8 Elektrische circuits Conclusies 285 Referenties 286 Overdruk 288

Transcriptie

1 INHOUD 15 DYNAMICA VAN NIET-LINEAIRE ELEKTRISCHE CIRCUITS Inledng Net-lneare elektrsche crcts Grondslagen Egenschappen crct elementen Crct vergeljkngen Net-lneare ressteve componenten Meerdere oplossngen Net-lneare dynamca Dynamsche rote Hysterese Net-lneare dynamca n toestandsrmte Toestandsvergeljkngen Evenwchtspnten Lmt-cycles Strctrele stabltet Net-atonome crcts Sbharmonsche Trllngen Qas-perodeke trllngen Poncaré-doorsnede Chaotsche trllngen Chaotsche attractors Perode-verdbbelng Perode-bjtellng Van der Pol en net-lneare dynamca Oscllator van Cha Toestandsvergeljkng Chaotsche attractor Realsate 284 7

2 8 Elektrsche crcts 15.8 Conclses 285 Referentes 286 Overdrk 288

3 15 DYNAMICA VAN NIET-LINEAIRE ELEKTRICHE CIRCUITS In ths ttoral paper, nonlnear crct oscllatons are placed n a hstorcal context. A short ntrodcton to elementary nonlnear crct theory s nclded. The dynamcal rote and the assocated jmp phenomenon are presented as key concepts n nonlnear frst order dynamcs. Hysteress s nderstood as nonlnear frst order parastc dynamcs. State-space concepts are ntrodced by second order atonomos crcts. Then, relaxaton oscllatons are explaned as parastc lmt-cycle behavor. Second order, non-atonomos Van der Pol and Dffng crcts are sed throghot as a vehcle to llstrate forced nonlnear oscllatons. Sbharmonc and qas-perodc oscllatons are classfed by Poncare cross-sectons. Next, the concept of a chaotc attractor s presented, followed by the perod-doblng and perod-addng bfrcaton rotes to chaos. Fnally, a concse treatment of Cha s oscllator s gven. The exstence of a homoclnc pont s ndcated as a key for chaotc oscllaton. A lst of off-the-shelf components for bldng a robst Cha s oscllator s also nclded. In conclson, some applcatons of the theory are brefly mentoned INLEIDING Met de transstor als bepalende bowsteen zjn elektronsche crcts van natre net-lnear. Nettemn zjn lneare ontwerpmethoden terst sccesvol gebleken. Zj worden gerechtvaardgd doordat het statsche net-lneare nstelcrct veelal kan worden gescheden van een n essente lnear sgnaalcrct. Daarbj zorgt de nstellng ervoor dat het dynamsche gedrag zch afspeelt op de lneare gedeelten van de net- lneare transstor karaktersteken. De keze voor een lneare stratege ljkt evenwel mnder logsch bj het ontwerp van bjvoorbeeld gehegen- of oscllator-crcts. Daar waar de net-lneare crct-dynamca jst een centraal aspect van het werkngsmechansme s, kan een lneare nvalshoek gemakkeljk tot omslachtge en zelfs msledende beschowngen leden. 245

4 246 Elektrsche crcts De aantrekkngskracht van de lneare aanpak s ddeljk: met de gecombneerde toepassng van de Forer-theore en het sperposte begnsel kan het lneare, algebraïsche denken tot n het freqente-domen worden doorgezet. Inden de crct egenschappen voor een enkele freqente explcet bekend zjn, kan de sgnaal tkomst voor alle freqentes moeteloos worden voorspeld. Voor dgtale crcts geldt een analoog argment. Bj een fndamenteel net-lneare opzet faalt deze stratege: het sperposte begnsel s net langer geldg. Naast allerle ngewkkelde, weng flexbele analytsche benaderngstechneken rest dan slechts een nmereke aanpak. De reslterende brte force berekenngen hebben echter op hn bert het nadeel weng nzchteljke tkomsten op te leveren. In deze onbevredgende state tekent zch de laatste decenna een ontwkkelng ten gnste af. Bj het rm beschkbaar komen van compterfaclteten, werden nmereke expermenten al snel gemeengoed. Daarbj werd, geheel onverwacht, ontdekt dat zelfs zeer eenvodge maar netlneare systemen een zeer complex, ja zelfs chaotsch aandoend gedrag knnen vertonen. Aanvankeljk werden de newe, langs nmereke weg verkregen nzchten met grote scepss onthaald. Velen konden zch eenvodgweg net goed voorstellen dat determnstsche modellen n de praktjk tot slechts beperkt voorspelbare tkomsten knnen leden. En bovenden, waarom waren de verschjnselen net eerder waargenomen? De werkeljkhed s sbteler dan de vraag sggereert. Chaotsche verschjnselen zjn welzeker eerder waargenomen, maar werden wegens het ontbreken van een valde nterpretatekader doorgaans toegeschreven aan expermentele rs, of bleven anderszns n de mst hangen. Utendeljk hebben expermenten aan een scala van relevante fyssche net-lneare systemen het eerdere ongeloof doen omslaan n masseve newsgerghed. En, wegens het hopeloos tekort scheten van lneare verklarngsmodellen, werden de geïnteresseerden wel gedwongen naar newe conceptele kaders te zoeken. De newe concepten gaan terg tot H. Poncaré, de aan het end van de vorge eew een stde ondernam naar planeet bewegngen. De wskndgen de de geometrsche, kwaltateve aanpak van Poncaré sndsden verder hadden ontwkkeld, deden dat n betrekkeljk solement van de meer toegepaste wetenschappen. Maar halverwege de jaren zestg, begnjaren zeventg, was de tjd rjp voor een wederzjdse toenaderng. Een stormachtge oplevng van de net-lneare dynamca was het gevolg. Na nog eens ten, vjften jaar, werden de effecten ddeljk merkbaar n de elektrotechnek, gepaard gaand met een toenemende, hernewde openstellng voor de net-lneare optek. Het s verhegend dat het Nederlands Elektronca- en Rado-Genootschap heeft besloten om bj haar 75-jarg jblem aandacht te geven aan de geschetste ontwkkelng, om de n de hstorsche context van de egen tradte te plaatsen. Daartoe moet n de eerste plaats het werk van B. van der Pol en G.J. Elas worden gerekend. Van beden verscheen n dt tjdschrft een reeks artkelen met als overkoepelend thema de behandelng van trllngsverschjnselen n net-lneare crcts [1] tot en met [11]. Beden speelden tevens een promnente admnstrateve rol n het Genootschap. B. van der Pol als oprchter van het Nederlands Radogenootschap (voorloper van het NERG) en G.J. Elas als eerste voorztter na de tweede wereldoorlog. De door Van der Pol en Elas behandelde, gescheden problematek klnkt tot op heden door n de

5 15. Net-lneare dynamca 247 moderne ontwkkelngen. Het eenvodge, maar net-lneare RLC-crct dat Elas n de perode van 1946 tot 1951 onderzocht, s een lopend stde-object. Nog pas n 1978, heeft Y. Ueda met nzet van compters gevonden dat dt smpele crct onder omstandgheden n chaos kan geraken. Deze ontdekkng werd van dermate groot belang geacht dat Ueda er n 1986 het Natonal Msem of Scences te Parjs mee haalde. Anders dan Elas, heeft Van der Pol zjn onderzoek naar netlneare trllngsverschjnselen ook steeds gepblceerd n de nternatonale vaklteratr [12]. Het samen met J. van der Mark n 1927 tgevoerde experment naar freqente-delng geldt thans als het klasseke voorbeeld van wel geobserveerde, maar net als zodang onderkende chaos. Een overdrk van het n Natre gepblceerde artkel s bjgevoegd. Naar algemeen oordeel, geldt Van der Pol met zjn onderzoek naar relaxate trllngen, lmt-cycles en synchronsate thans als één van de meest promnente voorlopers op het gebed van de moderne net-lneare dynamca. Dt artkel s als volgt ngedeeld. Ter tegemoetkomng aan voornameljk lnear opgelede ngeners, wordt n paragraaf 15.2 eerst een elementare nledng gegeven n de net-lneare crct theore. De theore beperkt zch tdrkkeljk tot rsvrje modellen (ze [13], [14] en [15] voor nledende stdeboeken, [16] s al meer geavanceerd). Paragraaf 15.3 behandelt net-lneare, atonome crcts van de orde een (één dynamsch element). Mddels het kwaltateve begrp dynamsche rote en het daarmee verbonden sprongverschjnsel, worden relaxate trllngen n de atonome Van der Pol oscllator verklaard. Tevens wordt de hysterese van de Schmtt-trgger tgelegd als net-lneare parastare dynamca. Het toestandsconcept wordt n paragraaf 15.4 geïntrodceerd. Er wordt gestart met net-lneare, atonome crcts van de orde twee. De oplossngen van de beschrjvende crct vergeljkngen (her opgevat als toestandsvergeljkng) worden à la Poncaré geïnterpreteerd als baanbewegngen n de toestandsrmte (rmte opgespannen door de toestandsvarabelen: spannngen over capacteten en stromen door ndctvteten). Het toestandsbeeld geeft n één oogopslag een kwaltatef nzcht n de crct dynamca. De daarn voorkomende geometrsche objecten van aantrekkng (afstotng) worden attractors genoemd. Ingezen wordt dat evenwchtpnten en lmt-cycles (perodeke trllngen) de enge attractors zjn n een twee-dmensonale toestandsrmte. Voor meer complexe dynamca zjn tenmnste dre vrjhedsgraden nodg. Tenslotte wordt het begrp bfrcate geïntrodceerd als een drastsche veranderng van de kwaltateve crct dynamca. Paragraaf 15.5 geeft een teenzettng van sbharmonsche en qas-perodeke trllngen n de toestandsrmte van net-lneare, net-atonome (aangedreven) crcts van de orde twee (dre vrjhedsgraden). De Van der Pol oscllator en een zogenaamd Dffng-crct staan model. Daarn s het samenstellende, net-lneare element respecteveljk een acteve weerstand en een reactante. Het crct van Elas wordt herkend als behorende tot de tweede categore. Een geschkt gekozen, zogenaamde Poncaré-doorsnede n een naar dre dmenses tgebrede toestandsrmte bljkt een ngenes hlpmddel ter classfcate van net-lneare trllngsverschjnselen. De chaotsche trllngen van paragraaf 15.6 onderscheden zch door een grllg verloop n de tjd te combneren met een contn freqentespectrm. De ordenng de deze trllngen nettemn vertonen, wordt weerspegeld n de strctr van de bjbehorende chaotsche attractor. De geselecteerde net-lneare, net-atonome crcts van de orde twee (dre vrjhedsgraden) llstreren hoe bj ver-

6 248 Elektrsche crcts anderng van een crct-parameter het kwaltateve gedrag zelfs zó drastsch kan wjzgen dat chaos optreedt. Twee prototypen van zlke bfrcatewegen naar chaos worden behandeld. Daarbj wordt ngespeeld op het bjgevoegde artkel van Van der Pol en Van der Mark t 1927, alsook op het werk van Elas. De paragraaf wordt afgesloten door het werk van Van der Pol n hstorsch perspectef te plaatsen. Paragraaf 15.7 geeft een beknopte teenzettng van de oscllator van Cha. Dt s een net-lnear, atonoom crct van de orde dre. Bj een jste nstellng prodceert het crct chaotsche trllngen. In dat geval zorgt de nteracte tssen twee nstabele evenwchtspnten voor een n zchzelf gesloten, zogenaamde homoclne baan. Daarvan mplceren de baankaraktersteken een herhaald vow en strek mechansme dat de onderlggende ordenng van de chaotsche attractor bepaalt. Men beweert dat het crct van Cha het enge thans bestaande fyssche systeem s waarbj chaotsch gedrag zowel expermenteel, nmerek als analytsch s aangetoond. Met de bjgevoegde ljst van standaard verkrjgbare componenten kan men er zelf mee expermenteren. Tot slot worden n paragraaf 15.8 enge toepassngen van de theore aangestpt. Veel n dt artkel s ontleend aan de specale IEEE-nmmers de aan dt onderwerp zjn gewjd [17] t/m [21]. Een boeend, en voor de leek geschreven overzcht van de moderne ontwkkelngen n de net-lneare dynamca door alle wetenschappen heen, s [22]. De vaklteratr s overstelpend, en wegens het hoge wskndge gehalte nog eens extra moeljk toegankeljk. Als net-wskndge ntrodcte zo [23] of [24] geprobeerd knnen worden. De nledngen [25] en [26] zjn welswaar wskndg maar elementar. Geavanceerder maar opvallend helder zjn [27], [28], en [29] als exponent van de Rsssche school NIET -LINEAlRE ELEKTRISCHE CIRCUITS Grondslagen Van de bassgrootheden: stroom, spannng, ladng q en magnetsche flx φ, worden de twee laatste opgevat als hlpgrootheden. Zj knnen gerelateerd worden aan de twee eerste va de tjdsntegrates q = dt en φ = dt. De behodswet van ladng en magnetsche flx gaat dan respecteveljk over n de stroomwet en de spannngwet van Krchhoff. De gezamenljke geldghed van genoemde behodswetten mplceert de behodswet van elektromagnetsche energe n elektrsche crcts (geen ontsnappende elektromagnetsche stralngsenerge). De wetten van Krchhoff beschrjven de nterconnectes tssen de samenstellende componenten (de crct strctr). Het zjn lneare algebraïsche betrekkngen tssen respecteveljk stromen en spannngen. Samen met de -relates van de componenten bepalen zj het elektrsche gedrag volledg. Inden de optredende elektromagnetsche verschjnselen tot op elementar (d.w.z. onderlng net herledbaar) nvea worden teengerafeld, komt men t bj de crct elementen (prmteven). Precezer: een crct element bepaalt op elk tjdstp een nog vrj te kezen algebraïsche relate (de consttteve relate) tssen twee van de ver bassgrootheden,, q en φ. (N.B. Met algebraïsch wordt een nstantaan verband bedoeld.) Gelet op de reeds bestaande betrekkngen tssen de bassgrootheden, zjn daar

7 15. Net-lneare dynamca 249 ver van de zes mogeljke combnates voor beschkbaar. De paren {, }, {q, } en {φ, } staan respecteveljk voor de weerstand R, de capactet C en de ndctvtet L. Het paar {q, φ} defneert de zogenaamde memrstor, de her verder onbesproken bljft. Fgr 15.1 geeft een overzcht van de bassgrootheden, terwjl n fgr 15.2 de crct symbolen van de (twee-klemmen) elementen staan afgebeeld. R C q L φ Fgr Relates tssen de bassgrootheden. + R + + q C + (a) (b) (c) φ L Fgr Crct symbool van de weerstand R (a), de capactet C (b) en de ndctvtet L (c) Egenschappen crct elementen Een element s lnear als de consttteve relate een evenredgbed s. Zo net, dan s het element net-lnear. Verder s een element tjd-nvarant (atonoom) als de consttteve relate net explcet van de tjd t afhangt. Is dt jst wel zo, dan s het element tjd-varant (net-atonoom). Utgezonderd de bronnen, wordt n dt artkel steeds tgegaan van atonome elementen. De karakterstek van een element s de grafsche voorstellng van de consttteve relate. Fgr 15.3 geeft voorbeelden. Daarn zjn de symbolen x en y constterende varabelen; n het algemeen zjn het fnctes van de tjd t, genoteerd als x = x(t) en y = y(t).

8 250 Elektrsche crcts y y y x x x (a) (b) (c) y y y x x x (d) (e) ( f ) Fgr Karaktersteken van elementen (x en y zjn constterende varabelen). Karakterstek (a) staat voor een lnear element; de overge hebben betrekkng op net-lneare exemplaren. Karakterstek (b) s welswaar een rechte, maar de gaat net door de oorsprong (vertolkt geen evenredgbed). Het ermee corresponderende element wordt her affen genoemd. (N.B. Een affene algebraïsche relate heeft de vorm y = ax + b met b 0.) Het net-lneare element met karakterstek (c) vertoont verzadgng. Met x = en y = stelt het een exponentële dode voor. Karakterstek (d) bestaat t aaneengesloten rechte ljnsegmenten de net alle door de oorsprong gaan; we noemen het een stkgewjs affene karakterstek. Een element s x-bestrd nden y n strkt wskndge zn een fncte s van x, genoteerd als y = ỹ(x). Elementen met karakterstek (a), (b) en (c) zjn zowel x- als y-bestrd; hn consttteve fnctevoorschrften hebben alle een nverse. Het element met karakterstek (d) s x-, maar net y-bestrd; ỹ heeft geen nverse. Bj karakterstek (e) s dt jst andersom; daar s x = x(y), terwjl de nverse van x net bestaat. Tenslotte s het net-lneare element met karakterstek (f) noch x-, noch y-bestrd. Een (netlneare) weerstand s passef als zjn karakterstek bten het tweede en verde kwadrant bljft. In laatstgenoemde kwadranten s het toegevoerde vermogen p = < 0, hetgeen de weerstand actef maakt (voor een weerstand s x =, y = ). Weerstanden met karakterstek (b) en (d) zjn actef, de overge zjn passef. Een acteve weerstand bevat een nterne batterj (ze verderop). Realstsche weerstandskaraktersteken lggen voor voldoend grote waarden van en steeds n het eerste en verde kwadrant (vertonen voor de waarden een passef gedrag). Een sallante observate s dat de onafhankeljke bronnen met varërende sterkte knnen worden opgevat als tjd-varante, netlneare weerstanden. Hn karakterstek s op elk tjdstp een net door de oorsprong gaande rechte, evenwjdg aan één van de assen n het -vlak. Volgens deze vse s een stroom(spannngs)bron een spannngs(stroom)bestrde affene weerstand. Weerstanden waarvan de karakterstek delen met een negateve hellng vertoont, overeenkomend

9 15. Net-lneare dynamca 251 met een negateve dfferentaal weerstand, heten negateve resstante elementen. Inden de karakterstek (geen) symmetre t.o.v. de oorsprong vertoont, s het element (net-) symmetrsch. Bj net-symmetrsche elementen moet er ondersched worden gemaakt tssen de klemmen; vandaar het zwarte balkje n de crct symbolen van fgr 15.2 (vergeljk het standaard symbool van de dode en de batterj: ook daar s n het symbool ondersched gemaakt tssen de klemmen). Alleen bj symmetrsche elementen s het balkje overbodg (vergeljk de karaktersteken van fgr 15.3a en 15.3d). De -relate van de weerstand s dentek aan de consttteve relate ervan. Het s een nstantaan reagerend of statsch element. De -relates van de capactet en de ndctvtet worden verkregen door respecteveljk q = dt en φ = dt n de (algebraïsche) consttteve relates te sbstteren. De reslterende tjdsntegrates n hn -relates maakt ze tot dynamsche elementen. Er volgt dat de bovengrens van hn dynamek wordt gegeven door de contnïtetsregel, de stelt dat de spannng over een al dan net lneare C (de stroom door een L) net kan sprngen zolang de stroom erdoor (de spannng erover) geen stoot bevat. Onder statsche condtes gedragen de capactet en de ndctvtet zch respecteveljk als een open klemmenpaar en een kortsltng. De elementen van fgr 15.2 zjn een rw model van respecteveljk een materële weerstand (waaronder een gevareerd assortment van ressteve halfgeleder bowstenen), condensator en spoel. In de zn zjn het dealsates van de werkeljkhed. (N.B. Metngen aan negateve resstante elementen denen behoedzaam te gescheden. De nvloed van nherente parastare effecten kan de metngen gemakkeljk laten mslkken [30].) Ofschoon bovenstaande besprekng zch toesptste op twee-klemmen elementen, vallen meer-klemmen elementen eveneens bnnen de theore. De scalare consttteve relates worden daartoe vervangen door vectorële algebraïsche relates. Hermee kan een transstor (van transfer resstor ) en een operatonele versterker (op-amp) n eerste benaderng worden gemodelleerd door respecteveljk een (net-lneare) dre- en ver-klemmen weerstand Crct vergeljkngen Nadat de elektromagnetsche verschjnselen de zch n een matereel crct voordoen, zjn vertolkt door crct elementen (nclsef de relevante parastare effecten) wordt er een model verkregen, dat eveneens een elektrsch crct wordt genoemd. De hern optredende (tjdsafhankeljke) spannngen en stromen worden bepaald door de crct vergeljkngen. Deze bestaan t een blok Krchhoffvergeljkngen, aangevld met een blok -relates, afkomstg van de samenstellende elementen. Ter verkrjgng van een klener stelsel crct vergeljkngen worden de -relates en de Krchhoffvergeljkngen n elkaar gesbstteerd. Daar de Krchhoff-vergeljkngen lnear zjn, komen de eventele net- lnearteten exclsef voort t de -relates (daarbj de elektromagnetsche materaal egenschappen van de materële bowstenen n rekenng brengend). In dt artkel worden de bowstenen rsvrj verondersteld. Dt voert tot determstsche crct modellen. De tjdsafhankeljke tkomsten knnen derhalve nmmer onderhevg zjn aan het toeval. Een crct heet net-lnear nden het crct naast de onafhankeljke bron(nen) tenmnste één netlnear element bevat.

10 252 Elektrsche crcts De constrcteregels voor (planare) dale crcts zjn voor lneare en net-lneare crcts geljk. De karaktersteken van de dale elementen ontstaan door verwsselng van q en φ, alsmede van en. Daarbj gaat een capactet over n een ndctvtet met dezelfde (al dan net-lneare) karakterstek, en andersom. Het daal van een spannngs(stroom)- bestrde weerstand s een stroom (spannngs)-bestrde weerstand. Crcts de naast bronnen tsltend bestaan t (al dan net-lneare, en mogeljkerwjs meerklemmen) weerstanden heten ressteve crcts. Inden het crct tenmnste een dynamsch element bevat, heet het een (al dan net-lnear) dynamsch crct. Een dynamsch crct heet atonoom nden de samenstellende elementen (nclsef de onafhankeljke bronnen) alle tjd-nvarant zjn. Zodra tenmnste één onafhankeljke bron met varërende sterkte s opgenomen, heet het crct netatonoom. Ressteve crcts geven aanledng tot (al dan net-lneare) algebraïsche crct vergeljkngen. Dynamsche crcts reslteren n (al dan net- lneare) dfferentaal vergeljkngen. Het oplossen van de crct vergeljkngen stt bj net-lneare crcts op extra moeljkheden. Bovenden wordt het nzcht n de egenschappen van de oplossngen sterk bemoeljkt doordat met name het sperposte begnsel het laat afweten (en waardoor het centrale mpedante concept van de lneare theore eveneens op losse schroeven komt te staan). Utendeljk beslssen metngen aan het materële crct over de geldghed van op zchzelf correcte berekenngen aan het model crct Net-lneare ressteve componenten Het combneren van afzonderljke ressteve elementen tot een enkele component, levert een scala van net-lneare weerstandskaraktersteken op. De standaard combnates van fgr 15.4 gelden als elementare voorbeelden. Zj hebben de affene -karakterstek van fgr 15.3b. + + R + R (a) I (b) E Fgr Stroomdoos (a) en spannngsdoos (b). Ter ondersched van een (deale)stroom/spannngsbron noemen we de ressteve componenten van fgr 15.4(a) en 15.4(b) n het vervolg respecteveljk een stroomdoos en een spannngsdoos. Zj knnen n elkaar worden omgerekend va E = RI. Een net-lnear resstef op-amp model (met verzadgng) leent zch bj tstek voor systematsch en robst ontwerp [31]. Om de gedachte te bepalen, geeft fgr 15.5 prncpe confgrates. Mddels elementare methoden van de net-lneare crct theore worden daarbj de stksgewjs affene

11 15. Net-lneare dynamca 253 -karaktersteken van fgr 15.6 gevonden Fgr Net-lneare ressteve op-amp confgrates. (a) (b) Fgr karaktersteken behorend bj fgr Genoemde componenten zjn alle actef; steeds bevatten zj een nterne batterj (de net weergegeven voedngsbatterjen van de op-amp). Dezelfde egenschappen knnen worden gerealseerd met transstor combnates. + + Fgr Eccles-Jordan transstor confgrate.

12 254 Elektrsche crcts In fgr 15.7 staat een klassek voorbeeld. Door voor elke transstor een Ebers-Moll model te nemen, en de daarn voorkomende exponentële doden te vervangen door deale exemplaren, kan een benaderde -karakterstek betrekkeljk eenvodg worden berekend Meerdere oplossngen Net-lneare ressteve crcts knnen gemakkeljk meerdere dscrete oplossngen hebben. Vaak s dat jst ook de bedoelng, zoals bj seqentële gehegen crcts. Is men evenwel gewend lnear te denken, dan kan deze mogeljkhed even gemakkeljk tot begrpsmoeljkheden leden. Zo heeft het ressteve crct van fgr 15.8 de dre oplossngen Q 1, Q 2 en Q 3. I + I Q 1 Q 2 Q 3 Fgr De parastare capactet maakt het model volledg. Vant fyssch oogpnt bezen, knnen deze natrljk net geljktjdg optreden. Het ntellectele ongemak wordt weggenomen nden er een parastare capactet (gestppeld weergegeven) wordt toegevoegd, waarna een net-lnear atonoom dynamsch crct ontstaat. Gerekend vanaf een zeker begntjdstp, zal de capactet zch gedrg ont(op)laden, waarna het crct tendeljk n de statsche evenwchtstoestand geraakt. En, omdat de capactet zch onder statsche condtes als een open klemmenpaar gedraagt, resteert na enge tjd het oorspronkeljke ressteve crct. Q 1, Q 2 en Q 3 knnen n worden geïnterpreteerd als de dre mogeljke oplossngen van het volledge model mèt paraset. Een verdere analyse van het dynamsche gedrag leert dat Q 1 en Q 3 de enge stabele evenwchtspnten zjn. De theoretsche oplossng Q 2 bljkt nstabel, en s derhalve expermenteel net waarneembaar. In welke van de twee stabele pnten het crct zch zal nestelen, hangt af van de begnspannng over de paraset NIET -LINEAIRE DYNAMICA Dynamsche rote In fgr 15.9(a) staat een net-lnear, atonoom dynamsch crct van de orde één (één dynamsch element). De dynamca ervan wordt enerzjds bepaald door de -relate van de weerstand, en anderzjds door de van de capactet, her = Cd/dt. Ds, voor een pnt op de -karakterstek geldt: zolang > 0(< 0) neemt af (toe), reslterend n de dynamsche rote van het crct; ze fgr 15.9(b) en 15.9(c) voor een spannngsbestrde net-lneare weerstand. De dynamsche rote

13 15. Net-lneare dynamca 255 bedt kwaltatef nzcht n de dynamca. (N.B. Inden de net-lneare weerstandskarakterstek n voldoend goede benaderng kan worden vervangen door een stksgewjs affen exemplaar, knnen tevens kwanttateve tkomsten worden verkregen. Door elk samenstellend ljnsegment van de stksgewjs affene karakterstek op te vatten als de affene karakterstek van een stroom- of spannngsdoos, kan bovenden worden gewerkt met een nzchteljke crct nterpretate.) C + Q Q 1 Q 2 Q 3 (a) (b) (c) Fgr Dynamsch crct van de orde één (a) met dynamsche rote langs spannngsbestrde -karakterstek (b) en (c). In fgr 15.9(b) s Q een stabel evenwchtspnt, overeenkomend met een lokaal posteve hellng van de -karakterstek. Om dezelfde reden zjn Q 1 en Q 3 n fgr 15.9(c) bede stabel, terwjl Q 2 daarentegen nstabel s (lokaal negateve hellng van de -karakterstek). Het bstabele crct van fgr 15.9(c) wordt een seqenteel gehegen element (flp-flop) als er parallel aan de net-lneare weerstand van fgr 15.9(a) een stroombron wordt aangesloten de een trgger pls afgeeft (vergeljk het Eccles-Jordan paar van fgr 15.7). Als gevolg hervan wordt de -karakterstek gedrende de pls evenwjdg aan zchzelf naar boven of naar beneden verplaatst, al naar gelang de bron een posteve of negateve pls afgeeft. Alds bewerkstellgt het trggersgnaal bj voldoend grote plsdr en plshoogte een dynamsche overgang van het ene stabele evenwchtspnt naar het andere, en vce versa. Er gelden extra overwegngen als de net-lneare weerstand n het crct van fgr 15.9(a) stroombestrd s, en bovenden geen spannngsbestrde representate toelaat (geen nverse heeft). P 1 Q P 2 P 4 P 1 Q P 3 (a) P 2 (b) Fgr Het sprongverschjnsel haalt het crct t de mpassepnten P 1 en P 3. Zodra n fgr 15.10(a) het pnt P 1 wordt berekt, treedt een mpasse op: enerzjds kan een bewegend pnt zjn weg langs de -karakterstek net vervolgen, noch kan het op zjn schreden

14 256 Elektrsche crcts tergkeren ( > 0, moet afnemen), terwjl het er anderzjds ook net kan bljven lggen (dan zo de spannng over de capactet constant zjn, waarbj = 0 behoort). De enge weg t de mpasse s om een vertkale, nstantane sprong naar P 2 te maken, waarna de rote naar het stabele evenwchtspnt Q kan worden vervolgd. Dt sprongverschjnsel wordt fyssch bevredgend verklaard als er een extra parastare sere ndctvtet n het crct wordt opgenomen. Dan wordt op grond van de eerder genoemde contnïtetsregel de stroom door de (klene) sere ndctvtet ervan weerhoden nstantaan te sprngen. Alds ontstaat er enge, doch verder te verwaarlozen vertragng n de overgang van P 1 naar P 2. (N.B. Alléén een vertcale sprong s consstent met de contnïtetsregel voor de capactet.) In fgr 15.10(b) zjn de sprongen onderdeel van een permanente, perodeke bewegng de energetsch wordt onderhoden door de acteve net-lneare weerstand (nterne batterj). Daarbj neemt = (t) tssen P 4 en P 1 ( P 2 en P 3 ) slechts geledeljk af(toe) om op gezette tjden plotselng van waarde te veranderen. Daar de perode van deze trllng n essente wordt bepaald door een tjdconstante (relaxatetjd), en net door de trllngstjd van een LC-krng, heeft Van der Pol er de n algemeen geaccepteerde naam relaxatetrllng voor bedacht [1d, e, f]. Zoals herboven teengezet, krjgen de abrpte overgangen een fyssche onderbowng door een extra parastare sere L aan het RC-crct van fgr 15.9(a) toe te voegen. De crct vergeljkngen van het alds gecompleteerde net-lneare RLC-crct zjn voor het eerst door Van der Pol onderzocht. Voor een klene waarde van de paraset vond hj nderdaad de relaxatetrllng van herboven. Met dezelfde aanname bleek hj eveneens n staat de werkng van de mltvbrator van Abraham en Bloch een fyssche grondslag te geven, en stelde hj voor de hartslag als relaxateverschjnsel op te vatten [5] (een schot n de roos, naar achteraf bleek [32]). Van der Pol heeft de naar hem vernoemde crct vergeljkngen oorspronkeljk opgesteld voor een meegekoppelde trodebs-oscllator met parallel LC-krng [1a]. Daarn komt de nvloed van de trodebs naar voren als de dale net-lneare weerstandskarakterstek van fgr 15.10(b), parallel aan de LC-krng. Met verwjzng naar het daltetsbegnsel, wordt op grond van het bovenstaande meteen ngezen dat de trodebs oscllator eveneens een relaxatetrllng kan prodceren als de condensator t het materële crct wordt weggenomen, om naar het dee van Van der Pol te worden opgevat als parastare bedradngscapactet [5] Hysterese In fgr wordt een Schmtt-trgger gerealseerd met een meegekoppelde op-amp met verzadgng.

15 15. Net-lneare dynamca 257 R R 1 C = Fgr De extra parastare capactet C verklaart de hysterese van de Schmtt-trgger als een net-lnear dynamsch verschjnsel. Zonder de gestppeld weergegeven capactet s het crct van fgr zver resstef, en kan derhalve onmogeljk abrpte sprongen vertonen als 1 = 1 (t) daar vrj van s. De hysterese van de materële Schmtt-trgger bljft daarmee echter geheel onverklaard. Het dlemma wordt opgelost door de capactet C als paraset aan het net-lneare op-amp model toe te voegen, waarna de hysterese als een net-lnear dynamsch verschjnsel kan worden tgelegd [33] , , , Fgr De hysterese van de Schmtt-trgger als net-lnear dynamsch verschjnsel n kaart gebracht.

16 258 Elektrsche crcts Fgr geeft een overzcht voor toenemende waarden van de ngangsspannng 1, startend bj een negateve waarde (op-amp n negateve verzadgng; pnt 1 n de fgr). Aangenomen s dat 1 veel langzamer verandert dan de nterne dynamca langs de -karakterstek de de paraset C zet. Vanaf een krtsche waarde van 1 (pnt 1,2) wordt de 2 -verss- karakterstek n hoog tempo doorlopen, waarna de op-amp n posteve verzadgng geraakt (pnt 3). Alleen n het vlak manfesteert de overgang zch als een sprong. Wegens de klene waarde van C s de omklaptjd welswaar klen, maar net geljk aan nl en bovenden gemakkeljk af te schatten [33] NIET-LINEAIRE DYNAMICA IN TOESTANDSRUIMTE Toestandsvergeljkngen Het atonome, net-lneare dynamsche crct van fgr s van de orde twee (twee dynamsche e1ementen). De -relate van de weerstand s gegeven als 1 = ĩ 1 (). De stroom = (t) door de ndctvtet en de spannng = (t) over de capactet worden elk opgevat als een toestandsvarabele. Tezamen bepalen zj de opgeslagen e1ektro-magnetsche energe, en daarmee de toestand van het crct ten tjde t. Fgr De toestandsvarabelen zjn en. + 1 L C R Vanaf een gegeven begntoestand ( 0, 0 ) op het begntjdstp t 0 wordt de evolte van de toestand beschreven door de crct vergeljkngen (15.1) { = L 1 (a) = C 1 C 1 ĩ 1 () (b) of, n standaardvorm, door de net-lneare atonome toestandsvergeljkng (15.2) x = f(x) met x(t 0 ) = x 0. Hern s x = x(t) met x = (x 1, x 2 ) = (, ) de onbekende toestandsvector, terwjl het accent staat voor een dfferentate naar de tjd. De vectorfncte f = (f 1, f 2 ) s gedefneerd volgens het rechterld van (15.1) en s derhalve voor elke toestand x bekend. terwjl de begntoestand x 0 eveneens bekend s. À la Poncaré wordt x opgevat als de poste van een bewegend pnt n de toestandsrmte (x 1, x 2 ). Dan s x de snelhed van dat pnt de met (15.2) jst gegeven s door f(x). Op zjn bert kan f(x)

17 15. Net-lneare dynamca 259 op vaste pnten worden weergegeven als een gegeven snelhedsveld (vectorveld). Volgens deze voorstellng manfesteert de oplossng x = x(t) van (15.2) zch als een door de tjd gecoördneerde baankromme (een trajectore) n de toestandsrmte, startend bj x 0 en tangenteel aan het snelhedsveld. (Met (15.2) s dx 2 /dx 1 = f 2 /f 1 ; ze fgr ) x 2 x 0 Γ x x f(x) x 1 Fgr Trajectore Γ en snelhedsveld f(x). Voor verschllende begntoestanden prodceert (15.2) een famle van trajectorën n de toestandsrmte. Zo n toestandsbeeld geeft een compleet overzcht van de kwaltateve dynamca van het crct. Kwaltatef, omdat alleen het globale verloop van x n de tjd kan worden gevolgd; kwanttateve waarden van x op het tjdstp t knnen er net van worden afgeled. In het toestandsbeeld van atonome crcts knnen de trajectorën elkaar net snjden (f(x) heeft voor elke x preces één beeldpnt x ). In de praktjk wordt het toestandsbeeld verkregen door (15.2) voor een spectrm van begntoestanden nmerek te ntegreren Evenwchtspnten Een pnt x = x Q n de toestandsrmte s een evenwchtspnt (een dc-oplossng) als zjn snelhed geljk s aan nl, ds f(x Q ) = 0 n (15.2). Inzcht n het lokale gedrag nabj x Q wordt verkregen door een lnearserng van (15.2) ter plaatse van x Q toe te passen (het klen-sgnaal gedrag rondom het nstelpnt). Voor een klene afwjkng x van x Q ledt dt tot de lneare, atonome toestandsvergeljkng (15.3) x = Ax, waarn A de Jacob-matrx s van f(x) voor x = x Q (va een Taylor-ontwkkelng verkregen als de eerste afgelede van f naar x). Oplossngen van (15.3) zjn lneare combnates van de exponentële tjdfnctes exp(at), waarvan de egenwaarden λ volgen t de karaktersteke vergeljkng (15.4) det(a λi) = 0 met I de eenhedsmatrx. Een evenwchtspnt x Q s stabel nden Re(λ) < 0 voor alle λ s, en s dan tevens een posteve

18 260 Elektrsche crcts attractor (pnt van aantrekkng). Als Re(λ) > 0 voor tenmnste één λ, dan s x Q nstabel. Inden Re(λ) > 0 voor alle λ s s x Q een negateve attractor (pnt van afstotng). Voorts knnen er voor twee verschllende λ s ver mogeljkheden worden onderscheden (classfcate volgens Poncaré): (a) de λ s zjn bede reëel met hetzelfde teken, (b) als (a) maar met verschllend teken, (c) ze zjn complex geconjgeerd met Re(λ) 0, (d) als (c) maar zver magnar. De ermee corresponderende evenwchtspnten heten respecteveljk een knoop-, zadel-, spraal- en centrmpnt. Fgr geeft een overzcht van de lokale toestandsbeelden (van de knoop en het spraalpnt zjn alleen de stabele verses weergegeven). Zj worden verkregen door eerst een lokale assentransformate toe te passen, en daarna de tjd t de lneare combnates van de exponentële tjdfnctes te elmneren. (a) (b) (c) (d) Fgr Knoop (a), zadel (b), spraal (c) en centrm (d). Anders dan het crct van fgr 15.13, dat slechts één evenwchtspnt heeft (ze verderop), belooft het atonome crct van fgr er dre. Zj worden gevonden door de C en de L respecteveljk te vervangen door een open klemmenpaar en een kortsltng (statsche condtes). E R C L + E R Q 1 Q2 Q 3 E Fgr Atonoom crct met evenwchtspnten Q 1, Q 2 en Q 3.

19 15. Net-lneare dynamca 261 Q 3 Q 2 Q 1 Fgr Toestandsbeeld van het crct n fgr In fgr staat een compter-gesmleerd toestandsbeeld. De fgr geeft n één oogopslag een compleet overzcht van de globale kwaltateve dynamca van het crct. Lokaal worden Q 1 en Q 3 herkend als stabele knopen en Q 2 als zadelpnt (een zadelpnt s nstabel, en derhalve expermenteel net waarneembaar). De door Q 2 aangetrokken trajectorën delen de toestandsrmte op n twee gescheden gebeden de elk een attractepnt nslten. De gebeden zjn attractegebeden met een separatrce als schedsljn (n fgr van lnksmdden naar rechtsonder) Lmt-cycles Fgr 15.18a specfceert de -karakterstek van de weerstand n het RLC-crct van fgr (a) (b) Fgr Met -karakterstek (a) heeft het RLC-crct van fgr een lmt-cycle (b). Met (15.1) s de oorsprong van de toestandsrmte het enge evenwchtspnt dat volgens (15.4) bovenden nstabel bljkt. Dt laatste s ook drect n te zen als wordt bedacht dat de dfferentaal resstante ter plekke negatef s. Ook voor andere lokates n de toestandsrmte corresponderen pnten met een negateve of posteve dfferentaal resstante respecteveljk met expanderende of samentrekkende trajectorën. En, omdat de trajectorën elkaar net knnen snjden, s er rondom de

20 262 Elektrsche crcts nstabele oorsprong een gesloten baan waarnaar alle trajectorën voor t convergeren (fgr 15.18b). Kenneljk s deze lmt-cycle een attractor met de gehele toestandsrmte, tgezonderd de oorsprong, als attractegebed. Startend vant een wllekerge begntoestand, ontstaat er na enge aanlooptjd steeds een perodeke trllng. Het zojst besproken crct modelleert de eerder genoemde trodebsoscllator (de atonome Van der Pol oscllator) als de -karakterstek van fgr n navolgng van Van der Pol wordt geprecseerd door 1 = ĩ() (nvloed van meegekoppelde trodebs op LCparallelkrng). Sbsttte van (15.1)(a) n de naar de tjd gedfferenteerde vergeljkng (15.1)(b), voert dan vanzelf tot de atonome Van der Pol-vergeljkng (RLC-parallelkrng) (15.5) + ɛ( 2 1) + = 0 met ɛ = L/C waarn ntssen s overgegaan op de newe tjdvarabele τ = ω 0 t, met ω 2 0 = (LC) 1. Voor ɛ 1 kan de mddelste term n (15.5) (de net-lneare dempngsterm) worden verwaarloosd, reslterend n een ongedempte harmonsche trllng, en waarmee een ellptsche lmt-cycle correspondeert. Het andere terste ɛ 1 heeft betrekkng op een net-lneare RLC-parallelkrng met klene capactet, en waarvoor eerder werd betoogd dat het een relaxatetrllng tvoert. Voor alsmaar toenemende waarden van ɛ (klenere capacteten) tendeert de lmt-cycle tendeljk naar de dynamsche rote van het crct zonder capactet (fgr 15.19a). (a) (b) Fgr Lmt-cycles voor ɛ. N s ook ddeljk dat het atonome RLC-crct meerdere lmt-cycles kan hebben, ze fgr 15.19b. Naar welke lmt-cycle de trajectorën worden aangezogen, hangt af van de begntoestand. Lmt-cycles knnen alléén optreden n net-lneare dynamsche crcts (N.B. Het centrmpnt van fgr s géén lmt-cycle.) Naast evenwchtspnten zjn lmt-cycles de enge attractors n atonome crcts van de orde twee (onmddelljk gevolg van de omstandghed dat de trajectorën n de twee-dmensonale toestandsrmte elkaar net snjden). Hstorsch gaat het begrp lmt-cycle terg tot H. Poncaré [34]. Voor Lord Raylegh (eerder door het leven gaand als J.W. Strtt) was het een vanzelfsprekend concept n zjn stde van geldstrllngen [35]. Het was B. van der Pol de lmt-cycles voor het eerst prodctef assoceerde met elektronsche oscllators [1d]. Naden

21 15. Net-lneare dynamca 263 s het toestandsconcept bj de behandelng van oscllators engszns t beeld geraakt. In plaats daarvan zet men beschowngen n het freqente-domen de net tblnken door hn conceptele helderhed (crterm van Barkhasen). Met de hdge opmars van compters knnen berekenngen n de toestandsrmte steeds beter concrreren met de n het freqente-domen [36] Strctrele stabltet Het dynamsche gedrag van een strctreel stabel crct bljft n essente ongewjzgd bj klene veranderngen van de crct-parameters. Het net-lneare RLC-crct van herboven staat model. Daarbj s de preceze vorm van de -karakterstek n fgr 15.18a van ondergeschkt belang. Zolang de globale vorm maar behoden bljft, genereert het crct steeds een perodeke trllng (lmt-cycle) µ <0 µ=0 µ>0 Fgr Geparameterseerde -karakterstek. In fgr worden de kwaltateve egenschappen van de toegepaste weerstand n het RLCcrct afhankeljk gesteld van de parameter µ. Toenemende waarden van µ moeten een contne overgang van een passeve naar een acteve weerstand verbeelden (bjvoorbeeld teweeggebracht door het geledeljk opvoeren van een nterne batterjspannng). Voor µ < 0 s het evenwchtspnt n de toestandsrmte stabel (gedempte trllngen) en voor µ > 0 nstabel. De waarde µ = 0 correspondeert met een centrmpnt (harmonsche oscllator). Bj een geledeljke toename van µ ondergaat het evenwchtspnt naar men zegt een bfrcate (vertakkng), gepaard gaande met de create van een lmtcycle. Deze drastsche gedragsveranderng s typerend voor een Hopf-bfrcate. Het RLC-crct s strctreel nstabel onder de bfrcateparameter µ; het bfrcatepnt treedt op bj µ = 0. De Schmtt-trgger van hervoor manfesteert een ander type bfrcate. Bj toenemende ngangsspannng 1 gaat een stabele knoop eerst samenvallen met een nstabele, tmondend n een zadelpnt, om daarna abrpt te verdwjnen (ze de dynamsche rote van fgr 15.12). Dt s een zadel-knoop bfrcate met 1 als bfrcate-parameter (ze verderop voor meer).

22 264 Elektrsche crcts 15.5 NIET-AUTONOME CIRCUITS Het statonare gedrag van atonome crcts van de orde twee s beperkt tot evenwchtspnten en perodeke trllngen. Voor meer complex gedrag zjn dre vrjhedsgraden nodg. Zlke crcts zjn ofwel net-atonoom en van de orde twee, ofwel atonoom en van de orde dre. Het zjn de eenvodgste crcts waar zogenaamde chaotsche, zeer complexe trllngsverschjnselen knnen worden verwacht. Anders dan lneare crcts, knnen net-lneare crcts ook sper- en sbharmonsche trllngen genereren. Zelfs qas-perodeke trllngen vallen bnnen de klasseke context (pré-chaos perode). Heronder worden deze trllngsverschjnselen als toestandsgedrag opgevat Sbharmonsche trllngen Het net-alonome RLC-crct van fgr s van de orde twee. Het staat onder harmonsch regme met freqente ω en verkeert n statonar bedrjf. R + e L φ C + φ Fgr Net-atonoom crct n statonar bedrjf onder het regme e = E cos(ωt). Met de spannng over de C en de flx φ door de L als de twee toestandsvarabelen, knnen de crct vergeljkngen worden genoteerd als = 1 (15.6) RC + 1 C ĩ(φ) (a) φ = + e (b) waarn ĩ(φ) de flx-bestrde voorstellng van de ndctvtet s, terwjl e = E cos(ωt). In standaardvorm laat (15.6) zch lezen als de net-lneare, net-atonome toestandsvergeljkng (15.7) x = f(x, t) met x(t 0 ) = x 0. Anders dan n de atonome varant (15.2), komt de tjd t va e = e(t) n explcet voor. Het onmddelljke gevolg s dat de trajectorën n de twee-dmensonale toestandsrmte elkaar knnen snjden (er s mmers nets dat zch verzet tegen f(x, t 1 ) f(y, t 2 ) voor x = y). Elmnate van t (15.6) geeft na enge herledng (15.8) φ + kφ + αĩ(φ) = B cos τ,

23 15. Net-lneare dynamca 265 waarn s overgegaan op de newe tjdvarabele τ = (ωt arctan k) met k = (ωrc) 1,terwjl α = kr/ω en B 2 = (E/ω) 2 (1 + k 2 ). Naar algemeen wordt aangenomen heeft G. Dffng de egenschappen van deze net-lneare dfferentaal vergeljkng voor het eerst bestdeerd (n de context van mechansche trllngen [37]). Met αĩ(φ) = aφ + bφ 3 heet (15.8) de net-atonome vergeljkng van Dffng. Daarvan s bekend dat er sbharmonsche oplossngen mogeljk zjn. (Met ω als opgelegde freqente heeft de k-de sbharmonsche de grondfreqente ω/k(k = 2, 3,... ). Fgr toont compter-gesmleerde resltaten (de krsjes worden later toegelcht). Sperharmonsche trllngen (met freqente kω) leveren n dt verband geen newe gezchtspnten op, en worden derhalve overgeslagen (a) (b) Fgr Statonare oplossng van de Dffng-vergeljkng φ + 0, 1φ + φ 3 = B cos τ met x[1] = φ en x[2] = φ als toestandsvarabelen. Gronharmonsche met B = 2 (a) en de 3-de sbharmonsche met B = 9, 8 (b). Het net-lneare RLC-crct van fgr modelleert een sereverbndng van een condensator en een spoel met jzerkern. Naast anderen, hebben G.J. Elas en medewerkers dt crct n de tweede helft van de jaren veertg ntensef bestdeerd [7] tot en met [11]. Bj de theoretsche behandelng bracht Elas de (gernge) crctverlezen echter net zoals n fgr va een (grote) parallelweerstand n rekenng, maar mddels een (klene) sereweerstand. Ter vereenvodgng van de netlneare analyse werd de verlesweerstand n een later stadm evenwel weer verwaarloosd, alds tkomend bj de dempngsvrje vergeljkng van Dffng (R n fgr 15.21; k = 0 n (15.8)). (N.B. Ut [7] tot en met [11] bljkt net dat Elas op de hoogte was van Dffng s werk.) Centraal thema n het werk van Elas s het onderzoek naar sbharmonschen, steeds n hn afhankeljkhed van de bronsterkte E (fgr 15.21). Vooral s aandacht besteed aan het plotselng sprngen (het kpverschjnsel van Elas) van het crctgedrag bj zekere krtsche waarden van de parameter E (de kpgrenzen van Elas). De nawgezette beschrjvng de Elas van de gecomplceerde trllngsverschjnselen gaf, passen n het verderop te behandelen concept van een bfrcate-dagram. Dan zal ook bljken dat het optreden van sbharmonsche trllngen een belangrjke aanwjzng s voor mo-

24 266 Elektrsche crcts geljk chaotsch gedrag Qas-perodeke trllngen De lneare combnate van harmonschen (15.9) x = A cos(ω 1 t) + B cos(ω 2 t) s qas-perodek als ω 1 en ω 2 onmeetbaar zjn, d.w.z. ω 1 /ω 2 p/q met p en q ratonaal. Jst het ontbreken van een gemeenschappeljke perode maakt de trllng aperodek. Het freqentespectrm s evenwel dscreet. Op het chaotsche sgnaal na, s het de meest onregelmatge trllng de een determnstsch model kan opwekken. In fgr staat een net-lnear, net-atonoom dynamsch crct dat qas-perodeke trllngen kan tvoeren. Met 1 = modelleert het de gedwongen Van der Pol oscllator. j + 1 L C R 1 Fgr Gedwongen Van der Pol oscllator met j = J cos(ωt). Geheel analoog aan de eerdere afledng van (15.5) wordt de net-atonome Van der Pol-vergeljkng verkregen als (15.10) + ɛ( 2 l) + = B sn(ντ), waarn de notate van (15.5) s aangehoden, terwjl B = ɛνj met ν = ω/ω 0. Waar de net-lneare term n de vergeljkng van Dffng (15.8) afkomstg s van een dynamsch element (reacteve energe), brengt de Van der Pol vergeljkng een net-lneare dempngsterm n rekenng (ressteve energe). De statonare oplossngen van (15.10) worden bepaald door twee perodeke trllngen: de opgelegde brontrllng (gedwongen trllng) en de lmt-cycle trllng (vrje trllng). De net-lneare nteracte tssen bede belooft ntrgerende tkomsten. En nderdaad, zelfs chaotsche oplossngen bljken, althans n theore, nbegrepen (ze verderop). Als de freqentes van bede trllngen net te veel verschllen, synchronseren zj spontaan tot een gemeenschappeljke perodeke trllng (dt net-lneare verschjnsel werd voor het eerst opgemerkt door Chrstaan Hygens). Ook andere net-lneare nteractes voeren tot perodeke oplossngen. Als de freqentes ver genoeg t elkaar lggen en bovenden onmeetbaar zjn, kan qas-perodek gedrag worden verwacht. De rozet van fgr toont een compter-gesmleerd voorbeeld.

25 15. Net-lneare dynamca 267 Fgr Qas-perdeke oplossng van de Van der Pol-vergeljkng. + ɛ(1 2 ) + = B sn(ντ) met x[1] = en x[2] = als toestandsvarabelen (ɛ = 1, B = 0, 5, ν = 1, 1) Poncaré-doorsnede In de n = 3-dmensonale atonome toestandsrmte van fgr s het (n 1) = 2-dmensonale dwarsvlak Σ een Poncaré-doorsnede. (N.B. In een atonome toestandsrmte knnen de trajectorën elkaar net snjden.) Γ Fgr Poncaré-doorsnede Σ n toestandsrmte met lmt-cycle Γ. Σ Trajectorën nabj de lmt-cycle Γ snjden Σ achtereenvolgens n de pnten x 1, x 2, enz. De relate tssen twee opeenvolgende passagepnten x k en x k+l kan worden genoteerd als (15.11) x k+1 = P (x k ), waarn P de Poncaré-afbeeldng op Σ heet. Met (15.11) wordt de n-dmensonale dynamca gecomprmeerd tot de (n 1)-dmensonale dscrete dynamca n Σ. Daarbj wordt de perodeke attractor Γ afgebeeld als een enkel attractepnt x n Σ. Met betrekkng tot de dscrete dynamca (15.11)

26 268 Elektrsche crcts s x een evenwchtspnt, waarvoor geldt x = P (x ). De Poncaré-doorsnede vndt een elegante toepassng bj het ontrafelen van de statonare dynamca van net-atonome crcts onder perodek regme (snjdende trajectorën). Dt wordt ngezen als de n = 2-dmensonale net-atonome toestandsvergeljkng x = f(x,t) va een knstgreep eerst atonoom wordt gemaakt mddels de sbsttte t = x 3, en te schrjven (vergeljk (15.7)) x = f(x,x 3 ) met x(t 0 ) = x 0 (15.12) y = g(y) met y(t 0 ) = y 0. x 3 = 1 met x 3(t 0 ) = t 0 Hern s y = (x 1, x 3 ) de toestandsvector n de (n + 1) = 3-dmensonale toestandsrmte (x, x 3 ). Daar de tjd t n f(x, t) terecht s gekomen va een T -perodeke bronterm, verandert de atonome toestandsvergeljkng y = g(y) net als daarn x 3 wordt vervangen door x 3 + kt (k = 1, 2,... ). Van deze egenschap wordt vervolgens gebrk gemaakt door het vlak x 3 = 0 n de toestandsrmte (x, x 3 ) te dentfceren met de vlakken x 3 = kt. Tenslotte wordt dt (n + l) l = 2-dmensonale vlak Σ als Poncaré-doorsnede opgevat (fgr 15.26). x 3 x 2 x 1 Σ Fgr Newe toestandsrmte voor net-atonome crcts onder T -perodek regme. Het vlak Σ : x 3 = kt (k = 0, 1, 2,... ) s een Poncaré-doorsnede. In de newe toestandsrmte van fgr 15.26, geassoceerd met de atonome toestandsvergeljkng y = g(y), knnen de trajectorën elkaar net snjden. Volgens deze opzet, speelt een statonare T -perodeke trajectore dezelfde rol als de lmt-cycle Γ van herboven (T s de grondperode van de bron)! Ds, een statonare T -perodeke oplossng van de net-atonome toestandsvergeljkng manfesteert zch als een enkel attractepnt n Σ. Een k-de sbharmonsche (met perode kt ) correspondeert met k verschllende attractepnten (waarvoor x = P (P (... P (x ))) : k achtereenvolgende malen de Poncaré-afbeeldng (15.11)). Door n de oorspronkeljke toestandsrmte T -perodeke snapshots te nemen, knnen de attractepnten bovenden gemakkeljk zchtbaar worden gemaakt. De krsjes n fgr llstreren deze stroboscopsche nterpretate. Een statonare, qas-perodeke trajectore snjdt Σ bj herhaalde rondgang n steeds verschllende pnten (de éne perode past net op de àndere). Naarmate de tjd verstrjkt, tekent zch n het stroboscopsche beeld op den dr een gesloten crve af. (N.B. De rratonale verhodng

27 15. Net-lneare dynamca 269 tssen bede peroden wordt met wllekerge precse benaderd door een wèl ratonaal getal. b.v. π 3.14 = 157/50: tendeljk komt een trajectore wllekerg dcht bj een pnt dat al eerder was gepasseerd.) Hermee onderschedt deze qas-perodeke attractor zch ddeljk van de pntarrractor voor perodeke trllngen. Fgr toont een qas-perodeke attractor van de gedwongen Van der Pol oscllator (vergeljk fgr 15.24). Na te zjn rondgewenteld langs de x 3 -coördnaat van fgr 15.26, ontstaat een tors met de aangegeven doorsnede. Daarom heet de qas-perodeke attractor wel een tors attractor. Fgr Qas-perdeke attractor van de gedwongen Van der Pol osccllator. Parameters als n fgr Na deze voorproef s het al ddeljk dat de Poncaré-doorsnede een effectef nstrment s ter classfcate van net-lneare trllngsverschjnselen CHAOTISCHE TRILLINGEN Tot op heden s er geen algemeen aanvaarde defnte van een aanhodende chaotsche trllng. Wel s ddeljk dat het een begrensde, aperodeke doch net qas-perodeke trllng betreft. In tegenstellng tot de laatste, hebben chaotsche trllngen een contn freqente-spectrm. Anderzjds onderscheden zlke trllngen zch van complete wlleker doordat de Poncaré-doorsnede een geordende strctr vertoont. Maar wat vooral verbaast, s dat zelfs zeer eenvodge crcts een zeer complex gedrag knnen vertonen.

28 270 Elektrsche crcts Chaotsche attractors Fgr toont een chaotsche trllng, samen met het ampltdo freqente-spectrm ervan. Het s een nmereke oplossng φ = φ(t) van de vergeljkng van Dffng (15.8), afgeled voor het eenvodge crct van fgr (statonar bedrjf). Fgr Chaotsche trllng φ (lnks) en freqnete-spectrm Φ (rechts) n het crct van fgr 15.21, met Dffng-vergeljkng φ + 0, 1φ + φ 3 = 12 cos t. De trllng manfesteert zch n de toestandsrmte als een klwen van elkaar snjdende trajectorën (fgr 15.29). Fgr De chaotsche trllng van fgr n de toestandsrmte met x[1] = φ en x[2] = φ als toestandsvarabelen. Het grllge verloop van de trllng hangt drect samen met de gevoelge afhankeljkhed van de begntoestand. Zelfs de gerngste afwjkng hern, geeft op den dr een totaal verschllende tkomst (klene veranderngen knnen grote gevolgen hebben; ze fgr 15.30).