T. Adams. Druppeldynamiek in turbulente emulsies MEAH 226. Een benadering middels de populatiebalans. Delft, maart 2003

Transcriptie

1 Druppeldynamek n turbulente emulses Een benaderng mddels de populatebalans T. Adams MEAH 6 Delft, maart 003 Subgroep Fyssche Stromngsleer en vakgroep Transportverschjnselen Subfacultet der Technsche Natuurkunde Facultet der Technsche Natuurwetenschappen Technsche Unverstet Delft Afstudeercommsse: Prof.dr.r. F.T.M.Neuwstadt Dr. R.Delfos Dr.r. J.J.Derksen Prof.dr.r. G.Ooms

2 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Samenvattng Een van de productestappen bnnen het bedrjf Corus, het voormalge Hoogovens, s het koudwalsen van staalplakken. Omdat er tjdens dt proces koelng en smerng verest s, wordt er een water-ole emulse op de plak gesproed. In de emulse s het voor de kwaltet van het staaloppervlak van belang dat de druppelgrootteverdelng optmaal s. Deze druppelgrootteverdelng s tot nu toe door ervarng bepaald (grootte-orde 1 mcrometer). Het volume-percentage ole n de emulse s hoogut ongeveer 1%. De druppelgrootteverdelng wordt beïnvloed door zowel stofegenschappen (vscostet, dchthed, etc) als stromngsegenschappen (energedsspate, etc). Er s getracht de druppelgrootteverdelng fyssch te modelleren, met name gercht op druppelgrootteverdelng als functe van de turbulente-ntenstet. Dt s als utgangspunt genomen daar deze groothed een geometre-onafhankeljke groothed s en dus toegepast kan worden op een aaneenschakelng van verschllende geometreën, hetgeen n de ndustre vaak voorkomt. Aan de hand van lteratuuronderzoek zjn modellen en parameters geselecteerd de gebrukt kunnen worden voor een beschrjvng van het samenvloeen en opbreken van oledruppels-n-water n een stromngsveld. Deze modellen zjn ngevoerd n een computer n Fortran90. Het model geeft als utvoer een tjdsafhankeljke druppelgrootteverdelng. In hoeverre s de doelstellng gerealseerd? Door de beperkte varëtet n beschkbare expermentele gegevens heb k mj moeten beperken tot het vergeljken van het model met busstromngen en een plotselnge verwjdng n een bus. Het model s veel breder opgezet door als bass een parameter te kezen de n elke confgurate toepasbaar s. Het model bljkt een redeljke schattng van de verdelngen te kunnen geven. Het s echter gebleken dat het gebruk van slechts 1 waarde voor de energedsspate e te beperkt s. In het resultatenhoofdstuk wordt een ndcate gegeven van het resultaat van het gebruk van een gewogen gemddelde van meerdere verdelngen. Daarbj s goed te zen dat de modelutvoer qua trend en vorm goed overeenkomt met de expermentele data. Het model voorspelt echter grotere druppels, hetgeen kan lggen aan zowel de gekozen evenredghedsconstanten n de opbreek- en samenvloemodellen als het n het model net meenemen van mengng. Tenslotte s het de mate van mengng de bepaalt n hoeverre een druppelgrootteverdelng plaatsafhankeljkhed n een geometre vertoont en dus hoe gedetalleerd een geometre beschouwd moet worden. In appendx C staan de n het model gebrukte formules n een overzcht. 1

3 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Veel gebrukte symbolen D max m Maxmale stabele dameter.56 f - frctefactor.7 F ext kg*m/s Interactekracht.31 h flat m druppelafstand waarbj de druppels net net afplatten.43 h m Afstand tussen de druppels.34 h c m Krtsche flmdkte.55 K b 1/s opbreekfrequente.0 K c m 3 /s coalescentefrequente.6 P - Opbreekkans.4 P c - Samenvloekans.9 Re - Reynoldsgetal.1 t d1 s Dranagetjd tot afplattng.45 t d s Dranagetjd vanaf afplattng.51 u(r)m/s snelhedsverschl over afstand r.14 U m/s bulksnelhed.5 ε m /s 3 Turbulente energe dsspate.5 µ kg/ms Vscostet ρ kg/m 3 dchthed ν m /s knematsche vscostet ρ/µ

4 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Samenvattng Ljst van gebrukte symbolen en eenheden.. 1. Inledng Theore Stromng Turbulente 7.1. De Bepalng van ε 8. Emulses Snelhedsgradënten 10.3 Opbreken Opbreken door vsceuze krachten Opbreken door traaghedskrachten Opbreekfrequente en kans 13.4 Coalescente Botsngsfrequente Coalescentewaarschjnljkhed Interactetjd en kracht Flmdranage De dranagetjd Dranagetjd.4.5. Dranagetjd, Afplattng De Totale dranagetjd Flmbreuk 6.5 De maxmale stabele dameter Het Model De Populatebalans De gedscretseerde populatebalans De vereenvoudgde populatebalans Een analytsche oplossng De Tjdstapgrootte Nauwkeurghed De utvoer Afwjkngen Het Programma Resultaten De statonare stuate Afhankeljkhed van enkele parameters Vergeljkng met expermentele gegevens Concluses en aanbevelngen Lteratuurljst Appendces A. Het Fortran90 programma, de lstng B. Voorbeeld van een nvoerfle C. Overzcht van de n het model gebrukte formules.. 7 3

5 Afstudeerverslag Tjapko Adams 1. 8 maart 003 Inledng De afstudeeropdracht, naar aanledng waarvan dt verslag tot stand s gekomen, komt vanut het bedrjf Corus Group, het voormalge konnkljke Hoogovens NV. Bj Corus s jzererts de grondstof en vormen verschllende soorten staal het endproduct. Het jzererts gaat n de hoogoven en verwordt daar tot ruw jzer (4 tot 4,5% koolstof). Vervolgens wordt er n een converter (grote pan) zuurstof doorheen geblazen om een gedeelte van de koolstof het ruwe jzer ut te branden. Vanaf 1,9% koolstof noemt men het product staal. In dt stadum van het proces s het product nog n de vloebare toestand. Vanut de getpan wordt het staal door mddel van een contnu getproces n plakken gegoten. De daarop volgende stap n het proces s de nmddels afgekoelde plakken weer opgewarmen, waarna deze n de zogeheten warmwalsstraat warm (meer dan 800oC) worden gewalst. Een warme plak kan tot een dkte van 1,5 mllmeter gewalst worden. Voor dunnere banden s het koudwalsen verest om oppervlakten met mnder oneffenheden te verkrjgen. De mnmale dkte de bj het koudwalsproces berekt kan worden s 0,15 mllmeter. Bj het deformeren van staal komt veel warmte vrj. Bj het koudwalsen gebeurt dat n zo een grote mate dat er een flnke koelng nodg s. Hertoe sproet men water op de walsrollen en op de band. Tjdens het deformateproces treden spannngen op tussen de walsrol en de plak. Tenende de levensduur van de walsrol te vergroten en het aantal onvolkomenheden op het staaloppervlak zo veel mogeljk te beperken s het zaak deze spannngen te voorkomen dan wel te mnmalseren. Dt gebeurt mddels een ole. In de vorm van een emulse worden het water en de ole beden op de band en op de walsrollen gesproed. De oledruppels n de emulse zjn van grootte-orde 1 mcrometer. Doelstellng Het doel s een model te maken dat druppelgrootteverdelngen voorspelt, zodang dat deze te gebruken zjn voor de 4

6 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 koudwalsnstallate van Corus. De hoofdparameter s daarbj de turbulente energedsspate. Mddels lteratuuronderzoek zal gezocht worden naar welke egenschappen van de te beschouwen stromng en vloestoffen verder nodg zjn om n zo n model mee te nemen. Is het mogeljk met één gemddelde waarde voor de energedsspate de druppelgrootte te voorspellen? Tevens zal bekeken worden hoe groot de nvloed s de elk der relevante parameters op de utendeljke druppelgrootteverdelng heeft. Daartoe zullen verschllende combnates van bjvoorbeeld oppervlaktespannng, turbulente energedsspate en ntële druppelgrootte beschouwd worden. Het te ontwkkelen model moet later gebrukt kunnen worden n een model dat verschllende aan elkaar gekoppelde stromngsconfgurates tegeljk modelleert, zodat bj vervangng of reparate van onderdelen de specfcates van de neuwe onderdelen voor het model genoeg zjn om de egenschappen van het gehele systeem te bepalen. Het model wordt utendeljk opgezet voor het smeer/ koelsysteem van de koudwals. Methoden Aan de hand van lteratuuronderzoek zjn modellen geselecteerd de gebrukt kunnen worden voor een beschrjvng van het vormen en opbreken van oledruppels-n-water n een stromngsveld. Voor het walsproces s een deeltjesgrootteverdelng emprsch bepaald waarbj de smerng en koelng afdoende goed plaatsvnden. Het programma berekent net zelf de optmale verdelng. Het volumepercentage ole s maxmaal ongeveer 1%. De utvoer van het programma wordt gevormd door een tjdsafhankeljke druppelgrootteverdelng de ontstaat naar aanledng van de verschllende waarden der parameters gegeven n het nvoerbestand van het programma. De utendeljk n het model gebrukte formules zjn n een overzcht weergegeven n appendx C. Butenlandse lteratuur De wetenschappeljke lteratuur over druppelvormng n emulses zjn voornameljk n het Engels geschreven. Een enkel lteratuurstuk s n het Duts of n het Nederlands geschreven. In veel van deze stukken wordt rekenng gehouden met en/of onderzoek gedaan naar de nvloed van oppervlakte acteve stoffen op de druppelvormng. In tegenstellng tot veel andere (vak)termen ljken de verschllende vertalngen van oppervlakte acteve stof totaal net op elkaar. Tenende het lezen van lteratuurstukken te vergemakkeljken worden heronder de verschllende vertalngen van oppervlakte acteve stof gegeven: Oppervlakte acteve stof Nederlands (Engels) > Detergent Duts > Tensde Engels (Nederlands) > Surfactant 5

7 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003. Theore.1 Stromng Het koel/smeersysteem van de koudwals bj Corus, het voormalge Hoogovens, kent slechts turbulente stromngen. Lamnare stromngen zullen dan ook net beschouwd worden. Na enge utleg over de algemene begnselen van turbulente, zal worden ngegaan op de essente van het onderzoek: emulses. Een turbulente stromng s een onregelmatge stromng waarn de verschllende grootheden wllekeurg varëren n tjd en plaats, zodat statstsch verschllende gemddelden onderscheden kunnen worden. (Hnze 1959). Het succes van een pogng tot het beschrjven van een turbulente stromng hangt sterk af van de ngevng voor het doen van de crucale aanname. De kenmerkende egenschappen van turbulente hangen af van de geometre. Vandaar dat de theore achter turbulente net een oplossng zoekt voor allerle soorten stromngen n het algemeen. Onderzoekers beperken zch doorgaans tot stromngen met relatef eenvoudge randvoorwaarden, zoals grenslagen, (vrje) stralen, etc. (Tennekes & Lumley, 197). Tenende verschllende stromngen met elkaar te kunnen vergeljken, s het practsch de stromng te beschrjven met dmenseloze parameters. De parameters van een stromng worden geschaald met karaktersteke waarden bnnen de stromng. In een turbulente stromng kan deze schalng zowel op macronveau als op mcronveau plaatsvnden. Met x* x/l, u* u/u, t* t U/L, p* p/ρu en g* g L/U wordt de dmenseloze Naver-Stokes vergeljkng: u t * * met 1 Re Re * * * * * * * * ( ) u u u p + ρg ρu 0 d µ 0 het Reynoldsgetal. (.1) De eerste term n het rechter ld geeft de vsceuze krachten weer, de tweede term de traaghedskrachten. De aard van de oplossng hangt sterk af van de waarde van het Reynoldsgetal. Het Reynoldsgetal s de verhoudng tussen de traaghedskrachten (ρu ) en de vsceuze krachten (µ*u/l). Dus bj Re >> 1 domneren de traaghedskrachten, bj Re << 1 de vsceuze krachten. Vsceuze krachten spelen bj turbulente stromngen nauweljks een rol zolang de vscostet van de druppel lager s dan de van de contnue fase. (Bj gasbellen s dt zéker het geval.) 6

8 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Er kunnen grofweg dre gevallen onderscheden worden: Re << 1, Re 1 en Re >> 1 waarvan slechts de laatste zjnde relevant beschouwd kan worden bezen n het lcht van deze afstudeeropdracht..1.1 Turbulente We beschouwen de stuate waarn Re >> 1. De traaghedskrachten wegen n dt geval zwaarder dan de vsceuze krachten. De vsceuze krachten kunnen dan ook worden verwaarloosd. Fluctuates n drukveld en snelhedsveld zjn ook mogeljk n de evenwchtstoestand. Wanneer deze fluctuates optreden s de stromng turbulent. Gezen het chaotsch karakter van dt type stromng s het net mogeljk en ook net znvol één bepaalde toestand af te leden ut de vergeljkng. Om dt stromngstype te kunnen beschrjven wordt dan gewerkt met gemddelden en fluctuates van grootheden. Zo kan de snelhed beschreven worden door u U + u, waarn U de gemddelde snelhed voorstelt en u de fluctuate op dat gemddelde. Deze fluctuates ljken wllekeurg te zjn, maar over relatef klene rumte- en tjdsntervallen zjn ze wel aan elkaar gecorreleerd. Deze correlatestructuur wordt een edde genoemd en s te vergeljken met een soort wervel. De hoofdstromng geeft energe aan de grootste wervels, de op hun beurt weer uteenvallen n klenere wervels. Dt s bekend onder de naam cascade-proces. De klenere wervels onttrekken hun energe aan de grotere wervels, net aan de gemddelde stromng. De gemddelde stromng transporteert deze wervels slechts. Bj het cascade-proces gaat de nformate over de macrostructuur verloren. Derhalve zou het net logsch zjn als schaalparameters voor de mcrostructuur zouden afhangen van de macroschalen U en L. De energe van de stromng wordt utendeljk gedsspeerd op mcronveau door vsceuze effecten. Het lgt daarom voor de hand dat de schaalparameters voor de mcroschaal gekarakterseerd worden door de vscostet ν en de energedsspate ε : υ η ε 3 υ τ ε v 1 1 ( υε)4 1 4 (.) (.3) (.4) Deze schalen worden ook wel de Kolmogorov-schalen genoemd. De lengteschaal η s de afmetng van de klenste wervels. Deze schaal verdeelt het gebed van de sotrope turbulente n twee stukken waar respecteveljk de traaghedskrachten en de vsceuze krachten domneren. 7

9 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 De tjdsschaal τ kan gezen worden als de tjdsduur waarover de snelhedsfluctuates nog gecorreleerd zjn. Delen van η door τ geeft de snelhedsschaal v. De energedsspate ε schaalt met de macrostructuur. Deze schalng s vastgelegd n de relate van Kolmogorov: ε U 3 L (.5) hetgeen alvolgt begrepen kan worden: de wervel verlest n een tjdsschaal T L/U zjn energe U. T kan gezen worden als de tjd waarn een wervel opbreekt n klenere wervels..1. De Bepalng van e Voor elke stromngsconfgurate s een gemddelde ε te berekenen en voor een aantal standaardconfgurates (bjv. de busstromng en het geroerde vat) s dat reeds gedaan. In deze paragraaf zullen twee confgurates besproken worden om een dee te geven hoe de bepalng van ε theoretsch n elkaar steekt. Herbj moet utdrukkeljk gemeld worden dat het een gemddelde waarde van ε betreft. Voor een rechte gladde bus wordt de gemddelde waarde van ε berekend met (Karabelas (1978), Warmoeskerken et al. (1987)): 3 U ε f (.6) D Hern s D de busdameter, U de gemddelde snelhed (af te leden ut bjvoorbeeld het volumedebet) en f een frctefactor gedefneerd door: f Re 1/4 (.7) waarn Re het Reynoldsgetal van de contnue fase s. Formule.7 staat beter bekend als de vergeljkng van Blasus. Kube&Gardner (1976) gebruken n deze formule en factor 0,076 pv 0,079 en behaalden goede resultaten mddels het gebruk van deze gemddelde ε. Voor de geroerde vaten geldt n geval van turbulente stromng voor de gemddelde waarde van ε (Vaessen (1996)): 3 5 6K ND ε (.8) π HT K s een constante de van de geometreën van vat en roerder afhangt, N [s -1 ] s het toerental van de roerder, D de dameter van de roerder, H de vloestofhoogte n het vat en T de dameter van het vat. De karaktersteke snelhed n dt systeem s U N*D. Voor het standaard geroerde vat geldt T H 3*D, waardoor ε U 3 ε (.9) D Voor busstromngen bnnen deze afstudeeropdracht bleek de ε van formule.6 echter net te volstaan (ze hoofdstuk 4 Resultaten ) en was het nodg de waarde voor ε n de 8

10 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 logartmsche laag te bepalen. De logartmsche laag s n een busstromng het overgangsgebed van het kerngebed naar het wandgebed (Neuwstadt, 1998). De schalngsparameter s her net meer de bulksnelhed U, maar de wrjvngssnelhed u f. Voor gladde buzen geldt voor de wrjvngssnelhed u f (van der Zande, 000): u f 0,5 f U (.10) Hern n f de frctefactor gedefneerd n formule.7 en U de bulksnelhed. Voor de waarde van ε n het wandgebed geldt nu: u 3 f ε (.11) κy met k de Von Karman constante (ongeveer 0,4) en y de afstand tot de wand. Zoals reeds opgemerkt s formule.15 alleen geldg n het wandgebed (logartmsche laag). Formule.15 s geldg voor 30 < y + < 130 (Van der Zande, 000), met y + de dmenseloze afstand tot de wand, gedefneerd door + ufy y (.1) υ ν s de knematsche vscostet van de contnue fase. Combneren van de formules.10 tot en met.1 geeft de volgende utdrukkng voor de waarde van ε n het wandgebed: 3 3,9 10 ε + y 4 U υ Re (.13) Strct genomen dent voor y + een waarde gekozen te worden vanaf 30. De snelhedsprofelen van de vsceuze sublaag en de logarthmsche laag sluten op elkaar aan op y+ 11 (Neuwstadt, 1998). Voor het model zal formule.13 gebrukt worden voor y Emulses Onder bepaalde voorwaarden kan de theore voor homogene stromngen toegepast worden op emulsestromngen (tweefasen stromngen). 1. In lamnare éénfase-stromngen zjn de voorwaarden dat het beznken / utstjgen van de druppeltjes verwaarloosbaar s ten opzchte van de stromng en dat de druppeltjes zeer klen zjn ten opzchte van de pjpdameter.. In turbulente stromngen s de voorwaarde dat de turbulente van de contnue fase net beïnvloed wordt door de aanwezghed van de druppeltjes. Dt wordt berekt wanneer de druppeltjes dudeljk klener zjn dan de grootste ntegrale turbulenteschaal (Pal & Rhodes (1989)). In mjn model zjn de voornaamste aannames: Er bevnden zch geen detergenten (dt zjn oppervlakteacteve stoffen) n de emulse. Eventuele nvloeden hervan worden n deze beschouwng net meegenomen 9

11 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 De druppels gaan met de stromng mee. Dat wl dus zeggen dat de dchthedsrato ongeveer 1 moet zjn. Pal & Rhodes (1989) tonen nog een crterum wanneer je een emulse mag behandelen als een homogene stromng. Shreekumar et al. (1996) leten de dchthedsrato varëren van 0,8 tot 1, en vonden dat D max daardoor verschoof van % klener naar % groter. De gedspergeerde fase oefent geen nvloed ut op de stromng. De volumefracte moet dus relatef laag zjn, zeg maxmaal 1% (Tjabernga et al.(1993)). Als de stromng turbulent s, dan s deze homogeen turbulent en sotroop (Clft et al.(1978))...1 Snelhedsgradënten Druppels kunnen alleen maar samenvloeen of opbreken als de stromng hen daartoe forceert. In bede gevallen vormen snelhedsverschllen n de stromng over een afstand ter grootte van de dameter van de druppel de drjvende kracht achter het opbreek- en coalescentemechansme. Bj opbreken wordt de druppel vervormd, bj coalesceren worden twee druppels naar elkaar toegedreven door deze snelhedsverschllen. In een turbulente stromng wordt de snelhedsgradënt veroorzaakt door de snelhedsfluctuates u. Voor verschllende typen stromngen geeft de lteratuur (o.a. Vaessen (1996)) verschllende functes u als functe van r, waarbj u(r) het snelhedsverschl voorstelt over een afstand r. Voor r moet een geschkte afstand genomen worden, bjvoorbeeld de dameter van de druppel als het om opbreken gaat. Lamnare afschufstromng: u(r) γ r (.14) Isotrope turbulente, kerngebed 1 3 u(r) 1,37( εr) (.15) De evenredghedsconstante (her 1,37) kent bj verschllende onderzoekers verschllende waarden. Tjabernga et al.(1993) verwjzen herbj naar Hnze (1955), Walstra (1993) zegt dat de evenredghedsconstante grootte-orde 1 s, Rozentsvag (198) geeft als evenredghedsconstante ½ en Shreekumar et al.(1996) verwjzen naar Batchelor (1967) en geven als evenredghedsconstante,7. Kube & Gardner (1977) geven als constante ½ en verwjzen herbj naar Hnze en Kolmogoroff (1949). De evenredghed van u(r) met (ε*r) 1/3 volgt ut een dmenseanalyse. Daar de traaghedskrachten her een domnante rol spelen s de snelhedsgradënt onafhankeljk van een vscostet. Gezen de aannames en veronderstelde stromngsconfgurates wordt slechts formule.15 gebrukt. In het model (ze hoofdstuk 4) zal deze vergeljkng gebrukt worden voor het modelleren van de coalescente. In busstromngen vndt coalescente voornameljk n het kerngebed plaats (Vaessen (1996)). 10

12 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Het opbreken vndt bj busstromngen voornameljk plaats n het wandgebed (Olemans (1996), Clft et al.(1978), Collns & Knudsen (1970)) waar vsceuze krachten weer een rol begnnen te spelen. Voor het modelleren van het opbreekmechansme wordt formule.8 gebrukt (Vaessen (1996)). Inden er sprake s van sotrope turbulente of wanneer het plaatsvnden daarvan aangenomen wordt s deze formule geldg. u(r) ( ε υ) 1 r (.16).3 Opbreken In de lteratuur (o.a. Clft et al.(1978)) worden twee maneren beschreven waarop een druppel kan opbreken. Voor de eerste maner wordt er vanut gegaan dat de druppel gedeformeerd wordt door een snelhedsgradënt over de druppel. De druppel breekt dan op als de deformerende kracht (afschufspannng) groter wordt dan de kracht de de druppel ntact houdt (de oppervlaktespannng). Dt type opbreken wordt verondersteld voornameljk voor te komen n de vsceuze afschufstromngen. Paragraaf.3.1 gaat her verder op n. De tweede maner stelt dat de druppel opbreekt onder nvloed van snelhedsfluctuates n een turbulente stromng. De druppel gaat dan oscllerend vervormen met de bolvorm als evenwchtsvorm, met als gevolg een veranderng n de oppervlakte-energe. Als de knetsche energe, overgedragen door de stromng aan de druppel, groter wordt dan de oppervlakte-energe, zal de druppel opbreken. Paragraaf.3. gaat her verder op n. In het eerste geval wordt de druppel dus opgebroken door vsceuze krachten, n het tweede geval door traaghedskrachten..3.1 Opbreken door vsceuze krachten Het opbreken door vsceuze krachten wordt gevonden n lamnare stromngen en n het vsceuze gebed van een turbulente stromng. Als de snelhedsgradënten groot genoeg zjn s de oppervlaktespannng net langer n staat de druppel heel te houden. Het opbreekcrterum wordt gegeven door het Capllar getal Ω (Tjabernga et al.(1993)). Ω f ( α, λ) µ d γ σ (.17) Dt geeft de verhoudng tussen de vsceuze spannngen µ γ,en de Laplace druk s/d weer. Hern s γ u/ y n lamnare stromngen en γ (ε/ν) ½ n turbulente stromngen (Tjabernga et al.(1993)). De krteke waarde van dt getal hangt nog af van de vscostetsrato λµ d /µ c en de mate van rekstromng bnnen een turbulente wervel (α 0 s een zuvere afschufstromng, α 1 s een rekstromng). De waarde van f(á,λ) kan het beste 11

13 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 gehaald worden ut expermenten van bjvoorbeeld Bentley en Leal (1986) (Tjabernga et al.(1993)). Bj een vscostetsrato groter dan 4 breken de druppels nagenoeg net meer op. Men kan twee maneren onderscheden waarop een druppel onder nvloed van vsceuze krachten kan opbreken: opbreken door snelle deformate ( Ω >> Ω cr ), en opbreken door langzame deformate ( Ω Ω cr ). In het eerste geval wordt de druppel snel utgerekt tot een soort cylndertje en breekt dan op n veel relatef klene stukjes. In het tweede geval vervormt de druppel langzaam va ellpsode tot haltervorm en breekt vervolgens op n twee Fguur.1: Stabltet van druppels als functe van de vscostetsrato geljke delen met daar tussenn msschen een paar hele klene druppeltje. Clft et al.(1978) hebben waargenomen dat druppels voornameljk n twee ongeveer geljke delen opbreken. Fguur.: Opbreken door resp. langzame en snelle deformate (ut Clft et al.(1978)) Deze theore s n het algemeen toepasbaar op vloestofvloestof dsperses. In emulses s echter vaak (al dan net doelbewust) een oppervlakte-acteve stof aanwezg. Deze verklent de oppervlaktespannng, waardoor Ω groter wordt. Het opbreken wordt dan dus gemakkeljker. De oppervlakte-acteve stof draagt er bovenden zorg voor dat recoalescente beperkt bljft. Bj deze beschouwng wordt echter geen rekenng gehouden met de eventuele aanwezghed van een oppervlakteacteve stof. 1

14 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart Opbreken door traaghedskrachten Wanneer er sprake s van opbreken door traaghedskrachten wordt het al dan net opbreken van een druppel bepaald door de verhoudng tussen de traaghedskrachten ~ρu en de Laplacedruk ~σ/d. Deze verhoudng wordt weergegeven door het dmenseloze Weber getal. Effect door de vscostet bnnen de druppel s herbj genegeerd. ρu d We σ (.18) Hern s d de druppeldameter, en u het snelhedsverschl over de afstand zoals deze n formule.15 gegeven s, waardoor het krtsche Weber getal te schrjven s als (Tjabernga et al.(1993)): We CR 3 ρε d σ 5 3 g( κ, λ) (.19) Hern stelt d de krtsche druppeldameter voor. Hoewel de coëffcënt g afhankeljk s van de vscostetsrato lambda en de dchthedsrato kappa, bljkt hun nvloed net heel groot te zjn. Het s gebleken dat voor g de waarde 1 een goede benaderng s voor een groot berek aan lambda- en kappawaarden (Tjabernga et al.(1993)). Als eerste-orde benaderng van de krtsche waarde van het Weber getal kan de waarde 1 genomen worden Opbreekfrequente De opbreekfrequente staat voor het aantal druppels dat per seconde per volume-eenhed opbreekt. Vaessen (1996) noemt dre modellen voor het beschrjven van het opbreekmechansme. Te weten: Snelhedsfluctuates model Versnellngs model Energe model Deze modellen zullen heronder kort toegelcht worden. Het snelhedsfluctuatesmodel gaat ervan ut dat een druppel doorlopend onderhevg s aan allerle snelhedsfluctuates. Sommge van deze fluctuates kunnen de druppel opbreken, andere weer net. De fracte opbrekende druppels wordt verondersteld geljk te zjn aan de fracte wervels de voldoende knetsche energe voor het opbreken kunnen aanleveren. De krtsche snelhed wordt ut de krtsche waarde van het Weber getal afgeled. De opbreekfrequente s dan geljk aan het quotënt van de fracte opbrekende druppels en de opbreektjd. De opbreektjd kan afgeschat worden met t ~ d/ u(d). K b K ε d K σ exp 3 ρε d 5 3 (.0) 13

15 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Het versnellngsmodel s gebaseerd op het fet dat snelhedsfluctuates varëren n grootte. Wanneer de fluctuatesnelhed boven een bepaalde krtsche waarde utkomt zal de druppel opbreken. Er wordt er vanut gegaan dat de snelhedsfluctuates Gausssch verdeeld zjn. K b u(d) u cr exp 1 π d u(d) uc/ o exp u(d) 1 (.1) met U c/o 3* u(d) Volgens het energemodel worden druppels alleen opgebroken door wervels de dezelfde afmetng hebben als de druppel. De bevndngen van Walstra (1993) en Karabelas (1978) ondersteunen dt concept. De druppel breekt dan op n twee geljke delen. De klenere wervels deformeren de druppel slechts en de grotere wervels transporteren de druppel. De opbreekfrequente K b s dan geljk aan het aantal wervels per seconde maal de opbreekeffcëncy van de wervels. De laatste wordt vertaald met de kans dat de knetsche energe van de wervel groter of geljk s aan de extra oppervlakte-energe ten gevolge van opbreken van de druppels. λ vertegenwoordgt het aantal wervels dat per seconde langskomt en kan worden afgeschat met de recproke van de opbreektjd u(d)/d. K met λ u b cr en P(E kn ε λp(e 13 > d 3 > 13 ( 1) 1 E kn, surf E surf ) σ ρd ) erfc ucr σ ± (.) (.3) (.4) Aangenomen wordt dat de snelhedsfluctuates gausssch verdeeld zjn met standaarddevate σ ± u(d). Hern s erfc(x) de complementare errorfuncte, geljk aan 1-erf(x). Ter opfrssng van het geheugen: erfcx π ( ) ( ) 1 erfx e x t dt (.5) Fguur.3 toont de opbreekkans tegen de dameter voor een aantal waarden van epslon. 14

16 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart Opbreekkans (-) Dameter (mu) Fguur.3: De opbreekkans tegen de dameter volgens formule.4 bj 6 verschllende waarden voor e. (r 998 kg/m 3, s 0,04 kg/s ) De waarde van e s, van de onderste ljn tot de bovenste ljn, respecteveljk 5, 10, 0, 50, 100 en 00 m s 3. Mjn keuze gaat ut naar het energemodel daar dt model helder en goed te begrjpen s. Tevens s de turbulente energedsspate het utgangspunt van dt onderzoek waardoor het voor de hand lgt bj het modelleren bnnen dt onderzoek modellen te selecteren de ook een energe als utgangspunt hanteren. Bovenden breken druppels bj dt model op n twee druppels van ongeveer geljke grootte. Deze aanname wordt ondersteund door waarnemngen van Walstra (1993), Karabelas (1978), Clft et al.(1978), Collns & Knudsen (1970), en Slecher (196). Het opbreken vndt doorgaans n het wandgebed plaats (Olemans (1996), Clft et al.(1978), Collns & Knudsen (1970), Slecher (196)). De utendeljk n het model gebrukte formules zjn n een overzcht weergegeven n appendx C..4 Coalescente Het samenvloeen of coalesceren van druppels s n een aantal verschllende stappen onder te verdelen: 1. Twee druppels naderen elkaar (botsen),. er vormt zch een flmlaag tussen de druppels, 3. de flmlaag vloet weg onder nvloed van de tegen elkaar aan drukkende druppels (paragraaf.4.4 Flmdranage ) 4. de flmlaag wordt te dun en breekt. (.4.6 Flmbreuk ) 5. De neuwe druppel heeft zch gevormd. In dt model wordt er vanut gegaan dat er geen wezenljk verschl bestaat tussen de dchthed van de contnue fase en 15

17 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 de van de gedspergeerde fase. Bj lage volumefractes oefent de gedspergeerde fase dan geen/nauweljks nvloed ut op de stromng. Inden er geen dchthedsverschllen zjn s n prncpe elke botsng tussen druppels van elke grootte mogeljk. In geval dat er wel een dchthedsverschl bestaat zullen er meer botsngen voorkomen tussen druppels van ongeljke grootte. Bj nog grotere dchthedsverschllen gaat de zwaartekracht ook een rol n het proces spelen. Een botsng tussen druppels hoeft net noodzakeljkerwjs te leden tot coalescente. Het kost nameljk enge tjd om de flmlaag tussen de druppels af te voeren (dranage tjd). Als de druppels korter dan de tjd tegen elkaar gedrukt worden, vloeen deze dus net samen. De botsngsparameter bestaat daarom ut twee componenten: Het aantal malen (per seconde) dat druppels elkaar tegenkomen (botsngsfrequente) de kans dat ze vervolgens samenvloeen (coalescentewaarschjnljkhed). In formulevorm: K c f c * P c (.6) Bj zeer lage volumefractes ϕ treedt er vaak geen of weng coalescente op. De botsngsfrequente wordt dan zeer laag. De menngen over wat een zeer lage volumefracte nhoudt zjn verdeeld. Olemans (1996) (verwjst naar Slecher, 196) vndt ϕ 0,005 zeer laag. Tjabernga et al.(1993) merkten bj hun expermenten dat er voor ϕ 0,07 geen coalescente meer optreedt. De praktjk zal moeten utwjzen welke waarde van ϕ voor welke opstellng als zeer laag beschouwd mag worden. De lteratuur geeft dus geen antwoord op deze vraag, maar wel een ndcate. Het model kan ook een ndcate verschaffen..4.1 Botsngsfrequente Anders dan bj opbreken wordt n deze secte met botsng een botsng tussen twee druppels bedoeld. Er zjn twee typen botsngen tussen druppels te onderscheden. In het ene geval domneren de vsceuze krachten. Voorwaarde hervoor (Pal & Rhodes (1989)) s dat de afmetngen van de drupppels net groter dan de mcroschaal zjn (her 50 mu), ze formule.. Wanneer her sprake van s s de volgende formule van toepassng (Tjabernga et al.(1993), Vaessen (1996)): f c 8π 15 1 ε υ 1 d 3 (.7) Volgens Vaessen(1996) heeft Taylor(1935) de constante (8π/15) bepaald, volgens Tjabernga et al.(1993) hebben Saffman & Turner(1956) de constante bepaald. Rozentsvag & Pergushev gebruken een soortgeljke formule met geljke afhankeljkheden van de parameters maar een andere constante. 16

18 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 In het andere geval domneren de traaghedskrachten. Deze stuate s van toepassng op druppels de groter zjn dan de mcroschaal. Men kan n deze stuate de volgende formule gebruken (Vaessen (1996)): f c 6,87ε 13 d 73 (.8) Bj het bepalen van deze twee relates s utgegaan van een Gausssche verdelng van de snelhedsfluctuates u..4. Coalescentewaarschjnljkhed Onder nvloed van een constant veronderstelde nteractekracht worden de druppels gedurende een bepaalde tjd tegen elkaar gedrukt. Deze tjd wordt de nteractetjd genoemd (ze paragraaf.4.3). Gedurende deze perode wordt de vloestoflaag tussen de druppels weggedrukt. De druppels vloeen samen als de afstand tussen de druppels de zogeheten krtsche flmdkte berekt (ze paragraaf.4.6 Flmbreuk ). De tjd de nodg s om de krtsche flmdkte te bereken wordt de dranagetjd genoemd (ze paragraaf.4.4 en.4.5) De coalescentewaarschjnljkhed kan berekend worden aan de hand van de verhoudng tussen de dranagetjd en de nteractetjd (Vncker & Moldenaers (1998), Tjabernga et al.(1993), Vaessen (1996)). Tjabernga et al.(1993) refereren herbj nog naar Tavlards & Stamatouds, P P c c t exp d t exp KλΩ 3 R h c (.9) Hern stelt t de nteractetjd voor en t d de dranagetjd. In de paragrafen.4.3 tot en met.4.6 zal dt verder utgewerkt worden. Een wat mnder genuanceerde edoch fyssch correcte aanname s dat P c 0 als t < t d en dat P c 1 als t t d (Vncker & Moldenaers (1998)). Chesters (1991) ontwkkelde een utdrukkng voor t /t d waarn de flmdranage wordt bepaald door de druppelvscostet. Deze formule heeft hetzelfde utgangspunt als formule.9. (.30) Hern s K een constante van ongeveer 0,43, λ de vscostetsrato µ d /µ c, h c de krtsche flmdkte (ze paragraaf.4.6) en Ω het capllargetal, een dmenseloos kental dat de verhoudng tussen de vsceuze krachten op de druppel versus de laplacedruk voorstelt (ze formule.17)..4.3 Interactetjd en kracht Bj botsngen tussen druppels brengt de stromng de druppels naar elkaar toe (externe nteractekracht) en drukt de 17

19 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 druppels gedurende een bepaalde tjd tegen elkaar (nteractetjd). Tjabernga et al.(1993) spreken herbj van een average contacttme. Er wordt aangenomen dat de nteractekracht op de druppels gedurende de nteractetjd mn of meer constant bljft. In het wandgebed wordt voor de nteractekracht een Stokesachtge vergeljkng verkregen (Vncker & Moldenaers (1998), Vaessen (1996)). F ext 6πµ γ R (.31) met γ(ε/υ) 1/ (Vncker & Moldenaers (1998),Tjabernga et al.(1993), Vaessen (1996)). Vncker & Moldenaers (1998) gebruken deze formule ook n een experment waarbj zj ondervonden dat de modellen voor gedeelteljk mobele grensvlakken (ze ook paragraaf.4.5) hun werkeljkhed het beste benaderden. Maar aangezen s waargenomen (Clft et al.(1978)) dat samenvloeen voornameljk n het kerngebed plaatsvndt gaat de voorkeur er naar ut een andere benaderng voor de nteractekracht te gebruken: Een karaktersteke kracht n het butengebed s F~ρu d ; de snelhed waarmee de druppels naar elkaar toe gedreven worden s van de grootteorde van de snelhedsfluctuates (Vaessen (1996)). Dt geeft na nvullen van formule.15: F ext ρ u d ρε 3 d 83 (.3) De nteractetjd kan volgens Vaessen (1996) geschat worden met t d /u(d ) (.33).4.4 Flmdranage In deze secte wordt de dranage tussen druppels van geljke grootte besproken. Het her gebrukte model gaat er vanut dat alleen druppels met geljke dameter kunnen coalesceren. Voor botsngen tussen druppels van ongeljke grootte kan desgewenst gewerkt worden met een equvalente dameter. 1 R eq 1 1 R R (.34) De theore bespreekt druppels met grensvlakken varërend van volledg star tot gemakkeljk vloeend. Als druppels elkaar naderen ondervnden ze op een gegeven moment weerstand van elkaar vanwege het wegpersen van de vloestoflaag ertussen. De flmlaag s nu gevormd en vanaf dt moment wordt de naderngssnelhed bepaald door de snelhed waarmee de flmlaag kan worden afgevoerd. Zodra de flm dunner wordt, bouwt zch een druk op tussen de druppels. Als deze druk de Laplacedruk bnnen de druppel berekt, zullen de druppels bj verdere dranage afplatten. De 18

20 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 straal van het afgeplatte gedeelte kan berekend worden ut de voorwaarde dat de druk n de flm noot groter kan worden dan de Laplacedruk. Hoe groter het afgeplatte gedeelte wordt, hoe langzamer de dranage geschedt. Dat houdt dus n dat een grotere externe nteractekracht bj starre druppeltjes (geen afplattng) ledt tot een snellere dranage, en bj vervormbare druppels ledt tot een grotere afplattng en dus tragere dranage. De dranage van de flmlaag neemt uteraard enge tjd n beslag. De tjd de verstrjkt tussen het moment dat de druppels onder nvloed van elkaars aanwezghed afremmen n de vloestof en het moment dat de flmlaag breekt wordt de dranagetjd genoemd. Deze wordt n de volgende paragraaf besproken..4.5 De dranagetjd Voor het berekenen van de dranagetjd dent eerst de mobltet van het grensvlak beschouwd te worden. Vanut de lteratuur zjn verschllende modellen beschkbaar voor dranagetjden en flmlaagdktes bj grensvlakken varërend van mmobel tot mobel. Voorts s te onderscheden of druppels vervormen of afplatten, dan wel hun bolvorm bljven behouden. Immobele grensvlakken komen vaak voor n stuates met een zeer hoge vscostet van de gedspergeerde fase of n emulses met een detergent n de contnue fase. Er treedt dan geen stromng bnnen de druppel op. Gedeelteljk mobele grensvlakken worden gevonden bj een gematgde vscostetsrato (ongeveer 1) (Vncker & Moldenaers (1998)). Geheel mobele grensvlakken treft men doorgaans aan nden de vscostet van de gedspergeerde fase zeer klen s vergeleken met de vscostet van de contnue fase (bjv. gasbellen). Voor de vormvaste bolvormge druppels met mmobel grensvlak geldt de volgende formule, waarn h de afstand tussen de druppels (de flmdkte) voorstelt. Deze formule veronderstelt een constante externe nteractekracht F. h h 0 e F t 3πµ CR (.35) Afplattng van de druppels, alsmede de mobltet van het grensvlak, spelen een grote rol n het dranageproces. Inden er afplattng optreedt en men aanneemt dat het grensvlak star s kan gebruk gemaakt worden van de Reynolds dranagesnelhed: V 0 h 3 Fext 4 3πµ a (.36) waarn a de straal van de crkel voorstelt de op de druppel onstaat ten gevolge van afplattng van de druppel. De waarde van a s te bepalen door te bedenken dat n het afgeplatte 19

21 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 gedeelte geldt dat de druk n de flm geljk s aan de laplacedruk, dus: σ R F ext ext a πa F R πσ (.37) Voor net-starre druppels bestaat een correctefactor. Door deze snelhed te vergeljken met -dh/dt, waarn h de flmdkte voorstelt, kan een dranagetjd verkregen worden. Voor een vormvaste druppel geldt dan (Chesters, 1991): (d(34)/dt) (.38) Een voorwaarde s dus wel dat er sprake s van een mmobel grensvlak. Afplattng ontstaat doordat de druk de met het dunner worden van de flmlaag tussen de druppels wordt opgebouwd groter wordt dan de Laplace-druk. In zeer klene druppels heerst een grote Laplacedruk. Deze druppels zullen dan ook nauweljks vervormen daar de druk tussen de druppels de Laplacedruk net of nauweljks meer kan overtreffen. Men moet bj het afplatten van druppels bedenken dat de straal van de crkel de ontstaat door afplattng van de druppel toeneemt met toenemende nteractekracht. Wanneer wederom wordt utgegaan van een constante externe nteractekracht, krjgt men met behulp van formule.35 en.36 (Vaessen, 1996): 1 h h t 1 h 0 hf ext 3πµ R 16πσ t 3µ RF C (.39) Bj een grotere externe nteractekracht neemt de straal van het afgeplatte gedeelte toe, waardoor het meer moete kost de flmlaag af te voeren. Dat kost dus ook meer tjd. Dus, hoe tegenstrjdg het ook moge klnken, hoe harder de druppels op elkaar gedrukt worden, hoe trager het dranageproces verloopt! Het dranage proces verloopt ook trager bj grotere druppels daar deze dankzj een lagere Laplacedruk beter vervormbaar zjn en dus sneller afplatten. Een hogere grensvlakspannng zorgt ervoor dat de druppel sterker de bolvorm vasthoudt wat de dranage bespoedgt. Voor andere dan mmobele grensvlakken gelden andere relates. Bj een gedeelteljk mobel grensvlak geldt (Chesters, 1991): 1 h 3 1 πσ h0 R πµ D F t (.40) en bj een geheel mobel grensvlak (Chesters, 1975): h h 0 e σ t 3µ CR (.41) De gedraneerde vloestofstroom wordt herbj net afgeremd door de vloestof n de druppels. Wanneer het dranageproces begnt kan net exact gezegd worden, maar tot nu toe wordt aangenomen dat het 0

22 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 dranageproces s begonnen wanneer de druppels onder nvloed van elkaars aanwezghed afremmen n de stromng. De afstand de zch op dat moment tussen de druppels bevndt s expermenteel net of nauweljks vast te stellen. De afstand h 0 dent dan ook te worden geschat. Afhankeljk van de lokale stromng berekt men dt door de dranagesnelhed dh/dt geljk te stellen aan d*(ε/ν) ½ (paragraaf.3.1) of (ε*d) 1/3 (formule.15) en zo h 0 te bepalen. Janssen (1993) stelt voor het eenvoudger aan te pakken: h 0 R De totale dranagetjd kan worden opgespltst n twee delen: een dranagetjd tot aan het moment dat de druppel begnt af te platten (paragraaf.4.5.1) en een dranagetjd vanaf het moment van afplatten tot het moment van samenvloeen (paragraaf.4.5.). De twee bovengenoemde dranagetjden zjn n de komende paragrafen weergegeven als respecteveljk t d1 en t d. h 0 h h flat h crt t 0 t d1 t d t Fguur.4: Schematsche weergave van het dranageproces. In fguur.4 staat de schematsche weergave van het dranageproces weeregeven. Hern stelt h de afstand tussen de druppels voor. Op tjdstp t 0 begnnen de druppels gedurende tjdsduur t d1 onder nvloed van elkaars aanwezghed af te remmen totdat de druppels afplatten en zch op afstand h flat van elkaar bevnden. Daarna worden gedurende t d de druppels verder naar elkaar gedreven totdat de krtsche flmdkte h crt s berekt en de druppels samenvloeen. De paragrafen tot en met zullen her deper op n gaan. Herbj worden alleen de stuates met mmobele grensvlakken en met gedeelteljk mobele grensvlakken behandeld. 1

23 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart Dranagetjd, eerste gedeelte In eerste nstante wordt de dranagetjd berekend voor de coalescente van druppels met een mmobel grensvlak. Op druppels met een gedeelteljk mobel grensvlak wordt later ngegaan. De formules.35,.39 en.40 zjn als utgangspunt gekozen. De externe nteractekracht F wordt constant verondersteld. Op het tjdstp dat de druppels onder nvloed van elkaar begnnen af te platten geldt dat formule.35 geljk s aan formule.39. De afstand waarbj dat gebeurt s h h flat (flattenng afplatten). Het eerste gedeelte van het dranageproces wordt beschreven door formule.35. Het proces begnt wanneer de druppels onder nvloed van elkaars aanwezghed afremmen n de stromng, stopt bj h h flat en heeft op dat moment t d1 seconden geduurd. Immobele grensvlakken Het dfferentëren naar de tjd van formules.35 en.39 levert respecteveljk h t hf 3πµ R ext en h t ~ 3 8πσ h 3µ R Fext (.4) De overgang van net-afgeplat naar afgeplat wordt gevonden door de formules.4 aan elkaar geljk te stellen. Dt geeft voor respecteveljk mmobele grensvlakken de volgende druppelafstand als resultaat: h flat Fext πσ (.43) Formule.35 vervolgens geljk stellen aan h flat : h flat F t 3πµ CR 0 h e d1 Omschrjven naar: Fext πσ (.44) F 3πµ R C t d1 h ln h flat 0 F ln πσh 0 (.45) levert vervolgens t d1 3πµ CR F πσh ln F 0 (.46) Dt s de tjdsduur de n geval van mmobele grensvlakken benodgd s om de druppels dusdang dcht bj elkaar te krjgen dat zj onder nvloed van elkaar nog net net vervormen. De afstand tussen de druppels s gedurende tjdsduur t d1 afgenomen van h 0 tot h flat.

24 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 h (um) t (ms) Fguur.5: Voorbeeldverloop van de druppelafstand tegen de tjd bj mmobele grensvlakken en nog geen afplattng In fguur.5 staat een voorbeeldverloop van de druppelafstand tegen de tjd. Het betreft her nog net afgeplatte druppels van 100 mu met mmobele grensvlakken bj ε0m s -3 en ϕ0,005. Op t0 s hh 0 100mu. Volgens formule.43 begnnen de druppels af te platten bj een druppelafstand h flat 0,63mu. Deze afstand wordt na T d1 seconden berekt s volgens formule.46 geljk aan 1,5ms. Voor stuates met gedeelteljk mobele grensvlakken s h flat 0,017mu (formule.48) en s T d1,6ms (formule.49). Omdat de flmlaag bj gedeelteljk mobele grensvlakken gemakkeljker s af te voeren dan bj mmobele grensvlakken zullen de druppels pas later en op een klenere afstand afplatten. Zoals herboven te zen s n het getallenvoorbeeld resulteert dt n een grotere T d1 en een klenere h flat. gedeelteljk mobele grensvlakken Het dfferentëren naar de tjd van formules.35 en.40 levert respecteveljk h t hf ext 3πµ R en dh dt πσ R 3 πµ (.47) De overgang van net-afgeplat naar afgeplat wordt n geval van gedeelteljk mobele grensvlakken gevonden door de formules van.47 aan elkaar geljk te stellen. Dt geeft de volgende druppelafstand als resultaat: h d F h flat 3 1 R µ µ d c F πσ 3 Dt nvullen n formule.35 levert vervolgens: t d1 3πµ R C F ln 3h 0 R µ µ c d πσ F 3 (.48) (.49) Dt s de tjdsduur de n geval van gedeelteljk mobele grensvlakken benodgd s. Ook her geldt dat de afstand tussen 3

25 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 de druppels gedurende tjdsduur t d1 s afgenomen van h 0 tot h flat. Vergeljken leert dat td1 voor gedeelteljk mobele grensvlakken groter s dan voor mmobele grensvlakken: de flmlaag s sneller/gemakkeljker af te voeren omdat de grenslaag dat nu mnder sterk tegenwerkt. Herdoor zal zch pas later een druk kunnen opbouwen tussen de druppels waardoor de afplattng dus later optreedt Dranagetjd, tweede gedeelte: Afplattng Het tweede gedeelte van het dranageproces wordt voor mmobele grensvlakken beschreven door formule.39. Het proces begnt bj h h flat en stopt bj h h c (ze paragraaf.4.6 Flmbreuk ). In formule.39 kunnen h en h 0 vervangen worden door respecteveljk h c en h flat en s nu dus te schrjven als: πσ t hc hflat 3µ CR F (.50) Het dranageproces heeft vanaf het moment van afplattng (t d1 ) t d seconden geduurd. Invullen van h c en h flat geeft: 8πσ AR 3 πσ F C 16πσ t 3µ R F d (.51) De tweede term n het lnker ld bljkt, utgaande van karaktersteke waarden van de verschllende grootheden, verwaarloosbaar te zjn ten opzchte van de eerste term n het lnker ld. Vanaf R40mu (bj ε0m s -3 ) s de eerste term rum 50 keer groter dan de tweede term. De dranagetjd van het tweede gedeelte van het dranageproces s nu onder verwaarlozng van de tweede term n het lnker ld te schrjven als: t d 3µ C R F 16πσ 8πσ AR 3 3µ C 4 F R πaσ 3 (.5) De dranagetjd neemt toe met toenemende druppelstraal alsmede met toenemende externe nteractekracht. Dt s alsvolgt te begrjpen: Bj een grotere externe nteractekracht neemt de straal van het afgeplatte gedeelte toe, waardoor het meer moete kost de flmlaag af te voeren. Dat kost dus ook meer tjd. Het dranage proces verloopt ook trager bj grotere druppels daar deze dankzj een lagere Laplacedruk beter vervormbaar zjn en dus sneller afplatten. Dat de dranagetjd toeneemt met afnemende oppervlaktespannng volgt ut het fet dat de Laplacedruk rechtevenredg s met de oppervlaktespannng. In geval van gedeelteljk mobele grensvlakken s formule.40 het utgangspunt. Het volgen van een geljkende procedure als bj mmobele grensvlakken geeft nu: t 13 d µ d π R 4A σ F (.53) 4

26 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 Vncker & Moldenaers (1998) gebruken bj hun onderzoek de volgende formule voor de totale dranagetjd waarbj hj verwjst naar M.Mnale, J.Mews en P.Moldenaars (1997): t d πµ d F 8πσ AR 13 R πσ 3 (.54) h (um) t (ms) Fguur.6: Voorbeeldverloop van de druppelafstand tegen de tjd bj mmobele grensvlakken en afplattng. In fguur.6 staat een voorbeeldverloop van de druppelafstand tegen de tjd. Het betreft her afgeplatte druppels van 100mu met mmobele grensvlakken. Voor de totstandkomng van fguur.6 zjn dezelfde gegevens gebrukt als voor fguur.5. Op t1,5ms s hh flat 0,63mu (ze fguur.5). Volgens formule.55 s de krtsche flmdkte berekt bj een druppelafstand h crt 8,7*10-3 mu. Deze afstand wordt na T d seconden berekt en s volgens formule.5 geljk aan 594ms (valt dus ver buten de grafek). Dudeljk s te zen dat aan het begn van de curve de naderngssnelhed -dh/dt door de afplattng van de druppels sterk afneemt De Totale Dranagetjd De totale dranagetjd s t d t d1 + t d. Voor ε0m s -3 bljkt T d1 voor druppels van 40mu en groter een factor 10 of meer klener te zjn ten opzchte van t d. En wordt derhalve verondersteld vewaarloosbaar te zjn. Voor ε00m s -3 geldt dt al voor druppels van 0mu en groter. In de fguren.4 en.5 s dt ook dudeljk te zen: T d1 s 1,5ms en t d 600ms. De dranagetjd wordt dus voornameljk bepaald door het fet of er wel of geen sprake s van afplattng. De dranagetjd bj de coalescente van druppels kan dus benaderd worden met t d t d (formules.5/.53)). Als er geen sprake s van afplattng (bjvoorbeeld door een klenere externe nteractekracht, een hogere oppervlaktespannng of een klenere druppeldameter) geldt dt uteraard net. De dranagetjd neemt n dat geval just af met toenemende 5

27 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart 003 externe nteractekracht zoals dudeljk zchtbaar s n formule Flmbreuk Geljk stellen van alle drukken en krachten geeft onder verwaarlozng van electrostatsche krachten de krtsche flmdkte (Vaessen, 1996): h (.55) Hern s A de Hamaker-constante en s van een grootte orde 10-0 (Vncker & Moldenaers (1998), Vaessen (1996)). Chesters (1991) berekende (en Vncker&Moldenaers (1998) en Tjabernga et.al (1993) gebrukten) een soortgeljke utdrukkng voor de krteke flmdkte aan de hand van de balans tussen de vanderwaalskrachten en de Laplacedruk: h c c AR 1πσ AR 8πσ (.56) Deze twee krtsche flmdktes verschllen ongeveer een factor 1,14. We laten dt verschl voor wat het s daar het kwaltatef net en kwanttatef nauweljks van nvloed zal zjn voor de utkomsten. Vncker & Moldenaers (1998) vonden dat de krtsche flmdkte enkele tentallen nanometers groot s. In het voorbeeld van fguur.5 s de krtsche flmdkte 8,7 nanometer. In prncpe s nu alles bekend om de samenvloekans (formule.9) te berekenen. Als aanvullng op fguur.3 geeft fguur.7 de samenvloekans voor enkele waarden van de energedsspate. 1.E+00 Samenvloekans (-) en Opbreekkans (-) 1.E-01 1.E-0 1.E-03 1.E-04 e 5, opbreken e 0, opbreken e 50, opbreken e 00, opbreken e 5, samenvloeen e 0, samenvloeen e 50, samenvloeen e 00, samenvloeen 1.E-05 1.E Dameter (mu) Fguur.7: De opbreekkans (formule.4) en de samenvloekans (formule.54) tegen de dameter bj 4 verschllende waarden voor e. (r 998 kg/m 3, s 0,04 kg/s ) 6

28 Afstudeerverslag Tjapko Adams 8 maart De maxmale stabele dameter Bronnen: Olemans (1996), Walstra (1993), Vaessen (1996), Rozentsvag (198), Shreekumar et al.(1996), Slecher (196). De maxmale stabele druppeldameter wordt vaak een karaktersteke parameter voor een emulse bevonden. Inden de turbulente sotroop s kan de stromng vrj eenvoudg gekarakterseerd worden. Er s een spectrum van wervels. Hoe klener de wervels zjn, hoe groter de snelhedsgradënt (u /x) over de wervel. De klenste druppels de nog worden opgebroken doen dat n de logarthmsche sublaag. Wervels de engszns groter zjn dan de Kolmogorovschaal zorgen n hoofdzaak voor het opbreken van druppels. Voor deze wervels geldt dat u (r) evenredg s met (ε*r) 1/3. De wervels veroorzaken een drukverschl over de afstand r van ordegrootte ρ*(u ). Een druppel kan opbreken op zodra deze druk groter wordt dan de Laplacedruk van de druppel, σ/d. Voor emulses met een laagvsceuze gedspergeerde fase resulteert dt alles n een maxmale dameter van een druppels de kan bljven bestaan n een turbulent stromngsveld. d max C ε 5 σ 3 5 ρ 3 5 (.57) Deze utdrukkng wordt veelvuldg gebrukt en de evenredghedsconstante s voor een aantal stromngsconfgurates (geroerd vat, etc) reeds expermenteel bepaald. ε (m /s 3 ) s de energedsspate, σ (kg/s of N/m) de oppervlaktespannng en ρ (kg/m 3 ) de dchthed van de contnue fase. De constante C s ongeveer : Walstra (1993):,3 Vaessen (1996): 1,9 Hnze (1955): 0,75 (couettestromng) Rozentsvag (198): geen utspraak De druppelgrootteverdelng heeft een redeljk constante vorm voor verschllende energedsspates. De formule voor d max s dan ook brukbaar voor gemddelde dameters, bjvoorbeeld d 3, de Sauter Mean dameter. Er moet n dat geval dan wel een andere waarde voor C genomen worden. Voorwaarde voor het gebruk van deze formule s wel dat de recoalescente n de emulse beperkt s en bljft (Walstra (1993)). Volgens formule.57 heeft de vscostet van de contnue fase geen nvloed op de (maxmale) druppeldameter. Dt s globaal genomen nderdaad het geval, maar er zjn utzonderngen waarn enge afhankeljkhed s waargenomen. De gemddelde druppelgrootte neemt meestal ets af bj toenemende vscostet van de contnue fase. Als de vscostet van de gedspergeerde fase toeneemt, neemt de deformatetjd van de druppels daarmee ook toe waardoor het drukverschl, geleverd door de klene wervels, net lang genoeg meer aanhoudt om de druppel op te breken. Dt houdt dus n dat het dan de grotere wervels zjn de de druppels opbreken. Dus bj toenemende vscostet van de gedspergeerde fase worden de druppels gemddeld groter en vertoont de dameter een grotere spredng. 7