Inleiding ART. Algemene Relativiteits Theorie

Transcriptie

1 Inleiding Algemene Relativiteits Theoie Bonnen: Intoduction to Moden Astonomy (Caoll en Ostlie, 1996) The Classical Theoy of Fields (Landau en Lifschitz, 1971) Collegedictaat Algemene Relativiteitstheoie I (van Leeuwen, UVA, 001) Collegedictaat Gavitatie (van Holten, VU, 000) juli 008 mhh-1

2 Ovezicht ART Teugblik op de Speciale Relativiteitstheoie Aangevulde samenvatting theoie te inleiding (tekstdocument) Intuïtieve benadeing ART (ModAs) Deze pesentatie Theoie ART Samenvattend ovezicht (tekstdocument: volgt nog) juli 008 mhh-

3 ART: Einstein (peiode ) In essentie is de ART een meetkundige beschijving hoe de uimtetijd veandet onde invloed van massa Massa bepaalt hoe de uimtetijd komt, de gekomde uimtetijd bepaalt hoe de massa beweegt Wij bekijken hie eest de invloed op uimte en tijd gescheiden, pas late in samenhang juli 008 mhh-3

4 Afbuiging van licht doo de Zon (1) Niets kan snelle dan licht bewegen, licht volgt altijd de snelste weg tussen twee punten De lichtsnelheid is oveal hetzelfde, de gebogen weg wodt waagenomen en blijkt snelle, dus moet: 1) het pad via C lange zijn of ) de tijd langzame lopen langs het pad via C juli 008 mhh-4

5 Afbuiging van licht doo de Zon () Beide opties gelden omdat langs C de uimtetijd mee gekomd is: De tijd loopt langzame en afstanden zijn gote in een gekomde uimtetijd ART is expeimenteel bevestigd: Gavitationele oodveschuiving Afbuiging ond de zon (1919) Daaiïng peihelium Mecuius juli 008 mhh-5

6 Afbuiging van licht doo de Zon (3) juli 008 mhh-6

7 Laboatoium in vije val Equivalentie van zwae en tage massa: op dezelfde plaats ondevinden alle massaobjecten dezelfde vesnelling van de zwaatekacht Zwaatekacht is voo te stellen als een vesnellend efeentiesysteem Maa: vesnellende efeentiestelsels zijn geen inetiaalstelsels juli 008 note mhh-7

8 Lokale Inetiaalsystemen (1) In een vij vallend laboatoium wodt geen valvesnelling geconstateed Hiein kan dus een lokaal efeentiesysteem woden gedefiniëed dat plaatselijk wel als een inetiaalsysteem kan woden beschouwd Het gebied waaove dit kan gelden moet zo klein zijn dat hiein de vesnelling van de zwaatekacht in paktische zin constant is juli 008 mhh-8

9 Lokale Inetiaalsystemen () Einstein s Equivalentie Pincipe (1907): Alle lokale, vijvallende en niet oteende laboatoia ( lokale inetiaalsystemen ) zijn volledig equivalent in de zin van natuukundige expeimenten De consequentie van dit pincipe is dat de SRT geldt in lokale inetiaalsystemen en dat de Loentztansfomaties kunnen woden gebuikt om waanemingen te tansfomeen tussen lokale inetiaalsystemen juli 008 mhh-9

10 Komming van de uimtetijd (1) Gedachtenexpeiment De ondezoeke in het vijvallende laboatoium ziet een lichtpuls (foton) hoizontaal van links naa echts gaan Een ondezoeke op de vaste gond ziet het laboatoium vallen en dezelfde lichtpuls een komme baan volgen juli 008 mhh-10

11 Komming van de uimtetijd () Wij nemen aan dat de hoek BAC klein is; g is de plaatselijke vesnelling van de zwaatekacht Dan is voo de extene, vaste waaneme de komtestaal : c Rc = g en de afbuigingshoek van de lichtstaal: gl l = = Rc c Met g = 9.8 m/s op het aadoppevlak is: 15 Rc = 9. x 10 m = 1.1 x ad / m

12 Komming van de uimtetijd langs de Zon (1) Licht loopt in zwaatekachtsveld doo een seie lokale IS'n langs x-as. gt Pe lokaal IS is de afbuiging: d = dx c Met de tangentiële vesnelling: GM GM 3 g t = cos = cos 0 en x = 0 tan dx = is d = 0 cos dx g0 0 x gt α α d GM cos d c 0 Dus is de afbuigingshoek = G M / G M cos d = c 0 / c 0 juli 008 mhh-1

13 Komming van de uimtetijd langs de Zon () Dit esultaat = G M c 0 levet voo lichtstalen die vlak langs de Zon gaan boogseconden op. De gemeten waade is ongevee het dubbele In de beekening wed alleen de uimtekomming meegenomen Wij missen dus nog iets! Einstein wites to Geoge Hale (Diecto of Mount Wilson Obsevatoy) in He mentions the 0.84'' (GM/Rc) deflection expected fom the Sun.

14 Gavitationele Roodveschuiving (1) In het vallende lab komt monochomatische licht met dezelfde fequentie bovenin aan als waamee het ondein wed uitgezonden (equivalentie pincipe) Gezien vanaf de gond echte: stijgt het licht h in een tijd t=h/c beweegt de mete zich na deze tijd met een snelheid v=gt=gh/c naa beneden en zou deze dus een blauwveschuiving moeten aangeven, maa omdat de mete geen veschil laat zien, moet e een compenseende oodveschuiving zijn opgeteden bij het omhooggaan van het licht tegen de zwaatekacht in (doo de gekomde uimtetijd heen) juli 008 mhh-14

15 Gavitationele Roodveschuiving () GM Het voogaande gold in een voldoend klein lab, waain g= constant mag woden gesteld. Om het effect ove gotee afstanden te bepalen moet e ove een keten van lokale inetiaalsystemen woden geintegeed waamee (met een benadede uitdukking voo ): 0 0 d GM GM = ln d = 0 c 0 c Hiemee zou de oodveschuiving zijn: 0 GM z= = 1 0 c juli mhh-15

16 Gavitationele Tijdvelenging De exacte fomule voo de gavitationele oodveschuiving (zoals late zal blijken) is: 1 / 0 G M z= = 1 1 0c Voo de tijd geldt het omgekeede van de gavitationele oodveschuiving. Op gond van Δt = 1/ν vinden wij: t0 G M = 1 t 0 c 1/ Vegeleken met de tijd in afwezigheid van zwaatekacht loopt de tijd loopt dus langzame naamate de uimtetijd mee gekomd is, dus naamate de zwaatekacht steke aanwezig is. juli 008 mhh-16

17 Voobeeld Witte dweg Siius B: staal R = m massa M = Kg 10 komtestaal Rc = m (dus zelfs hie is Rc heel goot) oodveschuiving z = tijdvetaging: Δt0/Δt = 1 z, dus t0 loopt pe uu ongevee 1 s achte juli 008 mhh-17

18 Intevallen in vlakke uimtetijd (SRT) Gebeutenis ( event ) Weeldlijn weeldlijnen: a) object in ust b) constante beweging c) satelliet om aade Lichtkegel toekomst, veleden (causaliteit) eldes (geen causaliteit) Inteval s = c t x y z tijdachtig lichtachtig uimteachtig juli 008 mhh-18

19 Intevallen in vlakke uimtetijd (SRT) Tijdachtig: s 0 : inetiaal y B efeentiesysteem te kiezen t bewegend op lijn AB, zodat A en B op dezelfde plaats x O A gebeuen. eigen tijd = s / c Ruimteachtig: s 0 : t B inetiaal efeentiesysteem te kiezen bewegend op lijn AB, zodat A en B tegelijketijd O A gebeuen. eigen afstand l = s Deze eigenschappen zijn absoluut onde inetiaaltansfomaties in een tijdachtig inteval is altijd (dt) >(d) in een uimteachtig inteval is altijd (d) > (dt) juli 008 mhh-19

20 Intevallen en Geodeten SRT: tijdachtig inteval Δs=cΔτ is maximaal langs een echte weeldlijn doo een LT naa een geschikt inetiaalstelsel kan deze in de ichting van de tijdas woden gezien) dit is het geval van eenpaige beweging (geen kachtweking) t B s = c t C A ART: iedee weeldlijn is gekomd. Een vijvallend object volgt de meest echte weeldlijn, een geodeet (vgl. eenpaig in SRT) Een tijdachtig inteval Δs is exteem langs zo'n geodeet juli 008 mhh-0

21 Schwazschild metiek (1) Inteval ( metiek ) in bolcoodinaten en vlakke uimtetijd: ds = c dt d l c dt d d sin d Schwazschild metiek in bolcoodinaten en gekomde uimtetijd: ds = c dt 1 G M d l = c G M c dt 1 c d 1 G M c d sin d geldt in de lege uimte buiten een bolvomige massa : staal van een bol ond de oospong, niet de afstand tot O juli 008 mhh-1

22 Schwazschild metiek () De afstand l tot de oospong is altijd gote dan want (bij dt=d =d =0 ): dl = d / 1 G M c De tijd in gekomde uimtetijd loopt langzame dan de tijd ve weg van de kommende massa: ds G M d = = dt 1 c c dichtbij een gote massa loopt de tijd langzame dan ve evan weg het doo een ste uitgezonden licht ondegaat dus oodveschuiving juli 008 mhh-

23 Satelliet in een cicelbaan om een planeet Newton: = G M / Cicelvomige baan met d=d =0 en d = dt : ds = c G M dt Integatie hievan ove 1 omloop levet: / s = 0 c G M dt Minimaliseen: d s =0 levet: d G M =0 juli 008 mhh-3

24 Black holes (1) Michell (1783): ste met staal R = GM/c = 950 M/Mz m heeft een ontsnappingssnelheid gelijk aan c. Neuton ste < 3Mz Schwazschild staal: Rs = GM/c Schwazschild metiek: R ds = c dt 1 s d Rs 1 d sin d bij =Rs is dτ=0, dus dt De tijd bij Rs, gezien vanuit, staat dus stil! juli 008 mhh-4

25 Black holes () 1. Gezien vanuit is voo licht (ds=0) de coodinaatsnelheid : Rs d G M = c 1 =c 1 dt c 1 Light d dt v/c Coodinaatsnelheid in eigen tijd van een in adiële ichting vij vallend object: Rs d dl = = v =c d d juli 008 d d Fame fom infinity d dt / Rs Coodinaatsnelheid van in adiële ichting vallend object gezien vanuit : R dl R d = 1 s =c 1 s dt d Fame fom fame Rs Coodinaatsnelheden van licht en van het vallende systeem, gezien vanuit het vallende systeem en vanuit een systeem in ust in het oneindige (Rs voo een zwat gat van 10 zonsmassa's) Beekeningen bij ModAs Fig mhh-5

26 Black holes (3) Benodigde tijd voo licht van 1 naa : t = 1 d d / dt = 1 R s R s ln c c 1 Rs is als 1 = Rs. Dan beeikt licht > 1 nooit! Rs t Rs time (ms) Event hoizon bij =Rs : van hiebinnen geen infomatie Coodinaat als functie van τ (eigen tijd) en t (in ) juli 008 Coodinaten van een vij vallend systeem, gezien vanuit het vallende systeem en vanuit een systeem in ust op gote afstand (Rs voo een zwat gat van 10 zonsmassa's) Beekeningen bij ModAs Fig mhh-6.5

27 Black holes vije val gezien op afstand Waaneming op heel gote afstand Tijd tussen lichtflitsen wodt steeds lange τ steeds kote dan t tgv gotee komming (ART) coodinaatsnelheid d/dt steeds langzame (ART) steeds gotee snelheid d/dt (SRT) Ontvangen licht kijgt een steeds gotee oodveschuiving Ontvangen licht wodt steeds zwakke (aantal ontvangen fotonen pe seconde neemt af) Bij nadeing Rs woden de lichtflitsen onzichtbaa juli 008. mhh-7

28 Black holes vije val in eigen tijd Waanemingen van astonaut Zendt elke seconde (hologetijd) een lichtflits Mekt aanvankelijk niets van nadeing hole Ondevindt dan ek in adiële ichting en zijdelingse compessie (getijdenkachten het lokale inetiaalsysteem wodt steeds kleine) Ondegaat laatste paa 100 km venietigend effect Valt dan doo de event hoizon van het zwate gat Ontsnapping nu onmogelijk: valt doo naa de singulaiteit (maa kan deze niet zien omdat ook alle fotonen enaatoe vallen) Voo < Rs is de uimtetijd uimteachtig Ziet teugblikkend de geschiedenis van het heelal totaan de event hoizon maa neemt niets mee waa van eldes Ca. 70 μs na Rs in de singulaiteit juli 008 mhh-8