Datastructuren college 9

Transcriptie

1 Zoeken van oplossingen Datastuctuen college 9 zoeken van oplossingen backtacking Vaak kennen we geen algoitme dat diect de juiste oplossing constueet. Ondezoek dan kandidaat-oplossingen koninginnen op schaakbod die elkaa niet aanvallen kotste weg doo doolhof kotste weg tussen steden heel veel puzzels. zoeken van oplossingen Bute-foce methode vaak geen algoitme om oplossing te maken puzzels, pad in doolhof,. zoek systematisch boom van mogelijkheden af depth fist seach alleen huidige pad nodig backtacking: stop als het niets mee kan woden Algemene aanpak constuee kandidaat oplossing: <V 0, V V k- > test of deze voldoet: P k- (V 0, V V k- ) bepaal aantal of beste van alle oplossingen Geneee alle mogelijke oplossingen; test voo iedee kandidaat of ze voldoet voobeeld: pemutaties van N Voo lengte k: O(N k ), veel wek. Hie 7 stuks. i 0: : : P b b voo dit pobleem bestaat e een bete algoitme hie alle kandidaten even lang, in het algemeen hoeft dit niet (paden doo doolhof) 4

2 i 0: : : P geneeen van oplossingen Pobee bij iede element alle vootzettingen b b i 0: : : fo ( V 0 = ; V 0 <= N ; V 0 += ) fo ( V = ; V <= N ; V += ) fo ( V = ; V <= N ; V += ) if ( goedepemutatie ( <V 0,V,V > )) meldsucces we hebben boom van mogelijkheden we gebuiken steeds slechts één pad P b b geneeen van oplossingen bij waaden voldoen geneste loops nog bij veel of vaiabel aantal elementen is het schijven van loops onhandig gebuik een ecusieve functie: void voegtoe ( int i ) // i is index huidige element if ( klaa ) // ij vol?? contoleekandidaat ( ); fo ( int v = ; v <= N ; v += ) ij [ i ] = v ; // pobee v voo element i voegtoe (i+) // vul de est van de ij ij i.p.v. boom! 5 6 bute-foce algemeen algoitme in C++ Backtacking oplossing in globale ij, elementen van type V V opl [ MaxLengte ]; // hiein bouwen we de oplossing we hadden vebeteing bool isoplossing ( ); void voegtoe ( int n ) if ( n == MaxLengte ) // ij vol? if ( isoplossing ( ) ) meldsucces ( ); fo ( V v=v min ; v<=v max ; v++ ) opl [ n ] = v; voegtoe ( n+ ); // bevat opl complete oplossing? 7 i 0: : : P b b i 0: : : P b b we hoeven vaak de kandidaat niet helemaal af te maken om hem te kunnen vewepen hie vewepen we een kandidaat pemutatie zoda we kee hetzelfde element tegenkomen. je vewept dan in een klap alle vootzettingen scheelt veel wek 8

3 backtacking: depth-fist zoeken Pemutaties met backtacking in C++ niet alle kandidaten hoeven even lang te zijn. typedef int V; const int MaxLengte = ; const int Vmin = ; const int Vmax = MaxLengte; b b b b b bool isoplossing ( int laatste ) etun laatste == MaxLengte; We hoeven de boom niet echt te bouwen: dooloop boom depth-fist: eest kindeen, daana boes en zussen kindeen van links naa echts bijhouden van huidige pad + te ondezoek vootzettingen is voldoende 9 bool past ( int laatste ) // kijk of laatste e al stond fo ( int i=0; i<laatste; i++ ) // O ( n ) if ( opl [ i ] == opl [ laatste ] ) etun false; etun tue; 0 Pemutaties met backtacking in C++ void meldsucces ( ) // pint de gevonden pemutatie fo ( int i=0; i<maxlengte; i++ ) cout << opl [ i ] << ' '; cout << endl; void voegtoe ( int n ) if ( isoplossing ( n )) meldsucces ( ); fo ( V v=vmin; v<=vmax; v++ ) opl [ n ] = v; if ( past ( n )) // de test voegtoe ( n+ ); // backtacking gaat hie impliciet void main ( ) // begin met het eeste getal voegtoe ( 0 ); Pemutaties: altenatief bool Past ( int i ) is nu O(n) wek doo een ij van bool kan dit iets slimme: bool gebuikt [ Vmax-Vmin+ ]; bool past ( int i ) // kijkt of i al gebuikt is, zet i meteen op gebuikt! bool b = gebuikt [ i-vmin ]; gebuikt [ i-vmin ] = tue; etun! b ; void vewijde ( int i ) gebuikt [ i-vmin ] = false;

4 Pemutaties: altenatief de hoofdfunctie wodt dan void voegtoe ( int n ) if ( isoplossing ( n ) ) meldsucces ( ); fo ( V v=vmin; v<=vmax; v++ ) if ( past ( v )) // v ongebuikt? opl [ n ] = v; // voeg element toe voegtoe ( n+ ); // vul de est vewijde ( v ); // backtack stap nu nodig backtacking algemeen begin met een lege deeloplossing maak die stap voo stap gote backtackalgoitme: voeg_toe ( el i ) if (oplossing_gevonden) klaa! fo ( v = eeste; niet alle v gehad; v = volgende ) voeg v toe; if ( het_kan_nog_wat_woden ) voeg_toe ( i+ ) haal v weg; // de backtack stap 4 Backtacking algemeen algoitme backtack algoitme: analyse oplossing in globale ij, elementen van type V V opl [ MaxLengte ]; // hiein bouwen we de oplossing bool isoplossing ( int laatste) ; // bevat opl complete oplossing? bool past ( int laatste ); // bevat opl deeloplossing? void voegtoe ( int n ) if ( isoplossing ( n )) meldsucces ( ); fo ( V v=v min ; v<=v max ; v++ ) opl [ n ] = v; if ( past ( n ) ) // deze test maakt het veschil!! voegtoe ( n+ ); vewijde ( n ); // backtack stap: teugkabbelen 5 void voegtoe ( int n ) if ( isoplossing ( n )) meldsucces ( ); fo ( V v=v min ; v<=v max ; v++ ) opl [ n ] = v; // de test if ( past ( n )) voegtoe ( n+ ); vewijde ( n ); // backtack stap: teugkabbelen complexiteit O((V max -V min ) MaxLengte ) snelle als e minde kandidaten zijn vaak is vewijde impliciet toch geen staatecusie 6 4

5 N-queens plaats N koninginnen op NxN schaakbod zonde dat ze elkaa aanvallen N koninginnen op NxN schaakbod één pe ij: oplossing als ij van kolomnummes Q Q Q =,4,, Q gebuik zinvolle namen i.p.v. algemene namen typedef int Rij; typedef int Kol; const int BodGootte = 4; Kol bod [ BodGootte ]; 7 8 bute-foce methode Geneee alle pemutaties en kijk wat past gebuik wee ecusie om N geneste loops te maken void plaatskoninginbf ( Rij ij ) if ( ij == BodGootte ) // isoplossing if ( isoplossing ( ) ) // alles goed? oplossinggevonden ( ); // meldsucces fo ( Kol kol=0; kol < BodGootte; kol++ ) bod [ ij ] = kol; // geen test of het past plaatskoninginbf ( ij+ ); pedikaat isoplossing alle geplaatste koninginnen moeten veilig staan: bool isoplossing ( ) fo ( int =0; <BodGootte; += ) if (! plaatsisonbedeigd ( )) etun false ; etun tue; 9 0 5

6 N koninginnen: pedikaten bool plaatsisonbedeigd ( Rij ij ) fo ( Rij =0; < ij; ++ ) if ( zelfdekolom (, ij ) zelfdediagonaal (, ij ) ) etun false; etun tue; bool zelfdekolom ( Rij, Rij ij ) etun bod [ ] == bod [ ij ]; bool zelfdediagonaal ( Rij, Rij ij ) etun + bod [ ] == ij + bod [ ij ] - bod [ ] == ij - bod [ ij ] ; N koninginnen op NxN schaakbod Algemeen backtack algoitme past diect void plaatskoningin ( Rij ij ) if ( ij == BodGootte ) oplossinggevonden ( ); // isoplossing // meldsucces fo ( Kol kol=0; kol < BodGootte; kol++ ) bod [ ij ] = kol; if ( plaatsisonbedeigd ( ij )) // past plaatskoningin ( ij+ ); // backtack, wee impliciet oplossingen pinten voo N-queens void oplossinggevonden ( ) // pint gevonden configuatie fo ( Rij =0; <BodGootte; ++ ) fo ( Kol k=0; k<bodgootte; k++ ) if ( k==bod [ ] ) cout << 'Q'; cout << '.'; cout << endl; Dit geeft als esultaten voo N = 4:. Q.... Q.... Q Q... Q Q.. Q.. Q.. kotste pad van muis naa kaas we willen niet alle oplossingen, maa de lengte van het kotste pad muis van niks, weet pas of e kaas is als hij e op staat zoek oplossingen met backtacken ommuu doolhof om testen op binnen doolhof blijven te vookomen kotste pad kan geen cycle bevatten! plaats muizen op het pad om cycles te vookomen 4 6

7 kotste pad epesentatie kotste pad algoitme nomaal: pad = <V 0, V, V k-, V k- > met V 0 is beginpunt (muis) V k- is eindpunt (kaas) Voo alle i: V i en V i- genzen aan elkaa we zoeken het kotste van die paden kotste pad iede veld hoogstens kee voo hie bouwen we het pad in de doolhof vinden van buen is eenvoudig vookomen van cycles doo meken van velden geen exta geheugen nodig backtack-functie levet afstand tot kaas op 5 maak met behulp van backtacking alle mogelijke paden (begin bij muis, geen cycles) functieesultaat is afstand tot de kaas int afstand ( veld ) if ( op eindpunt ) etun 0; if ( veld is vij ) // de test! bezet veld; // vookomt cycles in pad bepaal minimum afstand vanaf alle buen; maak veld vij; // backtack stap etun minimum + ; etun oneindig; 6 kotste pad: C++ epesentatie kotste pad algoitme in C++ enum Veld Vij, Muis, Kaas, Muu ; int kotstepad ( int x, int y ); // voo mutual ecusion const int Lengte = 8, Beedte = 7; const int Oneindig = Lengte * Beedte; Veld doolhof [ Beedte ] [ Lengte ] = Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Vij, Vij, Vij, Muu, Vij, Muu, Muu, Vij, Muu, Vij, Muu, Vij, Muu, Muu, Vij, Vij, Vij, Vij, Vij, Muu, Muu, Vij, Vij, Vij, Muu, Vij, Muu, Muu, Kaas, Muu, Vij, Vij, Vij, Muu, Muu, Vij, Muu, Vij, Vij, Vij, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu, Muu ; 7 int stuumuizenvanaf ( int x, int y ) int min_weg = kotstepad ( x+, y ); min_weg = _MIN (min_weg, kotstepad ( x, y+ )); min_weg = _MIN (min_weg, kotstepad ( x-, y )); etun _MIN (min_weg, kotstepad ( x, y- )); int kotstepad ( int x, int y ) switch ( doolhof [ x ] [ y ]) case Kaas: etun 0; case Vij: // de test! doolhof [ x ] [ y ] = Muis; int min_weg = stuumuizenvanaf ( x, y ); doolhof [ x ] [ y ] = Vij; // backtack stap etun min_weg + ; default: etun Oneindig; 8 7

8 kotste pad pogamma void main ( ) cout << kotstepad ( 6, 4 ) << endl; esultaat is 6 coect, maa niet eg infomatief we willen gaag het pad zelf kennen pobleem: op het moment dat we het kotste pad vinden weten we niet dat dit zo is. oplossingen: alle paden bewaen: duu en onnodig kotste pad tot nu toe bewaen 9 kotste pad analyse Algemeen voo backtack algoitmen: O(V L ) V aantal mogelijkheden L langst mogelijke pad niet bete dan bute foce; effect afsnijden sub-bomen is onzeke Voo muis in doolhof: V = Lengte * Beedte n L = Lengte * Beedte n complexiteit = O(V L ) doo slim te geneeen: O( L ) = O( Lengte*Beedte ) degelijke heuistieken helpen dus echt doo afsnijden sub-bomen met pedikaat valt hoeveelheid wek vaak nog wel mee 0 kotste pad afdukken met nomaal backtack algoitme vinden we alle oplossingen hoe vinden we het kotste? bewaa kotste tot nu toe ( ktnt ) i.p.v. meldsucces nieuwe oplossing kote dan ktnt? zo ja: ktnt = nieuwe oplossing als je alles gepobeed hebt is ktnt de kotste! kotste pad afdukken globale object kotste pad lengte kotste tot nu toe als efeence agument geef huidige lengte mee zodat je weet of je iets betes gevonden hebt. void kotstepad ( veld, lengte, int& kotste ) if ( op eindpunt ) if ( lengte < kotste ) kotste = lengte; // bete pad gevonden kopieepad ( ); if ( veld is vij ) // de test! bezet veld; // vookomt cycles in pad kotstepad vanaf alle buen ( lengte+ ); maak veld vij; // backtack stap 8

9 kotste pad pinten in C++ muizen vanaf de buen void kotsteweg ( int x,int y, int lengte, int& kotste ) switch ( doolhof [ x ][ y ]) case Kaas: if ( lengte < kotste ) // kote pad? kotste = lengte; copyweg ( ); etun; case Vij: // de test! doolhof [ x ][ y ] = Muis; muizenvanaf ( x, y, lengte+, kotste ); doolhof [ x ][ y ] = Vij; // backtack stap etun; default: etun; void muizenvanaf ( int x, int y, int lengte, int& kotste ) kotsteweg ( x+, y, lengte, kotste ); kotsteweg ( x, y+, lengte, kotste ); kotsteweg ( x-, y, lengte, kotste ); kotsteweg ( x, y-, lengte, kotste ); void main ( ) int kotste = Oneindig; kotsteweg ( 4, 6, 0, kotste ); if ( kotste < Oneindig ) cout << "De lengte van de koste weg is " << kotste << endl; toonweg ( weg ); cout << "Geen weg gevonden\n"; toonweg ( doolhof ); 4 samenvatting volgende week Zoeken van oplossingen: in pincipe boom van kandidaat-oplossingen bekijken depth-fist: bouw steeds één tak; ij i.p.v. boom bute foce: bouw complete kandidaat-oplossing test of kandidaat-oplossing voldoet backtack: test bij iedee toevoeging of het nog wat kan woden beste oplossing kijk bij iedee oplossing of die bete is dan beste-tot-nu-toe als alles gedaan dan is beste-tot-nu-toe de beste geen college in veband met pasen wel toets op dondedag ondewepen: pointes lijsten bomen gesloten boek A4tje met eigen aantekeningen mag enkelzijdig tekst minimaal 8-punts 5 6 9

10 Wat hebben we gedaan dictaat: H aanpak in sheets is diecte boek: backtacking komt niet voo Opgave: backtacking 7 0