Tentamen wi2140tnw Differentiaalvergelijkingen september 2004 (1)

Transcriptie

1 T.U. Delft Faculteit E.W.I. Tentamen wi4tnw Diffeentiaalvegelijkingen cijfe (..+ + (..+ + (..+ + (..+ + (..+ 6 septembe 4 Het gebuik van een voo het VWO-eindexamen goedgekeude ekenmachine is toegestaan.. Beschouw het stelsel { x (t e x(t y(t x(t, y (t (x(t y(t y(t. ( 4 (a Beeken de evenwichtspunten. Hint: Hienaast staat de gafiek van e x x geschetst Voo een evenwichtspunt geldt e x y x en (x y y. Oplossen van de tweede vegelijking levet twee mogelijkheden, i x y of ii y : i. x y en uit de eeste vegelijking volgt x ; dus (x, y (,, ii. y en e volgt e x x ; omdat e x > + x voo x en e x x voo x vinden we opnieuw (x, y (,. Kotom, slechts één evenwichtspunt. (b Beschijf het ond (, gelineaiseede stelsel. Classificee dit lineaie stelsel: is dit stelsel instabiel, neutaal stabiel of asymptotisch stabiel? De afgeleide in (, is als volgt: F (, ( F x F x F y F y (, ( e x y e x y y x y (, (. Gelineaiseede stelsel wodt ( u v ( ( u v Dit stelsel heeft λ als eigenwaade met algebaïsche multipliciteit. Doodat de geometische multipliciteit is is het stelsel instabiel: e t ( t. 4 pt (c Wat kunt u concludeen uit (b voo de stabiliteit ond de oospong voo het oosponkelijke stelsel (? max [Reλ, Reλ ] en dus geen stabiliteitsconclusie mogelijk voo het oosponkelijke systeem uit de lineaisatie.

2 . We beschouwen opnieuw (. (a Laat zien dat e niet-tiviale oplossingen (x(t, y(t bestaan met y(t. U hoeft deze niet te beekenen. De d.v. x (t e x(t x(t voldoet aan de voowaaden van de Ex.-Eend.-stelling en heeft dus bij iedee beginvoowaade een oplossing. Neem y (t en men vindt (doo invullen dat (x(t, y(t aan de d.v. n in ( voldoen. (b Laat zien dat voo de oplossing met x ( ε > en y( geldt dat t x(t stikt stijgend is. Het functiepaa (x(t, met x( ε als in (a is een oplossing (vul in en het past. Uit de Ex.-Eend.-stelling voo stelsels concludeen we dat dit de enige oplossing is. Omdat e x x > voo x > is t x(t stikt stijgend. 4 pt (c Wat kunt u concludeen uit (b voo de stabiliteit ond de oospong voo het oosponkelijke stelsel (?(x(t, met x( ε als in (a. Instabiel, want de oplossing uit (b loopt weg van de oospong. Men kan bewijzen dat e x x c ε : e ε ε > voo x ε en daamee dat x(t ε + c ε t.

3 . Gegeven is een -matix A met coëfficiënten uit R. Hienaast staat de baan van een oplossing getekend die hoot bij x (t x(t y (t A y(t. z (t z(t De komme wodt van beneden naa boven doolopen. De eigenwaaden van A noemen we λ, λ en λ. (a Hoeveel eële eigenwaaden heeft A. z - x y - Het daait dus twee echt complexe eigenwaaden en hoogstens één eële. Een dedegaads eële polynoom (de kaakteistieke vegelijking is van dit type heeft minstens één eële eigenwaade. Kotom, pecies één. (b Stel we odenen de eigenwaaden via hun eële deel, dus Reλ Reλ Reλ. Wat kunt u zeggen ove het teken (positief, of negatief van espectievelijk Reλ, Reλ, Reλ? Van ondeen naa boven betekent dat beide complexe eigenwaaden (die elkaas complex geconjugeede zijn en negatief eëel deel hebben. Naa boven weglopend betekent dat de dede een positief eëel deel heeft. Dus Reλ Reλ < < Reλ oftewel {,, +}. (c En wat kunt u zeggen ove de tekens van de bijbehoende imaginaie delen Imλ, Imλ, espectievelijk Imλ? Volgens het antwood in (b vindt men Imλ Imλ en Imλ. Dus espectivelijk {, +, } of {+,, }.

4 9 pt 4. Beeken een oplossing van met Step(t, a y + y Step(t, met y( en y (, { voo t a, voo t > a. Uit de tabel met Laplace-tansfomaties: f(t. sin at. cos at 8. Step(t, a Invullen levet g(s Lf(s a a + s s a + s s e as Ly (s + Ly(s s Ly(s sy( y ( + Ly(s ( s + Ly(s s en via ( s + Ly(s s s e s volgt LStep(, (s s e s Vevolgens als t < als t Ly(s s s + + s + s e s. y(t cos t + (sin t Step(t, cos t + t sin(t s Step(s, ds... cos t ; cos t + t sin(t sds cos t + [cos(t s] t cos(t + cos(t. 4

5 . We beschouwen het stelsel { x x y x ( x + y, y x + y y ( x + y. (a Gebuik de substitutie naa poolcoodinaten x cos θ en y sin θ, dus x + y, om een diffeentiaalvegelijking voo te vekijgen. Via xx + yy volgt xx + yy x ( x y x ( x + y + y ( x + y y ( x + y x xy x ( x + y + xy + y y ( x + y 4. pt (b Laat zien dat voo θ geldt θ. Via volgt Dus x cos θ sin θ θ en y sin θ + cos θ θ xy yx cos θ y sin θ x ( sin θ + cos θ θ θ. θ xy yx x ( ( x + y y x + y y ( x y x ( x + y. pt (c Bepaal de limiet-cykels en geef aan of deze aantekkend of afstotend zijn. Limiet-cykels als dus voo (voo en geen cykels. Voo (, geldt > dus > en voo > geldt < dus <. Dat betekent dat een aantekkende cykel is. (d Wat voo een evenwichtspunt is de oospong? Voo (, geldt > dus > en dat betekent afstotend (instabiel. (e Geef een schets van het fasevlak met de limiet-cykel(s. Te zien moet zijn: Instabiel evenwichtspunt de oospong; Limiet cykel (linksom daaiend; Voo > banen die linksom naa toedaaien; Voo < < banen die linksom naa toedaaien