RESISTIEVE TWEEPOORTEN Lineair en niet-lineair

Transcriptie

1 INHOUD RESISTIEVE TWEEPOORTEN Lnear en net-lnear. Algemeen. Lneare ressteve tweepoorten 4.. Poortrepresentates 6.. Crcut-nterpretate poortmatrces 0.. Recproctetsstellng 7..4 Klem-equvalenten 9..5 Tweepoorten n het frequente-domen..6 Overdrachtsgrootheden van tweepoorten n het frequente-domen..7 Combneren van tweepoorten. Elementare lneare ressteve tweepoorten.. De deale transformator.. De gyrator.. De transactor 6..4 De nullor 9.4 Net-lneare ressteve tweepoorten 4.4. Poortrepresentates 4.4. Klen-sgnaal benaderng Sgnaalversterkng Instelcrcuts De bpolare transstor Nullorrealsates De Eccles-Jordan confgurate De op-amp 57 Samenvattng 70 Referentes 70 Vraagstukken 7 Antwoorden 8 7

2 tweepoort RESISTIEVE TWEEPOORTEN Lnear en net-lnear. ALGEMEEN Een tweepoort s een ver-klemmen component waaraan extra voorwaarden zjn opgelegd. We bekjken eerst de wllekeurge ver-klemmen component van fguur.(a), de onderdeel s van een (net weergegeven) samenhangend elektrsch crcut (a) (b) 4 Fguur.. Een wllekeurg ver-klemmen component met klem 4 als datum (a) en zjn graafrepresentate (b). Zoals n paragraaf.4 van Deel s aangegeven, heeft elke klem een klempotentaal en vloet er door elke aanslutdraad een klemstroom. Op dezelfde wjze als n paragraaf.8 van Deel kunnen we op grond van de KCL afleden, dat slechts dre van de ver klemstromen,, en 4 onafhankeljk van elkaar te kezen zjn. Analoog volgt va de KVL dat van de ver klempotentalen v, v, v en v 4 er slechts dre onafhankeljk van elkaar zjn. Inden knoop 4 als datum wordt gekozen, zjn de stromen,, en de potentalen v, v, v de onafhankeljke varabelen. Analoog aan paragraaf.8 van Deel zjn er nu dre (al dan net gekoppelde) u -relates tussen de paren {, }, alwaar = v v 4, {, } met = v v 4 en {u, } met u = v v 4. De graafrepresentate van een wllekeurge ver-klemmen component bestaat daarom ut dre takken met één gemeenschappeljke klem. Ze fguur.(b).

3 Elektrsche crcuts Inden een ver-klemmen component bnnen een snede wordt ngesloten, geeft toepassen van de snede KCL: 4 = 0. Gesteld dat het klemmenpaar - aan de poortvoorwaarde voldoet, dus = 0, volgt dat ook 4 = 0. M.a.w., het klemmenpaar - 4 vormt eveneens een poort: als geheel gedraagt de ver-klemmen component zch nu als een tweepoort (N.B. Een klemmenpaar vormt een poort als op elk moment de ngaande stroom geljk s aan de utgaande stroom; ze Opmerkng. n Deel.) 4 poort poort poort 4 4 poort 4 4 Fguur.. Tweepoort symbolen met de poorten en en de bj behorende graaf. In fguur. hebben we op twee maneren zo n ver-klemmen component als tweepoort weergegeven. We zen dat er slechts twee onafhankeljke klemstromen zjn, de we voortaan de poortstromen en zullen noemen Vervolgens voeren we de poortspannngen n de bj poort en poort behoren: = v v en = v v 4. Met poort correspondeert nu het paar {, } en met poort het paar {, }. Elk paar representeert de takvarabelen van een met dat paar corresponderende tak. Daarmee s tevens de graafrepresentate van de tweepoort n fguur. verklaard. Merk nog op dat van de oorspronkeljke zes varabelen, te weten v, v, v,, en voor een wllekeurge verklemmen component er slechts ver overbljven, nden de ver-klemmen component zch gedraagt als een tweepoort. Opmerkng. In het algemeen maakt het verschl als men n fguur. het plus-teken van bj klem dan wel bj klem plaatst. Het n Hoofdstuk 4 ngevoerde zwarte balkje voor een net-lneare tweeklemmen component speelt dezelfde rol als de her ngevoerde nummerng bnnen de verkantjes; ze fguur.. u u Fguur.. Crcut symbool van een net-lneare twee-klemmen component. (Her een net-lneare weerstand.) Opmerkng. Tradtoneel wordt n fguur. poort vaak de ngangspoort en poort de utgangspoort genoemd. Het paar {, } defneert de ngangsvarabelen, en het paar {, } de utgangsvarabelen.

4 . Ressteve tweepoorten Voor een volledg begrp van de gegeven defnte van een tweepoort, s het ook nodg n te zen dat lang net elke ver-klemmen component, onder elke omstandghed een tweepoort s. Zo s de ver-klemmen component van fguur.4(a) géén tweepoort: en. Dezelfde component s daarentegen wèl een tweepoort als elk klemmenpaar wordt aangesloten op een éénpoort (ze fguur.4(b)). 0 component 4 (a) dezelfde component 4 (b) Fguur.4. Afhankeljk van de verbndngswjze kan een ver-klemmen component een tweepoort zjn (b) of just net (a). We zen: n het algemeen bepaalt de wjze waarop een gegeven ver-klemmen component met de rest van het crcut s verbonden, of hj al dan net als tweepoort functoneert. Als dt nderdaad het geval bljkt, dan zegt men dat de ver-klemmen component voldoet aan de poortvoorwaarde. (In voorkomende gevallen dent dt steeds geverfeerd te worden.) Onthoud dat als één van de twee klemmenparen een poort vormt, er vanzelf aan de poortvoorwaarde van de gehele ver-klemmen component voldaan s. Oefenng. Ga na dat elke dre-klemmen component steeds een tweepoort s. (Antwoord: ze paragraaf.8 van Deel.) We kunnen bj wllekeurge tweepoorten, steeds gekenmerkt door de twee al dan net gekoppelde u -relates, de volgende hoofdtypes onderscheden: bede u -relates zjn resstef, bede zjn nductef of bede zjn capactef. In dt hoofdstuk beperken we ons tot ressteve tweepoorten. Zulke tweepoorten zjn nstantaan reagerend en hebben derhalve algebraïsche u -relates (bevatten geen d/dt- of -operator; vergeljk Hoofdstuk 4 van Deel ). De gekoppelde u -relates van een net-lneare en tjdvarante ressteve tweepoort noteren wj als (vergeljk formule (4.8) van Deel voor een net-lneare twee-klemmen weerstand) { f R (,,,,t) = 0 (.) f R (,,,,t) = 0. Met de kolomvector f R, gegeven door (.) f R def = [ f R f R ] T, ludt (.) n vector-notate (vergeljk (7.4) van Deel ) (.) f R (u,,t) = 0,

5 4 Elektrsche crcuts waarn u = u(t) en = (t) respecteveljk de poortspannngs- en de poortstroomvector van de netlneare ressteve tweepoort s. Als de ressteve tweepoort tjd-nvarant s, wordt (.) (ze fguur.5 voor het crcutsymbool) (.4) f R (u,) = 0 (net-lneare ressteve tweepoort) 4 4 Fguur.5. Net-lneare ressteve tweepoort. In specale gevallen vormen de vergeljkngen van (.4) een affene algebraïsche relate. Zj zjn dan te schrjven n de volgende matrxvorm (vergeljk formule (7.6) ut Deel ) (.5) M R u N R = w, met u = u(t), = (t) en w = w(t), waarn w staat voor de onafhankeljke bronbjdragen n het nwendge van de tweepoort. Inden deze laatste absent zjn (w = 0) gaat (.5) over n de lneare algebraïsche relate (vergeljk Opmerkng 7.6 ut Deel ) (.6) M R u N R = 0 (lneare ressteve tweepoort) en waarbj het crcutsymbool van fguur.6 behoort. Fguur.6. Een lneare ressteve tweepoort zonder nwendge onafhankeljke bronnen. Opmerkng. Inden de tweepoort tjd-varant s, zjn de matrces n de vergeljkngen (.5) en (.6) functes van de tjd, dus M R = M R (t) en N R = N R (t).. LINEAIRE RESISTIEVE TWEEPOORTEN We beschouwen eerst lneare ressteve tweepoorten. Tenzj utdrukkeljk anders vermeld, worden zj steeds tjd-nvarant beschouwd. Tevens wordt steeds verondersteld dat de tweepoort géén onafhankeljke bronnen bevat. Lneare afhankeljke bronnen worden wel toegelaten (zulke tweepoorten heten acteve tweepoorten).

6 . Ressteve tweepoorten 5 Omdat de ver-klemmen component van fguur.6 een tweepoort s, zjn er naar buten toe slechts ver klemvarabelen n het gedng: de bede poortstromen en, en de bede poortspannngen en. In het nu volgende zullen we steeds twee van de ver poortvarabelen als exctates opvatten en de twee overbljvende poortvarabelen als responses. Volgens het superposte begnsel (ze paragraaf 8.5 van Deel ) zjn genoemde responses te schrjven als de som van de deelresponses, afkomstg van elke exctate apart. Fguur.7. Lneare ressteve tweepoort met de poortstromen als exctates. In fguur.7 hebben wj ter llustrate de poortstromen en als (onafhankeljk te kezen) exctates opgevat door poort op een stroombron met sterkte j = aan te sluten en poort op een stroombron met sterkte j =. Voor de poortspannngen en volgt dan met het eerder genoemde superposte begnsel { = r r (.7) = r r. Hern karakterseren de grootheden r j het elektrsche klemgedrag van de ressteve tweepoort; ze zjn onafhankeljk van de poortvarabelen! (Merk op dat r j de eenhed ohm heeft.) De poortvergeljkngen (.7) kunnen verkort n matrxvorm geschreven worden als de u -relates (.8) of kortweg [ u ] = [ r r r r ][ ], (.9) u = R waarn u = u(t) en = (t) respecteveljk de poortspannngs- en de poortstroomvector van de tweepoort zjn. Verder heet de matrx R, gedefneerd als (.0) R def = [ r r r r ], de resstante matrx van de tweepoort. Hj karakterseert het klemgedrag van de ressteve tweepoort volledg. Opmerkng.4 Voor een lneare twee-klemmen weerstand geldt de wet van Ohm: u = R of u = R. De gegeneralseerde wet van Ohm ludt dan u = R maar nu net u = R.

7 6 Elektrsche crcuts Oefenng. Inden de tweepoort van fguur.7 tevens onafhankeljke bronnen bevat, hoe ludt dan de u-relate n vectorvorm? (Antwoord: op grond van het superpostebegnsel volgt er u = R Bw met w 0, waarn B een matrx met passende dmense.) Oefenng. Druk de matrx R n (.9) ut n de matrces M R en N R van (.6). (Antwoord: R = M R N R mts de matrx M R net-snguler s.) In paragraaf 4.. van Deel hebben we gezen, dat de grafsche voorstellng van de u -relate van een lneare weerstand een rechte ljn s door de oorsprong n het u -vlak. Op een geljkwaardge wjze zouden we voor de grafsche voorstellng van de poortvergeljkngen (.7) een vlak door de oorsprong van de ver dmensonale rumte (,,, ) moeten nemen (kenmerkend voor een lneare relate). Dt s net eenvoudg te vsualseren, vandaar dat we onze toevlucht nemen tot het weergeven van één poortvergeljkng tegeljk. Daartoe nterpreteren we n vergeljkng = r r als een te varëren parameter. We verkrjgen dan een famle evenwjdge rechte ljnen n het -vlak, geparametrseerd door de varabele. Ze fguur.8(a). Evenzo volgt ut de vergeljkng = r r een famle evenwjdge rechte ljnen n het -vlak, nu geparametrseerd door. Ze fguur.8(b). r 0 r 0 - r 0 r 0 - (a) (b) Fguur.8. De u -karaktersteken van een lneare ressteve tweepoort. In plaats van en, zouden wj ook twee andere poortvarabelen als exctates kunnen opvatten. Elk zo n selecte geeft aanledng tot een matrx representate van de ressteve tweepoort, en dus tot een zogeheten poortmatrx. Deze worden n de volgende paragraaf geïntroduceerd... Poortrepresentates Omdat er zes mogeljke maneren zjn voor een selecte van poortvarabelen (nagaan!), zjn er ook zes verschllende poortrepresentates. Elke representate wordt gekarakterseerd door een poortma-

8 . Ressteve tweepoorten 7 trx. Deze zjn als volgt gedefneerd (.) [ u [ [ u ] ] [ u [ u [ ] ] ] ] = R = G [ ] [ u ] [ u ] = K [ ] = K u [ ] = H [ ] = H u met R def = met met met met met G def = K def = K def = H def = H def = [ ] r r r r [ ] g g g g [ ] k k k k [ k k ] k k [ ] h h h h [ h h ] h h de resstante matrx de conductante matrx de kettng matrx de omgekeerde kettng matrx de hybrde matrx de omgekeerde hybrde matrx We zen: de resstante matrx R drukt de poortspannngen ut n de poortstromen; de conductante matrx G doet het omgekeerde. Daarentegen drukt de kettngmartrx K, ook wel de transmsse- of ABCD-matrx geheten, de ngangsvarabelen ut n de utgangsgrootheden (let op het mnteken n de gegeven defnte van K); ook nu doet K het omgekeerde. De hybrde matrces H en H drukken twee gemengde (naar spannng en stroom alsook naar n- en utgangsvarabele) poortvarabelen ut n de overge twee. Merk op dat ut de gegeven defntes drect volgt (.) G = R en H = H maar K K waarbj wordt opgemerkt dat voor een gegeven tweepoort net elke poortmatrx hoeft te bestaan. Opmerkng.5 De matrces R en G van vergeljkng (.) zjn net dezelfde als de ut paragraaf 7.. van Deel. Ze ook Opmerkng 7.. Eén en ander wordt nu geïllustreerd aan de hand van de volgende voorbeelden. Voorbeeld. We bepalen de resstante-matrx R van onderstaande tweepoort. R Fguur.9. Lneare ressteve tweepoort met sngulere ressteve matrx R (det R =0).

9 8 Elektrsche crcuts Van fguur.9 lezen we af dat { = R( ) = R R (.) = = R R, of n matrxvorm [ ] [ u R R (.4) = R R zodat R wordt gevonden als [ ] R R (.5) R =. R R ][ ], Merk op dat detr = 0: R s een sngulere matrx. Dus G = R bestaat net. Er s nog een meer nzchteljke maner de tot dezelfde concluses voert. Ut fguur.9 bljkt nameljk drect dat en net onafhankeljk van elkaar gekozen kunnen worden. Dt laatste s echter just een noodzakeljke voorwaarde opdat (en ) n èn utgedrukt kan worden. We zen: G bestaat net en dus s R snguler, zodat detr = 0. Voorbeeld. We bepalen de kettngmatrx K van de tweepoort n fguur.9. Daartoe herschrjven wj de poortvergeljkngen n (.) als { = 0( ) (.6) = R ( ), waarmee volgt dat [ ] 0 (.7) K = R. Voorbeeld. We bepalen de G-matrx van de n fguur.0 getekende tweepoort. R Fguur.0. Lneare ressteve tweepoort waarvan de R-matrx net bestaat. Van fguur.0 lezen we af { = G( ) = G G (.8) = = G G,

10 . Ressteve tweepoorten 9 waarmee [ ] G G (.9) G =. G G Ut (.9) volgt nog dat det G = 0, zodat R = G net bestaat. Deze concluse hadden wj ook drect kunnen trekken, als wj hadden opgemerkt dat en net onafhankeljk van elkaar zjn te kezen (ze fguur.0). Voorbeeld.4 Vervolgens bepalen wj de kettngmatrx K en de hybrde matrx H van de tweepoort n fguur.0. Herschrjven van (.8) als { = G (.0) =, geeft na hergroeperen { = G ( ) (.) = 0 ( ), zodat met defnte (.) voor K wordt gevonden [ ] G (.) K =. 0 Ter bepalng van H schrjven wj (.0) als { = G (.) = 0, waarmee wordt gevonden [ ] G (.4) H =. 0 Voorbeeld.5 Het s net moeljk om een tweepoort te construeren waarvan de kettngmatrx net bestaat. Wj denen er slechts voor te zorgen dat de en net onafhankeljk van elkaar zjn voor te schrjven. In fguur. s zo n tweepoort getekend. R R Fguur.. Lneare ressteve tweepoort waarvan de kettngmatrx K net bestaat. De R- en de G-matrx bestaan wel.

11 0 Elektrsche crcuts We lezen af dat altjd = R : de utgangsgrootheden en kunnen net als onafhankeljke exctates worden opgevat en K bestaat net. Merk op dat de R-matrx wèl bestaat: en kunnen wèl onafhankeljk van elkaar worden voorgeschreven. De poortvergeljkngen lezen we af als { = R 0 (.5) = 0 R, zodat [ ] R 0 (.6) R =. 0 R De conductantematrx G kan vervolgens met de volgende regel berekend worden (nagaan) (.7) G = R = detr [ ] r r r r zodat met (.6) (.8) G = det R [ ] R 0. 0 R En, omdat detr = R R, volgt tenslotte (.9) G = [ ] [ ] R 0 G 0 =, R R 0 R 0 G waarn G = R. Merk op dat dt resultaat ook drect van fguur. kan worden afgelezen... Crcut-nterpretate poortmatrces In de gegeven voorbeelden van de vorge paragraaf was het steeds mogeljk om de poortmatrces met mnmale nspannng te vnden, maar tegen de prjs van een mnmum aan systematek. Naar zal bljken, wordt dt nadeel ondervangen bj de heronder beschreven nterpretate van de elementen van de poortmatrces. De R-matrx s volgens (.) gedefneerd als { = r r (.0) = r r. Omdat elke r j onafhankeljk s van de poortvarabelen, geldt er explcet (.) r = =0 r = =0 r = =0 r = =0.

12 . Ressteve tweepoorten Deze nterpretate van de r-parameters (zoals de elementen van een R-matrx ook genoemd worden) geeft tevens een methode om ze voor een gegeven tweepoort operatoneel te bepalen (ze fguur.). A = 0 = 0 A (a) (b) Fguur.. Operatonele bepalng van de r-parameters (a) r =, r = en (b) r =, r =. Merk op dat de n fguur. voorkomende spannngsmetng steeds geschedt onder de condte van een open secundare poort (vandaar de Engelse benamng open crcut parameters voor de r- parameters). Ut (.) bljkt dudeljk dat r en r ngangsresstantes voorstellen, terwjl r en r overdrachtsresstantes zjn. Tevens zen we dat r de overdracht van poort naar poort beschrjft (want ), terwjl r dat n omgekeerde rchtng doet. Tezamen beschrjven zj de koppelng tussen de poorten. Als voor een zekere tweepoort zou gelden r = r = 0 kan er bljkbaar geen overdracht tussen bede poorten plaats vnden: poort en poort zjn dan volledg ontkoppeld (ze de tweepoort van fguur., waarbj de R-matrx van (.6) hoort). Het zou ook kunnen voorkomen dat bjvoorbeeld r = 0, terwjl r 0. Kenneljk vndt er n zo n geval géén overdracht plaats van poort naar poort, terwjl dt n omgekeerde rchtng wel gebeurt. In het algemeen vnden we dat als r r, er sprake s van ongeljk tweerchtngsverkeer ; de overdracht s net wederkerg d.w.z. s net recprook (vergeljk par van Deel en ze ook par... verderop). Voor een wederkerge overdracht moeten we daarom esen dat r = r of anders genoteerd (.) R = R T (recproke tweepoort) waarn T staat voor de getransponeerde. Opmerkng.6 Merk op dat n de vorge paragraaf gegeven voorbeelden steeds geldt r = r : het zjn alle recproke tweepoorten. De g-parameters kunnen op analoge wjze geïnterpreteerd worden. Met (.) schrjven wj { = g g (.) = g g, waarut volgt dat g = u =0 (.4) g = u =0 g = u =0 g = u =0.

13 Elektrsche crcuts Hermee s tevens de expermentele bepalng van de g-parameters, zoals n fguur. weergegeven, verklaard. V = 0 = 0 V (a) (b) Fguur.. Operatonele bepalng van de g-parameters (a) g =, g = en (b) g =, g = Merk op dat de meetstuate de duale s van de n fguur.: de g-parameters worden gemeten onder de condte van een kortgesloten secundare poort (vandaar de Engelse benamng short crcut parameters). Ook nu zjn de parameters met geljke ndex ngangsconductantes, terwjl g en g respecteveljk de overdrachtsconductantes van poort naar poort en n omgekeerde rchtng beschrjven. Voor een recproke tweepoort, waarvoor r = r, moet va formule (.7) gelden g = g. Er volgt (.5) G = G T (recproke tweepoort) Aan de hand van onderstaand voorbeeld wordt gedemonstreerd hoe de r- en g-parameters van een gegeven tweepoort op de herboven aangegeven wjze systematsch kunnen worden berekend. Voorbeeld.6 We bereken eerst de g-parameters van de lneare ressteve tweepoort n fguur.4. Ω Ω Ω Fguur.4. Een lneare ressteve tweepoort. De expermentele stuates van fguur. vertalen zch nu zoals n fguur.5 s weergegeven (ga dt na). V Ω Ω A Ω 0A Ω V Fguur.5. Deelcrcuts ter berekenng van de g-parameters.

14 . Ressteve tweepoorten Met toepassng van (.4) vnden we achtereenvolgens (.6) g = u =0 = = S g = u =0 = = 0S g = u =0 = = S g = u =0 = = S, waarmee de conductante matrx wordt [ ] (.7) G = semens. 0 We zouden nu de r-parameters op analoge wjze kunnen berekenen. Het s echter handger om gebruk te maken van R = G (vergeljk formule (.7)). Met detg = 4 S vnden we drect (.8) R = 4 [ ] 0 ohm. Merk nog op dat voor de tweepoort n fguur.4 kenneljk geldt dat g g en r r : de tweepoort s net-recprook. De reden hervan kan dudeljk zjn: de aanwezghed van de bestuurde bron maakt dat de utwerkng van poort op poort verschlt van de van poort op poort. De herboven beschreven wjze ter bepalng van de r- en g-parameters kan uteraard voor de parameters van elke poortmatrx worden toegepast. Zo volgt bjvoorbeeld voor de k-parameters (ze de defnte formules van (.)) (.9) k = =0 k = u =0 k = =0 k = u =0. Ut vergeljkng (.9) volgen de meetstuates voor de parameters zoals weergegeven n fguur.6. V = 0 A = 0 k k V = 0 A = 0 k k Fguur.6. Operatonele bepalng van de k-parameters k =, k =, k = en k =.

15 4 Elektrsche crcuts Merk nog op dat de nverse grootheden k geldt net voor de k-parameters zèlf. Voor de h-parameters vnden we h = u u h = u =0 =0 (.40) h = =0 h = =0,, k, k waarbj de expermentele bepalng hoort van fguur.7. en k alle overdrachtsgrootheden zjn; dt A (a) V (b) Fguur.7. Operatonele bepalng van de h-parameters (a) h =, h = en (b) h =, h =. Bj onderlng vergeljken van (.), (.4), (.9) en (.40) vnden we de volgende verbanden tussen de poortparameters k = r, k = h, h = g en h = r. Aan deze schjnbaar ncdentele observate lgt de volgende gedachte ten grondslag. Enerzjds weten we dat het klemgedrag van een tweepoort door hoogstens ver parameters volledg wordt bepaald, terwjl anderzjds elke poortmatrx just ver parameters defneert. Herut volgt dat de elementen van de éne poortmatrx n de van een wllekeurge andere omgerekend kunnen worden (uteraard onder de voorwaarde dat de matrces bestaan). In tabel. staat een overzcht. Ter llustrate berekenen we de k-parameters bj gegeven R-matrx. Daartoe starten we met (ze(.0)) { = r r (.4) = r r. Ut de laatste poortvergeljkng volgt dat (.4) = r (r /r )( ). Substtute van (.4) n de eerste poortvergeljkng van (.4) geeft (.4) = (r /r ) {(detr)/r }( ), waarn detr = r r r r. Combneren van (.4) en (.4) geeft het verlangde resultaat als [ ] r /r (detr)/r (.44) K =. r r /r De eerder gedane observate dat k = r wordt hermee bevestgd. Voor de det K vnden we met (.44) (.45) detk = r /r,

16 . Ressteve tweepoorten 5 Tabel.. Omrekenngstabel voor de poortmatrces. R G K H R r r g g r r g g g g g g k k k k h h h h k k k h h h G r r r r r r r r g g k k k k h h h g g k k k h h h h K H r r r r r r r g g g k k h h h h g g g g k k h h h r r r r g g g k k r r r g g k k h h g g k k k h h Steeds geldt: m = detm = m m m m (determnant) waarmee voor een recproke tweepoort, waarvoor R = R T, volgt (.46) det K = (recproke tweepoort) Oefenng.4 Bewjs dat voor een recproke tweepoort geldt: h = h. Opmerkng.7 Er bestaat een verband tussen de n Deel ngevoerde knooppuntconductante matrx G n van een crcut, en de conductante matrx G van een tweepoort. Wj llustreren dt aan de hand van de confgurate n fguur.8. De beschouwde tweepoort staat tussen stppelljnen.

17 6 Elektrsche crcuts G 4 G G 0 G Fguur.8. Confgurate ter bepalng van de conductante matrx G. De knooppuntvergeljkngen n matrxvorm zjn (.47) (G G 4 ) G 4 G v G 4 (G G 4 ) G v =. G G (G G G) v 0 Hern s de matrx n het lnkerld de knooppuntconductante matrx G n van het ver knooppunten tellende crcut. Elmnate van de nwendge knooppuntspannng v n (.47) geeft met de knooppuntspannngen v = en v = de conductante matrx G van de tweepoort. Dus, substtute van (.48) v = (G /G)v (G /G)v, waarn G def = G G G, n de twee eerste knooppuntvergeljkngen van (.47), geeft de matrx G als (.49) G = G 4 G (G G )/G G 4 G G /G. G 4 G G /G G 4 G (G G )/G De her gevolgde weg ter bepalng van G kan altjd bewandeld worden, meestal s het zelfs de snelste. De algemene procedure s als volgt: noteeer eerst alle knooppuntvergeljkngen, en elmneer vervolgens alle nwendge knooppuntspannngen. Bj het opstellen van de resstante matrx R van een tweepoort, kan het duale argument gehanteerd worden. Gebrukmakend van het verband tussen de maasresstante matrx R m (ze Deel ) en R, noteren we nu eerst de maasvergeljkngen. Vervolgens geeft elmnate van de nwendge maasstromen het verlangde resultaat. De procedure wordt geïllustreerd aan de hand van de tweepoort n fguur.8, de n fguur.9 opneuw getekend s (nu aangesloten op stroombronnen).

18 . Ressteve tweepoorten 7 R 4 R R R Fguur.9. De tweepoort van fguur.8 met R = G. De maasvergeljkngen zjn (R R ) j R j R j = (.50) R j (R R ) j R j = R j R j (R R R 4 ) j = 0. Elmnate van de nwendge maasstroom j ut van vergeljkng (.50), geeft met maasstromen j = en j = (ze fguur.9) de gezochte resstante matrx R als (.5) R = R R (R R 4 )/R R R R /R, R R R /R R R (R R 4 )/R waarn R def = R R R 4. Oefenng.5 Ga na dat (.5) de nverse s van (.49). Gebruk daarbj formule (.7)... Recproctetsstellng In de vorge paragraaf zagen wj reeds dat slechts dàn van een wederkerge overdracht tussen bede poorten van een tweepoort sprake s als r = r. We laten nu zen dat deze voorwaarde kan worden afgeled ut een algemene stellng: de recproctetsstellng de geldt voor lneare ressteve tweepoorten zonder bestuurde bronnen (vergeljk paragraaf 8..4 van Deel ). Zo n tweepoort s n fguur.0 onder twee verschllende elektrsche omstandgheden getekend. In de éne elektrsche stuate zjn de poortvarabelen voorzen van een enkel accent, en n de andere van een dubbel accent. poort u u poort poort u u poort 4 Fguur.0. Dezelfde lneare ressteve tweepoort n twee verschllende elektrsche stuates. De eenpoorten tot en met 4 zjn volkomen wllekeurg, waarbj hun gedrag beschreven wordt door de poortvarabelen. Inden we de eenpoorten elk als één enkele tak opvatten, dan ludt het theorema

19 8 Elektrsche crcuts van TELLEGEN (ze vergeljkng (8.) van Deel ) (.5) k u k k = 0 en k u k k = 0, waarn gesommeerd wordt over alle voorkomende takken n het complete crcut. Als we de utwendge takken van de twee afzonderljke eenpoorten aangeven met subscrpt en, dan s (.5) te herschrjven als (.5) u u = k u k k en u u = k u k k, waarn de sommates zch exclusef over de nwendge takken van de tweepoort utstrekken. Merk vervolgens op dat de nwendge takken van de tweepoort lneare weerstanden zjn (geen nwendge bestuurde bronnen), waarmee de rechterleden van (.5) zjn te schrjven als (.54) k u k k = k r k k k en k u k k = k r k k k. Hermee s aangetoond dat de rechterleden van (.5) dezelfde utkomst opleveren. We zen: de rechterleden van (.5) zjn aan elkaar geljk, en dùs hun lnkerleden. Dt resultaat staat bekend als de recproctetsstellng (.55) u u = u u We zullen nu bewjzen dat de geljkhed r = r drekt ut (.55) volgt, waarmee dan tevens bewezen s dat elke lneare ressteve tweepoort zonder bestuurde bron recprook s. Beschouw daartoe eerst de n fguur. getekende lneare ressteve tweepoort, waarvan de poorten beurtelngs op een stroombron (zender) en een voltmeter (ontvanger) worden aangesloten (vergeljk ook fguur.7). open u u open (a) (b) Fguur.. Er geldt u = u. Van de fguur lezen we af dat = 0 en = 0. Substtute van de poortstuates n de recproctetsstellng (.55) voert dan tot (.56) u = u met = 0 en = 0 of (.57) u =0 = u. =0

20 . Ressteve tweepoorten 9 Met verwjzng naar vergeljkng (.) herkennen wj n het lnkerld van (.57) de r-parameter r terwjl n het rechterld just r staat. Dus, nderdaad (.58) r = r, welke geljkhed kenneljk equvalent s met de omstandghed dat n fguur. geldt dat u = u : als stroombron (zender) en voltmeter (ontvanger) van plaats verwsseld worden, bljft de meterutslag hetzelfde; de overdracht s wederkerg. Voor lneare tweepoorten, zonder bestuurde bronnen (vergeljk formule (.)), hebben we dus (.59) R = R T (lneare ressteve tweepoort zonder bestuurde bronnen) Oefenng.6 Led met de recproctetsstellng af dat voor een recproke tweepoort de H- matrx ant-symmetrsch s, dus dat h = h...4 Klem-equvalenten Het s mogeljk om de verschllende matrx representates van een lneare ressteve tweepoort elk n een crcutmodel te vertalen. De R-matrx representate { = r r (.60) = r r geldt bjvoorbeeld ook voor de tweepoort van fguur. (ga dt na!). r r r r Fguur.. Crcutmodel van een lneare ressteve tweepoort n termen van de r-parameters. Opmerkng.8 Inden het crcutmodel van fguur. staat voor een lneare ressteve tweepoort zonder bestuurde bronnen, dan geldt er nadrukkeljk r = r. Voor de G-matrx representate wordt het duale crcutmodel van fguur. verkregen (nagaan!). g g g g Fguur.. Crcutmodel van een lneare ressteve tweepoort n termen van de g-parameters.

21 0 Elektrsche crcuts Tot slot s n fguur.4 het crcutmodel getekend, dat behoort bj de hybrde matrx H (nagaan!). h [Ω] h h h [S] Fguur.4. Crcutmodel van een lneare ressteve tweepoort n termen van de h-parameters. Ter afslutng van deze paragraaf behandelen wj twee specale klemequvalenten, de zogeheten T- en Π-equvalenten van fguur.5; zj gelden alléén voor recproke tweepoorten. (r r ) (r r ) r (a) g (g g ) (g g ) (b) Fguur.5. T-equvalent (a) en Π-equvalent (b) van een recproke tweepoort. De geldghed van bede equvalenten s eenvoudg te bewjzen. Als bjvoorbeeld de poortvergeljkngen n termen van de symmetrsche R-matrx als volgt herschreven worden { = r r = (r r ) r ( ) (.6) = r r = r ( ) (r r ), dan volgt vanzelf dat dt just de maasvergeljkngen van het T-equvalent n fguur.5(a) zjn. Oefenng.7 Herschrjf de poortvergeljkngen van de symmetrsche G-matrx zodang dat ze just de knooppuntsvergeljkngen van het Π-equvalent zjn. Voorbeeld.7 We berekenen de ngangsweerstand R van een recproke lneare ressteve tweepoort de aan poort s afgesloten met een lneare weerstand R (ze fguur.6). R => R Fguur.6. Recproke lneare ressteve tweepoort afgesloten met een lneare weerstand R. Met toepassng van het T-equvalent van fguur.5(a), vnden we drect (.6) R = r r r (r r R ) r R,

22 . Ressteve tweepoorten of (.6) R = r r r R. Oefenng.8 Toon aan dat de term r moet worden vervangen door de term r r, als de tweepoort net-recprook s. Gebruk daarbj de R-matrx beschrjvng en substtueer daarn = R /...5 Tweepoorten n het frequente-domen De ontwkkelde theore voor lneare ressteve tweepoorten s ook geldg n het frequente-domen voor tweepoorten de tevens lneare capacteten en nductvteten bevatten. De daar ontstane mmttante tweepoorten laten zch dentek behandelen als lneare ressteve tweepoorten. Ze het resultaat (9.60) van Deel. Herna volgt een voorbeeld. Voorbeeld.8 De tweepoort ut fg.7(a) modelleert een segment van een verbndngssnoer (vergeljk fguur.5 van Deel ). Het bevat twee dynamsche elementen, te weten een capactet C en een nductvtet L. Het gedrag van zo n tweepoort met dynamsche elementen s frequente-afhankeljk, omdat de mpedantes van de dynamsche elementen dat zjn. In fguur.7(b) staat dezelfde tweepoort n het frequente- of s-domen. L R I sl R I C U /(sc) U (a) (b) Fguur.7. Frequente-afhankeljk segment van een verbndngssnoer. In het tjd-domen (a) en het s-domen (b). Van fguur.7(b) lezen we af { U = (R sl)i (sc) (I I ) = {R sl (sc) }I (sc) I (.64) U = (sc) (I I ) = (sc) I (sc) I, waarn s = jω de complexe frequente s (vergeljk formule (9.0) n Deel ). In matrxvorm [ ] [ U R sl (sc) (sc) (.65) = ][ ] I (sc) (sc), U of kortweg (vergeljk ook formule (.9)) (.66) U = ZI I

23 Elektrsche crcuts waarn U(s) en I(s) respecteveljk de complexe poortspannngsvector en de complexe poortstroomvector s. Verder heet de matrx Z(s) = Z(jω), gedefneerd als [ ] (.67) Z(s) def z (s) z = (s), z (s) z (s) de mpedante matrx van de tweepoort. Hj karakterseert het klemgedrag van de tweepoort n het frequente-domen volledg. Opmerkng.9 Het kan bjvoorbeeld voorkomen dat bj een bepaalde frequente ω = ω één van de matrx elementen nul wordt. Als bjvoobeeld z (ω ) = 0 s, dan s er géén overdracht van poort naar poort bj de frequente ω. Ter llustrate zen we dat voor een verlesvrj snoersegment (R = 0) bj de frequente ω = (LC) / geldt z = 0. Dat wl zeggen bj de partculere frequente gedraagt de ngang van de secte zch bj een open secundare poort als een kortslutng. Opmerkng.0 Op een analoge wjze kan men voor tweepoorten onder harmonsch regme de admttante matrx Y(s), de complexe kettng matrx K(s) en de complexe omgekeerde kettng matrx K (s) alsook de complexe hybrde matrx H(s) en de complexe omgekeerde hybrde matrx H (s) defnëren. Opmerkng. In hoogfrequente toepassngen zjn de afzonderljke spannngen en stromen lastg te meten. Metng van vermogens bljkt dan nauwkeurger. Derhalve verlezen de poortmatrces van (.) hun praktsche brukbaarhed. Zj worden dan vervangen door de zogenaamde verstroongsmatrx S (Eng. scatterng matrx). De elementen van deze S-matrx, de zogeheten scatterng- of s-parameters, weerspegelen het zogenaamde gereflecteerde vermogen (het verschl tussen het ngangs- en opgenomen vermogen) versus het utgangsvermogen ([], [])...6 Overdrachtsgrootheden van tweepoorten n het frequente-domen De ngang van de lneare tweepoort n fguur.8 s aangesloten op een spannngsdoos met nwendge weerstand R en een open spannng E, terwjl de utgang s afgesloten met een belastngsweerstand R. E R I I Z U Y U R Fguur.8. Een lneare tweepoort n bedrjfsomstandgheden. De spannngsoverdrachtsverhoudng H, gedefneerd als H = U /E, wordt n termen van de z- parameters gegeven als R z (.68) H = (z R )(z R ) z z

24 . Ressteve tweepoorten of, n termen van de y-parameters G y (.69) H = (y G )(y G ) y y waarn: G, = R,. Een praktsch brukbare groothed om de vermogensoverdracht te beschrjven s de transductor vermogensversterkng G. Deze s gedefneerd als de verhoudng tussen het n de belastng R afgegeven vermogen en het maxmaal beschkbare vermogen P max van de spannngsdoos. Dus (ze par. 0.5) (.70) G = U /R = 4 R H. 8 E /R R In termen van de z-parameters wordt gevonden (.7) G = 4R R z (z R )(z R ) z z of, n termen van de y-parameters (.7) G = waarn wederom G, = R,. 4G G y (y G )(y G ) y y..7 Combneren van tweepoorten De klemmen van twee of meer (al dan net lneare) tweepoorten kunnen op verschllende maneren met elkaar verbonden worden. We onderscheden de volgende mogeljkheden:. De afzonderljke ngangs- en utgangspoorten worden elk n sere geschakeld. Zo n sere-sere combnate heet kortweg een sereschakelng van tweepoorten (ze fguur.9).. De afzonderljke ngangs- en utgangspoorten worden elk parallel geschakeld. Deze parallel-parallel combnate heet kortweg een parallelschakelng van tweepoorten (ze fguur.7).. De gemengde combnate waarbj de ngangspoorten n sere worden geschakeld en de utgangspoorten parallel. De resulterende sereparallel combnate heet een hybrdeschakelng van tweepoorten (ze fguur.40(a)). 4. Andersom: de ngangspoorten parallel en de utgangspoorten n sere. Deze gemengde combnate heet een omgekeerde hybrdeschakelng van tweepoorten (ze fguur.40(b)). 5. De utgangspoort van de éne tweepoort wordt doorverbonden met de ngangspoort van de andere. Nu resulteert een zogenaamde cascade-, tandem- of kettngschakelng van tweepoorten (ze fguur.4). Opmerkng. Poorten heten n sere geschakeld als de poorten een gemeenschappeljke poortstroom hebben. Inden de poorten de poortspannng gemeenschappeljk hebben, dan heten de poorten parallel geschakeld (ze Deel, paragraaf 6.. en 6..).

25 4 Elektrsche crcuts A A 4 A B B 4 B Fguur.9. Sereschakelng van tweepoorten (sere-sere). Inden elk klemmenpaar aan de poortvoorwaarde voldoet (zoals n de fguur, alwaar tweepoort A bnnenkomt en ook weer utkomt), dan geldt er voor elke lneare ressteve tweepoort afzonderljk [ ] [ ] [ ] [ ] ua ub (.7) = R u A en = R A u B, B waarn R A en R B de resstante matrces van bede tweepoorten zjn. Van fguur.9 lezen we af (.74) = A B en = A B (sereschakelng), zodat we met (.7) vnden dat [ ] [ ] u ua (.75) = waarn A [ ub B (.76) R = R A R B (sereschakelng) ] [ ] [ ] = R A R B = R de resstante matrx van de gehele combnate voorstelt; deze s kenneljk geljk aan de som van de afzonderljke resstante matrces. Met nadruk wjzen wj erop dat (.76) slechts geldg s als de afzonderljke klemmenparen elk aan de poortvoorwaarde voldoen. Dt laatste s bjvoorbeeld net het geval voor de n fguur.0 getekende klemmen combnate. [ ], A Ω Ω Ω Ω B Fguur.0. De klemmenparen zjn net n sere geschakeld: R R A R B.

26 . Ressteve tweepoorten 5 Toepassng van stroomdelng op knoop leert mmers dat (.77) = 5 ( ) en = 5 ( ). Beschouw nu de n fguur. getekende tweepoorten, waarvan de bede poorten een gemeenschappeljke klem hebben. In dezelfde fguur staat een dre-klemmen component als tweepoort getekend. 4 4 Fguur.. Tweepoorten met een gemeenschappeljke klem en een dre-klemmen component als tweepoort. Vervolgens schakelen wj twee van zulke dre-klemmen componenten n sere (ze fguur.). A A B A B B Fguur.. Sereschakelng van twee dre-klemmen componenten. Van de fguur lezen we af dat de u -relates van de samenstellende dre-klemmen componenten net verandert. We zen: bj sere schakelen van twee dre-klemmen componenten s altjd voldaan aan de poortvoorwaarde. Voor lneare ressteve dre-klemmen componenten geldt dan steeds R = R A R B. Voorbeeld.9 De n fguur. getekende lneare ressteve tweepoorten hebben elk een gemeenschappeljke klem. R (a) R R (b) Fguur.. Lneare ressteve tweepoorten met elk een gemeenschappeljke klem.

27 6 Elektrsche crcuts De resstante matrces worden respecteveljk gegeven door (vergeljk (.5) en (.6)) [ ] R R (.78) R A = R R [ ] R 0 en R B =. 0 R Als nu bede tweepoorten n sere worden geschakeld, ontstaat de T-secte van fguur.4. R R (a) Fguur.4. T-secte als sereschakelng van de n fguur. weergegeven tweepoorten. R De R-matrx van de T-secte wordt met (.76) gevonden als [ ] R R (.79) R = R A R B = R. R R R Oefenng.9 Ga na dat dt resultaat ook drect van fguur.4 kan worden afgelezen. Voorbeeld.0 De n fguur.5 getekende tweepoort s een sereschakelng van de tweepoorten van fguur.(b) en fguur.4. R R R 4 R 5 Fguur.5. R De R-matrx wordt dus [ ] R R (.80) R = R 4 R. R R R R 5 Voorbeeld. In fguur.6 s een lneare ressteve tweepoort, een zogenoemde overbrugde T-secte (Eng.: brdged-tee), op twee maneren getekend.

28 . Ressteve tweepoorten 7 R 4 R R R 4 A R R R (a) R (b) B Fguur.6. De overbrugde T-secte als sereschakelng van de tweepoorten A en B. De R-matrx van de overbrugde T-secte volgt met de nterpretate volgens fguur.6(b) als R = R A R B. Ter bepalng van R A merken we op, dat G A = R A eenvoudg s op te stellen. Het resultaat s [ ] G G (.8) G A = 4 G 4, G 4 G G 4 waarn G = R. Herut volgt de R-matrx als (vergeljk formule (.7)) (.8) R A = [ ] G G 4 G 4, detg A G 4 G G 4 met (.8) detg A = R/R R R 4 waarn R def = R R R 4. Utwerken van (.8) geeft [ ] (.84) R A = R R (R R 4 ) R R. R R R (R R 4 ) De R-matrx van tweepoort B lezen we af als [ ] R R (.85) R B =. R R Tot slot geeft optellng van R A en R B het verlangde resultaat, dat reeds eerder langs andere weg verkregen werd (vergeljk (.5)). (.86) R = R R (R R 4 )/R R R R /R. R R R /R R R (R R 4 )/R Beschouw vervolgens de parallelschakelng van fguur.7.

29 8 Elektrsche crcuts B A A A A A B 4 B B 4 B Fguur.7. Parallelschakelng van tweepoorten (parallel-parallel). Als alle klemmenparen aan de poortvoorwaarde voldoen (zoals n de fguur), dan geldt voor elke lneare resteve tweepoort afzonderljk [ ] [ ] [ ] [ ] A u B u (.87) = G A en = G A B. B Verder lezen we van fguur.7 af dat (.88) = A B en = A B (parallelschakelng), zodat met (.87) wordt gevonden [ ] [ ] u (.89) = G, waarn (.90) G = G A G B (parallelschakelng) de conductante matrx van de gehele combnate s; kenneljk s deze geljk aan de som van de afzonderljke conductante matrces. Voorbeeld. De overbrugde T-secte van fguur.8(a) kan opgevat worden als de parallelschakelng van twee afzonderljke lneare ressteve tweepoorten de elk een gemeenschappeljke klem hebben. Ze fguur.8(b) en vergeljk ook fguur.6. G 4 A G 4 G G G (a) G G G B (b) Fguur.8. De overbrugde T-secte als parallelschakelng.

30 . Ressteve tweepoorten 9 De G-matrx van de overbrugde T-secte volgt dan met (.9) G = G A G B, waarn (nagaan) [ ] G4 G (.9) G A = 4 G 4 G 4 en (.9) G B = G G G 4 [ ] G (G G ) G G. G G G (G G ) Hetzelfde resultaat vonden wj langs andere weg n (.49). Voorbeeld. In fguur.9 s een zogenaamde dubbel T-secte getekend (Eng: twn-tee). Fguur.9. Een dubbele T-secte. S S B S S 4S A 4S De G-matrx van de dubbele T-secte s geljk aan de som van de G-matrces van elke T-secte apart. We vnden (.94) G A = 0 zodat (.95) G = 5 [ 6 ] [ ] en G B = 5 [ ] 6 4, 4 6 In fguur.40 staan de bede hybrde schakelngen weergegeven.

31 0 Elektrsche crcuts A A 4 A A A 4 A B B (a) 4 B A B A B B B (b) 4 B Fguur.40. Sere-parallel schakelng of hybrde schakelng (a) en parallel-sere schakelng of omgekeerde hybrde schakelng. Inden bede tweepoorten lnear resstef zjn met de hybrde matrces H A en H B en de omgekeerde hybrde matrces H A en H B, dan volgt er voor de gemengde combnates van fguur.40(a) (.96) H = H A H B (sere-parallelschakelng) en van fguur.40(b) (.97) H = H A H B (parallel-sereschakelng) Oefenng.0 Bewjs de formules (.96) en (.97). Gelden de formules ook nden net aan de poortvoorwaarde wordt voldaan? Tot slot beschouwen wj de n fguur.4 getekende cascade-schakelng. A 4 A u A u B B B 4 Fguur.4. Cascadeschakelng van tweepoorten. Inden de samenstellende tweepoorten bede lnear resstef zjn met kettngmatrces K A en K B respecteveljk, dan geldt er [ ] [ ] [ ] [ ] u ua ub u (.98) = K A en = K B, A terwjl anderzjds (.99) u B = u A en B = A. Combneren van (.98) en (.99) levert [ ] [ ] u u (.00) = K, B

32 . Ressteve tweepoorten waarn (.0) K = K A K B cascadeschakelng de kettngmatrx van de gehele combnate s; kenneljk s deze geljk aan het produkt van de afzonderljke kettngmatrces. Merk nog op dat bj toepassng van kettngschakelen altjd aan de poortvoorwaarde s voldaan (waarmee tevens de reden van het optredende mnteken n de defnte van de K-matrx s verklaard). Opmerkng. Voor N lneare tweepoorten n cascade geschakeld vndt men als resulterende kettngmatrx (.0) K = N = K. Voorbeeld.4 Wj bepalen de K-matrx van de n fguur.4 getekende tweepoorten. R A B R B A R (a) R (b) Fguur.4. Bede tweepoorten zjn op te vatten als een cascadeschakelng van de tweepoorten A en B (respecteveljk n de volgorde A-B en B-A). Met behulp van (.) en (.7) noteren wj [ ] [ ] R 0 (.0) K A = en K 0 B = R. Hermee wordt de K-matrx van de n de fguur.4(a) getekende tweepoort (volgorde A-B) [ ][ ] [ R 0 R R ] (.04) K a = K A K B = 0 R = R R, terwjl de van fguur.4(b) wordt gevonden als (volgorde B-A) [ ][ ] [ ] 0 R R (.05) K b = K B K A = R = 0 R R R. Doordat het matrx produkt net commutatef s, vnden wj K a K b. Dt s de wskundge vertalng van de poortverwsselng n fguur.4. Merk tot slot op dat detk a = en detk b = : bede tweepoorten zjn recprook. Opmerkng.4 De gevonden formules voor de sere-, parallel-, hybrde- en cascade schakelng bljven onveranderd gelden n het frequente-domen.

33 Elektrsche crcuts. ELEMENTAIRE LINEAIRE RESISTIEVE TWEEPOORTEN Alle her geïntroduceerde tweepoorten heten elementar, omdat zj steeds worden gekarakterseerd mddels één consttuteve coëffcënt. Bovenden zjn ze alle resstef, omdat hun u -relates geen d/dt- of -operator bevat (ze paragraaf.)... De deale transformator In fguur.4 s het crcutsymbool van de deale transformator afgebeeld; de consttuteve coëffcënt n[-] heet de transformateverhoudng. In Hoofdstuk wordt het waarom van de toevoegng deaal toegelcht. : n v v v v 4 RL n n n Fguur.4. De deale transformator met zjn graafrepresentate en MNA-stempel. De deale transformator wordt mddels de volgende, louter algebraïsche (en dus ressteve) u - relates (poortvergeljkngen) gedefneerd (.06) = n, = n Voor het totaal aan de deale transformator toegevoerde momentane vermogen p = p(t), vnden wj met vergeljkng (.06) (.07) p = = (n )(n ) = 0 t. Hermee concluderen we dat de deale transformator een passeve bouwsteen s, de zélfs net n staat s elektrsche energe te dssperen (daarom s hj zelfs verlesvrj). Bovenden volgt ut (.07) dat het evenmn mogeljk s om er energe n op te slaan: het bj poort nstromende vermogen wordt nstantaan en verlesvrj aan poort doorgegeven. Van (.06) lezen wj nog af dat de stromen noch de spannngen onafhankeljk van elkaar zjn voor te schrjven: de R- en G-matrx bestaan net. Daarentegen s het wèl mogeljk om de ngangsvarabelen n de utgangsvarabelen ut te drukken (en andersom): de kettngmatrces bestaan daarom wèl. We vnden [ ] n 0 (.08) K =. 0 n

34 . Ressteve tweepoorten Ut (.08) volgt dat det K = : de deale transformator s een recprook element. Tot slot wjzen wj nog op de belangrjke egenschap van weerstand- of mpedantetransformate (ze fguur.44). R n => : n R Fguur.44. De deale transformator als mpedante transformator. Oefenng. Led de egenschap van fguur.44 zelf af. (Aanwjzng: ze de afledng van formule (.5).) In fguur.45 s een praktsche toepassng van genoemde egenschap. R T n: R Fguur.45. De eenpoort lnks van de stppelljn s aangepast nden n = ± R T /R. Ofschoon R R T, s de eenpoort lnks van de stppelljn toch aangepast dankzj de toepassng van een aanpassngstransformator met transformateverhoudng (.09) n = ± R T /R. Wegens de net-energetsche egenschap van de deale transformator, komt het maxmaal beschkbare vermogen van de eenpoort nstantaan en n z n totaltet n de belastngweerstand R terecht (ze paragraaf 8.7 van Deel )... De gyrator Het crcutsymbool van de gyrator s n fguur.46 afgebeeld. De consttuteve coëffcënt R[Ω] heet de gyrateweerstand (de betekens van de pjl wordt heronder toegelcht).

35 4 Elektrsche crcuts R v v v v 4 RL R R Fguur.46. De gyrator met zjn graafrepresentate en MNA-stempel. De gyrator wordt mddels de volgende, louter algebraïsche (en dus ressteve) u-relates gedefneerd (.0) = R, = R Voor het totaal aan de gyrator toegevoerde momentane vermogen p = p(t) vnden we (.) p = = (R ) (R ) = 0 t. Samen met (.07) concluderen we hermee dat de gyrator preces dezelfde energetsche egenschappen als de deale transformator vertoont: hj s passef (zelfs verlesvrj) en geeft het nstromende vermogen nstantaan door. De matrx representates van de gyrator lezen we van (.0) af als (.) R = [ ] 0 R R 0 [ ] 0 R, G = R 0, K = [ ] 0 R R. 0 Herut volgt dat R R T, G G T en detk = : de gyrator s net-recprook. De gyrator s ut puur theoretsche overwegngen door B.H.D. TELLEGEN ngevoerd als elementar net-recprook en verlesvrj hypothetsch crcutelement. Het effect van de net-recproctet wordt goed geïllustreerd door de bede tweepoorten van fguur.47. Hern s de gyrator steeds als een tweepoort met een gemeenschappeljke klem opgenomen. R R R R (a) (b) Fguur.47. Gyrator realsates van een rchtngsgevoelge solator. Door de tweepoortcombnates van fguur.47(a) en fguur.47(b) respecteveljk op te vatten als een sereschakelng en een parallelschakelng van tweepoorten, vnden we (vergeljk ook (.5)). [ ] [ ] [ ] 0 R R R R 0 (.) R = = R 0 R R R R

36 . Ressteve tweepoorten 5 voor de tweepoort van fguur.47(a), en (vergeljk ook (.9)) [ ] 0 R (.4) G = R 0 [ R R R R ] = [ R 0 R voor de tweepoort van fguur.47(b). Van (.) en (.4) lezen we af dat er wèl overdracht van poort naar poort kan plaatsvnden (r 0, respecteveljk g 0), maar dat er n omgekeerde rchtng n het geheel géén overdracht mogeljk s (r = 0, respecteveljk g = 0). Er s dus sprake van éénrchtngsverkeer van poort naar poort. Daarom zjn de tweepoorten van fguur.47 rchtngsgevoelge solators. Hermee s tevens de betekens van de pjl n het gyrator symbool verklaard. Een andere egenschap van de gyrator s n fguur.48 weergegeven. R ] R R => R R Fguur.48. De gyrator als mpedante nvertor. De aanwezghed van de afslutweerstand R, geeft voor poort de condte = R. Samen met de poortvergeljkngen (.0) levert dt (.5) = R = R(R ) = R R = R R. De ngangsweerstand van de combnate s dus geljk aan R /R ohm: de gyrator nverteert de afslutweerstand naar de ngangspoort. Daarom heet de combnate van fguur.48 een mpedante nvertor (vergeljk de mpedantetranformate egenschap van de deale transformator n fguur.44). De laatste egenschap heeft een belangrjke technsche mplcate: door de gyrator af te sluten met een capactet C, kan een technsch moeljk te vervaardgen nductvtet worden gesmuleerd (ze fguur.49). R C L = R C Fguur.49. Smulate van een nductvtet. Dt s ook drect af te leden. De aanwezghed van de afslutcapactet C geeft voor poort de condte = Cd /dt. Samen met de poortvergeljkngen (.0) levert dt (.6) = R = R( ) = RC d dt = RC d dt (R ) = R C d dt,

37 6 Elektrsche crcuts zodat dan geldt dat de eenpoort zch aan de klemmen gedraagt als een nductvtet met L = R C henry. De achterlggende reden voor deze opmerkeljke egenschap s dat de gyrator spannng omzet n stroom, en stroom n spannng (vergeljk de poortvergeljkngen (.0)). Hermee s dan tevens de poort-equvalente van fguur.50 verklaard. Een twee achtereenvolgende omzettng van spannng n stroom, en stroom n spannng resulteert n de omzettng van spannng naar spannng, en stroom naar stroom. Dt s just wat de deale transformator doet (vergeljk de poortvergeljkngen (.06)). R R : R /R Fguur.50. Een cascade schakelng van twee gyratoren s equvalent met een deale transformator. De equvalente n fguur.50 kunnen we ook als volgt bewjzen. De K-matrx van de twee n cascade geschakelde gyratoren wordt met (.0) gevonden als [ ][ 0 R 0 R (.7) K = R 0 R 0 ] = [ R R ] 0 0 R R, hetgeen just de kettngmatrx van een deale transformator s met n = R /R (vergeljk (.08)). Opmerkng.5 Merk nog op dat de besproken realsate van een deale transformator met twee net-recproke bouwstenen (de gyrator) resulteert n een wel-recproke bouwsteen (de deale transformator). Hermee s tevens aangetoond dat een tweepoort de ook gyratoren bevat, toch recprook kan zjn!.. De transactor Een transactor s nets anders dan de formele samenvoegng van een bestuurde bron en zjn besturng tot een tweepoort. Ook nu bevatten de u poortrelates géén d/dt- of -operator: het zjn ressteve tweepoorten. Omdat er ver verschllende typen bestuurde bronnen zjn, kunnen er ook ver utvoerngsvormen van de transactor worden onderscheden. In paragraaf 7.. zjn deze transactors al geïntroduceerd (ze ook Opmerkng 7.5), maar voor het gemak zjn ze her nogmaals afgebeeld n fguur.5; hun poortvergeljkngen kunnen ervan worden afgelezen.

38 . Ressteve tweepoorten 7 µ (a) r (b) (c) α g (d) Fguur.5. De transactor; (a) de VVT (b) de CVT (c) de CCT en (d) de VCT. Zj heten respecteveljk de spannng-spannng transactor (Eng: voltage to voltage transactor; VVT), de stroom-spannng transactor (Eng: current to voltage transactor; CVT), de stroom-stroom transactor (CCT) en de spannng-stroom transactor (VCT). Hun consttuteve coëffcënten µ,r, α en g heten (vergeljk paragraaf 4.6 van Deel ) de spannngversterkngsfactor, de transresstante, de stroomversterkngsfactor en de transconductante. Merk op, dat de transactor een net-energetsche ngangspoort heeft: n alle gevallen geldt p = 0 t. Echter, als de utgangspoort wordt aangesloten op een weerstand R, wordt daarn een vermogen p = R 0 of p = R 0 afgegeven. Samenvattend concluderen wj dat de transactor een acteve tweepoort s. Van fguur.5 lezen we af dat elk transactor type een kettngmatrx heeft; zj volgen respecteveljk als (.8) K VVT = (.9) K CVT = [ ] µ 0, 0 0 [ ] 0 0 r, 0 [ ] 0 0 (.0) K CCT = 0 α, en [ ] 0 g (.) K VCT =. 0 0 Merk op dat het n fete meer voor de hand lgt om met de omgekeerde kettngmatrx K te werken. De drukt mmers de utgangsgrootheden ut n de ngangsgrootheden. En dat s just wat de transactor doet. Hj versterkt het ngangssgnaal; n omgekeerde rchtng gebeurt er nets! Daarom heet de transactor ook wel een unlateraal element. Het net-recproke effect volgt ook ut de vergeljkngen (.8)-(.) ; er geldt mmers steeds det K = 0. De transactor s dus behalve actef, óók net-recprook. De ver transactor typen zjn net onafhankeljk van elkaar. Als bjvoorbeeld een CVT en een VCT n cascade worden geschakeld, ontstaat een CCT (ze fguur.5).

39 8 Elektrsche crcuts r g CVT VCT CCT rg Fguur.5. De transactor typen zjn afhankeljk van elkaar. Immers, de cascade schakelng levert de volgende K-matrx voor de gehele combnate (.) K = K CVT K VCT = [ 0 0 r 0 ][ 0 g 0 0 ] [ ] 0 0 = 0 (rg), hetgeen just de K CCT s, met α = rg (ze (.0)). Het s ook mogeljk om met twee transactors een gyrator samen te stellen. In fguur.5 s een gyrator realsate met twee VCT s weergegeven. g g g Fguur.5. Gyrator realsate met twee VCT s. Van de fguur lezen we af: = g, dus = g en = g, dus = g. Dt zjn just de poortvergeljkngen van een gyrator met R = g ohm. Merk nog op dat deze realsate van de gyrator met twee acteve bouwstenen (VCT s) resulteert n een passeve bouwsteen (de gyrator). Hermee s tevens aangetoond dat een tweepoort de ook acteve transactors bevat, tòch passef kan zjn! Wj sluten de behandelng van de transactor af met op te merken dat alléén de CVT en VCT een mmttante matrx hebben (zj zetten respecteveljk stroom om n spannng, en spannng n stroom). Van fguur.5 lezen we af (.) R CVT = en (.4) G VCT = [ ] 0 0 r 0 [ ] 0 0. g 0 We zch hernnert dat een gyrator spannng omzet n stroom, en stroom n spannng, doorzet drect de equvalente van fguur.54. Kenneljk s het mogeljk een transactor de géén R-matrx heeft (CCT) ut te spltsen n twee bouwstenen de elk wèl een R-matrx beztten.