Bilineaire en kwadratische vormen

Transcriptie

1 Oefenngen op hoofdstuk 3 Blneare en kwadratsche vormen 31 Defnte en matrxvoorstellng Oefenng 31 Bewjs dat de volgende vormen blnear zjn f 1 : R R R (( a b, ( d c det ( a b d c f : Mat 3 (R Mat 3 (R R ((a j, (b j a 11 b 11 + a 1 b 1 + a 13 b 31 Oplossng 31 We zoeken ut of de vorm n bede leden lnear s ( ( a1 ( a f 1 λ b 1 + µ b, ( c d? (( a1 = λf1 b 1, ( c d (( a + µf 1 b, ( c d?= ( a1 c ( a c det λ det b 1 d + µ det b d ( λa1 +µa c λb 1 +µb d (λa 1 + µa d (λb 1 + µb c! = λ(a 1 d b 1 c + µ(a d b c De verfcate van lneartet n het tweede ld gebeurt op dezelfde maner Voor f controleren we f (λ(a j + µ(b j, (c j? = λf (a j, c j + µf (b j, c j (λa 11 + µb 11 c 11 + (λa 1 + µb 1 c 1 + (λa 13 + µb 13 c 31! = λ (a 11 c 11 + a 1 c 1 + a 13 c 31 + Lneartet n het andere ld wordt op een geljkaardge maner gecontroleerd µ (b 11 c 11 + b 1 c 1 + b 13 c 31 Oefenng 3 Beschouw V = V (, R met bass (e 1, e Schrjf v 1 = x 1 e 1 + y 1 e en v = x e 1 + y e Welke van de volgende afbeeldngen zjn blneare vormen? Oplossng 3 f 3 : V V R : (v 1, v x 1 x y 1 y f π : V V R : (v 1, v x 1 + x f 4 : V V R : (v 1, v x 1 x 1 + y 1 y 1 f 5 : V V R : (v 1, v x 1 y 1 + x y f 6 : V V R : (v 1, v x 1 x f 7 : V V R : (v 1, v 3x 1 x + πy 1 y + 5 f 3 (λv + µw, u? = λf 3 (v, u + µf 3 (w, u (λx v + µx w x u (λy v + µy w y u! = λ(x v x u + y v y u + µ(x w x u y w y u Opgeloste oefenngen LAAM II, Blneare en kwadratsche vormen 5

2 Lneartet n het andere ld volgt analoog en we besluten dat f 3 een blneare vorm s f π (λv + µw, u? = λf π (v, u + µf π (w, u (λv x + µw x + u x? = λ(vx + u x + µ(w x + u x 1! λ + µ Dt zou moeten gelden voor alle λ, µ, maar dt s net zo Bjgevolg s f π geen blneare vorm λx v + µx w x u x u λx v + µx w + f 4 (λv + µw, u =? λf 4 (v, u + µf 4 (w, u + λy ( v + µy w! xv = λ + y v + µ y u x u y u f 4 (u, λv + µw =? λf 4 (u, v + µf 4 (u, w ( y! u xu λ + y u + µ λy v + µy w x v y v ( xw x u + y w y u ( xu x w + y u y w f 4 s lnear n haar eerste argument, maar net n haar tweede en s dus geen blneare vorm f 5 (λv + µw, u? = λf 5 (v, u + µf 5 (w, u (λx v + µx w (λy v + µy w + x u y u! λ (x v y v + x u y u + µ (x w y w + x u y u Dt s dus allermnst een blneare vorm f 6 (λv + µw, u? = λf 6 (v, u + µf 6 (w, u (λx v + µx w x u! = λx v x u + µx w x u Na een analoge verfcate n het tweede argument concluderen we dat f 6 blnear s Dt s dus geen blneare vorm f 7 (λv + µw, u? = λf 7 (v, u + µf 7 (w, u + 5! λ( µ( + 5 Oefenng 33 Beschouw n de vectorrumte R de vectoren v 1 = ( x 1 y 1 en v = ( x y ten opzchte van de standaardbass B = (( 1 0, ( 0 1 Bepaal van de volgende blneare vormen de matrxvoorstellng tov de standaardbass en bepaal de rang van f f 8 (v 1, v = x 1 x + y 1 y f 9 (v 1, v = x 1 y x y 1 f 10 (v 1, v = x 1 y 4x y 1 + 3y 1 y f 11 (v 1, v = x 1 x + 7x y 1 Oplossng 33 De matrxvoorstellng van f tegenover een bass (e 1, e, zet erut als: ( f(e1, e 1 f(e 1, e f(e, e 1 f(e, e Na nvullen van de combnates van ( 1 0 en ( 0 1 n de blneare vorm, vnden we de matrxvoorstellngen van Opgeloste oefenngen LAAM II, Defnte en matrxvoorstellng 6

3 de f De rang van de blneare vorm s de rang van de matrx de s nvarant onder bassovergangen ( 1 0 M B (f 8 =, rang = 0 1 ( 0 1 M B (f 9 =, rang = 1 0 ( 0 1 M B (f 10 =, rang = 4 3 ( 1 0 M B (f 11 =, rang = Oefenng 34 Noteer (( n de vectorrumte R 3 de coördnaten van vectoren v 1 en v ten opzchte van 10 ( 01 ( 00 ( x1 ( x de standaardbass,, als v 1 = y 1 en v z = y Bepaal van de volgende blneare 1 z vormen de matrxvoorstellng tov de standaardbass en bepaal de rang van f Oplossng 34 f 1 (v 1, v = x 1 x + y 1 y + z 1 z f 13 (v 1, v = x 1 y + (x + z y 1 f 14 (v 1, v = x 1 y 3y 1 z f 15 (v 1, v = x 1 y + y 1 z + 3z 1 x Analoog aan oefenng 33 berekenen we telkens f(e 1, e 1 f(e 1, e f(e 1, e 3 f(e, e 1 f(e, e f(e, e 3 f(e 3, e 1 f(e 3, e f(e 3, e 3 Voor elke entry vnden we net de coëffcënt van één van de termen n de utdrukkng voor f M B (f 1 = 0 1 0, rang = M B (f 13 = 1 0 1, rang = M B (f 14 = 0 0 3, rang = M B (f 15 = 0 0, rang = Oefenng 35 Welke van de f n de oefenngen herboven zjn symmetrsch, welke alternerend? Welke zjn net-snguler? Oplossng 35 Een alternerende vorm heeft een scheefsymmetrsche matrxvoorstellng; een symmetrsche vorm heeft een symmetsche matrxvoorstellng We vnden dat f 3, f 6, f 8 en f 1 symmetrsche en f 1 en f 9 alternerende blneare vormen zjn Een net-sngulere vorm heeft een matrxvoorstellng met determnant verschllend van 0 Alle vormen zjn net-snguler, behalve de sngulere f, f 11, f 13 en f 14 Waarom f snguler s, wordt utgewerkt n oefenng 39 Oefenng 36 Beschouw een neuwe bass (( 1 1, ( 3 van R Bepaal de matrxvoorstellng en de rang van f 8, f 9, f 10 en f 11 ten opzchte van deze neuwe bass (( 10 ( 01 ( 11 Beschouw een neuwe bass,, van R 3 Bepaal de matrxvoorstellng en de rang van f 1, f 13, f 14 en f 15 ten opzchte van deze neuwe bass Opgeloste oefenngen LAAM II, Defnte en matrxvoorstellng 7

4 Oplossng 36 We kunnen de matrx f(e 1, e 1 f(e 1, e n f(e n, e 1 f(e n, e n bepalen, waarbj (e de neuwe bass voorstelt Een andere maner om de neuwe matrxvoorstellng te bepalen, s te gebruken dat de matrx van de blneare afbeeldng transformeert als A C AC, met C de matrx van de bassovergang In deze gevallen zjn de overgangsmatrces Met bede methodes bekomen we ( en ( 5 M (e (f 8 = 5 13 ( 0 4 M (e (f 10 = M (e (f 1 = M (e (f 14 = ( 0 1 M (e (f 9 = 1 0 ( 8 16 M (e (f 11 = M (e (f 13 = M (e (f 15 = Merk op dat de rang nderdaad nvarant bljft onder (deze bassovergangen Oefenng 37 Zoek de sotrope vectoren n de blneare rumten (V, f, {1, 3, 9, 15} Bepaal rad(v, f voor {1, 6, 1, 13} Oplossng ( 37 Een sotrope vector s een vector waarvoor geldt dat f (v, v = 0 De vectoren v = ( x y xy of v = zjn sotroop als ze voldoen aan z ( x y 1 f 1 (v, v = det = 0 Dt s echter altjd voldaan, dus alle vectoren zjn sotroop x y 3 f 3 (v, v = x y = 0 Dt s zo als en slechts als x = ±y, dus de sotrope vectoren vormen de une van twee vectorrechten R ( 1 1 en R ( f 9 (v, v = xy xy = 0 Dt s weer altjd voldaan: alle vectoren zjn sotroop {( xy } 15 f 15 (v, v = xy + yz + 3zx = 0 De sotrope vectoren xy + yz + 3zx = 0 vormen n de vectorrumte een kegel van vectorrechten Bekeken n PG(, R vormen deze punten een netontaarde kegelsnede (ze cursus Projecteve Meetkunde, de bachelor Voor het radcaal van een blneare vorm zoeken we alle vectoren v = ( x y waarvoor f (v, w = 0 voor alle w = ( xw y w Ze zjn bjgevolg de oplossng van het stelsel v M B (f = 0 De dmense van deze oplossngsrumte (en dus van het radcaal zal dus n rang M B (f zjn 1 De vorm f 1 s net-snguler, dus rad V = ( 0 0 z Opgeloste oefenngen LAAM II, Defnte en matrxvoorstellng 8

5 6 We zoeken de ( x y waarvoor xx = 0, voor alle ( X Y We vnden dat x = 0, maar y mag wllekeurg zjn We vnden de vectorrechte R ( 0 1 als radcaal 1 Voor f 11 zoeken we de ( x y waarvoor xx + 7yX = 0, voor alle ( X Y We vnden dat x + 7y = 0, dus de vectorrechte R ( 7 1 als radcaal 13 Het stelsel om rad (V, f 13 te bepalen: ( x y z 1 0 = ( heeft als oplossng R ( 11 1 Oefenng 38 Beschouw de vectorrumte P n (R van de reële n-degraadspolynomen n één veranderljke x Een bass voor P n (R over R s bjvoorbeeld ( 1, x, x,, x n Onderzoek of de volgende afbeeldngen (symmetrsche blneare vormen zjn op P n (R met q de afgelede van q naar x f 16 (p, q = p(0 + q(0 f 17 (p, q = p(q(0 f 18 (p, q = p(3 q( f 19 (p, q = p(1 q (1, Oplossng 38 Zoals voorheen kjken we weer of de vormen lnear zjn n bede leden f 16 (p + q, r? = f 16 (p, r + f 16 (q, r p(0 + q(0 + r(0 p(0 + r(0 + q(0 + r(0 f 17 (p, q + r? = f 17 (p, q + f 17 (p, r p(q(0 + r(0 p(q(0 + p(r(0 Dt kunnen dus geen blneare vormen zjn De volgende twee zjn dat wel, zoals deze verfcates aantonen: (λp(3 + µq(3r( = λp(3 r( + µq(3 r( p(3(λq( + µr( = λp(3 q( + µp(3 r( (µp(1 + λq(1r (1 = µp(1r (1 + µq(1r (1 p(1(µq (1 + λr (1 = µp(1q (1 + µp(1r (1 Dt s net verwonderljk, daar bede blneare vormen opgebouwd zjn als product van twee lneare vormen, zoals n oefenng 310 Inderdaad, heeft p = a n x n + + a 1 x + a 0 coördnaten (a n,, a 0 tov de standaardbass, dan worden deze lneare vormen gegeven door: Oefenng 39 Herneem de blneare vorm P n (R R : p p(3 = 3 n a n + + 9a + 3a 1 + a 0 P n (R R : p p( = n a n + + 4a + a 1 + a 0 P n (R R : p p(1 = a n + + a + a 1 + a 0 P n (R R : p p (1 = na n + + a + a 1 f : Mat 3 (R Mat 3 (R R, ((a j, (b j a 11 b 11 + a 1 b 1 + a 13 b 31 ut oefenng 31 Bepaal een een bass B van de vectorrumte Mat 3 (R en bepaal de matrx van f tegenover deze bass Opgeloste oefenngen LAAM II, Defnte en matrxvoorstellng 9

6 Oplossng 39 Mat 3 (R s een negendmensonale vectorrumte over R De standaardbass wordt gegeven door (( ( ( ( ( ( ( ( ( , 0 0 0, 0 0 0, 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1, 0 0 0, 0 0 0, a 11 a 1 a 13 Een matrx a 1 a a 3 heeft tegenover deze bass coördnaten (a 11, a 1, a 13, a 1, a, a 3, a 31, a 3, a 33 a 31 a 3 a 33 De matrxvoorstellng s dan af te lezen ut a 11 a 1 a 13 b 11 b 1 b 13 f : a 1 a a 3, b 1 b b 3 a 11 b 11 + a 1 b 1 + a 13 b 31 a 31 a 3 a 33 b 31 b 3 b b b b 13 = ( b 1 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a b b b b b 33 Oefenng 310 Beschouw een vectorrumte V (n, K met twee lneare vormen α : V K en β : V K Bewjs dat de afbeeldng f : V V K : (v, w α(v β(w een blneare vorm s over V (n, K Als n = en B = {e 1, e } een bass s van V (n, K met α(e 1 = λ 1, α(e = λ, β(e 1 = µ 1 en β(e = µ, bepaal dan M B (f en een utdrukkng van f tov B Oplossng 310 f(λu + µv, w? = λf(u, w + µf(v, w α(λu + µv β(w! = λα(u β(w + µα(v β(w wegens de lneartet van α De lneartet van β geeft de lneartet n het tweede argument Stel nu n = Het j-de element van M B (f s f(e, e j = α(e β(e j = λ µ j We bekomen dus de volgende matrx: ( ( λ1 µ 1 λ 1 µ λ1 = (µ λ µ 1 λ µ λ 1 µ Inderdaad, we kunnen f mmers schrjven als, met bjvoorbeeld v = ( x 1 y 1, w = ( x y : f(v, w = ( ( λ x 1 y 1 (µ1 ( x 1 µ λ = (λ y 1 x 1 + λ y 1 (µ 1 x + µ y 3 Symmetrsche en alternerende blneare vormen Oefenng 311 Zj f een blneare vorm op V Bewjs dat B alternerend s (B(v, w = B(w, v als en slechts als de dagonaalfuncte V K : v B(v, v addtef s Oplossng 311 De addtvtet van de dagonaalfuncte betekent dat v, w V : B(v + w, v + w = B(v, v + B(w, w We weten echter dat B(v + w, v + w = B(v, v + B(v, w + B(w, v + B(w, w, dus de addtvtet s het geval als en slechts als B(v, w + B(w, v = 0 v, w V, maw als B alternerend s Opgeloste oefenngen LAAM II, Symmetrsche en alternerende blneare vormen 30

7 Oefenng 31 Bewjs dat spoor(a B een symmetrsche blneare vorm s op de vectorrumte Mat m n (R Oplossng 31 Daar (A B j = m k=1 a kb kj, wordt deze vorm gegeven door Mat m n (R Mat m n (R R : (A, B n =1 k=1 m a k b k, wat een blneare vorm defneert, de symmetrsch s n A en B Men kan dt ook nzen doordat spoor, matrxproduct en transponeren van matrces lneare operatoren zjn: scalare vermengvuldgngen en sommen kunnen door de utdrukkng spoor(a B getrokken worden Merk tenslotte om dat ten opzchte van de standaardbass, de matrxvoorstellng van spoor( de mn mn-eenhedsmatrx I mn s Oefenng 313 Bewjs: als A een symmetrsche of scheefsymmetrsche n n-matrx s, dan geldt A A = A A en A s symmetrsch Oplossng 313 Als A symmetrsch s, dan geldt A = A Herut volgt onmddelljk dat A A = A A = A A Verder geldt ( A = A A = A, wat utdrukt dat A symmetrsch s Als A scheefsymmetrsch s, dan s A = A Er volgt dat A A = A ( A = A A en ( A = A A = ( A = A Oefenng 314 Zj λ 1, λ K, v 1, v V (n, K en A en B symmetrsche n n-matrces Als Av 1 = λ 1 Bv 1 en Av = λ Bv, met λ 1 λ, bewjs dan dat v 1 Bv = 0 Oplossng 314 Daar A symmetrsch s geldt: v 1 Av = v Av 1 Het lnkerld herledt zch tot v 1 λ Bv = λ (v 1 Bv Voor het rechterld bekomen we v λ 1 Bv 1 = λ 1 (v Bv 1 = λ 1 (v 1 Bv wegens de symmetre van B Trekken we het lnkerld van het rechterld af, dan krjgen we Wegens λ 1 λ volgt het gestelde (λ 1 λ (v 1 Bv = 0 Oefenng 315 Bewjs: over een veld K met kar K kan elke verkante matrx op uneke wjze geschreven worden als de som van een symmetrsche en een scheefsymmetrsche matrx Oplossng 315 Wllen we een matrx A op uneke maner schrjven als een som van een symmetrsche B en een antsymmetrsche C, dan zoeken we een uneke oplossng van het stelsel { a j = b j + c j a j = b j + c j = b j c j voor elk koppel j De determnant van dt stelsel s Er bestaat dus altjd een uneke oplossng als de karakterstek net s Inden = j, moet c = 0 wegens de veronderstelde scheefsymmetre van C en kunnen we eenvoudg stellen dat b = a, wat ons een uneke maner geeft om A als som te schrjven van een symmetrsche en een scheefsymmetrsche matrx Een ondersteunende reden waarom dt altjd kan, wordt gegeven door de dmenseargumenten n oefenng 318 Oefenng 316 Bewjs dat de verzamelng van blneare vormen op een vectorrumte V noteer Bl(V opneuw de structuur van een vectorrumte heeft Bewjs dat, voor de gedefneerde optellng en scalare vermengvuldgng op Bl(V, de deelverzamelng van de symmetrsche en de van de alternerende blneare vormen deelrumten vormen van Bl(V Oplossng 316 volgt: We defnëren de optellng en de scalare vermengvuldgng van blneare vormen als Zjn f en g twee blneare vormen; v, w V ; λ K, dan stellen we: (f + g(v, w = f(v, w + g(v, w (λf(v, w = λf(v, w Opgeloste oefenngen LAAM II, Symmetrsche en alternerende blneare vormen 31

8 Om te begnnen stellen we vast dat dt goed gedefneerd s: een lneare combnate van blneare vormen defneert nderdaad opneuw een blneare vorm We tonen her enkel explcet de addtvtet aan n het eerste ld voor een som van blneare afbeeldngen (f + g(u + v, w = f(u + v, w + g(u + v, w = f(u, w + f(v, w + g(u, w + g(v, w = (f + g(u, w + (f + g(v, w Analoog voor de scalare vermengvuldgng n het eerste ld, alsook voor de lneartet n het rechterld Dat de vermengvuldgng van een blneare vorm met een scalar eveneens een blneare vorm oplevert, kent een analoge verfcate Verder zouden we explcet kunnen nagaan dat de de axoma s van een vectorrumte voldaan zjn voor deze optellng en scalare vermengvuldgng Bj wjze van voorbeeld tonen we her explcet de dstrbutvtetsegenschappen (λ + µf = λf + µf en λ(f + g = λf + λg aan: ((λ + µf (v, w = (λ + µ (f(v, w = λ (f(v, w + µ (f(v, w = (λf(v, w + (µf(v, w (λ(f + g (v, w = λ ((f + g(v, w = λ (f(v, w + g(v, w = (λf (v, w + (λg (v, w Ut (λf + µg(v, w = λf(v, w + µg(v, w = λf(w, v + µg(w, v = (λf + µg(w, v en (λf + µg(v, v = λf(v, v + µg(v, v = 0 volgt dat lneare combnates van symmetrsche of alternerende vormen terug symmetrsche of alternerende opleveren De symmetrsche blneare vormen vormen dus een deelrumte S(V en de alternerende een deelrumte A(V (notates net gestandaardseerd Oefenng 317 (Herexamen 01 Bewjs dat dm Bl(R n, R m = mn Oplossng 317 De vectorrumte Bl(R n, R m van blneare vormen op R m R n s somorf met de vectorrumte R n m van reële n m-matrces, want gegeven een bass B kunnen we elke blneare vorm f : R n R m R : (v, w v M B (fw afbeelden op zjn matrx M B (f Omdat sommen en scalare veelvouden van matrces corresponderen met sommen en scalare veelvouden van de blneare vormen, s deze afbeeldng een lneare bjecte en dus een somorfsme Deze vectorrumte heeft dmense mn Een bass wordt mmers gegeven door alle n m-matrces de een 1 hebben op één van de mn plaatsen n de matrx en nullen elders Oefenng 318 Als V dmense n heeft, bepaal dan de dmense van Bl(V en geef een bass voor deze vectorrumte Bepaal ook de dmenses en basssen voor de deelrumten der symmetrsche en alternerende blneare vormen Tot welke concluse kom je? Controleer dat je resultaat n overeenstemmng s met oefenng 315 Oplossng 318 Oefenng 317 zegt dat dm Bl(V = dm Bl(V, V = n (omdat een blneare vorm volledg vastlgt door zjn matrxvoorstellng ten opzchte van een bepaalde bass van V Va het somorfsme met (n n-matrces vnden we een bass voor deze vectorrumte: gebruk de standaardbass voor Mat n (K Kes een bass B We weten dat alternerende vormen corresponderen met antsymmetrsche matrces (dus met 0 op de dagonaal en a j = a j De n n blneare vormen b j : (u, v u v j u j v, met < j, dus horend bj de matrces met a j = 1, a j = 1 en verder overal 0, vormen bjvoorbeeld een bass van A(V : omdat de coëffcënten ten opzchte van deze bass, van een blneare vorm / matrx preces de entres van de matrx zjn, zullen deze preces de rumte van alternerende blneare vormen opspannen Men kan met datzelfde nzcht nagaan dat een lneare combnate van deze basselementen pas 0 oplevert wanneer de coëffcënten 0 zjn, zodat deze ook lnear onafhankeljk zjn Omdat deze bass kardnaltet n n heeft zal dt ook de dmense zjn van de deelrumte der alternerende blneare vormen (dt s het aantal entres strkt-boven de dagonaal Voor een symmetrsche vorm moeten de dagonaalelementen net noodzakeljk nul zjn Een bass wordt bjvoorbeeld gegeven door de blneare vormen s j : (u, v u v j + u j v, met < j une de blneare vormen d : (u, v u Dt zjn de vormen horend bj de n +n matrces met a j = a j = 1 en verder Opgeloste oefenngen LAAM II, Symmetrsche en alternerende blneare vormen 3

9 overal 0, voor j Dat dt nderdaad een bass s, gaat men na op preces dezelfde maner als bj de alternerende Er volgt dat de dmense van de deelrumte der symmetrsche blneare vormen n +n s Daar A(V S(V = en n = n n + n +n, e dm A(V + dm S(V = dm Bl(V, besluten we dat Bl(V = A(V S(V In oefenng 315 hadden we net besloten dat elke verkante matrx te schrjven s als som van een symmetrsche en een antsymmetrsche matrx, en bovenden op uneke maner, wat preces overeenkomt met bovenstaande drecte som 33 Dscrmnant Oefenng 319 Wat s van de volgende velden de kwadratenquotëntgroep waarn de mogeljke dscrmnanten leven? Bepaal bjvoorbeeld de orde ervan Bereken de dscrmnant van de blneare vormen, de utgedrukt staan tegenover een bepaalde bass van de tweedmensonale vectorrumte waarop ze gedefneerd zjn Over R : f : Over C : f : Over Q : f : Over F 17 : f : Over F 16 : f : Over R(t : f : Oplossng 319 (( x1 y (( 1 x1 y (( 1 x1 y (( 1 x1 y (( 1 x1,,,,, y 1 (( x1 y 1 ( x y ( x y ( x, y ( x y ( x y ( x y ( ( 1 π x 1 y ( ( 1 x 1 y 1 1 ( ( 1 1 x 1 y ( x 1 7 ( x 1 y 1 ( y ( x y ( x y ( x y ( ( t x 1 y 3 ( + t t + 1 x 1 t 1 y ( ( t+1 t t (x x 1 y 1 t t 1 4 y t+1 Over R zjn de kwadraten de posteve getallen Modulo een postef getal kan de dscrmnant dus 1 (zegge negatef, +1 (zegge postef of 0 zjn (dre mogeljkheden We hebben dsc(f = det M B (fr + = sgn(1 π = 1 = negatef Over C s elk getal een kwadraat De dscrmnant kan dus enkel 0 of net-0 zjn (twee mogeljkheden We hebben dsc(f = det M B (fc = 1 + = 0 Over Q zjn de kwadraten breuken met een kwadraat n teller en noemer De quotëntgroep modulo de kwadraten s moeljk en heeft onendg veel elementen: een representant voor elke klasse s de onvereenvoudgbare breuk met een kwadraatvrje teller en noemer We vnden dsc(f = det M B (fq = Q Over F 17 zjn preces de helft van de net-nulelementen kwadraten Er zjn dus dre mogeljkheden voor de dscrmnant: een kwadraat, een net-kwadraat of 0 Her s dsc(f = det M B (ff 17 = (8 + 5F 17 = ( 1F 17 = F 17 = een kwadraat Over F 16 s alles een kwadraat De dscrmnant kan 0 of net-0 zjn (twee mogeljkheden We hebben dsc(f = det M B (fc = t + t 0 Over het veld der reële ratonale functes R(t zjn de kwadraten zoals over Q De quotëntgroep s moeljk en telt onendg veel elementen Er volgt dat dsc(f = det M B (fr(t = t R(t = 1 R(t, een kwadraat Opgeloste oefenngen LAAM II, Dscrmnant 33

10 Oefenng 30 Zj K een veld en (e 1,, e n een bass voor K n Kes a K, voor 1 n Defneer een afbeeldng f van {e 1 n} naar K door f(e, e j = 0 als j en f(e, e = a K Bewjs dat deze functe op een uneke maner utbredt tot een blneare vorm f : K n K n K en bepaal de dscrmnant van f Oplossng 30 We weten dat het kennen van de werkng van f op de vectoren van een bass voldoende s om f op heel de vectorrumte te kennen, op de volgende uneke maner Voor een vector v = v e en w = j w je j s f(v, w = f( v e, w j e j = v f(e, e j w j = a v w j j Dt s de blneare vorm geassoceerd aan de dagonaalmatrx Dag(a 1,, a n De dscrmnant s dan ook ( n =1 a K Oefenng 31 Zj A R n n een symmetrsche matrx en f de blneare vorm bepaald door A, dus f(v, w = v Aw, de vectoren gezen als kolommatrces Led nogmaals af wat de dscrmnant van f s, n functe van A, door enkel het resultaat ut oefenng 30 te gebruken n plaats van de defnte van dscrmnant Hnt: gebruk dat een reële symmetrsche matrx kan gedagonalseerd worden door mddel van een orthogonale transformate Oplossng 31 Omdat A symmetrsch s, bestaat er een orthogonale matrx C en een dagonaalmatrx D zodat D = C AC De matrces A en D stellen dan dezelfde blneare vorm f voor, ten opzchte van verschllende basssen (waartussen C de bassovergangsmatrx s De dscrmnant van f s onafhankeljk van welke matrx (A of D we nu als de matrx van f beschouwen Bjgevolg s de dscrmnant van f wegens oefenng 30 geljk aan het product van de dagonaalelementen ut de matrx D De dagonaalelementen van D zjn echter de egenwaarden van A en het product van de dagonaalelementen/egenwaarden s preces det A Dt geeft ons dat dsc f = det A R Oefenng 3 De spoorvorm op Mat (K s gedefneerd als (A, B spoor(ab Bewjs dat deze blneare vorm noodzakeljk (de nevenklasse van 1 als dscrmnant moet hebben ( Oplossng 3 Stel A = ( 1 a 3 a 4 en B = b1 b b 3 b 4, dan s spoor(ab = a 1 b 1 + a b 3 + a 3 b + a 4 b 4 Ten opzchte van de standaardbass (( , ( , ( , ( van Mat (K kunnen we dt utdrukken als a 1 b b 1 a, b ( a 1 a a 3 a b a 3 a 4 b 3 b De determnant van deze matrx s 1, dus de dscrmnant van deze blneare vorm zal 1 zjn, op een kwadraat van K na Oefenng 33 Geef een eenvoudg argument waarom de volgende twee blneare vormen op R 3 net congruent zjn f 1 (v 1, v = x 1 x + y 1 y + z 1 z en f 0 (v 1, v = x 1 z + y 1 y + z 1 x Oplossng 33 Ten opzchte van de standaardbass B waartegenover deze blneare vormen utgedrukt zjn, s M B (f 1 = en M B (f 0 = Deze matrces hebben determnanten 1 en 1, dus de blneare vormen f 1 en f 0 hebben verschllende dscrmnanten R = + en 1 R = Congruente blneare vormen zouden echter dezelfde dscrmnant hebben b 3 b 4 Opgeloste oefenngen LAAM II, Dscrmnant 34

11 Oefenng 34 Zj V een n-dmensonale vectorrumte over een veld K, f een net-ontaarde blneare vorm op V en (v 1,, v n en (w 1,, w n twee basssen van V We noemen de ene bass duaal aan de andere (tov f als f(v, w = 1 en f(v, w j = 0 als j Bewjs dat er voor elke bass {v } een duale bass {w j } bestaat Welk verband vnd je tussen de v -w j -bassovergangsmatrx en een matrxvoorstellng van f? Bewjs verder dat M {v }(f 1 = M {wj }(f Oplossng 34 Ten opzchte van eender welke bass E = (e 1,, e n krjgen de vectoren v en w j coördnaten, her voorgesteld als kolommatrces De es s dat v M E (fw j = δ j, of V M E (f W = I n, met V de n n-matrx met als rjen de coördnaten van de v tov E en met W de n n-matrx met als kolommen de coördnaten van de w j tov E Beschouwen we nu W als onbekende, omdat we het bestaan van een duale bass wllen aantonen Zjn een blneare vorm f en een bass {v } gegeven, dan hebben we vaste matrces M E (f en V De es V M E (f W = I n geeft ons dan een uneke oplossng W = M E (f 1 V 1 De kolommen van M E (f 1 V zullen dan net de coördnaten tov E vormen van de bassvectoren van de gezochte duale bass {w j } We vestgen nu een relate tussen de bassovergangsmatrx en de matrx van f De matrx van de bassovergang van de bass {v } naar de bass {w j } s de matrx Q waarvoor V Q = W, met de notates van herboven Beschouw nu alles ten opzchte van de bass E = {v } In dat geval s V = I n en s W zelf de bassovergangsmatrx Q De relate V M E (f W = I n wordt dan M {v }(f W = I n We vnden M {v }(f Q = I n Beschouw nu alles ten opzchte van de bass E = {w j } In dat geval s W = I n en de matrx V de de bassvectoren van {v } utdrukt n de bass {w j } s de bass van de nverse bassovergang, nameljk Q 1 (ze ook cursus, begn hoofdstuk blneare vormen Transponeren van V M E (f W = I n geeft dan Elmnate van Q brengt ons nderdaad tot M {wj }(f Q 1 = I n M {v }(f M {wj }(f = I n 34 Orthogonaltet Oefenng 35 Bepaal een orthogonale bass voor de blneare rumte ( K, (v, w v ( w Bewjs dat deze rumte voor K = Q geen orthonormale bass kan hebben Oplossng 35 We stellen vast dat de standaardbass voor K altjd voldoet: f (( 1 0, ( 0 1 = ( 1 0 ( ( 0 1 = 0 De reden voor het net-bestaan van een orthonormale bass voor ( Q, (v, w v ( w s het netbestaan van eenhedsvectoren v = ( x y, waarvoor f(v, v = x + 3y = 1 over Q Aantonen dat deze dophantsche vergeljkng geen ratonale oplossngen heeft s een getaltheoretsche opgave Schrjf x, y Q als x = a c en y = b c met a, b, c Z en ggd(a, b, c = 1 We moeten nu bewjzen dat er geen gehele getallen a, b, c voldoen aan a + 3b = c Modulo 3 wordt deze vergeljkng a c (mod 3 Omdat 0 en 1 de enge kwadraten zjn modulo 3, moet noodzakeljk a 0 en c 0 (mod 3 Stel daarom a = 3A en c = 3C De dophantsche vergeljkng herledt zch tot 9A + 3b = 9C Opgeloste oefenngen LAAM II, Orthogonaltet 35

12 Omdat 9C 9A deelbaar s door 9, moet ook 3b mnstens twee premfactoren 3 bevatten, of dus 3 b Dt s echter n tegenspraak met de onderstellng dat ggd(a, b, c = 1 Een dergeljke oplossng (a, b, c kan dus onmogeljk bestaan en het net-bestaan van eenhedsvectoren s bewezen De dscrmnant levert een andere aanpak: als er een orthonormale bass bestaat, bestaat er een bassovergang waartegenover f voorgesteld wordt door een eenhedsmatrx Dt zou echter betekenen dat de dscrmnant een kwadraat s, maar de dscrmnant van f s 6 Oefenng 36 Bepaal voor de blneare rumte V = ( R, (v, w v ( w een orthogonale bass Waarom kun je de vector ( 1 0 net utbreden met een andere vector tot een orthogonale bass van V? Bewjs dat er geen orthogonale bass bestaat voor ( K, (v, w v ( w zodra K even karakterstek heeft Oplossng 36 Voor de bass van V zoeken we lnear onafhankeljke vectoren ( x 1 y 1 en ( x y met de egenschap dat ( x 1 y 1 ( ( x y = x 1 y + x y 1 = 0 Vectoren de heraan voldoen zjn bjvoorbeeld ( 1 1 en ( 1 1 We bekjken de vectoren ( x y orthogonaal met ( 1 0 Hervoor moet gelden dat ( x y ( ( 1 0 = y = 0 Alle vectoren orthogonaal met ( 1 0 zjn dus te schrjven als λ ( 1 0 Alle vectoren van ( 1 0 zjn er dus lnear afhankeljk mee We besluten dat er geen orthogonale bass s met ( 1 0 Zj nu K een veld met karakterstek Twee vectoren ( a b en ( d c zjn lnear afhankeljk wanneer det ( a b d c = ad bc = ad + bc = 0 Deze twee vectoren zjn n deze blneare rumte orthogonaal wanneer ( ( ( 0 1 c a b = ad + bc = d We vnden dat orthogonaal her equvalent s met lnear afhankeljk! Een bass van orthogonale vectoren s her dus onmogeljk Oefenng 37 Bewjs dat de volgende defntes van sometre van een endgdmensonale blneare rumte (V, f equvalent zjn, voor een lneare afbeeldng ι : V V : v, w V : f(v, w = f(ι(v, ι(w Ten opzchte van een bass B voldoet de geassoceerde matrx H = M B (ι aan H M B (fh = M B (f Orthonormale basssen worden door ι op orthonormale basssen afgebeeld Oplossng 37 (1 ( Met ι : v Hv s (1 equvalent met v, wnv : v M B (fw = (v H M B (f(hw Dt s equvalent met de matrxgeljkhed (voor de mnst trvale rchtng: gebruk dat dt n het bjzonder moet gelden voor bassvectoren v = e, w = e j (1 (3 Zj B een orthonormale bass Dan s f(ι(b, ι(b j = f(b, b j = δ j, wat aantoont dat ι(b ook een orthonormale bass s (3 (1 Zj ι een lneare afbeeldng op V de orthonormalet van basssen bewaart en zj {e } een orthonormale bass Dan s f(ι(e, ι(e j = δ j = f(e, e j Voor wllekeurge vectoren v, w geldt dan f(ι(v, ι(w = f(ι( v e, ι( j w j e j = v f(ι(e, ι(e j w j = j v f(e, e j w j = f(v, w j Oefenng 38 In reflexeve blneare rumten, toon aan dat sotrope vectoren de deel utmaken van een orthogonale bass, n het radcaal ztten Opgeloste oefenngen LAAM II, Orthogonaltet 36

13 Oplossng 38 Zj {e } een orthogonale bass voor de blneare rumte (V, f Dat een bassvector e sotroop s, betekent dat f(e, e = 0 Dat de bass orthogonaal s, betekent dat f(e, e j = 0, j Beden samen mplceren dat e orthogonaal s met alle vectoren van een bass van V Wegens lneartet van f n het tweede argument s f(e, v = 0 v V Maar dat s een herformulerng van e rad V Oefenng 39 Bewjs dat voor deelrumten W 1 en W van een endgdmensonale, net-ontaarde, reflexeve blneare rumte V geldt dat W = W, (W 1 + W = W 1 W, (W 1 W = W 1 + W Toon aan dat W net-ontaard s als en slechts als V = W + W Oplossng 39 We zullen gebruken dat, als dm V = n, dan dm W = n dm W Dat W W s een trvaltet: elke vector n W staat natuurljk orthogonaal op alle vectoren de orthogonaal zjn met alle vectoren n W Bede deelrumten zjn geljk omdat ze dezelfde dmense hebben Als u (W 1 + W, dan s n het bjzonder u W 1 en evenzo u W Dus u W1 W Omgekeerd, voor een u W1 W s u W 1 en u W Voor een wllekeurge w 1 +w W 1 +W s f(u, w 1 +w = f(u, w 1 + f(u, w = 0, dus u (W 1 + W Dt bewjst de mddelste geljkhed Neem een u W1 + W, zegge u = v 1 + v, met v 1 W 1 en v W Dan s, voor elke w W 1 W alvast f(u, w = f(v 1, w + f(v, w = 0 Dt bewjst dat u (W 1 W Voor de omgekeerde ncluse werken we met een dmenseargument Noem dm W 1 = a, dm W = b en dm(w 1 W = d, dan s dm(w 1 + W = a + b d Wegens (W 1 + W = W1 W s dm ( W1 W = n a b + d Nu s dm ( W1 + W ( ( ( = dm W 1 + dm W dm W 1 W = (n a + (n b (n a b + d = n d = dm (W 1 W Omdat bede deelrumten dezelfde dmense hebben, moeten ze dus geljk zjn Ontaardhed van de deelrumte W wordt gekenmerkt door het bestaan van een radcale vector w W, de orthogonaal s met alle andere vectoren van W, dus door de condte W W De condte V = W + W s wegens de dmensestellngen van Grassmann equvalent met W W =, dus we zjn er Oefenng 330 Zj V een net-ontaarde blneare rumte, de net noodzakeljk reflexef s Omdat f(v, w = 0 dan net noodzakeljk equvalent s met f(w, v = 0, zjn er twee -operatoren op wllekeurge deelrumten W van V : W L = {v V v w w W } en W R = {v V w v w W } Toon aan dat W L en W R beden dmense dm V dm W hebben en bewjs dat W L R = W R L = W Oplossng 330 Zj (e 1,, e k een bass van W en bred de ut tot een bass (e 1,, e n van V Zj A de matrxvoorstellng van de net-ontaarde blneare vorm ten opzchte van deze bass, dus A net-snguler We zoeken de dmense van de deelrumte W L = {v f(v, w = 0, w W } = {v f(v, e = 0, k} = {v v Ae = 0, k} De kolomvectoren Ae, met 1 k zjn preces de eerste k kolommen van A deze zjn bovenden lnear onafhankeljk We zoeken dus de dmense van een deelrumte, bepaald door k lnear onafhankeljke lneare vergeljkngen Dt s preces dm V k = dm V dm W Het bewjs voor R verloopt vergeljkbaar, al zal de e als rjvector lnks van A staan en zal de deelrumte W R bepaald worden door de eerste k rjen van A, de eveneens lnear onafhankeljk zjn De deelrumte W L R bestaat ut vectoren v met de egenschap dat u v voor alle u W L (met andere woorden voor alle u met u w, w W Maar natuurljk zullen alle w W trvaal voldoen aan dt crterum voor v, dus we hebben dat W W L R Daar W en W L R deelrumten van V zjn met dezelfde dmense, moeten ze echter geljk zjn Opgeloste oefenngen LAAM II, Orthogonaltet 37

14 35 Ontaardhed en radcaal Een blneare vorm B op een vectorrumte V wordt net-ontaard genoemd als de volgende equvalente egenschappen voldaan zjn (ze ook cursus, onderaan pagna 46: Het radcaal s {0} B(v, w = 0 w v = 0 Een matrxvoorstellng ten opzchte van een bass s nverteerbaar Oefenng 331 Zj f een net-ontaarde blneare vorm op V Toon aan dat, voor een lneare afbeeldng A : V V, de blneare vorm (v, w f(v, Aw net-ontaard s als en slechts als A nverteerbaar s Oplossng 331 (v, w f(v, Aw s ontaard als en slechts als er een 0 w V bestaat waarvoor geldt dat f(v, Aw = 0, v V Vermts f net-ontaard s, volgt herut dat Aw = 0 voor de w Deze w s een getuge voor de sngulartet van A Een andere redenerng gaat als volgt Noemen we M de matrxvoorstellng van f Dan heeft (v, w f(v, Aw als matrxvoorstellng M A De onderzochte blneare vorm s net-ontaard als en slechts als haar matrx M A nverteerbaar s, of equvalent, als A nverteerbaar s, want de nverteerbaarhed van M was gegeven Oefenng 33 Zjn V en W blneare rumten, bewjs dan dat hun orthogonale som V W een net-ontaarde blneare rumte s als en slechts als V en W dat zjn Oplossng 33 Als (v 1,, v dm V een bass s voor V en (w 1,, w dm W een bass voor W, dan s (v 1,, v dm V, w 1,, w dm W een bass voor V W We vragen ons af hoe de matrxvoorstellng van de geïnduceerde blneare vorm op V W erutzet Als (V, f utgerust s met f : (v 1, v v 1 M f v en (W, g met g : (w 1, w w 1 M gw, dan zal voor bassvectoren v k van V nog steeds bljven gelden dat (f g(v, v j = f(v, v j = (M f j en analoog voor W Omdat de drecte som orthogonaal s, zal (f g(v, w j = 0 voor bassvectoren ut de verschllende componenten We vnden dus dat de orthogonale som (V W, f g utgerust s met een blneare vorm f g : (V W (V W K (v 1 + w 1, v + w ( v 1 w 1 ( M f 0 0 M g ( v De blneare rumte V W s net-ontaard als de matrx M f g net-snguler s Maar omdat we aflezen dat det M f g geljk s aan det M f det M g, zal dt zo zjn als en slechts als V en W beden net-ontaard zjn Oefenng 333 Zoek een correspondente tussen blneare vormen en lneare afbeeldngen van V op deelrumten van zjn duale V Leg ut dat net-ontaarde blneare vormen corresponderen met somorfsmen tussen V en V Oplossng 333 Als we een lneare afbeeldng Φ : V V hebben de vectoren op duale vectoren afbeeldt, bouwen we daarmee deze blneare vorm f Φ : (v, w f(v, w = (Φ(v (w, want Φ(v s een operator de gedefneerd s op vectoren w V Als we een blneare vorm f : (v, w f(v, w hebben, maken we daarmee de lneare operator van Φ f : V V : v f(v, Omdat f lnear s n het tweede argument, s f(v, een lneare functonaal op vectoren Men verfeert eenvoudg Φ f een lneare afbeeldng s Als f een net-ontaarde blneare vorm s, zal Φ f een somorfsme zjn: mmers, dentfceren we tegenover een bass B duale vectoren met rjmatrces, dan s Φ f : v v M B (f nderdaad surjectef zjn Als Φ een somorfsme s, dan zal een f Φ net-ontaard zjn: stel mmers dat er een radcale vector v V s waarvoor (Φ(v (w = 0 voor alle w Dan moet Φ(v = 0 en bjgevolg ook v = 0 w Opgeloste oefenngen LAAM II, Ontaardhed en radcaal 38

15 Oefenng 334 (Herexamen 01 Zj (V, f een reflexeve blneare rumte met radcaal R en zj W een complementare rumte aan R (dus V = R W Toon aan dat de restrcte van f op W een net-ontaarde blneare vorm s (Hnt: kes een goede bass en analyseer de matrxvoorstellng van f ten opzchte van deze bass Oplossng 334 Neem een bass (e 1,, e r voor R en een bass (e r+1,, e n voor W, zodat (e 1,, e n een bass s voor V Omdat de vectoren e, r n het radcaal ztten, moet x Ae = 0 zjn, voor alle x V Met andere woorden, de -de kolom s een nulkolom, r Wegens reflexvtet van f geldt hetzelfde voor de rjen en verkrjgen we dat f van de vorm ( f : (v 1, v v1 0 0 v 0 A W s, waarbj A W preces de matrx moet zjn van de blneare vorm f, beperkt tot W Om aan te tonen dat f W net-ontaard s, moeten we aantonen dat A W net-snguler s Mocht ze dat wel zjn, dan bestaat er een net-nul-vector w n de nulrumte, zodat dus ( A W ( 0 w maar dat betekent dat ( w 0 n het radcaal zt Deze net-nul-vector n R W s echter n strjd met onze onderstellng V = R W Oefenng 335 (Examen 01 Zj q : Mat (R R een net-ontaarde kwadratsche vorm op Mat (R, de vectorrumte over R van reële -matrces Stel T = ( r t u s Mat (R Toon aan dat de afbeeldng q : Mat (R R : A q(t A een net-ontaarde kwadratsche vorm s als en slechts als det T 0 ( ab, dan zet = Oplossng 335 Als A = ( a b c d er tegenover de standaardbass van Mat (R utzet als T A = ( r t u s ( ( a b c d = ra+sc rb+sd ta+uc tb+ud erut als ra + sc r 0 s 0 a a rb + sd ta + uc = 0 r 0 s b t 0 u 0 c = R b c, tb + ud 0 t 0 u d d waarbj men kan berekenen dat de 4 4-matrx R determnant (ru st = (det T heeft (bjvoorbeeld door het wsselen van de mddelste rjen en kolommen Als q voorgesteld wordt door de net-sngulere symmetrsche 4 4-matrx M, dan zet de kwadratsche vorm q erut als ( 0 0 q : A q(t A ( ab ( a b c d R MR ( ab c d zodat q bepaald wordt door de matrx R MR Deze s snguler als en slechts als det R det M det R = (det T 4 det M = 0, dus als en slechts als det T = 0 Alternatef Als det T = 0, dan bestaat er een net-nul-kolomvector ( 1 w zodat T ( 1 w = 0, dus ook ( r t u s ( 1 1 w w = ( 0 0 We moeten bewjzen dat 0 0 w Mat (R : v Mat (R : b(v, w = 1 ( q(v + w q(v q(w maar zo n w bestaat nderdaad: ( w 1 w 1 w w s er nameljk zo één c d,, = 1 (q(t v + T w q(t v q(t w = 0, c d Opgeloste oefenngen LAAM II, Ontaardhed en radcaal 39

16 Als det T 0, dan s T bjectef Als v over heel Mat (R loopt, doet T v dat dus ook Stel nu dat Dat betekent dan ook: w Mat (R : v Mat (R : b(v, w = 1 (q(t v + T w q(t v q(t w = 0 w Mat (R : v Mat (R : b(v, w = 1 (q(v + T w q(v q(t w = 0, maar dat betekent net dat het element T w getuge s van het fet dat q toch ontaard s, n strjd met de onderstellng Een blneare vorm b of een kwadratsche vorm q wordt anstroop genoemd als hj geen sotrope vectoren heeft, dus als b(v, v = 0 v = 0, of q(v = 0 v = 0 Oefenng 336 Zj q : Mat (R R een ansotrope kwadratsche vorm op Mat (R, de vectorrumte over R van reële -matrces Stel T = ( r t u s Mat (R Toon aan dat de kwadratsche vorm q : Mat (R R : A q(t A ansotroop s als en slechts als det T 0 Oplossng 336 Omdat q ansotroop s, weten we dat q(u = 0 equvalent s met U = ( Maar dan vnden we A ( : q(t A = 0 A ( : T A = ( det T = 0, wat de gevraaagde equvalente aantoont 36 Kwadratsche vormen Oefenng 337 De maner om ut een blneare vorm b een kwadratsche vorm q te maken, s door q(v := b(v, v te stellen De maner om ut een kwadratsche vorm q een blneare vorm b te maken, s door b(v, w := 1 [q(v + w q(v q(w] te stellen Onder welke voorwaarden zjn deze assocates elkaars nverse? Oplossng 337 Starten we van een kwadratsche vorm en maken we er va een blneare weer een kwadratsche vorm van, dan komen we altjd dezelfde ut Starten we van een blneare vorm, dan komen we net altjd dezelfde blneare vorm ut, maar enkel als b(v, w = 1 [q(v + w q(v q(w] = b q(v + w, v + w b q (v, v b q (w, w = b(v, w + b(w, v Deze assocates zjn dus enkel elkaars nverse als de blneare vorm b symmetrsch s Dat s net verwonderljk, daar de vorm 1 [q(v + w q(v q(w] de we ut een kwadratsche vorm kunnen halen, altjd symmetrsch s Oefenng 338 Toon aan dat congruente en toegevoegdhed van matrces equvalenterelates zjn Oplossng 338 Congruente, her genoteerd met, s gedefneerd als A B P GL(n, K : B = P AP Reflexvtet volgt door P = I n te nemen en symmetre door P 1 te beschouwen Voor transtvtet, als B = P AP en C = Q BQ, dan s C = (P Q A(P Q en P Q s weer nverteerbaar omdat P en Q dat zjn Het bewjs voor toegevoegdhed s hetzelfde, met 1 n plaats van Oefenng 339 Zj V een vectorrumte over een veld K met kar K, f een symmetrsche blneare vorm op V en q de met f geassoceerde kwadratsche vorm op V Bewjs dan de volgende dentteten u, v V, k, m K f(u, v = 1 4 [q(u + v q(u v] Opgeloste oefenngen LAAM II, Kwadratsche vormen 40

17 f(u + v, u v = q(u q(v q(ku + mv = k q(u + kmf(u, v + m q(v Oplossng [q(u + v q(u v] 4 = 1 [f(u + v, u + v f(u v, u v] 4 = 1 [f(u, u + f(u, v + f(v, u + f(v, v (f(u, u + f(u, v + f( v, u + f( v, v] 4 = 1 [f(u, v + f(v, u] 4 = 1 4 f(u, v omdat f symmetrsch s 4 =f(u, v f(u + v, u v = f(u, u + f(u, v + f(v, u + f(v, v = f(u, u f(u, v + f(v, u f(v, v = f(u, u f(v, v omdat f symmetrsch s = q(u q(v q(ku + mv = f(ku + mv, ku + mv = f(ku, ku + f(ku, mv + f(mv, mv = k q(u + kmf(u, v + m q(v Oefenng 340 Reduceer de volgende kwadratsche vormen tot een dagonaalvorm Ten opzchte van welke bass worden ze dagonaal? Q 1 : K K : ( x y Q 1 (( x y = 5x + xy + 5y Q : K 3 K : v Q (v = xy + yz + xz Q 3 : K 3 K : v Q 3 (v = x + 10xz + 4y + z Q 4 : K 3 K : v Q 4 (v = x 4xy xz z Q 5 : K 3 K : v Q 5 (v = x + z xz Q 6 : K 4 K : v Q 6 (v = 3x + xy + 3y + 6z 4zt + 6t Q 7 : K 4 K : v Q 7 (v = 3x + xy + 3y 4zt Q 8 : K 5 K : v Q 8 (v = 6xy + z tu Oefenng 341 Zj V de vectorrumte der reële -matrces en W de verzamelng van symmetrsche, spoorloze matrces (dus met spoor 0 Zj det : V R, A det A de determnantafbeeldng Bewjs dat W een deelrumte s van V Bewjs dat det een kwadratsche vorm s op V Bepaal de twee nvaranten (rang en sgnatuur van det (Examen 01 Bewjs dat de symmetrsche blneare vorm f, geassoceerd aan de kwadratsche vorm det, negatefdefnet s op W Oplossng 341 De som van twee symmetrsche matrces s weer symmetrsch Een scalar veelvoud van een symmetrsche matrx s weer symmetrsch Voor spoorloze matrces A en B hebben we dat spoor(λa + µb = λ spoor A + µ spoor B = λ0 + µ0 = 0 Opgeloste oefenngen LAAM II, Kwadratsche vormen 41

18 Voor de -determnant geldt er dat det(λa = λ det(a We moeten nu nog nagaan dat de geassoceerde vorm det(a + B det(a det(b f(a, B = ( blnear s Als we stellen dat A = ( 1 a 3 a 4 en B = b1 b b 3 b 4, s het eenvoudg na te gaan dat det(a + B = det(a + det(b + det ( a 1 a b 3 b 4 + det ( a4 a 3 b b 1 Het s nu straghtforward om na te gaan dat een blneare vorm defneert (A, B det ( a 1 a ( a4 a b 3 b 4 + det 3 b b 1 = a 1 b 4 a b 3 + a 4 b 1 a 3 b Tegenover de standaardbass van Mat (R, zjnde (( , ( , ( , ( , wordt det : ( a b c d ad bc gegeven door a a b c 1 ( a b c d b c d d ( Om de sgnatuur te bepalen moeten we dagonalseren Omdat λ det 0 λ λ 0 = (λ 1, λ zjn de egenwaarden 1, 1, 1 en 1 De sgnatuur s dus Om te bewjzen dat f negatef-defnet s op W, moet f(a, A < 0 voor alle A W Een symmetrsche spoorloze matrx ut W s van de vorm ( a b b a Maar de dagonaalfuncte A f(a, A s net de geassoceerde kwadratsche vorm det, dus nderdaad: f(a, A = det(a = det ( a b b a = a b 0 met geljkhed als en slechts als A = ( en dt betekent preces dat f negatef-defnet s op W Oefenng 34 Als Q : R n R een postef-defnete kwadratsche vorm s, bepaald door de matrx M, bewjs dan dat e πq(v 1 dv = R n det M Je mag gebruken dat R e πx dx = 1 Oplossng 34 Omdat Q postef-defnet s, volgt dat we Q door een gepaste bassovergang kunnen representeren door de eenhedsmatrx Er bestaat dus een bassovergangsmatrx C waarvoor geldt dat C MC = I n Herut volgt dat det C det M det C = 1 en dus dat det C = 1 det M Inden we n de ntegraal ut de opgave overgaan van de varabele v = v 1 v n op neuwe veranderljken, bepaald door het matrxproduct C v, dan transformeert het ntegrategebed R n wegens bjectvtet van de net-sngulere transformate bepaald door C terug naar R n Het elementar dfferentaalelement dv transformeert onder v Cv, als dv det C dv, want de jacobaan van de lneare transformate s Opgeloste oefenngen LAAM II, Kwadratsche vormen 4

19 constant en geljk aan de matrx van de lneare transformate (de partële afgeleden zjn n elk punt dezelfde We bekomen dus e πq(v dv = e π (v Mv dv R n R n = e π (v I nv det Cdv = C(R n R n e π ( = det C R n = det C n =1 x det Cdx 1 dx n n e πx dx =1 n ( e πx dx R =1 = det C1 n = 1 det M Opgeloste oefenngen LAAM II, Kwadratsche vormen 43