Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Ruimtevaart 16

Transcriptie

1 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 Ruiteaat 7. Inleiding Vookennis Ruiteaat a De baan an een satelliet heeft de o an een ellips (een cikel is een bijzondee ellips). b De wijing is ewaaloosbaa, zodat e geen aandijende kacht nodig is o te blijen bewegen. Als e geen enkele kacht op een satelliet zou weken, zou hij eenpaig in een echte lijn ootbewegen. De zwaatekacht an de aade zogt e oo dat de bewegingsichting an de satelliet ootduend wodt afgebogen. Zodoende olgt de satelliet een elliptische baan ond de aade. c Het gewicht is de kacht die een oowep op het ondesteunende lak uitoefent. Een astonaut in een uitestation oefent geen kacht uit op eentuele aanakingspunten in het station odat hij of zij én het uitestation dezelfde (al)beweging uitoeen. Kacht en beweging a Voo de nettokacht (of esultante) geldt: a Als dezelfde ichting heeft als de beginsnelheid (of als de beginsnelheid nul is): 0: De esnelling a 0 /s dus de snelheid is dan constant (of nul). Het oowep oet dan een eenpaige beweging uit langs een echte lijn. > 0: Het oowep oet een eenpaig esnelde beweging langs een echte lijn uit. < 0: Het oowep oet een eenpaig etaagde beweging langs een echte lijn uit. Als de esulteende kacht ootduend loodecht op de bewegingsichting staat, oet het oowep een eenpaige cikelbeweging uit. Als loodecht staat op de ichting an de beginsnelheid en in diezelfde ichting blijft staan (zoals bij een hoizontale wop), olgt het oowep een paabooloige baan. b s a A s( t) t constant a 0 0 B s( t) a t ( t) a t a > 0 (constant) a C s( t) b t a t ( t) b a t a < 0 (constant) a D s( t) g t ( t) g t a g g Kacht en uiteaat a Ja, de zwaatekacht eoozaakt de kolijnige beweging an de satelliet. Als e geen zwaatekacht was, zou de satelliet in een echte lijn ootbewegen. Hoe hoge de satelliet zich beindt, hoe kleine de zwaatekacht is die op de satelliet wekt. b Ja, een satelliet ondeindt een kleine luchtwijingskacht. Satellieten in een lage baan ond de aade, bijoobeeld op 00 k afstand an het aadoppelak, woden daadoo langzaehand afgeed. Ze allen op den duu teug naa de aade, tenzij de snelheid et behulp an aketotoen op peil wodt gehouden. Satellieten in een hoge baan, bijoobeeld geostationaie satellieten op duizend k hoogte, ondeinden nauwelijks luchtwijing. Hoe ede an het aadoppelak, hoe ijle de atosfee en dus hoe kleine de dichtheid wodt (zie BINAS tabel 0 B). 7. Rechtlijnige bewegingen Kennisagen 5 Het beste is natuulijk dat je het bestudeen an de tekst saen laat gaan et het aken an een scheatische saenatting of begippenkaat. Vegelijk jouw schea et dat an andee leelingen en pobee het zo copleet ogelijk te aken.

2 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 De kachten zijn een goot, aa tegengesteld an ichting. Volgens de dede wet an Newton (actie- en eactiewet) geldt:. Ze oen een kachtenpaa. N.B. Beide kachten bestaan niet onafhankelijk an elkaa en je kun dus niet zeggen welke de actiekacht en welke de eactiekacht is. Je kiest zelf de actiekacht; de andee kacht ag je dan de eactiekacht noeen. Met eeneel echt had je ze andeso kunnen kiezen. 7 z g BINAS tabel : g aade 9,8 /s ; g aan, /s. 9,8 De ehouding is,0., 8 Je kunt de waaden in de tabel beekenen et de foule: g,7 0 N kg (zie BINAS tabel 7), Voo ul je bijoobeeld de assa an de aade aade 5,97 0 kg in (zie BINAS tabel ). En oo ul je in,0 kg. Je kijgt dan de gaitatiekacht op het oowep pe kg. (0 ) g,aade (N) pe kg 0 0,78 ( R aade) 9,80 0,99 5,77 0,00 N.B. In het binnenste an de aade neet de gaitatiekacht eenedig toe et de afstand tot het iddelpunt. Hieonde is afgeleid waao dit zo is: aade oowep g g De assa an het deel an het heellichaa dat binnen de staal alt, bepaalt de gaitatiekacht op de afstand tot het iddelpunt. (Wiskundig is aan te tonen dat het netto effect an de assa buiten de staal nul is.) binnen V ρ π a g ρ π ρ g π ρ c c constant aangenoen dat de dichtheid ρ niet eandet. Hieuit olgt dat g binnen het heellichaa eenedig toeneet et. 9 De gaitatiekacht ( Van de aan-aade: g,zon g,aan g,zon g,aan g ) an de zon-aade kun je schijen als: g,aan zon aade zon aan aade aan zon aan aan aade aan aan zon zon aan aan zon g (N) pe kg 0 aadoppelak g,zon 9 Afgeond: (0 ) zon aade zon g,zon g,aan,7 0 0 g,7 0 N kg (zie BINAS tabel 7); en zijn beide 0,00 kg ( 00 g), 0,0. ( 0,00) g,7 0,7 0 N Afgeond: g,7 0 N 0,0 ( ) z g 0,00 9,8 0,98 N Conclusie: de zwaatekacht is ele alen gote.

3 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 8 aade De gaitatiekacht t.o.. de aade is te schijen als g aade Op het aadoppelak et R ( staal an de aade) is g z ( g ) R Op gotee hoogte neet de gaitatiekacht af (en dus ook de alesnelling). aade aade Als deze % is afgenoen, dan is g 0,99 z 0, 99 R R R Deze egelijking is te eeenoudigen tot: R 0,99 0,99 R,78 0,78 0,0 0 0,99 Hoogte h - R h,0 0 -,78 0, 0 Afgeond: h k 0,99 aan aan z,aan. Daanaast geldt net als op aade: z,aan g aan g aan Raan Raan 0,075 0 M.b.. BINAS (tabel ): g aan,7 0 (,78 0 ), /s Afgeond: g aan, /s Voo de gaitatieesnelling aan het oppelak wodt de waade an, /s opgegeen. De afwijking ten opzichte an de hieboen beekende waade is geing. Bij de boenstaande beekening is de staal bij de eenaa gebuikt. Doo de afplatting ten geolge an de daaiing an de aan is de waade oo de alesnelling bij de eenaa kleine dan bij de polen. Conclusie: De gegeens zijn et elkaa in oeeensteing. a n en : is de kacht (gewicht) an de pesoon op de plank, n an de plank op de pesoon. b n en z : deze zijn een goot en weken op dezelfde pesoon in tegengestelde ichting. c Het oowep staat stil, dus geen netto kacht (of 0). Dus is n z. Odat en n een kachtenpaa oen, is ook n een goot als. n a Zie figuu hienaast. b z, is de zwaatekacht op de an uitgeoefend doo de aade; k is de duwkacht (gewicht) uitgeoefend doo het kind; n is de noaalkacht uitgeoefend doo de plank. c z, g 80 9,8 78,8 N Afgeond: z, 7,8 0 N k z,k k g 0 9,8 9, N Afgeond: k,9 0 N n z, k 78,8 9, 77, N Afgeond: n, kn k 5 A Het wiel oefent een achtewaatse kacht uit op het wegdek en het wegdek oefent een oowaatse kacht uit op het wiel. B Het wiel oefent een oowaatse kacht uit op het wegdek z, en het wegdek oefent een achtewaatse kacht uit op het wiel. C Het wiel oefent weinig (wijings)kacht uit op het wegdek en het wegdek oefent daadoo ook weinig (oowaatse) kacht uit op het wiel. D De schoef oefent een achtewaatse kacht uit op het wate en het wate oefent een oowaatse kacht uit op de schoef. E De staaloto oefent een achtewaatse kacht uit op de lucht en de lucht oefent een oowaatse kacht uit op de staaloto. Δ gas a gas gas a gas et agas Δt Het gas ondegaat pe seconde een snelheidseandeing an 0 tot 5,0 0 /s a gas 5,0 0 /s gas 0 5, N Afgeond: gas 0 kn b De kacht an de aket op de uitgestoten bandstof is 0 kn. Volgens de dede wet an Newton wekt e een een gote kacht op de aket (en tegengesteld an ichting). Vede weken e geen kachten op de aket, dus is de esulteende kacht op de aket 0 kn. 0 0 a a 9,09 /s Afgeond: a 9, /s, 0

4 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 9 Oefenopgaen Caaan a Je weet de esulteende kacht op de auto en de caaan niet apat. Je kent ies de ondelinge kacht tussen auto en caaan niet. Je weet wel de esulteende kacht op de auto et caaan saen. w,5 0 0,t w t a a,0 /s Afgeond: a,0 /s t b Nu je de begin-esnelling kent die zowel de auto als de caaan kijgt, kun je de esulteende kacht op de caaan of auto uitekenen odat de afzondelijke assa's gegeen zijn. Ook nu wee gaan we ean uit de de wijingskachten ewaaloosbaa zijn: w 0 N Deelsystee caaan: t,c,c c a t,c 00,0 0 N Afgeond: t,c 0 N Deelsystee auto:,a - t,c Daanaast geldt ook dat,a a a,a 000,0 00 N 00,5 0 - t,c Ook dit leet op dat t,c 0 N Vachtwagen egeen: zie figuu hienaast. a Aanhangwagen: de snelheid is constant dus,a 0,a w,a, kn Vachtwagen: Ook oo de achtwagen is, kg w,a,. 0 N 5. 0 kg w,,. 0 N constante snelheid 50 k/h,9 /s w w, w,a (,,) 0, 0 N, kn b Nieuw gegeen wodt twee kee zo goot, 7, kn 7,0 N; w, en w,a blijen hetzelfde. esnelling a: Voo de cobinatie achtwagen-et-aanhange geldt: totaal a ( w, w,a) (7,,,)0,0 N totaal (5 0 )0 50 kg, 0, a a 0, /s 5 0 Afgeond: a 0, /s oowaatse tekkacht,a:,a,a w,a a a of, a a a w,a, a 00 0,,0,0 N Afgeond:,a, kn Honkbalwedstijd eaagd: e egeen: b 90 k/h 5 /s; 750 N geduende Δt,50 - s ; 0,5 kg. a b 750 0,5 a 0 0 a a 5,70 /s Afgeond: a 5,7 0 /s a Δ 5,7 0 Δ Δ, /s Δt,5 0 Aangezien de kacht bij een slag tegengesteld geicht is aan de beginsnelheid b, oet je deze snelheidseandeing inullen et een in-teken: Δ e b, e 5 e, 5 9, /s Afgeond: e 0 /s N.B. Het in-teken geeft aan dat de snelheid tegengesteld geicht is t.o.. de beginsnelheid. 5 Apollo-8 a g,a g, a a apollo apollo a a (egelijking ) Vede is de afstand an de aade tot de aan 8, 0 (zie BINAS tabel ). Dus geldt: a 8, 0 (egelijking ) Je hebt nu twee egelijkingen gekegen et twee onbekenden. Die kun je oplossen. w Veolg op olgende bladzijde.

5 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 0 Veolg an opgae 5. Eeste anie: Je kunt egelijking oweken tot 8, 0 a a 8, 0 ( ) a a en inullen in egelijking. Je kijgt dan: BINAS tabel : aan 0,075 0 kg en aade 5,97 0 kg Je kunt deze egelijking oplossen et je gafische ekenachine (zie neenstaande scheafbeeldingen). Duk op Y. en oe de egelijkingen in (zie het linke schepje). Stel de Xin en Xax waade in onde WINDOW. (zie de afbeelding). Voe bij Xax een waade in die zeke gote is dan de afstand an de Apollo tot de aade (hie: E8 00 duizend k). Duk op RAPH.. Eentueel kun je de Y-as instellen et ZOOM. 0:Zooit. oets in nd. [CALC] 5:intesect ENER. ENER. ENER.. Je ziet het esultaat in het sche (zie de afbeelding): op een afstand an,0 0 8 (X) tot de aade is de gaitatiekacht an de aade en de aan een stek. Het is wel logisch dat je dan dichte bij de aan zit dan bij de aade. Afgeond:, 0 8 weede anie: Je kunt ook egelijking oweken tot: a 5,97 0 a a a 8, a 9,0 0,075 0 Als je dit inult in egelijking, kijg je: 9,0 8, 0 0,0 8, 0,8 0 7 a 8, 0 8, 0,8 0 7,0 0 8 Afgeond:, 0 8 Vliegtuigstat egeen: zie figuu hienaast. s a eaagd: esnelling a. 800 e b a Δ a Nieuwe onbekende: t Δt Δt t s < > s t Nieuwe onbekende: < > t < > e b Nee aan dat de beweging eenpaig esneld is: < > < 0 0 > 0 /s t 800 0,0 s a 0,0 /s Afgeond: a,0 /s 0 0,0 b Voo het een wek je olgens dezelfde ethode als hieboen et het eschil dat nu b 0 /s en e 0 /s, tewijl s 00 < 0 0 > 0 /s t 00 0,0 s a 0,0 /s Afgeond: a,0 /s 0 0,0 N.B. Bij deze opgae is de esnelling (of etaging) ook te bepalen.b.. de foule s waabij t s < > b 0 k/h 0 /s??? s 00 a t en < > e espectieelijk < > b Het ekenwek is iets oeilijke.

6 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 Schaatsit egeen: schaatsafstand s 500 ; schaatse: in, s een e /s. De schaatsit oet je opdelen in delen. Nee oo het eeste deel s aan dat de beweging eenpaig esneld is. Voo het tweede deel s is de beweging eenpaig schaatsafstand s s s De eindtijd t t t, t Nieuwe onbekende: t s t. e /s Nieuwe onbekende: s s s s s 500 s Nieuwe onbekende: s Afstand s et eenpaig esnelde beweging en b 0: s < > t Nieuwe onbekende: < > e b < 0 > < > 7,0 /s s 7,0,, s 500, 55,9 55,9 55,9 t t,5 s t,,5 8,8 Afgeond: t 9 s 8 Neutonenste a V bol V π Nieuwe onbekende: V π Dichtheid: ρ V V Nieuwe onbekende: ρ 90% steassa wodt weggeslinged 0% blijft oe. BINAS (tabel C): zon, kg neutonenste 0,0, , kg 9 5,97 0 V 5, ,97 0,5 0 Afgeond: k π b Op het oppelak is n z,n g,n. Rn Daanaast geldt net als op aade: z,n g n g n n Rn 9 5,97 0 g n,7 0, 0 /s Afgeond: g, 0 /s (,5 0 ) 7. Kolijnige bewegingen Kennisagen 9 Pobee na het bestudeen an de tekst wee een scheatische saenatting of begippenkaat an deze paagaaf te aken. Vegelijk jouw schea et dat an andee leelingen en ga na of je het wilt eandeen en/of aanullen. Bespeek het stuctuuschea in de klas en aak het zo copleet ogelijk. 0 De kacht is echt olaag geicht (eticaal) en de beginsnelheid is hoizontaal an ichting. In hoizontale ichting eandet de snelheid niet (als de wijing teninste ewaaloosd ag woden). In eticale ichting oet het oowep een eenpaig esnelde (al)beweging uit. De esulteende snelheid (de optelling an de hoizontale en eticale snelheidsecto) wodt steeds gote en ee eticaal geicht.

7 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat egeen: h 00 ; x 5,0 /s; w,l 0 (ewaaloosbaa). Voo de hoizontale ichting geldt: s x ( t) x t en oo de eticale ichting: sy ( t) g t Met deze foules zijn de enkele waaden te beekenen (zie tabel hieonde). Het tijdstip waaop het oowep de gond aakt is als olgt beekend: s ( g t t y t) t (s) x(t) () y(t) () 0 0,0 0,0,0 5,0,9,0 0,0 9,,0 5,0,,0 0,0 78,5,5, 00 s y ( t) 00,5 s g 9,8 y(t) () x() tegenwind luchtwijing De x-as en de y-as zijn niet : getekend, odat de paabool dan eg sal wodt. Als e spake is an tegenwind is de altijd gelijk (als je de luchtwijing in eticale ichting ag ewaalozen). De baan is geen echte paabool ee. Als e spake is an luchtwijing neen de hoizontale en eticale snelheid af en daadoo neet de altijd toe. De gootte an de wijingskacht bepaalt hoe stek de baan eandet. a De oowepen aken tegelijk de gond. De eenpaig esnelde (al)beweging in eticale ichting is ies hetzelfde. b Het oowep et de gootste snelheid (an 0 /s) heeft in dezelfde (al)tijd de gootste eplaatsing in hoizontale ichting. c s x ( t) x t s ( g t t y t) Eeste oowep: weede oowep: s y ( t) 00,5 s g 9,8 s ( t t 5,0,5, Afgeond: s x x ) x s ( t t 0,5 5, Afgeond: s x 5 x ) x d s x ( t) x t s ( g t y t) t s y ( t) g h g Dit is het tijdstip waaop het oowep de gond aakt. s x ( t) x h g a Het oowep dat an 00 hoogte alt. De oowepen oeen dezelfde eenpaig esnelde albeweging uit. Het eeste oowep aakt dus eede de gond. b De al an het oowep dat an 00 hoogte alt duut lange. Het oowep heeft een gotee altijd en dus ook een gotee eplaatsing in hoizontale ichting. c Eeste oowep: s y ( t) 00 s y ( t) g t t,5 s g 9,8 s x ( t) x t 5,0,5, Afgeond: s x weede oowep: s y ( t) 00 s y ( t) g t t,9 s g 9,8 s ( t t 5,0,9,9 Afgeond: s x x ) x d h s x ( t) x Afleiding: zie aag d. g

8 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat Vlakbij het aadoppelak is de kacht steeds loodecht naa beneden geicht. Bij het allen an de aan staat de kacht steeds loodecht op de bewegingsichting. De snelheid eandet dus wel an ichting, aa niet an gootte. 5 Een oowep oet een eenpaige cikelbeweging uit als de kacht ootduend loodecht op de bewegingsichting staat en de snelheid ootduend de ichting heeft an de aaklijn aan de cikel. De kacht en de snelheid eandeen niet an gootte. De kacht en de snelheid eandeen ootduend an ichting (naelijk loodecht op espectieelijk langs de aaklijn aan de cikel). Baansnelheid: Hoeksnelheid: ω π Deze foules zijn ook te inden in BINAS (tabel 5 A). π ϕ( t) ω t egeens oe de aade zijn te inden in BINAS (tabel ). 0,05 A π,57 0 /s 0 Afgeond:, /s π ω 0,07 ad/s 0 Afgeond: ω 0,0 ad/s,78 0 B π /s 0 0 Afgeond:, 0 /s π ω 7,7 0 5 ad/s 0 0 Afgeond: ω 7,7 0 5 ad/s 0 C π 0 /s 0 0 Afgeond: 0 /s π ω 7,7 0 5 ad/s 0 0 Afgeond: ω 7,7 0 5 ad/s 0,9 0 D π,98 0 /s 5,5 00 Afgeond:,98 0 /s π ω, ad/s 5,5 00 Afgeond: ω, ad/s 7 egeen: c; 0 k/h 5,5 /s. De baansnelheid is gelijk aan de snelheid an de fietse. Afgeond: 5, /s 5,5 ω ω, ad/s 0, Afgeond: ω ad/s f π π π ω 0,8 s ω, f, s Afgeond: f, Hz 0,8 8 A De wijingskacht die het wegdek uitoefent op de banden an de auto. Bij een hellende bocht functioneet (ook) de naa het iddelpunt geichte coponent an de zwaatekacht als iddelpuntzoekende kacht. B De cobinatie an zwaatekacht en noaalkacht. C De cobinatie an spankacht in de kabels an de zweefolen en zwaatekacht op de zweefstoel. D De gaitatiekacht an de aade op de aan.

9 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 9 a De spankacht in het touw is gelijk aan de iddelpuntzoekende kacht.,5, BINAS (tabel 5 A): pz span span, N Afgeond: span N,00 00 c,00 b beek 0 N, /s pz 0 0,0 M Uit pz,7 /s,5 kg 0,55 oent an Afgeond:,7 /s beken c De steen heeft een hoizontale snelheid en olgt de baan an een hoizontale wop. De steen beweegt in de ichting an de aaklijn aan de cikel. 0 egeen: s,0 kg; h 0,0 k 0,0 boen aadoppelak; s,0 u,0 s. s pz Nieuwe onbekenden: s en s s is de baansnelheid langs de cikelbaan: s R aade h BINAS (tabel ): R aade,78 0 s,780 0,0,7780 π,778 0 s 88/s, 0 s π s s Nieuwe onbekenden: s Nieuwe onbekenden: R aade, 0 88 pz 98N Afgeond: pz,0 kn,778 0 N.B. De iddelpuntzoekende kacht wodt geleed doo de gaitatiekacht. M π π M.b.. pz g M En.b..: M π Dit is de dede wet an Keple oo een cikelbaan. Hieuit is af te leiden dat M In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an, en : π ( 8, 0 ) M,05 0 kg Afgeond: M,0 0 kg,7 0 7, 00 ( ) π π (zie eeste egel bij uitweking opg. ) M M In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an en R aan: R aan h,78 0 0,850 0 π (,850 0 ) M 7, 0 kg Afgeond: M 7,7 0 kg,7 0 0,5 0 ( ) Voo een planeet o de zon geldt (zie eeste egel bij uitweking opg. : π a constant a M zon a a Odat het o een ehouding gaat, kun je de tijd in dagen inullen: (,50 ) 87 0,87 0 Afgeond:,9 0 5

10 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 5 egeen: polaie satelliet et s,5 u 9,00 s. h R aade Nieuwe onbekenden: en R aade π M (zie eeste egel bij uitweking opg. ) M π Nieuwe onbekenden: en M In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an, R aade en M aade. ( 9,0 0 ) M π h 9,5 0,78 0,98 0,7 0 π 5,97 0 9,5 0 Afgeond: h,0 0 5 De gaitatiekacht g is naa het iddelpunt an de aade geicht en doet dienst als iddelpuntzoekende kacht pz. Het iddelpunt an een baan loodecht boen Nedeland ligt echte niet in het iddelpunt an de aade aa egens op de aadas. De gaitatiekacht kan dus niet de iddelpuntzoekende kacht leeen die nodig is oo een baan boen Nedeland. a Als de aade 80º gedaaid is, beindt de baan an de satelliet zich wee echt boen hetzelfde punt (an A* naa B*). 0 Na 80º daaien, dus na uu, heeft deze satelliet 8 olopen 90 geaakt. De satelliet beindt zich op dat oent echte wee op pecies hetzelfde punt als eest d.w.z. in positie A dus boen A* aan de andee kant an de aade. Na 0º daaien,dus na uu, beindt de satelliet zich wel wee pecies boen hetzelfde punt d.w.z. na olopen. π π b De hoeksnelheid an de satelliet is: ω, 0 ad/s 90 0 π π De hoeksnelheid an de satelliet is: ω 7,7 0 5 ad/s 0 0 Als de aade zou stilstaan: Dan zou de satelliet een hoek oeten afleggen an ϕ s(t) π (eenheid: ad). Daa doet de satelliet 90 inuten oe. Als de satelliet et de daaiichting an de aade eebeweegt: Dan oet de satelliet niet alleen het ondje (π) afleggen, aa ook nog de doo de aade afgelegde hoek: ϕ s(t) π ϕ a(t) ϕ(t) ω t ω s t π ω a t ω s t ω a t π t π π 5 ω s ωa, 0 7,7 0 5,78 0 s 9, in Afgeond: t 9 in Als de satelliet tegen de daaiichting an de aade in beweegt: Dan oet de satelliet inde dan één ondje (π) afleggen. De doo de aade afgelegde hoek gaat eaf: ϕ s(t) π ϕ a(t) ω s t π ω a t ω s t ω a t π t π π 5 ω s ωa, 0 7,7 0 5,0 0 s 85,0 in Afgeond: t 85 in c Een satelliet die pal oostwaats wodt gelanceed zal toch een gaitatiekacht g ondeinden die naa het iddelpunt M an de aade geicht is. Deze kacht zal als iddelpuntzoekende kacht pz fungeen waadoo de satelliet een cikelbaan gaat beschijen in een 'hellend lak' t.o.. de aade. Deze baan ligt oo de helft boen het zuidelijk halfond. d De plaats an Nedeland is niet uniek. Voo elke plaats waabij een satelliet pal oostwaats (of westwaats) wodt gelanceed geldt hetzelfde als bij aag c. Een satelliet die anuit Nedeland pal noodwaats of zuidwaats zou woden gelanceed, zou een polaie baan kijgen. Ook deze baan ligt oo de helft boen het zuidelijke halfond. En ook als de satelliet in willekeuige ichting wodt gelanceed, zal e een cikelbaan ontstaan et het iddelpunt an de aade als iddelpunt, waadoo ook deze baan oo de helft boen het zuidelijk halfond ligt (zie figuu). satelliet A B A* 80 B* A* A satelliet polaie baan NL b g M NL b

11 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 Bij het neen an de bocht leet de wijingskacht w tussen wegdek en banden de benodigde iddelpuntzoekende kacht pz. Voo deze wijingskacht geldt: w,ax f n Hiebij is n z g De snelheid is eilig als pz w,ax : pz w,ax f g f g Bij een nat wegdek is de axiale wijingskacht kleine odat de wijingscoëfficiënt f daa kleine is. Uit de afgeleide foule olgt daaee ook dat de eilige snelheid dan kleine is. 8 In het hoogste punt an een looping is de esulteende kacht z n. Deze esulteende kacht leet de benodigde iddelpuntzoekende kacht pz o in de 'cikelbaan' te blijen. Hoe gote je snelheid is, hoe ee je in je stoel gedukt wodt en dus hoe gote de noaalkacht n is. Zolang e een noaalkacht n aanwezig is, zit je goed en is pz z. Als de snelheid te klein is, ko je los an de baan en zou je uit je stoel kunnen allen.. De snelheid is iniaal (en daaee de benodigde pz,in) als pz,in z. Dus als in in g g g in g Als de snelheid in in k/h is: in, g Je kunt de gafiek tekenen et je gafische ekenachine (zie de scheafbeeldingen). Met de tace-functie kun je oo eschillende waaden an de staal an de looping de iniale snelheid bepalen. 9 Bij een hellend wegdek staat de zwaatekacht z niet loodecht op het wegdek. Deze is dan te ontbinden in een coponent z,y en z,x (zie figuu hienaast). z,x en w liggen in dezelfde ichting. Optellen leet x z,x w De hoizontale coponent x leet dan de iddelpuntzoekende kacht pz. Deze is gote dan in de situatie an een hoizontaal wegdek, waain alleen de wijingskacht w de pz leet. N.B.: Doodat de coponent z,y wat kleine is dan z zal ook de noaalkacht n wat kleine zijn. Dit betekent dat w,ax f n ( f g) ook wat kleine zal zijn. Dit nadeel weegt echte niet op tegen het oodeel. x,h x w z,x z z,y Oefenopgaen 5 De aan egeen: cikeloige baan an aan et,0 k/s,00 /s. en 8,0 k; 7,50 kg. a Eenpaige beweging (constante baansnelheid): s s Nieuwe onbekende: s t s is otek an cikelbaan: s π Nieuwe onbekende: BINAS (tabel ): 8,0 s π 8, ,8 0 s 7,dagen Afgeond: 7, dagen,0 0 N.B. BINAS geeft in tabel als antwood 7, d. b Eeste anie: aan aade g,aan In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an, aan en aade. g,aan aan ( 8, 0 ) 0, ,97 0,7 0, N Afgeond: g,aan, N weede anie: (,0 0 ),990 0 N 0, pz pz 8, 0 Conclusie: De uitkosten koen oeeen. Afgeond: pz,990 0 N 99 EN (N.B. E exa 0 8 zie BINAS tabel )

12 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 5 Supeslag Als de luchtwijing te ewaalozen is aan het aadoppelak zou pz g zijn: a a a In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an, a en a. We neen hiebij aan dat de baanstaal an het oowep dezelfde is als aade.,7 0 5,97 0 7,9 0 /s Afgeond: 7,9 0 /s,78 0 Dit is de snelheid die je te hoogte an het aadoppelak nodig hebt. Dit is dus indedaad ongeee 8 k/s. 55 Manen an Jupite Voo de satellieten (anen) o een planeet geldt (zie ook eeste egel bij uitweking opg. ): π constant (ook wel de dede wet an Keple genoed). M planeet Dit kun je contoleen oo de anen an Jupite: Io:,77,0 0,0 Euopa:,55 9, 0,0 7,5,7 anyedes: 0,0 Callisto: 0,0 5, 7,0 De waaneingen zijn in oeeensteing et de dede wet an Keple. 5 Auto in de bocht egeen: 850 kg; 50 k/h,9 /s; w,ax 7, kn 7,0 N. a iguu is weegegeen et schaal : 500 d.w.z. c op papie is 500 c 5 in wekelijkheid. Als je een cikel pobeet te tekenen doo het deel an de bocht dan blijk je een cikel te kijgen et een staal an ongeee,0 c. Dus in wekelijkheid heeft de auto op dat wegdeel een cikelbeweging et staal,0 5 5,0 b 850,9 pz pz,85 0 N Afgeond: pz kn 5,0 c De wijingskacht tussen wegdek en banden doet dienst als iddelpuntzoekende kacht. Volgens de gegeens is w,ax 7, kn pz,ax 7, kn d pz als de snelheid toeneet, wodt de benodigde pz ook gote. Op een bepaald oent geldt pz > w,ax.: e is ee kacht nodig dan e feitelijk doo de wijingskacht geleed kan woden. De auto blijft dan niet in de cikelbaan an het wegdek aa schiet doo naa een cikelbaan et gotee staal d.w.z. hij liegt uit de bocht. e De auto kot eilig doo de bocht als pz w,ax 850 7, 0 5,0 5,0 7, 0 850, /s w,ax Afgeond:,5 /s k/h 57 Boogschieten egeens zie figuu hienaast. a De hoizontale snelheid wodt gekegen doodat de boog geduende kote tijd een kacht op de pijl uitoefend. Als we eentuele wijingskachten daabij ewaalozen geldt:. x 0 M.b.. a en Δ a Δt Δt is dit eband ook te schijen als 0,5 kg x?,70 Δt x 0,0 M,50? Veolg op olgende bladzijde.

13 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 8 Veolg an opgae 57. Aangezien niet constant is oet je gebuik aken an het diaga: ' Δt ' is bepalen.b.. de oppelakteethode toegepast op de gafiek oppelak x Het oppelak is te benadeen et een diehoek (zie figuu). oppelak 0 5 0,5 oppelak,5 x 0 /s Afgeond: x 0 /s 0,5 b De oos beindt zich 0 c lage dan het punt an wegschieten. s y(t) is de eticale afstand die de pijl daalt. s ( t g t Nieuwe onbekende: t y ) s x ( t) 0,0 s x ( t) x t t 0,08 s 0 x s y ( t) g t 9,8 0, 08 0, De pijl kot dus, 0, c onde de oos teecht. 58 Raijn egeen: hoogteeschil s y, ; oebugging s x 0. eaagd: x s x t) s x ( t) x t ( x Nieuwe onbekende: t t s ( g t t y t) s y ( t), 0,5 s g 9,8 Afgeond:, c onde de oos s x ( t) 0 x 5, /s 55,0 k/h Afgeond: x 55 k/h t 0,5 59 Obseatiesatelliet egeen: Spot- heeft cikelbaan et uu, 9 in. en s 598 s. Ateis heeft geostationaie baan uu 8, 0 s. a h R (R staal an de aade) π (afleiding zie eeste egel bij uitweking opg. ) M In BINAS (tabel 7 en ) ind je de waaden an, M en R. M π 598,7 0 5,97 0 7,8 0 π h R 7,8 0,78 0 0,79 0 Afgeond: h 7,7 0 5 b Een geostationaie satelliet daait in uu een ondje o de aade. π π ωa 7,7 0 5 ad/s Afgeond: ω A 7,7 0 5 ad/s A 8, 0 c De Spot- heeft zicht op aadstation P in het baanstuk tussen de stippen boen en onde P (zie ondestaande figuu). E passen ongeee 7,7 an die baanstukken in de hele cikelbaan an de Spot- (zie de stippellijntjes). Eén oloop duut 598 s. 598 De Spot- kan dus 777 s inuten diect et aadstation P couniceen. 7,7 N.B. Hiebij is geen ekening gehouden et an de aade! d Zie ondestaande figuu: teken anuit Ateis twee aaklijnen aan de bolling an de aade. Je ziet dat dat Spot- nu ee dan de helft an zijn olooptijd ia Ateis et P kan couniceen.

14 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 9 0 De dede wet an Keple a Volgens de gaitatietheoie leet de gaitatiekacht de iddelpuntzoekende kacht die nodig is o een planeet o de zon te laten daaien of een satelliet o de aade. pz g M Hiebij is M de assa in het iddelpunt en de assa die ondcikelt. Baansnelheide π Vul deze uitdukking oo de baansnelheid in de oige egelijking in. π M M π π M De waade an is dus alleen afhankelijk an de assa M die in het centu staat waabij M M z oo een planeet o de zon en M M p oo een satelliet o een planeet. a b egeen: (kotste) afstand tussen aade V en Venus is s, 0 0. a V zon eaagd: a a a BINAS (tabel ): a 5,5 d en V,7 d. s, 0 0 Nog onbekend: Uit figuu: a, 0 0 a, 0 0 Inullen in de eeste egelijking leet: a a ( ) 0 a, 0 5,5,7 a ( ) 0 a, 0 Je hoeft a en niet o te ekenen, als je ze beide aa in dezelfde eenheid inult (de eenheid an tijd alt weg). Eeste anie: Je kunt deze egelijking oplossen et je gafische ekenachine (zie boenstaande scheafbeeldingen). Duk op Y. en oe de egelijkingen in (zie het linke schepje). Stel de Xin en Xax waade in onde WINDOW. (zie de afbeelding). Voe bij Xax een waade in die zeke gote is dan de afstand an de aade tot de zon (hie: iljoen k). Je weet ies dat de afstand an de aade tot de zon ongeee 50 iljoen kiloete bedaagt. Duk op RAPH.. Eentueel kun je de Y-as instellen et ZOOM. 0:Zooit. oets in nd. [CALC] 5:intesect ENER. ENER. ENER.. Je ziet het esultaat in het sche (zie de afbeelding): de aade staat op een afstand an a,8 0 (X) tot de zon. Afgeond: a,5 0 weede anie: 5,5,7 a a, 0 0 ( ) 0 a,8 a,8, 0 5,5 0 (, ) 0, (, ) a a 0,7 a a 0 (,8 ) a,8, 0 0,8, 0 a,8 0 Afgeond: a,5 0 0,8 π π π 0,8 0 c M M,7 0 ( 5,5 00), kg Dit kot edelijk oeeen et de waade in BINAS tabel : M zon, kg. ( ) d egeen: Io et, 0 8 en,5 uu,5 0 5 s. 8 π π π (, 0 ) M M,7 0 5 (,5 0 ), kg Dit kot oeeen et de waade in BINAS tabel : M Jupite kg, kg Veolg zie olgende bladzijde. 0

15 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 0 Veolg an aag 0. e De assa an een heellichaa is te bepalen doo de baanstaal en olooptijd te an een satelliet te bepalen en in te ullen in de dede wet an Keple: M π M π. f E is nog geen satelliet (aan) an Pluto geonden, waaan de baanstaal en olooptijd bepaald zijn. N.B. Sinds augustus 00 is Pluto geen planeet ee! Aadotatie a π In BINAS (tabel ):, ,78 π /s, 0 /s b pz 0,78 0,0 N Afgeond: pz,0 N c pz z n n z pz 0 9,8,0 587 N Afgeond: n 5,9 0 N d Ja, want,0 N is slechts 0,% an 587 N. Het eschil tussen de noaalkacht en de zwaatekacht is dus iniaal. e De benodigde iddelpuntzoekende kacht zou gote zijn. n z pz de noaalkacht zou dan dus kleine zijn. π π Nieuwe onbekende: z pz g 0,78,8 9 g 790 /s 790 0,78 π 50 s, uu Afgeond:, uu Dubbelste a π ; π ; ( ) g b pz, g pz, pz, pz, Inullen π en π π π Vede is Uit Als gote is dan is dus kleine dan. c Voo ste geldt: g pz, ( ) ( ) π ( ) π () Op dezelfde anie kun je afleiden dat oo ste geldt: ( ) π () el egelijking () en () bij elkaa op. Bedenk dat ( ) ( ) π π ( ) ( ) π ( ) ( ) π Veolg op olgende bladzijde.

16 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat Veolg an opgae. ( ) ( ) d E geldt: ( ) π en π Nieuwe onbekenden: en π π π π,8 0,5 0 π 9,9 0 π ( ) π ((,9,) 0 ),7 0,5 0 0 kg () 9 (,5 0 ), 0,5 0 π,5 0 0 kg 9, 0, eens geldt: 0, 79,9 0,97 () Vul egelijking () in in egelijking (): 0 0,79,5 0 0,5 0,0 0 0 kg Afgeond:,0 0 0 kg,79 0, 79 0,79,0 0 0,5 0 0 kg Afgeond:,5 0 0 kg Satelliettelefoon a Een hanteebae handtelefoon heeft aa weinig zendeogen. De afstand tot de satelliet oet dus niet te goot zijn. Daao beinden de satellieten zich in een lage baan. Je hebt eel satellieten nodig, odat de satellieten in een lage baan slechts een klein deel an het aadoppelak bestijken. N.B.: Als de satelliet zich eg laag boen de hoizon beindt, heb je boendien een gote kans op stoingen in de ontangst ten geolge an obstakels en atosfeische stoingen. Daao zal en oo een nog gote aantal kiezen waabij het ontangstgebied elkaa wat oelapt. b π M (afleiding zie eeste egel bij uitweking opg. ) a h In BINAS (tabel ): a,78 0, ,078 0 ( 7,078 0 ) π 595 s,7 0 5,97 0 E beinden zich satellieten in elke polaie cikelbaan. satelliet S aade π M 595 E kot dus elke 987,5 s (, inuut) een satelliet oe. 00 Pe dag kot 87,5 kee een satelliet oe. Afgeond: 87,5 kee 787,5 Veolg op olgende bladzijde.

17 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat Veolg an opgae. c Een satelliet op gotee hoogte heeft een gote ontangstgebied (zie fig. a) Als het ontangstgebied x kee zo goot is, dan zal het aantal satellieten x kee zo klein kunnen zijn. figuu a De oppelakte an een cikel π figuu b satelliet S De oppelakte an een bolcikel is ook oppelakte eenedig et de staal in het kwadaat. satelliet S satelliet iguu b geeft een dwasdoosnede te zien satelliet an het ontangstgebied et staal en het gebied et staal A. M A Het aakpunt A ontstaat doo anuit oppelakte de satelliet een aaklijn te tekenen aan R h de aadbol. Wiskundig gezien staat R zo'n aaklijn altijd loodecht op de staal R an de aade. M In figuu c is de diehoek satelliet S - iddelpunt aade M - aakpunt A nog eens oegetekend. De staal an het ontangstgebied is de loodlijn AB anuit A figuu c op de lijn SM. Zowel bij A als bij B ontstaat een echte hoek. A Stel lijn AS a. Wiskundig is dan op te eken dat a R (R h) de oppelakte SMA. R a a R Dus. Vede is olgens Pythagoas a ( R h) R. R h egeens: R,78 0 ; h 0,700 0 en h,00 0. S B R h In de tabel an figuu d zijn de eschillende figuu d waaden weegegeen. h ( 0 ) a ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ), Hieuit blijkt dat, 7 en dus 0,700,07,77 7,5 7,5,00,5,5, het aantal benodigde satellieten 7, 9 D.w.z. 8 satellieten.,7 N.B. Dus ogelijk beat het gegeen getal '8' een typfout en oet het 8 zijn! M Vloeibae telescoopspiegel egeen: kwik 0 kg, 0 C; A,8, laag oeal een dik. V a Volue V d A d Nieuwe onbekende: V A ρ (zie ook BINAS tabel 5) V Nieuwe onbekende: ρ kwik V ρ (BINAS tabel 8 of ): ρ kwik,5 0 kg/ V 0 d A ρ A,5 0 0,00509 Afgeond: d 5,,8 b De iddelpuntzoekende kacht is het esultaat an de zwaatekacht en de noaalkacht. Kop aan staat leggen is het akkelijkste: Als je de zwaatekachtecto zo eplaatst α dat de kop wijst naa de kop an z de esulteende kacht ( pz), dan oet de noaalkacht naa de staat an de zwaatekacht wijzen. Je kunt ook een paallelloga constueen. De noaalkacht oet loodecht op het oppelak staan. Dat klopt wel in de tekening. n α Veolg op olgende bladzijde.

18 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat Veolg an opgae. c ω ω Nieuwe onbekende: pz tanα pz z tan α z g tanα g tan α 0 tanα pz Meet de gootte an de kachten op in de tekening. z 0 9,8,, /s, ω, ad/s (0, toeen pe seconde) Afgeond: ω, ad/s, 5 Vliegsnelheid egeen:,50 kg; 500 ; d aakt hoek an 0 et hoizontaal lak. a O op dezelfde hoogte te blijen oet de nettokacht in de eticale ichting 0 zijn d.w.z. d,y z d d,y Ontbinden an d in een etikale coponent d,y en M 0 o d,y een hoizontale coponent d,x leet op: d sin0 d,x z g,50 9,8 75 N d,y 75 N sin0 d 99N d sin0 Afgeond: d 7 kn z b Odat z eticaal naa beneden is geicht, leet deze geen bijdage aan de hoizontaal geichte pz De nettokacht op het spotliegtuig is dus gelijk aan d,x pz d,x M.b.. de figuu hieboen is af te leiden dat d cos 0 d,x cos 0 d,x 99 cos 0 895,5 N 99 Afgeond: pz 8,50 N 8,5 kn c, ,5 500 pz 895,5 5,/s Afgeond: 5 /s 500, Afsluiting Oefenopgaen 70 De weging an de aade Op het aadoppelak geldt: z g M g (M de assa an de aade en R de staal an de aade) R g R M 9,8 (,8 0 ) M.b.. de gegeens an Caendish: M 5,9 0 kg Afgeond: M 5,9 0 kg,75 0 Dichtheid ρ en olue an bol V π V R ρ V π R 5,9 0 ρ 5,8 kg/ π (,8 0 ) Afgeond: ρ 5, 0 kg/ Volgens de huidige gegeens (BINAS tabel ): M 5,97 0 kg De afwijking in de assa is dus,07 % Afgeond:, % ρ 555 kg/ De afwijking in de dichtheid is dus,5 % Afgeond:,5 %

19 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 Spongopslag Oiëntatie: eaagd: Is s x(t) < 8 als de bal de gond aakt? egeen: Zie de figuu hienaast. Planning/uitoeing: s x, gond( t) x t gond Onbekend: x en t gond s x,net ( t) x t Onbekend: t net y t) net s ( g t t s ( t) x,net x tnet y t) 9,0 0,97 s ( g t t gond net 5,7 /s sy, net ( t) g s y, gond ( t) g? (,05,5) 9,8,05 0,788 s 9,8 0,97 s s x, gond( t) x tgond 5,7 0,788 0, Afgeond: s x,gond 0 Conclusie: De bal legt in hoizontale ichting ee dan 8 af en gaat dus uit. Contole: Contolee de eenheid en het aantal significante cijfes ook als het antwood bestaat uit een conclusie! De uitkost is ealistisch en in de buut an de te ewachten waade. Het antwood zal dus wel kloppen. net, 0,0,5 9,0 9,0,05 achtelijn 7 Schaatsen Oiëntatie: eaagd: snelheid s? egeen: Zie de figuu hienaast. Planning/uitoeing: ijs Op de schaatse weken twee kachten: de zwaatekacht z en de eactiekacht ijs an het ijs op de schaats. In het zwaatepunt Z leet de esultante an deze twee kachten de iddelpuntzoekende kacht pz. De kacht an het ijs op de schaatse heeft de ichting an de schuine stippellijn. Als je anuit de punt an pz een stippellijn echt naa boen tekent, indt je dus ijs. De lengte an de zojuist getekende stippellijn is gelijk aan de lengte an de zwaatekachtsecto. Die teken je anuit het zwaatepunt echt naa beneden. Je kunt ook een stippellijn tekenen eenwijdig et de schuine stippellijn. De zwaatekacht is één an de zijden an het paallelloga. pz pz Nieuwe onbekenden: pz tan z g α z pz Nieuwe onbekenden: α pz tanα tan α De hoek α tussen SZ en het ijs is 7º. 7 9,8 pz 5,7 N tan7 7 kg 5,7 0,97 /s Afgeond: 0 /s 7 Contole: 0 /s is k/h. Dit lijkt een aanneelijke waade oo de gegeen hellingshoek. S Z 7 z α pz

20 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 5 7 Vekanting eaagd: ekantingshoek α? egeen: 0 k/h 8,89 /s, 500. Planning/uitoeing: De esultante an de zwaatekacht z en de noaalkacht n leet de benodigde iddelpuntzoekende kacht pz. De ekantingshoek α is op diese plaatsen teug te inden (zie figuu): pz 8,89 tanα tanα 0,08 g g 9,8500 z ( 0,08) 7, α tan Afgeond: α 7,º Contole: het lijkt een aanneelijke waade. pz α α 7 ainingscentifuge eaagd: toeental f ax? egeen: 5,0 ; oo ens: a ax 9 g Planning/uitoeing: f f is het toeental (ook wel: de fequentie) en et π π ax f fax Nieuwe onbekende: ax π π π In de centifuge ondeindt een astonaut een axiale noaalkacht n pz,ax 9 z ax 9 g ax 9 g 9 9,8 5, 0,0 /s ax,0 f ax 0,9 s ( 0 tp 0 toeen pe inuut) Afgeond: f ax 0,7 Hz π π 5,0 Contole: als je je oostelt dat je,5 kee pe seconde wodt ondgeslinged in een cikel et een staal an 5,0 dan kun je je oostellen dat je behoolijk tegen de wand geduwd wodt. 75 Aadobseatiesatelliet eaagd: hoogte h? egeen: spoo Landsat in uu (figuu 5). Planning/uitoeing: h R R is staal an de aade. Nieuwe onbekende: π M M (afleiding zie eeste egel bij uitweking opg. ) Nieuwe onbekende: π 00 De satelliet daait 5 ondjes o de aade in uu, dus 570 s 5 In BINAS (tabel 7 en ) ind je de gegeens an, M en R. 570,7 0 5,97 0,9 0 π h R,9 0,78 0 0, k Afgeond: h 58 k Contole: In het infoatieboek staat dat polaie satellieten zich beinden op hoogtes tussen 00 en 500 k. De beekende waade oldoet hie aan.