EERSTE ORDE DYNAMICA VAN ELEKTRISCHE CIRCUITS Lineair en niet-lineair

Transcriptie

1 EERSTE ORDE DYNAMICA VAN ELEKTRISCHE CIRCUITS Lnear en net-lnear 13.1 LINEAIRE CIRCUITS VAN DE EERSTE ORDE De lneare RC-combnate We gebrken de resltaten van paragraaf 5.3 t Deel 1. Daar hebben we het crct van fgr 13.1 met één dynamsche element al eerder geanalyseerd. Eerst volgt een korte herhalng van de analyse. Steeds wordt verondersteld dat C > 0, terwjl R n ook negateve waarden kan aannemen. PSfrag replacements R Fgre Lneare RC-combnate met begnspannng (0) = 0. C Neem aan dat op t = 0 de begnspannng gegeven s als (0) = 0. Met de KVL s, KCL s en -relates vnden we voor t > 0 R 1 voor de stroom door R (13.1) = C d voor de stroom door C (let op het mn-teken), dt waart dan de eerste orde dfferentaalvergeljkng (DV) voor de onbekende spannng = (t) volgt als (13.2) d dt = 1 waarn τ = RC. τ

2 13. Eerste orde dynamca 141 New ten op zchte van paragraaf 5.3 s de nvoerng van het symbool τ voor de tjdconstante RC. Met de gevonden DV (13.2) knnen we voor de oplossng (t) een kwaltateve tspraak doen (ze eerder genoemde paragraaf 5.3). In fgr 13.2 s dt nogmaals weergegeven. d O dt t 0 (R >0) 0 d O dt t 0 (R <0) 0 as as Fgre Stabel voor τ = RC > 0 (boven) en expermenteel net waarneembaar nstabel voor τ = RC < 0 (onder). We weten t het voorbeeld crct van paragraaf 5.3 van Deel 1 dat (13.2) als oplossng heeft (13.3) (t) = 0 e t/τ voor t > 0. Net zoals bj de kwaltateve nterpretate bepaalt ook n weer het teken van de tjdconstante τ hoe de oplossng zch gedraagt. Als τ > 0 dan neemt bj een posteve startwaarde ( 0 > 0) af voor toenemende t en zal tendeljk nl worden. Bj een negateve startwaarde zal van de negateve kant tot nl naderen (ze fgr 13.3 lnks). Verklaar zelf het verloop voor τ < 0 zoals n dezelfde fgr (rechts) s getekend: daar s sprake van een nstabel evenwchtspnt. [V] [V] 0 0 τ τ Fgre Oplossng voor τ > 0 (lnks) en voor τ < 0 (rechts). Crctnterpretate: Voor de toestandsgroothed = (t) op het selecte tjdstp t = 0 geldt (0) = 0. Toepassen van het sbsttte begnsel (ze paragraaf 8.4 van Deel 2) ledt tot het crct t fgr 13.4.

3 142 Elektrsche crcts (0) R (0) 0 Fgre Crct op het selecte tjdstp t = 0. Met het crct van fgr 13.4 volgt drect de stroom op t = 0. We vnden: (0) = 0 = R 1 0. Voor de toestand op t ± (voor τ > 0 dan wel τ < 0) volgt t de oplossng (13.3) dat (13.4) d dt = 0 τ et/τ 0 = C d 0 C = open klemmenpaar dt Een crctvoorstellng s n fgr 13.5 weergegen. R (± ) (± ) Fgre Crct voor t = ± Dynamsche rote We bekjken opnew de RC-combnate van fgr R C Fgre RC-combnate ter bepalng van dynamsche rote. De -relates voor de twee verschllende takken zjn 1. Voor R rechte ljn n het -vlak, (13.5) 2. Voor C = C d dt. We merken op dat zolang > 0 de afgelede d/dt < 0 moet zjn (steeds s C > 0), zodat de spannng dan zal afnemen. Voor het geval dat < 0 s, volgt dan het omgekeerde:

4 13. Eerste orde dynamca 143 zal toenemen. Bj een pnt P op de -karakterstek van de weerstand R, ds met P = (, ) op de grafek, wordt de rchtng waarn er langs de -karakterstek bewogen wordt, bepaald door de daar heersende waarde van. Deze rchtng geven we aan met pjltjes. Dt s n fgr 13.5 gedaan voor τ > 0. Het verloop langs de -karakterstek, aangegeven door de eerdergenoemde pjltjes, noemen we de dynamsche rote van het RC crct. Met behlp van deze dynamsche rote s drect n te zen, dat de oorsprong O een stabel evenwchtspnt s. Voor τ > 0 zal het crct tendeljk n de toestand geraken. Alle energe de op t = 0 opgeslagen was n de capactet C, s dan gedsspeerd n de weerstand R. Eveneens knnen we met behlp van de dynamsche rote het verloop n de tjd van zowel de stroom = (t) als de spannng = (t) schetsen. Ze fgr 13.7 en fgr 13.8 voor een volledg beeld van de dynamca. [A] 0 = R 1 0 t = 0 0 O 0 O τ O 0 [V] τ

5 144 Elektrsche crcts [A] 0 = R 1 0 t = O τ O τ 0 O [V] Fgre Dynamsche rote voor τ < 0 (lnksboven) en bjbehorende (t) en (t) De lneare atonome RC-combnate We vervolgen de dynamca met hetzelfde RC crct, maar n tgebred met een externe stroombron van constante sterkte j = I. Ze het atonome crct van fgr I R C Fgre De lneare atonome RC-combnate. De combnate van bron en weerstand (een stroomdoos) heeft de -relate (13.6) = R I. De -relate van de capactet, gegeven door vergeljkng (13.1), s te herschrjven als (let op: RI s een constante) (13.7) = C d dt d( RI) = C. dt Ut (13.6) en (13.7) vnden we met τ = RC (13.8) d( RI) dt = 1 ( RI). τ

6 13. Eerste orde dynamca 145 Met nvoerng van de newe varabele f (t) = (t) RI gaat (13.8) over n (13.9) d f dt = 1 τ f, met, analoog aan (13.2), de oplossng (13.10) f (t) = f (0)e t/τ, welke op zjn bert weer terg te schrjven s als (13.11) (t) RI = ((0) RI)e t/τ. Als de e-macht s tgewerkt, dt s afhankeljk van het teken van τ voor t (τ > 0) of voor t (τ < 0), dan noemen we de resterende toestand de evenwchtstoestand, genoteerd als. Ut (13.11) volgt dan { ( ) voor τ > 0 (13.12) = RI = ( ) voor τ < 0, waarmee we de oplossng voor zowel τ > 0 als τ < 0 knnen schrjven als (13.13) (t) = ( 0 )e t/τ Merk op dat = (t) n (13.13) wordt bepaald door dre grootheden: 1. de begnwaarde 0, 2. de evenwchtswaarde en 3. de tjdconstante τ. In fgr en fgr zjn de bjbehorende grafeken van = (t) geconstreerd. Merk op dat de tjdconstante τ steeds vanaf t = 0 s afgepast op de evenwchtsljn. De stppelljn van dat pnt naar het startpnt 0 s steeds de raakljn aan de grafek. [V] [V] 0 0 τ τ Fgre Constrcte voor τ > 0.

7 146 Elektrsche crcts [V] [V] 0 0 τ τ Fgre Constrcte voor τ < Lneare atonome dynamsche crcts van de eerste orde Het n de vorge paragraaf beschreven atonome crct kan ook geïnterpreteerd worden als een stroomdoos, aangesloten op een capactet C. Deze nterpretate maakt het mogeljk om de dynamca van elk atonoom lnear crct met één dynamsch element te analyseren. Immers, de ressteve eenpoort de overbljft na het apart nemen van het enge dynamsche element, bezt een NORTON-eqvalent (een eqvalente stroomdoos). In fgr s deze gedachte tgewerkt. I N E C j N G N C Fgre Algemeen lnear crct met éen dynamsch element (lnks) en met het vereenvodgd NORTON-eqvalent (rechts). In analoge met de lneare atonome RC-combnate volgt de spannng over de capactet drect als (let op: dt geldt voor fgr zowel lnks als rechts!) (13.14) = ( 0 )e t/τ met τ = RC, waarn R = G 1 N de weerstand s de C als het ware zet. Met de gevonden spannng = (t) knnen n alle andere takspannngen en -stromen n het oorspronkeljke crct berekend worden. We maken daartoe eerst gebrk van het sbstttebegnsel (ze fgr 13.13).

8 13. Eerste orde dynamca 147 C e = Fgre Sbstttebegnsel toegepast. Elke stroom en spannng n het crct, her genoteerd als x = x(t), s dan volgens het sperpostebegnsel te schrjven als een lneare combnate van de gevolgen van de oorspronkeljk aanwezge bronnen apart, pls de van de voor de capactet gesbstteerde spannngsbron met sterkte e = (t). We vnden alds (13.15) x = αe βi γ = αe βi γ{ ( 0 )e t/τ }. Voor de begnwaarde (startwaarde) van x(t) (neem t = 0 n (13.15)) volgt (13.16) x 0 = αe βi γ 0, terwjl de evenwchtswaarde wordt gevonden als (neem t = ± n (13.15)) (13.17) x = αe βi γ. Daarmee verkrjgen we de algemene tdrkkng voor alle en voor zowel τ > 0 als τ < 0 als (13.18) x(t) x = (x 0 x )e t/τ. We merken op dat de dre bepalende grootheden n formle (13.18), te weten x 0, x en τ t het oorspronkeljke crct volgen zoals n onderstaande fgr s aangegeven (vervang op t = 0 de C door een batterj met sterkte 0, ze fgr 13.4, terwjl op t = ± een open klemmenpaar wordt gesbstteerd, ze fgr 13.5). x 0 0 x R Fgre Crcts ter bepalng van x 0, x en R. We vatten het berekenngsproces van een wllekerge takgroothed x = x(t) van een lnear atonoom eerste orde crct als volgt samen: (13.19)

9 148 Elektrsche crcts 1. startwaarde x 0 : vervang C door een batterj met gegeven spannng evenwchtswaarde x : vervang C door een open klemmenpaar. 3. τ = RC : stel alle onafhankeljke bronnen geljk aan nl en bereken R de de C zet. Inden n plaats van op t = 0 de begnwaarde op t = t 0 gegeven s, ds x(t 0 ) = x 0, dan gaat vanwege de tjd-nvarante van het crct, vergeljkng (13.18) over n de algemene formle (geldg voor zowel τ > 0 als τ < 0) (13.20) x(t) x = (x 0 x )e (tt 0)/τ De gehele oplossng s n over een tjdspanne t 0 over de t-as verschoven; ze de grafeken n fgr [V] [V] 0 0 t 0 τ τ t 0 Fgre Begnwaarde op t = t 0 voor τ > 0 (lnks) en τ < 0 (rechts). Tenslotte berekenen we de tjdsdr T = t 2 t 1 de nodg s om van de toestand x 1 = x(t 1 ) n de van x 2 = x(t 2 ) te geraken. Met vergeljkng (13.20) volgt (13.21) x 1 x = (x 0 x )e (t 1t 0 )/τ, (13.22) x 2 x = (x 0 x )e (t 2t 0 )/τ. Bede tdrkkngen op elkaar delen geeft ( ) x 1 x t2 t 1 (13.23) = exp, x 2 x τ waart volgt ( ) x1 x (13.24) T = t 2 t 1 = τ ln x 2 x

10 13. Eerste orde dynamca 149 Opmerkng 13.1 Voor het geval dat het enge dynamsche element een ndctvtet L s, volgt met het daltetsbegnsel drect dat (ze ook fgr 13.16) (13.25) 1. startwaarde x 0 : vervang L door een stroombron met gegeven stroom evenwchtswaarde x : vervang L door een kortsltng. 3. τ = GL : stel alle onafhankeljke bronnen geljk aan nl en bereken G de de L zet. x 0 0 x G Fgre Crcts ter bepalng van x 0, x en G met L als dynamsch element Lneare net-atonome crcts van de eerste orde In deze paragraaf bekjken we crcts met bronnen de n de tjd gezen stksgewjs een constante stroom of spannng afgeven, en derhalve een varërende sterkte hebben (net-atonome crcts). In fgr s een crct met een stksgewjs constante stroombronsterkte getekend. j(t) j(t) R C O t 1 t 2 t 3 t 4 t Fgre RC-combnate met stksgewjs constante stroombronsterkte j. Het s ddeljk dat voor de tjdntervallen (t 1,t 2 ), (t 2,t 3 ) en (t 3,t 4 ) de oplossng te verkrjgen s met de methode t de vorge paragraaf. Bljft over de vraag wat er op tjden t 1,t 2, gebert met de spannngen en stromen n het crct. We zllen daartoe

11 150 Elektrsche crcts bewjzen dat er n de spannng over een capactet en de stroom door een ndctvtet noot een sprong op kan treden, als de bron zelf wel een endge sprong vertoont. Eerst voeren we een nttge notate n om de tjdstppen vlak voor en vlak na de sprong te knnen onderscheden van het sprongmoment t k zèlf, en defnëren (13.26) tk t k = het tjdstp jst vóór het tjdstp t k = het tjdstp jst ná het tjdstp t k Ze tevens fgr t k t k t k t Fgre Notate van jst vóór en jst ná de sprong. De volgende stellng wordt n bewezen voor een fyssch crct, d.w.z. een crct waarn géén mplsen (ze paragraaf van Deel 1) optreden. (13.27) Contntetsstellng 1. De spannng over een capactet C s contn n de tjd. 2. De stroom door een ndctvtet L s contn n de tjd. Bewjs Bekjk de -relate van de capactet C n het nterval [t k,t k ] (13.28) = C d t dt (t k ) (t k ) = k C1 tk (τ)dτ, waarmee we voor een fyssch crct conclderen (de ntegraal s nl: (t) bevat geen Drac-fncte) (13.29) (t k ) = (t k ), m.a.w. de spannng over een capactet kan net sprngen (s contn) mts de stroom erdoor geen mpls bevat (fyssche state). Merk op dat de stroom wel een endge sprong kan hebben op het tjdstp t = t k. Ze onderstaande fgr

12 13. Eerste orde dynamca 151 [V] [A] sprong t knk tsprong Fgre Mogeljk spronggedrag van door een capactet C. Opmerkng 13.2 Voor een ndctvtet L volgt de contnïtetsstellng va het daltetsbegnsel. Voorbeeld 13.1 We bekjken het net-atonome RC-combnate met een externe stroombron de een blokpls afgeeft. Gevraagd het verloop van de grafeken voor = (t) en = (t) te schetsen, nden (0 ) = 0. j(t) j(t) R C I O T t Fgre RC-combnate met blokpls voor de stroom en begnwaarde (0) = 0. Gebrk de contntetsstellng en ze dat = (t) contn s n de tjd, zelfs op dè tjdstppen waarop de bron sprngt. M.a.w. op crctnvea gedraagt de capactet zch als een kortsltng ten tjde van de sprong: jst vóór en jst nà de externe sprong verandert de spannng over de C net. De verschlspannng s derhalve nl op dat tjdstp. Dt ledt tot het zogenaamde sprongcrct van fgr 13.21, waarn de verschlwaarden van de s en de s net vóór en net nà de sprong voorkomen. sprong j sprong (t) R sprong Fgre Sprongcrct van de combnate t fgr

13 152 Elektrsche crcts Er volgt drect dat (13.30) sprong = 0 en (13.31) sprong = j sprong { t = 0 sprong = I t = T sprong = I. Ofschoon de spannng net verandert door de sprong n de bronsterkte, conclderen we voor de stroom vlak na de sprong (13.32) (t k ) = (t k ) j s(t k ). Beredeneer zelf het verdere verloop van de grafeken n fgr Merk daarbj op dat de evenwchtswaarde = RI zo bereken, ware het net dat ten tjde t = T de externe bronsterkte I nl wordt. [V] [A] RI I τ T T τ I τ T T τ Fgre Spannng- en stroom-verloop als gevolg van blokpls. Opmerkng 13.3 Als de crcttjdconstante τ veel klener s dan de extern aangeboden plsbreedte T (τ T ) reslteren de grafeken van fgr [V] [A] RI I T T I Fgre Als vorg fgr maar n met τ T.

14 13. Eerste orde dynamca NIET-LINEAIRE CIRCUITS VAN DE EERSTE ORDE Voor een algemene ntrodcte wordt de lezer verwezen naar paragraaf 15.3 van Hoofdstk Dynamsche rote In fgr staat een net-lneare atonome RC-combnate. C Fgre Een net-lneare atonome RC-combnate. Startend bj een gegeven begnspannng (0) = 0 over de combnate, bekjken we eerst de evolte van = (t) en = (t) voor verschllende typen net-lneare weerstandskaraktersteken; fgr geeft voorbeelden. P P 0 0 (a) (b) Fgre De pjlpnten verwjzen naar de dynamsche rote; het crkeltje stelt een stabel evenwchtspnt voor. Analoog aan paragraaf hervoor, geven de pjltjes n de fgr ook her de dynamsche rote aan. Deze wordt bepaald door 1. de -relate van de weerstand en 2. de -relate van het aangesloten dynamsche element. Voor fgr betekent dt dat de bewegng van een pnt P = ((t),(t)) wordt bepaald door: 1.P lgt op de net-lneare weerstandskarakterstek en 2. en voldoen steeds aan (t) = Cd(t)/dt, ofwel zolang > 0 ( < 0) neemt af (toe) n de tjd. Het stabele evenwchtspnt (n de fgr een gesloten crkeltje) wordt berekt nden = 0. Immers, deze waarde correspondeert va de -relate van de capactet met òf = 0 (fgr (a)) òf met = constant (fgr (b)).

15 154 Elektrsche crcts Impassepnten en sprongverschjnsel Een geheel newe state doet zch voor als de net-lneare weerstand stroom-bestrd maar net spannngs-bestrd s (ze fgr 13.26). I 1 Q P I Fgre Pnt Q heet een mpassepnt. De stroom sprngt n no-tme van I 1 naar de waarde I 2, daarbj de spannng over de capactet constant latend: het spronverschjnsel. Startend bj de begnspannng 0 over de capactet (waarmee > 0 correspondeert), beweegt het pnt P = ((t),(t) zch op de n de fgr aangegeven wjze naar pnt Q op de weerstandskarakterstek. Daar aangeland, geldt = I 1 > 0. Volgens de - relate van de capactet zo dt betekenen, dat verder af zo moeten nemen, terwjl volgens de weerstandskarakterstek jst weer toe zo nemen nden P zjn weg langs de karakterstek zo vervolgen. Ook s Q geen evenwchtspnt. Immers dan zo de constante waarde = 1 aanhoden, waarbj va = Cd 1 /dt een stroom = 0 zo behoren. Daar het pnt ook al net op zjn schreden kan tergkeren (nagaan), stellen we vast dat voor een verdere beredenerng van de dynamsche rote een mpasse s berekt: het pnt Q heet daarom een mpassepnt. De mpasse kan overwonnen worden door te veronderstellen dat het bewegende pnt n no-tme van Q naar het pnt er loodrecht beneden op de weerstandskarakterstek sprngt, om daar zjn weg te vervolgen en tendeljk n het evenwchtspnt te arrveren (ze fgr 13.26). Merk op, dat het her beschreven sprongverschjnsel consstent s met de contnïtetsregel van de capactet: de spannng over de condensator bljft gedrende de (stoom)sprong constant! Het sprongverschjnsel wordt fyssch onderbowd door het model van fgr t te breden tot dat van fgr Hern s een klene parastare ndctvtet L s, afkomstg van de aansltdraden, opgenomen. C L s Fgre De ndctvtet L s s een paraset, afkomstg van de aansltdraden.

16 13. Eerste orde dynamca 155 N dcteert de contnïtetsregel voor de ndctvtet L s dat de stroom erdoorheen net plotsklaps van waarde kan veranderen. Maar, voor zeer klene waarden van L s zal er n welswaar een endge, maar verder verwaarloosbare klene tjd over doen om van I 1 naar de waarde I 2 te sprngen (ze fgr 13.26). Vervolgens beschowen we de net-lneare atonome RC-combnate van fgr met de (acteve) net-lneare weerstandskaraktersteken van fgr Fgre Realsate van een b-stabel crct (lnks) en een relaxate-oscllator (rechts). Ga zelf na dat de aangegeven dynamsche rotes met bovenstaande beschowng zjn te verkrjgen. Merk op dat fgr 13.28(lnks) twee stabele en één nstabel evenwchtspnt heeft: het heet een bstabel crct dat als seqenteel gehegen kan worden ngezet (ze verderop). N.B. Dt type gehegen verschlt radcaal van de eerder behandelde gehegenwerkng van een dynamsch element dat ter ondersched ook wel temporaal gehegen heet. Fgr 13.28(rechts) weerspegelt het gedrag van een zogeheten relaxate-oscllator: de repeterende, en relatef langzame verplaatsng over de weerstandssegmenten, wordt perodek onderbroken door abrpte sprongen (beat-oscllator): het ljkt op de hartslag (ze Hoofdstk 15). Tenslotte wordt opgemerkt dat de getoonde net-lneare weerstandskaraktersteken alle zjn te verkrjgen met transstorcombnates en een nterne (voedngs) batterj (ze Hoofdstk 11). Hermee conclderen we dat de elektronsche bassfnctes als versterken, onthoden (gehegen) en osclleren net ondanks, maar jst dankzj de net-lneare transstorkarakterstek (samen met nstelbatterj) knnen worden gerealseerd Affene weerstand-combnate We hebben n Deel 1 gezen dat een stroomdoos ook als een affene weerstand opgevat kan worden. Dat s n fgr weergegeven. De -relates voor bede takken worden (R 1 I) voor de stroom door de affene weerstand (13.33) = C d voor de stroom door C. dt

17 156 Elektrsche crcts I R C C Fgre C aangesloten op een affene weerstand. De ngetekende dynamsche rote s volgens dezelfde beschowngen als n paragraaf s verkregen. 0 t = 0 0 RI O 0 O τ t O RI 0 τ t Fgre Dynamsche rote voor τ > 0 (lnksboven) en bjbehorende (t) en (t). Herna volgt een volledg overzcht van de dynamca voor τ < RI 0 O τ t t = 0 τ O RI 0 t Fgre Dynamsche rote voor τ < 0 (lnksboven) en bjbehorende (t) en (t).

18 13. Eerste orde dynamca Stksgewjs affene weerstand-combnate Als veralgemenserng van de vorge paragraaf wordt de C (of L) n aangesloten op een stkgewjs affene weerstand (fgr 13.32). C L I k O E k R k 1 k-de segment Fgre Dynamsche rote voor τ > 0 s afhankeljk van afsltng met een C of een L. E k s vrteel evenwchtspnt voor de C en I k voor de L. Het k-de segment van de -karakterstek kan naar keze worden voorgesteld door een spannngs- of stroomdoos (ze heronder). R k k E k R k I k Fgre Crct representate van segment k door een spannngsdoos respecteveljk een stroomdoos. Alds gedraagt de toestandsvarabele x = x(t) (de spannng nden een C s aangesloten en de stroom voor een L) zch op het k-segment volgens formle (13.20), ds (13.34) x k (t) x k = (x k0 x k )e (t kt k0 )/τ k Hern worden de dre sletelgrootheden τ, x 0 en x als voorheen gevonden va { R k C 1. τ k = L/R k (13.35) 2. x k0 = startpnt { (gegeven) C open klemmen ( = 0) = E k 3. x k = L kortsltng ( = 0) = I k De pnten E k en I k n fgr heten vrtele evenwchtspnten: zj zoden nderdaad worden berekt als het k-de segment zo doorlopen.

19 158 Elektrsche crcts Voorbeeld 13.2 De tnneldode n onderstaand crct heeft de stksgewjze affene -karakterstek zoals lnksboven n fgr s weergegeven. C Fgre Crct met tnneldode. Voor de capactet geldt de relate = Cd/dt ( en net passend!). Hert volgt dat voor > 0 de moet afnemen en omgekeerd voor < 0 jst moet toenemen. Voor de statonare (evenwchts-) pnten volgt met d/dt = 0 dat zj op de -as moeten lggen ( = 0!). Met dt nzcht knnen we de dynamsche rote aangeven en de statonare pnten (ze fgr lnksboven). Het statonare pnt bj segment 1 s vrteel. Ga na dat voor t dt pnt berekt wordt. Bedenk dat voor segment 1 de tjdconstante τ 1 negatef s! knkpnt τ 1 τ 2 t 0 τ 1 τ 2 bgpnt Fgre Karakterstek van de tnneldode met dynamsche rote en de grafeken (t) en (t).

20 13. Eerste orde dynamca 159 Oefenng 13.1 Ga de constrcte na van de t- en t-grafek vant de - karakterstek. Ga eveneeens na dat het knkpnt respecteveljk het bgpnt n de t- respecteveljk t-grafek wordt berekt na T seconden, met ( ) x1 x (13.36) T = τ 1 ln, x 2 x waarn men voor x de stroom of de spannng kan nemen. Wat s de handgste keze? Voorbeeld 13.3 Een neonbs heeft de stksgewjze affene -karakterstek van fgr lnksboven. C Fgre Crct met neonbs. Op dezelfde wjze als n het vorge voorbeeld knnen we met de relate = Cd/dt bepalen dat voor > 0 de moet afnemen, voor < 0 jst moet toenemen en dat de statonare pnten op de -as lggen. Het startpnt lgt op segment 1 (ze fgr lnksboven). Na verloop van tjd wordt het zogenaamde mpassepnt berekt (ze paragraaf ) en zal de dynamsche rote va een sprong naar segment 2 worden voortgezet, waarna tenslotte n de oorsprong O de bewegng voor t tot rst komt. 1 mpasse pnt sprong 2 0 τ 1 τ 2 t 0 τ 2 τ 1 knk = =contn! t

21 160 Elektrsche crcts Oefenng 13.2 Ga de constrcte na van de t- respecteveljk t-grafek vant de -karakterstek. Geef specale aandacht aan de sprong respecteveljk het knkpnt n de t- rexpecteveljk t-grafek. Waarom treedt er sprong op n de spannng? Relaxate oscllator De weerstand R heeft de stksgewjs affene -karakterstek van fgr mpasse sprong C sprong mpasse Fgre Relaxate oscllator crct met de karakterstek van de weerstand. Er geldt weer dat met de relate = Cd/dt volgt, dat voor > 0 de moet afnemen en voor < 0 dat moet toenemen. Ds er kan alleen langs de stkken 1 en 3 van de -karakterstek bewogen worden en we zen dat er n daardoor twee mpassepnten optreden. In het mpassepnt op segment 1 moet een sprong volgen naar segment 3 en omgekeerd n het mpassepnt op segment 3 moet een sprong volgen naar segment 1. De bewegng de herdoor n het -vlak onstaat, s perodek en de bjbehorende = (t) en = (t) zjn dan ook perodek. I 1 1 perode T 2 I 2 τ 2 τ 1 τ 3 t 3 τ 2 τ 1 τ 3

22 13. Eerste orde dynamca 161 Als de weerstand symmetrsch s, dan geldt voor de tjdconstanten langs de stkken 1 en 3 dat ze aan elkaar geljk zjn, ds knnen we stellen dat τ = τ 1 = τ 3 s. De perode van de trllng wordt ( ) I1 0 (13.37) T = 2τ ln I 2 0 Oefenng 13.3 Ledt vergeljkng (13.37) af Flp-flop Tenslotte bekjken we een veel voorkomend bnar gehegenelement, de flp-flop, met de dynamsche rote van fgr De dynamsche rote bevat dre evenwchtspnten, alle op de -as, waarvan er twee stabel zjn. Het ene stabele evenwchtspnt, bjvoorbeeld op de negateve -as, stellen we geljk aan de logsche 1 en de andere, op de posteve -as, aan de logsche 0. [A] C [V] Fgre Flp-flop crct en de karakterstek van de weerstand met de dynamsche rote. We onderzoeken de overgang van de ene logsche toestand naar de andere. Bekjk eerst de overgang van de 0 naar de 1, ds van de stabele toestand rechts naar de van lnks. Er kan alleen langs de -karakterstek n de aangegeven pjlrchtng bewogen worden. We moeten er ds voor zorgen dat de pjlrchtng op de -karakterstek n het verde kwadrant wordt omgedraad. Dt kan gescheden door het stk t het verde kwadrant op te schven naar het eerste kwadrant. Door gebrk van een trgger-pls stroombron s dt te verwezenljken, ze het crct van fgr en de bjbehorende flppls. Onderstaande vergeljkng legt een en ander vast. { = als j = 0 = j (13.38) = I als j 0 = C d dt. Voor een goede werkng van de overgang van de logsche 0 naar de logsche 1 (flpovergang) moet gelden voor de plshoogte I (13.39) I > I 1

23 162 Elektrsche crcts C j [A] I j FLIP T t τ 2 τ 1 I I I 1 [V] j I 1 I FLOP t Fgre Trgger-pls crct met de flp- en flopgrafek en de -karakterstek n de flptostand (gestppeld). en voor de plsdr T ( ) ( ) I I I1 (13.40) T > τ 1 ln τ 2 ln. I I 1 I Oefenng 13.4 Ga na dat voor een goede werkng van de overgang van de logsche 1 naar de logsche 0 (flop-overgang), weer de vergeljkngen (13.39) en (13.40) te voorschjn komen.

24 VRAAGSTUKKEN 13. Eerste orde dynamca Gegeven: Onderstaand crct. Op t = 0 s bedraagt de ladng op de capactet 10 C. 2 Ω 5F Gevraagd: a. De tjdconstante τ van het crct. b. De spannng (0) over de capactet op t = 0 s. c. Bereken en schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct. Op t = 0 s bedraagt de flx n de ndctvtet 10 Wb. 2 Ω 5H Gevraagd: a. De tjdconstante τ van het crct. b. De stroom (0) door de ndctvtet op t = 0 s. c. Bereken en schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 2 A. 5 Ω 2H Gevraagd:

25 164 Elektrsche crcts a. De tjdconstante τ van het crct. b. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s. c. Schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met (0 ) = 7 V. Op t = 0 s wordt de schakelaar S gesloten. S 2F 5 Ω Gevraagd: a. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met op t = 0 s een spannng over de capactet van = 0 V. 10 V 2kΩ 2kΩ 1 µf Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s. c. Voor welk tjdstp t 1 geldt (t 1 ) = 2 V? 13.6 Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 30 V. 5A 6 Ω 4 Ω 10 Ω 2F Gevraagd:

26 13. Eerste orde dynamca 165 a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 0 V en j = j(t) = 0, 5ε(t) A. j 2 Ω 5F Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 0 A en e = e(t) = 0, 5ε(t) V. e 2S 5H Gevraagd: Bereken (t) voor t > 0 s Gegeven: Toon aan dat de stroom door een ndctvtet contn verloopt, nden de spannng over de ndctvtet begrensd bljft Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 2 A. 1H 1A 1 Ω 1 Ω 1 Ω Gevraagd:

27 166 Elektrsche crcts a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s. c. Bereken het nterval waarn (t) van 0,85 tot 0,75 V daalt Gegeven: Onderstaand crct met C (0) = 5 V. 10 Ω 5 Ω 20 V 10 Ω 0,2F C Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 20 V en e = e(t) als geschetst. e[v] e 10 Ω 10 Ω 2F Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met C (0) = 0 V en j = j(t) als geschetst.

28 13. Eerste orde dynamca 167 j[ma] j 3kΩ 1kΩ 10 µf C t[ms] 2 Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 ms. b. Schets (t) voor t > 0 ms Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 20 A en j = j(t) als geschetst. j[a] j 10 S 10 S 2H Gevraagd: a. Bereken (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct met schakelaar S. De schakelaar S s geopend voor t < 0 en t > 2 s. Hj s gesloten n het nterval 0 < t < 2 s. 12 kω S 12 kω 30 V 3kΩ 250 µf 1 1,6 kω 2

29 168 Elektrsche crcts a. Bereken de spannngen 1 (t) en 2 (t) voor t > 0 s. b. Schets de spannngen 1 (t) en 2 (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct verkeert voor t < 0 s n statonar bedrjf. Op t = 0 s wordt de schakelaar S geopend. Op t = 10 ms wordt hj weer gesloten. S 200 V 300 Ω 4H 100 Ω Gevraagd: a. Bereken de spannng (t) voor t > 0 s. b. Schets de spannng (t) voor t > 0 s. c. Bereken de stroom (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct waarn de eenpoort N energeloos s op t = 0 s. Op t = 0 s wordt de schakelaar S gesloten. S 50 Ω 54 V 400 Ω 100 Ω 2 1 N 100 Ω 100 Ω Gevraagd: a. Het Thévenn eqvalent van de eenpoort de ontstaat door N t het crct weg te laten. b. De dynamsche rote van het crct n het 1 -vlak. c. De dfferentaalvergeljkng voor 1 (t) en (t) n de volgende gevallen:

30 13. Eerste orde dynamca 169 (a) N s een capactet met C = 210 µf. (b) N s een ndctvtet met L = 4 H. d. Bereken 1 (t) voor t > 0 s n de onder vraag c. genoemde gevallen. e. Bereken 2 (t) voor t > 0 s n de onder vraag c. genoemde gevallen Gegeven: Onderstaand crct waarn op t = 0 s de schakelaar S wordt geopend. Voor de stroom door de ndctvtet geldt (0) = 0. 7A 2S S 5H Gevraagd: a. De dynamsche rote van het crct n het -vlak. b. Bereken met tkomst vraag a. de stoom (t) voor t > 0 s n de gevallen: (a) 0 = 5 A (b) 0 = 7 A (c) 0 = 9 A Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 0 V. j(t) 5 Ω 2F Gevraagd: a. De dynamsche rote van het crct n het -vlak. b. De dfferentaalvergeljkng voor (t) n de gevallen: (a) j(t) = 3ε(t) A. (b) j(t) = 3ε(t 2) A. c. Bereken (t) n de onder vraag b. genoemde gevallen.

31 170 Elektrsche crcts Gegeven: Onderstaand crct met R = 2 MΩ en C = 1µF s op t = 0 s energeloos. De schakelaar 3 S wordt op t = 0 s gesloten. R S C 60 V 1 R R 2 Gevraagd: a. Bereken de spannngen 1 (0 ) en 2 (0 ) drect nadat de schakelaar s gesloten. b. Bereken de endwaarden van deze spannngen 1 ( ) en 2 ( ). c. Schets 1 (t) en 2 (t) voor t > 0 s Gegeven: In onderstaand crct wordt de schakelaar S op de even tjdstppen (t = 0, 2, 4,...s) n poste A en op de oneven tjdstppen (t = 1, 3, 5,...s) n poste B geplaatst. A 1V S B 1 Ω 1H Gevraagd: a. Beredeneer dat (t) voor voldoende grote t (t ) een perodek verloop n de tjd zal hebben. b. Ga na dat dan de gemddelde waarde van (t) geljk zal zjn aan 0,5 A. c. Geef eveneens max en mn Gegeven: Onderstaand crct met (0) = 0 V en j(t) = 2, 5cos(3t)ε(t) A. 1 j(t) 2 Ω 8 F

32 13. Eerste orde dynamca 171 a. Bepaal de dfferentaalvergeljkng voor (t) voor t > 0 s. b. Bereken (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaand crct verkeert voor t < 0 s n statonar bedrjf. De bronsterkte s e(t) = 5sn(2t) V. De schakelaar S wordt op t = 0 s gesloten. S e(t) 1 Ω 1 2 F 2 Ω Gevraagd: a. Bereken de spannng (0 ) vlak voor de schakelaar wordt gesloten. b. Geef de dfferentaalvergeljkng voor (t) voor t > 0 s. c. Bereken de spannng (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een capactet C van 1 µf. Op de tjd t = 0 s s de klemspannng geljk aan (0) = 15 V. [ma] 10 1 µf N [V] Gevraagd: a. Bepaal de evenwchtspnten van het crct. Geef aan of ze stabel of nstabel zjn. b. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s. c. Schets (t) en (t) voor t > 0 s.

33 172 Elektrsche crcts Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 1 mh. Op de tjd t = 0 s s de klemstroom geljk aan (0) = 20 ma. [ma] 1mH N [V] 20 Gevraagd: a. Bepaal de evenwchtspnten van het crct m.b.v. de dynamsche rote. Geef aan of ze stabel of nstabel zjn. b. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s. c. Schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een capactet C van 1 µf. Op de tjd t = 0 s s de klemstroom geljk aan (0) = 2 ma. en de klemspannng aan (0) = 2 V. [ma] 1 µf N [V] Gevraagd: a. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s.

34 13. Eerste orde dynamca 173 b. Schets (t) en (t) voor t > 0 s Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 1 mh. [ma] 1mH N [V] Gevraagd: Voor welk berek van de klemstroom (0) vertoont dt crct relaxate trllngen? Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 10 mh. Op de tjd t = 0 s s de klemstroom geljk aan (0) = 15 ma. [ma] mh N [V] 10 Gevraagd: a. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s. b. Schets (t) en (t) voor t > 0 s. c. Bereken de perode T van de reslterende trllng.

35 (a) (0) = 4 ma en (0) = 4 mv 174 Elektrsche crcts Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 0,1 mh. met n sere een spannngsbron e = e(t). Deze bron geeft een pls af zoals geschetst. Bj aanvang van de pls s de klemstroom geljk aan = 10 ma. 0,1mH e[v] e N 5 [ma] Q [V] 10 5 T t[µs] 10 Q 2 Gevraagd: Hoe groot moet de plsdr T mnmaal zjn, opdat het crct na het begn van de pls van evenwchtsstand Q 1 naar evenwchtsstand Q 2 gaat? Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 1 mh. [ma] 1mH N [V] Gevraagd: a. Geef de dynamsche rote van N. b. Bepaal de stabele en nstabele evenwchtspnten van het crct. c. Bezt het crct mpassepnten? Zo ja, bepaal deze. d. Bereken (t) en (t) voor t > 0 s n de gevallen:

36 13. Eerste orde dynamca 175 (b) (0) = 6 ma en (0) = 2,5 mv. e. Beantwoord de vragen a. t/m d. voor het geval dat de ndctvtet s vervangen door een capactet C van 1 2 µf Gegeven: Onderstaande eenpoort N met de geschetste -karakterstek. De eenpoort s aangesloten op een ndctvtet L van 1 H. Op de tjd t = 0 s s de klemstroom geljk aan (0) = 3 A. en de klemspannng aan (0) = 3 V. [A] 1H N [V] Gevraagd: a. Geef de dynamsche rote van N. b. Bepaal de evenwchtspnten en de mpassepnten van het crct. c. Bereken (t) voor t > 0 s. d. Schets (t) voor t > 0 s. Vervolgens wordt de ndctvtet vervangen door een capactet C van 1 F. e. Bepaal de evenwchtspnten en de mpassepnten van het crct. f. Bereken (t) voor t > 0 s. g. Schets (t) voor t > 0 s.

37 176 Elektrsche crcts Gegeven: Onderstaande crcts met elk een deale op-amp met verzadgngsspannng E = 15 V. In het lnker respecteveljk rechter crct s negateve respecteveljk posteve tergkoppelng (Eng: feed-back) toegepast (A) (B) Gevraagd: (a) bereken de net-lneare overdrachtskarakterstek v 2 verss v 1 voor bede crcts. (b) Laat zen dat, althans n theore, bede crcts n het lneare gebed van de op-amp als spannngsvolger fnctoneren. Gegeven: Nettemn bljkt crct B ( posteve tergkoppelng ) n de praktjk net te voldoen ( bljkt nstabel te zjn). Dt wordt ngezen nden de op-amp n zjn lneare gebed door onderstaand, nawkerger model wordt vervangen. Hern s C = 1µ F een parastare capactet, R = 100Ω de nwendge weerstand en A = 10 5 de spannngsversterkngsfactor van de op-amp. We onderzoeken n het dynamsche gedrag van bede crcts, en bepalen de respons v 2 = v 2 (t) op de ngangsspannng v 1 = e = 10ε(t). e 1 R A C op-amp (A) 2 e 1 R A C op-amp (B) 2 Gevraagd: (c) verwjder t de bede crcts de parastare capactet C en geef het Thévenn-eqvalent van de alds ontstane eenpoorten. (d) Breng n bede Thévenn-eqvalenten de parastare capactet weer aan en bereken vervolgens de spannng v 2 = v 2 (t). Neem herbj aan dat de capactet op t = 0 ongeladen s. (e) Ga na dat de tgang n confgrate (A) de ngang, zj het met enge, doch verder te verwaarlozen vertragng volgt, terwjl confgrate (B) vrjwel onmddelljk n verzadgng vastloopt.

38 13. Eerste orde dynamca 177 ANTWOORDEN 13.1 a. τ = 10 s b. (0) = 2 V c. (t) = 2e t/10 (t) = 1e t/10 [V] 2 [A] a. τ = 2,5 s b. (0) = 2 A c. (t) = 4e t/2,5 (t) = 2e t/2,5 [V] 4 [A] 2 2,5 2, a. τ = 0,4 s b. (t) = 10e t/0,4 (t) = 2e t/0,4 c. [A] [A] 0, ,4

39 178 Elektrsche crcts 13.4 a. (t) = 7e t/10 b. (t) = 1,4e t/10 [V] 7 1,4 [A] a. (t) = 5(1 e t ) V met t n ms b. [V] 5 2 t 1 1 t[ms] c. t 1 = ln( 5 3 ) ms 13.6 a. (t) = 1 2e t/10 A b. [V]

40 13. Eerste orde dynamca a. (t) = 1 e t/10 V b. [V] (t) = 1 e t/10 A 13.9 L (t 2 ) L (t 1 ) = 1 L t 2 t 1 max L (τ) L met t 1 τ t 2 t2 t 1 L (τ)dτ L (t 2 ) L (t 1 ) a. (t) = 1 2 (1 e2t/3 ) V b. [V] 1 0,5 1,5 c. nterval (0,535,1,040)s of (0,535,0,535T)s met T = 0,505 s a. (t) = 10 2,5e t/2 V

41 180 Elektrsche crcts a. (t) = 5 15e t/10 voor 0 < t < 5 s (t) = 10 15(1 e 1/2 )e (t5)/10 voor t > 5 s b. [V] a. (t) = 3 4 et/40 voor (0 < t < 50 ms) (t) = 3 4 (3 e5/4 )e (t50)/40 voor (50 < t < 150 ms) (t) = 3 4 {3 (3 e5/4 )e 5/2 }e (t150)/40 voor (t > 150 ms) b. [V]

42 13. Eerste orde dynamca a. (t) = et/10 voor (0 < t < 5 s) (5 ) = e1/2 en (5 ) = (5 ) 3 (t) = 1 {(5 ) 1}e (t5)/10 voor (5 < t < 15 s) (15 ) = 1 {(5 ) 1}e 1 en (15 ) = (15 ) 3 (t) = 1 2 {(15 ) 1 2 }e(t15)/10 voor (t > 15 s) b. [V] 0,

43 182 Elektrsche crcts a. voor 0 < t < 2 s : b. 1 (t) = 10 4e 10t/9 2 (t) = 16 9 e10t/9 op t = 2 geldt 1 (2 ) = 1 (2 ) = 10 4e 20/9 en 2 (2 ) = 0,4(6 1 (2 )) voor t > 2 s : 1 = 6 4(1 e 20/9 )e (t2) en 2 = 1,6(1 e 20/9 )e (t2) 1 [V] 2 [V] ,57 6 0,19 0, , , a. (t) = 150(1 3e 100t ) voor 0 < t < 0,01 s (t) = 0 voor t > 0,01 s b. [V] ,01 t[ms] c. (t) = e100t voor 0 < t < 0, (t0,01)

44 13. Eerste orde dynamca a. 12V 400/3Ω b. 3 = bedenk = 1 c. C: d( 12) dt L: d( 1 0,09) dt 103 ( 12) = ( 1 0,09) = 0 d. L : 1 = 0,09(1e t/τ ) met τ = 0,03 en C : 1 = 0,09e t/τ met τ = 0,028 e. L : 2 = 0,09 0,05e t/τ met τ = 0,03 en C : 2 = 0,04 0,05e t/τ met τ = 0, a. dynamsche rote s: 7 = 2 b. (t) = 7 ( 0 7)e t/ a. = j(t) b. d dt 1 10 = 1 2 j(t) c. (a) = 15(1 e t/10 ) (b) = 15(1 e (t2)/10 ) a. 1 = 2 = 20 V b. 1 = 30 V, 2 = 0 V c. 1 [V] [V] a. b.

45 184 Elektrsche crcts a. d dt 4 = 20cos(3t)ε(t) b. = 16 5 e4t 4cos(3t arctan 3 4 ) a. (t) = cos(2t arctan 2 3 ) en ds volgt (0 ) = (0 ) = 1,5 b. d dt = e c. = 1 2 et 5cos(2t arctan 1 2 ) a. evenwchtspnten op -as en wel stabel n = 10 V, = 5 V en nstabel n = 15 V. b. = 5 10e t voor 0 < t < ln2 ms c. = 15 5e (tln2) voor ln2 < t < 2ln2 ms = 10 15e 3 2 (t2ln2) voor t > 2ln2 ms = 10e t ma voor 0 < t < ln2 ms = 5e (tln2) ma voor ln2 < t < 2ln2 = 10e 3 2 (t2ln2) ma voor t > 2ln2 [V] 15 [A] ln 2 1 ln 2 1 2ln2 ln 2 1 t[ms] ln 2 1 2ln2 2ln2 2/3 t[ms]

46 13. Eerste orde dynamca a. evenwchtspnten lggen op de -as bj: = 20 ma, = 10 ma, = 0 ma, en = 20 ma b. = 10 10e t ma voor 0 < t < ln2 µs c. = 20 5e (tln2) ma voor ln2 < t < 2ln2 µs = 10e (t2ln2) ma voor t > 2ln2 µs = 10e t V voor 0 < t < ln2 µs = 5e (tln2) V voor ln2 < t < 2ln2 µs = 10e (t2ln2) V voor t > 2ln2 µs [V] [A] ln 2 1 ln 2 1 2ln2 2ln21 t[ms] 2ln21 ln 2 1 2ln2 2ln21 t[ms] a. Voor 0 < t < t 1 = ln2 ms en met τ = 1 ms: b. = 4 2e t V = 2e t ma Vervolgens op t = t 1 een sprong van ( = 4, = 0) naar ( = 2, = 0) Verder voor t > t 1 : = 2 2e (tt 1) V = 2e (tt 1) ma [V] [A] ln 2 1 ln 2 1 t[ms] 2 ln 2 1 ln 2 1 t[ms]

47 186 Elektrsche crcts a. Aanloop van = 15 ma en = 23/4 V naar = 10 ma en = 5 V: ds voor 0 < t < t 1 = = e3t/200 ma = 23 4 e3t/200 V ln µs: Voor t 1 < t < t 2 = t ln 5 2 = ln 23 8 : = e3(tt 1)/200 ma = 5e 3(tt 1)/200 V Op t = t 2 een sprong van = 10 ma en = 2 V naar = 10 ma en = 5 V Vervolgens voor t 2 < t < t 3 = t ln 5 2 = t T = e3(tt 2)/200 ma = 5e 3(tt 2)/200 V Op t = t 3 weer een sprong terg = 10 ma en = 2 V naar = 10 ma en = 5 V enz. b. Ze de grafeken van de fgren???bedenk dat de rollen van de en verwsseld zjn. Verder zjn de tjdconstanten anders, ze boven. c. perode T = ln 5 2 µs De pls verschft de dynamsche rote over een afstand van 10 V en zal gaan door ( = 10 V, = 0 ma). Vanaf t = 0 n ( = 10 V, = 10 ma) wordt de dynamsche rote n de rchtng van afnemende doorlopen. Het pnt ( = 10 V, = 0 ma) wordt gepasseerd op t = 0,2ln2 µs. Derhalve s de es: T > 0,2ln2 µs.

48 13. Eerste orde dynamca a. de -karakterstek met > 0 en < 0. b. evenwcht bj = 0 ds op de -as: = 4 ma (stabel), = 0 ma (stabel), en = 26 ma (nstabel) c. = 3 V, = 2 ma d. (a) = 4 8e t/2 ma voor 0 < t < t 1 = 2ln 4 3 µs = 2e (t2ln 4 3 )/5 ma voor t > t 1 = 4e t/2 V voor 0 < t < t 1 = 0,4e (t2ln 4 3 )/5 V voor t > t 1 (b) = 26 20e t/8 ma voor 0 < t < t 1 = 8ln 6 5 µs = 2e (t8ln 6 5 )/5 ma voor t > t 1 = 2,5e t /8 V voor 0 < t < t 1 e. ad. = 0,4e (t8ln 6 5 )/5 V voor t > t 1 (a) de -karakterstek maar n met > 0 en < 0. (b) evenwcht bj = 0 ds op de -as: = 0 (stabel), = 2 (stabel) en = 3.75 (nstabel) (c) geen mpassepnt(en). (d). = 4e t/250 ma voor 0 < t < t 1 = 250ln2 µs = 2 2e t/250 V voor 0 < t < t 1 = 2e (tt 1)/62,5 ma voor t 1 < t < t 2 = t 1 62,5ln5 = 3,75 0,75e (tt 1)/62,5 V voor t 1 < t < t 2 = 10e (tt 2)/100 ma voor t > t 2 = 2e (tt 2)/100 V voor t > t 2. = 6e t/62,5 ma voor 0 < t < t 1 = 62,5ln 5 3 µs = 3,75 1,25e t/62,5 V voor 0 < t < t 1 = 10e (tt 1)/100 ma voor t > t 1 = 2e (tt 1)/100 V voor t > t 1

49 188 Elektrsche crcts a. -karakterstek met > 0 en < 0. b. evenwcht bj = 0 ds op de -as en wel bj = 6 (net stabel) en = 0 (stabel). mpassepnten: geen c. = 6 3e t A voor 0 < t < ln 4 3 s d. = 2e 2(tln 4 3 ) A voor t > ln 4 3 s [A] ln 4 3 ln e. evenwcht op de = 0 ds op de -as en wel bj = 6 (net stabel) en = 0 (stabel). mpassepnt: = 2, = 4 f. = 6 3e t V voor 0 < t < ln 4 3 s g. = 2e (tln 4 3 )/2 V voor t > ln 4 3 s [V] ln 4 3 ln 4 3 2

50 13. Eerste orde dynamca (a) 1 (A) 2 1 (B) 2 lnear gebed v 2 = v 1 mts 15 < v 2 < < v 1 < 15 lnear gebed v 2 = v 1 mts 15 < v 2 < < v 1 < 15 verzadgngsgebed v 2 = 15 mts v 1 v 2 = v 1 15 > 0 v 1 > 15 verzadgngsgebed v 2 = 15 mts v 2 v 1 = 15 v 1 > 0 v 1 < 15 - verzadgngsgebed - verzadgngsgebed analoog als bj verzadgngsgebed analoog als bj verzadgngsgebed v 2 = 15 mts v 1 < 15 v 2 = 15 mts v 1 > 15 De bjbehorende grafeken staan heronder. v 2 [V] v 2 [V] 15 gebed gebed ln. gebed v 1 [V] 15 0 ln. gebed 15 v 1 [V] -gebed gebed (b) Ze a.: steeds s v 2 (t) = v 1 (t) n het lneare gebed. (c) e 1 R A (A) 2 e 1 R A (B) 2

51 190 Elektrsche crcts open klemspannng e T KVL: e R A = 0 = 0! = e A 1 en ds e e T = v 2 = A = 1 1/A e open klemspannng e T KVL: e R A = 0 = 0! = e A 1 en ds e e T = v 2 = A = 1 1/A e kortsltstroom k v 2 = 0 en = k = v 1 v 2 = v 1 = e KVL: e R A = 0 en ds k = = Ae R Thevenn- weerstand R T R T = e T = R k A 1 R A 0! kortsltstroom k Voor t > 0 volgen de onderstaande Thévenn-eqvalenten. v 2 = 0 en = k = v 2 v 1 = v 1 = e KVL: e R A = 0 en ds k = = Ae R Thevenn- weerstand R T R T = e T = R k A 1 R A < 0! 10 R/A 2 10 R/A 2 (d) Met theore t Hoofdstk 13 s drect te schrjven: v 2 v 2 = (v 20 v 2 )e t/τ met τ = RC/A = 10 9, v 20 = 0 en v 2 = 10 (C s open tak!). dan wordt de respons v 2 = 10(1 e t/109 ) v 2 v 2 = (v 20 v 2 )e t/τ met τ = RC/A = 10 9, v 20 = 0 en v 2 = 10 (C s open tak!). dan wordt de respons v 2 = 10(1 e t/109 ) (e) negateve tergkoppelng v 2 = 10(1 e t/109 ) Na t = 5τ dan s v 2 10 = v 1 We zen v 2 volgt v 1 n het lneare gebed vrjwel ogenblkkeljk!. posteve tergkoppelng v 2 = 10(1 e t/109 ) Voor toenemende t gaat v 2, maar v 2 kan net negatever worden dan de verzadgngsspannng 15! De wordt reeds berekt na t 0,92τ!