9. Matrices en vectoren

Transcriptie

1 Computealgeba met Maxima 9. Matices en vectoen 9.1. Vectoen In Maxima is een vecto een datatype bestaande uit een geodende lijst (ij) van gelijksootige elementen welke via een index kunnen woden geselecteed. In de meeste pogammeetalen speekt men bij dit datatype van een aay ; een vecto kunnen we dan dus zien als eendimensionale matix. Voobeeld : Het selecteen van de elementen van een vecto gebeut via een index, die tussen viekante haakjes wodt geplaatst, bijvoobeeld a[1] voo het eeste element van de vecto a. De index n is een positief geheel getal en definieet het n-de element geekend vanaf het linke einde van de vecto. Ovezicht van functies en opeatoen voo de vectoekening: +, - Optellen, aftekken van vectoen *, / Vemenigvuldigen met esp. delen doo een getal.. (een punt) Inwendig (scalai) poduct van twee vectoen Vectoieel of uitwendig poduct van twee vectoen. Tevoen moet eest met de opdacht load ( vect ) het beteffende pakket geladen ~ woden. Het uitwendig of vectoieel poduct van a en b wodt dan vekegen doo de opdacht expess (a~b) Bepaalt de dimensie van een vecto = het aantal elementen van de length vecto 1

2 Matices en vectoen Optellen van vectoen Het speekt vanzelf dat bij het optellen en aftekken van vectoen, deze van gelijke lengte dimensie moeten zijn. Het optellen/aftekken van vectoen gebeut dus elementsgewijs. Bij vemenigvuldiging met een getal wodt elk element van de vecto daamee vemenigvuldigd Het inwendig poduct (scalai poduct) De begippen inpoduct, lengte, hoek en eenheidsvecto hebben in elke dimensie betekenis! De vectoen b en c staan dus loodecht op elkaa. Met behulp van het inpoduct is het bijvoobeeld ook vij een eenvoudig het middelloodvlak van het lijnstuk AB te bepalen. Hiebij zijn A en B de eindpunten van de vectoen a esp. b. Het midden van AB heeft de plaatsvecto (a+b)/2. Het middelloodvlak mvab bestaat nu uit punten met plaatsvectoen [x,y,z] waavoo geldt dat [x, y, z] (a+b)/2 loodecht staat op b-a. 2

3 Computealgeba met Maxima Lengte (nom) van een vecto De lengte van een vecto wodt beekend met behulp van de tweedemachtswotel uit de som van de kwadaten van de elementen (kentallen) van de vecto. De wiskundige notatie voo de lengte van een vecto v : v De lengte van een vecto is dus niets andes dan de tweedemachtswotel uit het inpoduct van de vecto met zichzelf : We kunnen hievan nog een functie maken: 3

4 Matices en vectoen Hoek tussen twee vectoen Voo de hoek ϕ tussen de vectoen p en q geldt : p.q = p q cos( ϕ). Bij gegeven vectoen p en q kan hieuit ϕ woden bepaald via de betekking: p. q cos( ϕ ) = p q Opgave 9.1 Schijf een functie hoek(p,q) welke bij twee gegeven vectoen p en q de schepe hoek tussen p en q bepaalt. Bepaal met behulp van deze functie ABC in ABC met A(1,2), B(4,2) en C(4,6) Het uitwendig poduct (vectoieel poduct) Het uitwendig poduct is, evenals het inpoduct, het poduct van twee vectoen. Maa e is een 3 goot veschil met het inpoduct! Het uitpoduct is alleen gedefinieed in de. Bovendien is 3 de uitkomst wee een vecto in de en wel een vecto die loodecht staat op de vectoen waamee u begon. De wiskundige notatie is p q. Voo de lengte van de vecto p q geldt: p q = p q sin( ϕ). 4

5 Computealgeba met Maxima Mek op dat de vectoen p q en q p tegengesteld zijn. De vectoen p q en q p staan loodecht op de vectoen p en q We kunnen nu nog met behulp van Maxima contoleen of indedaad geldt dat p q = p q sin( ϕ). Opgave 9.2 Bepaal in diehoek ABC met A(-5,-2), B(6,-1) en C(2,7) de middelloodlijnen van AB en BC, Evenals de staal en het middelpunt van de omgescheven cikel van diehoek ABC Matices In deze cusus vestaan we onde een matix een echthoekig getallenschema. Een matix wodt gekenmekt doo het aantal ijen en het aantal kolommen. Bijvoobeeld : een 4 3 matix is een matix met 4 ijen en 3 kolommen, ofwel een matix bestaande uit 4 vectoen elk met 3 elementen. De invoe van matices kan in Maxima op twee veschillende manieen: Via het menu Algeba Ente matix komt u in een dialoogvenste : opgave van de dimensies van de matix en de invoe van de elementen Diecte invoe via het toetsenbod middels de opdacht matix ( ). Bijvoobeeld A: matix ([3,2], [1,2], [1,0]) 5

6 Matices en vectoen De elementen van een matix kunnen woden geselecteed doo middel van twee indices n en m A [n][m] is het element uit ij n en kolom m. 6

7 Computealgeba met Maxima Ovezicht van functies en opeatoen voo de matixekening : +, - Matixoptelling, -aftekking matix_size(a) A.B Geeft het aantal ijen en kolommen van A etou. Vemenigvuldiging van matices (poductmatix). Twee matices kunnen alleen vemenigvuldigd woden als het aantal kolommen van de linke matix gelijk is aan het aantal ijen van de echte matix! A(5 2) * B(2 3) levet een matix C(5 3) op; algemeen: A(i j) * B(j k) C(i k). Opgelet: MAXIMA kent ook nog de componentsgewijze vemenigvuldiging/deling invoe met *, /. A.b Vemenigvuldiging van matix A met vecto b. Hiebij moet de vecto b even lang zijn als de ijen van de matix A A*k Vemenigvuldiging van een matix met een eëel getal k. ank(a) tanspose(a) invet(a) of A^^-1 A^^n A^n deteminant(a) diagmatix(3,x) ident(3) Rang van een matix aantal lineai onafhankelijke ijen Getansponeede van A Invese matix van A De n-de macht van A volgens de. matixvemenigvuldiging De componentsgewijze n-de macht van A Deteminant van A Ceëet een 3x3 diagonaalmatix (alle diagonaalelementen woden gelijk aan "x" gemaakt, alle andee elementen kijgen de waade 0). Ceëet een 3x3 eenheidsmatix (alle diagonaalelementen woden gelijk aan "1" gemaakt, alle andee elementen kijgen de waade 0). 7

8 Matices en vectoen Vemenigvuldiging van een matix P met een vecto q: Hetzelfde esultaat kunnen we ook beeiken als we van q een 2 1 matix maken: 8

9 Computealgeba met Maxima De gewone machtsveheffing van een matix P : P^^2 = P.P De componentsgewijze machtsveheffing P^2 (elk element wodt gekwadateed): Oplossen lineaie stelsels vegelijkingen Los het volgende stelsel op met behulp van matices en contolee het antwood met linsolve. x 2y + z = 4 2x + y + z = 1 x + 5y 3z = x y 1 = z 7 A x = b met x x = y z en 4 b = 1 7 9

10 Matices en vectoen Als we de oplossing willen contoleen met linsolve dan moeten we dus eest de die vegelijkingen invoeen : A x = b = 1 x A b Opgave 9.3 Los het volgende stelsel vegelijkingen op twee manieen op 2x + 3y + 7z = 12 x + 4y + 2z = 3 x + 2y + 3z = Toepassing -daaiing Een tweedimensionale daaiing kan met behulp van een daaiingsmatix woden bescheven. Een daaiingsmatix heeft steeds de gedaante: cos( α) sin( α) daai( α) = sin( α) cos( α) Doo vemenigvuldiging van deze matix met een tweedimensionale figuu (bijv. een diehoek) ontstaat de gedaaide figuu. 10

11 Computealgeba met Maxima We passen dit toe op een diehoek met hoekpunten (0,0), (5,0) en (9,2). De diehoek voeen we in als een 4 2 matix : We definiëen nu 24 daaiingen ove opeenvolgende veelvouden van 15 gaden en de gedaaide figuen leggen we vast in een lijst Tenslotte maken we een plot van deze lijst : De statdiehoek met hoekpunten (0,0), (5,0) en (9,2) is gevuld weegegeven. 11