dat (6.3) nderdaad het systee beschrjft voor alle tjden t, oeten we laten zen dat voor tjdstppen t '<< 0 lang vóór de botsng geldt: (r,q, t ) (r,q, t ) n n t << 0 (6.5) Dat (6.3) dan geldt voor alle tjden t (en n het bjzonder lang ná de botsng) volgt dan onddelljk ut de tjdsafhankeljke Schrödnger vergeljkng: 17

18 n (r,q,t) U(t, t ) (r,q, t ) A( k k n )e H (t t ) k n (r, q)e E k n t d k A( k ) k (r,q)e E k n t d k n waar we (6.4) gebrukt hebben. (6.6) a. Defnte Lppann-Schwnger toestanden Met edere ongestoorde egenfuncte k n van kanaal ( n) assocëren we de corresponderende Lppann-Schwnger toestand van dat kanaal volgens de defnte: k n k n 1 E H V k n (6.7) et E E k n en V de nteracte n groeperngskanaal. De operator ( E H ) 1, de net snguler s zolang > 0, staat bekend onder de naa resolvent of Green's operator, terwjl en ook vaak de operator Ω 1 1 E H V k n Ω k n (6.8) gedefneerd zet, de bekend staat als Møller operator of golfoperator (Engels: wave operator). Door (6.7) te verengvuldgen et de operator ( E H ) en gebruk te aken van: ( E H ) ( E H ) V V k n k n k n k n k n k n (6.9) vnden we: ( E H) k n ( k n k n) 0 (6.10) dus n de let 0 zjn de k n H bj dezelfde energe waar de k n nderdaad egenfunctes van de totale Haltonaan egenfunctes van H zjn. Dkwjls wordt (6.7) n de coördnaatrepresentate geschreven als: k n (r, q) k n (r,q) G (r,q; r, q )V ( r, q ) ( r, q ) d r d q (6.11) k n waar G (r, q; r, q ), de Green's functe, gedefneerd s als: 18

19 G (r, q; r, q ) rq 1 E H r q (6.1) en n (6.7) de resolute van de denttet r q r q d r d q 1 (6.13) gebrukt s. b. Lppann-Schwnger vergeljkng Ten ende de egenschappen van de L.S. toestanden k n nader te onderzoeken zal het voordelg bljken de defnte (6.7) engszns o te schrjven. Verengvuldgng van (6.7) et ( E H ) geeft: ( E H V ) k n ( E H ) k n (6.14) we brengen nu V k n naar de andere kant en verengvuldgen et ( E H ) 1 : k n k n 1 E H V k n (6.15) Deze vergeljkng staat bekend onder de naa Lppann-Schwnger vergeljkng. In de coördnaat representate vnden we analoog aan (6.11): k n (r, q) k n (r,q) G 0 (r,q; r, q )V ( r, q ) k n( r, q )d r d q (6.16) We zen dus dat de L.S. vergeljkng een ntegraalvergeljkng voor k n(r, q) s. De kern G 0 (r, q; r, q ) s de ongestoorde Green's functe van groeperngskanaal : G 0 (r, q; r, q ) rq 1 E H r q (6.17) en we zullen zen dat deze n tegenstellng tot G (r, q; r, q ) (6.1) geakkeljk te berekenen s. De L.S. vergeljkng vort dan ook het startpunt voor dverse benaderngsethoden o k n (r, q) te berekenen. Oplossngen van de L.S. vergeljkng voldoen autoatsch aan de Schrödnger vergeljkng (6.10), aar we zullen zen dat zj bovenden voldoen aan specale randvoorwaarden voor hun asyptotsch gedrag als r, wat net geldt voor alle oplossngen van de Schrödnger vergeljkng (6.10). 19

20 c. Berekenng van de ongestoorde Green's functe G 0 (r, q; r, q ) We kunnen (6.17) nader utwerken door gebruk te aken van de volledghed van de egentoestanden van H. We hebben dan: dk k k 1 H k E k k rq k ( ) 3/ e k r (q) (6.18) De norerngsfactor ( ) 3/ zorgt ervoor dat geldt: k k ( ) 3 dr e (k dr dq k rq rq k k ) r * dq (q) (q) (k k ) (6.19) Als we de resolute van de denttet (6.18) twee keer gebruken n (6.17) vnden we G 0 (r, q; r, q ) dk d k rq k k 1 E H k k r q k (r (q) * 1 e r ) ( q ) dk ( ) 3 E E k (q) * ( q )g (r, r ) (6.0) Voor de externe Green's functe n kanaal ( ) g (r, r ) kunnen we et E k k E k (E E ) (6.1) schrjven : g (r, r ) dk ( ) 3 k k (r e r ) k k dk ( ) 3 d k sn k d k ( ) 1 r r kdk ek r 0 k k r e r cos k k k r e k r r k ( ) 1 r r dk k ke k r r k (6.) waar (, k k ) de polare hoeken van k ten opzchte van r r zjn. De laatste ntegraal kunnen we utrekenen door ddel van contourntegrate: we sluten de contour et een halfcrkel n de bovenste helft van het coplexe k-vlak en gebruken het resdu theorea: 0

21 g (r, r ) 1 ( ) r r Inledng Verstroongstheore ke k r r Cdk (6.3) (k k )(k k ) De ntegrand n (6.3) heeft twee polen, één bj k k en één bj k k. Alleen de eerste pool lgt bnnen de contour C en draagt bj aan de ntegraal. We vnden voor g (r, r ) als we na de ntegrate 0 laten gaan: g (r, r ) ( ) 1 r r k ek r r e k r r k r r Voor de ongestoorde Green's functe van groeperngskanaal (6.0) (6.4) vnden we dus ut G 0 (r, q; r, q ) (q) * ( q ) ek r r (6.5) r r et k (E E ) We zen dat als kanaal ( ) gesloten s bj verstroongsenerge E (de energe van het ngangskanaal), d.w.z. E > E, k zuver agnar wordt. In dat geval vallen de teren n G 0 (r, q; r, q ) de et gesloten kanalen corresponderen, exponenteel af et r r als e k r r. r r d. Asyptotsch gedrag van de L.S. toestanden Met behulp van de L.S. vergeljkng (6.16) en de utdrukkng (6.5) voor de ongestoorde Green's functe kunnen we nu het asyptotsch gedrag van k n(r, q) bepalen n de let r (d.w.z. de botsende deeltjes ver ut elkaar), hetgeen van belang zal bljken bj de bestuderng van de tjdsevolute van het golfpakket (6.3). Aangezen de ntegrate over r n (6.16) beperkt s tot het deel van de rute waar V ( r, q ) een net te verwaarlozen waarde heeft (het berek (Engels: range)) van de potentaal), zoeken we dus naar het gedrag van G 0 (r, q; r, q ) als r r. Tot n de eerste orde van r r hebben we r r (r r r r ) 1/ r 1 r r r r r 1/ r r r r r n r (6.6) waar n een eenhedsvector n de rchtng r. Voor G 0 (r, q; r, q ) vnden we : 1

22 G 0 (r, q; r, q ) r open e k r r e k r r (q)e k n r * ( q ) open (q) * k ( r, q ) (6.7) waar we de vector k gedefneerd hebben als k k n. In de so over kanalen n (6.7) dragen alleen de open kanalen bj n de let r, aangezen de G.F. n de gesloten kanalen (k agnar) exponenteel afvalt. Substtute van (6.7) n de L.S. vergeljkng (6.16) levert onddelljk het asyptotsch gedrag van de L.S. toestanden: k n(r, q) (r,q) e k r k n f r r (, ) (q) (6.8) open waar * f (, ) f (n) k ( r, q ) V ( r, q ) k n ( r, q )d r d q (6.9) f (, ) hangt slechts af van de rchtng van r (en dus van n) en wordt de verstroongsapltude (Engels: scatterng apltude) van kanaal ( ) genoed. We zullen n 6f laten zen dat deze groothed n nauwe relate staat et de werkzae doorsnede voor verstroong naar kanaal ( ). Vergeljkng (6.8) laat zen dat de L.S. toestanden asyptotsch een superposte zjn van een vlakke golf k n (r,q) n het ngangskanaal en van zogenaade utgaande ( e kr r ) bolgolven n alle andere open kanalen, geoduleerd door een rchtngsafhankeljke factor f (, ). In plaats van de verstroongsapltude f (, ) zet en ook dkwjls de zogenaade T-atrx gedefneerd: T l,k n V l k n (6.30) dat wl zeggen de T-atrx wordt gevord door de atrx eleenten van de potentaal n groeperngskanaal tussen de ongestoorde vlakke golven van puls l n kanaal ( ) en de L.S. toestand van puls n kanaal ( n). Tussen f (, ) en T vnden we de eenvoudge relate: f (n) T l,k n (6.31) waar l n (E E ) en k de puls n het nkoende kanaal ( n).

23 e. Evolute van de L.S. golfpakketten Inledng Verstroongstheore We keren nu, gewapend et het bovenstaande, terug naar het oorspronkeljke problee, de evolute van het golfpakket (6.3). Substtute van de L.S. vergeljkng (6.16) n (6.3) geeft (r,q,t) (r, q,t) n n s (r,q,t) (6.3) waar (r,q,t) het ongestoorde golfpakket (6.1) s en k n s (r,q,t), het verstroongsgedeelte van het golfpakket, gegeven wordt door s (r,q,t) A( k k ) G 0 (r,q; r, q )V ( r, q ) k n( r, q )e E k n t d r d q d k (6.33) Wj zjn vooral genteresseerd n de waarde van s (r,q,t) voor r >> 0, dat wl zeggen de waarde ver weg van het verstroongscentru, waar zch de detector bevndt. We kunnen dan de asyptotsche vor (6.8) gebruken n (6.3). Dt levert s (r,q,t) waar r open A( k ) e( k r E k n t ) f r (, ) (q)d k (6.34) k ( E E ) k (E n E ) (6.35) en E E k n k E n de verstroongsenerge. Vanwege de sterke gepekthed van A( k ) rond k kunnen we analoog (5.11 en 5.1) n de exponent k en E k n expanderen rond dt punt en alleen de lneare ter n ( k ) behouden: k k k ( k ) ( k k )... k u ( k k k ) (6.36) waar u een eenhedsvector n de rchtng van de bundel (de rchtng van ). Voor E E k n vnden we als n (5.11) E k n E v ( k k ) E vu ( k k ) (6.37) k n n waar v v u de relateve snelhed van de botsende deeltjes vóór de botsng. 3

24 Substtute van (6.36 / 6.37) n (6.34) geeft (r,q,t) e (k r E k nt ) s open r f (, ) (q) A( k )e( r v t)u ( k k ) d k (6.38) Gebrukakend van de defnte van het golfpakket (r) n (5.8) vnden we: (r,q,t) e (k r E k nt ) s open r f (, ) (q) (( k r v t)u) (6.39) Aangezen (r) sterk geconcentreerd s rond r 0 vnden we dat nul verschlt voor waarden van r waarvoor geldt: s (r,q,t) alleen van k r v t ofwel r v t et v k v (6.40) Voor tjden lang vóór de botsng t << 0 heeft (6.40) geen oplossng aangezen r > 0, et andere woorden we vnden l t s (r,q,t) 0 (6.41) en et (6.3): (r,q,t) n n (r, q,t) t << 0 (6.4) We zen dat lang voor de botsng het L.S. golfpakket n (r,q,t) dentes et het ongestoorde pakket n (r,q,t), dat wl zeggen het L.S. pakket beschrjft nderdaad voor de botsng en volgens (6.6) dus ook op alle tjdstppen de experentele stuate. Voor t >> 0 beschrjft (6.39) een superposte van kanalen ( ), waar n eder kanaal de golffuncte een produkt s van de nterne golffuncte (q) en een bolvorge schl, de zch op tjdstp t op een afstand r v t bevndt en zch dus et een snelhed v utbredt. De waarde van de golffuncte wordt tenslotte geoduleerd door f (, ) als functe van de rchtng. Deze stuate s geschetst n fguur 5. 4

25 v Detector v v t << 0 t >> 0 fguur 5 Bovenden bevat het L.S. pakket ook na de botsng volgens (6.3) het ongestoorde pakket dat zch n het ngangskanaal ( n) et ongewjzgde snelhed v van het verstroongscentru verwjdert. f. Berekenng van de werkzae doorsnede ut de L.S. pakketten. De waarschjnljkhed dat het golfpakket (6.39) zch op tjdstp t n kanaal ( ) op plaats (r,, ) bevndt s volgens de postulaten van de quantuechanca: P (r,,,t)r drsn d d (r,q,t) * s (q)dq r drdω f (, ) (( v v r v t)u) drdω (6.43) Inden en lang genoeg wacht zal op een zeker tjdstp T >> 0 de gehele schl n fguur 5 de detector berekt hebben. De waarschjnljkhed dat de detector geactveerd wordt s dan geljk aan de waarschjnljkhed dat het systee zch bnnen de detector bevndt, d.w.z. : P (,,T)dΩ P (r,,,t)r drdω f (, ) (( v r v 0 v T)u) 0 dr dω (6.44) 5

26 waar we over r oeten ntegreren odat de gehele schl zch nddels n de detector bevndt. Met de substtute z v v r v T dr v v dz (6.45) kunnen we (6.44) schrjven P (,,T)dΩ P (, ) dω v f (, ) (zu) dz dω v v T v f v (, ) dω (zu) dz (6.46) waar we de benedengrens utgebred hebben tot -, wat s toegestaan aangezen voor grote tjden T geldt (zu) 0 voor z < v T. P (, ) dω s dus de waarschjnljkhed dat het systee na de botsng aangetroffen wordt n de rchtng (, ) n kanaal ( ). Volgens (5.) vnden we voor de bjbehorende dfferentële werkzae doorsnede: (, ) D A P (, ) (6.47) waar D A de doorsnede van de bundel s. Aangezen we n 5 hebben aangenoen dat (r) een golfpakket s dat unfor s over de doorsnede van de bundel, volgt ut de norerng van (r) dat: (r) dr 1 D A (zu) dz (6.48) Ut (6.46, 6.47 en 6.48) vnden we tenslotte: (, ) v v f (, ) (6.49) waar v en v de relateve snelheden zjn van de botsende systeen n het ngangskanaal ( n), respecteveljk de utgangskanalen ( ). De verstroongsapltude f (, ) en va (6.49) (, ) kan eenvoudg berekend worden va (6.9) als de L.S. toestand k n(r, q) bekend s. Het verstroongsproblee s heree dus teruggebracht tot de bepalng van een statonare toestand van de volledge Haltonaan H bj de verstroongsenerge E k E n de aan de specale randvoorwaarde voldoet, dat hj zch asyptotsch gedraagt als een vlakke golf n het ngangskanaal plus utgaande bolgolven n alle (open) utgangskanalen (6.8). Als alternatef voor het oplossen van de Schrödnger vergeljkng (6.4) onder de 6

27 randvoorwaarde (6.8), kan en proberen de L.S. vergeljkng (6.16) drect op te lossen. We hebben n het voorafgaande gezen dat deze oplossngen autoatsch aan de randvoorwaarde (6.8) voldoen. g. Reactes In het bovenstaande hebben we stlzwjgend aangenoen dat alle open utgangskanalen tot hetzelfde groeperngskanaal behoren als het ngangskanaal, et andere woorden we hebben ons beperkt tot elastsche en nelastsche botsngen en hebben reactes buten beschouwng gelaten. We kunnen echter bovenstaande beschouwngen eenvoudg generalseren. Hervoor oeten we het asyptotsch gedrag van de L.S. toestanden bepalen n andere groeperngskanalen dan het ngangskanaal. Door de defnte vergeljkng voor k n (r, q) (6.7) achtereenvolgens te verengvuldgen et (E H ) en (E H ) 1, waar H de ongestoorde Haltonaan van groeperngskanaal s, vnden we: k n E H k n 1 E H V k n (6.50) waar V de nteracte n kanaal s. We zullen de externe en nterne coördnaten n de kanalen en aangeven et r,q en r,q. In het geval van een reacte A B C D, s r dus de afstandsvector tussen de zwaartepunten van A en B, r de tussen de van C en D. We zoeken nu het asyptotsch gedrag van k n (r,q ) k n (r,q ) n de let r. Aangezen nstens één eleentar deeltje van de reactanten n kanaal naar het andere saengestelde deeltje s overgedragen, plceert r dat oonstens één van de coördnaten q. Herut volgt onddelljk dat de eerste ter n (6.50) n deze let verdwjnt aangezen n (r,q ) k n ek r n (q ) (6.51) n (q ) een gebonden toestand (van kanaal ) s, waarvoor geldt l q n (q ) 0. De tweede ter kan geheel analoog behandeld worden als n 6c en 6d. We vnden (vergeljk 6.8) k n (r,q ) k n (r,q ) r open e k r f r (, ) (q ) (6.5) waar de so over alle open kanalen ( ) n groeperngskanaal loopt. 7

28 Voor de verstroongsapltude vnden we (vergeljk 6.9) * f (, ) k (r, q )V (r,q ) n(r, q ) dr dq (6.53) et (vergeljk 6.35) k (E E ) (E n E ) (6.54) We kunnen nu de afledngen n 6e en 6f vrjwel ongewjzgd overneen en vnden voor de werkzae doorsnede van de reacte (als n 6.49): (, ) v v f (, ) (6.55) et v k v. 8

29 III Benaderngsethodes 7. Born benaderng Inledng Verstroongstheore Inden de knetsche energe n het ngangskanaal groot s ten opzchte van de nteracte V tussen de botsende deeltjes, kunnen we V als klene storng beschouwen. De L.S. vergeljkng (6.15) kan dan teratef opgelost worden als achtreeks n V: k n 1 k n p E H V p k n (7.1) De eenvoudgste benaderng (1 e orde Born benaderng, vergeljk 1 e orde storngstheore) ludt dan: 1 k n k n E H V k n (7.) Tot dezelfde orde n V vnden we voor de verstroongsapltude (6.9 en 6.53): * f (, ) k (r,q ) V (r,q ) n (r,q ) dr dq (7.3) In het geval van (n)elastsche verstroong ( ) kunnen we een overgangspotentaal V n (r) defnëren (de alleen van de externe coördnaat r r afhangt) als: V n (r) * (q)v (r,q) n (q) dq (7.4) f (, ) s dan evenredg et de Fourer transfor van deze potentaal: f (, ) V n (r)e ( k ) r dr (7.5) waar (, ) de hoek de k et de bundelrchtng aakt. Voorbeeld: Electron-Atoo Verstroong Als voorbeeld behandelen we de (n)elastsche verstroong van een electron aan een atoo et kernladng Z (en Z electronen) bnnen de Born benaderng. Het atoo wordt voor de botsng verondersteld n zjn grondtoestand te zjn. De potentaal V (r,q) s dan: 9

30 V(r,r 1,...,r Z ) Z r Z 1 (7.6) 1 r r Voor de overgangspotentaal V (r) (7.3) vnden we dan: V (r) Z r ( r ) 0 r r d r (7.7) waar de overgangsdchthed ( r ) wordt gegeven door: ( r ) Z * ( r,r,...,r Z ) ( r,r,...,r ) 0 Z dr...dr (7.8) Voor 0 (elastsche verstroong) s 0 (r) spelweg de electronendchthed en V 0 (r) de statsche Coulob potentaal van het atoo. V (r) voldoet aan de Posson vergeljkng: r V (r) 4 [ Z 0 (r) (r)] (7.9) Voor de Fourer transfor van (7.7) vnden we q V (q) 4 [ Z 0 F (q)] (7.10) waar F (q) e q r (r)dr (7.11) de Fourer transfor van de overgangsdchthed (r) s, de z.g. vorfactor. Ut (7.4) vnden we voor de verstroongsapltude: f (, ) e V (q) Z 0 F (q) e (7.1) q waar q de pulsoverdracht k n de botsng s. Voor de werkzae doorsnede vnden we tenslotte: (, ) 4 v e v [ Z F (q) 0 ] (7.13) q 4 waar we het atoo zo zwaar hebben gedacht dat de gereduceerde assa geljs aan de assa van het electron e. We zen dus dat we door ddel van (n)elastsche verstroong bj hoge energe (de Born benaderng wordt dan nauwkeurg), de vorfactoren F (q) experenteel kunnen bepalen. 30

31 8 Faseverschuvngsethode Een andere veel gebrukte ethode voor de bepalng van de L.S. toestanden en de bjbehorende werkzae doorsnedes s de zogenaade faseverschuvngsethode (Engels: phase-shft ethod). In deze ethode lost en drect de Schrödnger vergeljkng op n plaats van de L.S. vergeljkng (zoals n de Born benaderng) en legt na afloop de randvoorwaarden op. Wj zullen ons n deze nledng beperken tot het spele geval van een botsng tussen twee structuurloze deeltjes et een onderlnge bolsyetrsche nteracte V(r), hoewel de ethode gegeneralseerd kan worden tot net-bolsyetrsche potentalen en (n saenhang et de gekoppelde kanaal ethode de n de volgende paragraaf behandeld wordt) tot coplexe nelastsche botsngen. De Schrödnger vergeljkng voor de L.S. toestanden ludt dus n dt geval: 1 k(r) V(r) k(r) E k (r) E k (8.1) Aangezen de Haltonaan n dt geval couteert et de draapuls operatoren L kunnen we oplossngen van (8.1) vnden de egenfunctes zjn van L en L z (aar de nog net voldoen aan de randvoorwaarden voor de L.S. toestanden). Deze oplossngen kunnen geschreven worden als: kl (r) kl (r,, ) 1 r F kl (r)y l (, ) (8.) waar de radële functe F kl (r) voldoen aan de radële Schrödnger vergeljkng: d l(l 1) V(r) k dr r F kl (r) 0 (8.3) Deze radële vergeljkng heeft voor gegeven waarde van k preces één oplossng (de andere lnear onafhankeljke oplossng van deze e orde dfferentaal vergeljkng s snguler n de oorsprong als r l 1 ). We zen dus dat de oplossngen van (8.1) sterk ontaard zjn: voor edere l en s er een oplossng (r) (8.) bj de zelfde energe E kl k. De door ons gezochte L.S. toestand zal de lneare cobnate van de kl (r) zjn (de dus ook aan (8.1) voldoet) de het juste asyptotsche gedrag (6.8) heeft. We zoeken.a.w. de coëffcenten C l waarvoor geldt: k (r) C l kl (r) e k r ekr l r r f (, ) (8.4) d.w.z. de zch als een vlakke golf plus utgaande bolgolf gedraagt (n dt geval s er 31

32 slechts één kanaal n (6.8), het elastsche). Aangezen voor grote r n (8.3) zowel V(r) als l(l 1) r verwaarloosbaar zjn zullen de F kl (r) zch asyptotsch gedragen als: F kl (r) r sn(kr l ) (8.5) waar l een fase s. Er geldt dus sn(kr k (r) C l ) l r l r Y l (, ) (8.6) We kunnen een soortgeljke asyptotsche expanse aken voor de vrje vlakke golf e k r de voldoet aan de vrje Schrödnger vergeljkng: 1 e k r Ee k r E k e k r 0 C 0 0 l kl(r,, ) C 1 l r F 0 kl (r)y l (, ) l l (8.7) waar de F kl 0 (r) voldoen aan de vrje radële Schrödnger vergeljkng. d l(l 1) k dr r F 0 kl(r)) 0 (8.8) en zch asyptotsch analoog aan (8.5) gedragen als F kl 0 (r) r sn(kr l 0 ) (8.9) Voor k (r) e k r vnden we dus asyptotsch k (r) e k r C l sn(kr l ) C 0 l sn(kr 0 l ) Y r r l (, ) l e kr r C l e l C 0 l e 0 l [ ] e kr r C l e l C 0 l e 0 l [ ] Y (, ) l l (8.10) De es dat (8.10) zch gedraagt als een zuvere utgaande bolgolf ledt tot de relate C l C l 0 e ( l l 0 ) C l 0 e l (8.11) waar l l l 0 de faseverschuvng wordt genoed. De coëffcent van de utgaande bolgolf n (8.10) s volgens (8.4) preces de 3

33 verstroongs apltude f (, ) C 0 l e 0 l e l sn l Y l (, ) l (8.1) Inden we de z-as langs de bundelrchtng neen kan en laten zen dat: e k r e kz l 4 (l 1) sn(kr 1 r kr l 0 l, ) (8.13) et andere woorden C l 0 0 l 4 (l 1) k 0 l 1 l e l 0 ( ) l (8.14) Voor de verstroongsapltude vnden we dus: f (, ) f ( 4 (l 1) ) e l sn k l Y l0 ( l, ) (8.15) en voor de werkzae doorsnede: ( ) f ( ) 4 (l 1)(n 1) e ( l ) n sn k l sn n Y l 0 ( ln, )Y n 0 (, ) (8.16) en tenslotte voor de totale werkzae doorsnede (, ) dω 4 (l 1)sn k l (8.17) l We zen dus dat zowel de dfferentële als totale werkzae doorsnede volledg bepaald wordt door de faseverschuvngen l. Deze kunnen voor een gegeven potentaal V(r) geakkeljk berekend worden door het (bjvoorbeeld nuerek) oplossen van de radële vergeljkngen (8.3) en het asyptotsche gedrag van de oplossngen te vergeljken et (8.9). De faseverschuvngsethode s vooral goed brukbaar als de soen over de draapuls l n (8.16) en (8.17) snel convergeren. Men kan laten zen dat dt et nae het geval s bj lage verstroongsenerge (klene k). In de zn s deze ethode copleentar aan de Born benaderng, de just goed s voor hoge verstroongsenerge. 33

34 9 Gekoppelde Kanaal Methode In deze paragraaf beperken we ons tot (n)-elastsche botsngen de zch volledg afspelen n het nkoende groeperngskanaal (we laten reactes buten beschouwng). De totale Haltonaan kan geschreven worden als: H(r,q) 1 r h(q) V (r,q) (9.1) waar h(q) de nterne Haltonaan s h(q) h A (q A ) h B (q B ) (9.) en A en B de botsende systeen zjn. We zoeken weer de L.S. toestand voldoet aan de Schrödnger vergeljkng: kn(r,q) de H kn (r,q) E kn kn (r, q) et E kn k E n (9.3) waar E n de nterne energe van A en B voor de botsng s: De nterne golffunctes (q), de egenfunctes zjn van h(q) h (q) E (q) (9.4) voren een volledge verzaelng functes n de nterne coördnaat q. We kunnen daaro de L.S. toestand kn (r,q) altjd expanderen n deze functes, waarbj de coëffcenten dan slechts af zullen hangen van de externe coördnaat r: (r,q) F (r) (q) kn (9.5) De functes F (r) worden de kanaalorbtals genoed (van kanaal ). Merk op dat de so n (9.5) loopt over alle kanalen, n het bjzonder ook over de gesloten kanalen. Substtute van (9.5) n (9.3) et gebruk van (9.1) en (9.4) levert: 1 r E V(r,q) F (r) (q) E kn F (r) (q) (9.6) We verengvuldgen nu et p * (q) en ntegreren over de nterne coördnaten q, gebrukakend van de orthogonaltet van de oplossngen van (9.4). We vnden dan 34

35 1 r (E p E kn ) F p (r) V p (r)f (r) 0 (9.7) waar we de overgangspotentalen V p (r) gedefneerd hebben als: V p (r) * p (q)v(r,q) (q )dq (9.8) Het gekoppelde stelsel vergeljkngen (9.7) voor de kanaalorbtals F p (r) wordt de gekoppelde kanaal (E. coupled channel) of nauwe koppelngs (E. close couplng) vergeljkng genoed. Oplossngen van het stelsel (9.7) geeft ons va (9.5) een oplossng van de Schrödnger vergeljkng (9.3). O de L.S. toestand te vnden oeten we echter ook nog aan de asyptotsche randvoorwaarde (6.8) voldoen. Daartoe schrjven we (9.7) n een ets gewjzgde vor: [ r k p ]F p (r) V p (r)f (r) 0 (9.9) waar k p (puls n kanaal p) voldoet aan: k p k (E n E p ) (9.10) Voor de gesloten kanalen (E p > k E n ) s k p dus negatef (k p agnar). Aangezen voor r de potentaal ter n (9.9) verwaarloosbaar s vnden we voor de gesloten kanaalorbtals: e k p r F p (r) r r f p (, ) (p gesloten) (9.11) Asyptotsch dragen de gesloten kanaalorbtals n (9.5) dus net bj, confor (6.8). O aan (6.8) te voldoen oeten de open kanaalorbtals zch asyptotsch gedragen als: F p (r) r pn ek r ek p r r f p (, ) (p open) (9.1) Het gekoppelde stelsel (9.9) oet dus onder deze randvoorwaarden worden opgelost. De verstroongsapltudes kunnen dan worden bepaald ut (9.1) of et gebrukakng van (6.9) en (9.5 / 9.8) 35

36 * f (, ) k (r, q)v(r,q) kn (r, q)dr dq e k r V p (r)f p (r)dr p (9.13) In de praktjk zullen we natuurljk het (n prncpe onendge) stelsel (9.7) oeten afkappen tot een endg stelsel. In het geval van een zuver elastsche botsng (alle nelastsche kanalen gesloten) s de eest drastsche benaderng (bekend onder de naa statsche benaderng) o de koppelng van het ngangskanaal et alle andere kanalen te verwaarlozen. In dat geval reduceert (9.7) tot één vergeljkng: 1 r V nn (r) F n (r) k F n (r) (9.14) et F n (r) e k r ekr f (, ) r r en waar V nn (r) de statsche potentaal n het ngangskanaal s: V nn (r) * n(q)v(r,q) (q n )dq (9.15) In het geval van electron-olecuul verstroong s V nn (r) dus nets anders dan de statsche Coulob potentaal. De L.S. toestand (9.5) reduceert n dt geval tot een spel produkt van een (projectel-) electron orbtal en de golffuncte van het olecuul. kn(r,q) F kn (r) n (q) (9.16) et andere woorden n deze benaderng verwaarlozen we alle correlate tussen het projectel-electron en alle andere electronen n het olecuul. De statsche benaderng s dus het verstroongsanalogon van de Hartree(-Fock) benaderng voor gebonden toestanden. 36

37 IV Draapulsrepresentate Inledng Verstroongstheore 10 Defnte draapuls L.S. toestanden, de T atrx In hoofdstuk II hebben we gezen hoe verstroong kan worden beschreven et behulp van de L.S. toestanden, d.w.z. egentoestanden van de volledge Haltonaan de va (6.7) geassoceerd zjn et de vlakke golven de egenfunctes zjn van de ongestoorde Haltonaan. Voor berekenngsdoelenden bljkt het dkwjls praktscher o de verstroongstheore te baseren op ongestoorde egenfunctes de tevens egenfunctes zjn van de draapulsoperatoren L en L z de de relateve (baan-) draapuls van bede botsende deeltjes ten opzchte van elkaar beschrjven. Deze egenfunctes kunnen worden geschreven als: (r,q) j (k r)y (, ) lp l l p (q) (10.1) waar de j l ( r) de z.g. sfersche Bessel functes zjn (ze b.v. ref. [3] Appendx B). In 8 zjn we deze functes al eerder tegengekoen als F 0 kl (r) kr j l (kr). De p (q) zjn weer de nterne egenfunctes van het beschouwde kanaal. De lp (r,q) voldoen dus aan H (r,q) E k lp lp E k E p L lp l(l 1) lp L z k lp lp (10.) De eerder beschouwde vlakke golf egenfunctes bj dezelfde energe kunnen dus geschreven worden als lnare cobnates van deze draapuls egentoestanden de dezelfde ontaarde deelrute van energe E opspannen. We vnden (ref. [3] Appendx B) : (r,q) p e r (q) 4 (q) p p l j l ( r)y * l ( k ˆ ) Y l (, ) 4 l Y * l ( k ˆ l ) lp (r, q) l (10.3) waar ˆ een eenhedsvector s n de rchtng. Ook aan deze vrje draapuls egentoestanden kunnen we nu op dezelfde wjze als n 6a L.S. toestanden toevoegen va lp lp 1 E H V k lp lp 1 E H V k lp (10.4) 37

38 waar de laatste geljkhed analoog s aan de L.S. vergeljkng (6.15). De draapuls L.S. toestanden zjn weer egentoestanden van de volledge Haltonaan H, aar aangezen V lp net noodzakeljkerwjs et L en L z couteert (V s b.v. net bolsyetrsch, of de bede botsende deeltjes hebben nterne draapuls, V couteert dan alleen et de totale draapuls, net et de relateve draapuls alleen) zjn de lp, ondanks hun ndces, n tegenstellng tot de lp geen draapuls egenfunctes. We onderzoeken weer het asyptotsche gedrag van deze L.S. toestanden en vnden et behulp van (6.7) lp(r,q) (r,q) k r lp e k f r q r (q) < V k f q lp > (10.5) q et k f (E E q ) en k f k f ˆ r, ˆ r een eenhedsvector n de rchtng r. Door gebruk te aken van de expanse (10.3) kunnen we (10.5) schrjven als lp(r,q) k r lp (r,q) ( ) l e k f r r Y (ˆ l r ) (q)< V q k f l q lp > lp (r,q) 1 l q l q ( ) l k f e kf r r Y l ( r ˆ ) (q) T q l q,lp (10.6) waar we de T atrx n de draapuls representate (vgl. 6.30) hebben gedefneerd als T l q,lp 4 k f < kf V l q lp > (10.7) De voorfactor n (10.7) s puur conventoneel en s zo gekozen dat, zoals we later zullen bewjzen, 1 T untar s. Men zj gewaarschuwd dat en n de lteratuur dverse andere conventes tegenkot de van (10.7) n factoren -1,, etc. verschllen. Vergeljkng (10.6) laat zen dat de lp asyptotsch bestaan ut een vrje toestand van vaste draapuls l n het ngangskanaal p plus een superposte van utgaande bolgolven van alle ogeljke draapuls egenwaarden n alle (open) kanalen q. De vlakke golf L.S. toestanden kunnen analoog aan (10.3) utgedrukt worden als lnare cobnates van de draapuls L.S. toestanden: p (r,q) 4 l Y * l ( k ˆ ) lp(r,q) 4 (l 1) l l 0 p(r,q) l e l l f r r r k p(r,q) 4 (l 1) l l q k f l Y l ( ˆ r ) q (q) T l q,l 0p 38