Wiskundige Technieken 2 Uitwerkingen Tentamen 26 januari 2015

Transcriptie

1 Wiskundige Techniek Uitweking Ttam 6 januai 5 Nomeing voo pt vag andee vag naa ato: pt pt pt pt pt goed begep én goed uitgevoed, evtueel met kele onbelangijke ekfoutjes gote lijn begep, maa technische vaadigheid schiet tekot; signaleet onmogelijke tussesultat maa is niet in staat deze weg te wek; maakt meedee fout al dan niet doo slodigheid; gebuikt vewepelijke notaties weet ongevee wat te do maa lijdt aan gebek aan vaadigheid /of inzicht; mist belangijke gevalsondescheiding of uitzondeing etc.; hekt evidt foute tussesultat niet; toont onvoldode vaadigheid/contole/zelfeflectie aadig beginnetje, maa het levet niet echt wat op ge idee wat te do, dit wodt niks. a. We kijk eest op meetkundige wijze naa wat de tansfomatie met de vecto doet. Omdat zowel ote als spiegel ge invloed heeft op de gootte van de vecto, maa wel op de hoek die de vecto maakt met de positieve x-as, is het nuttig om de vecto wee te gev in tem van poolcoödinat; alle de hoek θ veandet doo de tansfomatie. Als p hoek θ heeft, dan wodt deze hoek θ + na het ote vevolgs θ + na het spiegel in de x-as. Hiemee kunn we diect nagaan wat de tansfomatie met de basisvecto doet. Voo de eeste basisvecto geldt i cos sin, welke doo de tansfomatie wodt afgebeeld op: sin. it komt ovee met de matix A, omdat: Ai. cos Voo de tweede basisvecto geldt j, welke wodt afgebeeld op: sin + sin + sin, wat ook wee oveekomt met de matix A: Aj. We conclude dat A de tansfomatie goed weegeeft. b. Uit de opgave mak we op dat A S x R /, waabij R / de otatie ove e hoek teg de klok in S x de spiegeling in de x-as is. e invese van R / is R / e otatie ove e hoek van met de klok mee de invese van S x is opnieuw S x. Voo de invese van A volgt dan: A S x R / R / S x R / S x sin sin cos. We conclude dat A A, ofwel A is zelf-inves.

2 Altenatieve oplossing: e invese van A is ook te vind doo te veg. We beginn met de volgde matix:. Vevolgs voe we eest de stap R R, R R + R uit:. e volgde stap is R R R, R R:. e laatste stap is R R, R R :, waauit we conclude dat A A, zoals we al gezi hadd.. a. Alleeest mek we op dat het domein van fx, y pecies R is de functie is oveal gedefinieed. Omdat fx, y niet constant is, kan fx, y absolute extem hebb. Extem kunn wod aangom in kitieke punt, singuliee punt of op de and. We lat zi dat de laatste twee mogelijkhed ge opties zijn. e functie heeft ge singuliee punt, omdat de gadiënt x + y fx, y + x + y, xy + x + y oveal bestaat. e and is eves ge optie, omdat het domein ge and heeft R is onbegsd. Evtuele absolute extem moet dus in kitieke punt wod aangom. b. Alleeest bepal we de kitieke punt. e gadiënt van f is: x + y fx, y + x + y, xy + x + y. We moet fx, y oploss. Uit volgt x of y. Substitue we x in, dan volgt dat + y, wat ge oplossing heeft. Substitue we y in, dan volgt x, wat x ± als oplossing heeft. We zi dat fx, y dus pecies twee kitieke punt heeft:,,. e functiewaad in deze punt zijn f, f,, wat in iede geval lokale extem van fx, y zijn. Om te lat zi dat dit ook absolute extem zijn, moet we lat zi dat fx, y nooit gote dan kan wod ook nooit kleine dan. e ige manie waaop dit zou kunn is in de limiet waabij x /of y naa ± gaan omdat fx, y e continue functie is fx, y ge andee kitieke punt singuliee punt heeft. In het geval dat x /of y naa ± gaan, volgt dat x + y dus dat de noeme van fx, y oneindig goot wodt. We kunn nu twee gevall ondescheid: Stel dat x zelf niet naa ± gaat. an wodt de telle van fx, y niet oneindig goot, maa de noeme wel. us betekt dit dat, in dit geval, fx, y geldt. Stel dat x naa ± gaat. We gebuik de insluitstelling het feit dat voo alle punt x, y geldt dat + x + y x. Als x ±, dan geldt: x + x + y x x x. Omdat lim x ± x fx, y geldt., volgt nu met de insluitstelling dat in dit geval

3 We zi dat fx, y als x /of y naa ± gaat, ongeacht de manie waaop dit gebeut. Omdat niet gote dan is, is het absoluut maximum van fx, y. Op dezelfde manie geldt dat, omdat niet kleine dan is, dat het absoluut minimum van fx, y is. We conclude dat fx, y indedaad absolute extem heeft, namelijk.. a. We bepal de patiële afgeleid met behulp van impliciet diffetië. e patiële afgeleid beek we doo in de gelijkheid x + y te diffetië naa x y: x + y x x x x + y y y y. e patiële afgeleide vind we doo beide led van de gelijkheid x cos θ naa x te diffetië de patiële afgeleide vind we doo beide led van de gelijkheid y sin θ naa y te diffetië: x cos θ dx dx cos θ + sin θ x x sin θ dy dy y sin θ sin θ + cos θ y y + cos θ. eze vegelijking loss we op voo x x sin θ sin θ x y x y y y : cos θ x x y y + cos θ y y x x. Opmeking: Wie niet van impliciet diffetië houdt, kan ook gebuik mak van de idtiteit x + y θ actan y x. e patiële afgeleid volg dan met behulp van de kettingegel. b. Eest dukk we de patiële afgeleid met behulp van de kettingegel: e gadiënt is dus: + x y, + y + x. f i + j x y xi + yj ˆ + ˆθ. y i + + uit in tem van, θ, + x yi + xj j

4 . We noem voo het gemak het gebied waavan het volume moet beek. Het gebied laat zich het makkelijkst beschijv in tem van cilindecoödinat. In dat geval geldt z gegev θ omdat we ons alle bepek tot het eeste kwadant. Gz voo vind we doo de vegelijking van de cilindewand in cilindecoödinat uit te dukk: x + y xy sin θ cos θ 6 sin θ of sin θ of sin θ, wat betekt dat sin θ geldt. Het volume is dus: dv / sin θ / sin θ / / / / dzddθ ddθ sin θ sin θ dθ sin θ dθ / cos θ dθ sin θ dθ / [ cos θ cos θ dθ sin θ cos θ dθ ] / We gebuik de stelling van Stokes. e and S is de cikel x + y 9, z. eze paametise we als t cos t, sin t, met t. e gevaagde integaal is dus: cul F ds, 7 cos t + sin t, 9 cos t sin t sin t, cos t, dt S cos t + sin t cos t dt cos t dt 8 + cos t dt cos t + cos t + dt 8 + cos t dt dt. + cos t dt Opmeking: Omdat e ge ichting is meegegev in de opgave, mag ook de flux in de teggestelde ichting beekd wod. In dat geval is het antwood. Altenatieve oplossing: We gebuik tweemaal de stelling van Stokes. Noem het gebied x + y < 9, z, dan heeft ook S als and dus volgt: cul F ds F d cul F ds. e cul van F is: S S cul F x, x y y, x x z x, x y + y, x x z.

5 E eheidsnomaal op is gemakkelijk te vind, namelijk,,. Het gebied laat zich gemakkelijk beschijv met poolcoödinat, θ, dus volgt voo de gevaagde integaal: cul F ds x, x y + y, x x z,, da x x z da x da d cos θ ddθ cos θ dθ cos θ dθ cos θ + dθ. 6. a. it volgt met behulp van de poductegel: ϕf ϕf + ϕf + ϕf ϕ F + ϕ F + ϕ F + ϕ F + ϕ F + ϕ F ϕ F + ϕ F + ϕ F + ϕ ϕ F + ϕ F. F + F + F b. We gebuik de divegtiestelling de gelijkheid van ondedeel a: ϕf ds ϕf dv ϕ F + ϕ F dv ϕ F dv + ϕ F dv gad ϕ F dv + ϕ div F dv. c. We gebuik ondedeel b vull F ϕ in. an kijg we: ϕ ϕ ds gad ϕ ϕ dv + ϕ div ϕ dv ϕ dv + ϕ ϕ dv. Omdat gegev is dat ϕ op, geldt ook dat ϕ ϕ op dus is de integaal in het linkelid nul. aanaast is gegev dat ϕ hamonisch is op, wat betekt dat ϕ ϕ op geldt dus is de tweede integaal in het echtelid ook nul. We houd nu ove: ϕ ϕ ds ϕ dv + ϕ ϕ dv, ϕ dv +, dus: ϕ dv. Omdat de integand ϕ nooit negatief kan zijn, kan de laatste gelijkheid alle maa geld als ϕ geldt op. it betekt dat ϕ op moet geld, wat betekt dat ϕ constant is op. Omdat de waade van ϕ al gegev is op e deel van namelijk op de and, daa geldt ϕx, y, z, geldt deze waade op heel, dat wil zegg, ϕx, y, z op heel.