Kun je me de kortste weg vertellen?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kun je me de kortste weg vertellen?"

Transcriptie

1 Kun je me de kotste weg vetellen?

2

3 Inhoudsopgave 1 Gafen Wat is een gaaf? Opgaven Kotste bomen Het 'Geedy' lgoitme Voobeeld van het 'Geedy' lgoitme ewijs van het 'Geedy' lgoitme Opgaven lgoitme van Pim-Dijksta Voobeeld van het lgoitme van Pim-Dijksta Opgaven Kotste paden Een algoitme om een kotste pad te vinden Voobeeld van een kotste pad Opgaven Kotste outes Handelseiziges Voobeelden van het handelseizigespobleem Moeilijkheden van het handelseizigespobleem lgoitmes voo het benadeen van het optimum voo het handelseizigespobleem Het beste-buu-algoitme Het invoegingsalgotime Uitwisselingsalgoitmen Opgaven Gemengde Opgaven 36 1

4

5 Combinatoische Optimaliseing 28 novembe Gafen Dit boekje is een beweking van de masteclass combinatoische optimaliseing: "Kun je me de kotste weg vetellen?" gegeven op 5 maat 1999 doo Pof.d.J.K. Lensta in samenweking met D.i. C. Hukens. 1.1 Wat is een gaaf? Een gaaf is een tekening die alleen bestaat uit punten en vebindingslijnen. De vebindingslijnen noemen we kanten. (ndee benamingen die je wel eens tegenkomt zijn knooppunten en wegen.) Een kant vebindt twee punten en een kant tussen de punten i en j geven we aan met ij. Soms heeft een kant een ichting en loopt van i naa j. Dit schijven we als i! j. In guu 1 zie je een ongeichte gaaf een geichte gaaf en een gemengde gaaf. Een geichte gaaf is een gaaf met pijlen in de kanten. Deze pijlen geven een veband tussen de (knoop)punten aan b.v. 'Wie is de afstammeling van wie?' of 'Wie heeft gewonnen van wie?' Een gemengde gaaf is een combinatie van een geichte en een ongeichte gaaf. ongeicht geicht gemengd Figuu 1: Gafen Met gafen kun je allelei situaties beschijven. Het gaat dan om situaties waain e tussen objecten voogesteld doo de punten paasgewijze elaties bestaan voogesteld doo de kanten. In guu 2 zie je bijvoobeeld een gaaf waavan de punten twaalf landen in West-Euopa zijn. Een kant ij geeft aan dat de landen i en j aan elkaa genzen. In guu 3 zie je een geichte gaaf die de afstamming van een pesoon P tot in het dede voogeslacht uitbeeldt. Een 2

6 kant i! j geeft hie aan dat j een kind is van i. DK NL IRL G D L CH F E I P Figuu 2: Genzen in West-Euopa Wilhelmina X Heinich Juliana X enad eatix X Claus Iene X Calos Magiet X Piete Chistina X Joge Willem-lexande Johan-Fiso Constantijn Calos Magaita Caolina Mauits X Mailene enad Piete-Chistiaan Flois enado Nicolas Juliana Figuu 3: Stamboom Een gaaf die een bepaalde situatie beschijft noemen we een model van die situatie. In een model neem je alleen de gegevens van een situatie op die belangijk zijn voo het pobleem dat je wilt oplossen. Vagen die je bijvoobeeld met gafen kunt oplossen zijn: ls de punten van de gaaf plaatsen zijn en de kanten zijn wegen tussen die plaatsen (1) hoe vind je dan een kotste netwek dat alle plaatsen met elkaa vebindt? (2) hoe vind je dan een kotste weg tussen twee gegeven plaatsen? 3

7 (3) hoe vind je een kotste oute die langs alle plaatsen gaat? Je zult zien dat je als je deze vagen kunt beantwooden ook poblemen kunt oplossen die op het eeste gezicht niets met wegennetweken te maken hebben. Je kunt namelijk veel andee poblemen voostellen als een wegennetwek. Deze kun je dan ook wee met behulp van een gaaf pobeen op te lossen. Het is zelfs zo dat veschillende situaties tot hetzelfde model kunnen leiden. 1.2 Opgaven 1. Vezin zelf 3 voobeelden van situaties die je als gaaf kunt weegeven en teken die gafen. 2. Kun je situaties vezinnen die tot hetzelfde model leiden als de gafen die je bij 1. hebt getekent? 3. Een gaaf heet volledig als elk punt in de gaaf vebonden is met alle andee punten in de gaaf. Hieonde zie je de volledige gaaf met 4 punten. (a) Teken de volledige gaaf met 6 punten. (b) Hoeveel kanten heeft een volledige gaaf met n punten? 4. Hieonde zie je twee gelijke gafen. C D D Twee gafen zijn gelijk als ze dezelfde (knoop)punten hebben en als tussen dezelfde punten evenveel kanten lopen die indien we het ove een geichte C 4

8 gaaf hebben dezelfde ichting hebben. Welke van de volgende gafen komen met elkaa oveeen? ` C C ` C H H H C C D E 5

9 2 Kotste bomen Hoe vind je een kotste wegennetwek dat alle plaatsen met elkaa vebindt? Vebinden wil zeggen dat je vanuit elk punt iede ande punt(eventueel via andee punten) kunt beeiken. ls voobeeld nemen we een pobleem met detien plaatsen: mstedam en de twaalf Nedelandse povinciehoofdsteden. Een mogelijk netwek zie je in guu 4. L G H L Z DH U D M M Figuu 4: Een wegennetwek in Nedeland Hoe bepaal je nu het kotste netwek? We maken hievoo een model waabij we een ongeichte gaaf gebuiken. De steden stellen we als punten voo en de wegen tussen die steden als kanten. De afstanden tussen twee steden i en j noemen we dan c ij. Kant ij heeft dus een lengte c ij. Voobeeld ls i = mstedam en j = Den Haag dan is c ij de afstand tussen mstedam en Den Haag. Ook als we het ove andesootige poblemen hebben b.v. leeftijdsveschillen hebben we het nog steeds ove lengte c ij. We nemen aan dat c ij 0voo alle ij: de lengtes zijn niet-negatief. Een eeks kanten ij jk kl lm ::: die op elkaa aansluiten noemen we een pad. Een gesloten pad waavan het beginpunt en het eindpunt samenvallen 6

10 heet een cicuit. Voobeeld ls i = mstedam j = Den Haag k = Utecht en l = Lelystad dan is ij; jk; kl; li het cicuit mstedam-den Haag-Utecht-Lelystad-mstedam. Je kunt meedee cicuits binnen een gaaf hebben. Een netwek dat alle punten met elkaa vebindt en geen cicuits bevat heet een boom. In een boom is e tussen elk tweetal punten pecies een pad. En een boom op 13 punten bestaat uit 12 kanten. Het netwek waa je naa op zoek bent bevat natuulijk geen cicuits. Vaag: Waaom kan zo'n netwek geen cicuits hebben? 2.1 Het 'Geedy' lgoitme Je zoekt dus naa een boom die zo is opgebouwd dat als je alle lengtes van zijn kanten bij elkaa optelt je een zo klein mogelijk getal kijgt. We noemen dit een kotste boom. Hievoo bestaat een algoitme. (Een algoitme is een soot ecept van hoe je iets moet doen). Dit algoitme ziet e als volgt uit: 1. Kies een willekeuig punt i in je gaaf als begin van je netwek. 2. ls je netwek nog niet alle punten bevat bepaal dan twee punten k en j met j in het netwek en k niet waavoo c jk minimaal is. Voeg de kant kj aan het netwek toe. ls e meede mogelijkheden zijn dan kies je e een willekeuig. Dit algoitme noemen we het 'Geedy' lgoitme. 7

11 2.1.1 Voobeeld van het 'Geedy' lgoitme. E H 2 HHHH 6 H H D C Stap 1. Kies het "willekeuige punt". Stap 2. De kant E heeft de kleinste lengte. Deze kant moet je dus toevoegen. E 2 Stap 3. Vevolgens pakken we dekant met de op een na kleinste lengte. We hebben e twee namelijk C of CE met lengte 4. Kies bijvoobeeld CE. E 2 4 C 8

12 Stap 4. Nu kunnen we C niet mee in onze boom opnemen want dat zou een cicuit opleveen. De daaopvolgende kant met de kleinste lengte is C met lengte 5. E C Stap 5. Hiena zouden de kanten en E in aanmeking komen maa deze leveen ook beide een cicuit dus kiezen we kant DE met lengte 7. Hiemee hebben we een kotste opspannende boom geceeed met lengte E D Opmeking: ls we bij de tweede Stap C hadden genomen in plaats van CE dan hadden we een andee kotste opspannende boom gekegen maa de lengte is dan nog steeds 18. ls je dit algoitme op de steden van Nedeland toepast dan kijg je de oplossing die je hieonde ziet. C 9

13 L G H L Z DH U D M M Figuu 5: Kotste wegennetwek in Nedeland 2.2 ewijs van het 'Geedy' lgoitme Geeft dit algoitme dat het "Geedy" lgoitme genoemd wodt nu echt de kotste boom? Ja en dit kunnen we ook laten zien. Laten we nog eens bij stap (1) beginnen. Stap 1 is het kiezen van een punt i. Dit punt zit zeke in de kotste boom want alle punten van de gaaf moeten in de kotste boom zitten. Nu kies ik een punt j uit de gaaf dat de kotste afstand heeft tot punt i van alle punten in de gaaf. De boom bestaande uit die twee punten is de kotst mogelijke boom tussen die twee punten binnen onze gaaf. Vevolgens kiezen we een punt k dat de kotste afstand heeft tot punt i of punt j van alle punten in de gaaf uitgezonded i en j natuulijk want die zitten al in je boom. Na toevoegen van punt k met de bijbehoende kotste kant is de boom die uit die punten bestaat nog steeds de kotste boom tussen die die punten. Zo kunnen we vede gaan totdat we alle punten hebben gehad. De enige voowaade waa je aan moet houden is dat je geen cicuits mag maken.(zie voobeeld ) Stel eens dat je kijkt naa het stukje boom dat in stap 2 van je algoitme af is. Dit is een netwek op een gedeelte van alle punten in de gaaf (een deelvezameling van de vezameling van alle punten in je gaaf). In het voobeeld zijn dit de punten en E met kant E. Dit netwek zit ook in een kotste boom op je hele gaaf. We kiezen nu op gond van het algoitme de twee punten C en E; C zit nog niet in je netwek E wel. Veondestel nu eens dat de kant CE niet in je kotste boom zit. Dan moet C via een ande pad met je netwek vebonden zijn. In dit pad zit een kant bijvoobeeld met in je netwek 10

14 en niet waavan we zeke weten dat c c CE andes konden we E en C niet zo kiezen in stap 2 dus mogen we c doo c CE vevangen. E C Figuu 6: Waaom de boom niet kote kan 2.3 Opgaven 1. Teken alle veschillende kotste bomen bij voobeeld In de volgende tabel zie je de afstanden (in mijlen) tussen zes plaatsen in Ieland. Teken een gaaf en gebuik het "Geedy" lgoitme om een kotste boom te vinden die deze plaatsen vebindt. thlone Dublin Galway Limeick Sligo Wexfod thlone Dublin Galway Limeick Sligo Wexfod Een inbaakalam is weegegeven in de vom van een gaaf waavan de kanten gemaakt zijn van zee kostbaa kopedaad. Elke kant heeft een veschillende waade (=lengte). Het alam gaat af als de gaaf niet vebonden is. Een inbeke wil zoveel mogelijk van het kostbae kopedaad stelen. Welke kanten moet hij weghalen om een maximale buit binnen te kijgen? 4. Laat zien hoe je het "Geedy" lgoitme moet aanpassen om een langste opspannende boom te ceeen. 11

15 5. Maak bij de volgende tabellen een gaaf en zoek hiebij een kotste en een langste opspannende boom. elijn Londen Madid Moscou Paijs Rome elijn Londen Madid Moscou Paijs Rome bed. Edinb. F.W. Glasg. Inv. Peth bedeen Edinbugh Fot William Glasgow Inveness Peth lgoitme van Pim-Dijksta Het 'Geedy' lgoitme is makkelijk met de hand toe te passen als je een kleine gaaf hebt. Om het doo een compute te laten doen is echte moeilijke. Je wilt steeds de kanten odenen op aopende lengte en je moet steeds kijken of e geen cicuit ontstaat. Doo een kleine aanpassing in het "Geedy" lgoitme is dit op te lossen. Het algoitme dat dan oveblijft is bete bekend als het "lgoitme van Pim-Dijksta" en loopt als volgt: 1. Je maakt eest een tabel van alle kanten tussen de knopen in je gaaf. 2. Neem nu een willekeuige knoop in je gaaf. Deze komt in de boom die je wilt ceeen. Stel je kiest. 3. Vewijde nu ij uit je tabel en zoek in kolom de kleinste waade op. 4. Kijk welke knoop bij deze kleinste waade hoot. Stel dat is knoop C. 5. Voeg dan kant C aan je boom toe. 6. Vewijde ij C uit je tabel en zoek nu inde kolommen en C naa de kleinste waade. 7. Hehaal nu vanaf stap 4 waabij je steeds bij een kolom mee naa de kleinste waade moet zoeken. 8. ls je geen ijen mee ove hebt in je tabel heb je een kotste boom gevonden. 12

16 2.4.1 Voobeeld van het lgoitme van Pim-Dijksta E H 2 HHHH 6 H H D C Stap 1. ij de gaaf in de bovenstaande guu hoot de volgende tabel: C D E C D E Stap 2. Kies om je boom mee te beginnen. Stap 3. Ik moet nu dus ij uit de tabel vewijdeen en de kleinste waade in kolom opzoeken. 13

17 C D E C D E Stap 4 en 5. Uit de tabel blijkt nu dat C de kant ismet de kleinste lengte dus voeg je kant C en knoop C aan je boom toe. 5 Stap 6. Nu moet je ij C uit de tabel halen en de kleinste waade in kolom of kolom C opzoeken. C C D E D E Stap 7 C en CE zijn de volgende kanten met de kleinste lengte waadoo je boom gote kan woden. Kies daa eentje van C. De boom wodt uitgebeid met kant C en knoop. 14

18 4 5 Stap 8. Rij haal je uit de tabel en de kleinste waade die je vindt onde de kolommen C en is die in ij E nl.: 2. C C D E D E Stap 9. Vegoot je boom met kant E en knoop E en haal ij E uit je tabel. E C C D E D

19 Stap 10. In de kolommen C en E vind je nu onde E de kleinste waade. De laatste kant die je aan mijn boom plakt is dus kant EDwaamee je dan tegelijk als laatste knoop D toevoegt. lle knopen van de oiginele gaaf komen voo in de boom en dit is een kotste opspannende boom van de gaaf. E 2 7 D 4 5 C N..: E zit nog een addetje onde het gas. De boom bestaat uit kanten van de oosponkelijke gaaf. Dat wil zeggen: je mag alleen wegen aanleggen die gegeven plaatsen dus wekelijke punten uit je gaaf met elkaa vebinden. ls de plaatsen nu eens liggen op de hoeken van een gelijkzijdige diehoek dan bestaat de boom uit twee van de die zijden. Maa het is voodelige een nieuwe plaats te ceeen in het middelpunt van de diehoek en die met de die gegeven plaatsen te vebinden. Doo punten toe te voegen kun je ook de boom in guu 5 nog ink vebeteen. Je zoekt dan naa een kotste Steine-boom. Hieonde zie je de Steinde-boom bij een gelijkzijdige diehoek. T 1 T 1 T T T 1 T 1 T 1 TT T T T T T T x x x 2.5 Opgaven 1. Los opgaven 2 t/m 5 uit 2.3 op met behulp van het "lgoitme van Pim- Dijksta". 2. epaal de lengte van de Steine-boom in het voobeeld van de gelijkzijdige diehoek. 16

20 3. Hieonde zie je een gaaf op vie punten met daanaast de ovestap naa de bijbehoende Steine-boom. epaal de positie van de punten. 17

21 3 Kotste paden E bestaat ook een algoitme waamee je het kotste pad tussen twee plaatsen kunt vinden. Dat algoitme is vij ingewikkeld en moet je alleen gebuiken bij gote gafen. Het kotste pad in de linkegaaf tussen en is E dat zie je zo. Maa een kotste pad tussen S en T in de echtegaaf is niet zomaa te zien H H HH C E D S PPZ H 1 P? 4 Z PPPq P PPP HHHHHj H ZZZ~ H Z9 3 ZZU 7 Z R 3 C D Voodat we het algoitme fomuleen passen we het eest toe met de echtegaaf als voobeeld. T 3.1 Een algoitme om een kotste pad te vinden In het hieondestaande netwek zoeken we het koste pad van S naa T. Om niet in de wa te aken doo alle getalletjes die in je gaaf komen te staan stop je alle gegevens die je vezakelt tijdens het zoeken naa het kotste pad in een tabel. 7 6 S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # # \ 1 # \ 6# \ # D S noemen we punt 1. De lengte tot nu toe geef je aan met L(1). L(1) is dus 0. De eeste ij in je tabel geeft je de naam van de knoop of knopen die net een lengte hebben gekegen. De eeste ij in je tabel wodt in dit geval dus ij S. knopen S C D T S

22 Nu kijk je naa knopen die je via een kant vanuit S kunt beeiken. In dit geval zijn dat ; ; C en D. Deze kijgen nu elk een mek een voolopige bovengens van S naa die punten M() =7M() =4M(C) =9enM(D) = S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 9 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D is de knoop met het kleinste mek. kijgt nu L() = 4 en de tweede ij in je tabel wodt ij. Vevolgens kijk je naa de knopen die diect vanuit beeikbaa zijn ( en C). De meken van deze knopen woden nu aangepast M() =5enM(C) =7.Dit vewek je gelijk in je nieuwe tabel S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D knopen S C D T S heeft nu het kleinste mek dus L() =5.Dan kijk je naa de knopen diect beeikbaa vanuit. Dit is alleen T. T kijgt M(T )=5+6=11. 19

23 5 7 6 S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 11 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D knopen S C D T S C en D hebben nog geen lengte. Ze hebben beide hetzelfde mek en e zijn geen knopen met een kleine mek. De lengte van C en D wodt dus 7 en de volgende ij in je tabel wodt ij C; D. De enige diect beeikbae knoop vanuit deze punten is knoop T. Vanuit C wodt het mek van T gelijk aan 10 en vanuit D wodt het mek van T gelijk aan 11. We mogen het mek van T dus aanpassen M(T ) = 10. Je hebt nu gevonden: S 1 P PPPP P 4 1 \ 0 9 PPPPPPPPPP Pq PPPP. Z Pq ZZZ~ \ Z P 6 T 4 \ # 3!!!!!!!! Z Z 10 3 # \ Z U R7 C * # \ Z Z! # \ 4 # 7 # \ 1 # \ 6# \ # 7 D 20

24 knopen S C D T S CD T 10 Het kotste pad tussen S en T is SCT. Hieonde vatten we het algoitme nog eens samen. Het beginpunt van de gaaf waain je een kotste pad zoekt noemen we punt 1. Dit punt ligt vast. Vede heeft elk punt i in de gaaf een mek M(i) de voolopige bovengens van een kotste pad van 1 naa i. M(i) wodt in elke stap die we maken aangepast. Het punt i kijgt een lengte L(i) als we op een gegeven moment bij punt i vanuit 1 zijn en M(i) kan niet mee kleine woden gemaakt. M(i) wodt dan L(i) dus: 1. We geven het beginpunt 1 een lengte L(1) = 0 en zeggen j = 1. lle andee punten i kijgen een mek M(i) =1. Het punt j is op dit moment het laatste punt dat een lengte heeft gekegen n.l We kijken naa alle punten k die nog geen lengte hebben. ls e een kant jk bestaat waabij M(k) >L(j)+c jk dan veandeen we M(k) in L(j)+c jk. 3. Nu kiezen we uit alle punten k dat punt k dat het kleinste mek M(k ) heeft en zeggen L(k )=M(k )enj = k dus j is wee het laatste punt dat een lengte heeft gekegen. Zolang e nog punten ove zijn zonde lengte hehalen we het algoitme vanaf punt 2. ls je tijdens het toepassen van het algoitme evoo kiest om alle gegevens die je vezamelt in een tabel te stoppen doe je nog het volgende: 1. oven elke kolom zet je de naam van een van de knopen in je gaaf. 2. Vevolgens geef je de eeste ij de naam van een knoop of knopen die net een lengte hebben gekegen. 3. Zet die lengte in de gelijknamige kolom en omcikel deze. 4. Om de ijen af te maken bekijk je de knopen die diect vanuit de net toegevoegde knoop beeikt kunnen woden en zetten daa de bijbehoende meken bij. In ij k onde kolom j moet dus M(k) =L(j)+c jk komen te staan. 5. Nu zoek je in de net gemaakte ij naa de kleinste waade die geen lengte is. De knoop die boven de kolom staat waain deze waade vookomt is 21

25 de naam van je volgende ij. Dit kunnen ook meedee knopen zijn als e twee gelijke kleinste waaden in je ondezochte ij vookomen. Dan zet je gewoon twee namen voo je volgende ij. 6. Hehaal vanaf 2 totdat je in je eindknoop van het pad dat je zoekt bent gekomen Voobeeld van een kotste pad. Kotste paden heb je niet alleen bij wegennetweken. De tekst die je nu leest is gemaakt met het tekstvewekingspogamma LTEX. Om een alinea in egels in te delen gebuikt LTEXeen kotste pad algoitme zie guu 7. De punten in je gaaf woden dan de plaatsen in de zin waa kan woden afgeboken. ls de tekst tussen twee punten i en j op een egel past dan hebben we daa een kant ij. Hoe vevelende de afbeking des te gote is de lengte c ij van deze kant. Het kotste pad dat LTEXvindt geeft een alinea-indeling met het gootste leesgemak. 0 De 3 ze 1 tekst 1 kan 1 op 1 de 2 tig 1 plaat 2 sen 1 wo 2 den 1 af 2 ge 3 bo 3 ken. 0 Som 3 mi 3 ge 1 af 2 be- 3 kin 3 gen 1 zijn 1 le 3 lij 3 ke 1 dan 1 an 3 de 3 e. 1 Figuu 7: Het kotste pad geeft de mooiste alinea 3.2 Opgaven 1. Maak van de volgende tabel een geichte gaaf. Zet de juiste lengtes bij de kanten en zoek een kotste pad tussen S en T. 22

26 S C D E T S C D E T Een bedijf heeft 5 vestigingen in 5 veschillende steden: C D en E. De eiskosten tussen deze steden zie je in ondestaande tabel. Wat is de goedkoopste oute tussen elk tweetal steden? C D E C D E Maak van de volgende tabel een gaaf en zoek dan vanuit S de kotste oute naa elk ande punt in de gaaf. S C D E F T S C D E F T Kun je met behulp van de tabel in opgave 3 ook een langste oute vinden? 5. 1 ewijs met volledige inductie (zie bijlage) dat je op de bescheven manie indedaad een kotste pad vindt. 1 Deze opgave is vij pittig en kan desgewenst woden ovegeslagen. 23

27 4 Kotste outes 4.1 Handelseiziges Een handelseizige moet vanuit zijn woonplaats een aantal andee steden bezoeken.'s vonds wil hij wee zo voeg mogelijk thuis zijn dus moet hij een zo kot mogelijke oute langs die steden zien te vinden. Hieonde zie je oute van een handelseizige langs de povinciehoofdsteden schematisch weegegeven. L G H L Z DH U D M M Figuu 8: Kotste oute doo 13 Nedelandse steden Dit pobleem kun je natuulijk als een gaaf voostellen. De steden (ook de woonplaats van de handelseizige) zijn punten. De wegen tussen de steden zijn de kanten die een lengte c ij hebben die gelijk is aan het aantal kilometes dat je moet ijden tussen twee steden i en j. De vaag wodt dan een cicuit te bepalen waain je pecies een kee langs iede punt gaat zodat de totale lengte dus alle lengtes bij elkaa opgeteld zo klein mogelijk is. Een cicuit dat elk punt van een gaaf pecies eenmaal bezoekt heet een Hamiltoncicuit. ij het handelseizigespobleem zoeken we in een gaaf met lengtes op de kanten naa een kotste Hamiltoncicuit. Hie vol- Het handelseizigespobleem kun je in allelei situaties toepassen. gen een aantal voobeelden: Voobeelden van het handelseizigespobleem. 1. De handelseizige woont in New Yok en moet elke plaats in de V.S. van meika met tenminste 500 inwones bezoeken. Hij mag niet vewachten 24

28 dat hij dezelfde avond wee thuis is: zijn pobleem heeft steden. Het is het gootste pobleem van dit soot waavoo een kotste oute bekend is. Je ziet hem in guu 9. Figuu 9: Kotste oute doo plaatsen in meika 25

29 2. ls Van Gend & Loos pakjes ondbengt gebeut dat vanuit een centaal depot en met mee dan een auto. De planne bepaald eest welke wagen naa welk ades gaat en lost dan voo elke wagen een handelseizigespobleem op; zie guu 10. In wekelijkheid heb je nog met een heleboel andee factoen te maken: een chaueu mag maximaal acht uu weken een klant in een voetgangesgebied moet voo tien uu 's mogens woden beleved de auto staat in een le enz. L G H L Z DH U D M M Figuu 10: Routeing van die wagens 3. Een compute bevat vaak echthoekige platen waaop allelei ondedelen zijn gemonteed. ij de fabicage van zo'n plaat bezoekt een appaaat de talloze montagepuntjes op de plaat om e een duppeltje lijm te deponeen of e met een lasestaal een gaatje in te schieten. Omdat e veel platen moeten woden behandeld moet het appaaat telkens naa het punt van uitgang teugkeen. Of het nu om lijm of om een lasestaal gaat het appaaat voet een handelseizigesoute uit met de montagepuntjes als steden. Degelijke gote poblemen komen in de paktijk vaak voo. In guu 11 zie je een kotste oute voo een pobleem met 3038 montagepunten. 26

30 Figuu 11: Kotste oute doo 3038 montagepunten 4. Is het mogelijk met een paad alle 64 velden van het schaakbod te bezoeken en na 64 zetten op het beginpunt teug te zijn? Dit is een handelseizigespobleem met de velden van het schaakbod als steden. De afstand tussen twee steden is het aantal paadenspongen dat nodig is om van het ene veld naa het andee te komen. De vaag is of e een oute van lengte 64 is. Het antwood is ja; zie guu 12. Figuu 12: Route van een paad ove het schaakbod 27

31 5. Je gaat je kame opnieuw behangen. Je hebt behang uitgezocht met een hoizontaal patoon en je wilt dat het patoon ove de hele beedte van de muu dooloopt. Twee stukken behang die naast elkaa woden geplakt moeten dus nauwkeuig op elkaa aansluiten. Je wilt de stukken behang nu zodanig uit de ol knippen dat e zo weinig mogelijk vespilling opteedt. De vespilling bestaat uit de stukken behang die je afknipt maa na aoop kunt weggooien. In dit geval zijn de stukken behang die je wilt opplakken de steden. ls je eest stuk i afknipt en dan stuk j dan is de lengte van het stuk behang tussen i en j de afstand c ij van i naa j; zie guu 13. Dit handelseizigespobleem is niet helemaal hetzelfde als de andee voobeelden. In de eeste plaats hoeft de afstand van i naa j niet gelijk te zijn aan die van j naa i. Tot nu toewas dit steeds wel het geval. In de tweede plaats zoek je niet naa een kotste (gesloten) Hamiltoncicuit maa naa een kotste (open) Hamiltonpad. eide poblemen lijken heel veel op elkaa. ls je het cicuit-pobleem kunt oplossen kun je het pad-pobleem ook aan. Dan laat je immes gewoon de laatste kant weg. Figuu 13: Het behangen van je kame 28

32 Opmeking Om de voobeelden en de opgaven wat eenvoudige te maken nemen we die dingen aan: 1. Het handelseizigespobleem is een pobleem dat wodt bescheven met een volledige gaaf. M.a.w. tussen elk tweetal steden is e een kant. 2. De afstanden zijn symmetisch dus c ij = c ji voo elk tweetal steden i; j. We kunnen voo het pobleem dus een model maken met een ongeichte gaaf. ij de beschijving van het pobleem hebben we deze veondestelling eigenlijk al gemaakt. Voobeelden 1 t/m 5 voldoen aan deze veondestelling voobeeld 6 niet. 3. De afstanden voldoen aan de diehoeksongelijkheid dat wil zeggen: c ik c ij + c jk voo elk dietal steden i; j; k. In wooden: ls je omijdt schiet je e niets mee op; je legt dan altijd een even lange of langee afstand af dan de echtsteekse afstand tussen je twee gekozen steden. Vaag: Veondestellingen (2) en (3) betekenen dat c ij 0voo alle ij. De lengtes van de kanten zijn niet-negatief. Kun je dat bewijzen? 4.2 Moeilijkheden van het handelseizigespobleem Het handelseizigespobleem kom je zoals je gezien hebt oveal tegen: op de weg in de fabiek en thuis. Het is kenmekend voo de poblemen die we inde combinatoische optimaliseing tegenkomen: 1. E woden discete keuzes gemaakt. (Disceet betekent dat je 'ja' of 'nee' kiest of '0' of '1' 'zwat' of 'wit' e zitten geen gijswaaden tussen. Het pobleem is niet continu.) Een kant komt wel of niet in een oute voo. 2. Het pobleem is makkelijk te omschijven. Iedeeen kan het begijpen. 3. Maa het pobleem is heel lastig optimaal op te lossen. Nu kun je natuulijk zeggen: "Hoezo lastig op te lossen?" Veel wiskundigen vinden het juist een heel gemakkelijk pobleem. Zij zeggen: "Hoe goot het aantal steden ook is het aantal mogelijke outes is eindig. Elke oute heeft een lengte en onde een eindig aantal outes die elk een lengte hebben is e een kotste." Wat ze zeggen is natuulijk juist; het laat in iede geval zien dat e een kotste oute bestaat. Maa het pobleem is die kotste oute te vinden ofwel: het pobleem is een algoitme te bedenken waamee je voo een gegeven pobleem in edelijke tijd een kotste oute vindt. Je zou alle outes een voo een kunnen bekijken maa dit duut veel te lang als je veel steden hebt. 29

33 Vaag: Hoeveel outes heb je bij 13 steden? ls je de bovenstaande vaag hebt kunnen beantwooden weet je dat e bij 60 steden al mee outes bestaan dan e atomen in het heelal zijn. Toch woden tegenwoodig veel gotee handelseizigespoblemen snel optimaal opgelost uiteaad zonde ze allemaal te bekijken. Wat vestaan we onde snel oplossen? Een algoitme wodt snel genoemd als bij n steden het aantal stappen van de beekening evenedig is met n of n 2 of n- tot-de-een-of-andee constante macht. Een aantal stappen dat evenedig is met 2 n n n of n! is taag. lgemeen gespoken noemen we een polynomiale ekentijd edelijk (uit te dukken in een n-de gaads functie waabij n een constante is) maa alles wat exponentieel of ege is niet. lgoitmes voo het vinden van kotste bomen en kotste paden zijn snel maa voo het handelseizigepobleem bestaat geen snel algoitme dat altijd de snelste oute vindt. Tenminste: tot nu toe heeft niemand zo'n algoitme kunnen vinden. Dit betekent dat e keuzes moeten woden gemaakt. ls je echt de kotste oute wilt vinden dan zal dit tijd kosten. ls je die tijd niet hebt weet je dat je een oute vindt die niet pe se de kotste hoeft te zijn. 4.3 lgoitmes voo het benadeen van het optimum voo het handelseizigespobleem Het beste-buu-algoitme Een eenvoudig en snelle egel voo het vinden van een oute wekt als volgt: 1. We beginnen in een willekeuige stad. 2. ls je nog niet in alle steden bent geweest dan ga je naa de dichtstbijzijnde nog niet bezochte stad. 3. ls alle steden zijn bezocht ga dan vanuit de stad waa je bent naa het beginpunt. 30

34 D C Kies punt Voeg toe C D C D wodt toegevoegd C wodt toegevoegd Figuu 14: este-buu-oute vanuit mstedam In guu 14 zie je hoe dit algoitme het pobleem uit voobeeld 1 heeft opgelost. Het esultaat is helemaal niet optimaal. Een beste-buu-algoitme is meestal matig tot slecht Het invoegingsalgotime Het beste-buu-algoitme constueet een oute doo aan een pad telkens een kant toe te voegen. Het invoegingsalgoitme maakt een oute doo aan een gedeeltelijke oute waa niet alle steden in zitten steeds een stad toe te voegen. Dit wekt op de volgende manie: 1. egin met een gedeeltelijke oute bestaande uit een willekeuig gekozen stad. 2. ls deze willekeuig gekozen gedeeltelijke oute nog niet uit alle steden 31

35 bestaat kies dan twee steden k en j met j wel in de oute en k niet zodanig dat c jk minimaal is. 3. ls i een buu van j in de oute is vevang dan de kant ij in de oute doo ik en kj. D C Kies punt Voeg en oute toe C D C D wodt toegevoegd de kanten D en D vevangen C wodt toegevoegd de kanten C encd vevangen D Deze methode lost het pobleem uit voobeeld 1 optimaal op (zie guu 14 plaatjes 1-13). Het invoegingsalgoitme geeft ove het algemeen een bete esultaat dan het beste-buu-algoitme. E kan nog steeds een goot veschil met het optimum zijn maa dit veschil blijft begensd: de oute die je met het invoegingsalgoitme vindt is gegaandeed kote dan twee kee de kotste oute. 32

36 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Figuu 15: Het invoegingsalgoitme in actie 33

37 4.3.3 Uitwisselingsalgoitmen Het beste-buu-algoitme en het invoegingsalgoitme constueen stapsgewijs een oute. Uitwisselingsalgoitmen gaan uit van een volledige oute en pobeen die stapsgewijs te vebeteen. Dit gaat meestal via het uitwisselen van kanten. Je kunt natuulijk zoveel kanten uitwisselen als je zelf zou willen een twee of mee. We hebben het dan ove 1-uitwisseling 2-uitwisseling etc. Een t- uitwisseling is dus een uitwisseling waabij t kanten van een oute vevangen woden doo t andee kanten zodanig dat e wee een oute ontstaat. Figuu 15 laat een 2-uitwisseling en een 3-uitwisseling zien. ls de nieuwe oute kote is dan de oude is e een vebeteing beeikt en begint het poces van voen af aan. Dat gaat doo totdat de oute doo een t-uitwisseling niet vede kan woden vebeted. We noemen de oute dan t-optimaal. (a) 2-Uitwisseling (b) 3-Uitwisseling Figuu 16: t-uitwisselingen In tegenstelling tot de constuctieve algoitmen zijn uitwisselingsalgotimen niet snel. ovendien kunnen de esultaten net als bij het beste-buu-algoitme behoolijk slecht zijn maa dit is dan wel het egst denkbae geval. In wekelijkheid valt het met de ekentijd en de pestaties eg mee en woden deze algoitmen vaak gebuikt. 34

38 4.4 Opgaven 1. Pobee eens een voobeeld van het beste-buu-algoitme te maken waavoo het nog slechte gaat dan in guu Leg uit waaom de oute die je met het invoegingsalgoitme vindt kote is dan twee kee de kotste oute. 3. epaal in ondestaande gaaf met alle bespoken algoitmes de kotste oute tussen CDEF N.. De kanten E C C E en CF zijn om de gaaf ovezichtelijk te houden niet getekend. Zij hebben alle lengte E F. J 4 D ````````` JJ 5 5 J 2 3 JJ 1 C Vezin zelf een leuke toepassing bij het handelseizigepobleem. 35

39 5 Gemengde Opgaven 1. Een dansschool heeft als egel dat je je als een stel moet aanmelden d.w.z.: een jongen en een meisje moeten zich samen aanmelden. Iedeeen heeft dan een danspatne. We maken hievan een voostelling met een gaaf waain de punten links de meisjes en de punten echts de jongens voostellen. ls een jongen en een meisje mogelijke patnes zijn dan geven we dit aan met een kant tussen de beteende punten. In guu 17 zie je twee mogelijke situaties. In die situaties zijn e pe pesoon ongevee die mogelijke danspatnes. Zoek voo beide situaties een vedeling in twaalf stellen. ngel ntoon ngel ntoon ea enhad ea enhad Caie Co Caie Co Dois Dik Dois Dik Eva Edwad Eva Edwad Fances Fank Fances Fank Gwen Gead Gwen Gead Hennie Haie Hennie Haie Ingid Ivo Ingid Ivo Jeanette Jeoen Jeanette Jeoen Keetje Kees Keetje Kees Laua Lambet Laua Lambet Figuu 17: Poblemen ond de dansles 2. In de paagaaf ove kotste paden staat in guu 7 een stukje tekst waain de mogelijke afbekingen zijn aangegeven en hoeveel elke afbeking kost. Plaats deze tekst op een bladzijde waaop maa 15 tekens naast elkaa kunnen staan. 36

40 3. In guu 18 zie je de zogenaamde Petesen-gaaf. Heeft de Petesengaaf een Hamiltoncicuit? Figuu 18: Petesen-gaaf 4. Het statenplan in guu 19 heeft 32 punten. lle kanten hebben een lengte 1. De afstand tussen twee punten is de lengte van het kotste pad etussen. Hoe lang is de kotste oute langs deze 32 punten? Laat zien dat de beste-buu-algoitme een oute zou kunnen vinden (doo af en toe een slechte keus te maken wannee mee dan een ades het dichtstbij ligt) die tweemaal zolang is als de kotste. Figuu 19: Statenplan voo 32 adessen 37

41 IJLGE Volledige inductie Volledige inductie is een manie om te bewijzen dat een algoitme een fomule een patoon voo elk positief geheel getal waa is. Hoe het wekt kun je zien in het volgende voobeeld: We tellen steeds opvolgende oneven getallen beginnend bij 1 bij elkaa op dus: 1+3 =4 = =9 = =16 = =25 = =36 =6 2 Het lijkt eop dat de optelling van n opvolgende oneven getallen beginnend bij 1 steeds n 2 oplevet. Je denkt natuulijk dat dit altijd zo doogaat maa hoe kun je dat bewijzen? We kijken eest wat we pecies willen laten zien. Dat is in dit geval: :::+(2n 1) = n 2 Dit is een beweing en we noemen deze beweing even P (n). Met volledige inductie gaan we nu laten zien dat P (n) waa is voo alle mogelijke n. Dit gaat niet doo maa willekeuig een heel goot getal in te vullen. E is namelijk altijd een mogelijkheid dat het voo een nog gote getal niet mee geldt en het is natuulijk onmogelijk om alle getallen te contoleen. Eigenlijk hebben we maa twee dingen nodig. Eest moeten we laten zien dat P (n) waa is voo n =1 (dat wil zeggen P (1) is waa) en dan willen we laten zien dat als P (n) waa is voo een willekeuige n dat dan automatisch P (n + 1) ook waa is. Je kunt je dit misschien voostellen als een soot domino-eect. ls een dominosteen valt dan valt de volgende ook en die daana ook en die daana enzovoots. Dus als we de alleeeste steen omgooien (als P (1) waa is) dan valt de hele ij dominostenen (P (n) is dan waa voo alle n) omdat elke steen doo zijn voogange zal woden omgetikt en zelf wee zijn opvolge omgooit. Dus in ons geval kijken we eest of geldt: 1=1 2 Dit is natuulijk auw. Laten we nu eens aannemen dan P (n) waa is voo een willekeuige n. Dus neem aan dat: :::+(2n 1) = n 2 Het volgende oneven getal na (2n 1) is (2n + 1). We tellen dit bij allebei de kanten van het gelijkteken in onze beweing op: 38

42 :::+(2n 1)+(2n +1)=n 2 +(2n +1) We weten dat (n +1) 2 = n 2 +2n + 1 dus wodt het voogaande nu: :::+(2n 1)+(2n +1)=(n +1) 2 en dat is pecies P (n + 1). We hebben dus laten zien dat als P (n) waa is voo een willekeuige n dan is ook P (n +1)waa. We hadden n willekeuig gekozen en daaom mogen we nu ook elk geheel getal dat we kunnen bedenken invullen. ls ik n = 1 neem dan is P (1) waa dat was duidelijk. Je ziet uit het voogaande dat dan P (2) ook waa is. Maa als P (2) waa is dan is ook P (3) waa enz. De beweing zal altijd gelden dus hebben we met behulp van volledige inductie kunnen vaststellen dat P (n) indedaad voo alle positieve gehele getallen n waa is. 39

9. Matrices en vectoren

9. Matrices en vectoren Computealgeba met Maxima 9. Matices en vectoen 9.1. Vectoen In Maxima is een vecto een datatype bestaande uit een geodende lijst (ij) van gelijksootige elementen welke via een index kunnen woden geselecteed.

Nadere informatie

Inclusie en Exclusie groep 1

Inclusie en Exclusie groep 1 Inclusie en Exclusie goep 1 Tainingsweek 8 13 juni 2009 Venndiagammen Als voo elementen in een vezameling twee veschillende eigenschappen een ol spelen, dan kun je voo deze vezameling een Venndiagam tekenen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 15 mei uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 15 mei uur Eamen VW 07 tijdvak maandag 5 mei.0-6.0 uu wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 5 vagen. Voo dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voo elk vaagnumme staat hoeveel punten met een goed antwood

Nadere informatie

Eenparige cirkelbeweging

Eenparige cirkelbeweging Inhoud Eenpaige cikelbeweging...2 Middelpuntzoekende kacht...4 Opgave: Looping...5 Opgave: McLaen MP4-22...6 Opgave: Baanwielennen (tack acing)...8 Gavitatie...8 Zwaate-enegie...9 Opgave: Satellietbanen...10

Nadere informatie

Inhoudsopgave Gafen 2 2 Kose bomen 2 3 Kose paden 4 4 Kose oues 4. Handelseiziges Moeilijkheden van he handelseizigesp

Inhoudsopgave Gafen 2 2 Kose bomen 2 3 Kose paden 4 4 Kose oues 4. Handelseiziges Moeilijkheden van he handelseizigesp Kun je me de kose weg veellen? Inhoudsopgave Gafen 2 2 Kose bomen 2 3 Kose paden 4 4 Kose oues 4. Handelseiziges............................ 4.2 Moeilijkheden van he handelseizigespobleem.......... Gemengde

Nadere informatie

Visualisatie van het Objectgeoriënteerde Paradigma. Arend Rensink Faculteit der Informatica, Universiteit Twente e-mail: rensink@cs.utwente.

Visualisatie van het Objectgeoriënteerde Paradigma. Arend Rensink Faculteit der Informatica, Universiteit Twente e-mail: rensink@cs.utwente. Visualisatie van het Objectgeoiënteede Paadigma. Aend Rensink Faculteit de Infomatica, Univesiteit Twente e-mail: ensink@cs.utwente.nl Samenvatting Pogammeeondewijs maakt een wezenlijk deel uit van elke

Nadere informatie

Beantwoord de vragen bij Verkennen. Denk aan de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus!

Beantwoord de vragen bij Verkennen. Denk aan de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus! 1 Vectoen in 2D Vekennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectomeetkunde Vectoen in 2D Inleiding Vekennen Beantwood de vagen bij Vekennen. Denk aan de goniometische vehoudingen sinus

Nadere informatie

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert.

Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert. Cikelbewegingen Gaden adialen Zie bladzijde 135 t/m 137 Baiboek wikunde van de Caat en Boch ISBN 90-430-1156-8 Een aanade voo Sinteklaa! http://taff.cience.uva.nl/~caat/functiene.pdf Eenpaige cikelbeweging

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-I

wiskunde B pilot vwo 2017-I wiskunde B pilot vwo 07-I Fomules Goniometie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u)

Nadere informatie

12 Grafen en matrices. bladzijde 209 31 a. Gemengde opgaven 99

12 Grafen en matrices. bladzijde 209 31 a. Gemengde opgaven 99 afen en matices bladzijde a M M M M 4 emengde opgaven b M M M S M M M 4 4 P P P 5 4 4 c e R geeft P P P S 7 8 7 4 c geeft aan dat e voo één eenheid P eenheden nodig zijn c geeft aan dat voo één eenheid

Nadere informatie

Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games)

Optimale strategieën voor gunstige binomiale spellen (Engelse titel: Optimal control of favourable binomial games) Technische Univesiei Delf Faculei Elekoechniek, Wiskunde en Infomaica Delf Insiue of Applied Mahemaics Opimale saegieën voo gunsige binomiale spellen (Engelse iel: Opimal conol of favouable binomial games)

Nadere informatie

Centraal Bureau voor de Statistiek

Centraal Bureau voor de Statistiek Methodebeschijving Outputpijsindexcijfe van nieuwbouwwoningen 1. Inleiding Dit is een methodebeschijving van de statistiek Outputpijsindexcijfe van nieuwbouwwoningen (O-PINW). De beschijving heeft alleen

Nadere informatie

Uitwerkingen bij de opgaven van. De Ster van de dag gaat op en onder

Uitwerkingen bij de opgaven van. De Ster van de dag gaat op en onder Uitwekingen bij de opgaven van De Ste van de dag gaat op en onde Statopgave Google Maps geeft bijvoobeeld 52.382306, 6.644897. Mocht je niet bekend zijn met de begippen Noodebeedte en Oostelengte, zoek

Nadere informatie

Het is voorjaar en nieuwe samenwerkingen bloeien op. Het samenwerken met

Het is voorjaar en nieuwe samenwerkingen bloeien op. Het samenwerken met Zog dieen aansluit Aansluitende zog Het is voojaa en nieuwe samenwekingen bloeien op. Het samenweken met Jaagang 5 1 Lente 2014 De MediantKant is een uitgave van Mediant Geestelijke Gezondheidszog en geeft

Nadere informatie

Ter info. a m/s² a = Δv/Δt Toetsvraag 1. v m/s v = 2πr/T Toetsvraag 4

Ter info. a m/s² a = Δv/Δt Toetsvraag 1. v m/s v = 2πr/T Toetsvraag 4 Te info Deze toets geeft je een idee van je kennis ove de begippen uit de tabel hieonde. Dit zijn de voonaamste begippen die in de leeplannen van het middelbaa ondewijs aan bod komen. Je mag de vagen oplossen

Nadere informatie

De Creatieve Computer

De Creatieve Computer De Ceatieve Compute J.I. van Hemet jvhemet@cs.leidenuniv.nl 1 Intoductie Als we de evolutie van computes vluchtig bekijken dan zien we dat de taken die doo computes woden uitgevoed steeds ingewikkelde

Nadere informatie

- gezonde dieren, gezonde mensen

- gezonde dieren, gezonde mensen pagina 1 van 8 Jaaveslag 2000 Wood van de voozitte Afgelopen jaa is voedselveiligheid een belangijk item in Euopa geweest, denk alleen maa aan de BSE-cisis. Het is dan ook niet moeilijk voo te stellen

Nadere informatie

collectieformules zorgt ervoor

collectieformules zorgt ervoor collectiefomules zogt evoo 2015 De Collectie-fomules bpost biedt u meedee Collectie-fomules aan. Elk van deze fomules geeft u de zekeheid om die postzegels te ontvangen die het best passen in uw vezameling.

Nadere informatie

Standaarden Verpleeghuiszorg

Standaarden Verpleeghuiszorg Standaaden Vepleeghuiszog Vesie septembe 2010 Mw. E. Cox, MA, NVLF Mw. ds. C. Koolhaas, NVLF Mw. A. van Hemet, MA, NVLF 1 Inhoud 1..Inleiding...3 1.1 Doel standaaden en checklisten...3 1.2 De logopedist

Nadere informatie

3 De wetten van Newton

3 De wetten van Newton 3 De wetten an Newton I Cultuuhistoische achtegond De Giek Aistoteles (384.Ch.-3.Ch.) wodt beschouwd als een an de inloedijkste klassieke filosofen in de westese taditie. Zijn opattingen hebben eeuwenlang

Nadere informatie

Het Informatieportaal voor Financiële Veiligheid. De 4 bedreigingen voor je spaargeld vandaag

Het Informatieportaal voor Financiële Veiligheid. De 4 bedreigingen voor je spaargeld vandaag Het Infomatiepotaal voo Financiële Veiligheid De 4 bedeigingen voo je spaageld vandaag Veval van de systeembanken Veval van de systeembanken De Vie gote Bedeigingen 1. Veval van de systeembanken 2. 3.

Nadere informatie

Bijlage 3: Budgetbrief. Bureau Jeugdzorg Noord-Brabant. Postbus 891. 5600 AW Eindhoven. t.a.v. mevrouw H.F. van Breugel. Bergen op Zoom, 25 juni 2014

Bijlage 3: Budgetbrief. Bureau Jeugdzorg Noord-Brabant. Postbus 891. 5600 AW Eindhoven. t.a.v. mevrouw H.F. van Breugel. Bergen op Zoom, 25 juni 2014 -CONCEPT Bijlage 3: Budgetbief Bueau Jeugdzog Nood-Babant Postbus 891 5600 AW Eindhoven t.a.v. mevouw H.F. van Beugel Begen op Zoom, 25 juni 2014 Geachte mevouw van Beugel, Confom de afspaken in de "Babantbede

Nadere informatie

Handleiding leginstructies

Handleiding leginstructies www.alityfloos.nl Handleiding leginstcties Gaat binnenkot een hoten vloe leggen? Met de leginstcties van Qalityfloos E.W.F. heeft de jiste kennis binnen handbeeik. Is deze kls toch niet aan besteedt, of

Nadere informatie

Voor een stad om van te houden. Amsterdam Nieuw-West Osdorpplein 54. 3-kamer appartement op de eerste verdieping. Netto huurprijs 819 Per maand

Voor een stad om van te houden. Amsterdam Nieuw-West Osdorpplein 54. 3-kamer appartement op de eerste verdieping. Netto huurprijs 819 Per maand Amstedam Nieuw-West Osdopplein 54 3-kame appatement op de eeste vedieping Netto huupijs 819 Pe maand Wonen in het goenste stadsdeel van Amstedam Voo een stad om van te houden 2 In deze bochue Objectinfomatie

Nadere informatie

Centraal Bureau voor de Statistiek

Centraal Bureau voor de Statistiek Centaal Bueau voo de Statitiek Economie, Bedijven en NR Oveheidfinanciën en Conumentenpijzen Potbu 24500 2490 HA Den Haag PRJSNDEXCJFER COMMERCËLE DENSTVERLENNG 1. nleiding Dit document bechijft de methoden

Nadere informatie

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten

Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten Keple s eeste wet Afleiding Keple s eeste wet, op basis van Newton s wetten 1 Inleiding Johannes Keple leefde van 1571 tot 1630 en was een Duitse wiskundige. Afwijkend van wat tot die tijd gedacht wed,

Nadere informatie

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010)

TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N010) TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME (8N00) 8 juni 007, 4.00-7.00 uu Opmekingen:. Dit tentamen bestaat uit 4 vagen met in totaal 9 deelvagen.. Het is toegestaan gebuik te maken van bijgeleved fomuleblad en een ekenmachine.

Nadere informatie

Tentamen Electromagnetisme I, 30 juni 2008, uur

Tentamen Electromagnetisme I, 30 juni 2008, uur Tentamen Electomagnetisme I, 3 juni 8, 1. - 13. uu Het tentamen estaat uit 6 opgaven.van de vagen 3,4,5,6 woden e slechts die meegenomen voo de eoodeling. Als je alle vie inlevet woden de este die geuikt

Nadere informatie

Beredeneerd aanbod groep 1 en 2

Beredeneerd aanbod groep 1 en 2 Beedeneed aanbod goep 1 en 2 Mei 2013 Inhoudsopgave Inleiding en veantwooding blz. 3 Themaplanning blz. 5 Taal / lezen / schijven blz. 9 Rekenen / wiskunde blz. 11 Weekplanning blz. 13 Zelfstandig weken

Nadere informatie

v v I I I 10 P I 316, 10

v v I I I 10 P I 316, 10 GELUDSSNELHED Het bijkt dat de gemiddede kinetische enegie van de moecuen evenedig is met de absoute tempeatuu. De sneheid van de moecuen van een gas is evenedig met de vootpantingssneheid van geuid. eeken

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde I uur uur woensdag 12 januari 2005 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs

Tentamen Natuurkunde I uur uur woensdag 12 januari 2005 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs Tentamen Natuukunde I 09.00 uu -.00 uu woensdag januai 005 Docent Ds.J.. Vijdaghs anwijzingen: Dit tentamen omvat 4 opgaven met totaal 9 deelvagen Maak elke opgave op een apat vel voozien van naam, studieichting

Nadere informatie

WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN Dr. Luc Gheysens. z = r(cos θ + isin θ) r = de modulus van z = mod. z θ = het argument van z = arg. z.

WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN Dr. Luc Gheysens. z = r(cos θ + isin θ) r = de modulus van z = mod. z θ = het argument van z = arg. z. WERKOPDRACHT OVER COMPLEXE GETALLEN D. Luc Gheysens De goniometische schijfwijze van een complex getal Elk complex getal z a + bi kan men schijven onde de vom z (cos θ + isin θ) de modulus van z mod. z

Nadere informatie

Voor de warmteoverdracht Q van punt A naar punt B geldt de formule:

Voor de warmteoverdracht Q van punt A naar punt B geldt de formule: Wamteovedacht 6. Wamteovedacht Onde wamteovedacht wodt bedoeld de ovegang van enegie onde invloed van een tempeatuuveschil. Zolang een tempeatuuveschil aanwezig is zal wamte in een bepaalde ichting stomen,

Nadere informatie

Advies: Het college gaat akkoord met verzending van bijgaande RIB naar de gemeenteraad.

Advies: Het college gaat akkoord met verzending van bijgaande RIB naar de gemeenteraad. VOORSTEL AAN BURGEMEESTER EN WETHOUDERS & RAADSINFORMATIEBRIEF Van: C.P.G. Kaan Tel n: 06 8333 8358 Numme: 15A.01184 Datum: 10 novembe 2015 Team: Ondewijs, Welzijn en Zog Tekenstukken: Ja Bijlagen: 2 Afschift

Nadere informatie

Pieter Oosterhout Buro voor Architektuur BNA BV

Pieter Oosterhout Buro voor Architektuur BNA BV Gemeente Beuningen t.a.v. College van B&W Van Heemstaweg 46 Beuningen cc. mev. C. van Hemmen en dh. C. McQueen, Kloostestaat 1 beteft datum vezoek voooveleg woonhuis naast Kloostestaat 1, Beuningen 11

Nadere informatie

Een nieuw model voor de CBS huishoudensprognose

Een nieuw model voor de CBS huishoudensprognose Een nieuw model voo de CBS huishoudenspognose Coen van Duin en Cael Hamsen Het model waamee het CBS zijn huishoudenspognose maakt, is aangepast. De nieuwe pognose wodt beekend met een macosimulatiemodel

Nadere informatie

Westergracht 71 - Haarlem

Westergracht 71 - Haarlem Westegacht 71 - Haalem Vaagpijs! 349.000,-- k.k. Makelaaskantoo IDELER Omschijving Westegacht 71 - Haalem Op loopafstand van centum, uitgebouwde uime TRAPGEVELwoning met zonnige vezogde tuin, voozien van

Nadere informatie

Dit is geen toeval 6 Over waarom je dit boek leest en hoe je ermee aan de slag kunt gaan. Lees dit eerst. 9 Stap 1: Vind je passie 96

Dit is geen toeval 6 Over waarom je dit boek leest en hoe je ermee aan de slag kunt gaan. Lees dit eerst. 9 Stap 1: Vind je passie 96 Dit is geen toeval 6 Ove waaom je dit boek leest en hoe je emee aan de slag kunt gaan. Lees dit eest. Inleiding 10 1 Waaom goeien we? 18 Ove de uitdaging van het goeien en ove wat passie is 2 Willen en

Nadere informatie

In hoofdstuk 1 zijn algemene beschouwingen en de visie van ENECO Net- Beheer op de verdere ontwikkeling van het beheerde net opgenomen.

In hoofdstuk 1 zijn algemene beschouwingen en de visie van ENECO Net- Beheer op de verdere ontwikkeling van het beheerde net opgenomen. . INLEIDING Dit document omvat het Capaciteitsplan 2 van ENECO NetBehee zoals veeist in de Elekticiteitswet 1998 en het hieop aansluitend besluit "Regeling capaciteitsplannen Elekticiteitswet 1998" van

Nadere informatie

Voor een stad om van te houden. Amsterdam Nieuw-West Dr. H. Colijnstraat 610. 3-kamerappartement op de tiende en elfde verdieping

Voor een stad om van te houden. Amsterdam Nieuw-West Dr. H. Colijnstraat 610. 3-kamerappartement op de tiende en elfde verdieping Amstedam Nieuw-West D. H. Colijnstaat 610 3-kameappatement op de tiende en elfde vedieping Netto huupijs 820 Pe maand Luxe badkame en keuken Voo een stad om van te houden 2 In deze bochue Objectinfomatie

Nadere informatie

5 Algemene oplossing baanvergelijking, r = ξ/(1 + e cos f)

5 Algemene oplossing baanvergelijking, r = ξ/(1 + e cos f) 5 Algemene oplossing baanvegelijking, = ξ/(1 + e cos f) De bewegingsvegelijking van een planeet met massa m 2 ond de zon met massa m 1 schijven we als = GM 3, (5.1) waa M = m 1 +m 2. Omdat dit een tweedegaads

Nadere informatie

Hardmetalen stiftfrezen voor ruw gebruik speciaal in gieterijen, werven en in de staalbouw

Hardmetalen stiftfrezen voor ruw gebruik speciaal in gieterijen, werven en in de staalbouw Hadmetalen stiftfezen voo uw gebuik speciaal in gieteijen, weven en in de staalbouw Hoogendementsvetandingen, -S Innovatieve hoogendementsvetandingen met exteme schokbestendigheid Zee obuuste, kachtige

Nadere informatie

www.urban-synergy.org JOINT ARCHITECTURAL NETWORK FOR URBAN SYNERGY Betere Buurt Biotoop

www.urban-synergy.org JOINT ARCHITECTURAL NETWORK FOR URBAN SYNERGY Betere Buurt Biotoop www.uban-synegy.og JOINT ARCHITECTURAL NETWORK FOR URBAN SYNERGY Betee Buut Biotoop Betee Buut Biotoop De Betee Buut Biotoop (BBB) is een multidisciplinai poject van de stichting JANUS (Joint Achitectual

Nadere informatie

- 1 - UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015

- 1 - UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015 UITVOERINGSPLAN WMO BELEIDSPLAN RONDOM BURGERS 2012 2015 De gemeente Womeland heeft een duidelijke visie op maatschappelijke ondesteuning: elke Womelande telt mee en doet mee, ongeacht leeftijd, bepekingen

Nadere informatie

Tentamen DYNAMICA (4A240) 11 april 2011. 9.00-12.00 uur

Tentamen DYNAMICA (4A240) 11 april 2011. 9.00-12.00 uur Tentamen DYNMIC (440) apil 0 9.00-.00 uu Lees het onestaane zogvulig oo vooat u aan e opgaven begint! lgemene opmekingen: egin ieee opgave op een nieuw bla. Vemel op iee bla uielijk uw naam en ientiteitsnumme.

Nadere informatie

Eerste ronde - 20ste Vlaamse Fysica Olympiade 1. 20ste Vlaamse Fysica Olympiade. R R R p 1 2 = + = FA. l = ρ water = 1, kg/m 3 ( ϑ = 4 C )

Eerste ronde - 20ste Vlaamse Fysica Olympiade 1. 20ste Vlaamse Fysica Olympiade. R R R p 1 2 = + = FA. l = ρ water = 1, kg/m 3 ( ϑ = 4 C ) este onde - 0ste Vlaamse Fysica Olympiade 1 Met eveneens dank aan: Untwepen, K.U.Leuven, K.U.Leuven Campus Kotijk, UHasselt, UGent en VUB. 008 0ste Vlaamse Fysica Olympiade este onde x = x0 + vx t vx =

Nadere informatie

Westergracht 71 - Haarlem

Westergracht 71 - Haarlem Westegacht 71 - Haalem Vaagpijs! 349.000,-- k.k. Makelaaskantoo IDELER Oude Zijlvest 37 in Haalem Website: www.makelaaskantooideler.nl Omschijving Westegacht 71 - Haalem Op loopafstand van centum, uitgebouwde

Nadere informatie

HOEKCONTACT KOGELLAGERS

HOEKCONTACT KOGELLAGERS HOEKCONTACT KOGELLAGERS Hoekcontact kogellages Eén-ijige hoekcontact kogellages Hoekcontact kogellages zijn geschikt voo toepassingen waa een hoge nauwkeuigheid en een hoog toeental is veeist. Dit type

Nadere informatie

Uitvoeringsprogramma IHP

Uitvoeringsprogramma IHP Uitvoeingspogamma IHP -2020 Het IHP leidt tot veschillende acties voo zowel de benoemde maategelen als de vookeusscenaio s. Deze acties zijn vespeid ove IJsselstein, hebben een veschillend tijdspad en

Nadere informatie

TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015

TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015 TECHNISCHE VRAGEN RAAD bij JAARVERSLAG EN JAARREKENING 2015 Indienen uitelijk dinsdag 14 juni 2016 bij giffie@eindhoven.nl n Patij Blz Beleidsveld Secto Wethoude Vaag Antwood 50 PvdA 10 Sociale Ondesteuni

Nadere informatie

Gevoeligheidsanalyse transportparameters

Gevoeligheidsanalyse transportparameters Gevoeligheidsanalyse tanspotpaametes voo de ondegond Woute Kaeman Ed Veling Het model PROFCD (PROFile Convection-Diusion) is doo Veling (1993) gescheven om snel een inschatting te kunnen maken van het

Nadere informatie

Q l = 22ste Vlaamse Fysica Olympiade. R s. ρ water = 1, kg/m 3 ( ϑ = 4 C ) Eerste ronde - 22ste Vlaamse Fysica Olympiade 1

Q l = 22ste Vlaamse Fysica Olympiade. R s. ρ water = 1, kg/m 3 ( ϑ = 4 C ) Eerste ronde - 22ste Vlaamse Fysica Olympiade 1 Eeste onde - ste Vlaamse Fysica Olympiade 1 1 ste Vlaamse Fysica Olympiade Eeste onde 1. De eeste onde van deze Vlaamse Fysica Olympiade bestaat uit 5 vagen met vie mogelijke antwooden. E is telkens één

Nadere informatie

Onderzoek naar het effect van actief randenbeheer op akker- en weidevogels in West-Brabant

Onderzoek naar het effect van actief randenbeheer op akker- en weidevogels in West-Brabant Ondezoek naa het effect van actief andenbehee op akke- en weidevogels in West-Babant Opdachtgeve: povincie Nood-Babant Novembe 2007 Antonie van Diemenstaat 20 5018 CW Tilbug 013-5802237 Eac@home.nl Pagina

Nadere informatie

Schooljaarplan (SJP) 2015-2016

Schooljaarplan (SJP) 2015-2016 Schooljaaplan (SJP) 05-06 aam school RKBS Willibod Ades Espeantolaan Postcode en plaats 950 CZ Stadskanaal Telefoon 0599-657 Binnumme E-mail Website Diecteu Bevoegd Gezag 03RX kbs-willibod@fidadanl wwwkbs-willibodnl

Nadere informatie

Bekijk in de applet goed wat er onder de componenten van een vector wordt verstaan. Gebruik de applet en beantwoord de vragen.

Bekijk in de applet goed wat er onder de componenten van een vector wordt verstaan. Gebruik de applet en beantwoord de vragen. 1 Vecten Vekennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5 HAVO wi-d Vecten en gnimetie Vecten Inleiding Vekennen Bekijk in de applet ged wat e nde de cmpnenten van een vect wdt vestaan. Gebuik de

Nadere informatie

Kids-Gea! Maak een beverburcht kijk op pagina 4. Alles over bevers op pagina 2. Kijk op pagina 6 en 7 voor leuke activiteiten

Kids-Gea! Maak een beverburcht kijk op pagina 4. Alles over bevers op pagina 2. Kijk op pagina 6 en 7 voor leuke activiteiten Kids-Gea! Alles ove beves op pagina 2 Maak een bevebucht kijk op pagina 4 Kijk op pagina 6 en 7 voo leuke activiteiten Gatis jeugdbijlage bij het ledenblad van It Fyske Gea Winte 2015/2016 Beve: De nieuwe

Nadere informatie

Relativiteitstheorie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten

Relativiteitstheorie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten Relativiteitstheoie van Einstein: Banen van Planeten en Satellieten Banen van Planeten en Satellieten...1 1. Klassieke Mechanica: Planeetbanen... 1.1 Into: het centale massa pobleem... 1. Snelheid en vesnelling

Nadere informatie

INSTALLATIE EN TECHNOLOGIE

INSTALLATIE EN TECHNOLOGIE decembe 2014 Ovezicht expets, 26 januai 2015 INSTALLATIE EN TECHNOLOGIE Naam bedijf Installatiebedijf Bouman Geneatostaat 9, 3903 HL Veenendaal 0318-51 00 01 info@boumaninstallatie.nl www.boumaninstallatie.nl

Nadere informatie

zicht vanaf de baan (Z-O) 2014 allard architecture amsterdam filtratie en opvang regenwater grijswatersysteem caddymasters secretariaat

zicht vanaf de baan (Z-O) 2014 allard architecture amsterdam filtratie en opvang regenwater grijswatersysteem caddymasters secretariaat zicht vanaf de baan (Z-O) clubhuis clubhuis shop caddymastes kaenloods commissiekame secetaiaat shop shop caddymastes kaenloods commissiekame secetaiaat één ovekoepelend gasdak één ovekoepelend gasdak

Nadere informatie

Mechanica van Materialen

Mechanica van Materialen UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN VAKGROEP TOEGEPASTE MATERIAALWETENSCHAPPEN Mechanica van Mateialen Academiejaa 3-4 Veantwoodelijk lesgeve en auteu: Pof. d. i. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgeve:

Nadere informatie

L0000512. Garantievoorwaarden/Gebruikershandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN

L0000512. Garantievoorwaarden/Gebruikershandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN L0000512 Gaantievoowaaden/Gebuikeshandleiding DUCOTWIN/ DUCOSCREEN I. INHOUD I. INHOUD p 1 II. ALGEMEEN p 2-6 III. INSTALLATIE p 7-8 IV. GEBRUIK EN ONDERHOUD p 9-12 V. CE-ATTEST p 13 VI. BIJLAGEN p 14

Nadere informatie

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS Stichting AIM gevestigd te Eist Rappot inzake de jaastukken 2014 Vendelie4 Postbus 622 3900 AP Veenendaal T: (0318) 618666 veenendaal@schuiteman.com Schuiteman Accountants

Nadere informatie

Wat doet dit programma?

Wat doet dit programma? KORTE HANDLEIDING DIGITALE BRANCHE-RIE SLAGERSBEDRIJF Inleiding RI&E staat voo Risicolnventaisatie en -Evaluatie. Een RI&E is: een LIJST met alle isico s in uw bedijf en een PLAN voo het oplossen evan.

Nadere informatie

Eisenhowerlaan 112, Postbus 82223 NL-2508 EE Den Haag T +31 (0)70 350 39 99 F +31 (0)70 358 47 52

Eisenhowerlaan 112, Postbus 82223 NL-2508 EE Den Haag T +31 (0)70 350 39 99 F +31 (0)70 358 47 52 Rappot I.00..00.R00 SAB/ao basisschool Nieuwstaat Deumel Aoestisch ondezoe Status: CONCEPT Adviseus voo bouw, industie, veee, milieu en softwae info@dgm.nl www.dgm.nl Van Pallandtstaat -, Postbus NL-00

Nadere informatie

Zo doe je dat! @ @ www. Zo maak je een reisblog. www. www. www.reislogger.nl. www.pindat.com. www.reiskrabbels.nl. www.reismee.nl. www.gaatverweg.

Zo doe je dat! @ @ www. Zo maak je een reisblog. www. www. www.reislogger.nl. www.pindat.com. www.reiskrabbels.nl. www.reismee.nl. www.gaatverweg. Zo doe je dat! @ @ www @ www www Zo maak je een eisblog Al je viendinnen gaan kampeen in Fankijk of met z n allen aan een meetje in Italië zitten. Alleen jouw oudes hebben besloten om nu eens zeven weken

Nadere informatie

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 9 Versnellen en afbuigen (augustus 2009) Pagina 1 van 11

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 9 Versnellen en afbuigen (augustus 2009) Pagina 1 van 11 Stevin vwo deel 2 Uitwekingen hoofdstuk 9 Vesnellen en afuigen (augustus 2009) Pagina 1 van 11 Opgaven 9.1 Statische elekticiteit 1 a Jij ent positief gewoden. E stoen elektonen doo je voeten vanuit de

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopgaven hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefenopgaven hoofdstuk 2 Uitwekingen oefenopgaen hoofdstuk Opgae 1 a Met gebuik an de enegiebalans Noem het beginpunt an de al A en het tefpunt met de gond B. De totale enegie in A is gelijk aan de zwaate-enegie in A. Tijdens

Nadere informatie

Tilburg University. Reclame-uitgaven in Nederland de Blok, J. Document version: Publisher final version (usually the publisher pdf)

Tilburg University. Reclame-uitgaven in Nederland de Blok, J. Document version: Publisher final version (usually the publisher pdf) Tilbug Univesity Reclame-uitgaven in edeland de Blok, J Document vesion: Publishe final vesion (usually the publishe pdf) Publication date: 1970 Link to publication Citation fo published vesion (APA):

Nadere informatie

Theorieboekje CWO-Rb3

Theorieboekje CWO-Rb3 Theoieboekje CWO-Rb3 Vesie oktobe 2000 Watescouting Mak Twain Nedeweet intenet: http://scoutnet.nl/~scoutppx/ 1 Hoofdstuk 1: Algemene bepalingen...4 Binnenvaat Politie Reglement (BPR)...4 Toepassingsgebied...4

Nadere informatie

Asynchrone motoren (inductiemotor)

Asynchrone motoren (inductiemotor) Aynchone moto Aynchone motoen (inductiemoto) Van Genechten K. 1/94 Aynchone moto 1. Inleiding In het voige hoofdtuk hebben we de ynchone moto betudeed welke i afgebeeld op ondetaande tekening: Deze moto

Nadere informatie

Psychometrische kwaliteiten van de Recidive Inschattingsschalen (RISc)

Psychometrische kwaliteiten van de Recidive Inschattingsschalen (RISc) Cahie 2007-5 Psychometische kwaliteiten van de Recidive Inschattingsschalen (RISc) Intebeoodelaasbetouwbaaheid, intene consistentie en conguente validiteit L. M. van de Knaap L. E. W. Leenats L. T. J.

Nadere informatie

B en W - advies. nr. \j nr. J / Openbaar. Onderwerp: Aanbesteding inkoop electriciteit en aardgas (6RNV gemeenten en 4 'aanhakers') 2010-2013

B en W - advies. nr. \j nr. J / Openbaar. Onderwerp: Aanbesteding inkoop electriciteit en aardgas (6RNV gemeenten en 4 'aanhakers') 2010-2013 B en W - advies Potefeuillehoude Afdeling Advies van Datum advies Bestandsnaam Advies O.R. In oveleg met afdeling(en) Actief infomeen aad Actief infomeen wijkcontactambtenaa Advies: Aangehouden d.d. Beslissing

Nadere informatie

05.2011. landschapskrant Noord-Hageland. Dag van de biodiversiteit Werchter zondag 22 mei 2011. in dit nummer

05.2011. landschapskrant Noord-Hageland. Dag van de biodiversiteit Werchter zondag 22 mei 2011. in dit nummer 05.2011 landschapskant Nood-Hageland Dag van de biodivesiteit Wechte zondag 22 mei 2011 in dit numme Dag van de biodivesiteit p2 Samenweking met bedijven p4 Landschapsanimatie: Wat is dat? p6 Regionaal

Nadere informatie

Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Ruimtevaart 16

Newton vwo deel 3 Uitwerkingen Hoofdstuk 17 Ruimtevaart 16 Newton wo deel Uitwekingen Hoofdstuk 7 Ruiteaat 7 Ruiteaat 7. Inleiding Vookennis Ruiteaat a De baan an een satelliet heeft de o an een ellips (een cikel is een bijzondee ellips). b De wijing is ewaaloosbaa,

Nadere informatie

Stevin vwo Antwoorden hoofdstuk 13 Newton en Coulomb ( ) Pagina 1 van 12

Stevin vwo Antwoorden hoofdstuk 13 Newton en Coulomb ( ) Pagina 1 van 12 Stevin vwo Antwooden hoofdstuk 1 Newton en Coulom (01-08-9) Pagina 1 van 1 Als je een ande antwood vindt, zijn e minstens twee mogelijkheden: óf dit antwood is fout, óf jouw antwood is fout. Als je e (vijwel)

Nadere informatie

t p E Van de redactie Verenigingsblad van S.v.M.T.Protagoras Verenigingsblad van S.v.M.T.Protagoras De lente is begonnen!

t p E Van de redactie Verenigingsblad van S.v.M.T.Protagoras Verenigingsblad van S.v.M.T.Protagoras De lente is begonnen! 1 mei Uiteste inschijfdatum Studieeis Sacandinavië 2 mei Ovekoepelend Studenten Oveleg BMT 4 mei Dodenhedenking 5 mei Bevijdingsdag, TU/e gesloten Agenda 11 mei Dondedagboel 18 mei Dondedagboel 25 mei

Nadere informatie

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 4 Kromme banen ( ) Pagina 1 van 13

Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 4 Kromme banen ( ) Pagina 1 van 13 Stevin vwo deel Uitwekingen hoofdstuk 4 Komme anen (15-10-013) Pagina 1 van 13 Opgaven 4.1 De kogelaan 1 1 1 3,5 = 9,81 t t = 0,713.. t = 0,844.. = 0,84 s x 7,0 vx = = = 8,8.. = 8,3 m/s t 0,844.. Hoe lang

Nadere informatie

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10

EXTRA STOF BIJ PULSAR-CHEMIE, VWO, HOOFDSTUK 10 exta of hemshe themodynama en hemsh evenwht VWO, shekunde 2, Huenkamp, v1b EXR SOF IJ PULSR-CHEMIE, VWO, HOOFDSUK 10 Enege en enege-effeten hebben te maken met het ontaan en de lggng van het evenwht bj

Nadere informatie

Factsheet Indicatoren Heupprothese

Factsheet Indicatoren Heupprothese Deze indicatoenset is opgenomen in het egiste van Zoginstituut Nedeland waamee het aanleveen van deze kwaliteitsgegevens in 2018 ove veslagjaa 2017 wettelijk veplicht is. Colofon Intenet: OmniQ (potaal

Nadere informatie

Onderzoek naar de ecologische achteruitgang en het herstel van Zuid- Limburgse hellingschraallandcomplexen

Onderzoek naar de ecologische achteruitgang en het herstel van Zuid- Limburgse hellingschraallandcomplexen Ondezoek naa de ecologische achteuitgang en het hestel van Zuid- Limbugse hellingschaallandcomplexen Diectie Kennis en Innovatie, augustus 009 009 Diectie Kennis en Innovatie, Ministeie van Landbouw, Natuu

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 22 Vookennis V-a aantal mannen 790 7,9 3,2 peentae 00 8 Naa vewahtin zijn 3 van deze 790 mannen kleuenlind. alle vouwen 000 00 kleuenlinde vouwen 4 0,004 0,4 V-2a V-3a 0,4% van de vouwen is kleuenlind.

Nadere informatie

Module HAVO Wiskunde D. Lenen of sparen? Versie: 23 juni 2009 Auteurs: C. Horlings P.G.M. Zenhorst

Module HAVO Wiskunde D. Lenen of sparen? Versie: 23 juni 2009 Auteurs: C. Horlings P.G.M. Zenhorst Module HAVO Wiskude D Lee of spae? Vesie: 23 jui 2009 Auteus: C. Holigs P.G.M. Zehost Lee of spae? Ihoud. Ileidig... 3 2. Geld e ete... 4 3. Spae... 4 3. Spae... 5 3. Ekelvoudige e samegestelde itest...

Nadere informatie

Leiderschapsontwikkeling

Leiderschapsontwikkeling Leideschapsontwikkeling (11): Van een gefagmenteede naa een samenhangende aanpak Leideschapsontwikkeling 2.0 E is veel gescheven ove de ontwikkeling van leideschap in oganisaties. In dit atikel beschijven

Nadere informatie

- 1 - Vaststelling van de methodiek voor de rentetermijnstructuur

- 1 - Vaststelling van de methodiek voor de rentetermijnstructuur - - Vasselling mehode eneemijnsucuu Vasselling van de mehodiek voo de eneemijnsucuu Hiebij maak DNB bekend da DNB de nominale eneemijnsucuu voo he FTK wil consueen op basis van de swapcuve. Deze eneemijnsucuu

Nadere informatie

huren in afrikaanderwijk. The nieuwste wijk in Town. nieuwzuid.nl 97 appartementen, maisonnettes en woon-werkwoningen

huren in afrikaanderwijk. The nieuwste wijk in Town. nieuwzuid.nl 97 appartementen, maisonnettes en woon-werkwoningen huen in nieuwzuid.nl zuidespoo 97 appatementen, maisonnettes en woon-wekwoningen afikaandewijk. The nieuwste wijk in Town. huen in zuidespoo Zuidespoo, 97 appatementen, maisonnettes en woon-wekwoningen

Nadere informatie

3 De wetten van Newton

3 De wetten van Newton 3 De wetten van Newton I Cultuuhistoische achtegond Hoe dachten de mensen voege en hoe denken ze nu ove de fysische wekelijkheid? Daaove gaat deze paagaaf De vagen die daain gesteld woden zijn "open" gesteld:

Nadere informatie

P&O ISD. ssc. Hieronder vindt u kort de conclusies en resterende vragen weergegeven. In de bijlage vindt u een toelichting hierop.

P&O ISD. ssc. Hieronder vindt u kort de conclusies en resterende vragen weergegeven. In de bijlage vindt u een toelichting hierop. Á W/P. min HUI 0 0 0 2 8 9 1 Ē Bueau Gezondheid, Milieu 8t Veiligheid RAAD GRIF B&W Gemeente Oischol ISD P&O BURG SECR INGEKOMEN 1 7 NOV 2014 ssc Gemeente Oischot t.a.v dh. Giesen Postbus 11 AFD. DV AFD.

Nadere informatie

Onderzoek naar de ecologische achteruitgang en het herstel van Zuid- Limburgse hellingschraallandcomplexen

Onderzoek naar de ecologische achteruitgang en het herstel van Zuid- Limburgse hellingschraallandcomplexen Ondezoek naa de ecologische achteuitgang en het hestel van Zuid- Limbugse hellingschaallandcomplexen Diectie Kennis en Innovatie, augustus 009 009 Diectie Kennis en Innovatie, Ministeie van Landbouw, Natuu

Nadere informatie

MAGNEETKOPPEN/SPOELEN & ACCESSOIRES fundamentele principes voor identificatie / codering van de spoelen

MAGNEETKOPPEN/SPOELEN & ACCESSOIRES fundamentele principes voor identificatie / codering van de spoelen MGNEETKOPPEN/SPOEEN & ESSOES fundamentele pincipes voo identificatie / codeing van de spoelen BEEKENNGEN Voo diect wekende magneetafsluites kan de elektomagnetische aantekkingskacht beekend woden met de

Nadere informatie

35% 46% 35% Benut alle mogelijkheden voor uw werknemers. Aanbieding voor extra gebruikerslicenties. Kerstaanbieding voor Mamut klanten

35% 46% 35% Benut alle mogelijkheden voor uw werknemers. Aanbieding voor extra gebruikerslicenties. Kerstaanbieding voor Mamut klanten Kestaanbieding voo Mamut klanten Optimalisee uw winstgevendheid in deze spannende tijden! Kennis een veilige investeing tot 46% Bestel nu en bespaa tot 46% op cusussen voo 2009 Lees mee op pagina 4 Gebuik

Nadere informatie

nieuwsbulletin ZEVENENVEERTIGSTE JAARGANG Nummer 3 - januari-februari 2014

nieuwsbulletin ZEVENENVEERTIGSTE JAARGANG Nummer 3 - januari-februari 2014 Veschijnt tweemaandelijks Afgiftekantoo : 2840 Rumst 1 P 802144 ve. uitg. A. Buelens, Hollebeekstaat 31, 2840 Rumst BC 30977 2840 RUMST P.B. België-Belgique nieuwsbulletin ZEVENENVEERTIGSTE JAARGANG Numme

Nadere informatie

Gemeenteraad gemeente Hardenberg Commissie Ruimte Gemeenteraad Hardenberg Gemeenteraad gemeente Ommen Commissie Ruimte Gemeenteraad Ommen

Gemeenteraad gemeente Hardenberg Commissie Ruimte Gemeenteraad Hardenberg Gemeenteraad gemeente Ommen Commissie Ruimte Gemeenteraad Ommen Aan: College van Bugemeeste & Wethoudes gemeente College van Bugemeeste & Wethoudes gemeente Gemeenteaad gemeente Hadenbeg Commissie Ruimte Gemeenteaad Hadenbeg Gemeenteaad gemeente Ommen Commissie Ruimte

Nadere informatie

Waterfiets met elektro aandrijving

Waterfiets met elektro aandrijving 113.0 Watefiets met elekto aandijving Benodigd geeedschap: Potlood, liniaal Figuuzaag of decoupeezaag Wekplaatsvijl, schuupapie Rondtang, uigtang Bootjes ø1,5, ø3 Schoevendaaie Kuiskopschoevendaaie Houtlijm

Nadere informatie

ZA5881. Flash Eurobarometer 369 (Investing in Intangibles: Economic Assets and Innovation Drivers for Growth) Country Questionnaire Belgium (Flemish)

ZA5881. Flash Eurobarometer 369 (Investing in Intangibles: Economic Assets and Innovation Drivers for Growth) Country Questionnaire Belgium (Flemish) ZA88 Flash Euobaomete 69 (Investing in Intangibles: Economic Assets and Innovation Dives fo Gowth) County Questionnaie Belgium (Flemish) A Flashnumme FL9A B land FL9B C Numme van het inteview FL9C NACE

Nadere informatie

Documentnaam: Functioneel Ontwerp Datum: Samenstelling: Bas, Chris & Teun Team Bas / Teun / Chris Versie: 1.2

Documentnaam: Functioneel Ontwerp Datum: Samenstelling: Bas, Chris & Teun Team Bas / Teun / Chris Versie: 1.2 Documentnaam: Functioneel Ontwep Datum: 05-10-2011 Samenstelling: Bas, Chis & Teun Team Bas / Teun / Chis Vesie: 1.2 FUNCTIONEEL ONTWERP INHOUD Ontweplen van seves... 2 Topologie... 2 Routeings ontwep...

Nadere informatie

08.2012. landschapskrant Noord-Hageland. Natuur en cultuur, hand in hand Assent, zondag 19 augustus. in dit nummer

08.2012. landschapskrant Noord-Hageland. Natuur en cultuur, hand in hand Assent, zondag 19 augustus. in dit nummer 08.2012 landschapskant Nood-Hageland Natuu en cultuu, hand in hand Assent, zondag 19 augustus in dit numme Natuu en cultuu, hand in hand! p2 De jages van Walenbos in de bes voo de vleemuis p4 Hoogstamboomgaaden

Nadere informatie

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS

SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS SCHUITEMAN ACCOUNTANTS & ADVISEURS Stichting Feedom in Chist Ministies Nedeland gevestigd te Dachten Rappot inzake de jaastukken 2014 Vendelie4 Postbus 622 3900 AP Veenendaal T: (0318) 618666 veenendaal@schuiteman.com

Nadere informatie

Newton vwo deel 3. Uitwerkingen Hoofdstuk 16-20. Cracked by THE MASTER

Newton vwo deel 3. Uitwerkingen Hoofdstuk 16-20. Cracked by THE MASTER Newton vwo deel Uitwekingen Hoofdstuk - 0 Cacked by THE MASTER Hoofdstukken: - Hoofdstuk : Enegiestoen - Hoofdstuk 7: Ruitevaat - Hoofdstuk : Beeldbuizen - Hoofdstuk 9: Mateie en staling - Hoofdstuk 0:

Nadere informatie

ELEKTRICITEIT THEORIE ASM versie:3/12/2008 I. Claesen 1 Asynchrone motor... 3

ELEKTRICITEIT THEORIE ASM versie:3/12/2008 I. Claesen 1 Asynchrone motor... 3 ELEKTRICITEIT THEORIE ASM veie:3/1/008 I. Claeen 1 Aynchone moto.... 3 1.1 Toepainggebied.... 3 1. Wekingpincipe.... 3 1.3 Samentelling.... 5 1.4 Het elektomagnetich daaiveld.... 7 1.4.1 Een viepolig daaiveld

Nadere informatie

De invloed van passerende schepen op afgemeerde schepen, Juni 2004, O.A. Willemse

De invloed van passerende schepen op afgemeerde schepen, Juni 2004, O.A. Willemse De invloed van passeende schepen op afgemeede schepen, Juni 004, O.A. Willemse Pot Reseach Cente Rottedam-Delft. Gebuik van gegevens en teksten is met bonvemelding vijelijk toegestaan. Commecieel gebuik

Nadere informatie