Mechanica van Materialen

Transcriptie

1 UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN VAKGROEP TOEGEPASTE MATERIAALWETENSCHAPPEN Mechanica van Mateialen Academiejaa 3-4 Veantwoodelijk lesgeve en auteu: Pof. d. i. Wim VAN PAEPEGEM Medelesgeve: Pof. d. i. Wim DE WAELE Univesiteit Gent Faculteit Ingenieuswetenschappen Vakgoep Toegepaste Mateiaalwetenschappen Technologiepak-Zwijnaade Zwijnaade Tel. : 9/ Fa : 9/

2 Voowood In navolging van de Euopese Sobonne-Bologna veklaing is de ingenieusopleiding gondig hevomd. De kandidatuen en de poeven zijn vevangen doo de Bachelo en de Maste. De cusus Mechanica van Mateialen is een eponent van deze hevoming. De bedoeling van dit opleidingsondedeel is de ingenieusstudenten een basiskennis bij te bengen ove het mechanisch gedag van mateialen. Het mechanisch gedag kan heel algemeen gedefinieed woden als de espons van een mateiaal op het aanbengen van een belasting. De aad van deze belasting kan zee uiteenlopend zijn: statische belastingen, stootbelastingen, cyclische belastingen, themische belastingen,... Het is duidelijk dat de espons van het mateiaal ook afhangt van het mateiaal zelf. Staal, beton, kunststoffen, keamieken,... hebben elk hun steke en zwakke punten en kunnen dan ook niet voo om het even welke toepassing woden ingezet. Uiteaad zal deze cusus nog talijke vevolgcusussen kijgen voo de studenten bouwkunde en wektuigkunde, maa ook voo de andee toekomstige ingenieus is het belangijk dat zij een ovezicht hebben van de beginselen van de mechanica van mateialen. Ook in hun domein is de mechanica soms niet veaf. Zo zijn themische spanningen in chips (Multilaye Cicuit Boads) een mechanisch pobleem, net als de maimale lengte van de elekticiteitskabels tussen twee pylonen. De cusus bevat vijf gote hoofdstukken: hoofdstuk intoduceet de basisbegippen van de mechanica: kachten, momenten, spanningen en ekken. Dit hoofdstuk is een van de meest theoetische en bevat de meeste fomules. Toch is dit hoofdstuk van zee goot belang voo alles wat volgt, hoofdstuk legt de fundamenten uit van de balkentheoie. Deze theoie wodt nog steeds heel vaak gebuikt voo de beekening en het ontwep van balken en kolommen uit staal en beton, hoofdstuk 3 ondezoekt hoe een belastingspobleem van een constuctie kan woden opgelost, hetzij langs epeimentele, hetzij langs numeieke weg. De numeieke methode die bijzondee aandacht vedient, is de eindige-elementenmethode. Aan de hand van een aantal voobeelden wodt duidelijk gemaakt welke de mogelijkheden (en bepekingen) zijn van deze numeieke techniek, hoofdstuk 4 bespeekt een aantal elastische poblemen, waabij de diedimensionale theoie kan veeenvoudigd woden tot haa tweedimensionale vaiant, maa die zee veel toepassing vinden in de industiële paktijk, hoofdstuk 5 bespeekt de gangbae bepoevingsmethodes voo mateialen en hun belangijkste mechanische eigenschappen. Daanaast wodt een ovezicht gegeven van de belangijkste klassen mateiaalmodellen die het mechanisch gedag van mateialen beschijven onde uiteenlopende belastingscondities. Achteaan elk hoofdstuk zijn een aantal efeenties opgenomen die gebuikt zijn bij de samenstelling van deze cusus. Hoewel de cusus vij lijvig lijkt, zijn e haast evenveel figuen als pagina s en zijn sommige paagafen enkel bedoeld als naslagwek. Inspiatie voo de opbouw wed gevonden in de cusus Elasticiteit en Stektelee van Pof. Vehegghe en een aantal standaadweken uit de intenationale liteatuu. Ik wens Pof. Degieck te bedanken voo zijn hulp bij de totstandkoming van deze cusus, en ook Dh. Van Oost voo het inscannen van figuen. Wim Van Paepegem Gent, septembe 3

3 Inhoudstafel Hoofdstuk KRACHTEN, MOMENTEN, SPANNINGEN EN REKKEN..... STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES Uitwendige belastingen......a. Kachten......b. Momenten Types ondesteuningen Evenwicht van een constuctie Inwendige kachtsweking Schanieende vebindingen Besluit INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN SPANNINGEN Definitie (n) Veband tussen spanningsvecto en spanningsmati [] Vegelijkingen van het evenwicht Tansfomatie van coödinaten en hoofdichtingen Komlijnige coödinaten a. Cilindecoödinaten b. Bolcoödinaten REKKEN Eendimensionale lengteveandeing Vealgemeende vevomingstoestand Tansfomatie van coödinaten en hoofdichtingen Compatibiliteitsvoowaaden Komlijnige coödinaten a. Cilindecoödinaten b. Bolcoödinaten Eindige vevomingen en ekken LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG Wet van Hooke Bijzondee belastingsgevallen a. Zuivee tek b. Zuivee afschuiving c. Hydostatische belasting d. Tosie of winging Relaties tussen de elastische constanten a. Veband tussen E, en G b. Volumeveandeing en compessiemodulus Komlijnige coödinaten OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM Randvoowaaden Supepositiepincipe Statisch onbepaalde systemen THERMISCHE SPANNINGEN Vegelijkingen Statisch onbepaalde poblemen... 7 i

4 Inhoudstafel.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE Abeid van een kacht Abeid van een moment Wet van behoud van mechanische enegie VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN Othotope mateialen Tansvesaal isotope mateialen REFERENTIES ii

5 Inhoudstafel Hoofdstuk STRUCTUREEL GEDRAG INLEIDING GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE Opstellen vegelijkingen Paktische beekening NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT Globaal evenwicht Evenwicht van een deel van de balk Snedekachten Veband tussen q, V en M Enkele efeentiegevallen a. Ingeklemde balk met puntlast b. Ingeklemde balk met vedeelde belasting c. Balk op twee steunpunten met puntlast d. Balk op twee steunpunten met vedeelde belasting VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN Spanningen t.g.v. nomaalkacht N Spanningen t.g.v. buigend moment M Spanningen t.g.v. dwaskacht V VERPLAATSINGEN Veplaatsingen t.g.v. de nomaalkacht N Veplaatsingen t.g.v. het buigend moment M a. Ingeklemde balk met puntlast b. Ingeklemde balk met vedeelde belasting c. Balk op twee steunpunten met puntlast d. Balk op twee steunpunten met vedeelde belasting Veplaatsingen t.g.v. de dwaskacht V SINGULARITEITSFUNCTIES INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL REFERENTIES... 3 iii

6 Inhoudstafel Hoofdstuk 3 OPLOSSINGSMETHODES INLEIDING ANALYTISCHE OPLOSSINGEN EXPERIMENTELE METHODES NUMERIEKE METHODES EINDIGE ELEMENTEN Stuctuu van het eindige elementenpogamma a. Pe-pocessing b. Analyse c. Post-pocessing Paktijkvoobeelden a. Plastische vevoming van een koppeling voo peslucht b. Inlaat van een composiet dukvat c. Maimale komming van een connectoblok met optische vezels d. Themische spanningen in een dikwandige composietbuis REFERENTIES... 6 iv

7 Inhoudstafel Hoofdstuk 4 TWEEDIMENSIONALE ELASTISCHE PROBLEMEN VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING Vlakspanning a. Algemeen b. Cikel van Moh c. Vlakspanning met themische effecten Vlakvevoming a. Algemeen b. Cikel van Moh c. Vlakvevoming met themische effecten Hoofdichtingen vlakspanning en vlakvevoming AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN Opstellen algemene vegelijkingen Tek- of dukspanningen op de binnen- en buitenand a. Schijf in vlakspanning b. Schijf in vlakvevoming c. Veband vlakspanning en vlakvevoming d. Lange buis met vije uiteinden Radiaal tempeatuuveld a. Schijf in vlakspanning b. Schijf in vlakvevoming c. Veband vlakspanning en vlakvevoming d. Lange buis met vije uiteinden SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN REFERENTIES v

8 Inhoudstafel Hoofdstuk 5 MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN MATERIAALMODELLEN MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES Tek- en dukpoeven a. Ductiele mateialen b. Bosse mateialen c. Ovegangen van bos naa ductiel gedag en vice vesa d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieusmateialen Buigpoeven Afschuifpoeven Hadheidspoeven a. Hadheidsmeting volgens Binell b. Hadheidsmeting volgens Vickes c. Hadheidsmeting volgens Rockwell Kuippoeven Vemoeiingspoeven a. Poeven op foutvije, glad gepolijste poefstaven b. Poeven op poefstaven met boingen, doosnedeveandeingen, c. Poeven op afzondelijke of gecombineede constuctie-ondedelen Impactpoeven a. Valpoeven b. Pneumatische en mechanische impacttesten c. Hopkinson-poeven d. Impactpoeven op volledige constucties Kefslagpoeven INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN Rekstookjes a. Technologie van het ekstookje b. Meevoudige ekstookjes Moié-technieken Digitale beeldcoelatie Optische vezelsensoen SCHADEMECHANISMEN Schadetypes a. Metalen b. Gewapend beton c. Kunststoffen d. Composietmateialen Schadedetectie en -diagnose a. Visuele inspectie b. Ultasoon ondezoek c. Radiogafie d. Themogafie CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN Vloeiciteia voo ductiele mateialen a. Citeium van Tesca b. Citeium van von Mises Beukciteia voo bosse mateialen vi

9 Inhoudstafel 5.4..a. Isotope bosse mateialen b. Anisotope bosse mateialen MATERIAALMODELLEN Tijdsonafhankelijk mateiaalgedag a. Elastisch mateiaalgedag b. Plastisch mateiaalgedag Tijdsafhankelijk mateiaalgedag Scheugoei a. Elastische beukmechanica b. Elastisch-plastische beukmechanica Degadatie BESLUIT REFERENTIES vii

10 Hoofdstuk Kachten, momenten, spanningen en ekken.. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES In het ontwep van een constuctie of machine is het alleeest noodzakelijk met behulp van de gondbeginselen van de statica vast te stellen, welke kachten op de veschillende ondedelen weken. Vandaa wodt in deze paagaaf eest ingegaan op de begippen kacht, moment en evenwicht. Alle gootheden zullen voogesteld woden in een echtshandig catesiaans assenstelsel (,y,z). Voo de meeste constucties (balken, platen, schalen, aamweken,...) wodt daabij aangenomen dat de z-ichting de hoogte weegeeft, tewijl de -as de lengte weegeeft. De ligging van de y-as volgt dan onmiddellijk uit de voowaade van een echtshandig assenstelsel.... Uitwendige belastingen De uitwendige belastingen op een constuctie kunnen vedeeld woden in twee gote klassen: (i) de kachten, en (ii) de momenten....a. Kachten Opnieuw kan men ondescheid maken tussen twee types kachten: (i) de oppevlaktekachten, en (ii) de volumekachten. Oppevlaktekachten Zoals de naam al aangeeft, woden oppevlaktekachten veoozaakt doo het diecte contact van een object met het oppevlak van een ande object. In alle gevallen woden deze kachten vedeeld ove de contactoppevlakte tussen de objecten (zie Figuu.(a)). Met name als deze oppevlakte klein is t.o.v. de totale oppevlakte van het object, kan de oppevlaktekacht geïdealiseed woden als één geconcenteede kacht [Newton], die op een punt van het lichaam wodt uitgeoefend (zie Figuu.(a)). Als de oppevlaktebelasting op een smal langwepig oppevlak wodt uitgeoefend, kan de belasting woden geïdealiseed als een lijnbelasting, q(s). Hie wodt de belasting gemeten pe lengte-eenheid langs het oppevlak [Newton/mete] en gafisch weegegeven als een eeks pijlen ove de lijn s (zie Figuu.(a)). De belasting ove de lengte van een balk is een typisch voobeeld van een stuctuu waa deze idealiseing vaak wodt toegepast (zie Figuu.(b)). De esulteende kacht F R van q(s) is gelijk aan de oppevlakte onde de komme van de vedeelde belasting en deze esultante gijpt aan in het zwaatepunt C van deze oppevlakte.

11 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu. Puntbelasting, lijnbelasting en vedeelde belasting []. Volumekachten Een volumekacht teedt op wannee een object een kacht uitoefent op een ande object zonde dat e van diect fysiek contact tussen de objecten spake is. Het meest diecte voobeeld is de zwaatekacht die aangijpt op elk object hie op aade. Hoewel volumekachten alle deeltjes van het object beïnvloeden, woden deze kachten gewoonlijk voogesteld doo één enkele geconcenteede kacht die op het object wekt. In het geval van de zwaatekacht wodt deze kacht het gewicht van het lichaam genoemd en gijpt ze aan in het zwaatepunt van het lichaam. De gootte evan is dan: F m g (.) waabij m de massa is van het lichaam en g de valvesnelling (g = 9,8 m/s ). Als men nu een echtshandig catesiaans assenstelsel (,y,z) invoet, kunnen alle types kachten ontbonden woden in hun componenten volgens de coödinaatassen zoals weegegeven in Figuu.. F > z z e, e y en e z, O y F > y F > Figuu. Tekenconventies voo kachten in een echtshandig assenstelsel (,y,z).

12 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken...b. Momenten Kachten kunnen niet alleen een tanslatie-effect uitoefenen op een object, maa ook een otatie-effect. Dit laatste wodt veoozaakt doo het moment dat doo de kacht op het object wodt uitgeoefend. Het moment wodt beekend als kacht vemenigvuldigd met lastam en heeft dus de dimensie [Newton mete]. Figuu.3 geeft een voobeeld. De die schetsen (a), (b) en (c) tonen het bovenaanzicht van een deu, die via een hengsel vebonden is met de muu. Als de weklijn van de kacht dooheen het schanie gaat, teedt e geen otatie op (zie Figuu.3(a)). Teedt de kacht F op op een zekee afstand van het schanie, dan teedt een otatie op van de deu (zie Figuu.3(b)). Het is evident dat deze otatie zal vegoten als (i) de kacht F gote is, en/of (ii) de afstand van F tot het schanie gote is. In geval (c) teedt geen otatie op, omdat de weklijn van de kacht opnieuw doo het schanie gaat. Figuu.3 Moment uitgeoefend doo een kacht []. Een koppel is een bijzonde geval van een moment, uitgeoefend doo twee even gote, evenwijdige en tegengestelde kachten (zie Figuu.4). 3

13 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu.4 Voobeeld van een kachtenkoppel []. Als men opnieuw een echtshandig catesiaans assenstelsel (,y,z) invoet, kunnen alle momenten ontbonden woden in hun componenten volgens de coödinaatassen e, e y e z, zoals weegegeven in Figuu.5. De vectoen van de positieve momenten M, M y en M z zijn geicht volgens de positieve zin van de espectieve assen e, e y en e z en. Om het ondescheid te maken met de componenten van de kachtvecto, woden de componenten van de momentvecto getekend met een dubbele pijlpunt. De otatiezin van het moment wodt bepaald met de echtehandegel : de duim wijst de ichting van de (dubbele) pijlpunt aan en de vinges van de echtehand geven de daaiichting aan. z M > z M y > O M z > M > y M > y M > Figuu.5 Tekenconventies voo momenten in een echtshandig assenstelsel (,y,z). 4

14 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken De meest algemene wiskundige uitdukking voo de momentvecto M O (M, M y, M z ) is: MO F (.) In het ingevoede assenstelsel (, y, z) kan deze vecto als volgt beekend woden: M O e F e y F y y e z F z z (.3) F F e F F e F F y M z e z M y y e y z M e z z z y y y e z Men bekomt dus een momentvecto M O met componenten (M, M y, M z ). In vele paktijkgevallen zijn sommige componenten van en/of F gelijk aan nul. Dan is het vaak eenvoudige om de momenten M, M y en M z om de espectievelijke coödinaatassen e, e y en e z afzondelijk uit te schijven, gebuik makend van de fysische betekenis van de momentbijdage van de kachtcomponenten F, F y en F z om de espectievelijke coödinaatassen e, e y en e z. Dit wodt duidelijk geïllusteed doo Figuu.6. z m y 5 m F = N 6 Figuu.6 Momenten uitgeoefend op een stuk pijpleiding doo de kachtvecto F met gootte N en in een vlak evenwijdig met het -z vlak. 5

15 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Een kacht met gootte N en in een vlak evenwijdig met het -z vlak gijpt aan op een stuk pijpleiding. Als men de momentvecto M O wil beekenen, kan men uitgaan van de algemene definitie en schijven: M O e 5 N cos6 e y e N sin6 z (.4) Nm e Nm e Nm M e M y e y M e z z y e z Men kan ook de kacht F ontbinden in zijn componenten (F, F y, F z ) en nakijken welke componenten bijdagen tot het moment om een bepaalde coödinaatas. z m y 5 m F = N F z 6 F y Figuu.7 Momenten uitschijven op basis van fysische intepetatie. Als men de afzondelijke momenten M, M y en M z echtsteeks opschijft, kijkt men welke kachtcomponenten bijdagen tot dat moment en beekent deze bijdagen als {kachtcomponent} maal {loodechte hefboomsam tot de as e i }. Het teken van de momentbijdage wodt bepaald doo de echtehandegel ond de as e i, zoals aangeduid in Figuu.7. 6

16 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken M M M y z F z z y F F y (.5) Voo vlakke poblemen is deze laatste methode nog veel mee aangewezen. Stel dat men bovenstaand pobleem veeenvoudigt tot een tweedimensionaal pobleem in het -z vlak, zoals aangegeven in Figuu.8. z 5 m F = N 6 y Figuu.8 Tweedimensionaal pobleem, waabij de constuctie en belastingen allen in één vlak liggen. Als men het pobleem beschijft in het -z vlak, zijn de y-component van en F gelijk aan nul, zodat M y de enige niet-nul component is van de momentvecto M O. Dan is het veel eenvoudige om de momentbijdage van de twee kachtcomponenten F en F z echtsteeks op te schijven. Dit wodt aangetoond in Figuu.9. z F = N F z 5 m 6 y F Figuu.9 Beekenen van momentbijdagen bij vlakke poblemen. De enige momentbijdage wodt geleved doo F z : M y F z 5 3 Nm (.6) Bij vlakke poblemen kan men zelfs nog een dede beekeningswijze aanwenden. Het moment kan namelijk ook beekend woden als de volledige kacht maal de loodechte hefboomsam, zoals aangegeven in Figuu.. 7

17 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken z F F F = N F z 5 m 6 y F Figuu. Beekenen van momentbijdagen als kacht maal loodechte hefboomsam. Dit kan men eenvoudig aantonen als volgt: M O F F F F F //F F F //F F e y (.7) waabij het teken van het moment nog steeds bepaald wodt doo de echtehandegel, ditmaal ond de coödinaatas e y. Het moment M y wodt dan: M y F F 5 m sin6 N (.8) 5 3 Nm Opmeking Bij vlakke poblemen staan alle momentenvectoen loodecht op het beschouwde vlak. Immes, alleen momentvectoen loodecht op dat vlak geven aanleiding tot otaties in dat vlak. Omdat de momentvectoen in die -D voostelling moeilijk te tekenen zijn, tekent men enkel de otatiezin die ze veoozaken. Als men bv. een vlak pobleem bestudeet in het -z vlak, liggen alle momentvectoen volgens de coödinaatas e y. De momentvectoen woden dan voogesteld doo een komme pijl die de otatiezin aangeeft: in uuwijzezin voo een positief moment M y, in tegenuuwijzezin voo een negatief moment M y. Dit wodt schematisch weegegeven in Figuu.. 8

18 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken z M > y M < y y Figuu. Voostelling van momentvectoen M y in het vlak -z.... Types ondesteuningen In vele gevallen zijn constucties ondesteund of bevestigd aan steunpunten. De kachten in deze ondesteuningen of steunpunten noemt men de eacties. In Figuu. zijn de meest vookomende types ondesteuningen getoond voo belastingen in eenzelfde vlak. Figuu. Meest vookomende types ondesteuningen []. 9

19 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Als de ondesteuning de tanslatie in een bepaalde ichting vehindet, dan moet e in die ichting een eactiekacht [Newton] op het ondedeel woden uitgeoefend. Evenzo geldt dat, wannee otatie wodt vehinded, e een eactiemoment [Newton mete] op het ondedeel wodt uitgeoefend. Zo vehindet bijvoobeeld een oloplegging (Figuu.(b)) alleen tanslatie in de veticale ichting. De ol oefent daadoo op het punt van contact een eactiekacht F uit op het ondedeel. Aangezien het ondedeel vij om de ol kan oteen, kan e doo de ol op het punt van contact geen moment op het ondedeel woden uitgeoefend. De eacties woden gewoonlijk aangeduid met het symbool R voo eactiekachten en RM voo eactiemomenten...3. Evenwicht van een constuctie Evenwicht van een object veeist zowel een evenwicht van kachten als een evenwicht van momenten. Deze voowaaden kunnen wiskundig woden uitgedukt met de volgende twee vectovegelijkingen: F M O (.9) Hie vetegenwoodigt F de som van alle kachten die op het lichaam weken en is MO de som van de momenten van alle kachten ond een punt O, waabij het punt O al dan niet op het object zelf gelegen is. Als men het evenwicht uitschijft van de volledige constuctie, woden ook de eacties in de ondesteuningen meegeteld als uitwendige kachten/momenten op de constuctie. Als e een echtshandig catesiaans assenstelsel (,y,z) is ingesteld met de oospong in het punt O, kunnen de kacht- en momentenvectoen woden ontbonden in hun componenten, y en z langs de coödinaatassen e e e. De twee bovenstaande vegelijkingen (.9) kunnen dan in scalaie vom woden gescheven als zes vegelijkingen: F M F M y y F M z z (.) Hiebij is het belangijk in te zien dat de gekozen positieve otatieichting voo het uitschijven van het momentenevenwicht geen belang heeft. Een omkeing van de gekozen positieve otatieichting impliceet enkel dat de evenwichtsvegelijkingen woden vemenigvuldigd met, maa dat maakt uiteaad geen enkel veschil: M M M (.) In vele gevallen weken alle belastingen in één vlak (ondestel het -y vlak) en kunnen de evenwichtsvegelijkingen geeduceed woden tot: y z F M z F y (.)

20 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Met behulp van deze evenwichtsvegelijkingen kunnen de eactiekachten in de ondesteuningen van een constuctie beekend woden. Voobeeld. Gegeven is een vakwek met twee steunpunten A en B. Beeken de eactiekachten/momenten in A en B...4. Inwendige kachtsweking Eén van de belangijkste toepassingen van de statica bij het analyseen en ontwepen van constucties, is het kunnen bepalen van de esulteende kacht en het esulteende moment die in een doosnede van de constuctie weken en die noodzakelijk zijn om de constuctieondedelen bij elkaa te houden wannee e uitwendige kachten (en eactiekachten) op woden uitgeoefend. Deze inwendige kachten noemt men ook wel snedekachten, omdat deze kachten beekend woden doo een snede te maken in de constuctie en het evenwicht uit te dukken van een geïsoleed deel van de constuctie. Figuu.3 toont het voobeeld van een tweedimensionale constuctie met een degelijke doosnijding.

21 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu.3 Doosnijding van een constuctie en bepaling van de inwendige kachtsweking []. Voo de beekening van de snedekachten in Figuu.3 gaat men als volgt te wek: op de plaats waa men de snedekachten wil kennen, snijdt men (uiteaad denkbeeldig) de constuctie volledig doo. Men heeft nu twee geïsoleede delen. Het deel waa de buitennomale van de doosnijding samenvalt met de positieve coödinaatas, noemt men de positieve doosnijding. Het andee deel, waa de positieve buitennomale tegengesteld geicht is aan de positieve coödinaatas, noemt men de negatieve doosnijding. In het voobeeld van Figuu.3 is het linkedeel de positieve doosnijding (buitennomale volgens positieve as e ) en het echtedeel de negatieve doosnijding (buitennomale volgens negatieve as e ), als men nu enkel het evenwicht van het linkedeel van de constuctie beschouwt, moet men de kachtsweking van het weggesneden echtedeel op het linkedeel hestellen doo de invoeing van de snedekachten. Zoals blijkt uit vegelijking (.), zijn e voo een tweedimensionale doosnijding die onbekende snedekachten: F, F y en M z (mek op dat de momentvecto M z hie opnieuw wodt voogesteld doo zijn teweeggebachte otatie in het -y vlak). De tekenconventie voo de snedekachten hangt af van de doosnijding: voo een positieve doosnijding gelden de tekenconventies van Figuu.5, voo een negatieve doosnijding zijn de tekenconventies net omgekeed. Dit moet zo zijn, want de kachtsweking van het echtedeel op het linkedeel is gelijk en tegengesteld aan de kachtsweking van het linkedeel op het echtedeel (dede wet van Newton: actie en eactie),

22 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken tenslotte schijft men het kachten- en momentenevenwicht uit voo het linkedeel afzondelijk of voo het echtedeel afzondelijk. Vemits alle eactiekachten én de uitwendige belastingen gekend zijn, kan men voo elk geïsoleed deel van de constuctie de evenwichtsvegelijkingen (.) uitschijven. Vemits de snedekachten de kachtsweking vetegenwoodigen van het echtedeel van de constuctie op het aangenzende linkedeel van de constuctie, en vice vesa, moet men in beide gevallen dezelfde waaden bekomen voo de snedekachten F, F y en M z. De snedekachten woden hiebij altijd geefeeed t.o.v. het zwaatepunt van de beschouwde dwasdoosnede. De fysische betekenis van de snedekachten kan best aangetoond woden met een voobeeld. Figuu.4 toont een links ingeklemde balk met een vedeelde belasting van 7 N/m. De onbekende eactiekachten en momenten zijn R, R z en RM y. z RM y R z R y Figuu.4 Vlak pobleem van ingeklemde balk met vedeelde belasting. Alleeest moet men deze uitwendige eactiekachten en momenten bepalen voo de volledige constuctie. Uitschijven van het hoizontaal, veticaal en momentenevenwicht levet de volgende die vegelijkingen: R 7N / m 9 R z 7N / m 9 RM y 9 3 R R z RM y 5 N 3645 Nm (.3) Om nu de onbekende snedekachten in de doosnede C te beekenen, kan men kiezen voo een positieve doosnijding (deel links van C isoleen) of een negatieve doosnijding (deel echts van C isoleen). Figuu.5 toont beide opties, met de tekenconventie van de snedekachten voo een positieve doosnijding (boven) en een negatieve doosnijding (onde). 3

23 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken z RM y R z F z R y M y F z F y M y Fz Figuu.5 Equivalentie van linke- en echtedoosnijding van de balk. Omdat de onbekende snedekachten F, F z en M y een unieke waade hebben in de doosnede C, moeten beide doosnijdingen hetzelfde esultaat leveen. Evenwicht van het geïsoleede linkedeel geeft: R F F 3 R z 7N / m d Fz Fz 54N (.4) 9 3 M y 8Nm RM y R z 3m 7N / m (3 )d M y 9 Dit betekent dat het weggesneden echtedeel van de constuctie een neewaatse kacht van 54 N uitoefent op het linkedeel, alsook een buigmoment in uuwijzezin. Evenwicht van het geïsoleede echtedeel geeft: F 8N / m 6 Fz 8N / m 6 M y 6 3 F F z M y 54N 8Nm (.5) 4

24 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken De waade voo de snedekachten is indedaad dezelfde, maa de tekenconventie voo de snedekachten is tegengesteld aan deze voo de positieve doosnijding, pecies omwille van de wet van actie en eactie. Stappenplan voo de beekening van het evenwicht van constucties en doosnijdingen: 5

25 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Voobeeld. Bepaal de esulteende inwendige belastingen die in het punt B op de dwasdoosnede van de pijp weken. De pijp heeft een massa van kg/m en wodt aan het uiteinde A belast doo een veticale kacht van 5 N en een koppel van 7 Nm. De pijp is bij C vast aan de muu bevestigd...5. Schanieende vebindingen De inwendige kachtsweking wodt aanzienlijk veeenvoudigd als de constuctie is samengebouwd uit schanieende ondedelen. Dit is vaak het geval bij vakwekbuggen en potieken. Figuu.6 toont een schematisch voobeeld van een constuctie met schanieende vebindingen. Figuu.6 Voobeeld van constuctie met schanieende vebindingen [3]. Men kan eenvoudig aantonen dat e in deze gevallen enkel een snedekacht in de ichting van de staven bestaat. Doo het bestaan van de schanieen wodt e immes geen moment ovegedagen van de ene staaf naa de andee. Beschouwt men nu het evenwicht van een geïsoleede staaf, zoals weegegeven in Figuu.7. De oveblijvende snedekachten woden 6

26 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken getekend in oveeenstemming met de tekenconventies voo een positieve (echts) en negatieve (links) doosnijding. F z F F z L F Figuu.7 Evenwicht van een vakwekstaaf tussen twee schanieen. Als men het momentevenwicht uitschijft om het linkse schanie (bv. met positieve daaizin in de tegenuuwijzezin): M F L F (.6) Dit betekent dat e enkel een langskacht F bestaat in de staaf. y z Deze conclusie is algemeen geldig voo constucties met schanieende vebindingen als en slechts als: de staaf aan zijn beide uiteinden vebonden is met schanieen, e geen belasting aangijpt tussen de schanieen. Dit betekent ook meteen dat de eactiekachten geicht zijn volgens de ichting van de staven, als en slechts als e maa één staaf aankomt in het steunpunt (zoals het geval is in Figuu.6). z Voobeeld.3 Alle staven in ondestaand vakwek zijn schanieend met elkaa vebonden. In twee knopen gijpt een neewaats geichte puntlast aan van espectievelijk,75 P en P. Bepaal de positie van de staaf die de gootste kacht moet dagen.,9 m, m, m,75 P P (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 35 minuten) 7

27 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken..6. Besluit Bij deze beekening van de inwendige kachtsweking wodt ondesteld dat de snedekachten aangijpen in het zwaatepunt van de doosnijding, maa het is nogal evident dat deze snedekachten in wekelijkheid niet geconcenteed kunnen zijn in dat ene punt, andes zouden alle punten van de doosnede volledig onbelast zijn, uitgezonded het zwaatepunt. Deze snedekachten stellen dus in feite het esulteend effect voo van de feitelijke kachtenvedeling ove het volledige oppevlak van de beschouwde doosnede. De beekening van de snedekachten m.b.v. de vegelijkingen van het evenwicht is dan ook maa een eeste stap naa het volledig begip van de inwendige kachtsweking in de constuctie. De volgende stap bestaat e nu in te ondezoeken hoe de snedekachten in wekelijkheid woden vetaald naa een vedeelde kachtsweking ove de volledige doosnijding. Daatoe woden twee nieuwe begippen ingevoed: spanning en ek. De volgende paagaaf tacht een intuïtief begip van deze gootheden aan te leen. Daana volgt een mee igoueuze bespeking van beide begippen. 8

28 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN Om de begippen spanning en ek te intoduceen, beschouwt men een eenvoudige tekpoef op zacht staal. Een typische poefopstelling is getoond in Figuu.8. Het stalen poefstuk is een pismatische staaf met cikelvomige dwasdoosnede en is ingeklemd aan het boven- en ondeuiteinde. Bovenaan wodt een tekkacht F uitgeoefend doo de zwae dwasbalk. Een etensomete (aan de zijkant van het poefstuk) meet de elatieve veplaatsing tussen twee efeentiepunten. Figuu.8 Epeimentele opstelling voo tekpoeven op metalen [5]. Bij een schematische voostelling van deze tekpoef zijn de evenwichtsvegelijkingen heel eenvoudig : in elke cikelvomige dwasdoosnede van het poefstuk wekt de kacht F in het zwaatepunt van de doosnede. In dat geval is het edelijk te veondestellen dat de kacht F in de doosnede wodt opgenomen doo een constante, gelijkmatige tekspanning, die gelijkmatig vedeeld wodt ove de oppevlakte A [mete ] van de dwasdoosnede. De gootte van deze tekspanning is dan: F [Newton / mete ] (.7) A Het is belangijk te onthouden dat spanningen steeds als dimensie [Newton/mete ] hebben. Omdat spanningen echte steeds betekking hebben op een kleine oppevlakte, woden ze vaak uitgedukt in MPa, waabij: 6 6 Pa N / m N / mm (.8) MPa Figuu.9 toont de schematische vedeling van de spanningen en de bijhoende velenging L van de stalen staaf. 9

29 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu.9 Vedeling van de spanningen en velenging van de stalen staaf [6]. Indedaad, het is evident dat onde invloed van de tekkacht F (en de tekspanningen ) ook een velenging van de staaf zal opteden. Als men deze velenging L (zie Figuu.9) deelt doo de oosponkelijke lengte L, dan bekomt men de ek : L (.9) L De ek is dimensieloos [-] en geeft de elatieve velenging wee van de poefstaaf. Als men nu voo deze tekpoef de epeimenteel opgemeten spanning en ek ten opzichte van elkaa uitzet, bekomt men een typische gafiek zoals afgebeeld in Figuu.. Figuu. Typisch spanning-ek diagam voo een tekpoef op zacht staal [5].

30 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken In de abscis staat de ek [-] en in de odinaat staat de spanning [GPa (= 9 N/m )]. Vooalee de tekpoef stat, ondevindt het mateiaal geen enkele spanning of vevoming ( = en = ). Als de tekkacht op het poefstuk opgevoed wodt, tekent zich eest een zone af waa de spanning en ek popotioneel toenemen. In deze (bepekte) zone vetoont het mateiaal een lineai elastisch gedag. Het gedag wodt elastisch genoemd, omdat in deze zone geen blijvende vevoming opteedt. Wodt de belasting weggenomen, dan vedwijnt ook de vevoming en bevindt het mateiaal zich in zijn oosponkelijke, onbelaste toestand. De - cuve wodt dan in tegengestelde zin doolopen en de vevoming is dus omkeebaa. Het gedag is bovendien lineai omdat spanning en vevoming evenedig toenemen, en de evenedigheidsconstante noemt men de elasticiteitsmodulus E [N/m ]: E (.) Deze betekking tussen spanning en ek is de wet van Hooke. De elasticiteitsmodulus E is dus een mateiaaleigenschap die de stijfheid van het mateiaal weegeeft. Eens de elasticiteitsgens wodt beeikt, gedaagt het mateiaal zich niet lange lineai elastisch. Indedaad, de spanning neemt niet lange evenedig toe met de ek en e teedt ook pemanente vevoming op. Bij het ontlasten vedwijnt de elastische ek, maa een deel van de totale ek blijft ove als pemanente ek. In deze zone gedaagt het mateiaal zich plastisch. Wannee men de kacht blijft opvoeen, beeikt men uiteindelijk de tekstekte UTS (Eng: Ultimate Tensile Stength). Toch teedt beuk pas op bij een nog gotee vevoming, maa bij een lagee spanning. Hoe komt dit? De spanning wodt gedefinieed als de kacht F, gedeeld doo de oosponkelijke oppevlakte A. Eens de tekstekte UTS beeikt wodt, begint het mateiaal lokaal in te snoeen (Eng: necking), zodat de wekelijke oppevlakte A vekleint. De wekelijke spanning F/A blijft dus toenemen, hoewel de spanning F/A afneemt. Een voobeeld van insnoeing is duidelijk te zien in Figuu.. Figuu. Lokale insnoeing van het stalen poefstuk bij beuk [5].

31 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Deze insnoeing in het plastisch gebied is met het blote oog waaneembaa, maa ook in het elastisch gebied zal de diamete van de poefstaaf lichtjes afnemen, wannee aan de staaf getokken wodt. De staaf wodt dus niet alleen lange, maa ook dunne. In het elastisch gebied gebeut deze vemindeing van de dwasafmetingen gelijkmatig ove de volledige lengte van de staaf, in tegenstelling tot de zee lokale insnoeing in het plastisch gebied. Deze gelijkmatige vemindeing van de dwase afmetingen in het elastisch gebied noemt men de dwascontactie. Het blijkt uit epeimentele metingen dat de elatieve vemindeing d/d van de oosponkelijke diamete d van de onde poefstaaf een constante factie is van de elatieve lengteveandeing L/L in het elastisch gebied: d / d L / L constante d L d L (.) Het getal noemt men de dwascontactiecoëfficiënt of de coëfficiënt van Poisson. Deze coëfficiënt is dimensieloos en stikt positief. Het min-teken in de vegelijking (.) is nodig, omdat een uitekking van de staaf (L/L > ) gepaad gaat met een vemindeing van de diamete (d/d < ), tewijl een indukking van de staaf gepaad gaat met een vemeedeing van de diamete. Dit veband is schematisch voogesteld in Figuu.. Figuu. Veband tussen lengteveandeing en veandeing van dwase afmetingen []. De maimale waade van de coëfficiënt van Poisson is,5 omdat de poefstaaf andes zou toenemen in volume als men hem indukt. Dit volgt onmiddellijk uit de beekening van het volume van de poefstaaf in belaste toestand. De nieuwe lengte L en diamete d zijn espectievelijk: L d L d L d (.) Het volume van de belaste poefstaaf wodt dan:

32 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken 3 ) ( V ) ( ) ( V d 4 L L L d 4 L L L d d d 4 L L L d d 4 L L d 4 L V 3 (.3) Als de poefstaaf wodt ingedukt ( < ), dan zou, indien gote zou zijn dan,5, het volume van de poefstaaf V in duk gote zijn dan het oosponkelijk volume V. Dit is fysisch niet mogelijk. Een eenvoudig voobeeld is een alzijdige wateduk op een lichaam. Indien gote zou zijn dan,5, zou onde deze alzijdige wateduk het volume van het lichaam toenemen. Voo metalen ligt de Poisson-coëfficiënt in de buut van /3. Als vuistegel onthoudt men: gesteenten, glas: = /4 metalen: = /3 ubbes: = / Hoewel het gebied waain het mateiaal zich lineai elastisch gedaagt, zee klein is in het totale spanning-ek diagamma, woden bijna alle constucties zodanig ontwopen dat ze in de gebuikstoestand een lineai elastisch mateiaalgedag vetonen. In het lineai elastisch gebied zijn de vevomingen immes klein én omkeebaa, wat voo de meeste constucties (bv. buggen voo wegvekee, stalen ligges in gebouwen, motoen,...) wel heel wenselijk is. Het plastisch mateiaalgedag wodt wel vaak doelbewust aangewend tijdens het poductiepoces (bv. walsen, daadtekken), zodat een nieuwe, blijvende vevoming aan het mateiaal kan woden opgelegd. In de volgende paagafen woden de begippen spanning en ek uitgebeid naa een mee algemene definitie en wodt vede ingegaan op de wet van Hooke.

33 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken.3. SPANNINGEN.3.. Definitie In Figuu.3 is een object voogesteld dat belast is met een stel uitwendige kachten F en F. Te hoogte van de doosnijding weken een kacht F R en een moment M R (om het o zwaatepunt O). Beide kunnen beekend woden uit de evenwichtsvegelijkingen (.). Deze twee belastingen F R en M R stellen het esulteend effect voo van de feitelijke o kachtenvedeling ove het oppevlak van de doosnede. Figuu.3 Evenwicht van een deel van het object []. Om de vedeling van deze inwendige snedekachten ove elk punt van de doosnede te beschijven, kan men het oppevlak van de doosnijding ondevedelen in kleine oppevlakken A, waaop een eindige, maa toch heel kleine kacht F wekt, zoals afgebeeld in Figuu.4(a). Daabij wodt ondesteld dat de kachten F zo gekozen zijn, dat hun esulteende kacht en moment om het zwaatepunt oveeenkomen met de snedekachten F R en M. R o Voo de vedee bespeking wodt de kacht F ontbonden in twee componenten: (i) de component F n nomaal op het oppevlak, en (ii) de component F t akend aan het oppevlak (tangentieel), zoals aangegeven in Figuu.4(b). 4

34 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.4 Vedeling van het oppevlak []. Als het oppevlak A naa nul nadet, doen de kacht F en zijn componenten F n en F t dat ook. Het quotiënt van de kacht en de oppevlakte zal echte in het algemeen naa een eindige (n) gens nadeen. Dit quotiënt wodt de spanningsvecto genoemd en zoals aangegeven, beschijft het de dichtheid van de inwendige kacht op een bepaald vlak doo een punt: (n) F lim A A (.4) De supescipt (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvecto onlosmakelijk vebonden is met de keuze van het doosnijdingsoppevlak in het beschouwde punt en dus met haa nomale en. De dichtheid van kacht, of kacht pe oppevlakte-eenheid, die loodecht op A wekt, wodt gedefinieed als de nomaalspanning. Wiskundig kan deze als volgt woden uitgedukt: (n) Fn lim A A (.5) Als de nomaalkacht F n aan het oppevlakte-element A tekt, dan is de nomaalspanning een tekspanning, tewijl als F n op het oppevlakte-element A dukt, de nomaalspanning een dukspanning is. Op analoge manie wodt de dichtheid van kacht die akend aan A wekt, de schuifspanning (tau) genoemd. Deze component wodt wiskundig op de volgende manie gefomuleed: 5

35 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Ft lim A A (.6) Als men nu een echtshandig catesiaans assenstelsel (,y,z) invoet, zoals aangegeven in Figuu.5(a), kan men de nomaalspanning en de schuifspanning gaan ontbinden volgens de loodecht op elkaa staande assen.5(b). e, e y en e z, zoals aangegeven in Figuu Figuu.5 Invoeing van een catesiaans assenstelsel (,y,z) []. In dit catesiaans assenstelsel woden de nomaal- en schuifspanningen aangeduid met een subscipt ij (i, j =, y, z), waabij de eeste inde staat voo de ichting van de buitennomale van de beschouwde doosnijding en de tweede inde staat voo de beschouwde ichting van de spanning. Voo het voobeeld van Figuu.5(b) wodt de nomaalspanning genoteed als zz. De buitennomale van de beschouwde doosnijding is immes e z e z (eeste inde) en de ichting van de nomaalspanning is ook volgens (tweede inde). De beide schuifspanningscomponenten woden genoteed als z en zy. De beschouwde doosnijding heeft immes in beide gevallen als buitennomale ene schuifspanningscomponent volgens de ichting. e z (eeste inde), tewijl de e ichting ligt en de andee volgens de e y 6

36 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken De spanningen zz, z en zy hebben dus allen als eeste inde z, omdat de buitennomale van de gekozen doosnijding volgens volgens de positieve assen e z e z, e en e y ligt. De spanningen zijn positief als ze espectievelijk liggen. Geheel analoog kan men nu een nieuwe doosnijding maken volgens het -z vlak, met buitennomale volgens de positieve e y as. Gebuik makend van de evenwichtsvegelijkingen (.), kunnen opnieuw de esulteende inwendige kacht en het esulteende inwendige moment bepaald woden, en dus de inwendige kacht F op elk oppevlakje A van deze nieuwe doosnijding (zie Figuu.6(a)). De nomaalspanning staat dan loodecht op de beschouwde doosnijding, tewijl y en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de espectieve assen e en e z (zie Figuu.6(b)). Opnieuw hebben de spanningen, y en yz allen als eeste inde y, omdat de buitennomale van de gekozen doosnijding volgens ligt. e y Figuu.6 Doosnijding volgens de positieve e y as []. 7

37 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Tenslotte kan men een doosnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennomale volgens e de positieve as, zoals aangeduid in Figuu.7(a). De nomaalspanning is dan en de schuifspanningen y en z (Figuu.7(b)). Figuu.7 Doosnijding volgens de positieve e as []. De hieboven bescheven doosnijdingen waen zodanig gekozen dat de buitennomale evan, y of z telkens samenviel met de positieve zin van de coödinaatas e e e. Deze woden dan ook positieve oppevlakken genoemd. In geval van een negatief oppevlak is de buitennomale tegengesteld geicht aan de positieve zin van de coödinaatas e, e y of e z. Dit wodt geïllusteed doo Figuu.8(a). In dat geval keen ook de tekenconventies voo de spanningen om. Een spanning op een negatief oppevlak heeft een positief teken als zij tegengesteld geicht is aan de positieve zin van de coödinaatas geïllusteed in Figuu.8(b). e, e y of e z. Dit wodt 8

38 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.8 Positieve en negatieve oppevlakken en bijhoende tekenconventies [7]. Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de spanningen in het gekozen punt van het lichaam voostelt. Figuu.9 stelt deze spanningstoestand voo, waabij alle spanningen getekend zijn met een positief teken. Figuu.9 Volledige spanningstoestand in een punt [7]. De spanningstoestand wodt vaak gescheven in mativom: 9

39 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken y z [ ] y yz (.7) z zy zz De nomaalspanningen, en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de mati. De die ijen stellen de nomaal- en schuifspanningen voo op een doosnede met buitennomale volgens de positieve zin van de espectieve coödinaatassen e, e y en e z. Voobeeld.4 De houten steun in ondestaande figuu hangt aan een stalen staaf van mm diamete, die aan de muu is bevestigd. De steun daagt een veticale belasting van 5 kn. Beeken de gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muu en langs de twee geaceede vlakken van de steun, waavan e één met abcd is gemakeed..3.. Veband tussen spanningsvecto (n) en spanningsmati [] Zoals eeds hoge vemeld, is de spanningsvecto (n) altijd gedefinieed in elatie tot de keuze van het doosnijdingsoppevlak en haa positieve buitennomale e n (n, n y, n z ) als de ichtingscosinussen van de nomale en, zodat geldt:. Definiee nu 3

40 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken n i e e n i (i,y,z) (.8) (n) Om het veband aan te tonen tussen de spanningsvecto en de spanningsmati [] in een bepaald punt P(,y,z), beschouwt men ond dit punt P een infinitesimaal kleine tetaëde, zoals afgebeeld in Figuu.3. Die vlakken van de tetaëde zijn evenwijdig met de espectieve coödinaatvlakken -y, -z en y-z en hebben espectieve oppevlakken ds y, ds z, y en z, en ds yz. De die ibben van de tetaëde, evenwijdig met de coödinaatassen e e e hebben espectieve lengtes d, dy en dz. Het viede vlak van de tetaëde heeft een oppevlakte ds en een positieve buitennomale en met ichtingscosinussen (n, n y, n z ). Op dit viede vlak wekt de spanningsvecto (n). z y dz e n (n) yz d y y P zy zz z z dy Figuu.3 Infinitesimaal kleine tetaëde in het beschouwde punt P. Vemits deze infinitesimaal kleine tetaëde in het beschouwde punt P in evenwicht moet zijn, moet het kachtenevenwicht gelden in de die ichtingen bijvoobeeld het kachtenevenwicht voo de ichting e e, e y en e z, dan geldt: [8]. Schijft men 3

41 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken ds n ds yz y n y ds ds n y y z n y z z ds z y ds n n z z (n) (n) (n) ds ds (.9) Als men ook het kachtenevenwicht uitschijft in de ichtingen e y en e z, bekomt men tenslotte de volgende betekkingen tussen de spanningsvecto (n) en de spanningsmati []: y z n n n y yz n n n y y y z zy zz n n n z z z (n) (n) y (n) z (.3) De fomules zijn gemakkelijke te onthouden in vekote notatie: (n) n (i, j, y,z) (.3) ij i j Deze vegelijkingen gelden voo elk punt van het beschouwde lichaam en voo elke ichting van en, zowel in de inwendige punten als in de punten gelegen aan het oppevlak van het lichaam. Toegepast in een inwendig punt tonen deze vegelijkingen aan dat het volstaat de negen componenten van de spanningsmati te kennen, om de spanningsvecto op om het even welk vlakje in dit punt te kunnen beekenen. De spanningsmati [] bepaalt dus volledig de spanningstoestand in een punt. Toegepast in een punt aan het buitenoppevlak met buitennomale (n), is de uitwendige kacht pe eenheid van oppevlakte, uitgeoefend in dit punt op dit buitenoppevlak. In veel gevallen is dit een gegeven gootheid (bv. de luchtduk). en.3.3. Vegelijkingen van het evenwicht Beschouwt men opnieuw de infinitesimaal kleine kubus met lengte van de zijden d, dy en dz. Als het volledige lichaam in evenwicht is, dan moet ook dit kleine element in evenwicht zijn. Figuu.3 toont een algemene spanningstoestand op het element. 3

42 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.3 Statisch evenwicht van een infinitesimaal klein volume-element onde een algemene spanningstoestand [6]. Op het element weken volgende spanningen en kachten: de lichaamskachten pe eenheid van volume F, F y en F z op het oppevlak met buitennomale - e :, (.3) y, z op het oppevlak met buitennomale + e : y z d, y d, z d (.33) op het oppevlak met buitennomale - e y : y,, (.34) yz op het oppevlak met buitennomale + e y : y yz dy, y dy, yz dy (.35) y y y 33

43 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken op het oppevlak met buitennomale - e z : zz z,, (.36) zy z : op het oppevlak met buitennomale + e zz z zy zz dz, z dz, zy dz (.37) z z z Oveeenkomstig (.) wodt het kachten- en momentenevenwicht uitgedukt volgens de die coödinaatassen. Beschouwt men eest het kachtenevenwicht in de -ichting : z z z ddydz dzddy dydz z ddy F ddydz y y dy ddz y y ddz (.38) Veeenvoudigd wodt dit: y y z z F (.39) Volledig analoog, doo het evenwicht uit te dukken in de y-ichting, komt men tot: y y zy z F y (.4) En tenslotte voo de z-ichting: z yz y z zz F z (.4) De vegelijkingen (.39), (.4) en (.4) vomen samen de vegelijkingen van het evenwicht. Dukt men nu het momentenevenwicht uit ond de -, y- en z-as. Voo het esulteend moment om de z-as geldt: 34

44 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken z y z z d dy dz z (dydz) (ddz) (ddy) dy d dy y y dy(ddz)dy y y y d(dydz)d zy zy dz zy (ddy) z d (.4) Als men deze uitdukking veeenvoudigt en tweede-ode temen vewaaloost, komt men tot de eenvoudige uitdukking: y y (.43) Volledig analoog vindt men voo het esulteend moment om de y-as: En voo het esulteend moment om de -as: z z (.44) yz zy (.45) De vegelijkingen (.43), (.44) en (.45) vomen samen de wet van de wedekeigheid de schuifspanningen. Dit wil zeggen dat de spanningsmati [] (zie vgl. (.7)) symmetisch is en dus slechts zes onafhankelijke elementen telt: 3 nomaalspanningen en 3 schuifspanningen. y z [ ] y yz (.46) z yz zz Een notatie die men ook vaak teugvindt in de intenationale liteatuu, is de volgende: y z [ ] y yz (.47) z yz zz.3.4. Tansfomatie van coödinaten en hoofdichtingen De spanningsmati in het beschouwde punt wodt bepaald t.o.v. een gekozen catesiaans assenstelsel (,y,z). Als men een ande assenstelsel (,y,z ) kiest, dan tansfomeet de spanningsmati volgens de volgende wet: [ T '] [a] [ ] [a] (.48) 35

45 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Hiebij is [] de spanningsmati in het oosponkelijk assenstelsel (,y,z), [ ] de spanningsmati in het nieuwe assenstelsel (,y,z ) en [a] is de tansfomatiemati tussen beide assenstelsels. Hiebij geldt voo het element a k op ij en kolom k: a k e ' e k met,k,y,z (.49) Elk element a k is dus de ichtingscoëfficiënt van de nieuwe as e' t.o.v. de oude as e k. Het begip spanning hangt dus niet af van de keuze van het assenstelsel. Uiteaad zullen de componenten van de spanningsmati een andee waade hebben bij keuze van een nieuw assenstelsel, maa de fysische voostelling van de spanning blijft dezelfde en bij de ovegang van het ene assenstelsel naa het andee, gelden de vaste tansfomatieegels (.48) en (.49) voo de spanningsmati. Een mati met deze bijzondee eigenschap noemt men een tenso. Naagelang de compleiteit van deze tansfomatieegels kijgt de tenso een bepaalde ode, in dit geval ode twee. Vandaa wodt [] vootaan altijd aangeduid als de spanningstenso i.p.v. de spanningsmati. Nu is het bekend uit de algeba dat elke mati doo een tansfomatie van de vom (.48) kan omgezet woden in een diagonale mati (met alle niet-diagonaalelementen nul). In dit geval betekent dit dat e die ondeling othogonale ichtingen kunnen gevonden woden, waain de spanningstenso zich heleidt tot een diagonale mati: ' [ ' ] ' ' zz (.5) De aldus bekomen diagonaalelementen noemt men de eigenwaaden van [], en de ijen van de tansfomatiemati [a] noemt men dan de eigenvectoen van []. Dit betekent hie dat e voo elke spanningstoestand [] één (of tenminste één) assenstelsel (,y,z ) kan gevonden woden waain de zes schuifspanningen nul zijn en dus alleen nomaalspanningen bestaan. Deze nomaalspanningen, die de eigenwaaden van [] zijn, noemt men de hoofdspanningen (Eng: pincipal stesses). De die ichtingen van de assen e ', e' y en e' z, waavan de ichtingscoëfficiënten eigenvectoen van [] zijn, noemt men de hoofdichtingen. Steunend op de cusus algeba vindt men de oplossing van dit eigenwaadenpobleem voo een 3 3 mati als volgt: de eigenwaaden zijn de oplossingen van de seculaie vegelijking: s y z y s yz zz z yz s (.5) Als men deze deteminant uitwekt, vindt men volgende dede-gaadsvegelijking: 36

46 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken s s 3 ( s ( zz ) zz zz y z yz ) (.5) ( zz yz z zz y y z yz ) Het is bekend dat, als [] symmetisch is, deze vegelijking die eële wotels heeft. Bovendien veandeen deze eigenwaaden niet doo een lineaie tansfomatie zoals (.48), zodat de coëfficiënten van de seculaie vegelijking (.5) niet kunnen afhangen van het gekozen efeentiestelsel (,y,z). De coëfficiënten van s, s en s zijn dan ook invaianten met betekking tot de keuze van het assenstelsel: zz diagonaalsom van [ ] zz zz y som van de hoofdminoen van [ ] z yz (.53) 3 zz deteminant van [ ] yz z zz y y z yz De die wotels van de vegelijking (.5) noteet men I, II en III, waabij I > II > III. Met aanname van deze conventie kan men aantonen dat I de gootste en III de kleinste nomaalspanning zijn van alle nomaalspanningen in het beschouwde punt [9]. De die bijhoende eigenvectoen zijn de oplossingen van het lineai homogeen stelsel: y z i y yz i z a yz a zz i a i i i3 i I,II,III (.54) Elk van de die eigenvectoen wodt genomeed, zodat voo elke eigenvecto geldt: a a a i I,II, III i (.55) i i3 37

47 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken.3.5. Komlijnige coödinaten Een behandeling van de spanningstenso in willekeuige coödinaten valt buiten het bestek van deze cusus. De bespeking wodt hie bepekt tot de twee belangijkste gevallen voo de paktijk: (i) de cilindecoödinaten, en (ii) de bolcoödinaten..3.5.a. Cilindecoödinaten e, e en Aangezien de cilindecoödinaten othogonaal zijn, vomen efeentiestelsel, waain men de spanningstenso als volgt definieet: e z een echtshandig z [ ] z (.56) z z zz Een schematische voostelling van de spanningen is getoond in Figuu.3. Figuu.3 Cilindecoödinaten [9]. De symmetie van de spanningstenso blijft behouden, maa de patiële diffeentiaalvegelijkingen voo het evenwicht kan men niet zomaa ovenemen. Men kan aantonen dat deze vegelijkingen in cilindecoödinaten de volgende gedaante aannemen: 38

48 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken z z F z z F (.57) z z z z zz F z.3.5.b. Bolcoödinaten De bolcoödinaten, en zijn eveneens othogonaal en het stelsel van eenheidsvectoen e en e is echtshandig. De eenheidsvectoen zijn voogesteld in Figuu.33. e, Figuu.33 Bolcoödinaten [9]. De spanningstenso wodt dan gescheven als: [ ] (.58) Een schematische voostelling van de spanningen is getoond in Figuu

49 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu.34 Spanningstenso in bolcoödinaten [8]. Men kan aantonen dat de vegelijkingen van het evenwicht volgende vom aannemen: cotan sin 3 cotan sin sin 3 cotan F F cotan F (.59) 4

50 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.4. REKKEN In paagaaf. wed het voobeeld van de tekpoef op een stalen poefstaaf gebuikt om aan te tonen dat spanning en vevoming onlosmakelijk met elkaa vebonden zijn. Voo dit geval van eenvoudige geometie en belasting wed de ek gedefinieed als de vehouding van de velenging L tot de oosponkelijke lengte L van de staaf (zie vgl. (.9)). De ek wodt dus gedefinieed in elatie met de onvevomde en vevomde geometie van het object. Op dezelfde wijze als voo de spanning, wodt nu het concept van ek uitgebeid tot het algemeen geval van een vevombaa lichaam..4.. Eendimensionale lengteveandeing Voo de eenvoud wodt eest een eendimensionaal geval beschouwd. Figuu.35 toont een eendimensionale staaf, die aan de linkezijde is ingeklemd en aan de echtezijde wodt uitgeokken. Figuu.35 Definitie van de eendimensionale ek [6]. Twee punten A en B, op een infinitesimale afstand d van elkaa, zullen bij vevoming de nieuwe posities A en B aannemen. Mee algemeen zal de veplaatsing u() van elk deeltje van deze staaf een functie zijn van zijn positie, waabij gemeten wodt vanaf de ingeklemde zijde waa de veplaatsing nul is. De veplaatsing van het punt B t.o.v. deze van het punt A kan men definiëen m.b.v. een Taylo-eeks: u B 3 du d u d u 3 u A d (d) (d)... 3 d A! d 3! d (.6) Voo kleine vevomingen kan men de hogee-ode temen in d vewaalozen, zodat: De nieuwe afstand A B na vevoming wodt dus: u B A A du u A d (.6) d A 4

51 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken du du A ' B' d u B u A d d d (.6) d A d A Past men opnieuw de definitie (.9) van de ek toe, ekening houdend met (.6), dan bekomt men: A' B' AB du d d d du A (.63) AB d d A.4.. Vealgemeende vevomingstoestand De bovenstaande edeneing is eenvoudig uit te beiden naa twee- en diedimensionale vevomingstoestanden. Wel valt op te meken dat bij een algemene vevomingstoestand niet alleen lengteveandeingen opteden, maa ook hoekveandeingen. Beschouwt men nu een punt A(,y,z) en vanuit A een infinitesimaal kubuselement met zijden d, dy en dz. In Figuu.36 is voo de eenvoud enkel het -y vlak getekend. Figuu.36 Tweedimensionale vevomingstoestand [6]. In oveeenstemming met (.63) wodt de lengteveandeing opnieuw gedefinieed als: AB u u AB u d d u B A A (.64) AB d A 4

52 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Analoog wodt de lengteveandeing gedefinieed als: AC v v AC AC v dy y dy dy v y C A A (.65) De hoekveandeing y wodt als volgt beekend: A y BAC B' A'C' v actan v u y B v d A u actan C u dy A (.66) Past men dezelfde afleidingen toe voo het -z en het y-z vlak, dan komt men tenslotte tot de volgende zes vegelijkingen voo het veband tussen ek en veplaatsing: u v y zz y w z v u y (.67) z w u z yz w v y z De hoekveandeingen y, z en yz woden ook wel de glijdingen genoemd Tansfomatie van coödinaten en hoofdichtingen Geheel analoog met paagaaf.3.4, kan men opnieuw de tansfomatieegels opstellen voo de ekmati []. Opdat de ekmati [] eveneens een tenso van tweede ode zou zijn en zou voldoen aan de tansfomatieegels: T '] [a] [ ] [a] met a k e k (.68) [ e ' 43

53 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken moet men echte de glijdingen y, z en yz vevangen doo ektenso [] e als volgt uitziet: y, z en yz, zodat de y z [ ] y yz (.69) z yz zz De oozaak van deze facto / volgt uit het feit dat de afgeleiden u/y, v/, etc. effecten bevatten van stae otatie, waamee geen vevoming gepaad gaat []. Histoisch wed de elasticiteitstheoie ontwikkeld op basis van eenvoudige elaties tussen spanning en vevoming en pas late wed de tensotheoie ingevoed. Deze ektenso (.69) wodt ook vaak genoteed als: waabij: y z [ ] y yz (.7) z yz zz y z yz y z yz (.7) In analogie met paagaaf.3.4 bestaat e voo de ektenso [] één (of tenminste één) assenstelsel (,y,z ) waain alle glijdingen nul zijn. Dit betekent dat de echte hoeken tussen deze die ichtingen na vevoming onveanded blijven. De elatieve velengingen in deze die ichtingen, die de eigenwaaden van de mati [] zijn, noemt men de hoofdekken. Men noteet ze I, II en III, waabij I > II > III. Men kan ze, geheel analoog aan (.5), beekenen uit de seculaie vegelijking: s s 3 ( s ( zz ) zz zz y z yz ) (.7) ( zz yz z zz y y z yz ) Ook zijn e opnieuw die invaianten: 44

54 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken I zz diagonaalsom van [ ] I zz zz y som van de hoofdminoen van [ ] z yz (.73) I 3 zz deteminant van [ ] yz z zz y y z yz.4.4. Compatibiliteitsvoowaaden De elaties tussen ek en veplaatsing bevatten die veplaatsingsfuncties u(,y,z), v(,y,z) en w(,y,z). Als deze functies gekend zijn, kunnen de zes onafhankelijke ekcomponenten daauit afgeleid woden, zoals in (.67) is aangegeven. In sommige gevallen heeft men echte infomatie ove de ekken en moet men de veplaatsingsfuncties bepalen doo integatie van de vegelijkingen in (.67). In dat geval heeft men zes vegelijkingen voo het bepalen van die onbekende veplaatsingsfuncties. Het is duidelijk dat een willekeuige set van ekken geen unieke waade voo de onbekenden u, v en w zal opleveen. E zijn dus compatibiliteitsvoowaaden nodig waaaan de ekken moeten voldoen, opdat ze een uniek veplaatsingsveld (u,v,w) zouden opleveen. Figuu.37 illusteet een aantal onmogelijke vevomingstoestanden ten gevolge van een stel opgelegde ekken dat niet aan de compatibiliteitsvoowaaden voldoet. Figuu.37 Illustatie van de noodzaak van compatibiliteitsvoowaaden: (a) geen volledige aansluiting van het mateiaal, (b) ovelappend mateiaal na vevoming, (c) volledig discontinu mateiaal. 45

55 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken 46 Deze compatibiliteitsvoowaaden woden afgeleid uit (.67), maa deze afleiding valt buiten het bestek van deze cusus. Voo de volledigheid zijn de compatibiliteitsvoowaaden hieonde weegegeven: zz yz zz z y y z yz zz z yz y yz y z y z z y z z y y z y z y y z y z z y z y (.74) Deze vegelijkingen zijn niet eenvoudig en woden in de paktijk zelden gebuikt. Men zal: ofwel de veplaatsingsfuncties u(,y,z), v(,y,z) en w(,y,z) als onbekenden nemen en de ekken daauit afleiden. Dan is uiteaad aan de compatibiliteitsvoowaaden voldaan, ofwel de aansluitingsvoowaaden op een andee wijze uitdukken (bv. met behulp van enegiemethodes) Komlijnige coödinaten Een behandeling van de ektenso in willekeuige coödinaten valt buiten het bestek van deze cusus. De bespeking wodt hie bepekt tot het belangijkste gevallen voo de paktijk: (i) de cilindecoödinaten, en (ii) de bolcoödinaten..4.5.a. Cilindecoödinaten Aangezien de cilindecoödinaten othogonaal zijn, vomen e, e en z e een echtshandig efeentiestelsel, waain men de ektenso als volgt definieet: z u u z u u z u u z u u u u u u u z u u u u u ] [ z z z z z zz z z z z (.75)

56 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken b. Bolcoödinaten De bolcoödinaten, en zijn eveneens othogonaal en het stelsel van eenheidsvectoen e, e en e is echtshandig. De ektenso wodt dan gescheven als: cotan u u u sin cotan u u u sin u u u sin cotan u u u sin u u u u u u u u sin u u u u ] [ (.76).4.6. Eindige vevomingen en ekken In de bovenstaande afleidingen wed telkens veondesteld dat de vevomingen zee klein zijn, zowel wat de lengteveandeingen beteft (zie vgl. (.6)) als wat de hoekveandeingen beteft (zie vgl. (.66)). In de meeste gevallen die in de paktijk van de bouwkunde en de wektuigkunde vookomen, is dat ook zo. De afgeleiden zijn meestal in de gootte-ode van -3, zodat de tweede-ode temen eeds van de ode -6 zijn en zonde noemenswaadige fout mogen vewaaloosd woden. E zijn echte toepassingen, zoals het elastisch gedag van ubbe, de doobuiging van dunne platen en schalen of het uitknikken van slanke kolommen, waa de vevomingen veel gote zijn. In dat geval is het niet toegelaten de tweede-ode temen te vewaalozen en ekent men met de eindige ekken (ook ekken van Geen genoemd):

57 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken 48 z w y w z v y v z u y u z v y w z w w z v v z u u z u w y w w y v v y u u y u v z w z v z u z w y w y v y u y v w v u u yz z y zz (.77) Voo het vevolg woden echte altijd de infinitesimale ekken (.67) gebuikt.

58 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG In de voogaande paagafen weden de begippen spanning en ek gedefinieed, onafhankelijk van elkaa en zonde enige veondestelling ove de aad van het mateiaal. Dit betekent dat de definities van spanning en ek geldig zijn voo elk mateiaal met om het even welke geometie en onde elke vom van belasting. Zoals eeds aangegeven m.b.v. de tekpoef in paagaaf., bestaat e echte wel degelijk een veband tussen de belasting waaaan een mateiaal ondewopen wodt en de teweeggebachte vevoming. Maa dit veband tussen spanning en ek hangt wél af van het soot mateiaal en de belastingscondities. Men noemt dit veband tussen spanning en ek vaak de constitutieve wet van het mateiaal. In deze paagaaf wodt ingegaan op het veband tussen spanning en ek in het lineai elastisch gebied. Zoals eeds vemeld in paagaaf., is dit het gebied waa spanning en ek echt evenedig zijn en waa bij ontlasting geen pemanente vevoming oveblijft. Om dit veband op te stellen, woden twee bijkomende veondestellingen gemaakt: het mateiaal is isotoop, d.w.z. de mateiaaleigenschappen in een bepaald punt zijn dezelfde in alle ichtingen, het mateiaal is homogeen, d.w.z. de mateiaaleigenschappen, gemeten in een bepaald punt, zijn dezelfde als deze, gemeten in een ande punt van het mateiaal volgens dezelfde ichting. Het is belangijk te vemelden dat deze definities gelden op een voldoend gote schaal. Figuu.38 toont een micoscopische opname van zuive oestvast staal. De kistalstuctuu van het staal en de koelgenzen zijn duidelijk zichtbaa. Op dit micoscopisch niveau (kistallen van, mm) is het mateiaal uiteaad niet homogeen en isotoop, maa deze schaal is vewaaloosbaa klein t.o.v. de schaal waaop constucties, kolommen en balken uit staal woden vevaadigd. De kistalgootte in technische metalen vaieet tussen m en m []. Figuu.38 Lichtmicoscopische opname van zuive oestvast staal type 3 (9 vegoting) []. 49

59 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Deze opmeking geldt ook voo de definitie van de spanning. Aangezien men staal beschouwt als een isotoop en homogeen mateiaal, wodt met de spanning in het staal dan ook de gemiddelde spanning ove een voldoend goot oppevlak bedoeld. Zoals aangegeven in Figuu.39, kan de lokale spanning in de kistallen immes aanzienlijk afwijken van de gemiddelde spanning. Figuu.39 De spanning in een polykistallijn metaal vaieet van kistal tot kistal []..5.. Wet van Hooke Beschouwt men nu zo n homogeen en isotoop mateiaal, belast met een constante spanning, zoals aangeduid in Figuu.4(i). Figuu.4 Rekken in een tweedimensionale spanningstoestand [3]. 5

60 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Zoals eeds aangegeven bij de bespeking van de tekpoef in paagaaf. (zie vegelijking (.)), is de bijhoende vevoming in de ichting e evenedig met de aangelegde spanning en bedaagt: (.78) E De evenedigheidsconstante E is de elasticiteitsmodulus [N/m ] (of Young s modulus). Net zoals bij de stalen poefstaaf in de bespoken tekpoef (zie vegelijking (.)), stelt men vast dat het mateiaal tegelijk kimpt in de dwase ichtingen e y en e z. Wegens het isotoop kaakte van het mateiaal is deze dwascontactie bovendien dezelfde in de ichtingen e y en e z. Het veband tussen deze dwase ekken en zz en de aangelegde spanning is: zz E E (.79) De constante is de coëfficiënt van Poisson en is dimensieloos [-]. Tenslotte stelt men vast dat de echte hoek tussen de ibben behouden blijft, zodat alle glijdingen nul zijn. Beschouwt men nu het geval van Figuu.4(ii), waabij een spanning wodt aangelegd, dan teden de volgende vevomingen op: zz E E E (.8) Beschouwt men tenslotte het geval van een aangelegde spanning zz, dan zijn de bijhoende vevomingen: zz E zz zz E zz (.8) zz E zz 5

61 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Legt men de nomaalspanningen, en zz simultaan aan, dan bekomt men doo supepositie de volgende vevomingen: zz E E E zz zz zz (.8) Legt men tenslotte een schuifspanning y aan, zoals weegegeven op Figuu.4, dan neemt men geen lengteveandeingen waa, maa enkel een hoekveandeing y. Figuu.4 Schuifspanning y en bijhoende vevoming [3]. Het veband tussen de aangelegde schuifspanning y en de bijhoende glijding y is als volgt: De evenedigheidsconstante G is de glijdingsmodulus [N/m ]. Voo de andee ichtingen vindt men analoog: y y (.83) G z yz z G yz G (.84) Voo een willekeuige spanningstoestand vindt men dan volgende betekkingen tussen spanning en ek: 5

62 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken zz y z yz E E E G y G z G yz zz zz zz (.85) * Deze betekkingen vomen de wet van Hooke voo een homogeen en isotoop mateiaal in het lineai elastisch gebied. Voo numeieke bewekingen woden de vegelijkingen vaak in mativom genoteed: zz y z yz E E E E E E E E E G G G y z yz zz (.86) Men kan naekenen dat de invese elaties zijn: * De fomules, die met een kade eond zijn gemakeed, dient men van buiten te kennen. Deze afspaak geldt voo de volledige cusus. 53

63 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken zz y E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) G y zz zz zz (.87) z G z yz G yz Het is zee belangijk te vemelden dat in geval van lineai elastisch mateiaalgedag de hoofdichtingen voo spanning en ek samenvallen. Dit volgt diect uit de wet van Hooke: als de schuifspanningen allemaal nul zijn (hoofdichtingen van de spanningen), dan zijn ook de glijdingen allemaal nul (hoofdichtingen van de ekken). Voobeeld.5 Een kopeen staaf ondevindt een constante duk langs de anden, zoals aangegeven in ondestaande figuu. Als de staaf een lengte a = 3 mm, beedte b = 5 mm en dikte t = mm heeft vóódat de belasting wodt aangebacht, bepaal dan de nieuwe lengte, beedte en dikte bij belasting. Neem E cu = GPa en cu =, Bijzondee belastingsgevallen In deze paagaaf woden kot een aantal bijzondee belastingsgevallen bespoken, waabij de spanningstenso een zee eenvoudige gedaante aanneemt. De voo de paktijk inteessante belastingsgevallen zijn: (i) zuivee tek, (ii) zuivee afschuiving, (iii) hydostatische belasting en (iv) tosie of winging..5..a. Zuivee tek Het geval van zuivee tek wed in feite eeds bespoken in paagaaf.. In Figuu.4 wodt een schematische voostelling gegeven van zuivee tek. 54

64 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.4 Staaf belast op zuivee tek []. In de spanningstenso is slechts één spanningscomponent veschillend van nul, namelijk (als de -as volgens de tekichting wodt gekozen): [ ] (.88) Het is belangijk te onthouden dat, hoewel e enkel een spanningscomponent wodt aangelegd, e vevomingen zijn in de die ichtingen:, en zz..5..b. Zuivee afschuiving In geval van zuivee afschuiving zijn alle nomaalspanningen nul en teedt e slechts één schuifspanningscomponent op. Een typisch voobeeld is de afschuifkacht in de steel van een boutvebinding tussen twee platen, zoals geïllusteed doo Figuu.43. Figuu.43 Zuivee afschuiving in een dwasdoosnede van de bout []. Als men de -as kiest in de ichting van de tekkacht op de platen en de z-as volgens de hoogte van de bout, dan wodt de spanningstenso: 55

65 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken [ ] z z (.89).5..c. Hydostatische belasting Het is bekend dat de hydostatische wateduk een alzijdige duk is die in het beschouwde punt dezelfde waade heeft in alle ichtingen. Figuu.44 stelt de bijhoende spanningstoestand op een infinitesimaal klein volume-element voo. Figuu.44 Alzijdige hydostatische duk op een infinitesimaal klein volume-element []. De bijhoende spanningstenso is: [ ] zz p p p (.9) waabij p de wateduk is. Aangezien de wateduk een dukkacht is, zijn de spanningscomponenten, en zz stikt negatief..5..d. Tosie of winging Tosie of winging is een vaak vookomend pobleem in de wektuigkunde, waa assen van motoen en tubines belast woden met een wingmoment. Bij winging woden de opeenvolgende dwasdoosnedes t.o.v. elkaa vedaaid. E teden geen lengteveandeingen op, enkel hoekvedaaiingen. Elke dwasdoosnede wodt dus belast met zuivee schuifspanningen. Figuu.45 toont een schematische voostelling van de spanningstoestand. 56

66 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.45 Winging van een cikelvomige as en aanduiding van de spanningstoestand [3]. Als men de -as kiest volgens de langsichting van de staaf, is de spanningstenso in elke dwasdoosnede van de staaf: [ ] y z y z (.9) De spanningstoestand in elke dwasdoosnede van de as kan men ook noteen in polaie coödinaten. De enige bestaande spanning is dan de schuifspanning z : [ ] z z (.9).5.3. Relaties tussen de elastische constanten.5.3.a. Veband tussen E, en G In de wet van Hooke komen die elastische constanten voo: (i) de elasticiteitsmodulus of Young s modulus E, (ii) de Poisson-coëfficiënt, en (iii) de glijdingsmodulus G. Deze die constanten zijn veschillend voo elk mateiaal en woden bepaald uit epeimentele poeven. Van deze die elasticiteitsconstanten E, en G zijn e echte slechts twee onafhankelijk. De dede kan altijd beekend woden uit de betekking: E G (.93) ( ) Een manie om dit veband af te leiden, is een element van het mateiaal te beschouwen dat wodt belast op zuivee afschuiving y (alle andee spanningscomponenten gelijk aan nul), zoals afgebeeld in Figuu

67 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Figuu.46 Element belast op zuivee afschuiving []. Als men de vegelijking (.5) toepast om de hoofdspanningen te vekijgen, vindt men dat I = + y, II = en III = - y. De die ondeling loodechte hoofdichtingen vindt men doo toepassing van vegelijking (.54). De bijhoende (genomeede) eigenvectoen, die samen de die ondeling loodechte hoofdichtingen vomen, zijn espectievelijk:, en (.94) Deze hoofdspanningen en hun ichting en zin zijn afgebeeld in Figuu.47. Het is belangijk te vemelden dat de spanningstoestand nog steeds wodt beschouwd in hetzelfde punt. Alleen wed in dat punt een bijzonde stel vlakjes geselecteed waaop enkel de hoofdspanningen I = + y en III = - y weken en alle schuifspanningen nul zijn. Figuu.47 Hoofdspanningen en hoofdichtingen van het element belast op zuivee afschuiving []. 58

68 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken De bijhoende hoofdek I is volgens (.85): I I II III y y y (.95) E E E Andezijds kan de hoofdek I beekend woden doo de otatie van de ektenso [] ove 45 m.b.v. de vegelijking (.68): I II III cos sin sin cos y y cos sin sin cos y sincos y cos y cos y sin cos 45 y y (.96) Uit de gelijkstelling van (.95) en (.96) voo de hoofdek I volgt: y y E I y G (.97) E G ( ).5.3.b. Volumeveandeing en compessiemodulus Een andee betekking die men uit de wet van Hooke kan afleiden, bekomt men echtsteeks doo de eeste die vegelijkingen van de wet van Hooke (.85) lid aan lid op te tellen: zz zz (.98) E Het is belangijk op te meken dat de vegelijking (.98) geldig is in elk assenstelsel, omdat zowel de som van de ekken als de som van de spanningen een invaiant is en dus geldt in elk assenstelsel (zie (.53) en (.73)). 59

69 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Men kan eenvoudig aantonen dat de eeste tem van de vegelijking (.98) de elatieve volumeveandeing weegeeft van het mateiaal. Beschouwt men daatoe een volume-element met zijden d, dy en dz, ondewopen aan de nomaalspanningen, en zz, zoals afgebeeld in Figuu.48. Figuu.48 Volumeveandeing van een elastisch mateiaal []. De volumeveandeing van het element is daadoo, met vewaalozing van de tweede-ode temen: V ( ( )( zz )( zz )ddydz )ddydz ddydz (.99) De volumeveandeing pe volume-eenheid wodt de volumeek of dilatatie vol genoemd en kan gescheven woden als: V vol zz (.) dv Ondestel nu dat ditzelfde volume-element wodt ondewopen aan een unifome duk p, die in alle ichtingen gelijk is en altijd loodecht wekt op elk oppevlak. Deze toestand van hydostatische belasting veeist dat de nomaalspanningen in alle mogelijke ichtingen gelijk zijn en dat alle schuifspanningen nul zijn. Het volume-element wodt dus belast doo de hoofdspanningen = = zz = p, zoals afgebeeld in Figuu.49. 6

70 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.49 Hydostatische spanning op een volume-element []. De som van de nomaalspanningen is dus hescheven woden als: 3 p, zodat de vegelijking (.98) kan V p E vol 3 p K (.) dv E V 3 dv De constante K noemt men de compessiemodulus of volume-elasticiteitsmodulus [N/m ]. Zij dukt de vehouding uit tussen de hydostatische spanning en de elatieve volumeveandeing. Hieuit kan men ook onmiddellijk een bovengens afleiden voo de coëfficiënt van Poisson. Bij samendukking (som spanningen < ) moet ook het volume afnemen (som ekken < ), zodat de tem (-) altijd stikt positief moet zijn, en dus: (.) Dit esultaat was eeds op een mee intuïtieve manie afgeleid bij de bespeking van de tekpoef op de stalen poefstaaf in paagaaf Komlijnige coödinaten De wet van Hooke, in de veschillende gedaanten waain hij bescheven wed, geldt ook voo de spanningen en in een komlijnig efeentiestelstel, als deze en dezelfde fysische betekenis hebben als ij en ij in een catesiaans assenstelsel waavan de eenheidsvectoen e i samenvallen met e in het beschouwde punt. Zo kunnen de fomules in catesiaanse coödinaten eenvoudig toegepast woden in cilindecoödinaten en bolcoödinaten. Bijvoobeeld wodt (.85) in cilindecoödinaten: 6

71 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken E zz E zz zz E G zz (.3) z z G z z G Voo bepaalde geometieën (aiaalsymmetische buizen, bolvomige dukvaten) is het heel wat eenvoudige om de wet van Hooke uit te dukken in cilindecoödinaten of bolcoödinaten dan in catesische coödinaten. 6

72 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM In de voogaande paagafen zijn in feite alle definities aangeeikt om elke lineai elastische belastingstoestand van een mateiaal te beekenen: de spanningstenso [] definieet de belastingstoestand in elk punt van het lichaam, de ektenso [] definieet de vevomingstoestand in elk punt van het lichaam, spanning en ek zijn niet onafhankelijk, maa vebonden doo de wet van Hooke. In deze wet van Hooke komen die elastische constanten E, en G voo die het isotoop en homogeen mateiaal kaakteiseen. In deze paagaaf wodt algemeen bespoken hoe men bovenstaande kennis kan aanwenden om een lineai elastisch pobleem op te lossen. Voo een algemene belastingstoestand van een lichaam telt men 5 onbekenden in elk punt van het mateiaal: 3 veplaatsingen u v w 6 spanningscomponenten zz y z yz 6 ekcomponenten zz y z yz Andezijds beschikt men voo elk punt van het lichaam ove 5 vegelijkingen: 3 patiële diffeentiaalvegelijkingen van het evenwicht: y y z z F y y zy z F y (.4) z yz y z zz F z 6 vegelijkingen voo het veband tussen ek en veplaatsing: 63

73 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken u v y zz y w z v u y (.5) z w u z yz w v y z 6 vegelijkingen voo het veband tussen ek en spanning (wet van Hooke): zz y z yz E E E G y G z G yz zz zz zz (.6) Men heeft pecies evenveel vegelijkingen als onbekenden en het lineai elastisch pobleem is dus oplosbaa. Aan deze oplossing woden uiteaad een aantal andvoowaaden opgelegd, die in de volgende paagaaf bespoken woden..6.. Randvoowaaden De oplossing van een stelsel patiële diffeentiaalvegelijkingen is slechts bepaald indien men een gepast aantal andvoowaaden (Eng: bounday conditions) invoet. Men bepekt zich meestal tot de volgende twee sooten: op een deel S U van het oppevlak S van het lichaam is de veplaatsing (u,v,w) gegeven, op een deel S T van het oppevlak S van het lichaam is de spanningsvecto (n) gegeven, waabij SU ST S. In vele gevallen is een eacte beschijving van de andvoowaaden haast onmogelijk (bv. de klemkacht of het koppel van een tang, zie Figuu.5). 64

74 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.5 Randvoowaaden van het lineai elastisch pobleem [4]. Vaak neemt men dan ook zijn toevlucht tot een veeenvoudigde beschijving van de andvoowaaden en past dan het pincipe van Baé de Saint-Venant toe. Dit pincipe stelt: Wannee men op een behoolijk klein deel S van het oppevlak van een lichaam de (n) uitwendige belasting vevangt doo een andee, die ove S dezelfde esultante en hetzelfde esulteend moment heeft, dan zijn de spanningen voo deze twee belastingsgevallen nagenoeg gelijk in alle punten die voldoende ve van S liggen. Hoewel dit pincipe vaak wodt toegepast, is enige omzichtigheid geboden. De twee oplossingen veschillen immes niet noemenswaadig van elkaa, behalve in de nabijheid van (n) de zones waa men heeft aangepast. Dit is een voodeel omdat men aldus een oplossing kan vinden die voo 8 % of 9 % van het volume van het lichaam goed is, maa dit voodeel wodt stek geelativeed doo de oveweging dat de hoogste spanningen meestal in de oveige % of % van het volume te vinden zijn. Men weet aldus veel ove de ongevaalijke spanningen, maa bitte weinig ove de gevaalijke..6.. Supepositiepincipe Een zee belangijk pincipe bij het oplossen van lineai elastische poblemen is het pincipe van supepositie. Dit pincipe stelt dat de esulteende spanning in een lichaam met een gecompliceede belasting kan woden beekend doo eest de spanning te vinden die doo elke belastingscomponent afzondelijk wodt veoozaakt. Daana kan de esulteende spanning woden bepaald doo de bijdagen van alle afzondelijke componenten vectoieel bij elkaa op te tellen. Voo toepassing van het supepositiepincipe moeten twee voowaaden voldaan zijn: de belasting moet lineai geelateed zijn aan de spanning die moet woden bepaald. Zo F betekent de vegelijking dat e indedaad een lineai veband bestaat tussen kacht A en spanning, de belasting mag geen belangijke veandeingen aanbengen in de oosponkelijke geometie of gedaante van de constuctie. Als e bv. belangijke doobuigingen opteden t.g.v. de belasting, dan veandeen de ichting, de plaats en de hefboomsam van de uitgeoefende kachten en geldt het supepositiebeginsel niet lange. 65

75 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Beschouwt men bijvoobeeld de dunne staaf in Figuu.5(a), waaop de belasting P wodt uitgeoefend. In Figuu.5(b) wodt P vevangen doo twee van zijn componenten: P = P + P. Als P evoo zogt dat de staaf aanzienlijk doobuigt, zoals afgebeeld in Figuu.5(a), is het moment van de belasting t.o.v. de ondesteuning, Pd, niet gelijk aan de som van de momenten P d en P d, omdat d d d. Figuu.5 Illustatie van de ongeldigheid van het supepositiepincipe []. In de lineai elastische theoie is het supepositiepincipe haast altijd geldig, omdat de vevomingen klein zijn Statisch onbepaalde systemen Een systeem heet statisch onbepaald als de vegelijkingen van het evenwicht niet volstaan om de eacties te bepalen. In dat geval moet men bijkomende aansluitingsvoowaaden of compatibiliteitsvoowaaden uitdukken. Figuu.5 toont het eenvoudige voobeeld van een staaf die aan beide zijden is ingeklemd en te hoogte van het punt C is belast met een aiale kacht P. 66

76 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.5 Voobeeld van een statisch onbepaald systeem []. E zijn twee onbekende eactiekachten F A en F B, maa e is maa één vegelijking voo het evenwicht: F B F P (.7) A Voo de oplossing moet een eta vegelijking woden opgesteld, en daavoo is het nodig de vevoming te bekijken. Een vegelijking die de voowaaden voo veplaatsing omschijft, wodt een compatibiliteitsvoowaade genoemd. Een geschikte compatibiliteitseis in dit geval is dat de veplaatsing van het ene uiteinde van de balk t.o.v. het andee uiteinde gelijk is aan nul, omdat de balk aan beide zijden is ingeklemd: u AB (.8) Deze vegelijking kan woden weegegeven in temen van de aangebachte belastingen doo een kacht-veplaatsing-elatie te gebuiken die afhankelijk is van het mateiaalgedag. Bepaling van de snedekachten leet dat in segment AC van de balk de inwendige kacht +F A heest, en in het segment CB de inwendige kacht F B. Als men lineai elastisch mateiaalgedag ondestelt, wodt vegelijking (.8) hescheven als: FA L A E AC FB L A E CB (.9) met A de oppevlakte van de dwasdoosnede van de staaf en E de elasticiteitsmodulus van de staaf. Combinatie van vegelijking (.7) en (.9) leidt tot de oplossing: F F A B L P L CB L P L AC (.) 67

77 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Voobeeld.6 Een betonnen kolom met een viekante dwasdoosnede van 5 cm bij 5 cm, is gewapend met vie stalen staven, elk met een diamete van,5 cm. De staven zijn ingebetonneed bij de vie hoeken van de kolom. Als de E-modulus van staal GPa bedaagt en deze van beton 4 GPa, beeken dan de dukspanningen in het staal en het beton als de totale dukkacht op de kolom MN bedaagt. 68

78 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.7. THERMISCHE SPANNINGEN.7.. Vegelijkingen Naast de spanningen die ontstaan t.g.v. mechanische belasting, bestaan e ook spanningen die ontstaan t.g.v. themische belasting. Deze laatste noemt men de themische spanningen. Wannee een homogeen en isotoop lichaam dat vij kan vevomen, een gelijkmatige tempeatuusveandeing ondegaat van C tot T C, dan is de themische uitzetting gelijkmatig: zz y z yz T T T (.) waabij [m/(mc)] de themische uitzettingscoëfficiënt van het mateiaal voostelt. Hiebij teedt e in het lichaam geen enkele spanning op! Aangezien de compatibiliteitsvoowaaden of aansluitingsvoowaaden (.74) moeten voldaan zijn voo elke vevomingstoestand, moeten deze ook gelden voo de themische uitzettingen (.). Uit deze voowaaden kan men de volgende bepeking afleiden voo het tempeatuuveld T(,y,z): (, y,z) a a a y a z (.) T 3 met a, a, a en a 3 constanten. Dit wil zeggen dat het tempeatuuveld een lineaie functie moet zijn van, y en z, opdat de themische ekken zouden voldoen aan de compatibiliteitsvoowaaden. Is dit niet het geval, dan zullen bijkomende ekken (én dus spanningen) ontstaan, zodat de totale ekken opnieuw voldoen aan de compatibiliteitsvoowaaden. De totale ekken zijn dan de som van de geïnduceede ekken en de themische ekken: zz y z yz G E E E y G z G yz zz zz zz T T T (.3) 69

79 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken De themische spanningen die op die manie geïnduceed woden, voldoen aan de volgende vegelijkingen: E ( ) ( )( ) zz E T E ( ) ( )( ) zz E T zz E ( ) ( )( ) zz E T (.4) y G y z G z yz G yz Themische spanningen kunnen aanzienlijke waaden beeiken en zelfs tot schade leiden. Zo kan een stuk glas, dat ongelijkmatig wodt opgewamd, gaan basten. In uimtetuigen teden themische spanningen op doo de ongelijkmatige zonnestaling op één kant van het tuig, en ook doo de wijving met de atmosfee, wannee het tuig teugkeet naa de aade. Ook als het tempeatuuveld T(,y,z) wel voldoet aan de voowaade (.), kunnen themische spanningen opteden als het lichaam niet vij kan vevomen. Dit kan men gemakkelijk inzien aan de hand van de vegelijkingen (.4). Als de vevoming totaal belemmed wodt (totale ekken = ), dan zijn de themische spanningen: E zz T (.5) Vaak woden ook spanningen geïnduceed doo het poductiepoces. Bij lassen bv. woden vaak hoge en ongelijkmatige tempeatuen beeikt. Tijdens de afkoeling zal het mateiaal van de las mee kimpen dan het mateiaal dat vede van de las vewijded ligt. Doo de ongelijkmatige en belemmede vevoming ontstaan bijkomende ekken en spanningen. Ook bij de uithading van dikwandige buizen zal het mateiaal aan de binnen- en buitenwand snelle afkoelen dan het mateiaal binnenin. Aldus ontstaat een ongelijkmatige vevoming en teden bijkomende spanningen op in het mateiaal, die ook na de uithading blijven bestaan. Deze esulteende spanningen en ekken kan men niet beschouwen als themische spanningen, omdat zij blijven bestaan in een homogeen mateiaal bij een homogene tempeatuu. Zij zijn echte wel vaak het gevolg van themische behandelingen. Degelijke spanningen, die bestaan zonde dat e enige uitwendige (mechanische of themische) belasting op het lichaam aangijpt, noemt men eigenspanningen (Eng: esidual stesses, initial stesses). 7

80 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.7.. Statisch onbepaalde poblemen Zoals bespoken in paagaaf.6.3, is een pobleem statisch onbepaald als de evenwichtsvegelijkingen niet volstaan om de eactiekachten te bepalen. Ook in geval van themische poblemen dient men vaak bijkomende compatibiliteitsvoowaaden te fomuleen voo statisch onbepaalde systemen. Figuu.53 toont dezelfde ingeklemde staaf als in Figuu.5, maa ditmaal belast met een tempeatuustijging T, i.p.v. een aiale kacht P. Ten gevolge van de tempeatuustijging wil de staaf uitzetten, maa deze uitzetting wodt belemmed doo de inklemming. Figuu.53 Voobeeld van een statisch onbepaald systeem met themische belasting []. De evenwichtsvoowaade levet dat de twee eactiekachten even goot zijn, en gelijk aan F. De bijkomende compatibiliteitsvoowaade is opnieuw dat de totale lengteveandeing moet nul zijn: u u u (.6) AB waabij u T de veplaatsing is t.g.v. de opgelegde tempeatuustijging en u F de veplaatsing t.g.v. de eactiekachten. Uitweking van de vegelijking levet dan: T F F L T L (.7) A E waabij [m/mc] de themische uitzettingscoëfficiënt is, E de elasticiteitsmodulus en A de oppevlakte van de dwasdoosnede van de staaf. Compatibiliteitsvoowaaden zijn ook vaak veeist bij de themische opwaming (of afkoeling) van heteogene lichamen. Figuu.54 toont het voobeeld van de gelijkmatige 7

81 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken opwaming van een stuk dat bestaat uit twee mateialen met veschillende themische uitzettingscoëfficiënt ( > ). Wannee de twee delen, los van elkaa, vij zouden kunnen uitzetten, dan zouden deze delen niet mee in elkaa passen. In de wekelijkheid blijft de samenhang van het geheel uiteaad behouden, hetgeen vegt dat de twee delen op elkaa kachten uitoefenen. Die kachten veoozaken een bijkomende vevoming zodat de som van de themische uitzetting en de bijkomende ek voldoet aan de compatibiliteitsvoowaaden. Figuu.54 Themische spanningen in heteogene lichamen [9]. Voobeeld.7 Een stae, onvevombae balk is bevestigd op de bovenzijde van die kolommen. De middelste kolom bestaat uit aluminium (E alu = 7 GPa, alu = 3-6 m/mc), de twee buitenste kolommen uit staal (E st = GPa, st = -6 m/mc). De kolommen hebben elk een onbelaste lengte van 5 mm en de tempeatuu is T = C. Bepaal de kacht in elke kolom als de balk wodt ondewopen aan een constant vedeelde belasting van 5 kn/m en de tempeatuu tot T = 8 C wodt vehoogd. 7

82 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE.8.. Abeid van een kacht Volgens de mechanica veicht een kacht abeid wannee deze kacht een veplaatsing d veoozaakt in dezelfde ichting als de kacht. De veichte abeid is een scalaie gootheid, gedefinieed als: du uitw F d [N m] (.8) Als de totale veplaatsing bedaagt, wodt de abeid: U F() d (.9) uitw Het is belangijk op te meken dat de kacht F niet constant is, maa afhangt van. Immes, als men de veplaatsing wil doen toenemen van nul naa, dan moet ook de kacht F toenemen. Als toepassingsvoobeeld wodt de abeid beekend, uitgeoefend doo een aiale tekkacht P op een stalen staaf, zoals afgebeeld in Figuu.55. Figuu.55 Aiale belasting van een stalen staaf []. De tekkacht F wodt daabij geleidelijk opgevoed van nul naa de eindwaade P. Bij deze eindwaade P wodt de uiteindelijke veplaatsing van het uiteinde van de staaf beeikt. Als het mateiaal zich lineai elastisch gedaagt, is de kacht evenedig met de velenging, zodat: F() M.b.v. vegelijking (.9) wodt de totale uitwendige abeid: P (.) 73

83 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken U uitw F() d P d P (.) Ondestel nu dat P al op de staaf was aangebacht en dat nu een andee, bijkomende kacht P wodt uitgeoefend. zodanig dat het uiteinde van de staaf ove een bijkomende afstand vede veplaatst wodt. Dit is afgebeeld in Figuu.56. Figuu.56 Aiale belasting van een stalen staaf met bijkomende kacht P []. De abeid, veicht doo de aiale kacht P (niet doo P ), is: U' uitw, P P ' (.) De kacht P blijft immes gewoon op de staaf aanwezig en is dus constant. De bijdage van P is dan: U ' uitw,p' P' ' (.3) De totale abeid van beide kachten P en P voo de totale velenging + is gafisch weegegeven in Figuu

84 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.57 Abeid veicht doo aiale belasting van een stalen staaf []. De kleine diehoek met hoekpunt in de oospong stelt de abeid P bij de eeste velenging van de staaf. De echthoek stelt de veichte abeid P bij de velenging en de kleine diehoek eboven de abeid P' ' velenging. voo van de kacht P P ' voo van van de kacht P bij de.8.. Abeid van een moment Volledig analoog met de abeid van een kacht, veicht een moment M abeid wannee het een hoekvedaaiing d veoozaakt langs zijn weklijn. De veichte abeid is dan: du uitw M d [N m] (.4) Als de totale hoekvedaaiing adialen bedaagt, wodt de abeid: U M( ) d (.5) uitw Als men opnieuw ondestelt dat het mateiaal zich lineai elastisch gedaagt, en dus de hoekvedaaiing evenedig toeneemt met het aangelegde moment, dan is de abeid: U uitw M (.6) 75

85 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Is het moment M echte al op het lichaam aangebacht en daait een bijkomend moment M het lichaam vede ove een hoek, dan is de abeid veicht doo M: U' uitw M ' (.7).8.3. Wet van behoud van mechanische enegie De abeid, veicht doo een aiale kacht P of een moment M, kan niet zomaa veloen gaan bij het aanbengen op de constuctie. Wegens de wet van behoud van mechanische enegie moet de enegie dus opgeslagen woden in de constuctie: U uitw U inw (.8) De uitwendige abeid, veicht doo de uitwendige belastingen op de constuctie, wodt dus in het lichaam omgezet naa een inwendige enegie U inw. Deze enegie noemt men de elastische enegie of vomveandeingsenegie. Wannee de belastingen woden weggenomen, hestelt de elastische enegie het lichaam in zijn oosponkelijke onvevomde toestand, aangenomen dat de elasticiteitsgens van het lichaam niet ovescheden wed. Aangezien deze elastische enegie in het lichaam wodt opgeslagen, moet het ook mogelijk zijn deze enegie uit te dukken in functie van de inwendige spanningen en ekken in het lichaam. Deze uitdukking wodt hiena afgeleid. Ondestel een infinitesimaal klein volume-element met zijden d, dy en dz, belast met een nomaalspanning zz, die wekt op de boven- en ondezijde van het volume-element, zoals afgebeeld in Figuu.58. Figuu.58 Volume-element belast met een nomaalspanning zz []. Als nu op dit volume-element de nomaalspanning zz wekt, dan is de totale kacht die op de boven- en ondezijde wodt uitgeoefend: df da d dy (.9) z zz zz 76

86 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Als deze kacht df z geleidelijk op het volume-element wodt aangebacht, net als de eede bespoken kacht P, neemt zijn gootte toe van nul tot df z. De bijhoende veplaatsing neemt dan toe van nul tot de eindwaade d z, die gelijk is aan: De doo df z veichte abeid du inw is dan: d dz (.3) z zz du inw dfz dz zz d dy zz dz zz zz dv (.3) Het is belangijk op te meken dat deze elastische enegie of vomveandeingsenegie du inw altijd positief is, want zz en zz hebben altijd hetzelfde teken. Ook wannee schuifspanningen weken, kan een vegelijkbae uitdukking voo de elastische enegie of vomveandeingsenegie woden opgesteld. Beschouw opnieuw het infinitesimaal volume-element dat is afgebeeld in Figuu.59. Figuu.59 Volume-element belast met een schuifspanning []. Ditmaal is het volume-element belast met een schuifspanning. De schuifkacht df is: df d dy (.3) Deze kacht veicht enkel abeid in een veplaatsing die dezelfde ichting heeft als de wekingslijn van de kacht. De veplaatsing van het bovenvlak t.o.v. het ondevlak is: De veichte abeid doo de schuifkacht wodt dan: du inw d dz (.33) df d d dy dz dv (.34) 77

87 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken De bovenstaande uiteenzetting kan makkelijk woden uitgebeid om de vomveandeingsenegie te bepalen in een lichaam wannee dit vekeet in een algemene spanningstoestand, zoals afgebeeld in Figuu.6. Figuu.6 Volume-element belast met een algemene spanningstoestand []. Omdat de elastische enegie een scalaie gootheid is, mogen de bijdagen van elke nomaalen schuifspanning woden opgeteld, zodat de totale elastische enegie voo het hele lichaam wodt: U inw zz zz y y z z yz yz dv (.35) V M.b.v. de wet van Hooke kan men de elastische enegie ook heschijven, enkel in functie van de spanningen: U inw zz y z yz zz dv (.36) V E E Of enkel in functie van de vevomingen: U E inw zz y z yz zz V dv ( ) (.37) 78

88 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN In alle voogaande paagafen wed de discussie bepekt tot homogene en isotope mateialen, met een elasticiteitsmodulus E, een glijdingsmodulus G en een Poisson-coëfficiënt. Deze mechanische eigenschappen (E, G, ) zijn dezelfde in elk punt van het mateiaal (homogeen) en zijn in elk punt dezelfde in alle ichtingen (isotoop). Staal wodt vaak gebuikt als het pototype van deze klasse van homogene en isotope mateialen, maa e zijn ook heel wat mateialen die niet homogeen en isotoop zijn en toch fequent gebuikt woden in de bouwkunde en wektuigkunde. Voo deze laatste mateialen kan men de vealgemeende wet van Hooke voo anisotope mateialen toepassen, op voowaade dat het niet-homogeen kaakte speelt op een voldoend kleine schaal. Daamee wodt bedoeld dat een voldoend goot volume van dit heteogeen mateiaal zich toch als een homogene massa moet gedagen. Men speekt dan van een gehomogeniseed mateiaal. Gewapend beton kan men niet catalogeen onde de gehomogeniseede mateialen, omdat het heteogeen kaakte (doo de vesteking met wapeningsstaal) zich manifesteet op een te gote schaal. De vealgemeende wet van Hooke is dan ook niet van toepassing. Vezelvestekte composieten (Eng: fibe-einfoced composites) zijn daaentegen wel een goed voobeeld van gehomogeniseede mateialen en woden in vele domeinen van de bouwkunde en wektuigkunde toegepast. Hiebij woden vestekingsvezels (van glas, koolstof, staal, aamide,...) ingebed in een ande mateiaal (veelal kunststoffen, maa ook metaal, keamiek, cement,...). Het mateiaal waain de vezels woden ingebed, noemt men de mati. Hoewel het in wezen ook heteogene mateialen zijn, speelt de heteogeniteit op miconiveau: de mati wodt vestekt met vezelbundels van tot m diamete. Voo mechanische toepassingen gedaagt het composietmateiaal zich dus voldoende homogeen. De bedoeling van deze kunstmatig vevaadigde composieten is veelal het bekomen van vebetede mechanische eigenschappen. In het bijzonde de zee hoge vehouding tussen stekte en stijfheid enezijds en sootelijk gewicht andezijds speelt in het voodeel van deze mateialen, zoals geïllusteed doo Figuu.6. Figuu.6 Chonologische voouitgang in de stekte/dichtheid vehouding van mateialen [5]. 79

89 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken Samenvattend kan men volgende indeling maken voo de toepassing van (i) de (klassieke) wet van Hooke voo homogene en isotope mateialen, en (ii) de vealgemeende wet van Hooke voo anisotope mateialen: wet van Hooke vealgemeende wet van Hooke homogene mateialen isotoop (bv. staal, aluminium,...) anisotoop (bv. gewalst staal,...) gehomogeniseede mateialen isotoop (bv. kunststoffen met andom vedeelde vekapte vezeltjes) anisotoop (bv. composieten) Figuu.6 Classificatie van homogene en gehomogeniseede mateialen. Voo een compleet anisotoop mateiaal, waabij de eigenschappen in alle ichtingen veschillend zijn, geldt de vealgemeende wet van Hooke: zz yz z y C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C zz yz z y (.38) De mati [C] wodt de stijfheidsmati genoemd, naa analogie met het eendimensionaal veband = E, waabij E de stijfheid van het mateiaal voostelt. De stijfheidsmati [C] telt onafhankelijke constanten, vemits de mati symmetisch is. In vele gevallen zijn e echte één of meedee symmetievlakken in de mateiaalstuctuu, zodat het aantal elastische constanten kan teuggebacht woden. De belangijkste gevallen zijn (i) othotope mateialen, en (ii) tansvesaal isotope mateialen. De bespeking wodt hie bepekt tot vezelvestekte kunststoffen, omdat deze technische composieten veuit de belangijkste klasse vomen binnen de anisotope mateialen in de ingenieusweeld..9.. Othotope mateialen Othotope mateialen zijn mateialen waa men die ondeling loodechte symmetievlakken kan vinden in de mateiaalstuctuu. Naagelang de stuctuu van de mati en de vezelvesteking kan men veschillende symmetievlakken in de stuctuu van het composietmateiaal ondescheiden, en wannee dus die othogonale symmetievlakken bestaan, noemt men het mateiaal othotoop. Een typisch voobeeld is getoond in Figuu.63. Dit weefsel wodt als vezelvesteking gebuikt in het composiet en telt die ondeling loodechte symmetievlakken. 8

90 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken Figuu.63 Eenheidscel van een weefsel als vezelvesteking [6]. De elastische eigenschappen zijn niet lange dezelfde in alle ichtingen, maa veschillen naagelang men bepoeft in de ichting van de langsvezels, de inslagvezels of in de dikteichting van de vezels. Om deze veschillende elastische eigenschappen te ondescheiden, heeft men een nieuw efeentie-assenstelsel ingevoed: de hoofdichtingen van othotopie. Dit is een echtshandig catesiaans assenstelsel ( e ichting van de langsvezel aanduidt, e, e, e 3 de ichting van de inslagvezel en e 3 ), waabij e de de dikteichting. Het is belangijk op te meken dat de hoofdichtingen van othotopie niet vewad mogen woden met de hoofdichtingen van de spanningstenso (het assenstelsel waain alle schuifspanningen nul zijn), noch met de hoofdichtingen van de vevomingstenso (het assenstelsel waain alle glijdingen nul zijn). De hoofdichtingen van othotopie zijn immes gebonden aan de geometische opbouw van het composietmateiaal, maa hebben niets te maken met de wekelijke spanningstoestand van het composiet die in elk belastingsgeval andes kan zijn. De hoofdichtingen van othotopie woden vaak aangeduid als ( e i.p.v. ( e, e y, e z ). Het assenstelsel ( e, y, z, e, e 3, e, e 3 ) ) noemt men het lokaal assenstelsel, tewijl de notatie ( e e e ) geldt voo het globaal of stuctueel assenstelsel. Als men het veband tussen spanning en ek uitdukt in dit lokaal assenstelsel, dan bekomt men: C C C3 C C C 3 C C C C 44 C 55 C (.39) 8

91 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken De coëfficiënten C ij woden gescheven in functie van de 9 onafhankelijke elastische constanten van het othotoop mateiaal: 6 stijfheden E, E, E 33, G, G 3 en G 3 en 3 Poisson-coëfficiënten, 3 en 3. De betekenis van de 6 veschillende stijfheden is weegegeven in Figuu.64. Figuu.64 Schematische voostelling van de stijfheidseigenschappen voo een othotoop mateiaal [6]. Men kan aantonen dat het veband tussen spanning en ek als volgt gescheven wodt: E E E met E E E E E E G 3 G 3 G (.4),, 3 Omdat het inves veband tussen ek en spanning in het lokaal assenstelsel ( e e e ) een veel eenvoudige gedaante aanneemt, zal men in de liteatuu de vealgemeende wet van Hooke voo othotope mateialen nagenoeg altijd teugvinden in deze vom: 8

92 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken E E E 33 3 E E E 33 3 E E E G 3 G 3 G (.4) Deze 66 mati noemt men de compliantiemati [S]..9.. Tansvesaal isotope mateialen Een bijzondee klasse van othotope mateialen zijn deze waabij in één symmetievlak de mateiaaleigenschappen dezelfde zijn in alle ichtingen. Een voobeeld is getoond in Figuu.65. Figuu.65 Tansvesale isotopie in een unidiectioneel vezelvestekt composiet [7]: (a) definitie van de assen e, e en e 3, (b) micogafische opname van de pakking van koolstofvezels in een koolstof/epoy composiet (vegoting 4 ). Dit composiet is vestekt met lange vezels die allemaal in dezelfde ichting liggen. De typische diamete van degelijke vestekingsvezels is 3 tot m, tewijl de laagdikte van een degelijk composiet vaieet van. mm tot.3 mm. Het aantal vezels binnen zo n laag is dus heel goot en de eigenschappen in een vlak loodecht op de vezels, kunnen dan ook dezelfde veondesteld woden in alle ichtingen. 83

93 Hoofdstuk : Kachten, momenten, spanningen en ekken E blijven slechts vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten ove: E, E,, 3 en G, want voo tansvesaal isotope mateialen zijn de subscipts en 3 (coespondeend met de ichtingen e en e 3 ) ondeling vewisselbaa, en dus: E G G 3 3 E G E ( 3 ) (.4) 84

94 Hoofdstuk : Kachten, spanningen en ekken.. REFERENTIES [] Hibbele, R.C. (997). Mechanics of mateials. New Jesey, Pentice Hall Intenational, Inc., 855 pp. [] Megson, T.H.G. (996). Stuctual and stess analysis. London, Anold Publishes, 64 pp. [3] Sieakowski, R.L. and Chatuvedi,S.K. (997). Dynamic loading and chaacteization of fibe-einfoced composites. New Yok, John Wiley & Sons, 5 pp. [4] Veheest, F. (993). Theoetische mechanica. Gent, Univesiteit Gent, Vakgoep wiskundige natuukunde en steenkunde, 95 pp. [5] Ohing, M. (995). Engineeing mateials science. San Diego, Academic Pess, 87 pp. [6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (999). Engineeing solid mechanics. Fundamentals and applications. Boca Raton, CRC Pess, 9 pp. [7] Bate Bown, J. McD. (973). Intoductoy solid mechanics. London, John Wiley & Sons Ltd, 434 pp. [8] Kaasudhi, P. (99). Foundations of solid mechanics. Dodecht, Kluwe Academic Publishes, 493 pp. [9] Vehegghe, B. (). Elasticiteit en Stektelee. Cusus academiejaa -. Gent, Univesiteit Gent. [] Fod, H. (963). Advanced mechanics of mateials. London, Longman Goup Ltd., 67 pp. [] Zaat, J.H. (974). Technische metaalkunde. Deel : Algemene metaalkunde. Amstedam, Elsevie, 7 pp. [] Zaat, J.H. (975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijze. Amstedam, Elsevie, 6 pp. [3] Case, J., Chilve, L. and Ross, C.T.F. (999). Stength of mateials and stuctues. London, Anold Publishes, 76 pp. [4] Filonenko-Boodich, M. (963). Theoy of elasticity. Moscow, Peace Publishes, 394 pp. [5] Boesi, A.P. and Sidebottom, O.M. (985). Advanced mechanics of mateials. Fouth edition. New Yok, John Wiley & Sons, 763 pp. [6] Mallick, P.K. (997). Composites Engineeing Handbook. New Yok, Macel Dekke Inc. [7] Degieck, J. (997). Mechanica van met vezels vestekte mateialen. Cusus, Gent, Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 57 p. 85

95 Hoofdstuk Stuctueel gedag.. INLEIDING In het voige hoofdstuk wed het mateiaalgedag bestudeed als een afzondelijk gegeven. De elatie tussen spanning en ek in één enkel punt van het mateiaal wed opgesteld voo het lineai elastisch gedag van een mateiaal. Wannee men datzelfde mateiaal gebuikt voo het ontwep van een constuctie, blijft het natuulijk zee belangijk om te begijpen hoe het mateiaal zich gedaagt. Toch zijn bijkomende analysemethodes nodig om het gedag van de volledige constuctie te beekenen. Deze analysemethodes zijn het voowep van dit hoofdstuk. In dit hoofdstuk wodt de stuctuele analyse van mateialen vooal bepekt tot de balkentheoie. Dit is in feite een heel veeenvoudigde eendimensionale theoie die toepasbaa is in het gebied van lineai elastisch mateiaalgedag met kleine vevomingen. Bij de studie van de balkentheoie gebuikt men, in oveeenstemming met de intenationale conventie, het echtshandig assenstelsel in Figuu.: F > z M > z z M y > O M z > M > y F > y M > y F > M > Figuu. Rechtshandig assenstelsel met positieve kachten en momenten. De z-as duidt de veticale ichting aan en ligt volgens de hoogte van de balk. Vede wodt aangenomen dat de lengte-as van de bestudeede balk volgens de -as ligt. Meestal kiest men 86

96 Hoofdstuk : Stuctueel gedag de oospong van de -as aan het linkeuiteinde van de balk. Het stuctueel assenstelsel voo de balkentheoie ziet e dan uit als in Figuu.. z z O y Figuu. Stuctueel assenstelsel voo balkentheoie. Omdat heel wat fomules in de balkentheoie gebuik maken van de geometische eigenschappen van de dwasdoosnede van de balk, zullen deze eigenschappen eest bespoken woden. 87

97 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE... Opstellen vegelijkingen Beschouwt men een vlakke dwasdoosnede, geefeeed t.o.v. het willekeuig gelegen assenstelsel (y,z ). Het is nu de bedoeling op zoek te gaan naa de ligging van het zwaatepunt en het daabijhoende assenstelsel (y,z), zoals aangegeven in Figuu.3. Figuu.3 Ligging van het zwaatepunt van een vlakke doosnede []. De oppevlakte A van de dwasdoosnede wodt gegeven doo: Het statisch moment S y om de y -as [mete 3 ] definieet men als: S y' A dy'dz' (.) z'dy'dz' (.) Het statisch moment om de y -as omvat dus voo elk infinitesimaal oppevlak dy dz het poduct van het oppevlak dy dz met zijn loodechte afstand tot de y -as. Analoog definieet men het statisch moment S z om de z -as als: S ' z y'dy'dz' (.3) Het statisch moment om de z -as [mete 3 ] omvat dus voo elk infinitesimaal oppevlak dy dz het poduct van het oppevlak dy dz met zijn loodechte afstand tot de z -as. De ligging van het zwaatepunt met coödinaten (y, z ) wodt beekend als volgt: y' z' Sz' A S y' A (.4) Eens de ligging van het zwaatepunt en dus van het assenstelsel (y,z) gekend, beekent men alle geometische gootheden in dat assenstelsel. Bemek dat de statische momenten S y en S z nul zijn, als de assen y en z doo het zwaatepunt gaan. 88

98 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Voo een goot aantal dwasdoosneden die in de ingenieuspaktijk woden gebuikt, kan men de ligging van het zwaatepunt vaak onmiddellijk bepalen. Wannee de dwasdoosnede een symmetie-as heeft, ligt het zwaatepunt immes zeke op die symmetie-as, omdat het statisch moment van de dwasdoosnede om haa symmetie-as altijd nul is. In gevallen waain een oppevlak twee symmetie-assen heeft, volgt daauit dat het zwaatepunt op het snijpunt van deze assen ligt. De taagheidsmomenten I, I zz en I yz van de doosnede t.o.v. het assenstelsel (y,z) doo het zwaatepunt woden als volgt gedefinieed: I I I zz yz z y dydz dydz yzdydz (.5) Het taagheidsmoment I [mete 4 ] is het taagheidsmoment om de y-as, het taagheidsmoment I zz [mete 4 ] is het taagheidsmoment om de z-as en I yz [mete 4 ] noemt men het taagheidspoduct. Deze taagheidsmomenten van een doosnede mag men niet vewaen met de taagheidsmomenten van een sta lichaam. Als men het taagheidsmoment wil beekenen om een evenwijdige as die niet doo het zwaatepunt gaat, dan gebuikt men de stelling van Steine: I I I y'y' z'z' y'z' I I I zz yz A A z y A y z (.6) Als geen van beide assenstelsels (y,z ) en (y,z) doo het zwaatepunt gaat, mag men de stelling van Steine niet echtsteeks toepassen. Men moet dan de stelling twee maal toepassen, met een tussenstap via een evenwijdig assenstelsel doo het zwaatepunt. Beschouwt men nu het geval waabij een assenstelsel (y,z ) ove een hoek is vedaaid t.o.v. het assenstelsel (y,z) doo het zwaatepunt O, zoals weegegeven in Figuu.4. Oveeenkomstig de echtehandegel om de -as, is de hoek van (y,z) naa (y,z ) positief in tegenuuwijzezin. Figuu.4 Rotatie van het assenstelsel van een vlakke doosnede []. 89

99 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Dan tansfomeen de taagheidsmomenten zoals de componenten van een symmetische tenso van tweede ode: I I I y'y' z'z' y'z' cos sin I I sin cos sincos I I I zz zz sin cos I sincos I sincos I zz yz yz cos sin I yz (.7) Volledig analoog met de bepaling van de hoofdichtingen voo spanningen en ekken bij vlakspanning en vlakvevoming, kan men de hoek zoeken waavoo I y z = : I yz tan (.8) I I zz Als men de waade van de hoek invult in de twee eeste vegelijkingen van (.7), dan bekomt men de bijhoende taagheidsmomenten I YY en I ZZ. Deze noemt men de hoofdtaagheidsmomenten. De bijhoende ichtingen van de Y- en Z-as noemt men de hoofdtaagheidsassen van de dwasdoosnede. De balkentheoie wodt opgesteld in de veondestelling dat de dwasdoosnede geefeeed wodt aan haa hoofdtaagheidsassenstelsel doo het zwaatepunt. Het is dus zee belangijk voo elk type dwasdoosnede de ligging van het zwaatepunt en van de hoofdtaagheidsassen te kennen. Net zoals voo de ligging van het zwaatepunt, kan men voo de ligging van de hoofdtaagheidsassen gebuik maken van de eventuele symmetie in de dwasdoosnede. Het taagheidspoduct I yz is immes altijd nul als óf de y-as óf de z-as een symmetie-as is voo het oppevlak.... Paktische beekening Voo de paktische beekening van oppevlakte, statisch moment en taagheidsmoment kan men op een van de volgende manieen te wek gaan: voo een aantal eenvoudige figuen zijn e kant-en-klae fomules om A, S i en I ij te beekenen. Enkele van deze fomules vindt men in ondestaande Tabel.. Tabel. Geometische kenmeken van eenvoudige doosneden []. 9

100 Hoofdstuk : Stuctueel gedag 9

101 Hoofdstuk : Stuctueel gedag voo een aantal poducten, waavan de afmetingen genomaliseed zijn, zijn e tabellen gepubliceed. Dit is het geval voo I-pofielen, hoekpofielen, T-pofielen, kanaalpofielen, echthoekige kokes,... Tabel. is een voobeeld hievan. De weestandsmomenten W y en W z in deze tabel zijn gedefinieed als: W W y z I h I b zz (.9) Tabel. Kenmeken van wamgewalste IPE-pofielen (Euonom 9-57) []. veel andee pofielen kunnen beekend woden doo de doosnede op te delen in eenvoudige figuen waavan de gootheden bekend zijn, en gebuik te maken van de stelling van Steine, voo dunwandige pofielen kan men de massa geconcenteed denken op de hatlijn van de doosnede. De oppevlakte-integalen heleiden zich dan tot lijnintegalen langs de hatlijn. Men noemt dit vaak het daadmodel. Wannee de lengte/dikte-vehoudingen van de ondedelen van de doosnede zowat (of mee) bedagen, is het veschil met de juiste oplossing onbelangijk klein, voo de echt moeilijke gevallen kan men een benadeing beekenen met numeieke integatie. 9

102 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Stappenplan voo de bepaling van de geometische kenmeken van de dwasdoosnede: 93

103 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Voobeeld. Bepaal de hoofdtaagheidsassen voo het volgend pofiel: Beeken de taagheidsmomenten opnieuw m.b.v. het daadmodel: 94

104 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT In paagaaf..3 weden de vegelijkingen van het evenwicht opgesteld voo een willekeuig lichaam. Het evenwicht van het lichaam is voldaan als zowel het kachtenevenwicht als het momentenevenwicht voldaan zijn: F M O (.) De -as is gelegen volgens de lengteichting van de balk en gaat doo het zwaatepunt van elke dwasdoosnede. Het assenstelsel (,y,z) vomt een echtshandig assenstelsel. In de balkentheoie wodt vaak ondesteld dat alle belastingen weken in één vlak (ondestel het -z vlak, zie Figuu.). Zoals eeds aangetoond in paagaaf..3, kunnen de evenwichtsvegelijkingen dan geeduceed woden tot: F M y F z (.) Deze evenwichtsvegelijkingen blijven dus onveminded geldig in de balkentheoie. Daabij maakt men wel het ondescheid tussen (i) het globaal evenwicht van de balk, en (ii) het evenwicht van een deel van de balk. Deze evenwichten woden in de volgende paagafen bespoken..3.. Globaal evenwicht Uit het globaal evenwicht van de balk in zijn geheel beekent men de eacties. Aangezien e in het -z vlak slechts die onafhankelijke evenwichtsvegelijkingen kunnen gescheven woden (zie vgl. (.)), kan men ook maa die onafhankelijke eactiecomponenten bepalen. De eactiekachten en momenten woden in de balkentheoie als volgt benoemd: de (hoizontale) eactiecomponent volgens de -as duidt men aan met RH of RX. De (veticale) eactiecomponent volgens de z-as noteet men als R. Het eactiemoment tenslotte wodt genoteed als RM. Vaak voegt men een subscipt toe die vewijst naa het punt waa men de eacties beschouwt (bv. R A, R B, RM C ). Reacties moet men beschouwen als uitwendige kachtswekingen op de balk. Ze zijn dan ook steeds positief te ekenen in oveeenstemming met het gekozen assenstelsel (,y,z). Figuu.5 toont de positieve ichting en zin van de veticale eactie R, de hoizontale eactie RH en het eactiemoment RM voo een ingeklemde balk, belast met de uitwendige kachten q z (), Q z en Q. z q() z Q z RM R RH y Q Figuu.5 Positieve eactiecomponenten R, RH en RM. 95

105 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.3.. Evenwicht van een deel van de balk Snedekachten Uit het evenwicht van een moot van de balk kan men de spanningsesultanten of snedekachten in die doosnede bepalen. Volgens de evenwichtsvegelijkingen (.) zijn e opnieuw die onafhankelijke snedekachten F, F z en M y. In de balkentheoie kijgen deze snedekachten echte ook een andee notatie. De kacht F, wekend in de langsichting van de balk, noemt men de nomaalkacht N. De kacht F z, wekend in de dwasdoosnede van de balk, noemt men de dwaskacht V. Het moment M y tenslotte duidt men aan als het buigend moment M. Figuu.6 toont de positieve ichting en zin van de snedekachten voo een positieve dwasdoosnede (buitennomale volgens de positieve -as) en een negatieve dwasdoosnede (buitennomale volgens de negatieve -as), alsook de positieve ichting en zin van de vedeelde belasting q z () en de puntkacht Q z. q() z z Q z N M V y V (=F ) z M (=M ) y N (=F ) Figuu.6 Positieve snedekachten N, M en V. Als men nu een moot van de balk beschouwt, begepen tussen één van beide uiteinden van de balk en de dwasdoosnede met abscis, dan kan men de waade van de nomaalkacht N(), de dwaskacht V() en het buigend moment M() bepalen aan de hand van de vegelijkingen voo het hoizontaal evenwicht, het veticaal evenwicht en het momentenevenwicht. Hiena woden een aantal eenvoudige gevallen behandeld, die niettemin zee vaak vookomen in de paktijk Veband tussen q, V en M Tussen de vedeelde belasting q(), de dwaskacht V en het buigend moment M bestaat e bovendien een eenvoudig veband. Om dit veband af te leiden, beschouwt men het evenwicht van een heel klein mootje van de balk, begepen tussen de dwasdoosneden met abscis en abscis + d, zoals aangeduid in Figuu.7. 96

106 Hoofdstuk : Stuctueel gedag q() M z V + dv M + dm V y d Figuu.7 Evenwichtsvegelijkingen voo een balkmootje begepen tussen en + d. De vegelijkingen voo het veticaal evenwicht en momentenevenwicht leiden espectievelijk tot: V dv V q() d M dm M V d (.) waauit volgt: q V q dv d dm d d M d (.3).3.4. Enkele efeentiegevallen.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast Het eeste geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een puntlast. Zoals weegegeven in Figuu.8(a), bevindt de oospong van het assenstelsel zich aan de ingeklemde zijde, tewijl aan het vije uiteinde een puntlast F aangijpt. De totale lengte van de balk is L. 97

107 Hoofdstuk : Stuctueel gedag z F RM A R A (a) y A B C L (b) R A V M RM A A B F (c) M V B C Figuu.8 Ingeklemde balk met puntlast. De tot nog toe onbekende eactiekacht R A en het eactiemoment RM A zijn in Figuu.8(a) aangegeven met hun positieve ichting en zin. Doo het uitschijven van het globaal kachtenen momentenevenwicht voo de volledige balk, kan men nu eest de onbekende eactiekacht R A en het onbekende eactiemoment RM A beekenen: R A F RM F L A R A RM A F F L (.4) Om de dwaskacht V en het moment M in elke doosnede met abscis te bepalen, kan men het evenwicht uitdukken van het linkedeel AB van de balk (Figuu.8(b)) of van het echtedeel BC van de balk (Figuu.8(c)). Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te dukken van het echtedeel BC van de balk (Figuu.8(c)), zodat volgende vegelijkingen gelden: 98

108 Hoofdstuk : Stuctueel gedag V F M F L M F L V F (.5) Op die manie kan men het evenwicht uitdukken voo elke dwasdoosnede en zo de dwaskacht V() en het buigend moment M() bepalen voo elke waade van de abscis. Men kan dan de dwaskachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis, zoals afgebeeld in espectievelijk Figuu.9(b) en Figuu.9(c). z F RM A R A (a) y A B C L (b) V V = F L (c) M M = -F (L-) L Figuu.9 Dwaskacht- en momentenlijn voo een ingeklemde balk met puntlast. Uit Figuu.9(b) blijkt dat V(=) = -R A en uit Figuu.9(c) dat M(=) = -RM A. Dit is geen toeval, maa een belangijke contole op de beekeningen. Indedaad, beschouwt men het evenwicht van een infinitesimaal klein deeltje van de balk aan het linkeuiteinde, zoals aangegeven in Figuu.. 99

109 Hoofdstuk : Stuctueel gedag V(=) RM A R A M(=) Figuu. Veband tussen uitwendige eacties en snedekachten. A Daauit volgt onmiddellijk dat: V( ) M( ) R A RM A (.6).3.4.b. Ingeklemde balk met vedeelde belasting Het tweede geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een vedeelde belasting q(). Hoewel de vedeelde belasting q() best een functie kan zijn van, heeft ze in dit geval een constante waade: q() = q. Zoals weegegeven in Figuu.(a), bevindt de oospong van het assenstelsel zich opnieuw aan de ingeklemde zijde, tewijl de balk ove zijn volledige lengte belast is met een gelijkmatig vedeelde belasting q(). De totale lengte van de balk is L. z q() RM A R A (a) y A B C L q() (b) RM A R A V M A B q() (c) M V B C Figuu. Ingeklemde balk met vedeelde belasting.

110 Hoofdstuk : Stuctueel gedag De tot nog toe onbekende eactiekacht R A en het eactiemoment RM A zijn in Figuu.(a) aangegeven met hun positieve ichting en zin. Doo het uitschijven van het globaal kachtenen momentenevenwicht voo de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende eactiekacht R A en het onbekende eactiemoment RM A beekenen: R A RM A L q()d L q() d R A RM A q L q L (.7) Om de dwaskacht V en het moment M in elke doosnede met abscis te bepalen, kan men het evenwicht uitdukken van het linkedeel AB van de balk (Figuu.(b)) of van het echtedeel BC van de balk (Figuu.(c)). Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te dukken van het echtedeel BC van de balk (Figuu.(c)), zodat volgende vegelijkingen gelden: V M L L q(' )d' q(' ) ' d' V M q L q L (.8) Op die manie kan men het evenwicht uitdukken voo elke dwasdoosnede en zo de dwaskacht V() en het buigend moment M() bepalen voo elke waade van de abscis. Men kan dan de dwaskachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis, zoals afgebeeld in espectievelijk Figuu.(b) en Figuu.(c).

111 Hoofdstuk : Stuctueel gedag z q() RM A R A (a) y A B C L (b) V V = q (L-) L (c) M -q (L-) M = L Figuu. Dwaskacht- en momentenlijn voo een ingeklemde balk met vedeelde belasting q()..3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast Het dede geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een puntlast F. Zoals weegegeven in Figuu.3(a), bevindt de oospong van het assenstelsel zich opnieuw aan het linkeuiteinde van de balk. De puntlast F bevindt zich op een afstand a van het linkeuiteinde van de balk. Het linkeuiteinde van de balk is opgelegd op een vast steunpunt, tewijl het echteuiteinde van de balk is opgelegd op een oloplegging. Beide opleggingen nemen enkel een veticale eactie op.

112 Hoofdstuk : Stuctueel gedag 3 y z F R A A B C F V M B A C B M V L (a) (b) (c) a D R D R A D R D Figuu.3 Balk op twee steunpunten met puntlast. Voo de beekening van de onbekende veticale eacties R A en R D dukt men het veticaal evenwicht en het momentenevenwicht uit van de volledige balk: L a F R L a L F R a F L R F R R D A D D A (.9)

113 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Om de dwaskacht V en het moment M in elke doosnede met abscis te bepalen, kan men het evenwicht uitdukken van het linkedeel van de balk (Figuu.3b) of van het echtedeel van de balk (Figuu.3c). Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te dukken van het linkedeel AB van de balk (Figuu.3b), zodat volgende vegelijkingen gelden: F L a V L F L a M L V M F L a L F L a L (.) Het is belangijk op te meken dat de evenwichtsvegelijkingen (.) voo de moot AB enkel gelden voo < a. Voo > a moet ook de puntlast F in ekening woden gebacht, zoals aangeduid in Figuu.4(b). z a L F (a) y A C B D R A R D z F V (b) y M A C B R A Figuu.4 Evenwicht van moot AB voo > a voo een balk op twee steunpunten met puntlast. De evenwichtsvegelijkingen voo het linkedeel AB van de balk woden dan voo > a: 4

114 Hoofdstuk : Stuctueel gedag F V F M L a L F a V L L a F a L L F F ( a) M L (.) Op die manie kan men het evenwicht uitdukken voo elke dwasdoosnede en zo de dwaskacht V() en het buigend moment M() bepalen voo elke waade van de abscis. Uiteaad was het in dit geval ook mogelijk (en eenvoudige) voo > a het evenwicht uit te dukken van het echtedeel van de balk. Men kan dan de dwaskachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis, zoals afgebeeld in espectievelijk Figuu.5(b) en Figuu.5(c). z a L F (a) y A B C D R A R D (b) V V = F L-a L L V = -F a L (c) M M = F (L-a) L M = F a (L-) L L Figuu.5 Dwaskacht- en momentenlijn voo een balk op twee steunpunten met puntlast. 5

115 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.3.4.d. Balk op twee steunpunten met vedeelde belasting Het viede geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een vedeelde belasting q(). Zoals weegegeven in Figuu.6(a), bevindt de oospong van het assenstelsel zich opnieuw aan het linkeuiteinde van de balk. Het linkeuiteinde van de balk is opgelegd op een vast steunpunt, tewijl het echteuiteinde van de balk is opgelegd op een oloplegging. Beide opleggingen nemen enkel een veticale eactie op. z L q() (a) y A B C R A R C q() (b) V M A B R A q() (c) M V B C R C Figuu.6 Balk op twee steunpunten met vedeelde belasting. De tot nog toe onbekende eactiekachten R A en R C zijn in Figuu.6(a) aangegeven met hun positieve ichting en zin. Doo het uitschijven van het globaal kachten- en 6

116 Hoofdstuk : Stuctueel gedag momentenevenwicht voo de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende eactiekachten beekenen: R R A C R C L L L q()d q() d R R A C q L q L (.) Dit esultaat kan men ook gemakkelijk inzien zonde beekeningen. De esultante van de vedeelde belasting q() bedaagt ql en gijpt aan in het midden van de balk. Omwille van symmetie moeten beide steunpunten elk de helft van deze esultante opnemen, zodat de waade van elke eactie gelijk is aan (-ql)/. Om de dwaskacht V en het moment M in elke doosnede met abscis te bepalen, kan men het evenwicht uitdukken van het linkedeel AB van de balk (Figuu.6(b)) of van het echtedeel BC van de balk (Figuu.6(c)). In dit geval maakt het niet uit of men het linke- of echtedeel van de balk bekijkt. Beschouwt men bijvoobeeld het evenwicht van het linkedeel AB van de balk (Figuu.6(b)), dan gelden volgende vegelijkingen: q L V M q(' ) q(' )d' q L ' d' V M L q q L (.3) Op die manie kan men het evenwicht uitdukken voo elke dwasdoosnede en zo de dwaskacht V() en het buigend moment M() bepalen voo elke waade van de abscis. Men kan dan de dwaskachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis, zoals afgebeeld in espectievelijk Figuu.7(b) en Figuu.7(c). 7

117 Hoofdstuk : Stuctueel gedag z L q() (a) y AR A B C R C (b) V L V q L (c) M M = q (L-) L Figuu.7 Dwaskacht- en momentenlijn voo een balk op twee steunpunten met vedeelde belasting q(). Voobeeld. Gegeven is de volgende balk: z kn 5 kn/m y A B m m m m m 8

118 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Op = m bevindt zich een neewaaste puntlast van kn, en tussen = 4 m en = 5 m bevindt zich een gelijkmatig vedeelde belasting van 5 kn/mete. Teken de dwaskacht- en momentenlijn. (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 35 minuten) 9

119 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN Met de kennis van de voogaande paagaaf kan men in elke doosnede van de balk de nomaalkacht N, het buigend moment M en de dwaskacht V bepalen. Deze snedekachten zijn elk de esultante van een bepaalde spanningsvedeling in de dwasdoosnede. In deze paagaaf wodt nagegaan welke spanningen en welke spanningsvedeling oveeenkomen met elk van deze snedekachten N, M en V..4.. Spanningen t.g.v. nomaalkacht N De nomaalkacht N, die aangijpt op een dwasdoosnede van de balk, wodt doo deze dwasdoosnede opgenomen in de vom van een nomaalspanning, waabij: N (.4) A N is de nomaalkacht, A is de oppevlakte van de dwasdoosnede en is de nomaalspanning. Oveeenkomstig de definities van hoofdstuk, is een spanning die wekt in de -ichting op een oppevlak met buitennomale + e. Deze nomaalspanning is constant ove de volledige dwasdoosnede. De nomaalkacht N is dan de esultante van deze nomaalspanningen: De bijhoende ek van de dwasdoosnede is dan: N da A (.5) N (.6) E E A.4.. Spanningen t.g.v. buigend moment M Om de spanningen in een balk, belast met een buigend moment M, te beekenen, woden eest een aantal aannames gedaan i.v.m. de vevoming van de balk. Figuu.8 toont een balk voo en na vevoming t.g.v. een buigend moment M.

120 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Figuu.8 Balk belast met buigend moment M []. Op de balk met viekante dwasdoosnede zijn astelijnen aangebacht in de lengte- en dwasichting. Wannee een buigend moment M wodt aangebacht, vevomen deze lijnen tot het patoon dat in Figuu.8(b) is afgebeeld. Daa is te zien dat de langslijnen gebogen woden en de veticale lijnen echt blijven, maa wel een otatie ondegaan. Ten gevolge van het buigend moment wodt het mateiaal in het ondeste deel van de balk dus getokken, tewijl het mateiaal in het bovenste gedeelte van de balk wodt gedukt. Natuulijk moet e tussen deze twee gebieden een vlak zijn, het neutale vlak genoemd, waain het mateiaal geen lengteveandeing ondegaat. Op basis van deze waanemingen woden die veondestellingen gemaakt: de -as ligt in het neutale vlak van de balk en ondevindt geen lengte-veandeing. Ten gevolge van het buigend moment M neemt de -as de vom aan van een cikelboog met constante komtestaal R, alle dwasdoosneden van de balk blijven tijdens de vevoming (i) vlak, en (ii) loodecht op de -as. Deze hypothese noemt men de hypothese van Benoulli, elke vevoming van de dwasdoosnede in haa eigen vlak wodt vewaaloosd. Om nu de vevoming van de balk te beekenen, wodt een segment d van de balk geïsoleed, zoals aangeduid in Figuu.9.

121 Hoofdstuk : Stuctueel gedag R d A B M (< ) z z y A B z h h d Figuu.9 Vevoming van een balk onde invloed van een buigend moment M []. Beschouwt men nu de vezel AB van de onvevomde balk, paallel met de onvevomde -as en op een hoogte z t.o.v. deze -as. In onvevomde toestand heeft de vezel een lengte d. Onde invloed van het buigend moment vekot de vezel AB tot de vezel A B, waabij de nieuwe lengte is: A' B' d R zd R z R (.7) De ek van deze vezel is niets andes dan zijn elatieve lengteveandeing, dus de uitdukking voo wodt: d R z d A' B' AB R z (.8) AB d R Volgens de wet van Hooke volgt daa onmiddellijk uit: E z E (.9) R Vemits de elasticiteitsmodulus E en de komtestaal R constant zijn, vetonen de nomaalspanningen een lineai veloop ove de hoogte, echt evenedig met de z- coödinaat.

122 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Andezijds moet het buigend moment M pecies de esultante zijn van de spanningsvedeling ove de dwasdoosnede: M E z R E R E R z da z da z da I (.3) Voo de laatste ovegang in vegelijking (.3) wed gebuik gemaakt van de definitie van het taagheidsmoment, zoals gedefinieed in paagaaf... Vegelijking (.3) wodt vaak hescheven in volgende vom: R M (.3) E I Deze vegelijking geeft het veband wee tussen komming en buigend moment. Het poduct van de elasticiteitsmodulus E en het taagheidsmoment I noemt men de buigstijfheid EI. Doo eliminatie van de komtestaal R uit de vegelijkingen (.9) en (.3) bekomt men een echtsteeks veband tussen het buigend moment M en de nomaalspanning : M z (.3) I Het spanningsveloop is schematisch voogesteld in Figuu.. z y z M h + I M h + I h M M -b b y - M h I - M h I d -h (a) (b) Figuu. Vedeling van de spanningen ove de hoogte van de dwasdoosnede [3]. 3

123 Hoofdstuk : Stuctueel gedag In het geval dat e enkel een buigend moment M aangijpt, hebben de nomaalspanningen geen esulteende nomaalkacht N, dus: E z N da da z da Sy (.33) R Uit de noodzakelijke voowaade dat de esulteende nomaalkacht N moet nul zijn, volgt dat het statisch moment S y (zoals gedefinieed in paagaaf..) moet nul zijn. Dit is enkel het geval als de oospong van het assenstelsel doo het zwaatepunt van de doosnede gaat. Vandaa dat de betekking (.3) enkel geldig is als de oospong van het assenstelsel (,y,z) samenvalt met het zwaatepunt van de dwasdoosnede van de balk. Voobeeld.3 Een balk heeft het volgende tapeziumvomig pofiel in het y-z vlak: 8 mm z mm y 3 mm Als deze doosnede belast wodt met een moment M =,5 knm, beeken dan de plaats en de waade van de maimale nomaalspanning. (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 5 minuten).4.3. Spanningen t.g.v. dwaskacht V De dwaskacht wekt evenwijdig met de dwasdoosnede en zal dan ook doo de dwasdoosnede woden opgenomen in de vom van schuifspanningen. Deze schuifspanningen noteet men als z, omdat zij weken in de z-ichting op een vlak met buitennomale e. Wegens de wedekeigheid de schuifspanningen wekt op een hoizontale doosnede van de balk dan de schuifspanning z, in de -ichting op een vlak met buitennomale e z. Dat deze schuifspanningen indedaad aanwezig zijn in de balk, kan men ook eenvoudig als volgt inzien. Beschouwt men een balk die opgelegd is op twee steunpunten en in het midden belast is met een puntlast P, zoals weegegeven in Figuu.. 4

124 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Figuu. Aantonen van het bestaan van schuifspanningen []. Ondestelt men nu dat de balk zou opgebouwd zijn uit die planken. Als het boven- en ondevlak van elk van de planken glad is en de planken niet velijmd zijn, zal de puntlast P de planken ten opzichte van elkaa doen veschuiven, zoals afgebeeld in Figuu.(a). Zijn de planken daaentegen wel velijmd (Figuu.(b)), dan teden schuifspanningen z op die vookomen dat de planken ondeling veschuiven en evoo zogen dat de balk zich als één geheel gedaagt. Wegens de wedekeigheid van schuifspanningen bestaan e dan ook schuifspanningen z in elke veticale dwasdoosnede. Om de vedeling van deze schuifspanningen te beekenen, wodt het hoizontaal evenwicht van een deel van de balk uitgedukt. Beschouwt men een balk met echthoekige doosnede, belast met een aantal kachten q() en F, zoals afgebeeld in Figuu.. 5

125 Hoofdstuk : Stuctueel gedag z q() F y z z z M +d M+dM y(z) A y(z) y z z = z d (a) (b) Figuu. Bepaling van de schuifspanningen in een balk. Uit deze balk wodt een infinitesimaal klein mootje geïsoleed met beedte d (zie Figuu.(a)). Het vehaal indachtig van de balk met losse en velijmde planken, weken e dus op elk hoizontaal vlak van dit mootje schuifspanningen z, en t.g.v. de wedekeigheid van de schuifspanningen, ook schuifspanningen z op beide veticale eindvlakken van het mootje. Vede weet men volgende zaken: aangezien ondesteld wed dat e schuifspanningen z en z bestaan, en dus ook een esulteende dwaskacht V, kan het buigend moment M niet constant zijn. Immes, uit vegelijking (.3) is gebleken dat V = dm/d, zodat dm/d veschillend van nul is. Ondestel daaom op het linke-eindvlak van het mootje een buigend moment M en op het echte-eindvlak van het mootje een buigend moment M + dm. Wannee de momenten M en M + dm positief woden getekend, is ook de nomaalspanningsvedeling ove de hoogte gekend, op het bovenvlak van het mootje is de schuifspanning z nul, vemits e geen uitwendige schuifspanning wekt op de balk. Wegens de wedekeigheid de schuifspanningen moet z dus op beide veticale eindvlakken van de moot nul woden aan de bovenzijde. Op de hoizontale doosnijding ondeaan wekt de schuifspanning z positief naa links, omdat de buitennomale van de hoizontale doosnijding geicht is volgens - e z. Vede wodt ondesteld dat deze schuifspanning z constant is ove de beedte van de balk, zoals te zien is op Figuu.(b), is het gijs gekleude deel van de moot begepen tussen de coödinaten z = z en z = +h/. De beedte van de balk is in dit geval constant, maa in geval van veandelijke beedte van de balk kan deze mee algemeen gescheven woden 6

126 Hoofdstuk : Stuctueel gedag als y (z) y (z). De oppevlakte van de dwasdoosnede, begepen tussen z = z en het bovenvlak van de moot, is A. Dukt men nu het hoizontaal evenwicht uit van het gijs gekleude deel van de balk, dan vindt men: A' A' da M z da I dm I A' A' A' z d da (z ) y (z ) y (z ) M dm I z da z (z ) z z da V I (z ) dm (z ) d I y z da (z ) y (z ) y (z ) d z (z ) y (z ) z A' z da A' y (z ) y (z ) y (z ) y (z ) d d (.34) De integaal in de telle van het echtelid stelt niets andes voo dan het statisch moment van de dwasdoosnede A, begepen tussen z = z en het bovenvlak van de moot, om de y-as. Dit statisch moment wodt genoteed als S y (z ) en kan voluit gescheven woden als volgt: h S (z ) z da z y (z) y (z) dz (.35) y A' z Het is zee belangijk op te meken dat het statisch moment S y (z ) het statisch moment voostelt van de oppevlakte A, en niet van de volledige dwasdoosnede A, tewijl I het taagheidsmoment voostelt van de volledige dwasdoosnede A om de y-as. Doo z te vevangen doo z en de wedekeigheid de schuifspanningen toe te passen, kan de vedeling van de schuifspanning z ove de hoogte van de dwasdoosnede beekend woden: V Sy (z) z (z) (.36) I y (z) y (z) Deze fomule noemt men de fomule van Jouawski en zij beekent de vedeling van de schuifspanning z ove de hoogte van de balk. De fomule van Jouawski dient met de nodige voozichtigheid gebuikt, want zij is slechts geldig voo massieve doosneden, waabij de beedte voldoende klein is t.o.v. de hoogte. Voo platte pofielen met een veel gotee beedte dan hoogte en voo dunwandige I- 7

127 Hoofdstuk : Stuctueel gedag pofielen, T-pofielen, U-pofielen,... is de fomule niet geldig. De voonaamste oozaak is de hieboven gemaakte ondestelling dat de schuifspanning z in een hoizontale doosnijding constant is ove de beedte van de balk. Bij zee bede doosnedes is dit niet lange het geval. Een uitgebeide bespeking van de beekening van schuifspanningen in deze pofielen valt echte buiten het bestek van deze cusus. Het is belangijk te onthouden dat een dwaskacht V aanleiding geeft tot schuifspanningen z ove de hoogte van de balk, en dat deze in geval van massieve doosneden met kleine beedte/hoogte-vehouding kunnen beekend woden met de fomule van Jouawski. Voobeeld.4 Bepaal de vedeling van de schuifspanningen z in het echthoekig pofiel: z y h b 8

128 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.5. VERPLAATSINGEN Uiteaad veoozaken de snedekachten N, M en V niet alleen spanningen in de balk, maa ook vevomingen en dus veplaatsingen. In deze paagaaf wodt diepe ingegaan op de aad van de veplaatsingen die een balk kan ondegaan..5.. Veplaatsingen t.g.v. de nomaalkacht N De nomaalkacht N veoozaakt een ek van de dwasdoosnede. Geïntegeed ove de volledige lengte van de balk vindt men dan de totale velenging L: L L N L d d (.37) A E.5.. Veplaatsingen t.g.v. het buigend moment M In vegelijking (.3) wed eeds een veband afgeleid tussen de komming /R en het buigend moment M. Om nu de veplaatsingen van een vebogen balk te beekenen, wodt een bijkomend veband gezocht tussen de komming /R en de veticale veplaatsing u() van de balk. Uit beide vegelijkingen kan dan een veband woden afgeleid tussen de veticale veplaatsing u() en het buigend moment M. De tekenconventie voo de hellingshoek van de vevomde balk hangt opnieuw samen met de echtehandegel voo het gekozen assenstelsel. De tekenconventie wodt weegegeven in Figuu.3 voo het voobeeld van een balk belast met een puntlast in het midden van zijn ovespanning. z y F Figuu.3 Tekenconventie voo de helling van een doogebogen balk. In Figuu.4 wodt de veplaatsingslijn van een doogebogen balk getekend, waabij u() de veticale veplaatsing voostelt van elke positie van de balk. De -as valt samen met de onvevomde aslijn van de balk. Beschouwt men nu het gekomde segment A B. Het veband tussen de booglengte ds, de komtestaal R en de openingshoek van het segment A B is als volgt: ds R d (.38) 9

129 Hoofdstuk : Stuctueel gedag z d R A ds B + d u u + du y + d Figuu.4 Veband tussen komming en doobuiging [4]. Vede zijn de veticale veplaatsingen en hellingen van balken in de paktijk altijd heel klein, zodat volgende benadeingen gelden: d dscos du d tan ds (.39) De komming /R kan dan als volgt woden gescheven: R d d du d u (.4) ds d d d Dit veband kan ook echtsteeks afgeleid woden als volgt: uit de cusus Analyse weet men dat het veband tussen komming /R en veticale veplaatsing u() de volgende is: R d u d 3 (.4) du d Gezien de geinge veticale veplaatsingen van de balken in de paktijk, is de helling du/d meestal kleine dan, zodat de noeme van de beuk nagenoeg één wodt.

130 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Gebuik makend van de vegelijkingen (.3) en (.4), komt men dan eenvoudig tot de betekking tussen buigend moment M en veticale veplaatsing u(): d u d M (.4) E I De helling van de balk was gedefinieed doo de hoek, waabij = du/d. Gebuik makend van de vegelijkingen (.3), komt men tenslotte tot de volgende fomules: 3 4 dv d M d d u q EI EI 3 (.43) 4 d d d d Nu kan men teug de vie basisgevallen beschouwen van een ingeklemde en opgelegde balk met een puntlast F of een vedeelde belasting q(), en voo deze vie gevallen de veticale veplaatsingen u() beekenen..5..a. Ingeklemde balk met puntlast Het buigend moment M() voo een balk, ingeklemd aan het linkeeinde en belast met een puntlast F aan het echteeinde, was: M.b.v. vegelijking (.43) volgt hieuit: M F L (.44) E I E I () F L C 3 u() F L C C 6 (.45) De andvoowaaden voo de ingeklemde balk zijn: E I E I ( ) u( ) C C (.46) Daauit volgt de veplaatsingslijn u() van de ingeklemde balk: F u() E I L 3 6 (.47)

131 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.5..b. Ingeklemde balk met vedeelde belasting Het buigend moment M() voo een balk, ingeklemd aan het linkeeinde en belast met een vedeelde belasting q(), was: q L M (.48) M.b.v. vegelijking (.43) volgt hieuit: E I E I q () q u() L 6 L C C C (.49) De andvoowaaden voo de ingeklemde balk zijn: E I E I ( ) u( ) C C q L 6 3 q L 4 4 (.5) Daauit volgt de veplaatsingslijn u() van de ingeklemde balk: q u() E I L L 6 4 L 4 (.5).5..c. Balk op twee steunpunten met puntlast Het buigend moment M() voo een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een puntlast F in = a, was: M M F L a L F a L L als a als a (.5) Vemits de momentenlijn M() een knik vetoont te hoogte van de puntlast F, moet men de integatie opsplitsen voo < a en voo > a.

132 Hoofdstuk : Stuctueel gedag < a M.b.v. vegelijking (.43) wodt de momentenlijn M() voo < a geïntegeed: E I E I F L a () C L 3 FL a u() C C L 6 (.53) > a M.b.v. vegelijking (.43) wodt de momentenlijn M() voo > a geïntegeed: E I E I Fa L () L Fa L u() 6L 3 C 3 C C 3 4 (.54) Om de vie integatieconstanten C, C, C 3 en C 4 te bepalen, beschikt men ove twee andvoowaaden en twee aansluitingsvoowaaden: de veplaatsing u() moet nul zijn op de twee steunpunten, dus voo = en voo = L, hoewel de momentenlijn een knik vetoont te hoogte van de puntlast, zal de balk vevomen als een continu lichaam en dus kan e maa één waade zijn voo de helling en de veticale veplaatsing u in het punt = a. De vie voowaaden voo de balk zijn dan: E I u( ) C Fa (L a) (L a) 6L E I E I u( L) ( a ) E I ( a ) C C 3 Fa (L a) (L a) 6L (.55) E I u( a ) E I u( a ) C 4 Fa (L a) (L a) 6 Daauit volgt de veplaatsingslijn u() van de opgelegde balk: u() u() F E I F E I 3 L a a (L a) (L a) L 6 6L 3 a L a (L a) (L a) a (L a) (L a) 6L 6L 6 als a als a (.56) 3

133 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.5..d. Balk op twee steunpunten met vedeelde belasting Het buigend moment M() voo een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een vedeelde belasting q(), was: M.b.v. vegelijking (.43) volgt hieuit: q L M (.57) E I E I 3 q q L () C q q L u() C C 4 (.58) De andvoowaaden voo de opgelegde balk zijn: E I u( ) C E I u( L) C q L 4 3 (.59) Daauit volgt de veplaatsingslijn u() van de opgelegde balk: q u() E I 4 4 L 3 3 L 4 (.6).5.3. Veplaatsingen t.g.v. de dwaskacht V Als de dwaskacht V aanzienlijk is, kunnen ook de schuifspanningen z ove de hoogte van de dwasdoosnede een bijkomende veticale veplaatsing veoozaken. De beekening van deze veplaatsingen valt echte buiten het bestek van deze cusus. Andezijds is het zo dat in vele gevallen de doobuiging t.g.v. de dwaskacht V vewaaloosbaa is t.o.v. de veplaatsing t.g.v. het buigend moment M. Voobeeld.5 Een balk is ondeaan ingeklemd en op de twee dwasbalken gijpt links een kacht F aan, en echts een kacht F. De ichting en zin van de kachten is zoals getekend op de figuu. De dwasdoosnede van de balk is een egelmatige zeshoek en is in elke sectie van de veticale en hoizontale balken constant: 4

134 Hoofdstuk : Stuctueel gedag F a C F L z y z of mm y Als volgende waaden gegeven zijn: F = kn L = m a = 3 cm E = GPa beeken dan de totale veticale en hoizontale veplaatsing van het punt C. (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 5 minuten) 5

135 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.6. SINGULARITEITSFUNCTIES In paagaaf.5..c wed de doobuigingslijn beekend voo een balk op twee steunpunten met een puntlast F in = a. Daauit bleek dat de integatie al snel bewekelijk wodt als de momentenlijn geen continue functie is, met invoeing van andvoowaaden en aansluitingsvoowaaden tot gevolg. In deze paagaaf wodt de methode van de singulaiteitsfuncties bespoken, die de doobuigingslijn van een meevoudig belaste balk afleidt uit één enkele vegelijking. Deze methode leent zich uitstekend tot implementatie in numeieke codes. De basisidee is om zowel vedeelde belastingen q() als puntkachten F en buigende momenten M te schijven als een soot continue belastingen, zodat alle belastingen tesamen kunnen geïntegeed woden. Voo de vedeelde belastingen q() is deze tansfomatie zee eenvoudig. Deze functies kunnen woden gescheven in de algemene vom: n N: n als a a (.6) n a als a Zoals weegegeven in Figuu.5, vetegenwoodigt de coödinaatpositie van een punt langs de balk en is a de plaats op de balk waa de discontinuïteit opteedt, namelijk het punt waa een vedeelde belasting begint. Figuu.5 Vedeelde belastingen met veschillende eponent n. Dit type beschijving kan natuulijk woden uitgebeid naa vedeelde belastingen met een andee vom (tapezium, paabool,...) doo supepositie van deze basisvomen. De ekenegels zijn uiteaad zee eenvoudig: n N: d d a a n n n d a a n n n C (.6) Voo de beschijving van geconcenteede kachten of koppels die op de balk weken, gebuikt men de singulaiteitsfuncties. Zo kan men een geconcenteede puntlast F in het punt = a beschouwen als een vedeelde belasting q die alleen in het inteval a /, a / veschilt van nul. De dichtheid van de belasting is dan q = F/ en de beedte, waabij. Dit wodt geïllusteed doo Figuu.6. 6

136 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Figuu.6 Voostelling van een geconcenteede puntlast F als een vedeelde belasting []. De wiskundige uitdukking wodt dan: q F a F voo voo a a (.63) Op analoge manie kan men een uitwendig koppel K definiëen als de limiet van twee vedeelde belastingen, op een afstand van elkaa, zoals weegegeven in Figuu.7. Figuu.7 Voostelling van een positief moment K als een vedeelde belasting []. De wiskundige uitdukking hievan is: q K a K voo voo a a (.64) De ekenegels voo afleiding en integatie van deze singulaiteitsfuncties zijn veschillend. Men kan aantonen dat geldt: 7

137 Hoofdstuk : Stuctueel gedag 8 n N: n n n n a d a a a d d (.65) Met behulp van voogaande functies kan men de belasting op een meevoudig belaste balk schijven in één vedeelde belasting q(). Figuu.8 toont het voobeeld van een balk op twee steunpunten, belast met een puntkacht F, een uitwendig koppel K en een vedeelde belasting q. Figuu.8 Balk met meevoudige belasting []. Men kan de totale belasting onmiddellijk schijven als volgt (met inachtneming van de tekenconventies voo positieve kachten en momenten): A c q b K a F R q (.66) Tweemaal integeen volgens de fomule (.43) levet de momentenlijn M(): A c q b K a F R M() d M d q (.67) Men kan dan nog tweemaal integeen om de doobuigingslijn te bepalen. Bij deze twee laatste integaties dient men wel ekening te houden met de andvoowaaden voo hellingen en veplaatsingen.

138 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Voobeeld.6 Bepaal de helling en de doobuiging van de as bij elk van de poelies C, D en E. De as is gemaakt van staal en heeft een diamete van 3 mm. De lages bij A en B oefenen slechts veticale eacties op de as uit. E st = GPa. 9

139 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL Een belangijke opmeking beteft de keuze van het assenstelsel. In deze cusus wed de lengte-ichting van de balk volgens de -as geplaatst en wed de z-as volgens de hoogte van de balk gelegd. Helaas is dit niet het enige assenstelsel dat gangbaa is voo de beschijving van de balkentheoie. Men kan een ande echtshandig assenstelsel kiezen met de y-as naa boven en de z-as naa links. Deze keuze heeft zee belangijke implicaties voo de positieve ichting en zin van de momenten en de betekkingen tussen q, V en M. Dit is samengevat in ondestaande Figuu.9. Keuze in deze cusus Altenatieve keuze z z y y O y O z N M V q() z y z Q z V (=F ) z M (=M ) y N (=F ) N M V q() y z y Q y V (=F ) y M (=M ) z N (=F ) q() q() M z V + dv M + dm M y V + dv M + dm y z V V d d q dv d q dv d V dm d V dm d q d M d q d M d Positief koppel K: q K a Positief koppel K: q K a Figuu.9 Vegelijking tussen twee veschillende echtshandige assenstelsels voo de balkentheoie. 3

140 Hoofdstuk : Stuctueel gedag Ook intenationaal is e geen algemeen aanvaade conventie voo de keuze van het stuctueel assenstelsel. In de bouwkunde wodt het assenstelsel met de y-as als veticale as nog vaak gebuikt. In de wektuigkunde en de mechanica van stae lichamen kiest men daaentegen de z-as steeds als de veticale as. Ook in numeieke ekenpakketten stelt de z-as doogaans de veticale ichting voo. Sommige auteus gaan zelfs vede en koppelen de tekenconventie voo buigende momenten los van de keuze van het stuctueel assenstelsel. Zij definiëen een positief buigend moment als een moment dat positieve (tek)spanningen veoozaakt in dat deel van de balk dat een positieve veticale coödinaat heeft. Ook al zal men eldes andee conventies teugvinden, het is steeds zo dat het fysisch gedag van een constuctie onafhankelijk is van de keuze van het stuctueel assenstelsel. Als men een balk op twee steunpunten in het midden belast met een neewaats geichte puntkacht, dan zal de doobuiging u() steeds naa beneden zijn, ongeacht of men nu de z-as, dan wel de y-as als veticale as kiest. Zelfs de positieve zin van de veticale as mag het esultaat niet beïnvloeden. Dit lijkt tiviaal, maa toch wodt vaak gezondigd tegen deze evidentie. 3

141 Hoofdstuk : Stuctueel gedag.8. REFERENTIES [] Vehegghe, B. (). Elasticiteit en Stektelee. Cusus academiejaa -. Gent, Univesiteit Gent. [] Hibbele, R.C. (997). Mechanics of mateials. New Jesey, Pentice Hall Intenational, Inc., 855 pp. [3] Case, J., Chilve, L. and Ross, C.T.F. (999). Stength of mateials and stuctues. London, Anold Publishes, 76 pp. [4] Bate Bown, J. McD. (973). Intoductoy solid mechanics. London, John Wiley & Sons Ltd, 434 pp. 3

142 Hoofdstuk 3 Oplossingsmethodes 3.. INLEIDING Zoals bespoken in paagaaf.6, telt de algemene lineai elastische belastingstoestand van een lichaam 5 onbekenden in elk punt van dat lichaam: 3 veplaatsingen u v w 6 spanningscomponenten zz y z yz 6 ekcomponenten Andezijds beschikt men ove 5 vegelijkingen: 3 patiële diffeentiaalvegelijkingen voo het evenwicht: zz y z yz y y z z F y y zy z F y (3.) z yz y z zz F z 6 vegelijkingen voo het veband tussen ek en veplaatsing: 33

143 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes u v y zz y w z v u y (3.) z w u z yz w v y z 6 vegelijkingen voo het veband tussen ek en spanning (wet van Hooke): zz y z yz E E E G y G z G yz zz zz zz (3.3) Voo het oplossen van lineai elastische poblemen kan men in feite die wegen bewandelen: analytische oplossingen, die een gesloten uitdukking veschaffen voo het pobleem en nog van heel veel nut zijn voo de paktijk, epeimentele methodes, die het lineai elastisch pobleem tachten op te lossen m.b.v. epeimenten, numeieke methodes, die voo complee belastingstoestanden en geometieën van het lichaam een zee belangijk instument vomen. 34

144 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes 3.. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN In hoofdstuk wed het lineai elastisch pobleem analytisch opgelost voo een aantal veeenvoudigde belastingsgevallen (bv. vlakspanning, vlakvevoming). Dankzij de belangstelling van een goot aantal bekwame wiskundigen en natuukundigen, bestaan e heel wat analytische oplossingen voo lineai elastische poblemen. Uiteaad zijn dit poblemen waavan de geometie en de andvoowaaden wiskundig handelbaa zijn: oneindig of half oneindig uitgestekte gebieden, of gebieden begensd doo echten, cikelbogen of kegelsneden, belast met één kacht, gelijkmatig vedeelde kachten, enz. Alhoewel het heel moeilijk zou zijn om met deze methodes de spanningen in het ondestel van een teinwagon of in een tubineschoep eact te beekenen, zijn deze analytische oplossingen daaom niet waadeloos. Zij bieden ten opzichte van epeimentele en numeieke methodes het voodeel de oplossing in de gedaante van een analytische uitdukking te veschaffen, geldig voo alle waaden van de paametes die ein vookomen. Zij woden touwens nog veelvuldig gebuikt als standaad om de nauwkeuigheid van numeieke methodes te testen. Tot slot bestaan e heel wat paktische poblemen die qua geometie en andvoowaaden weinig afwijken van deze analytische oplossingen, zodat zij als goede benadeing voo het paktische geval kunnen doogaan. 35

145 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes 3.3. EXPERIMENTELE METHODES In paagaaf 5. ove instumentatie van de bepoevingsmethodes en paagaaf 5.3 ove schadedetectie en diagnose woden een aantal epeimentele methodes bespoken die de vevoming van een constuctie kunnen opvolgen: (i) ekstookjes, (ii) moié-technieken en (iii) optische vezelsensoen. Deze technieken meten de vevomingen van de constuctie, en de spanningen woden via de wet van Hooke uit de ekken beekend. Een epeimentele methode die echtsteekse infomatie geeft ove de spanningen, is de fotoelastische methode. Deze methode heeft een gote bloei gekend in het begin van de twintigste eeuw, maa wodt nu nog maa zelden gebuikt. Ze is in de eeste plaats geschikt voo ondezoek van vlakspanningstoestanden, omdat de methode steunt op de vaststelling dat bepaalde dooschijnende mateialen onde invloed van spanningen optisch dubbel bekend woden. De hoofdichtingen van deze dubbele beking vallen samen met de hoofdichtingen van de spanningstenso en de faseveschuiving is evenedig met het veschil I II tussen de hoofdspanningen. De belangijkste foto-elastische mateialen zijn kunsthasen (Columbia has, epoyhasen), polyuethaan en polymethylmetacylaat (pleiglas). Zij woden gegoten en bewekt in dezelfde vom als de wekelijke constuctie. Nadien woden gelijkaadige belastingen aangebacht en wodt het onde spanning staande foto-elastische mateiaal belicht met gepolaiseed licht. Doo het effect van dubbele beking kijgt men twee types kommen: (i) isoclinen, en (ii) isochomaten. De isoclinen zijn de meetkundige plaats de punten waavoo de hoofdichtingen een constante helling hebben t.o.v. een efeentieichting. De isochomaten zijn de meetkundige plaats de punten waavoo het veschil tussen de twee hoofdspanningen een constante waade bedaagt. Doo een gepaste keuze van de polaisatie van het licht en de epeimentele opstelling, kan men de isoclinen en isochomaten afzondelijk bestudeen. Figuu 3. toont de isochomaten in een balk op twee steunpunten. De witte fanje op halve hoogte is de neutale lijn waa I II =. Daaboven en daaonde neemt het veschil toe, min of mee in oveeenkomst met de esultaten van de balkentheoie. Men bemekt echte steke concentaties van fanjes nabij de aangijpingspunten van de kacht en van de eacties. Dit wijst op spanningsconcentaties die niet in de balkentheoie woden meegeekend. Figuu 3. Isochomaten voo een balk op twee steunpunten []. 36

146 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3. toont de isochomaten in een dunne vlakke plaat met een onde opening, belast met een gelijkmatig vedeelde tekspanning op voldoende afstand van de onde opening. Opnieuw wodt bevestigd dat e spanningsconcentaties opteden ond de opening in de plaat. Figuu 3. Isochomaten in een dunne plaat met een onde opening []. Mee in het algemeen, zoals bespoken in paagaaf., teden spanningsconcentaties altijd op aan doosnedeveandeingen en plotse veandeingen van geometie. Dit wodt bevestigd doo Figuu 3.3 die de isochomaten toont aan een sectieveandeing, die belast wodt met twee tegengestelde koppels. Figuu 3.3 Spanningsconcentatie bij een doosnedeveandeing []. 37

147 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.4 geeft een laatste voobeeld van een balk met twee uitspaingen, die met twee tegengestelde koppels wodt belast (boven). Een detail van de isochomaten ond de uitspaingen (onde) toont duidelijk dat het lineai spanningsveloop uit de balkentheoie stek wodt vestood doo de aanwezigheid van de uitspaingen. Figuu 3.4 Isochomaten in een balk met twee uitspaingen []. 38

148 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes 3.4. NUMERIEKE METHODES EINDIGE ELEMENTEN In de tweede helft van de twintigste eeuw heeft de compute een eeks mogelijkheden geceëed, die in de toepassing van de elasticiteitslee, zoals in vele andee wetenschappen en technieken, een wae evolutie hebben toegelaten. De meest gebuikte numeieke techniek is tegenwoodig deze van de eindige elementen. Men kan de eindige elementenmethode eenvoudig definiëen als een numeieke techniek die de complee geometie van de te beekenen constuctie opdeelt in een goot aantal eenvoudige bouwstenen (bv. diehoeken, echthoeken, kubussen,...), eindige elementen genaamd (Eng: finite elements). Figuu 3.5 toont bijvoobeeld het eindige elementenmodel van een stalen as. Het volume van de as is opgedeeld in hondeden kleine elementen. Figuu 3.5 Eindige elementenmodel van een stalen as. De hoekpunten van elk van deze eindige elementen noemt men knopen (Eng: nodes). Aan elke knoop kent men een aantal vijheidsgaden toe, bv. de onbekende veplaatsingen (u,v,w) in -, y- en z-ichting. De belasting wodt eveneens aangebacht in de knopen. De hele constuctie wodt in feite gediscetiseed in een netwek van knopen, zoals afgebeeld in Figuu

149 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.6 Knopennet van de stalen as. Doo het uitdukken van het evenwicht van de constuctie en het opleggen van een goot aantal aansluitingsvoowaaden tussen alle knopen, wodt het lineai elastisch pobleem heleid tot het oplossen van een zee goot stelsel lineai algebaïsche vegelijkingen. Met de elementenmethode kan e voo bijna elk pobleem van de elasticiteitslee een voldoend nauwkeuige oplossing gevonden woden. De pogamma s voo de eindige elementenmethode zijn echte uitgebeid, vegen veel geheugen en soms een lange ekentijd. Hun toepassing was daaom lange tijd bepekt tot het ontwep van belangijke, due en technologisch geavanceede poducten (bv. keneactoen, vliegtuigen, aketten). De algemene doobaak van zee pefomante wekstations en zelfs PC s heeft de laatste jaen geleid tot een uime vespeiding van de eindige elementenmethode. In alle gote ontwepbueaus is de elementenmethode nu een bijna alledaagse ekentechniek gewoden. Zoals elke numeieke methode geeft de eindige elementenmethode het esultaat in numeieke vom: men geeft de maten en geometie op, de mateiaaleigenschappen en de andvoowaaden, en kijgt getalwaaden voo spanningen, veplaatsingen,... teug. Bovendien is de toepassing van de eindige elementenmethode niet bepekt tot lineai elastische poblemen. Ze wodt evenzee aangewend voo niet-lineaie elasticiteit, plasticiteit, wamtegeleiding, stomingslee, tillingen en golven, elektomagnetisme,... Niettegenstaande de gote kacht van deze eindige elementenpakketten, is een degelijke kennis van elasticiteit en stektelee voo de ingenieu nog steeds een noodzaak. De naduk wodt echte velegd: de ingenieu moet een goed inzicht hebben in de kenmeken van de oplossing die hij vewacht en in de benadeingen en veondestellingen die zij bevat. Zoniet kan hij de pogamma s niet efficiënt gebuiken en de esultaten niet ationeel beoodelen. De eigenlijke behandeling van de eindige elementenmethode valt buiten het bestek van deze cusus. In deze paagaaf wodt de globale stuctuu van een eindige elementenpakket 4

150 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes uiteengezet en woden een aantal beekeningsvoobeelden uit de paktijk bespoken, zodat men enige voeling kijgt met de stektes (en zwaktes) van de eindige elementenmethode Stuctuu van het eindige elementenpogamma Zoals eeds hoge vemeld, is de eindige elementenmethode toepasbaa op een zee goot aantal poblemen, van lineaie elasticiteit ove plasticiteit tot elektomagnetisme. E zijn in de loop de jaen dan ook heel wat commeciële eindige elementenpakketten ontwikkeld, elk met hun eigen stektes en zwaktes. Voo beekeningen in de klassieke mechanica woden ABAQUS, Ansys, Nastan, Dyna en SAMCEF heel veel gebuikt. Ondanks deze vescheidenheid kan men toch in alle commecieel en academisch ontwikkelde eindige elementenpakketten die gote delen ondescheiden: pe-pocessing: invoe van het eindige elementenmodel analyse: beekening van de spanningen en ekken in het model post-pocessing: veweking en visualiseing van de esultaten Elk van deze delen wodt nu mee in detail bespoken. Het eindige elementenmodel van een stalen dijfstang wodt gebuikt als leidaad voo de die delen a. Pe-pocessing De belangijkste taak van de pe-pocesso is het vetalen van de eële constuctie (inclusief haa belasting, andvoowaaden en mateiaalkaakteistieken) naa een eindige elementenmodel. Deze vetaling gebeut meestal in twee stappen: opstellen van het geometisch model, opstellen van het daamee oveeenstemmend eindige elementenmodel. Voo het opstellen van het geometisch model beschikt de pe-pocesso ove een aantal typische tekenfuncties: het tekenen van punten, lijnen, oppevlakken, cikelbogen,... Sommige eindige elementenpakketten bieden ook de mogelijkheid om geometische modellen te impoteen uit klassieke tekenpakketten zoals AutoCAD en SolidWoks. Figuu 3.7 toont het geometisch model voo een stalen dijfstang van een vemoeiingsmachine []. In de gootste holte (links boven) komt een gote as, die heen en wee beweegt en d.m.v. de dijfstang dezelfde veplaatsing oplegt aan een tweede, kleinee as. Omdat de dijfstang in vemoeiing belast wodt, moet de maimale spanning in de dijfstang voldoende ve beneden de vloeigens blijven. Het is dan ook de bedoeling de spanningstoestand in de volledige dijfstang te beekenen voo de meest nadelige belasting doo de twee doogaande assen in de openingen. 4

151 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.7 Geometisch model van een stalen dijfstang. Voo het voobeeld van Figuu 3.7 kan men het geometisch model eest nog veeenvoudigen, aangezien e twee ondeling loodechte symmetievlakken zijn. Het volstaat dus slechts een kwat van het geometisch model om te zetten naa eindige elementen (nadien zal men de coecte andvoowaaden aanbengen op de symmetievlakken). In een tweede stap wodt dit geometisch model omgezet naa het eindige elementenmodel. Dit poces noemt men meshing en gebeut doo de meshe. Doogaans begint de meshe met een vedeling te maken van de and(en) van het geometisch model. Dat gebeut doo hetzij het aantal vedelingen, hetzij de (gemiddelde) afmeting van de elementen op te geven. Op basis van de doo de gebuike opgegeven andvedelingen kan de meshe dan een elementennet opbouwen m.b.v. eenvoudige bouwstenen (kubussen, tetaëdes). Het volledige volume van het model wodt gediscetiseed in hondeden of duizenden van deze eindige elementen. Het esultaat na meshing is weegegeven in Figuu

152 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.8 Eindige elementennet voo de stalen dijfstang. Tot dusve wed geen enkele veondestelling gemaakt ove de mateiaalkaakteistieken, belastingen en andvoowaaden. De opgave van deze gegevens vomt dan ook de laatste stap naa het voltooide eindige elementenmodel. In dit voobeeld is het mateiaal staal en gedaagt het mateiaal zich lineai elastisch. De benodigde gegevens voo het eindige elementenmodel zijn dan de elasticiteitsmodulus E en de Poisson-coëfficiënt van het staal. De meest nadelige belasting voo de dijfstang is deze, waabij de doogaande assen in de twee openingen een tegengestelde tekkacht uitoefenen op de dijfstang. Deze belasting wodt gemodelleed doo een adiale duk op de binnenste cilindewand van beide asopeningen (zie Figuu 3.9). Y p 6.5 KN.5 KN p 6 Z Figuu 3.9 Schematische voostelling van de belasting op de dijfstang. 43

153 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3. toont de belastingsoppevlakken zoals ze in het eindige elementenpakket weden aangebacht. Hoewel de belasting hie wodt aangebacht op de oppevlakte van de eindige elementen, zal de pe-pocesso deze vedeelde belastingen toch omekenen naa discete belastingen in de knopen. Het is echte nogal omslachtig om de gebuike zelf deze discetisatie te laten uitvoeen, vandaa dat de gebuike de belasting ook als een vedeelde belasting mag ingeven. Figuu 3. Aanbengen van de belastingen op de twee binnenste cilindewanden van de dijfstang. Tenslotte moeten de andvoowaaden gedefinieed woden. Wegens de ondestelling van dubbele symmetie moet men dus bijkomende andvoowaaden opleggen aan de symmetievlakken, zodat de veplaatsingen daa voldoen aan de aansluitingsvoowaaden b. Analyse Het tweede deel van het eindige elementenpogamma omvat het eigenlijke ekenwek. In dit gedeelte woden voo alle knopen de onbekende veplaatsingen en de (eventuele) knooppuntskachten uitgescheven. Nadien woden de evenwichtsvegelijkingen voo de hele constuctie en de aansluitingsvoowaaden voo alle knopen opgesteld. Men kan aantonen dat men uiteindelijk een eusachtig stelsel bekomt van lineaie algebaïsche vegelijkingen, waauit men de onbekende veplaatsingen in elke knoop kan oplossen. Naast analyse-modules voo lineaie elasticiteit bestaan e ook tal van andee analyse-modules voo plasticiteit, themische beekeningen, elektomagnetisme, stomingslee,... Niet alleen moeten dus tientallen veschillende mateiaalmodellen geïmplementeed woden in de 44

154 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes analyse-modules, maa ook zuive numeiek stellen zich heel wat poblemen. Sommige stelsels bevatten miljoenen vegelijkingen, convegeen taag en moeilijk naa een oplossing of moeten iteatief opgelost woden. E zijn dan ook heel wat gespecialiseede algoitmes ontwikkeld voo de oplossing van deze stelsels vegelijkingen. Eens men in elke knoop de veplaatsingen kent, kan men doo afleiding de ekken beekenen. M.b.v. de wet van Hooke kan men tenslotte de spanningen beekenen. Deze oplossing is natuulijk, net als het knopennet zelf, disceet en is enkel bekend voo de knopen zelf. Doo middel van een gepaste intepolatie kan men dan de veplaatsingen, ekken en spanningen beekenen in alle tussenliggende punten. De voostelling van deze esultaten gebeut in de dede stap, de post-pocessing c. Post-pocessing De post-pocesso helpt de gebuike bij de visualisatie en intepetatie van de bekomen esultaten. De gootheden die men kan visualiseen, zijn van veschillende aad: scalaien: tempeatuu, enegiedichtheid, von Mises spanning vectoen: veplaatsing tensoen: spanningen en vevomingen Doo hun geavanceede gafische mogelijkheden bieden de hedendaagse post-pocessos heel wat voodelen t.o.v. hun vooganges die zich vaak bepekten tot het afdukken van ellenlange lijsten met esultaten. Figuu 3. toont een plot van de beekende von Mises spanning in de stalen dijfstang. De kleuen in de linkebalk geven het beeik aan van de waade van de von Mises spanning. De laagste waade is,86 MPa, tewijl de hoogste waade 69,94 MPa bedaagt. Vegeleken met een typische vloeigens van MPa voo staal, zijn de spanningen dus voldoende laag om geen poblemen in vemoeiing te veoozaken. Het is ook inteessant te vemelden dat alle veandeingen in doosnede en geometie van deze dijfstang zo geleidelijk mogelijk zijn uitgevoed, met gote komtestalen en ovegangsbogen, en dit om de spanningsconcentaties zo laag mogelijk te houden. In vemoeiing zijn deze spanningsconcentaties immes net de plaatsen waa vemoeiingsscheutjes ontstaan. 45

155 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3. von Mises spanning in de dijfstang. In de volgende paagaaf woden nog een aantal paktijkvoobeelden bespoken, waabij het vooal de bedoeling is de mogelijkheden en bepekingen van de eindige elementenmethode wee te geven Paktijkvoobeelden 3.4..a. Plastische vevoming van een koppeling voo peslucht Het beteft een schadegeval van een koppeling voo een pesluchtleiding bij 3 ba. Een dwasdoosnede van de koppeling is afgebeeld in Figuu 3.. Het linkegedeelte bevat de moe waamee de koppeling op een andee leiding wodt geschoefd. Het echtegedeelte bevat de pesluchtleiding, waavan de ubbeen dichting ingeegen is met stalen vestekingsvezels om de gote dukken te weestaan. 46

156 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3. Dwasdoosnede van de pesluchtkoppeling. E moest via numeieke simulaties aangetoond woden dat het hoekje, waategen de moe wodt aangetokken, te klein was. Daadoo zou de bovenand van de moe plastisch vevomen bij het aanhalen van de moe en zou de pesleiding gaan lekken. Dit kon indedaad epeimenteel woden vastgesteld, zoals getoond in Figuu 3.3. De bovenand van de moe (links) is helemaal plastisch vevomd. Figuu 3.3 Plastische vevoming van de and van de moe. Het eeste pobleem bij de numeieke simulatie beteft altijd de vetaling van de wekelijke geometie en belastingstoestand naa een fysisch model. Het is duidelijk dat de modelleing van de volledige schoefdaad van de moe en het aandaaipoces van de moe te comple is. Daaom wed de wekelijke situatie veeenvoudigd tot het model in Figuu

157 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes intene duk moe schuifkacht contactvlakken Figuu 3.4 Tekening van de koppeling van de pesluchtleiding. Het vebindingsstuk ondeaan waa de moe wodt opgeschoefd, wodt ingeklemd veondesteld, zodat dit stuk geen veplaatsing ondegaat. De schoefdaad van de moe is vevangen doo een plat vlak en het aanschoeven van de moe wodt gemodelleed doo een schuifkacht die de moe naa beneden tekt langs het vaste vebindingsstuk. Vede woden nog een aantal bijkomende veondestellingen gemaakt: het pobleem is aiaal-symmetisch. Het volstaat dus één helft van de dwasdoosnede te modelleen, gezien het mogelijk opteden van plastische vevoming, wed een mateiaalmodel voo plasticiteit opgelegd met vesteviging in de plastische fase, langs de contactvlakken kan het mateiaal glijden zonde wijving, de duk op de einddoosnede bovenaan wodt vevangen doo een langskacht op de and van de buis. Figuu 3.5 toont een detail van het definitieve eindige elementenmodel in de zone van de koppeling. 48

158 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.5 Modelleing van het aandaaien van de moe en kachtsweking op de koppeling. Figuu 3.6 toont de vevomingen van de koppeling na het aandaaien van de moe. 49

159 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.6 Veplaatsingen na aandaaien van de moe. Zoals blijkt uit Figuu 3.7, is e een gote zone van plastische vevoming in de koppeling. De von Mises spanning ligt ve boven de vloeigens van MPa. 5

160 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.7 von Mises spanning in de zone van de koppeling b. Inlaat van een composiet dukvat Het tweede paktijkgeval beteft een gewikkeld dukvat uit glasvezelvestekt epoyhas. Figuu 3.8 toont een voobeeld van een degelijk dukvat in kleine uitvoeing. Bij een gotee uitvoeing van het dukvat weden poblemen vastgesteld aan de inlaat van het dukvat. Degelijke dukvaten woden cyclisch belast tussen en ba en na een aantal belastingscycli ontstond telkens een scheu aan de inlaat van het dukvat. De bedoeling van de numeieke simulatie was na te gaan waa de hoogste spanningen opteden in het dukvat en eventueel de geometie van de inlaat te wijzigen. 5

161 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.8 Gewikkeld dukvat uit glas/epoy composiet. Figuu 3.9 toont een dwasdoosnede van het bovenste gedeelte van het composiet dukvat. polyethyleen beschemingslaag afdichting polyethyleen inlaat glasvezelvestekt epoy intene duk Figuu 3.9 Dwasdoosnede van het bovengedeelte van het composiet dukvat. 5

162 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Binnenin het dukvat is een polyethyleen beschemingslaag aangebacht (tegen aantasting van het composiet doo afvalwate of chemische stoffen in het dukvat). De inlaat is gemaakt van polyethyleen met 3 % vekapte glasvezels. De polyethyleen beschemingslaag wodt gemodelleed als een isotoop mateiaal met E =,7 GPa. De polyethyleen inlaat wodt ook gemodelleed als isotoop, aangezien de vekapte glasvezeltjes andom vedeeld zijn in het mateiaal, maa doo de glasvezelvesteking bedaagt de elasticiteitsmodulus 4,8 GPa i.p.v.,7 GPa. Het glas/epoy-mateiaal van het dukvat zelf is othotoop en heeft veschillende elasticiteitsmoduli volgens de vezels (44 GPa) en loodecht op de vezels (5 GPa). Bovendien is de hellingshoek van de vezels op elke hoogte veschillend t.g.v. het wikkelpocédé. Opnieuw woden een aantal bijkomende veondestellingen gemaakt voo de modelleing van het eindige elementennet: het pobleem is aiaal-symmetisch. Het volstaat dus één helft van de dwasdoosnede te modelleen, de duk op het afdichtingsdeksel wodt vevangen doo een stel opwaatse kachten op de vetanding van de polyethyleen inlaat, zoals afgebeeld in Figuu 3.. De opsplitsing in een stel kleine kachtjes op elk van de tanden is noodzakelijk om een gelijkmatige vedeling van de belasting te kijgen. Als men de totale kacht zou aanbengen op één enkele tand, zou men een zee gote spanningsconcentatie intoduceen in het mateiaal. Figuu 3. Detail van de vedeling van de belasting ove de vetanding van de polyethyleen inlaat. Tenslotte ziet het eindige elementennet euit zoals afgebeeld in Figuu

163 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3. Volledig eindige elementennet voo het composiet dukvat. Aangezien de polyethyleen inlaat isotoop wed veondesteld, kan de von Mises spanning beekend woden voo dit mateiaal. Een detail is afgebeeld in Figuu 3.. Figuu 3. Spanningen in de isotoop veondestelde polyethyleen inlaat. 54

164 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes De von Mises spanning bedaagt,76 MPa voo de zee dunne echteand van de inlaat en deze spanning bleek te hoog, zeke onde cyclische belasting van het dukvat c. Maimale komming van een connectoblok met optische vezels Het dede paktijkgeval stamt uit het domein van de elektonica. Twee connectoblokken zijn met elkaa vebonden doo een datalijn van acht optische vezels met een diamete van 5 m. De lengte van de optische vezels is 6 mm en de tussenafstand tussen de hatlijn van de optische vezels is 5 m. Een schematische figuu is getoond in Figuu 3.3. De ondelinge vehoudingen op de figuu zijn uiteaad niet coect. d = 5 m L = mm = 5 m veplaatsing? (a) (b) Figuu 3.3 Schematische voostelling van de connectoblokken. Deze connectoblokken en hun datalijn moesten ingebouwd woden in een stuing en mochten zo weinig mogelijk uimte innemen. Wel moest de ene connecto ove 9 gedaaid woden t.o.v. de andee (zie Figuu 3.3(b)). Gevaagd wed de meest compacte configuatie te bepalen, zonde dat de optische vezels elkaa gaan ovelappen of gaan beken doo een te steke komming. Dit is een zee stek niet-lineai pobleem omdat de veplaatsingen eusachtig zijn in vegelijking met de afmetingen van het object. Bovendien is de buigstijfheid EI van een degelijke optische vezel bijzonde klein. Indedaad de E-modulus van glas is ongevee 3 GPa 4 en het taagheidsmoment I van een cikelvomige doosnede is 4. De buigstijfheid bedaagt dus,36 Nmm (te vegelijking: een stalen staaf met diamete mm heeft een buigstijfheid van,3 8 Nmm ). Degelijke miniscule waaden zogen voo een bijzonde moeilijke convegentie van het numeiek pobleem. De optische vezel wed gemodelleed als een balk. Het linkeuiteinde wed vastgehouden tewijl aan het echteuiteinde een gote veplaatsing naa links en naa beneden wed opgelegd, om de veplaatsing van het tweede connectoblok te simuleen. De vevoming van de optische vezel, zoals die wed beekend na de opgelegde veplaatsing, is getoond in Figuu

165 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.4 Beekende vevoming van de optische vezel na veplaatsing. De modelleing van alle acht optische vezels tegelijk bleek te ingewikkeld, omdat het pobleem tweedimensionaal wed opgevat. Bij de veplaatsing van de acht vezels zou het eindige elementenpakket een mogelijk contact tussen twee optische vezels moeten contoleen en een glijding toelaten van de ene vezel t.o.v. de andee. Dit vaagt de intoductie van speciale eindige elementen (nl. contactelementen) en bemoeilijkt de convegentie nog mee. Daaom wed de positie voo één enkele vezel beekend en wed iteatief naa een optimale oplossing gezocht d. Themische spanningen in een dikwandige composietbuis Bij de poductie van gewikkelde composietbuizen woden de vezels doo een hasbad getokken en nadien gewikkeld op een matijs. Dit gebeut bij vehoogde tempeatuu om het has voldoende vloeibaa te maken. Nadien gebeut de uithading bij kametempeatuu. Daabij koelt de buis in haa geheel af van ongevee C tot C. De composietbuis in dit voobeeld wodt gebuikt voo afvalwatezuiveing. Daabij wodt het afvalwate onde hoge duk doo een aantal filtes gepompt. De composietbuis moet dan ook bestand zijn tegen dukken van 8 ba en is dus zee dikwandig. Figuu 3.5 toont een typisch voobeeld van een degelijke composietbuis uit glasvezelvestekt epoyhas. 56

166 Mechanica van Mateialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.5 Dikwandige glas/epoy composietbuis voo afvalwatezuiveing. De stapeling van de buiswand bestaat uit 6 lagen van 54 en twee buitenste lagen onde 9. Figuu 3.6 toont een gepolijste dwasdoosnede van de buiswand (dikte 6,55 mm). Figuu 3.6 Gepolijste dwasdoosnede van de wand: 6 lagen van 54 en twee buitenste lagen onde 9. 57

167 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Het is duidelijk dat de themische uitzettingscoëfficiënt [m/(mc)] van dit othotoop mateiaal zeke niet dezelfde is in alle ichtingen. Uit epeimenten wed bepaald dat de themische uitzettingscoëfficiënten volgens de ichtingen van othotopie zijn: 33 5,8 3, 3, [m / m C] (3.4) Hieuit blijkt duidelijk dat de themische uitzetting in de ichtingen dwas op de vestekingsvezels veel gote is dan in de vezelichting. De eindige elementensimulatie bestaat e nu in een themische afkoeling van C naa C te simuleen. Hoewel de buis tijdens de uithading volledig vij kan uitzetten, zullen toch themische spanningen ontstaan, en wel om twee edenen: het mateiaal is niet isotoop en de themische kimp is dus niet dezelfde in alle ichtingen, de buis is zee dikwandig en de individuele lagen belemmeen elkaa in hun vije kimp. Omwille van de symmetie volstaat het opnieuw de helft van de buis te simuleen. Bovendien wodt de andvoowaade opgelegd dat de buis in de langsichting vij kan uitzetten. Figuu 3.7 toont het gebuikte eindige elementennet. Links is de globale mesh getoond, tewijl echts een detail van de volledige wanddikte is getoond. Alle lagen van de composietbuis woden dus afzondelijk gemodelleed. Figuu 3.7 Globale eindige-elementenmesh (links) en detail van de elementennet in de dwasdoosnede (echts). Uit de simulaties blijkt dat de spanningen in de vezelichting zee klein zijn (de themische uitzettingscoëfficiënt is ook kleine in de vezelichting). De spanningen 33 blijken bijna onbestaande te zijn. De spanningen loodecht op de vezelichting blijken echte veel gote dan vewacht. Figuu 3.8 toont een detail van de themische spanningen in elke laag dooheen de buiswand. 58

168 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes Figuu 3.8 Themische spanningen loodecht op de vezelichting in elke individuele laag. De hoogste spanningen bedagen,4 MPa en deze zijn zee hoog vegeleken met de tekstekte Y T loodecht op de vezelichting die 35, MPa bedaagt. Op dat moment is e immes nog geen enkele gebuiksbelasting op de buis aangebacht. 59

169 Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes 3.5. REFERENTIES [] Vehegghe, B. (). Elasticiteit en Stektelee. Cusus academiejaa -. Gent, Univesiteit Gent. [] Bethels, K. and Van Peteghem, J. (). Design of an advanced fatigue testing device fo fibe-einfoced composites. Gaduate Thesis (in Dutch). Ghent, Ghent Univesity, 9 pp. 6

170 Hoofdstuk 4 Tweedimensionale elastische poblemen 4.. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING In vele paktijkgevallen in de bouwkunde en de wektuigkunde kan men aannemen dat de hele belastingstoestand zich afspeelt in één enkel vlak -y, zodat het pobleem zich heleidt tot een tweedimensionaal pobleem. Deze poblemen vallen uiteen in twee gote klassen: (i) vlakspanning, en (ii) vlakvevoming Vlakspanning 4...a. Algemeen Ondestel een dunne plaat of schijf die belast wodt in haa eigen vlak, zoals aangegeven in Figuu 4.. De - en y-as liggen in het vlak van de plaat, tewijl de z-as gelegen is volgens de dikteichting van de plaat. 6

171 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4. Voobeelden van vlakspanningstoestand [6]. Als de vije plaatoppevlakken niet belast zijn, is de spanningsvecto (n) in elk punt van deze vije plaatoppevlakken nul en dus ook de spanningscomponenten zz, z en zy die aangijpen op deze vije plaatoppevlakken. Omdat bovendien de dikte van de plaat of schijf klein is, neemt men aan dat deze spanningscomponenten ook nul zijn binnenin de plaat. Vandaa ondestelt men in elk punt van de plaat de volgende spanningstoestand: y [ ] y (4.) waabij men aanneemt dat óók deze spanningen constant zijn dooheen de dikte. Een degelijke spanningstoestand noemt men een vlakspanningstoestand (Eng: plane stess). Het is belangijk op te meken dat, hoewel de spanning zz nul is, de ek zz niet nul is, en dit ten gevolge van het Poisson-effect. Dit volgt ook onmiddellijk uit de wet van Hooke (.87): ( ) E zz zz zz (4.) ( )( ) De algemene wet van Hooke (.85) wodt in geval van vlakspanning ( zz = ) heleid tot: zz y G E E E y (4.3) Gebuikmakend van (4.), wodt het invese veband tussen spanning en ek (.87) in geval van vlakspanning dan heleid tot: 6

172 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen E ( ) E ( ) (4.4) y G y Ook in dit tweedimensionaal belastingsgeval kan men de hoofdspanningen bepalen. Aangezien de spanningen zz, z en yz in alle gevallen nul zijn, woden de hoofdspanningen I en II gevonden doo een geschikte otatie van het assenstelsel (,y,z) om de z-as. Definieet men de hoek als de hoek tussen de -as en de -as (positief in tegenwijzezin wegens de echtehandegel om de as e z ), dan woden de tansfomatiefomules veeenvoudigd tot: ' ' y ' ' y cos sin sin cos y y cos sin sin cos (4.5) Uitgewekt wodt dit: ' cos sin y sincos ' ' y ( sin cos )sincos y y sin cos cos sin (4.6) Om de twee onbekende hoofdichtingen te vinden, stelt men y =, waauit: y tan (4.7) Dit geeft twee waaden van, met een veschil van 9. Men vindt dan de twee hoofdspanningen I en II doo één van de twee gevonden waaden voo de hoek in de eeste twee vegelijkingen van (4.6) te substitueen. Een andee mogelijkheid bestaat ein de seculaie vegelijking (.5) uit te schijven en de twee wotels I en II te bepalen. Deze zijn: I II 4 4 y y (4.8) Via deze weg kan men echte niet uitmaken of de hoofdspanning I coespondeet met, dan wel met

173 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4...b. Cikel van Moh De cikel van Moh is een gafische techniek die toelaat om de vlakspanningstoestand op een eenvoudige wijze te visualiseen. Om dit aan te tonen, heschijft men de eeste en de dede vegelijking van (4.6) als volgt: ' ' y cos sin y y sin cos (4.9) Vevolgens kwadateet men deze vegelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men: ' ' y y (4.) Dit is de vegelijking van een cikel met middelpunt, en staal y. Legt men nu de coödinaatassen vast, positief naa echts en positief omlaag, dan kan men de cikel van Moh constueen. Het is belangijk dat de -as positief naa beneden gekozen wodt, want dan blijft de hoek positief in tegenuuwijzezin, zoals die ook in tegenuuwijzezin positief is van e naa e y. De constuctie van de cikel van Moh is getoond in Figuu

174 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4. Constuctie van de cikel van Moh []. Men zet eest de gekende spanningstoestand y uit in de twee punten (, y ) en (, - y ) (de espectieve punten A en G op de cikel in Figuu 4.(a)). Deze twee punten vomen samen een middellijn van de cikel van Moh. De staal die het punt (, y ) met het middelpunt van de cikel vebindt, geeft de ichting = aan. Deze ichting valt echte niet noodzakelijk samen met de hoizontale middellijn van de cikel, want de hoizontale middellijn geeft de ichting aan van de hoofdspanningen. Voo de hoizontale middellijn zijn de schuifspanningen immes nul. Als men nu de spanningstoestand ' ' ' y wil kennen op een ande vlak, waabij de hoek de hoek is tussen het oosponkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in tegenuuwijzezin), dan zet men op de cikel van Moh een middellijn uit die ove een hoek gedaaid is t.o.v. de middellijn van de oosponkelijke spanningstoestand (opnieuw positief in tegenuuwijzezin). Op de cikel van Moh wodt niet de hoek uitgezet, maa wel de hoek. Dit volgt onmiddellijk uit de hewekte vegelijkingen (4.9). De snijpunten (, y ) en (, - y ) van deze nieuwe middellijn met de cikel geven de nieuwe spanningstoestand ' ' ' aan. Het is zee belangijk op te meken dat de y 65

175 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen cikel van Moh geldt voo de spanningstoestanden op veschillend geöiënteede vlakjes in één en hetzelfde punt, zoals geïllusteed doo Figuu 4.(b). Voobeeld 4. In het punt P bestaat de volgende spanningstoestand in het assenstelsel (,y,z): MPa ij 48 Op welk vlakje doo P zal men de gootste schuifspanning vinden? 4...c. Vlakspanning met themische effecten Legt men opnieuw de voowaade op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke (.4): zz E ( ) ( )( ) zz zz T E T (4.) De algemene wet van Hooke met inbegip van themische effecten (.3) wodt in geval van vlakspanning ( zz = ) dan heleid tot: zz y G E E E y T T T (4.) Het invese veband tussen spanning en ek met inbegip van themische effecten (.4) wodt dan voo vlakspanning: E ( E ( ) ) E T E T (4.3) y G y 66

176 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4... Vlakvevoming 4...a. Algemeen De tweede vevomingstoestand die als tweedimensionaal kan behandeld woden, is vlakvevoming (Eng: plane stain). Hiebij neemt men aan dat e geen veplaatsing is in de z- ichting, en e dus ook geen ekken zz, z en yz zijn. Een typisch voobeeld is getoond in Figuu 4.3, waa een buis is ingeklemd aan haa beide uiteinden en dus onmogelijk kan vevomen in de langsichting. Een degelijk pobleem kan men dan veeenvoudigen tot een tweedimensionaal geval, zoals getoond in het echtedeel van de figuu. Figuu 4.3 Voobeeld van vlakvevoming [6]. In geval van vlakvevoming is de ektenso dus: [ ] y y (4.4) Hoewel de ek zz nul is, is de spanning zz niet nul. Pecies doo de vehindeing van vije vevoming in de z-ichting teden bijkomende spanningen zz op. Dit volgt ook onmiddellijk uit de wet van Hooke (.85): zz zz zz (4.5) E Gebuikmakend van (4.5) wodt het veband tussen ek en spanning (.85) voo vlakvevoming veeenvoudigd tot: 67

177 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen y E E y G ( ) ( ) (4.6) Het invese veband tussen spanning en ek (.87) wodt in geval van vlakvevoming ( zz = ): zz E ( )( ) E ( )( ) E ( )( ) ( ) ( ) (4.7) y G y Ook in geval van vlakvevoming kan men de hoofdekken bepalen. Aangezien de ekken zz, z en yz in alle gevallen nul zijn, woden de hoofdekken I en II gevonden doo een geschikte otatie van het assenstelsel (,y,z) om de z-as. Definieet men de hoek opnieuw als de hoek tussen de -as en de -as (positief in tegenwijzezin wegens de echtehandegel om de as e z ), dan woden de tansfomatiefomules veeenvoudigd tot: ' ' y ' ' y cos sin sin cos y y cos sin sin cos (4.8) Uitgewekt wodt dit: ' cos sin y sin cos ' sin cos y sincos (4.9) ' y ( )sin cos y cos sin Om de twee onbekende hoofdichtingen te vinden, stelt men ditmaal y =, waauit: y tan (4.) 68

178 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Dit geeft twee waaden van, met een veschil van 9. Men vindt dan de twee hoofdekken I en II doo één van de twee gevonden waaden voo de hoek in de eeste twee vegelijkingen van (4.9) te substitueen. Een andee mogelijkheid bestaat ein de seculaie vegelijking (.7) uit te schijven en de twee wotels I en II te bepalen. Deze zijn: I II y y (4.) Via deze weg kan men echte niet uitmaken of de hoofdek I coespondeet met, dan wel met b. Cikel van Moh Vemits de tansfomatiefomules (4.9) voo vlakvevoming net dezelfde stuctuu hebben als de tansfomatiefomules (4.6) voo vlakspanning, kan men ook een cikel van Moh constueen voo vlakvevoming. Geheel analoog aan (4.9) woden de eeste en dede vegelijking van (4.9) hewekt als volgt: ' ' y y cos sin y sin cos (4.) Vevolgens kwadateet men deze vegelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men: ' y y ' (4.3) Dit is de vegelijking van een cikel met middelpunt, en staal y. Legt men nu de coödinaatassen vast, positief naa echts en / positief omlaag, dan kan men de cikel van Moh constueen. Het is belangijk dat de /-as opnieuw positief naa beneden gekozen wodt, want dan blijft de hoek positief in tegenuuwijzezin, zoals die ook in tegenuuwijzezin positief is van e naa e y De constuctie van de cikel van Moh is getoond in Figuu

179 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4.4 Constuctie van de cikel van Moh []. y y Men zet eest de gekende ektoestand uit in de twee punten, en y,. Deze twee punten vomen samen een middellijn van de cikel van Moh. De y staal die het punt, met het middelpunt van de cikel vebindt, geeft de ichting = aan. Deze ichting valt echte niet noodzakelijk samen met de hoizontale middellijn van de cikel, want de hoizontale middellijn geeft de ichting aan van de hoofdekken. Voo de hoizontale middellijn zijn de glijdingen immes nul. ' y Als men nu de vevomingstoestand ' ' wil kennen op een ande vlak, waabij de hoek de hoek is tussen het oosponkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in tegenuuwijzezin), dan zet men op de cikel van Moh een middellijn uit die ove een hoek gedaaid is t.o.v. de middellijn van de oosponkelijke vevomingstoestand (opnieuw positief in tegenuuwijzezin). Op de cikel van Moh wodt niet de hoek uitgezet, maa wel de hoek. Dit volgt onmiddellijk uit de hewekte vegelijkingen (4.). ' y De snijpunten ', en ' y ', van deze nieuwe middellijn met de cikel geven ' y de nieuwe vevomingstoestand ' ' aan. Het is zee belangijk op te meken dat de cikel van Moh geldt voo de vevomingstoestanden op veschillend geöiënteede vlakjes in één en hetzelfde punt. 7

180 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Voobeeld 4. Gegeven is de volgende vevomingstoestand: y De oveige ekcomponenten zijn nul. a) welke bijzondee toestand is dit? b) bepaal de hoofdekken m.b.v. de cikel van Moh. De beekende waaden moeten eact zijn. c) als E = GPa en =,3 bepaal dan de hoofdspanningen. Teken twee viekantjes waaop u de oiëntatie aanduidt van het oude -y assenstelsel en van het nieuwe assenstelsel van de hoofdspanningen. Teken ook de ichting en zin van de hoofdspanningen. De spanningen in het -y assenstelsel hoeft U niet te beekenen. (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: minuten) 4...c. Vlakvevoming met themische effecten Legt men opnieuw de voowaade op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke (.3): T E T zz zz zz (4.4) E De algemene wet van Hooke met inbegip van themische effecten (.3) wodt in geval van vlakvevoming ( zz = ) dan heleid tot: y E E y G ( ) ( ) ( ) T ( ) T (4.5) Het invese veband tussen spanning en ek met inbegip van themische effecten (.4) wodt dan voo vlakvevoming: 7

181 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen zz y E ( )( ) E ( )( ) E ( )( ) G y E ( ) T E ( ) T E T (4.6) Hoofdichtingen vlakspanning en vlakvevoming Voo een isotoop mateiaal zijn de hoofdichtingen voo vlakspanning en vlakvevoming dezelfde. Dit volgt ook onmiddellijk uit de algemene wet van Hooke (.85): als de schuifspanningen y, z en yz nul zijn, dan zijn ook de coespondeende glijdingen y, z en yz nul. 7

182 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4.. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN Aiaalsymmetische belastingen komen heel vaak voo in geval van buizen en schijven, waa de duk (bv. vloeistofduk) aangijpt in adiale ichting. In deze paagaaf wodt het algemene geval beschouwd van een schijf, belast met (i) inwendige of uitwendige tek- of dukspanningen, of (ii) themische spanningen Opstellen algemene vegelijkingen Bij een aiaalsymmetische geometie is het uiteaad aangewezen om eest ove te gaan op cilindecoödinaten ( e, e, e z ). Vede, vemits de vom van de schijf, net als de belastingen, aiaalsymmetisch is en de belasting gelijkmatig ondesteld wodt in de z- ichting, is het duidelijk dat de spanningen, ekken en veplaatsingen alleen van zullen afhangen, en niet van. Beschouwt men nu het evenwicht van een mootje uit zo n aiaalsymmetische schijf, zoals afgebeeld in Figuu 4.5. Figuu 4.5 Aiaalsymmetische schijf [9]. De aiaalsymmetische schijf is begepen tussen = a en = b. De beschouwde belastingen zijn: een gegeven nomaalspanning op = a: = a een gegeven nomaalspanning op = b: = b Zoals eede gesteld, zijn alle spanningen, ekken en veplaatsingen enkel functie van. Bovendien kunnen alle onbekenden afgeleid woden uit het veplaatsingsveld u () in adiale 73

183 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen ichting, zodat men slechts één diffeentiaalvegelijking nodig heeft in functie van de onbekende u (). Deze diffeentiaalvegelijking kan men bekomen doo uitdukking van het evenwicht van de beschouwde moot in de ichting van d d h d ( h ) d d h d h d d (4.7) waauit, na veeenvoudiging: d d e : ( h ) h (4.8) In het bijzonde geval dat de dikte van de schijf constant is, komt men tot de diffeentiaalvegelijking: d d ( ) (4.9) E woden nu twee belastingsgevallen beschouwd: op de binnen- en buitenand wodt de schijf belast met een tek- of dukspanning, de schijf wodt belast met een adiaal tempeatuuveld T(). Voo de eenvoud van de vegelijkingen wodt vede ondesteld dat de dikte h van de schijf indedaad constant is en dus h() = h Tek- of dukspanningen op de binnen- en buitenand Bij het opstellen van de algemene evenwichtsvegelijkingen voo de schijf wed geen ondestelling gemaakt ove de aad van de spanningen in de z-ichting. E wed enkel veondesteld dat de belasting gelijkmatig is in de z-ichting. Naagelang nu de constante dikte h van de schijf klein is of net zee goot, kan men de aannames van vlakspanning of vlakvevoming toepassen. 4...a. Schijf in vlakspanning Zoals vemeld in paagaaf.5.4, blijft de wet van Hooke geldig in een komlijnig assenstelsel, zodat in geval van vlakspanning het veband tussen ek en spanning, analoog met (4.3), wodt: 74

184 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen zz E E E (4.3) Analoog met (4.4) wodt het invese veband tussen spanning en ek: E ( ) E ( ) (4.3) Om nu de algemene evenwichtsvegelijking (4.9) volledig in functie van u () te schijven, woden eest de spanningen gescheven in functie van de ekken m.b.v. vegelijking (4.3). Vevolgens moeten de ekken uitgedukt woden in functie van de veplaatsing u (). Dit is mogelijk doo toepassing van vegelijking (.75) met u = : du d u (4.3) Uitdukking (4.3) voo de spanningen wodt dan: E du u ( ) d E u du ( ) d (4.33) Substitueet men deze uitdukkingen in de evenwichtsvegelijking (4.9), dan bekomt men: d u du u (4.34) d d Deze vegelijking blijkt een gewone diffeentiaalvegelijking te zijn met één onbekende u (). Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie u () een oplossing is van deze diffeentiaalvegelijking: met C en C twee constanten. C () C (4.35) u 75

185 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 76 De spanningen en kunnen dan met behulp van (4.33) gescheven woden als: C' C' E C E C C' C' E C E C (4.36) De twee integatieconstanten kan men nu bepalen aan de hand van de andvoowaaden: = a: = a = b: = b Daauit volgt: b a b a b a b a C' b a b a C' (4.37) waamee (4.36) wodt: b a b a a b a b b b a a a b a b b b a a (4.38) Deze fomules staan ook bekend als de fomules van Lamé. Met het gekende veband tussen de integatieconstanten (C, C ) en (C, C ) kan de veplaatsing u () (4.35) uiteindelijk gescheven woden als: a ) ( ) ( b a b E b ) ( ) ( b a a E () u b a (4.39) Hoewel in vlakspanning zz =, is de ek zz niet nul. Deze kan eenvoudig beekend woden als volgt: b a zz b a b a E ) ( E (4.4) Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = ), moet de veplaatsing u ( = ) = zijn. Daauit volgt dat de integatieconstante C = en bijgevolg: b (4.4)

186 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen De veplaatsing u () wodt in dat geval: u () b (4.4) E 4...b. Schijf in vlakvevoming Men vetekt opnieuw van de algemene diffeentiaalvegelijking van het evenwicht (4.9). Ditmaal gelden de uitdukkingen voo de spanningen en in geval van vlakvevoming. Zoals vemeld in paagaaf.5.4., blijft de wet van Hooke geldig in een komlijnig assenstelsel, zodat in geval van vlakvevoming het veband tussen ek en spanning, analoog met (4.6), wodt: E E ( ) ( ) (4.43) Analoog met (4.7) wodt het invese veband tussen spanning en ek: zz E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) E ( )( ) (4.44) Om opnieuw de algemene evenwichtsvegelijking (4.9) volledig in functie van u () te schijven, woden eest de spanningen gescheven in functie van de ekken m.b.v. vegelijking (4.44). Vevolgens moeten de ekken uitgedukt woden in functie van de veplaatsing u (). Dit is opnieuw mogelijk doo toepassing van vegelijking (.75) met u = : du d u (4.45) Uitdukking (4.44) voo de spanningen wodt dan: 77

187 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen zz E du u ( ) ( )( ) d E u du ( ) ( )( ) d E du u ( )( ) d (4.46) Substitueet men deze uitdukkingen in de evenwichtsvegelijking (4.9), dan bekomt men: d u du u (4.47) d d Deze vegelijking is opnieuw een gewone diffeentiaalvegelijking met één onbekende u (). Het is belangijk op te meken dat deze oplossing net dezelfde is als voo vlakspanning. Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie u () een oplossing is van deze diffeentiaalvegelijking: C () C (4.48) u met C en C twee constanten. De spanningen en kunnen dan met behulp van (4.46) gescheven woden als: E C C ( )( ) C' C' E C C ( )( ) C' C' E E (4.49) Vemits de andvoowaaden dezelfde zijn als voo vlakspanning, bekomt men voo vlakvevoming dezelfde waaden voo C en C (zie (4.37)). Bijgevolg zijn de spanningen en ook dezelfde als voo vlakspanning: a a a b a a b b b a a a b b b a b b a b (4.5) Omdat het veband tussen de integatieconstanten (C, C ) en (C, C ) echte voo vlakvevoming andes is dan voo vlakspanning, is de veplaatsing u () niet dezelfde! 78

188 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen a a b b b a u () ( ) ( ) ( ) ( ) E a b (4.5) E a b Hoewel in vlakvevoming zz =, is de spanning zz niet nul. Deze kan eenvoudig beekend woden als volgt: a a b b a b zz ( ) (4.5) Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = ), moet de veplaatsing u ( = ) = zijn. Daauit volgt dat de integatieconstante C = en bijgevolg: (4.53) b De veplaatsing u () wodt in dit geval: u () b (4.54) E 4...c. Veband vlakspanning en vlakvevoming Het is niet toevallig dat de spanningen en dezelfde waade hebben in vlakspanning en vlakvevoming voo de aiaalsymmetische schijf met constante dikte. Men kan algemeen aantonen dat de spanningen en dezelfde waade hebben voo vlakspanning en vlakvevoming, als en alleen maa als [6]: de volumekachten afleidbaa zijn van een potentiaal V waavoo de laplaciaan V. Aangezien het gaat om een statische schijf en de taagheidskachten dus nul ondesteld weden, is de potentiaal constant en is de voowaade van de laplaciaan voldaan. Men kan indedaad aantonen dat als men de taagheidskachten wél in ekening bengt, de diffeentiaalvegelijking in u () e andes uitziet in vlakspanning dan in vlakvevoming, zodat ook de spanningen en niet dezelfde zullen zijn, de andvoowaaden op S T (spanningsvecto dezelfde zijn in beide gevallen. (n) ) en SU (voogescheven veplaatsingen) Het is zee belangijk te onthouden dat dit veband tussen vlakspanning en vlakvevoming enkel geldt onde de hieboven vemelde voowaaden en bovendien enkel geldt voo de spanningen. Bij gelijke spanningen zijn de ekken en veplaatsingen in vlakspanning en vlakvevoming immes niet gelijk! Men kan nu voo veschillende waaden van de vehouding a/b (vehouding binnenstaal/buitenstaal) de spanningen en gafisch voostellen als functie van (i) de staal, (ii) de tek- of dukspanning a op de binnenand, en (iii) de tek- of dukspanning b op de buitenand. Vemits in dit geval de spanningen en pecies dezelfde zijn in vlakspanning en vlakvevoming, hoeft men de gafieken maa één kee op te stellen. 79

189 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4.6 stelt de spanningen en voo als e enkel een belasting a op de binnenand aangijpt, tewijl Figuu 4.7 de spanningen en voostelt als e enkel een belasting b op de buitenand aangijpt. Zoals uiteengezet in paagaaf.6.., kan men voo een gecombineede belasting van a op de binnenand en b op de buitenand het supepositiepincipe toepassen en de spanningen van beide afzondelijke belastingsgevallen optellen. 8

190 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4.6 Spanningen en voo een schijf met enkel belasting op de binnenand [9]. 8

191 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4.7 Spanningen en voo een schijf met enkel belasting op de buitenand [9]. 8

192 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4...d. Lange buis met vije uiteinden Tot hie toe weden twee gevallen beschouwd: (i) vlakspanning, en (ii) vlakvevoming. In geval van een lange buis met vij beweegbae uiteinden gaat geen van de twee ondestellingen op. Om in dit laatste geval de spanningen en vevomingen te bepalen, kan men echte een supepositie toepassen van twee afzondelijke belastingsgevallen: vlakvevoming, waabij zz = en zz wodt gegeven doo uitdukking (4.5). De spanningen en, de vevomingen en en de veplaatsing u () woden beekend met de fomules van vlakvevoming, een aiale belasting van de buis, waabij de spanning - zz in alle punten van de twee eindvlakken wodt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhoende vevomingen van dit belastingsgeval zijn: zz E zz (4.55) E zz zz E De bijhoende adiale veplaatsing u () kan dan eenvoudig beekend woden: a a b b () d (4.56) E a b u Supepositie van beide belastingsgevallen leidt dan tot zz = in de langsichting van de buis, tewijl de vevomingen van beide belastingsgevallen woden opgeteld. Het is belangijk op te meken dat de supepositie van beide belastingsgevallen dezelfde waade oplevet voo de spanningen en, de veplaatsing u () en de ek zz als in het geval van vlakspanning. Omdat de ek zz voo vlakspanning constant is in elke dwasdoosnede en dus elke dwasdoosnede vlak blijft, kunnen de veschillende dwasdoosnedes van een lange buis indedaad spanningsloos aan elkaa woden gezet. 83

193 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Voobeeld 4.3 Gegeven zijn twee dunne schijven met volgende afmetingen: mm 5 mm 7 mm Aluminium Staal De mateiaalpaametes zijn: aluminium: E 3, 7 GPa,3-6 / C staal: E, GPa,3-6 / C Gevaagd: a) als men de tempeatuu vehoogt van C naa 8 C, wat is dan de contactspanning tussen de aluminium schijf en de stalen schijf? b) als de tempeatuu gehandhaafd blijft op 8 C, welke bijkomende adiale dukspanning moet men opleggen aan de buitenand van de stalen schijf opdat de contactduk tussen de aluminium schijf en de stalen schijf pecies - MPa zou bedagen? (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 5 minuten) Radiaal tempeatuuveld Het tweede beschouwde belastingsgeval voo de aiaalsymmetische schijf met constante dikte h is een themische belasting T(). Opnieuw kan men ondescheid maken tussen (i) vlakspanning, en (ii) vlakvevoming a. Schijf in vlakspanning Ondestel opnieuw een schijf met constante dikte. Ditmaal wodt enkel een adiaal vaiëend tempeatuusveld T() opgelegd. Het is duidelijk dat de diffeentiaalvegelijking (4.9) voo het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maa het themisch effect zit nu vevat in de uitdukking voo de spanningen. 84

194 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Met behulp van vegelijkingen (4.3) en (4.3) voo vlakspanning vindt men onmiddellijk dat de spanningen en woden: E ( E ( du u E T ) d u du E T ) d (4.57) De diffeentiaalvegelijking (4.9) voo het evenwicht van een moot van de schijf kan dan gescheven woden in functie van de adiale veplaatsing u (): d u du u dt ( ) (4.58) d d d Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze diffeentiaalvegelijking is: C u () C ( ) T d (4.59) De spanningen en kunnen dan gescheven woden als: a E E C C E T d a C' C' E T d a E E C C E T d E T a C' C' E T d E T a (4.6) De andvoowaaden zijn ditmaal dat de binnenand en de buitenand vij zijn van spanning, zodat: voo = a: = voo = b: = Hiemee beekent men de waaden van de integatieconstanten: C' C' E b E b a a a b a b a T d T d (4.6) Na enig ekenwek vindt men voo de spanningen en volgende waaden: 85

195 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen E b E b a a a a b a b a T d E T d E a a T d T d E T (4.6) Voo de adiale veplaatsing vindt men: b a ( ) u () ( ) ( ) T d T d (4.63) b a a a Hoewel in vlakspanning zz =, is de ek zz niet nul. Deze kan beekend woden als volgt: zz ( E b ) T T d T b a (4.64) a Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = ), moet de veplaatsing u ( = ) = zijn. In de uitdukkingen voo en en u () volstaat het a = te stellen. Een voo de paktijk belangijke toepassing van deze theoie is de beekening van de themische spanningen in een schijf waabij de tempeatuu van de binnenwand T a T bedaagt en de tempeatuu van de buitenwand T b T. Hiebij is T de efeentietempeatuu waabij de schijf volledig spanningsloos is (kan veschillend zijn van C, bv. kametempeatuu). Als men deze tempeatuen oplegt aan de binnen- en buitenwand, zal zich na enige tijd een stationaie toestand instellen, waabij de tempeatuu T() een bepaalde vedeling volgt dooheen de dikte van de schijf. Deze vedeling kan men beekenen uit de wamtevegelijking voo een homogeen en isotoop lichaam [9]: t Q T c c T (4.65) waabij T de tempeatuu voostelt, t de tijd, de wamtegeleidingscoëfficiënt, c de sootelijke wamte, de sootelijke massa en Q de toegevoede wamte pe eenheid van tijd en pe eenheid van volume. Als de stationaie toestand is beeikt (T/t = ) en e geen wamte-toevoe of afvoe gebeut (Q = ), dan moet T. In cilindecoödinaten wil dit zeggen dat: T T T T z T T (4.66) De oplossing van deze diffeentiaalvegelijking is: 86

196 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 87 C ln C () T (4.67) De andvoowaaden zijn: = a: T = T a T = b: T = T b T De oplossing T() wodt dan: a b ln a ln T T T T () T a b a (4.68) waabij ondesteld wodt dat de schijf volledig spanningsloos is op de efeentietempeatuu T. Hiemee is: a a b a a T T a ln a a b ln a T T 4 d () T (4.69) Uitgewekt woden de vegelijkingen (4.6) dan: a ln a b ln a b b a a b ln T T E a ln a b ln a b b a a b ln T T E a b a b (4.7) De tem (T a T ) komt niet lange voo in de uitdukking voo de spanningen. Vemits de aiaalsymmetische schijf in vlakspanning vij kan uitzetten in alle ichtingen, induceet de constante tem (T a T ) immes geen bijkomende themische spanningen, zodat men voo de beekening van de spanningen (niet voo de veplaatsingen!) mag ekenen met het tempeatuuveld: a b ln a ln T T () T a b (4.7) Men kan nu opnieuw voo veschillende waaden van de vehouding a/b (vehouding binnenstaal/buitenstaal) de spanningen en gafisch voostellen als functie van (i) de staal, en (ii) het tempeatuuveschil T b T a. Figuu 4.8 stelt de spanningen en voo een aiaalsymmetische schijf in vlakspanning. In de volgende paagaaf wodt de themische belasting van een aiaalsymmetische schijf in vlakvevoming behandeld. Daauit zal blijken dat de spanningen en niet lange dezelfde zijn in vlakspanning en vlakvevoming.

197 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4.8 Spanningen en voo een schijf in vlakspanning met T = T a aan de binnenwand en T = T b aan de buitenwand [9]. 88

198 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4..3.b. Schijf in vlakvevoming Ondestel opnieuw een schijf met constante dikte. Opnieuw wodt enkel een adiaal vaiëend tempeatuuveld T() opgelegd. Het is duidelijk dat de diffeentiaalvegelijking (4.9) voo het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maa het themisch effect zit opnieuw vevat in de uitdukking voo de spanningen. Met behulp van vegelijkingen (4.6) en (4.45) voo vlakvevoming vindt men onmiddellijk dat de spanningen en woden: E du u E ( ) T ( )( ) d E u du E ( ) T ( )( ) d (4.7) De diffeentiaalvegelijking (4.9) voo het evenwicht van een moot van de schijf kan dan gescheven woden in functie van de adiale veplaatsing u (): d u du u dt (4.73) d d d Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze diffeentiaalvegelijking is: C u () C T d (4.74) De spanningen en kunnen dan m.b.v. (4.7) gescheven woden als: a E E E C C T d ( )( ) a E C' C' T d a E E E E C C T d ( )( ) a E E C' C' T d T a T (4.75) De andvoowaaden zijn ook hie dat de binnenand en de buitenand vij zijn van spanning, zodat: voo = a: = voo = b: = Hiemee beekent men de waaden van de integatieconstanten: 89

199 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen C' C' E E b a a b a b a b a T d T d (4.76) Na enig ekenwek vindt men voo de spanningen en volgende waaden: E E b b a a a a b E T d a b E T d a a a T d T d E T (4.77) Voo de adiale veplaatsing vindt men: b a u () ( ) T d T d (4.78) b a a a In geval van vlakvevoming bestaat e ook een nomaalspanning zz. Met behulp van vegelijking (4.4) kan deze spanning beekend woden als: zz E T (4.79) Met de gekende waaden voo en wodt deze uitdukking: b E E zz T d T b a (4.8) Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = ), moet de veplaatsing u ( = ) = zijn. In de uitdukkingen voo en en u () volstaat het a = te stellen. a Een voo de paktijk belangijke toepassing van deze theoie is de beekening van de themische spanningen in een dikwandige schijf waabij de tempeatuu van de binnenwand T a T bedaagt en de tempeatuu van de buitenwand T b T. Hiebij is T opnieuw de efeentietempeatuu waabij de schijf volledig spanningsloos is (kan veschillend zijn van C, bv. kametempeatuu). Zoals beekend in het geval van vlakspanning, beantwoodt de tempeatuusvedeling T() in stationaie toestand aan de volgende vegelijking: T() ln a a b a (4.8) b ln a T T T T 9

200 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 9 Ditmaal moet men de constante tempeatuu (T a T ) ook in ekening bengen voo de spanningen, omdat de de themische uitzetting in de langsichting van de buis vehinded wodt en dus ook een constante tempeatuustijging aanleiding zal geven tot een spanning zz. De integaal van het tempeatuuveld wodt dan opnieuw: a a b a a T T a ln a a b ln a T T 4 d () T (4.8) Uitgewekt woden de vegelijkingen (4.77) dan: a ln a b ln a b b a a b ln T T E a ln a b ln a b b a a b ln T T E a b a b (4.83) Gebuik makend van vegelijking (4.8) wodt de nomaalspanning zz : a a b zz T T E a ln a b ln a b b a b ln T T E (4.84) 4..3.c. Veband vlakspanning en vlakvevoming In het geval van een adiaal tempeatuuveld T() hebben de spanningen en niet dezelfde waade in vlakspanning en vlakvevoming voo de stilstaande schijf met constante dikte. Vegelijk daatoe de uitdukkingen (4.6) en (4.77). Zoals eeds vemeld in paagaaf 4...c, moeten twee voowaaden voldaan zijn opdat de spanningen in vlakvevoming en vlakspanning dezelfde zouden zijn: de volumekachten moeten afleidbaa zijn van een potentiaal V waavoo de laplaciaan V, de andvoowaaden op S T (spanningsvecto (n) ) en SU (voogescheven veplaatsingen) moeten dezelfde zijn in beide gevallen. Men kan aantonen dat het beschouwen van een tempeatuuveld mathematisch equivalent is met het in ekening bengen van de potentiaal van de volumekachten [6,9]. De spanningen en voo vlakspanning en vlakvevoming zouden dus dezelfde zijn als geldt dat: z T T T T T (4.85)

201 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Zoals aangetoond in paagaaf 4..3.a, is deze voowaade nochtans voldaan voo het speciaal geval van een stationai tempeatuuveld T() met T( = a) = T a en T( = b) = T b. Toch zijn de spanningen en voo vlakspanning en vlakvevoming zelfs in dit speciale geval niet dezelfde, omdat de tweede voowaade (nl. dezelfde andvoowaaden) niet vevuld is. Indedaad, op het eeste zicht lijken de andvoowaaden dezelfde: T( = a) = T a en T( = b) = T b. De andvoowaaden op S T moeten echte uitgedukt woden in functie van de spanningsvecto (n), zodat geldt: ( = a) = en ( = b) =. Deze andvoowaade is echte niet dezelfde, omdat pecies de tem die de tempeatuu bevat, veschilt voo in vlakspanning (zie vegelijking (4.3)) en vlakvevoming (zie vegelijking (4.6)) d. Lange buis met vije uiteinden In geval van een lange buis met vije uiteinden moet de aiale kacht N z vedwijnen op de uiteinden, zodat dit geval kan beschouwd woden als een supepositie van twee belastingsgevallen: vlakvevoming, waabij zz = en zz wodt gegeven doo uitdukking (4.8). De spanningen en en de vevomingen en woden beekend met de fomules van vlakvevoming. De aiale esulteende kacht N z van de spanningen zz wodt gegeven doo: N z d b a E zz E d b b a a b a T d T d d b a d E d b a T d (4.86) een aiale belasting van de buis, waabij de kacht -N z in alle punten van de twee eindvlakken wodt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhoende spanning zz van dit belastingsgeval is: zz N z E T b a b a b a d (4.87) Voo de lange buis met vije uiteinden is de totale spanning zz dus: b E E zz T d T b a (4.88) Het is belangijk op te meken dat deze fomule enkel geldt op voldoende afstand van de eindvlakken van de buis, want op de vije eindvlakken van de buis moet gelden: zz =. a 9

202 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Ditmaal vindt men bij supepositie van beide belastingsgevallen niet de oplossing van vlakspanning teug. Bij themisch belaste schijven in vlakspanning is de ek zz immes niet lange constant ove de dwasdoosnede, maa wel een functie van. Bij lange buizen ontstaat dus een spanning zz ten gevolge van de vehindede welving van de dwasdoosnedes. Voobeeld 4.4 Gegeven is een dunne stalen schijf, langs zijn buitenand geklemd in een stae wand: mm mm De binnenstaal van de schijf is mm, de buitenstaal mm. De eigenschappen van het staal zijn: E = GPa =,3 =, -6 / C Bij een omgevingstempeatuu van C is de stalen schijf spanningsloos. Als men aan de binnenand van de schijf een tempeatuu oplegt van 5 C en aan de buitenand een tempeatuu van C, wat is dan de contactspanning tussen de stalen schijf en de stae wand (die niet vevomt bij de vehoogde tempeatuu)? (Eamen ste zittijd AJ -3. Vooziene tijd: 35 minuten) 93

203 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Stappenplan voo de beekening van aiaalsymmetische schijven: 94

204 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN Spanningsconcentaties kunnen velelei oozaken hebben: plotse veandeingen in dwasdoosnede, zoals in de daad van een bout, aan de tanden van een tandwiel, bij gaten in platen en balken..., contactdukken op de plaats waa belastingen woden ingeleid in het mateiaal, zoals bij de oplegpunten van een balk, de contactpunten van de teinwielen met de ails, de contactpunten van tandwielen of kogellages, discontinuïteiten in het mateiaal zelf, zoals luchtpoositeiten in beton, knoesten in houten planken,..., initiële, ongelijkmatig vedeelde spanningen in het mateiaal t.g.v. koudwalsen, dieptekken of wamtebehandeling van metalen, kimp in gietijze of beton, lasbewekingen,..., Een belangijk pobleem is dit van de spanningsconcentatie ond een opening in een plaat. Degelijk geval komt zee veel voo in de paktijk en is afgebeeld in Figuu 4.9. Een dunne, vlakke plaat heeft een onde opening met staal a. Voldoende ve van de opening wodt een gelijkmatige tekspanning aangelegd. In de buut van de opening wil men nu de spanningsvedeling kennen. Als het een dunne, vlakke plaat beteft, kan men de plaat beekenen in vlakspanning. Bovendien kan men ovegaan op polaie coödinaten ( e e )., Figuu 4.9 Spanningsconcentatie aan een onde opening in een plaat [9]. Opnieuw gebuik makend van de elasticiteitslee, kan men aantonen dat de spanningen, en in de buut van de onde opening volgende waaden aannemen [9]: 95

205 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen a a cos 4 a a cos 3 a a sin a (4.89) Het veloop van de spanning in het vlak = is afgebeeld op Figuu 4.. Figuu 4. Veloop van de spanning in het vlak = [9]. In het punt = a, = neemt de gootste waade aan die één van de spanningscomponenten egens aanneemt, namelijk 3. De aanwezigheid van de opening leidt dus tot een plaatselijke vehoging van de spanning met een facto die. De spanning neemt zee snel af wannee men zich van de and van de opening vewijdet. Voo = a is nog slechts,, en voo = 3,55a is nog slechts,5. De vehoging van de spanning is dus bepekt tot een vij klein gebied. Op de and van de opening ( = a) woden de fomules (4.89) heleid tot: cos (4.9) 96

206 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Het veloop van ove de omtek van de onde opening is afgebeeld in Figuu 4.. In = en = vindt men de dukspanning = -, tewijl men in = een tekspanning = 3 aanteft. Figuu 4. Spanning op de and van de onde opening [9]. Degelijke spanningsconcentaties teden op bij allehande dwasdoosnedeveandeingen of plotse veandeingen van geometie. Voo vele paktijkgevallen zijn deze spanningsconcentaties beekend en getabelleed. Figuu 4. toont het voobeeld van een diagam, waa men voo bepaalde dwasdoosnedeveandeingen van een stalen as de spanningsconcentatiefacto kan aflezen. 97

207 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen Figuu 4. Voobeeld van beekende spanningsconcentatiefactoen voo een stalen as met een dwasdoosnedeveandeing [5]. Het is belangijk op te meken dat, hoe kleine de komtestaal van de uitspaing in de as, hoe gote de spanningsconcentatiefacto is. 98

208 Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische poblemen 4.4. REFERENTIES [] Hibbele, R.C. (997). Mechanics of mateials. New Jesey, Pentice Hall Intenational, Inc., 855 pp. [] Megson, T.H.G. (996). Stuctual and stess analysis. London, Anold Publishes, 64 pp. [3] Sieakowski, R.L. and Chatuvedi,S.K. (997). Dynamic loading and chaacteization of fibe-einfoced composites. New Yok, John Wiley & Sons, 5 pp. [4] Veheest, F. (993). Theoetische mechanica. Gent, Univesiteit Gent, Vakgoep wiskundige natuukunde en steenkunde, 95 pp. [5] Ohing, M. (995). Engineeing mateials science. San Diego, Academic Pess, 87 pp. [6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (999). Engineeing solid mechanics. Fundamentals and applications. Boca Raton, CRC Pess, 9 pp. [7] Bate Bown, J. McD. (973). Intoductoy solid mechanics. London, John Wiley & Sons Ltd, 434 pp. [8] Kaasudhi, P. (99). Foundations of solid mechanics. Dodecht, Kluwe Academic Publishes, 493 pp. [9] Vehegghe, B. (). Elasticiteit en Stektelee. Cusus academiejaa -. Gent, Univesiteit Gent. [] Fod, H. (963). Advanced mechanics of mateials. London, Longman Goup Ltd., 67 pp. [] Zaat, J.H. (974). Technische metaalkunde. Deel : Algemene metaalkunde. Amstedam, Elsevie, 7 pp. [] Zaat, J.H. (975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijze. Amstedam, Elsevie, 6 pp. [3] Case, J., Chilve, L. and Ross, C.T.F. (999). Stength of mateials and stuctues. London, Anold Publishes, 76 pp. [4] Filonenko-Boodich, M. (963). Theoy of elasticity. Moscow, Peace Publishes, 394 pp. [5] Boesi, A.P. and Sidebottom, O.M. (985). Advanced mechanics of mateials. Fouth edition. New Yok, John Wiley & Sons, 763 pp. [6] Mallick, P.K. (997). Composites Engineeing Handbook. New Yok, Macel Dekke Inc. [7] Degieck, J. (997). Mechanica van met vezels vestekte mateialen. Cusus, Gent, Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 57 p. 99

209 Hoofdstuk 5 Mechanische eigenschappen en Mateiaalmodellen In hoofdstuk wed het lineai elastisch gedag van (i) homogene isotope en van (ii) gehomogeniseede anisotope mateialen bespoken. E wed duidelijk aangetoond dat de definities van spanning en ek niet afhangen van de mateiaaleigenschappen en algemeen geldig zijn. De wet van Hooke daaentegen stelt een veband voo tussen spanning en ek, en dit veband is wel degelijk afhankelijk van de mateiaaleigenschappen. Voo een homogeen en isotoop mateiaal zijn dit de elasticiteitsmodulus E, de glijdingsmodulus G en de Poissoncoëfficiënt. Voo anisotope mateialen daaentegen zijn deze elastische eigenschappen veschillend in divese ichtingen. Andezijds wed met behulp van de tekpoef op staal in paagaaf. duidelijk aangetoond dat het lineai elastisch gebied slechts een zee bepekte zone voostelt in het volledige mateiaalgedag tot aan beuk. Toch is dit bepekt gebied van cuciaal belang voo het ontwep van de ovegote meedeheid van de ingenieustoepassingen, vandaa dat het volledige eeste hoofdstuk wed gewijd aan het lineai elastisch mateiaalgedag. In dit hoofdstuk wodt de blik veuimd en wodt ook het mechanisch gedag van mateialen buiten het lineai elastisch gebied bespoken. E wodt een ovezicht geboden van de veschillende bepoevingsmethodes en mateiaalmodellen om dit vaak complee mateiaalgedag te kaakteiseen én te simuleen. Bovendien zal blijken dat het vaak noodzakelijk is om de stategie inzake bepoeving en modelleing aan te passen aan het type mateiaal. Ingenieusmateialen zijn immes méé dan staal en beton. Stuctuele mateialen woden meestal ingedeeld in zes gote categoieën []: feo-legeingen (ijze, en alle legeingen op basis van ijze: staal, gietijze,...). De jaalijkse tonnage van ijze die doo de industie wodt vebuikt, bedaagt 9 % van de tonnage van alle metallische elementen. Bovendien is ijze het viede meest voohanden zijnde chemisch element op aade. De enegiekost voo de ontginning uit ijzeetsen is vij laag en de beschikbae eseves zijn nog aanzienlijk. Feo-legeingen vomen dan ook de belangijkste klasse van industiële mateialen. De belangijkste feo-legeingen zijn de legeingen van ijze met koolstof, waabij men ondescheid maakt tussen gietijze (mee dan % koolstof) en staal (koolstofgehalte tussen, % en %), non-feo-legeingen zijn alle metalen en hun legeingen die niet gebaseed zijn op ijze (kope, zilve, goud, aluminium, magnesium, titanium, nikkel, lood). Aangezien ijze goedkope is dan alle oveige metallische elementen, woden non-feo-legeingen slechts gebuikt voo eigenschappen die een (goedkopee) ijzelegeing niet kan leveen: hoge elektische en themische conductiviteit, goede weestand tegen coosie, hoge stekte/gewicht vehouding,... polymeen bevatten alleen niet-metallische elementen en zijn mateialen opgebouwd uit lange ketens van hoofdzakelijk koolstof en watestof. Het zijn meestal mateialen met een lage dichtheid en lage smeltpunten. Ze zijn gemakkelijk vevombaa en hebben een slechte themische en elektische geleidbaaheid,

210 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen composieten zijn mateialen die bestaan uit twee of meedee afzondelijke fasen. Voo ingenieusdoeleinden gaat het meestal om vezelvestekte kunststoffen, maa ook vezelvesteking van metalen en keamieken wodt steeds mee toegepast. Het gootste voodeel van deze mateialen is hun hoge stijfheid en stekte t.o.v. hun sootelijke massa. Eén van de natuulijke composietmateialen is hout met vezels van cellulose, keamische mateialen woden meestal gedefinieed als vebindingen van metallische elementen met niet-metallische elementen, die zich ofwel in een kistallijne of amofe toestand bevinden. De belangijkste keamische mateialen zijn de metaaloides (Al O 3, SiO, Na O) en cabides (SiC). Het zijn typisch hade en bosse mateialen, die een zee hoge tempeatuubestendigheid hebben. Het hadste keamische mateiaal is diamant, een monokistallijne toestand van zuivee koolstof. De belangijkste klasse van keamische mateialen zijn de glassooten (SiO ). De twee meest voohanden zijnde elementen op aade zijn immes pecies zuustof en silicium. In kistallijne vom speekt men van kwats, in amofe vom van glas. steen, beton en gewapend beton bestaan uit minealen. De laatste jaen zijn beton en gewapend beton de belangijkste constuctiemateialen gewoden, met een gotee jaalijkse tonnage dan staal en hout. Beton is een mengsel van cement, ganulaten en wate. Deze steenachtige mateialen hebben een bijzonde hoge dukstekte, maa hebben een (zee) lage tekstekte. Vandaa dat beton vaak vestekt wodt met een staalwapening die de nodige stekte in tek levet. Om het mechanisch gedag van elk van deze mateialen te kaakteiseen en de nodige paametes voo bv. de wet van Hooke te bepalen, zijn tal van bepoevingsmethodes ontwopen, die soms heel specifiek zijn voo de gekozen mateiaalklasse. De klassieke tekpoef is uiteaad één van de meest vespeide en gebuikte testmethodes, maa e bestaan nog tal van andee. In de volgende paagaaf woden deze bepoevingsmethodes kot bespoken, alsook de mateiaalpaametes die men uit deze poeven kan afleiden. 5.. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES Het belang van epeimentele kaakteiseing van het mateiaal valt niet te ondeschatten. Hoewel het computetijdpek toelaat om steeds mee mateiaaleigenschappen theoetisch te gaan schatten, zijn epeimenten onontbeelijk. Het belang van epeimentele testen kan oveigens zee vescheiden zijn: als kwalificatie van constuctiemateialen. Voo belangijke constucties (bv. vliegtuigbouw) wodt e eeds in de ontwepfase een uitvoeig ondezoek gevoed naa een bepekt aantal kandidaat-bouwmateialen, teneinde het mateiaal te kiezen dat het meest geschikt is voo het beoogde doel, voo het ontwep heeft men altijd bepaalde mateiaaleigenschappen nodig: stijfheid, stekte,... en deze woden bepaald uit mechanische poeven, de kwaliteitscontole bij de leveing van de mateialen (bv. van de aluminiumpoducent aan de vliegtuigbouwe) kan een aantal mechanische poeven omvatten. Meestal kent men in dit geval eeds de eigenschappen van het mateiaal, maa wil men deze opnieuw contoleen, de kwaliteitscontole van de poductie, waabij men via een aantal mechanische poeven nagaat of de mechanische eigenschappen van het gepoduceede mateiaal voldoen aan de minimumnomen.

211 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Voo mechanische poeven bestaan talijke nomen. De meeste bekende oganisaties voo nomalisatie zijn: - ISO = Intenational Standad Oganization - ASTM = Ameican Society fo Testing and Mateials - DIN = Deutsche Industie Nom - BS = Bitish Standads - EN = Euopean Nom - NBN = Nome Belge / Belgische Nom - AFNOR = Association Fançaise de NORmalisation Deze paagaaf geeft nu een ovezicht van de meest gebuikte testmethodes en de typische esultaten die zij opleveen Tek- en dukpoeven Eén van de belangijkste poeven is de tek- of dukpoef. Hoewel met deze poef vele belangijke mechanische eigenschappen van een mateiaal kunnen woden vastgesteld, wodt hij hoofdzakelijk gebuikt om de elatie tussen de spanning en de ek te bepalen in tal van constuctiemateialen, zoals metalen, keamiek, polymeen en composieten. De meeste hydaulische tekbanken kunnen een maimale tekkacht opleggen van kn. De klauwen, waain de uiteinden van het poefstuk woden gevat, zijn dan ook zee massief uitgevoed (zie Figuu 5.). Figuu 5. Hydaulische tekbank voo tekpoeven. Op basis van de gelijktijdige meting van kacht en velenging kan de spanning en haa bijhoende vevoming in de poefstaaf woden beekend en de esultaten vevolgens gafisch

212 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen woden weegegeven. Zoals eeds aangegeven in paagaaf., heet de komme die hieuit ontstaat, het spanning-ek diagamma, waabij: F A L L (5.) met A en L espectievelijk de oosponkelijke dwasdoosnede en lengte van de poefstaaf, en F en L de opgelegde kacht en daabij hoende velenging. Op basis van dit spanning-ek diagamma kan men mateialen gaan ondevedelen in twee gote klassen: (i) ductiele mateialen, en (ii) bosse mateialen. Ductiele mateialen kunnen zee gote vevomingen ondegaan voodat beuk opteedt. Deze zee gote ekken gaan uiteaad gepaad met een waaneembae vevoming van de dwasdoosnede en geven dus een zichtbae waaschuwing dat beuk kan opteden. Typische voobeelden van ductiele mateialen zijn zacht staal, aluminium en sommige van zijn legeingen, kope en vele polymeen. Bosse mateialen daaentegen vetonen slechts kleine vevomingen vóó beuk, met ekken die typisch kleine blijven dan 5 %. Deze mateialen kunnen vij plots bezwijken zonde enige zichtbae vevoming. Enkele voobeelden zijn beton, gietijze, hoge-stekte stalen, hout en keamieken. Figuu 5. geeft een schematisch voobeeld van het spanning-ek diagamma voo ductiele (links) en bosse (echts) mateialen. Figuu 5. Spanning-ek diagamma voo een ductiel (links) en bos (echts) mateiaal []. Een mooi voobeeld van het veschillend gedag bij beuk is getoond in Figuu 5.3. De foto s in de linkekolom tonen het ductiel beukgedag van zacht staal, tewijl de foto s in de echtekolom het bosse beukgedag van hoge-stekte staal tonen. 3

213 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.3 Beukpatoon voo ductiel zacht staal (links) en bos hoge-stekte staal (echts) [3]. Het spanning-ek diagamma van ductiele en bosse mateialen wodt nu mee in detail bespoken. 5...a. Ductiele mateialen Het meest bekende en gebuikte ductiel mateiaal voo ingenieusconstucties is uiteaad staal en de ondestaande bespeking geldt dan ook in de eeste plaats voo dit mateiaal. Voo ductiele mateialen gebuikt men haast altijd het conventioneel spanning-ek diagamma, waabij de spanning en ek gedefinieed woden doo de vegelijkingen (5.). Deze spanning en ek noemt men de nominale spanning en nominale ek. Pecies omwille van het ductiel gedag teedt e echte een aanzienlijke vevoming op van de oosponkelijke dwasdoosnede A tijdens de poef (zie Figuu 5.3 linkekolom). Men kan 4

214 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen daaom ook de spanning definiëen als de vehouding van de kacht tot de wekelijke doosnede A, en de ek als de ogenblikkelijke velenging dl t.o.v. de wae lengte L op dat ogenblik: w w F A Li L dl L ln L L i L L ln ln( ) L (5.) Deze spanning en ek noemt men de wae spanning en wae ek, en het spanning-ek diagamma heet dan het wae spanning-ek diagamma. Zoals blijkt uit de tweede vegelijking, is e een echtsteeks veband tussen de wae ek w en de nominale ek. Het veschil tussen het conventionele en het wae spanning-ek diagamma voo bv. zacht staal wodt duidelijk geïllusteed doo Figuu 5.4. Figuu 5.4 Conventioneel en waa spanning-ek diagamma voo zacht staal [4]. De ondeste cuve is het conventioneel spanning-ek diagamma, zoals eeds bespoken in paagaaf.. De bovenste cuve is het wae spanning-ek diagamma. In feite geeft de bovenste cuve op een mee coecte wijze wee hoe de spanning en ek in het mateiaal evolueen. Het is immes niet eg logisch dat, zoals uit het conventionele spanning-ek 5

215 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen diagamma blijkt, het mateiaal zou beken bij een lagee spanning dan de piekspanning. Dit is niet het geval voo het wae spanning-ek diagamma, waa de piekspanning indedaad samenvalt met de beukspanning. Hoewel het wae spanning-ek diagamma dus in feite coecte is, wodt het toch zelden gebuikt in de ingenieuspaktijk. Het conventionele spanning-ek diagamma is algemeen aanvaad als de standaad-voostellingswijze voo een tekpoef. Als men nu het conventionele spanning-ek diagamma voo staal van dichtebij bestudeet, kan men gosso modo vie fasen ondescheiden in het mateiaalgedag: (i) elastisch gedag, (ii) vloeien, (iii) vesteviging en (iv) insnoeing. Elastisch gedag De poefstaaf gedaagt zich elastisch als deze tot zijn oosponkelijke vom of lengte teugkeet wannee de belasting die eop wekt, wodt weggenomen. In het gootste gedeelte van het elastisch gebied is de spanning-ek komme duidelijk een echte lijn. De spanning is dus evenedig met de vevoming en het mateiaal gedaagt zich lineai elastisch. De bovenste spanningsgens voo deze lineaie elatie wodt de evenedigheidsgens of popotionaliteitsgens pop genoemd. Als de spanning de evenedigheidsgens iets oveschijdt, gedaagt het mateiaal zich nog steeds elastisch, maa de spanning-ek komme wodt vlakke. Dit wil zeggen dat bij een toename van de spanning de vevoming elatief steke toeneemt. Dit gaat doo tot de spanning de elasticiteitsgens beeikt. Vloeien Een lichte toename van de spanning boven de elasticiteitsgens esulteet in kwaliteitsvemindeing van het mateiaal en zogt voo blijvende vevoming. Dit gedag wodt vloeien genoemd en de spanning die vloeien veoozaakt, wodt de vloeispanning v genoemd. De blijvende vevoming die opteedt, heet de plastische vevoming. In tegenstelling tot een elastische belasting zal een belasting die het mateiaal doet vloeien, de eigenschappen van het mateiaal pemanent veandeen. Het is hiebij belangijk op te meken dat Figuu 5.4 niet op wae schaal is getekend. De doo het vloeien opgewekte vevomingen zijn tot 4 kee zo goot als de tot aan de elasticiteitsgens vookomende vevomingen. Tijdens het vloeien wodt het mateiaal vaak pefect plastisch genoemd, omdat de vevoming blijft toenemen onde nagenoeg constante spanning. Vesteviging Na het vloeien teedt een fase van vesteviging op, waabij de spanning-ek komme teug begint te stijgen tot ze uiteindelijk de tekstekte tek beeikt. De stijging in de spanning-ek komme wodt vesteviging genoemd. Geduende deze fase neemt de oppevlakte van de dwasdoosnede af bij velenging van de poefstaaf, máá deze afname van de oppevlakte is ove de hele meetlengte nagenoeg constant! Insnoeing Bij vedee vehoging van de belasting begint de spanning te dalen en begint de oppevlakte van de dwasdoosnede af te nemen op één plaats in de poefstaaf, niet ove de hele lengte. Hiedoo ontstaat in dit gebied, naamate de poefstaaf vede wodt velengd, een vesmalling of insnoeing. Omdat de oppevlakte van de dwasdoosnede in dit gebied steeds kleine wodt, kan de kleinee oppevlakte ook maa een steeds afnemende belasting dagen. Hiedoo daalt de spanning-ek komme tot de poefstaaf beekt op het punt van de beukspanning beuk. 6

216 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Voo zacht staal woden hieonde een paa waaden gegeven te illustatie: pop v tek beuk 4 MPa 48 MPa 434 MPa 34 MPa pop v tek beuk,,3,,38, % 3, %, % 38, % (5.3) Het zacht staal gedaagt zich lineai elastisch tot de evenedigheidsgens pop wodt beeikt bij 4 MPa. De bijhoende vevoming pop bedaagt, [-]. Daauit kan de elasticiteitsmodulus E beekend woden als / = GPa. Na een kleine toename tot de elasticiteitsgens begint het vloeien bij een nagenoeg constante spanning v = 48 MPa. De fase van het vloeien eindigt bij een ek v =,3, of 5 maal mee dan de maimale vevoming in het lineai elastisch gebied. Na het vloeien teedt de fase van vesteviging op tot de tekstekte tek = 434 MPa wodt beeikt. Intussen is de ek opgelopen tot, of %. Uiteindelijk bezwijkt het staal aan een beukspanning beuk = 34 MPa en een velenging van 38 %! In de ingenieuspaktijk zal men echte bijna altijd aannemen dat de evenedigheidsgens, de elasticiteitsgens en de vloeigens samenvallen. Men ekent voo het ontwep dan met twee belangijke waaden: (i) de vloeigens, en (ii) de tekstekte. Als een poefstaaf van een ductiel mateiaal wodt belast in het plastisch gebied en de belasting daana wodt opgeheven, wodt de elastische vevoming ongedaan gemaakt. Dit wodt geïllusteed doo Figuu 5.5. De poefstaaf wodt eest belast voobij de vloeigens A tot het punt A. Aangezien e inteatomaie kachten moeten ovewonnen woden om de poefstaaf elastisch te velengen, tekken deze zelfde kachten de atomen wee naa elkaa toe wannee de kacht wodt opgeheven. Bijgevolg is de elasticiteitsmodulus E dezelfde en dus is de helling van de lijn O A bij ontlasten gelijk aan die van de lijn OA. Figuu 5.5 Belasten en ontlasten in het plastisch gebied [4]. 7

217 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Als de belasting opnieuw wodt aangebacht, teedt pas vloeien op voobij het punt A. Dit nieuwe spanning-ek diagamma, gedefinieed doo O A B, heeft een hogee vloeigens als gevolg van de vesteviging. Met andee wooden: het mateiaal heeft nu een gote elastisch gebied, maa is wel minde ductiel dan in zijn oosponkelijke staat. Bij sommige metalen, zoals aluminium, kan men geen duidelijke vloeifase en vestevigingsfase ondescheiden. In dat geval bepaalt men vaak de vloeigens op een conventionele manie (zie Figuu 5.6). Meestal wodt een vevoming van, % ( =,) gekozen en tekt men vanaf dit punt op de -as een lijn evenwijdig aan het eeste, echtlijnige gedeelte van het spanning-ek diagamma. Het punt waa deze lijn de komme snijdt, geeft bij conventie de vloeigens aan. Uit de gafiek in Figuu 5.6 volgt een vloeigens, = 35 MPa. Fysisch betekent dit dat als men het mateiaal belast tot 35 MPa en nadien ontlast, e een pemanente ek van, % oveblijft. Figuu 5.6 Definitie vloeigens voo aluminiumlegeingen [4]. Bij enkele mateialen valt e zelfs geen evenedigheidsgens te definiëen. Dit is bv. het geval voo ubbe, waa e geen lineai veband bestaat tussen spanning en ek. In plaats hievan vetoont het mateiaal een niet-lineai elastisch gedag, zoals de tekpoef op ubbe in Figuu 5.7 weegeeft. 8

218 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.7 Spanning-ek diagamma voo ubbe [4]. 5...b. Bosse mateialen Bosse mateialen vloeien nauwelijks of niet, alvoens ze bezwijken. De beuk begint vaak bij een onvolkomenheid of micoscopisch scheutje in het mateiaal en vespeidt zich dan snel dooheen het volledige mateiaal. Als gevolg van deze vom van bezwijken hebben bosse mateialen geen goed gedefinieede beukspanning bij tekbelasting, omdat scheutjes in een poefstaaf heel willekeuig opteden. Daaom bepaalt men de gemiddelde beukspanning in het algemeen uit een gotee eeks tekpoeven. Vegeleken met hun gedag in tek, hebben bosse mateialen vaak een veel hogee weestand in duk. De aanwezige scheutjes woden dichtgedukt en de vevoming bij beuk is veel gote. Een typisch spanning-ek diagamma voo gietijze is getoond in Figuu 5.8. Figuu 5.8 Spanning-ek diagamma voo gietijze [4]. 9

219 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.9 toont het spanning-ek diagamma voo beton. Duidelijk is te zien dat de maimale dukstekte van beton bijna,5 kee zo goot is als de tekstekte, duk,ma = 34,5 MPa tegenove tek,ma =,76 MPa. Om deze eden woden stuctuen in beton zodanig ontwopen dat zij vooal in duk belast woden. De zones van het beton die in tek woden belast, woden vaak vestevigd met stalen wapeningsnetten die de tekspanningen opvangen. Figuu 5.9 Spanning-ek diagamma voo beton [4]. Het is belangijk te vemelden dat de bepoevingsmethode vaak dient aangepast te woden aan het type mateiaal dat men wenst te bepoeven. Zo hebben vezelvestekte composieten vaak slechts een totale dikte van à 5 millimete. Doo deze kleine dikte en de geinge stijfheid in de dikteichting, knikt het poefstuk gemakkelijk uit onde dukbelastingen. Vandaa zijn speciale anti-knikgeleidingen ontwopen voo het bepalen van de dukstekte van composietmateialen. Een voobeeld is weegegeven in Figuu 5.. Figuu 5. Dukpoef voo composietmateialen [5].

220 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Voo anisotope mateialen zoals vezelvestekte composieten moet men touwens de tek- en dukpoeven uitvoeen in veschillende ichtingen, omdat de stekte-eigenschappen veschillend zijn in de ichting van de vezelvesteking en loodecht eop. 5...c. Ovegangen van bos naa ductiel gedag en vice vesa De classificatie tussen bosse en ductiele mateialen moet met de nodige omzichtigheid gehanteed woden. Eénzelfde mateiaal kan zich immes ductiel of bos gedagen, naagelang de samenstelling of omgevingsfactoen. Staal bijvoobeeld, heeft een bos gedag wannee het een hoog koolstofgehalte heeft en wodt ductiel als het weinig koolstof bevat. De schematische spanning-ek diagamma voo veschillende koolstofgehaltes zijn weegegeven in Figuu 5.. Figuu 5. Spanning-ek diagamma voo staal met veschillende koolstofgehaltes [4]. Vede woden mateialen bij lagee tempeatuen bosse, tewijl ze ductiele woden wannee de tempeatuu stijgt. Figuu 5. toont dit effect voo een methacylaat-kunststof. Figuu 5. Spanning-ek diagamma voo een methacylaat-kunststof bij veschillende tempeatuen [4].

221 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5...d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieusmateialen Uit de tek- en dukpoeven kan men eeds heel wat belangijke paametes voo het ontwep distilleen: de elasticiteitsmodulus, de vloeigens, de tekstekte, de beukek,... In Tabel 3. woden de mechanische eigenschappen opgesomd voo een aantal mateialen die vaak vookomen in ingenieustoepassingen. Tabel 3. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieusmateialen [6]. Hieuit kan men eeds een aantal globale conclusies tekken: de tekstekte van staal ligt veel hoge dan deze van kunststoffen. Andezijds kan de beukstekte van vezelvestekte kunststoffen enkele malen hoge zijn dan deze van staal. De beukspanning in tek van beton is zee laag, de beukek van zacht staal is gote dan deze van hoge-stekte stalen, omdat zacht staal ductiele is. De velenging van de meeste kunststoffen bij beuk ligt nog een stuk hoge dan deze van de ductiele staalsooten, de stijfheid van staal en andee metaallegeingen is in dezelfde gootte-ode als deze van vezelvestekte kunststoffen, maa de stijfheid van beton en kunststoffen is vele malen lage, zoals eeds hoge vemeld, zijn vezelvestekte kunststoffen vij licht. De vehouding van tekstekte en stijfheid tot sootelijke massa is voo deze mateialen dan ook de beste, kunststoffen vetonen een zee gote themische uitzetting t.o.v. de andee ingenieusmateialen.

222 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5... Buigpoeven Het testen van bosse mateialen (bv. beton) in tek is niet eenvoudig. Zo beekt het poefstuk soms bij de bevestiging evan in de klauwen van de poefmachine. Daaom woden bosse mateialen vaak bepoefd in buiging, waabij twee configuaties gebuikt woden: (i) diepuntsbuiging, en (ii) vie-puntsbuiging. Figuu 5.3 toont een schematische voostelling van beide configuaties. Figuu 5.3 Die- en viepuntsbuiging van bosse mateialen []. Toch blijft de intepetatie van de esultaten niet altijd eenvoudig. Het mateiaal wodt immes aan de bovenzijde belast in duk en aan de ondezijde belast in tek. Als de elasticiteitsmodulus E veschillend is in tek en duk, of het mateiaal gedaagt zich niet lineai elastisch, zijn de esultaten van buigpoeven moeilijk te intepeteen Afschuifpoeven Om het gedag in afschuiving van het mateiaal te ondezoeken en de glijdingsmodulus (of glijdingsmoduli) te bepalen, woden afschuifpoeven uitgevoed. Figuu 5.4 toont een schematische voostelling van een afschuifpoef. 3

223 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.4 Afschuifpoef []. Een tweede type afschuifpoeven gebeut doo tosie van een dunwandige cilinde. Zoals aangetoond in paagaaf.5, bestaat e bij tosie of winging van een staaf in elke dwasdoosnede een zuivee schuifspanningstoestand. Op die manie kan men het gedag in afschuiving bestudeen. Om de afschuifstekte S van een composietmateiaal te bepalen, gebuikt men vaak de ail shea test. Figuu 5.5 toont een paktische uitvoeing van deze test, waabij de linke- en echtekolom het poefstuk inklemmen en de middenste kolom in de veticale ichting kan veplaatst woden. Figuu 5.5 Paktische uitvoeing van de ail shea test [7] Hadheidspoeven De hadheid van een mateiaal wodt gedefinieed als de weestand van het mateiaal tegen het indingen van een hade mateiaal. Bij alle metalen, maa in het bijzonde bij staallegeingen, kan de hadheid binnen bede genzen vaiëen, afhankelijk van de samenstelling, poductiemethode en nabehandelingen. Hadheidsmetingen woden zee vaak uitgevoed en kunnen aan het wekstuk zelf woden veicht, zonde dat e een apat poefstuk moet woden vevaadigd. 4

224 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen In het begin van de twintigste eeuw zijn een dietal methodes voo statische hadheidsmeting ontwikkeld: hadheidsmeting volgens Binell, hadheidsmeting volgens Vickes, hadheidsmeting volgens Rockwell. De die methodes ondescheiden zich van elkaa doo de keuze van het indinglichaam, de bepoevingsbelasting en de gekozen meetwaade. Omdat elke methode zijn eigen toepassingsgebied heeft, woden de die methodes ook nu nog naast elkaa toegepast. Het pincipe is echte voo de die methodes dezelfde: een indinglichaam wodt met een bepaalde kacht in het wekstuk gedukt. Van die (blijvende) indukking wodt een meetwaade afgelezen die een maat is voo de hadheid. Aangezien deze blijvende indukking in feite een plastische vevoming is, is de hadheid voonamelijk een maat voo de weestand tegen plastische vevoming. Men vewacht dan ook een min of mee lineai veband tussen de hadheid en de vloeigens van het mateiaal: hoe hoge de vloeigens van het mateiaal, hoe kleine de pemanente vevoming en dus hoe hoge de hadheid. Dit lineai veband bestaat indedaad, maa gaat enkel op voo metalen. Dit veband gaat niet op voo keamische mateialen, omdat de vloeigens van keamische mateialen paktisch samenvalt met de tekstekte: zoda het mateiaal begint te vevomen, beekt het a. Hadheidsmeting volgens Binell Figuu 5.6 toont schematisch het pincipe van de hadheidsmeting volgens Binell. Als indinglichaam wodt gekozen voo een geslepen kogel van gehad staal. De kogeldiamete hangt af van de plaatdikte, want het is niet toelaatbaa dat de ondezijde van de plaat vevomt doo de indukking van de kogel. De gootte van de bepoevingsbelasting is gestandaadiseed en getabelleed voo veschillende metalen. Figuu 5.6 Schematisch pincipe van de hadheidsmeting volgens Binell. 5

225 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De meetwaade, afgeleid uit de hadheidspoef, is de oppevlakte A van de indukking. Dit is dus in feite de oppevlakte van een bolsegment. De hadheid HB volgens Binell wodt dan gedefinieed als:, F,4 F HB (5.4) A D D D d waabij F wodt uitgedukt in Newton en A in mm. De omekenfacto, heeft een zuive histoische eden. Voege dukte men de kacht uit in kgf (kilogamfoce), tewijl men nu de intenationale eenheid N (Newton) gebuikt ( kgf = kg 9,8 m/s = 9,8 N). Typische hadheden liggen tussen en 35 HB. De hadheidsmeting volgens Binell is niet geschikt voo zee hade mateialen of voo dunne oppevlaktelagen b. Hadheidsmeting volgens Vickes Bij de hadheidsmeting volgens Vickes wodt een stompe, viezijdige piamide uit diamant gebuikt als indinglichaam. De diamant is gevoelig voo stoten en daadoo minde geschikt voo uwe bedijfsomstandigheden dan de Binell kogel. Daaentegen kunnen met de diamant de hadste mateialen woden bepoefd. De definitie van de hadheid volgens Vickes is dezelfde als deze volgens Binell:, F HV (5.5) A waabij A ditmaal de manteloppevlakte van de indukking voostelt, uitgedukt in mm. De Vickes hadheidsmeting kan woden toegepast op mateialen met zee veschillende hadheden, ook op zee hade mateialen zoals gesintede cabiden. Ook zee dunne en hade oppevlaktelagen kunnen woden bepoefd c. Hadheidsmeting volgens Rockwell De hadheidsmeting volgens Rockwell gebeut met een diamanten kegel met een stompe tophoek van. In tegenstelling tot de hadheden volgens Binell en Vickes, wodt de hadheid volgens Rockwell niet beekend uit het quotiënt van poefbelasting en oppevlakte van de indukking, maa wel echtsteeks uit de gemeten indingdiepte. De Rockwell hadheid HRC is omgekeed evenedig met de indingdiepte t b (mm): HRC 5 (5.6) t b Dit eenvoudig veband is voogesteld in Figuu

226 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.7 Veband tussen indingdiepte t b en Rockwell hadheid HRC Kuippoeven Wannee een mateiaal geduende lange tijd belast wodt met een constante spanning, kan de vevoming tijdens de belastingstijd gaan toenemen. Dit veschijnsel noemt men kuip. Een constante spanning teedt bv. op bij belasting van het mateiaal met een bepaald gewicht. Ook bij vehad beton is kuip zeke een niet te vewaalozen fenomeen. Onde invloed van kuip neemt de doobuiging van betonelementen in de loop van de tijd toe, en neemt de voospankacht in voogespannen betonelementen af. Het complementaie geval bestaat ein dat de spanning in een mateiaal gaat afnemen, wannee het lange tijd met dezelfde vevoming wodt belast. Dit laatste veschijnsel heet elaatie. Relaatie teedt vaak op bij machineondedelen, bv. bouten die onde een voospanning staan of ondedelen die ingepest zijn. Beide veschijnselen woden geïllusteed in Figuu 5.8. Links staat het veloop in de tijd van spanning en ek afgebeeld voo kuip, echts voo elaatie. Figuu 5.8 Veloop van spanning en ek voo (a) een kuippoef en (b) een elaatiepoef. Bij metalen teedt kuip meestal slechts op bij hoge tempeatuen. Een voobeeld is de Concode. Doo de supesonische snelheid en het enome vemogen van de motoen wodt het aluminium fame van het vliegtuig ondewopen aan tempeatuen tot 7 C. De combinatie van deze hoge tempeatuen met wekspanningen van 76 MPa leidt tot kuip tijdens het vliegen. Voo een ontweplevensduu van uen laten de ontwepes een kuip toe van, %. Kunststoffen en composieten daaentegen vetonen eeds kuipgedag bij kametempeatuu. 7

227 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Het esultaat van kuippoeven wodt op vele manieen voogesteld. Een eeste voostellingswijze zijn de tijd-ekkommen, voo veschillende waaden van de constante spanning. Deze zijn afgebeeld in Figuu 5.9(a). Figuu 5.9 Het kuipgedag voogesteld als (a) tijd-ekkommen, (b) isometische kommen, en (c) isochone kommen. Met de gegevens van de gafiek in Figuu 5.9(a) kan men de tijd-spanning-lijnen constueen in Figuu 5.9(b). Daain leest men af bij welke spanning in een ondedeel na een bepaalde tijd t een voogescheven ek (in %) niet wodt ovescheden. De bovenste lijn in de gafiek geeft de stekte wee in de tijd, d.w.z. de spanning die na een tijd t tot beuk leidt. Deze tijdspanning-lijnen noemt men isometische kommen. Nog een andee weegave voo het kuipgedag zijn de spanning-ek-kommen, zoals afgebeeld in Figuu 5.9(c). Zij geven het veband tussen spanning en ek voo veschillende waaden van de belastingstijd. Deze kommen noemt men de isochone kommen. Het uitvoeen van degelijke poeven vegt heel veel tijd. Dit is duidelijk als men bedenkt dat een tijd van 3 uen oveeenkomt met bijna 4 dagen. Zoals hoge aangegeven, speelt ook de tempeatuu een belangijke ol in het kuipgedag. Figuu 5. toont de isochone spanning-ek-kommen met invloed van de tempeatuu voo de glasvezelvestekte kunststof polyamide PA6. 8

228 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5. Isochone spanning-ek-kommen voo PA6 met 3 % glasvezel. In het echtegedeelte van de gafiek staan de isochone spanning-ek-kommen afgebeeld voo veschillende belastingstijden bij kametempeatuu. Om de invloed van toenemende tempeatuu wee te geven, woden in het linkegedeelte van de gafiek kommen van constante spanning voogesteld in functie van de tempeatuu. Bij kametempeatuu vallen de eindpunten van deze kommen samen met de odinaat van de spanning, voo hogee tempeatuen leest men de gafiek als volgt: als het composiet bij C belast wodt met een constante spanning van MPa, dan zal de ek na uen oplopen tot,5 %. Te vegelijking: als men diezelfde kuippoef uitvoet bij kametempeatuu, is de ek na uen slechts, % Vemoeiingspoeven Het is een vaststaand feit dat mateialen een hogee spanning kunnen vedagen bij een statische belasting dan bij een cyclische belasting. Onde een peiodiek wisselende belasting kunnen mateialen na een langee of kotee tijd beken bij een veel lagee spanning dan de statische beukspanning. Deze vom van beuk noemt men een vemoeiingsbeuk. Cyclische belastingen komen heel vaak voo in de paktijk: windbelasting op wieken van windmolens, scheepsmasten en hoge staalconstucties, daaiende ondedelen van motoen en wektuigkundige machines, otobladen van helikoptes,... Hoewel tijdens cyclische belasting de spanning in het gootste deel van de constuctie ve beneden de vloeigens blijft, zijn e vaak lokale spanningsconcentaties aan keven, scheuen of defecten in het mateiaal. Ook bij lassen woden e vaak fouten geïntoduceed in het mateiaal. Vaak zijn het deze initiële scheutjes die onde invloed van de cyclische belasting langzaam vede aangoeien en uiteindelijk leiden tot beuk van de hele constuctie. 9

229 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De keuze van de opgelegde belasting in een vemoeiingspoef is een moeilijk pobleem. De belastingen op de eële constuctie kunnen een heel gillig veloop vetonen in de tijd. Figuu 5. toont het epeimenteel opgemeten spanningsveloop in de vleugel van een vliegtuig tijdens een gond-lucht-gond manoeuve. Figuu 5. Nomaalspanning in de vleugel bij een gond-lucht-gond manoeuve [8]. Een degelijke bepoeving nabootsen in het laboatoium, wodt zelden gedaan en wel om volgende edenen: vele sevo-hydaulische vemoeiingsmachines zijn niet in staat degelijke complee spanningsvelopen op te leggen, degelijke vemoeiingspoeven zijn zee duu en tijdovend, in vele gevallen kent men zelfs het wae veloop van de spanningen in de belaste constuctie niet. Daaom wodt de wekelijke belasting vaak veeenvoudigd tot een constante-amplitude belasting met sinusoïdaal veloop. Een typisch spanningsveloop is getoond in Figuu 5.. Figuu 5. Cyclische belasting op poefstaaf. Hiebij zijn volgende spanningen van belang: de maimale spanning h, de minimale spanning l,

230 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen de gemiddelde spanning de spanningsamplitude de spanningsvehouding h l m, h l a, R l. h Hiebij kunnen de maimale en minimale spanning hetzelfde teken hebben (tek-tek of dukduk), of een veschillend teken (tek-duk). Men kan een dietal sooten vemoeiingspoeven ondescheiden: poeven op foutvije, glad gepolijste poefstaven, poeven op poefstaven met boingen, doosnedeveandeingen,... poeven op afzondelijke of gecombineede constuctie-ondedelen a. Poeven op foutvije, glad gepolijste poefstaven Tijdens deze poeven wodt een foutvije poefstaaf ondewopen aan een tek-, duk-, buigof tosiebelasting. Hoewel de daamee gepaad gaande spanningen in een eële constuctie een zee gillig veloop in de tijd kunnen hebben, legt men in het laboatoium vaak zee eenvoudige sinusoïdale signalen aan. Bij de meeste vemoeiingspoeven is men vooal geïnteesseed in het aantal cycli tot beuk N f bij een zekee spanningsamplitude a. Men voet dan vemoeiingspoeven uit bij veschillende spanningsamplitudes en meet telkens het aantal cycli tot beuk. Het veband tussen spanningsamplitude en aantal cycli tot beuk wodt uitgezet in de zogeheten Wöhlekomme of S-N cuve. Figuu 5.3 toont een typische Wöhle-komme voo een staallegeing. Figuu 5.3 Voobeeld van een Wöhle-komme voo een staallegeing [9].

231 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De abscis bevat het aantal cycli tot beuk. Deze waaden woden vaak uitgezet in een logaitmische schaal. De odinaat bevat de spanningsamplitude (hie genomaliseed t.o.v. de statische tekstekte). Voo een voldoend lage spanningsamplitude is de levensduu in vemoeiing zéé goot. Deze ondegens voo de spanning noemt men de vemoeiingsgens (Eng: fatigue limit, enduance limit). Men ondestelt dat e beneden deze spanningsamplitude geen schade doo vemoeiing opteedt. Deze ondegens bestaat echte niet voo alle mateialen, zoals geïllusteed doo Figuu 5.4. Deze figuu toont de S-N cuve voo een aluminium legeing. Zelfs voo zee lage spanningsamplitudes blijft de S-N cuve dalen. Figuu 5.4 S-N cuves voo een aluminiumlegeing met aanduiding van de ovelevingskans [8]. Op deze figuu valt ook een andee belangijke eigenschap van vemoeiingspoeven af te lezen, nl. de speiding op de poefesultaten. Ondanks alle zog die men bij het uitvoeen van de poef aan de dag legt, is speiding een onvemijdelijk fenomeen bij vemoeiingspoeven. Daaom woden in Figuu 5.4 die cuves uitgezet, waabij bv. de % cuve aangeeft dat slechts % van de poefstaven een langee levensduu heeft dan deze die op de cuve af te lezen valt. Voo het ontwep gebuikt men uiteaad de ondeste cuve die de meest consevatieve aannames doet. Zoals eeds hoge vemeld, zijn de cyclische belastingen die aangijpen op eële constucties, veel gillige dan de sinusoïdale spanning met constante amplitude in labotesten. Om enigszins tegemoet te komen aan dit pobleem, woden soms testen uitgevoed met blokbelastingen. Zoals getoond in Figuu 5.5, wodt de gemiddelde spanning en de spanningsamplitude in elk blok aangepast, maa binnen elk blok blijft de spanning sinusoïdaal met constante amplitude.

232 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.5 Blokbelastingen [9]. Toch zal men vaak pobeen om de levensduu onde blokbelastingen en mee algemeen, onde vaiabele-amplitude belastingen, te voospellen uitgaande van gekende epeimentele esultaten van constante-amplitude testen. Een zee eenvoudige voospellingsegel wed vooopgesteld doo Mine. Hij stelt dat e tijdens een constante-amplitude vemoeiingstest schade ontwikkelt in het mateiaal en dat deze schade D lineai toeneemt met de levensduu. De schade D is nul aan het begin van de vemoeiingstest en wodt één bij beuk: N D (5.7) N f waabij N het aantal opgelegde belastingscycli is en N f het (epeimenteel bepaalde) aantal cycli tot beuk bij een bepaalde spanningsamplitude. Wannee nu sequentieel veschillende spanningsniveaus woden aangelegd, is de schade voo elk spanningsniveau gelijk aan de vehouding N/N f voo dat spanningsniveau, zodat: D N N i D D... Di... (5.8) N f, N f, N f,i N Volgens de egel van Mine bezwijkt het mateiaal als de totale schade gelijk aan één wodt. Deze egel wodt nog steeds vaak toegepast, maa men moet e heel omzichtig mee omspingen. Het is eeds vaak gebleken dat de epeimenteel bepaalde levensduu onde 3

233 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen blokbelastingen of vaiabele-amplitude belastingen kote is dan de levensduu, voospeld doo de Mine-egel. Dit is uiteaad een onveilige situatie. Deze onveilige schattingen zijn te wijten aan een aantal simplistische veondestellingen in de egel van Mine: Mine ondestelt een lineaie toename van de schade tijdens de levensduu. Vaak goeit de schade echte zee langzaam tijdens het gootste deel van de levensduu en vesnelt pas aan het einde van de levensduu, in de egel van Mine maakt het niet uit in welke volgode de veschillende spanningsniveaus woden aangebacht. Voo vele vezelvestekte composietmateialen is de levensduu onde een laag-hoog sequentie van de spanning echte veschillend van de levensduu onde een hoog-laag sequentie van de spanning, de egel van Mine ondestelt dat e geen inteactie is tussen de teweeggebachte schade doo de veschillende spanningsniveaus. In paktijk wodt de aangoei van de schade echte vaak beïnvloed doo de eeds aanwezige schade van voige spanningsniveaus b. Poeven op poefstaven met boingen, doosnedeveandeingen,... In hoofdstuk wed aangetoond dat e spanningsconcentaties ontstaan ond een opening in een plaat, en mee algemeen bij doosnedeveandeingen, boingen, enz. Wannee de constuctie belast wodt in vemoeiing, zal de spanningsamplitude in de buut van de gaten, boingen of doosnedeveandeingen in de constuctie gote zijn dan de spanningsamplitude in de andee delen van de constuctie, pecies omwille van het effect van de spanningsconcentatie. Daaom zal men ook poefstaven maken met gaten, boingen, doosnedeveandeingen,... en de invloed daavan op de levensduu ondezoeken. Figuu 5.6 toont een aantal mogelijke configuaties voo vemoeiingspoeven met spanningsconcentaties. Bewust aangebachte uitboingen of doosnedeveandeingen zogen voo een vehoogde spanning in deze zones, zodat het vemoeiingsgedag beïnvloed wodt. 4

234 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.6 Veschillende vemoeiingspoeven met spanningsconcentaties []. In vele constucties zijn bovendien initiële scheutjes aanwezig, geïnduceed doo lasfouten, insluitsels in het mateiaal, themische spanningen, poductiefouten,... Als deze initiële scheutjes gelegen zijn in zwaa belaste zones van de constuctie, kunnen zij de levensduu in vemoeiing dastisch doen dalen. Daaom woden soms ook poefstaven vevaadigd waain met een diamantschijf een zaagsnede wodt ingebacht. Nadien wodt opgevolgd hoe de opzettelijk aangebachte kef goeit in vemoeiing c. Poeven op afzondelijke of gecombineede constuctie-ondedelen Poeven op constuctie-ondedelen zijn duu en tijdovend, en woden dus slechts uitgevoed voo belangijke, kitieke ondedelen van vliegtuigen, auto s, vachtwagens, windmolenwieken,... Figuu 5.7 toont een voobeeld van een vemoeiingstest op een volledige wagen. 5

235 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.7 Schematische voostelling van een vemoeiingstest van een auto [8]. In metalen constucties zijn de lasvebindingen bijzonde gevoelig aan vemoeiing en daaom woden vaak gelaste constuctie-ondedelen in hun geheel bepoefd. Figuu 5.8 en Figuu 5.9 tonen twee voobeelden van gelaste constucties die in vemoeiing woden belast, alsook de kitische zones. Figuu 5.8 Lasvebinding van stalen kokes en pobleemzones bij vemoeiing []. 6

236 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.9 Lasvebinding van stalen I-pofiel en koke en pobleemzones bij vemoeiing [] Impactpoeven Bij impactpoeven wodt een zee kotstondige stootbelasting opgelegd aan het poefstuk. De impactduu is meestal in de gootte-ode van milliseconden en bijgevolg vaieet de ek in het poefstuk heel snel. De vaiatie van de ek met de tijd noemt men de vevomingssnelheid d of. Het gebied van deze vevomingssnelheden dat bij studies van impact kan woden dt beschouwd, bestijkt meedee odes van gootte. Figuu 5.3 geeft hievan een idee en beschijft tevens het gedag van metalen onde impactbelasting. Figuu 5.3 Ovezicht van vevomingssnelheden en impactsnelheden, met een beschijving van het mateiaalgedag onde impactbelasting [7]. 7

237 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen de dagelijkse toepassingen, beneden m/s (36 km/u) komen het meest voo: steenslag bij voetuigen en vliegtuigen op landingsbanen, vogels en hagel op wieken van windmolens en op vliegtuigen, botsing van voetuigen, wateslag op de omp van snelle vaatuigen, veiligheidshelmen voo gebuik op bouwweven, valhelmen voo motoijdes, vallende voowepen, het ballistisch gebied gaat van enkele hondeden m/s tot enkele km/s, snelheden van tientallen en hondeden km/s teft men aan in de uimtevaat (stofdeeltjes, mico-meteoieten, esten van uimtetuigen). Deeltjes van enkele gam bezitten daa soms mee kinetische enegie dan een automobiel aan nomale snelheid. De vevomingssnelheid is een belangijke paamete bij impactpoeven en numeieke simulaties van impact, omdat uit epeimenten veelvuldig is gebleken dat de meeste mateialen een hogee spanning kunnen beeiken bij hoge vevomingssnelheden dan bij statische belasting. Figuu 5.3 toont het veloop van de wae spanning vs. wae ek voo veschillende vevomingssnelheden van de kunststof PMMA (PolyMethylMethAcylaat). Dit is een doozichtige kunststof die i.p.v. glas wodt gebuikt in beglazing, lichtkoepels, eclameboden,... en is vooal bekend onde de handelsnaam Pleiglas. Omdat gote vevomingen woden beeikt en de initiële dwasdoosnede aanzienlijk insnoet, zijn hie de wae spanning en ek gebuikt i.p.v. de nominale spanning en ek. Figuu 5.3 Invloed van de vevomingssnelheid op de wae spanning in de kunststof PMMA []. 8

238 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De laagste cuve bij een vevomingssnelheid van -3 s - komt oveeen met een statische tekpoef. De hoogste vevomingssnelheid van 76 s - komt oveeen met een mechanische of eplosieve impact. Zoals duidelijk blijkt uit de gafiek, is de beeikte spanning bij de gootste vevomingssnelheid vele malen gote dan bij een statische tekpoef. Men kan globaal een vietal types impactpoeven ondescheiden: valpoeven (lage ), pneumatische en mechanische impacttesten (middelgote ), Hopkinson-poeven (zee gote ), impactpoeven op volledige constucties (bv. voetuigen) a. Valpoeven Figuu 5.3 toont een schematische voostelling van een valpoef (Eng: dop-weight test). Bij deze poef wodt een massa vanop een zekee hoogte losgelaten en via een geleiding geïmpacteed op het poefstuk. Typische valsnelheden zijn tot m/s. Figuu 5.3 Schematische voostelling van een valpoef []. 9

239 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.33 toont de opgemeten spanning-ek cuve voo een glas/epoy composiet bij statische belasting en bij een valpoef. Opnieuw is de maimum spanning een stuk hoge dan bij statische belasting. Figuu 5.33 Spanning-ek cuves voo een glas/epoy composiet [] b. Pneumatische en mechanische impacttesten Pneumatische en mechanische impacttesten woden gebuikt voo hogee vevomingssnelheden, in een beeik van tot 5 s -. In geval van een pneumatische impacttest wodt een zuige onde duk gebacht met peslucht. Zoda voldoende duk is beeikt, wodt de zuige losgelaten en deze vesnelt een impacto die op het poefstuk wodt afgevuud. Figuu 5.34 toont een voobeeld van een pneumatische vesnelle met impacto. 3

240 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.34 Voobeeld van een pneumatische vesnelle en impacto c. Hopkinson-poeven Eén van de belangijkste poeven voo zee hoge vevomingssnelheden is de Hopkinsonpoef. Vevomingssnelheden van s - tot s - zijn haalbaa. Een schematische voostelling van een Hopkinson-poef is getoond in Figuu Figuu 5.35 Schematische voostelling van een Hopkinson-poef []. Met behulp van een (meestal pneumatisch) vesnellingssysteem wodt een massief blok geïmpacteed op twee lange staven. In deze staven wodt een dukgolf opgewekt, die aan de echtezijde eflecteet tegen een aambeeld en teugkeet als een tekgolf. Deze tekgolf dooloopt ook de staven waatussen het poefstuk zit vastgeklemd. Aldus wodt in het poefstuk een zee kotstondige tekgolf opgewekt. 3

241 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen In de vakgoep Mechanische Constuctie en Poductie van de Univesiteit Gent staat één van de gootste Hopkinson-opstellingen van Euopa. Figuu 5.36 toont een globaal beeld van de opstelling, die ongevee mete lang is. Figuu 5.36 Globaal beeld van de Hopkinson-opstelling in de vakgoep Mechanische Constuctie en Poductie van de Univesiteit Gent. Het poefstuk daaentegen is bijzonde klein. Een detailopname van een metalen poefstuk en de twee uiteinden van de aluminium staven waain het poefstuk wodt vastgeklemd, is getoond in Figuu

242 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.37 Detail van het metalen poefstuk en zijn inklemming in de aluminium staven. De gegevens uit degelijke poeven met zee hoge vevomingssnelheden woden o.a. gebuikt voo het ontwep van metaallegeingen voo de automobielindustie. Doo een optimalisatie van hun mateiaalgedag onde impactbelasting (bv. bij botsingen tussen auto s of autocashes tegen bomen en bugpijles) kan men het meest veilige mateiaal selecteen. Ook voo de simulatie van auto-cashes woden de epeimentele gegevens ingebacht in het numeiek ekenpakket d. Impactpoeven op volledige constucties Naast de impactpoeven op kleine poefstukken, woden ook impactpoeven uitgevoed op volledige constucties. Het bekendste voobeeld is uiteaad de cashtest van voetuigen, zoals afgebeeld in Figuu Figuu 5.38 Cashtest van een wagen. 33

243 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Daanaast woden echte ook impacttesten uitgevoed met bv. helikoptes. De kooi en het ondestel woden met een eusachtige kaan opgehesen en nadien losgelaten. Bij impact op de gond ondezoekt men of het ondestel van de helikopte de impactenegie kan absobeen, zodat de kooi waain de piloot en de passagies zitten, min of mee intact blijft Kefslagpoeven Bij de bespeking van de tekpoef wed eeds het veschil uiteengezet tussen ductiele en bosse mateialen. In de liteatuu zal men vaak de tem taaiheid vinden als synoniem voo ductiliteit, en beiden temen woden vaak doo elkaa gebuikt. Dit is echte niet coect. Ductiliteit wodt gebuikt in de contet van een scheuvij of foutvij mateiaal, tewijl taaiheid altijd samenhangt met de aanwezigheid van scheuen of defecten in het mateiaal. Een foutvij mateiaal is dus ductiel wannee het een gote vevoming vetoont vóó beuk. Een mateiaal is taai als het ook in aanwezigheid van scheuen voldoende vevomt vóó beuk. Kope is een voobeeld van een taai mateiaal. In dit mateiaal zal een scheu zee moeilijk goeien, omdat e zee veel enegie vebuikt wodt voo plastische vevoming. Glas daaentegen is een zee bos mateiaal waain elke scheu quasi onmiddellijk popageet en leidt tot volledige beuk. Om epeimenteel na te gaan of een mateiaal een taai gedag vetoont, ontwikkelde men een specifieke mechanische poef, waavan de poefomstandigheden bosse beuk bevoodelen: de poef gebeut met een hoge vevomingssnelheid (het poefstuk wodt geïmpacteed), het poefstuk is gekefd wat een diedimensionale spanningstoestand veoozaakt aan de keftip, de poef veloopt soms bij velaagde tempeatuu. Deze poef noemt men de kefslagpoef. De bekendste uitvoeing van deze poef is de Chapy kefslagpoef. Figuu 5.39 toont het belastingspincipe (boven) en de opstelling (onde) van deze poef. Het poefstuk met een vooaf aangebachte kef wodt opgelegd op twee steunpunten. Met een hame wodt aan de kefvije achtezijde van het poefstuk een impactbelasting aangebacht. Figuu 5.4 toont het epeimenteel opgemeten kachtsveloop bij een Chapy kefslagpoef. In deze gafiek is ook de enegie van de uitwendige kacht beekend. Deze wed opgesplitst in een deel voo initiatie van de scheu en een deel voo popagatie van de scheu. De vehouding tussen de initiatie-enegie en popagatie-enegie is in feite een maat voo de beuktaaiheid van het mateiaal. 34

244 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.39 Chapy kefslagpoef: pincipe (boven) en paktische uitvoeing (onde) []. Figuu 5.4 Opgemeten kachtsveloop bij de Chapy kefslagpoef []. 35

245 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN In de voogaande paagaaf weden een hele eeks poeven bespoken: tek- en dukpoeven, buigpoeven, afschuifpoeven, kuippoeven, vemoeiingspoeven, impactpoeven,... In vele gevallen is men bijzonde geïnteesseed in het veloop van de spanningen en vevomingen, omdat deze infomatie belangijk is voo het ontwep van de constuctie. Om het mechanisch gedag van het mateiaal tijdens de poef zo coect mogelijk op te meten, is een goede instumentatie van de poef dan ook zee belangijk. Het is heel belangijk te begijpen dat men spanningen niet echtsteeks kan meten. Spanningen teden op in het inwendige van het mateiaal en zoda men het mateiaal doozaagt, is de spanning vedwenen. Ook in de meest eenvoudige tekpoef kan men de nominale spanning slechts beekenen, als men de kacht F en de dwasdoosnede A kent. De instumentatietechnieken zijn dan ook vooal bedoeld om de vevomingen op te meten. Deze kan men immes volgen aan het oppevlak van het belaste poefstuk. Als men de elastische eigenschappen van het mateiaal kent, kan men dan uit de vevomingen de spanningen gaan beekenen. In deze paagaaf woden de twee belangijkste instumentatietechnieken voo het meten van vevomingen bespoken: (i) ekstookjes, en (ii) moié-technieken Rekstookjes 5...a. Technologie van het ekstookje In de eeste jaen na de tweede weeldoolog bachten de ekstookjes een doobaak teweeg in de mogelijkheden om ekken te meten op wekelijke constucties en machines, in industiële omstandigheden. Een ekstookje bestaat uit een elektische weestand, met een vom zoals afgebeeld in Figuu 5.4. Figuu 5.4 Rekstookjes [3]. De weestand heeft een zee kleine dikte en is thans meestal vevaadigd doo het etsen uit een metaalfolie. Hij is ingebed in een dage van kunststof, die op het oppevlak van de 36

246 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen constuctie gekleefd wodt. Het kleefmiddel, de dage en de elektische weestand zelf zijn zo dun dat men mag aannemen dat zij vij nauwkeuig de vevomingen van dit oppevlak volgen. De belangijkste eigenschap van het ekstookje is zijn evenedigheid tussen weestandsveandeing en ek in de langsichting: R R K (5.9) waabij R [Ohm] de weestand is van het ekstookje, K een evenedigheidsconstante en de ek waaaan het ekstookje in de langsichting wodt ondewopen. Voo de meest couante ekstookjes is R = en K =.. De constante K noemt men vaak de gevoeligheidsfacto (Eng: gauge facto). De lengte van de dage is meestal enkele millimete. Als de ek noemenswaadig veandet in dit inteval, meet men uiteaad de gemiddelde ek. E zijn ekstookjes te koop met een meetbasis van minde dan één millimete. Allehande uitvoeingsvomen zijn getoond in Figuu 5.4. Figuu 5.4 Veschillende uitvoeingsvomen van ekstookjes [3]. Rekmetingen met ekstookjes veeisen de meting van zee kleine weestandsveandeingen met gote nauwkeuigheid. Indedaad, ondestel dat een ek van 5 ( micostain = = 37

247 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen -6 ) moet gemeten woden. Met K =., volgt daauit dat R/R =, %. Voo een typische weestandswaade van bedaagt de weestandsveandeing R dan m. Om zulke kleine weestandsvaiaties te meten met voldoende nauwkeuigheid, wodt de bugschakeling van Wheatstone gebuikt. Met behulp van deze schakeling woden weestandsvaiaties omgezet in elektische spanningen. Figuu 5.43 toont een typische schakeling. Figuu 5.43 Typische Wheatstone-schakeling voo meting van ekstookjes [4]. De Wheatstone-bug wodt gevoed met wisselstoom en bevat vie weestanden R A, R B, R en R. Het actieve ekstookje R A is op de constuctie gekleefd en meet de ek aan het oppevlak van de belaste constuctie. Het ekstookje R B is een zogeheten passief ekstookje, met dezelfde kenmeken als het actieve, en gekleefd op een onbelast plaatje van hetzelfde constuctiemateiaal en op dezelfde tempeatuu gehouden. De bedoeling is de tempeatuusinvloeden te compenseen. In het meettoestel zelf zijn ook twee weestanden ingebouwd: een egelbae weestand R en een vaste weestand R. Men kan nu de weestand R zodanig egelen dat de stoom doo de galvanomete nul is. Men zegt dan dat de Wheatstone-bug in evenwicht is en de wijziging van de egelbae weestand R is dan een maat voo de te meten ek. Immes, bij evenwicht van de Wheatstone-bug kan men aantonen dat geldt: R A R R B R R A R B (5.) R R 5...b. Meevoudige ekstookjes Naast het enkelvoudige ekstookje wodt veelvuldig gebuik gemaakt van meevoudige ekstookjes. Deze bevatten twee of die meetichtingen om in een punt aan het oppevlak de spanningstoestand te kunnen bepalen. Een ekstookje met die meetichtingen noemt men een ekstookozet. Figuu 5.44 toont een aantal ekstookozetten. 38

248 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.44 Rekstookozetten [4]. Figuu 5.45 toont een commeciële uitvoeing van een ekstookozet, waabij de hoek tussen de ekstookjes bedaagt. Figuu 5.45 Voobeeld van een commeciële uitvoeing van een ekstookozet [3]. Het is belangijk op te meken dat deze ekstookozetten alleen de ekken in het vlak meten. Omdat e op het oppevlak van de constuctie geen uitwendige belasting aangijpt, meet de ekstookozet dus een vlakspanningstoestand aan het oppevlak van de constuctie, maa geen vlakvevomingstoestand. In dit opzicht is de nomale loodecht op het vije oppevlak, een hoofdichting van de ek en dus wodt de hoofdek in deze ichting niet doo de ekstookozet gemeten. De veplaatsing die doo deze hoofdek wodt veoozaakt, heeft echte geen invloed op de meting van de ekstookjes. Indien de ichting van de hoofdspanningen I en II bekend is, volstaan twee meetichtingen onde een hoek van 9 om de vlakspanningstoestand te meten. Als de hoofdichtingen onbekend zijn, zijn die meetichtingen veeist om de spanningstoestand te meten. In een algemene situatie zijn de assen van de die ekstookjes geplaatst onde de hoeken a, b en c, zoals aangegeven in Figuu De gemeten ekwaaden volgens deze die ichtingen noemt men a, b en c. In hoofdstuk wed aangetoond dat de tansfomatiefomules voo vlakvevoming de volgende zijn: 39

249 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen ' cos sin y sin cos ' sin cos y sincos (5.) ' y ( )sin cos y cos sin Hoewel het hie gaat om een vlakspanningstoestand, mogen de fomules gewoon ovegenomen woden, want het gaat om een otatie in het vlak, loodecht op de as e z. Immes, de z-as vomt, zowel in vlakspanning als in vlakvevoming, een hoofdichting voo zowel de spanningen als de vevomingen. Men kan dan nagaan dat de tansfomatiefomules voo de componenten van de ekken in het vlak (,, y ) dezelfde zijn voo vlakspanning en vlakvevoming (bij een otatie ond de z-as weliswaa). Alleen voo zz is het esultaat veschillend (gelijk aan nul in vlakvevoming, veschillend van nul in vlakspanning). Dus voo de toepassing van ekstookjes, waabij enkel de ekken in het vlak woden gemeten, kan men de tansfomatiefomules gebuiken die eede waen opgesteld voo vlakvevoming. Om nu de twee ondeling loodechte ekken en en de glijding y aan het oppevlak van de constuctie te bepalen, past men de eeste tansfomatiefomule voo ' die maal toe, voo espectievelijk a, b en c. Men vekijgt dan een stelsel van die vegelijkingen met die onbekenden (,, y ): a cos a sin a y sin a cos a b cos b sin b y sin b cos b (5.) c cos c sin c y sin c cos c Eens de ektoestand (,, y ) is beekend, kan men de hoofdichtingen bepalen en ook de spanningen beekenen m.b.v. de fomules voo een vlakspanningstoestand. Voobeeld 5. In het punt A op het vij oppevlak van een machine-ondedeel wodt een ekstookozet gekleefd. Voo de die ekstoken R, R en R3 geldt de volgende tabel: ekstook R R R3 hoek met - as ek

250 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen a) zoek de componenten (,, y ) van de ektenso in het punt A. Aanwijzing: zoek eest deze ekcomponenten in een gunstig te kiezen assenstelsel (, y ), b) bepaal de ekcomponenten ( z, yz, zz ) uit het vlak als de mateiaalconstanten E = GPa en =,3. 4

251 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5... Moié-technieken Het moié-effect is een optisch veschijnsel dat waagenomen wodt als twee fijne astes gesupeponeed woden en waagenomen woden in doogaand of geeflecteed licht. Elk van de twee astes bestaat uit ondeling evenwijdige astelijnen op egelmatige tussenafstand. Als de astelijnen van de twee astes veschillen in (i) tussenafstand, of (ii) oiëntatie ten opzichte van elkaa, dan teedt intefeentie op tussen beide astes en woden zogenaamde moié-fanjes gevomd. Figuu 5.46 toont een aantal voobeelden van moié-fanjes bij supepositie van twee moiéastes. In onvevomde toestand zijn de twee moié-astes identiek aan elkaa, maa doo vevoming of otatie van het ene aste t.o.v. het andee teden moié-fanjes op. Figuu 5.46(a) toont de moié-fanjes bij otatie van 6,5 van het ene aste t.o.v. het andee. Figuu 5.46(b) toont de fanjes bij 6 % velenging van het ene aste t.o.v. het andee en Figuu 5.46(c) toont de fanjes als het ene aste zowel 4 otatie als 6 % velenging ondegaat t.o.v. het ondeliggende aste. Figuu 5.46 Moié-fanjes bij (a) otatie van het ene aste t.o.v. het andee, (b) velenging van het ene aste, en (c) otatie en velenging van het ene aste [3]. 4

252 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Moié-patonen woden gebuikt voo het meten van veplaatsingen, otaties, kommingen en ekken. In de huidige paktijk wodt meestal één aste op het poefstuk aangebacht, tewijl een identiek aste evenwijdig mét, en in contact met het poefstukaste wodt opgesteld. Als het poefstuk vevomt, zal het aste dat vast aan het poefstuk bevestigd is, de vevomingen aan het oppevlak van het poefstuk volgen. Het efeentieaste vevomt uiteaad niet. De intefeentie van het vevomde poefstukaste en het onvevomde efeentieaste levet infomatie ove de vevoming van het poefstuk. De moié-fanjes vomen een soot uitvegoting van de vevomingen van het ondeliggend aste en leveen een visueel beeld van de vevoming in de beschouwde zone. Een typisch voobeeld is de tekpoef. Figuu 5.47 toont schematisch de situatie van een onvevomd efeentieaste en een getokken poefstukaste. Figuu 5.47 Onvevomd efeentieaste en getokken poefstukaste. De afstand tussen de astelijnen van het onvevomde efeentieaste is a. Deze afstand noemt men de astestap of pitch. In geval van het getokken poefstukaste is deze asteafstand vegoot doo de vevoming van het ondeliggende poefstuk in de tekpoef. De hoeveelheid doogelaten licht van deze bovenop elkaa liggende astes is functie van de elatieve ligging van de astes. Indien men het egistatie-systeem (de camea, het menselijk oog) zo instelt dat de astelijnen zelf niet mee ondescheiden woden, dan blijven de donkee en heldee fanjes nog steeds waa te nemen, met een min of mee continue ovegang etussen. Bij het opmeten van fanjepatonen bekijkt men gewoonlijk slechts het centum van de witte of de donkee fanje en men noemt dit midden een moié-lijn. In geval van de homogene veplaatsingstoestand in Figuu 5.47 (die oveeenstemt met het voobeeld van Figuu 5.46(b)) is het veband tussen de moié-fanjes en de ek als volgt te begijpen: Uit Figuu 5.47 blijkt dat opeenvolgende heldee (of donkee) moié fanjes ( gemiddelde intensiteit ) ontstaan, telkens wannee het aste op het poefstuk ( geokken aste ) een bijkomende elatieve veplaatsing kijgt van één astelijntje ( astestap a ), ten opzichte van het efeentieaste ( oosponkelijk aste ). Op die plaatsen ovelappen de astelijnen van het efeentieaste en het poefstukaste elkaa eact en teedt een minimale of maimale intensiteit op. We meten de afstand tussen twee opeenvolgende heldee (of donkee) moié- 43

253 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen fanjes (ondeste cuve gemiddelde intensiteit in Figuu 5.47) en noemen die afstand d y. Deze afstand d y is de oosponkelijke lengte L van een meetsectie van het poefstuk. De ek in het geokken aste wodt alsdus: L L a (5.3) L d y Als men een bepaalde moié-fanje kiest als efeentie-fanje, dan is de elatieve veplaatsing u y t.o.v. deze fanje: u y N a (5.4) waabij N de ode van de moié-fanje is. Het is belangijk op te meken dat u y de veplaatsing is, loodecht op de ichting van de astelijnen. De moié-astes (Eng: gatings) woden geëtst, gepint of gegaveed. De astestap a vaieet tussen m ( lijnen pe millimete) en mm ( lijn pe millimete). De govee astes ( tot 5 lijnen pe millimete) zijn gemakkelijk vekijgbaa, maa de fijnee astes (5 tot lijnen pe millimete) woden vevaadigd doo de gespecialiseede gafische industie en zijn moeilijke vekijgbaa. De nog fijnee astes ( lijnen pe millimete en mee) woden slechts gebuikt voo zee nauwkeuige spanningsanalyse. Figuu 5.48 toont het voobeeld van een uni-aiale tekpoef op een glas/epoy composiet met een centale opening. Zoals eeds bespoken in hoofdstuk, zogt de aanwezigheid van de onde opening voo spanningsconcentaties ondom het gat. Dit is duidelijk mekbaa uit de sequentie van vie moié-patonen, die genomen zijn net vóó beuk van het poefstuk, waabij geldt: (a) = 98 MPa, (b) = 6 MPa, (c) = 6 MPa, (d) = MPa, 44

254 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.48 Sequentie van moié-patonen bij een uni-aiale tekpoef op glas/epoy composiet [5]. Op het oppevlak van het poefstuk wed een aste aangebacht met 4 lijnen pe millimete. Deze astelijnen lopen hoizontaal in Figuu 5.48, tewijl de veplaatsingen van het poefstuk in de veticale ichting opteden. Uit de ichting van de moié-lijnen blijkt de zee steke vestoing van het spanningsbeeld ond de centale opening. In dit veband is het belangijk op te meken dat het moié-pincipe steunt op de elatieve veplaatsing van twee astes en dus geen veondestellingen maakt ove het al dan niet elastisch gedag van het poefstuk. Indien men de vevomingstoestand volledig wil kennen, moet men twee loodecht op elkaa staande astes, zogenaamde kuisastes, gebuiken. Wannee men nu als efeentieaste eveneens een kuisaste gebuikt, dan veschijnen tezelfdetijd beide families fanjes en men kan ze moeilijk van elkaa ondescheiden. Daaom gebuikt men bij vookeu een lijnenaste als efeentieaste en pobeet dit aste in twee ondeling loodechte posities op het vevomde kuisaste te plaatsen, waadoo men beide stellen moié-lijnen afzondelijk vekijgt. Figuu 5.49 toont het voobeeld van een vevomd lichaam, waaop eest een 45

255 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen veticaal efeentieaste (links) wodt geplaatst, en nadien een hoizontaal efeentieaste (echts). Als men een welbepaalde fanje als efeentie kiest, kan men de elatieve veplaatsing loodecht op de astelijnen bepalen. Figuu 5.49 Moié-fanjes voo twee ondeling loodechte efeentieastes [3]. De pocedue voo veweking is als volgt: Met een klassiek lijnenaste (zie bijvoobeeld Figuu 5.46) kan men alleen een velenging meten in de ichting loodecht op de astelijnen. Indien we de volledige ektenso aan het oppevlak willen visualiseen, kunnen we gebuik maken van een kuisaste (met lijntjes in de hoizontale én de vetikale ichting) dat we aanbengen op het poefstuk. Vevolgens gebuiken we als efeentieaste wel een klassiek lijnenaste, dat we eest eens vetikaal opstellen (zie Figuu 5.49, links boven) waadoo we de veplaatsing in de hoizontale (dus de -) ichting kunnen visualiseen. Uitzetten (Figuu 5.49 links midden) van de hoizontale veplaatsing in functie van de -as geeft ons (na afleiden) de hoizontale ek = du/d. Daabij volgt N uit het tellen van het aantal moié-fanjes voo deze situatie, en is het volgens de uitdukking (5.4) een echtsteekse maatstaf voo de veplaatsing in de -ichting. Uitzetten (Figuu 5.49 links onde) van dezelfde hoizontale veplaatsing in functie van de y- as geeft ons (teug na afleiden) een deel van de glijding y = ½ (du/dy + dv/d). Vevolgens doen we eens hetzelfde, maa daabij plaatsen we het efeentieaste nu hoizontaal; e vomt zich een ande stel moié-fanjes waauit aldus de veplaatsing in de y- ichting kan woden gevisualiseed (Figuu 5.49 echtekolom). 46

256 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Digitale beeldcoelatie De digitale beeldcoelatietechniek (Eng.: Digital Image Coelation DIC) wed ontwikkeld in de voege jaen 8 [6]. Deze techniek maakt het mogelijk om contactloos vevomingen op te meten. Hietoe dient op het te bepoeven mateiaal een onegelmatig en contastijk (spikkel) patoon aangebacht te woden. Dit gebeut in egel doo middel van een vefpatoon maa kan ook op basis van de natuulijke tetuu van het mateiaal (bvb. de micostuctuu in een geëtst poefstuk). Tijdens het bepoeven wodt dit patoon op geegelde tijdstippen geegisteed doo één of meedee camea s. Wannee gebuik gemaakt wodt van meedee camea s is het mogelijk om in de diedimensionele uimte vevomingen te bepalen. Hietoe vegelijkt specifieke softwae de beelden genomen op veschillende tijdstippen en pobeet oveeenkomstige zones te identificeen in de veschillende beelden (zie Figuu 5.5). Deze identificatie gebeut op basis van de lokale gijswaadenvedeling. Een contastijk, onegelmatig patoon dat voldoende spikkels bevat is hiebij van essentieel belang. Doo identificatie van gebieden met eenzelfde patoon kunnen vevolgens veplaatsingen bepaald woden. Op basis van deze veplaatsingen kunnen de lokale ekken bepaald woden. Aldus wodt het mogelijk om de lokale plastische uitputting van het mateiaal te begoten en falen te voospellen en/of te begijpen. De mate van detail in uimtelijke esolutie hangt hiebij nauw samen met de esolutie van de gebuikte camea s en de gootte van het te ondezoeken gebied. Het laboatoium Soete maakt voo het toepassen van de DIC techniek gebuik van twee camea s met een esolutie van vijf megapiels. Voo het vekijgen van het spikkelpatoon wodt steeds een homogene witte veflaag aangebacht waana zwate vefspikkels met een spuitbus of compesso (naagelang de beoogde gootte) woden veneveld. Tijdstip t Tijdstip t Tijdstip t Figuu 5.5 Het lokaal coeleen van vevomde gebieden op veschillende tijdstippen doo het opvolgen van onegelmatige spikkels leidt tot de bepaling van veplaatsingsfuncties [7]. Digitale beeldcoelatie heeft in vegelijking met mee conventionele vevomings- en ekmetingen (bijvoobeeld ekstookje of etensomete) enkele (evidente) voodelen, die hieonde kot woden uitgelegd. 47

257 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De vevomingen van een uitgestekt oppevlak woden in kaat gebacht. Dit oppevlak kan een goot deel van het poefstuk omvatten, of eede focussen op een zee kleine specifieke zone (bijvoobeeld de las en de aangenzende wamtebeïnvloede zone). Digitale beeldcoelatie is een contactloze meettechniek en veeist dus geen montage van sensoen op het poefstuk. De vevomingen opgemeten met DIC laten toe om alle ekcomponenten in het opgemeten vlak te bekomen. Beeldcoelatie beekent dus simultaan hoizontale, veticale en schuifekken. Als het aangebachte spikkelpatoon hietegen bestand is, is digitale beeldcoelatie in staat om zee gote ekwaaden op te meten. Andezijds heeft het optische meetpincipe enkele onlosmakelijke bepekingen. Digitale beeldcoelatie veeist een goede zichtbaaheid van het op te meten oppevlak. Deze zichtbaaheid kan vehinded woden doo mechanische ondedelen zoals klemmen van de tekbank en koelpanelen, en doo dauw indien bepoefd wodt bij tempeatuen onde het viespunt. Metingen met digitale beeldcoelatie zijn in de egel minde nauwkeuig dan met ekstookjes of LVDTs. In optimale omstandigheden (belichting, spikkelkwaliteit, systeemkalibatie) kan hoogstens een nauwkeuigheid van uwweg,% (of. -6 ) ek bekomen woden. Het aanbengen van een geschikt spikkelpatoon is wekintensief. Dat maakt digitale beeldcoelatie minde geschikt voo outine (industiële) toepassingen. Bovendien is een studie naa de geschikte spikkelgootte en bijhoende spikkelpocedue veeist vooalee nieuwe geometieën met succes optisch kunnen ondezocht woden. De digitale beeldcoelatie techniek kent vele toepassingsgebieden, zoals biomechanica, gondmechanica, (beuk)mechanica van metalen en composieten,... In wat volgt, woden twee specifieke toepassingen uit het gebied van de lasbepoeving vede toegelicht: klassieke tansvesale tekpoeven op lassen en gootschalige tekpoeven op panelen met gekefde lassen. Het uitvoeen van tansvesale tekpoeven is een wezenlijk ondedeel van de kwalificatie van laspocessen. Hiebij wodt een genomeed poefstuk loodecht op de las uitgenomen en ondewopen aan een tekbelasting tot falen (Figuu 5.5). De uitkomst bij degelijke poeven beteft vaak niet mee dan de kacht bij beuk en/of plaats van falen (binnen of buiten de las). Echte, het opvolgen van de vevomingen tijdens het bepoeven laat toe om heel wat eta infomatie te veweven ove de vebinding. Lengte (5 mm) Wanddikte Beedte (5 mm) Bekeken met DIC Figuu 5.5 Schematische voostelling van tansvesale tekpoefstaaf. 48

258 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Als eeste voobeeld kan de vezachting in een doo wamte beïnvloede zone (WBZ) aangehaald woden. Dikwijls kan op basis van hadheidsmetingen de aanwezigheid van een al dan niet vezachte WBZ aangetoond woden (zie Figuu 5.5); dit is een specifiek pobleem bij het lassen van hoogstekte, laaggelegeede staalsooten. Echte blijft de vaag in welke mate deze vezachting het globale vevomingsgedag van de gelaste vebinding beïnvloedt. Doo het gebuik van digitale beeldcoelatie tijdens het bepoeven, woden in meedee of mindee mate lokaal vehoogde vevomingen waagenomen. In dit geval wed een zone van 5 6 mm² gevolgd, waaop spikkels met een gootte van ongevee.. mm² waen aangebacht. Het is duidelijk dat de vevomingen zich concenteen volgens de fusielijn in de WBZ (zie Figuu 5.5). Op die manie wodt duidelijk waa het falen initieet, iets wat vaak moeilijk post-motem te bepalen valt. 4 WBZ WBZ 8, Vickes Hadheid kg [MPa] 3 Hadheidsmetingen 4, Rek in langsichting (%) Afstand vanaf midden van de las [mm], Figuu 5.5 Hadheidspofiel en ekvedeling in lasvebinding. Het laboatoium Soete heeft de laatste decennia weeldwijd faam vewoven met de gootschalige bepoeving van omtekslassen van pijpleidingen (poefstuk ca. 3 mm beed en mm lang, tekkacht tot 8 kn). Met deze zogenaamde CWP (Eng.: Cuved Wide Plate ) tekpoeven wodt de invloed ondezocht van een lasfout (gesimuleed doo middel van een aangebachte kef, zie Figuu 6) op het faalgedag en de vevomingscapaciteit van de lasvebinding. Aan de Univesiteit Gent wed een gootschalig poefstuk (ca. 5 mm beed en 5 mm lang, tekkacht tot 5 kn) ontwikkeld om de invloed te ondezoeken van een lasfout op het faalgedag en de vevomingscapaciteit van een lasvebinding (in pijpleidingen) ondewopen aan een tekbelasting. voo uitgebeid met metingen via beeldcoelatie. Figuu 5.53 illusteet de optische analyse van twee zulke tekpoeven, waaop spikkels van uwweg mm² waen aangebacht. De contouplots tonen ekdistibuties in de langsichting van het poefstuk. Beide poefstukken weden uit eenzelfde pijpsectie met omteklas genomen en bevatten een kef van identieke gootte (4 mm 3 mm). De keflocatie was echte veschillend: de ene las was gekefd in het centum van de las, de andee in de doo wamte beïnvloede zone. 49

259 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen (a) Poefstuk met kef in centum van las Discontinu vloeien, Las Poefstuk met kef in wamtebeïnvloede zone (a),9 Las Tekkacht Kef 5 mm Kef Basismetaal Basismetaal, Basismetaal Basismetaal Vevoming concenteet (b) in zwakkee basismetaal 5,6 (b), 5,3,, (c) Las snoet in ondom kef, (c) Basismetaal snoet in 8,, Rek in langsichting (%), Rek in langsichting (%) Figuu 5.53 Optisch gemeten ekdistibuties in twee gootschalige tekpoeven op gekefde lasvebindingen (aangelegde kacht neemt toe van (a) tot (c)). De optische analyses tonen bijvoobeeld aan dat: het pijpleidingstaal een discontinu vloeigedag (popagatie van Lüdesbanden) vetoont (figuen (a)); het basismateiaal significant steke is dan basismateiaal, aangezien het veel minde ekt (figuen (b)); de keflocatie een gote invloed kan hebben op het faalgedag. In dit geval leidt de eeste locatie tot falen te hoogte van de las. Voo de tweede locatie bleek de las een stekee schakel dan het echte basismateiaal dat uiteindelijk insnoede. 5

260 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Optische vezelsensoen Optische vezels woden eeds geuime tijd gebuikt in de telecommunicatie als ovedachtmedium voo snelle datavebindingen. De laatste jaen vinden deze vezels ook toepassing in de inspectie van constucties en gote bouwweken. Optische vezels zijn glasvezels met een diamete van 5 tot 5 m. Voo het gebuik als detectietechniek, wodt in de glasvezel een zogeheten Bagg-ooste aangebacht. Dit ooste heeft een typische lengte van een paa millimete. De bijzondee eigenschap van dit Bagg-ooste is geïllusteed in Figuu 5.54: als men licht met een beed spectum inleidt in de optische vezel, dan zal slechts een zee smal spectum geeflecteed woden doo het Bagg-ooste, tewijl de est van het spectum vede popageet doo de vezel. De centale golflengte van dit geeflecteede spectum noemt men de Bagg-golflengte B. Het Bagg-ooste is dus een soot spiegel voo een zee specifieke golflengte. Figuu 5.54 Wekingspincipe optische vezel met Bagg-ooste [8]. Wannee nu de optische vezel wodt bevestigd aan het oppevlak van óf binnenin een eële constuctie, dan zal de optische vezel en dus het Bagg-ooste mee vevomen met de constuctie. Bij vevoming van het Bagg-ooste (velenging, vekoting) veschuift echte de Bagg-golflengte B van het geeflecteede spectum. Deze veschuiving is pecies lineai evenedig met de aangelegde ek in de ichting van de vezel. Bagg-sensoen bieden volgende voodelen t.o.v. andee inspectiemethodes: doo hun zee kleine afmetingen vestoen zij nauwelijks de constuctie waain ze woden ingebed, weestand tegen hoge tempeatuen en dukken, quasi ongevoeligheid voo coosie en vemoeiing, immuniteit voo elektomagnetische intefeentie. 5

261 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Bagg-sensoen woden gebuikt om het gedag van staalwapening in gewapend beton op te volgen (o.a. in bugdekken), om de kimp van uithadend cement te meten, om de dukcyclus in dukvaten te volgen,... Zo wed een betonbug ove de Gentse Ringvaat geïnstumenteed met optische vezels (in een samenweking van de vakgoep Labo Magnel en de vakgoep Mechanische Constuctie en Poductie van de Univesiteit Gent en het Ministeie van de Vlaamse Gemeenschap). Figuu 5.55 toont de weken aan deze betonbug (boven) en de ligging van de optische vezels in een dwasdoosnede van het betonnen bugdek (onde). Figuu 5.55 Weken aan de bug ove de ingvaat en ligging van de Bagg-sensoen in een dwasdoosnede van de voogespannen betonligge [8]. Deze optische vezels weden eeds tijdens het gieten van de betonbalk bevestigd op de staalwapening. Tijdens de voospanning van de staalkabels kon men het hele voospanpoces volgen via het signaal van de optische vezels. Een andee toepassing van optische vezels loopt in een poject van de vakgoepen Labo Magnel en Mechanische Constuctie en Poductie van de Univesiteit Gent met andee Belgische univesiteiten. In dit poject wodt de optische vezel gebuikt als meetsenso in een dynamische vevomingsmete bij tillingen van de bug. De idee achte het ondezoek is dat een beschadigde bug andes zal tillen bij bv. de doogang van een zwae vachtwagen, dan een onbeschadigde bug. Daaom heeft men poeven gedaan met gewapende betonbalken, waaop een valgewicht wed geïmpacteed. De vije (gedempte) tilling van de balk na impact wed opgemeten doo de optische vezelsenso. 5

262 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.56 toont de bevestiging van de dynamische vevomingsmete aan de ondekant van de gewapende betonbalk (8 cm hoogte), tewijl Figuu 5.57 de opgemeten gedempte tilling toont voo de intacte betonbalk (boven) en voo de beschadigde balk (onde). Figuu 5.56 Etensomete met Bagg-senso bevestig aan de ondekant van een gewapende betonbalk [8]. Figuu 5.57 Gedempte tilling van een onbeschadigde (boven) en beschadigde (onde) betonbalk [8]. 53

263 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.3. SCHADEMECHANISMEN In de voogaande bespeking van de veschillende types poeven wed vooal gefocusseed op het veloop van spanningen en ekken in tekpoeven, kuippoeven, impactpoeven,... In vele gevallen wodt tijdens deze poeven blijvende schade veoozaakt in het poefstuk: plastische vevoming, scheuen of keven,... Deze schade kan echte zee stek veschillend zijn naagelang het type mateiaal dat wodt bepoefd. Dat wodt teffend geïllusteed doo Figuu Figuu 5.58 Die types beukpatonen (a), (b) en (c) in compleet veschillende mateialen [3,9]. 54

264 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Deze figuu geeft van boven naa onde die types beukpatonen (a), (b) en (c) wee in telkens compleet veschillende mateialen. Links vindt men de beeldopname met een kleine vegotingsfacto, echts met een zee gote vegotingsfacto. De schalen zijn weegegeven in de echtebenedenhoek van elke opname. (a) gelaagd beukpatoon bij een gelaagd SiC/koolstof composiet, (b) beukoppevlak in laaggelegeed staal met chevons (V-vomige mektekens waavan de punt naa het begin van de beuk wijst), (c) vezelbeuk in koolstofvezelvestekte kunststof. In de volgende paagaaf wodt een kot ovezicht gegeven van de schadetypes in een aantal mateialen, m.n. (i) metalen, (ii) gewapend beton, (iii) kunststoffen, en (iv) composietmateialen. Vede woden een aantal veel gebuikte methodes voo schadedetectie en -diagnose bespoken Schadetypes 5.3..a. Metalen In metalen bestaat de schade vooal uit scheuen die de beuk van het mateiaal inleiden. Globaal ondescheidt men twee types beuken: (i) glijdbeuken, en (ii) splijtbeuken. Glijdbeuken Bij glijdbeuken wodt de beuk vooafgegaan doo een aanzienlijke plastische vevoming. Deze beukvom komt dus oveeen met het taai gedag van metalen. Het metallogafisch uitzicht van een degelijk beukoppevlak is zee typisch. Een voobeeld is getoond in Figuu Figuu 5.59 Beukoppevlak van een, % C,,4 % Mn staal na ductiel scheuen [9]. 55

265 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Splijtbeuken (Eng: cleavage) Splijtbeuken teden op zonde noemenswaadige plastische vevoming. Deze bosse beuk is zee geveesd, omdat zij zee plots opteedt. Figuu 5.6 toont een voobeeld van een bos beukoppevlak van een Fe,8 % Si legeing. Men hekent nauwelijks enig spoo van plastische vevoming: de beukvlakjes zijn vlak en bevatten kleine tapjes, die oveeenkomen met spongen in het beukoppevlak. Metalen die zich onde nomale gebuiksomstandigheden taai gedagen, kunnen toch bos beken bij velaagde tempeatuen en/of hoge vevomingssnelheden. Figuu 5.6 Beukoppevlak na bosse beuk [9] b. Gewapend beton Zoals eeds bleek uit de tek- en dukpoef van beton, is de dukstekte van beton vele malen gote dan de tekstekte. In de tekzone beekt beton op bosse wijze. Vandaa dat men het beton in de tekzone vaak vestekt met wapeningsstaal dat de tekspanningen moet opnemen. In gewapende betonbalken stat de schade dan ook meestal met scheuen in het getokken beton. Bij zee zwae belasting gaat dan tenslotte het wapeningsstaal vloeien en bezwijkt de volledige balk. Figuu 5.6 toont een zijaanzicht van een gewapende betonbalk in het midden van zijn ovespanning. Figuu 5.6 Scheuen in gewapende betonbalk. 56

266 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.3..c. Kunststoffen Kunststoffen hebben veelal een vij bos gedag. De scheuen vetonen dan ook wee vij vlakke beukvlakken. Soms kan men op het beukoppevlak een iviepatoon ontdekken, zoals weegegeven in het beukoppevlak van een epoyhas in Figuu 5.6. Figuu 5.6 Riviepatoon op het beukoppevlak van een epoyhas [9] d. Composietmateialen Wannee men kunststoffen gaat vesteken met vezels, dan gedaagt de vezelvestekte kunststof zich soms heel wat taaie dan de onvestekte kunststof, en dit niettegenstaande het feit dat de vestekingsvezels op zich ook vaak een bos beukgedag vetonen. Andezijds is het aantal schademechanismen in een degelijk composietmateiaal zee dives. Men kan die gote schadetypes ondescheiden: (i) matischeuen, (ii) velies aan hechting tussen vezel en mati, (iii) delaminaties, en (iv) vezelbeuk. Matischeuen Deze scheuen komen voo in de kunststofmati waain de vestekingsvezels zijn ingebed. Figuu 5.63(a) toont de matischeuen in een ± 55 glas/polyeste composiet. Voo dit schadetype is de hechting tussen de kunststof en de ingebedde vestekingsvezel van goot belang. Figuu 5.63(b) en (c) tonen een stek vegote opname van het pad van een matischeu. In geval van een zwakke hechting tussen vezel en mati (Figuu 5.63(b)) loopt de scheu volledig in de mati, tewijl in geval van een steke hechting tussen vezel en mati (Figuu 5.63(c)), de scheu soms ook dwas doo de vestekingsvezels loopt. 57

267 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.63 Matischeuen in een ± 55 glas/polyeste composiet [9]. Velies aan hechting tussen vezel en mati In dit geval teedt hechtingsvelies op tussen de mati en de ingebedde vezelbundels. De hechting (of het gebek eaan) wodt stek beïnvloed doo het type coating dat op de vezels wodt aangebacht (bv. silaancoating op glasvezel). Delaminaties Delaminaties zijn een typisch schadefenomeen voo gelaagde vezelvestekte composieten. Vaak bestaan vezelvestekte composieten immes uit veschillende lagen, waabij de oiëntatie van de vestekingsvezels kan veschillen van laag tot laag (om voldoende stijfheid te bekomen in de veschillende belastingsichtingen). Tussen deze veschillende lagen kan de hechting veloen gaan, zodat aanpalende lagen los komen van elkaa. Dit schadefenomeen noemt men een delaminatie. Figuu 5.64(a) toont een delaminatie tussen de middenste laag en de laag eonde in een (5/-5/9/-5/5) stapeling van een koolstof/epoy composiet. Zoals weegegeven in Figuu 5.64(b), kan een delaminatie samen vookomen met matischeuen. Afhankelijk van de weestand die de scheu op haa pad ondevindt, kan zij vede goeien als een matischeu óf afbuigen tussen twee lagen en vede goeien als een delaminatie tussen twee lagen. 58

268 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.64 (a) delaminatie tussen de middenste laag en de laag eonde in een (5/-5/9/-5/5) stapeling van een koolstofvezelvestekt epoy, (b) combinatie van schade in én tussen de lagen []. Delaminaties zijn zee geduchte schadefenomeen bij bijvoobeeld vliegtuigvleugels en wieken van windmolens. Doo impact van vogels of steenslag kan delaminatie ontstaan tussen twee intene lagen, zonde dat de omvang van de schade zichtbaa is van buitenuit. Bovendien kunnen delaminaties zich zee snel vootplanten, omdat zij niet in de laag, maa tussen de lagen lopen, waa de weestand tegen scheuuitbeiding meestal veel kleine is. Vezelbeuk Aangezien de vestekingsvezels pecies de stekte leveen van het vezelvestekt composiet, is vezelbeuk nagenoeg altijd een schadefenomeen dat leidt tot het volledig falen van de constuctie. Figuu 5.65 toont het bezwijken van een staaf uit koolstofvezelvestekt epoyhas, waabij de volledige vesplinteing van de vezelbundels een typisch fenomeen is voo koolstofvezels. 59

269 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.65 Vezelbeuk van een staaf uit koolstof/epoy mateiaal [9]. Figuu 5.66 toont het falen van een composietbuis uit glas/polyeste onde inwendige duk. De vestekingsvezels zijn gewikkeld onde een hoek van ± 55 met de lengteas van de buis. Figuu 5.66 Vezelbeuk van een composietbuis uit glas/polyeste [9]. 6

270 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Schadedetectie en -diagnose Detectie en diagnose van schade kan globaal op twee manieen gebeuen: (i) destuctief, en (ii) niet-destuctief. Het gote voodeel van niet-destuctief ondezoek is dat de ondezoeksmethode zélf geen bijkomende schade veoozaakt in de constuctie, tewijl i.g.v. destuctief ondezoek het poefstuk bv. moet vezaagd woden om de schade in de dwasdoosnede te bestudeen. Het is evident dat voo constucties die in gebuik zijn, niet-destuctieve methodes moeten aangewend woden. En de toepassingsvoobeelden zijn legio: laswek in booeilanden, pijpleidingen, scheepssecties en opslagtanks, motoen en landingsgestellen in lucht- en uimtevaat, kukassen in voetuigen, stalen buggen en gewapende betonbuggen,... In het laboatoium daaentegen kan men destuctieve methodes toepassen om de schadeontwikkeling in een bepaald mateiaal in opeenvolgende stadia te ondezoeken. Ook na het onvewacht bezwijken van een constuctie kan men destuctieve technieken aanwenden om de oozaak van het falen te achtehalen. Hieonde woden een aantal destuctieve en niet-destuctieve technieken voo schadediagnose en detectie bescheven a. Visuele inspectie De visuele inspectie is nog altijd van een onschatbae waade, want heel wat beschadigingen kan men vaak eeds op het zicht vaststellen: kassen of scheuen aan het oppevlak, vomfouten,... In doozichtige mateialen zoals glas en sommige kunststoffen kan men zelfs fouten in het inwendige mateiaal detecteen. Uiteaad wodt het menselijk oog vandaag de dag bijgestaan doo heel kachtige micoscopen. Voo een optimale visuele inspectie woden de poefmonstes eest ingebed in een has, dan gepolijst en tenslotte bekeken onde kachtige micoscopen. Figuu 5.67 toont het voobeeld van een gepolijste dwasdoosnede van een met glasweefsel vestekt epoyhas. Het monste wed gepolijst tot een oppevlakteuwheid van 3 m en gefotogafeed met een vegoting van 5. Figuu 5.67 Voobeeld van een gepolijst glas/epoy composiet []. 6

271 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De meest geavanceede en meest gebuikte micoscoop is wellicht de Scanning Electon Micoscope (SEM) [3]. Dit toestel stuut een heel fijn gefocusseede elektonenbundel uit naa het te bestudeen mateiaaloppevlak en ontleedt de teuggekaatste ecitatie-enegie van de elektonen in de oppevlaktelagen van het mateiaal. Vegotingen tot 5 zijn mogelijk. Figuu 5.68 illusteet met een voobeeldje tot wat de SEM-micoscoop in staat is: op de SEM-opname staat een mie afgebeeld met een IC-chip tussen haa kaken. Figuu 5.68 Voobeeld van de mogelijkheden van SEM: opname van een mie met een IC-chip tussen haa kaken [3] b. Ultasoon ondezoek Mechanische tillingen kunnen zich vootplanten in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen. Als de fequentie van deze mechanische tillingen ligt tussen Hz en Hz, is de tilling hoobaa en speekt men van geluid. Fequenties boven Hz zijn niet hoobaa voo het menselijk oo en degelijke geluidsgolven noemt men ultasoon. Pecies deze ultasone golven gebuikt men om op een niet-destuctieve manie keven, lasfouten en andee defecten in het mateiaal op te spoen. Omdat deze methode zee belangijk is voo de paktijk, wodt zij wat mee in detail bespoken. Het is vooeest belangijk op te meken dat ultasone golven mechanische tillingen zijn, en géén elektomagnetische golven. Vede hangt hun vootplantingssnelheid af van het soot mateiaal waain de geluidsgolven zich vootplanten. Tabel 3. geeft een ovezicht van de ultasone snelheden in veschillende isotope mateialen. De vootplantingssnelheden veschillen voo longitudinale golven (linkekolom) en tansvesale golven (echtekolom). Longitudinale golven kunnen zich in alle stoffen vootplanten, tansvesale golven alleen in vaste stoffen met voldoende stijfheid. 6

272 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Tabel 3. Ultasone snelheden in veschillende mateialen []. De golflengte van de ultasone golf kan men dan eenvoudig beekenen uit de fomule: V (5.5) f waabij V [m/s] de vootplantingssnelheid is in het beschouwde mateiaal en f [Hz] de fequentie van de mechanische tilling. Om het wekingspincipe van ultasoon ondezoek te begijpen, moet men het begip akoestische impedantie ebij halen. De akoestische impedantie Z van een mateiaal wodt gedefinieed als: Z V (5.6) waabij V de vootplantingssnelheid is van de ultasone golf en de dichtheid van het mateiaal. Als een ultasone golf invalt op een gensoppevlak tussen twee mateialen, dan bepaalt het veschil in akoestische impedantie van beide mateialen of de golf gotendeels wodt doogelaten of geeflecteed. Tabel 3.3 geeft een ovezicht van de akoestische impedantie van veschillende mateialen. 63

273 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Tabel 3.3 Akoestische impedantie van veschillende mateialen [3]. Zoals duidelijk blijkt uit deze tabel Tabel 3., is de akoestische impedantie van bijvoobeeld staal en lucht totaal veschillend. Van deze eigenschap maakt men gebuik in het ultasoon ondezoek. Op het mateiaaloppevlak wodt een ultasone taste geplaatst die een mechanische tilling opwekt in het mateiaal, zoals geïllusteed doo Figuu Vaak wodt een tilfequentie tussen en 5 MHz gebuikt. Figuu 5.69 Basispincipe van ultasoon ondezoek []. 64

274 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Wannee zich in het mateiaal een holte, scheu of vomfout bevindt, zal de vootplanting van de ultasone golven vestood woden. In het bijzonde zal het gensvlak tussen het mateiaal en de holte zogen voo een gedeeltelijke eflectie en tansmissie van de ultasone golven. Pecies omwille van de stek veschillende akoestische impedantie van staal en lucht, wodt een zee goot gedeelte van de golf geeflecteed doo de holte. Vaak wodt de ultasone taste aan het mateiaaloppevlak uitgevoed als een simultane zende (Eng: tansmitte) en ontvange (Eng: eceive). Een typisch ontvangen signaal is weegegeven in Figuu 5.7. Het signaal wodt opgepikt doo de ultasone taste en zichtbaa gemaakt op een oscilloscoop. De hoizontale as is de tijdsas en de veticale as bevat de amplitude van de ultasone golf. Een degelijke voostelling noemt men een A-scan, maa ook andee gafische voostellingen van het signaal zijn mogelijk (B-, C- en D-scan). De eeste puls is het geeflecteede deel van de ultasone golf aan het bovenoppevlak van het mateiaal, de tweede echo is de eflectie van de holte en de laatste echo is de eflectie aan de ondekant van de plaat. Het is belangijk op te meken dat men uit de tijdsvetaging tussen de eflecties van de golf aan de boven- en ondekant van de plaat de dikte van de plaat kan beekenen, als men de vootplantingssnelheid van de ultasone golf in het mateiaal kent. Figuu 5.7 Standaad A-scan van het mateiaal []. Ultasoon ondezoek is dus een niet-destuctieve techniek, die fouten in het mateiaalvolume kan ontdekken zonde het mateiaal te beschadigen. Deze techniek wodt dan ook zee vaak gebuikt voo de contole van lasfouten en keven in metalen constucties. Figuu 5.7 toont een voobeeld van een degelijke opstelling. Twee platen zijn aan elkaa gelast, maa e zijn twee lasfouten geïnduceed: (i) de las loopt niet doo ove de volledige dikte van de plaat (L), en (ii) e is een slak-insluitsel aan de bovenkant van de las (S). Bovenaan in Figuu 5.7 is de klassieke A-scan afgebeeld, die de eflecties in de loop van de tijd weegeeft. De B-scan toont de gootte en positie van de lasfouten in een dwasdoosnede, loodecht op de las. De C-scan toont een tweedimensionaal zicht van het plaatoppevlak met infomatie ove de lasfouten in het ondeliggend mateiaal. Deze scan geeft echte geen infomatie ove de pecieze diepte van de lasfouten t.o.v. het oppevlak. De D-scan tenslotte toont een dwasdoosnede evenwijdig met de las. Uit de combinatie van deze veschillende scantypes kan men zee nauwkeuig de positie, de gootte en de enst van de lasfouten inschatten. 65

275 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.7 A-, B-, C- en D-scan van een las in het mateiaal []. Figuu 5.7 toont een ande voobeeld van lasinspectie, waabij de zende en ontvange van de ultasone taste op een veschillende plaats zijn gepositioneed. Hie bestaat de lasfout uit een kef net naast de las. 66

276 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.7 Lasinspectie m.b.v. ultasoon ondezoek []. De basistechniek van het ultasoon ondezoek, zoals die tot hietoe wed bespoken, maakt gebuik van een ultasone taste in diect contact met het mateiaaloppevlak. Deze techniek is echte niet geschikt voo poefstukken met een complee geometie. Het is immes zee moeilijk om de stuing van de ultasone taste zodanig te automatiseen dat hij altijd in contact blijft met het mateiaaloppevlak. Dit contact tussen ultasone taste en mateiaaloppevlak is echte net eteem belangijk, want als e een luchtspleet ontstaat tussen de taste en het mateiaaloppevlak, dingt de ultasone golf nauwelijks mee binnen in het poefstuk, opnieuw omwille van de zee lage akoestische impedantie van lucht. Om nu het gevaa van contactvelies tussen de ultasone taste en het poefstuk te omzeilen, wodt het volledige poefstuk ondegedompeld in wate. Zoals blijkt uit Tabel 3.3, is de akoestische impedantie van wate zowat 37 maal gote dan deze van lucht, zodat bij de gensovegang van wate naa het poefstuk een veel gote deel van de golf wodt doogelaten in het poefstuk. De twee meest gebuikte technieken bij ultasoon ondezoek met wate als koppelingsmedium zijn weegegeven in Figuu In de eeste methode (< in Figuu 5.73) bevindt de zende zich boven het poefstuk en de ontvange eonde. Dit noemt men de tansmissie-methode. In de tweede methode (= in Figuu 5.73) fungeet de ultasone taste als zende en eveneens als ontvange voo het teuggekaatste signaal. Deze laatste methode noemt men de puls-echo methode. 67

277 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.73 Schematische voostelling van de twee meest gebuikte technieken voo ultasoon ondezoek: () tansmissie, en () weekaatsing [7]. Deze technieken woden zee vaak toegepast op vezelvestekte kunststoffen. Vezelvestekte kunststoffen woden immes toegepast in kitische ondedelen zoals vliegtuigvleugels en wieken van windmolens. Ultasoon ondezoek is zee geschikt voo het detecteen van delaminaties in composieten, zoals geïllusteed doo Figuu Figuu 5.74 Voobeeld van C-scan in (a) tansmissie, en (b) puls-echo van een gedelamineede koolstof/epoy plaat [7]. 68

278 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.3..c. Radiogafie Taditioneel wodt onde adiogafie vestaan: de vezameling van niet-destuctieve ondezoekstechnieken, waabij het te ondezoeken wekstuk wodt doostaald met elektomagnetische staling van zee kote golflengten. Op een adiogafische opname ontstaan de veschillen in zwating doo veschillen in absoptie van Röntgenstalen of X- stalen doo de veschillende zones van het poefstuk. Deze elektomagnetische staling bevindt zich in het hoogfequent gebied (fequentie > 3 7 Hz en golflengte < nm). Essentieel ziet men dus hetzij veschillen in dikte, hetzij veschillen in absoptie doo het mateiaal. Holtes met voldoende afmeting kunnen hekend woden, omdat lucht de staling bijna niet absobeet. Volumetische fouten woden het best gedetecteed, tewijl de detectiekans op het aantonen van vlakke fouten afhangt van de aanstaalichting. Vandaa dat bij veel toepassingen, zeke als het detecteen van scheuen van belang is, naast adiogafisch ondezoek de ultasone techniek als complementaie inspectiemethode wodt voogescheven. Om scheuen duidelijke zichtbaa te maken, laat men vaak ook een vloeistof, een penetant, indingen in het te ondezoeken oppevlak. Deze penetant is zodanig gekozen dat zij de Röntgenstalen stek absobeet, zodat een veel bete contast bekomen wodt tussen het foutvij mateiaal en de scheuen. Figuu 5.75 toont een adiogafie van een [+5/-5/9/9/-5/+5] koolstof/epoy composiet dat in tek wodt belast tot beuk. De penetant di-iodobutaan wed gebuikt om het contast te vebeteen. Figuu 5.75(a) toont de schade bij een tekkacht die 95 % van de beukbelasting bedaagt ( =,64 %). De delaminaties aan de vije anden en de matischeuen zijn heel duidelijk zichtbaa. Figuu 5.75(b) toont de schade bij beuk ( =,67 %). Figuu 5.75 Radiogafie van een [+5/-5/9/9/-5/+5] koolstof/epoy composiet onde tekbelasting []. 69

279 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen In Hoofdstuk wed aangetoond dat onde gaten in een plaat spanningsconcentaties veoozaken. Hoewel de bespeking toen wed gevoed voo een homogeen en isotoop mateiaal, geldt dezelfde conclusie voo vezelvestekte kunststoffen. Figuu 5.76 toont het schadepatoon in een koolstofvezelvestekt epoyhas met een onde opening in het midden van de plaat. De plaat wed in vemoeiing belast met een wisselende tek-duk belasting. Uit de adiogafie blijkt duidelijk dat de schade zich concenteet ond de opening. Figuu 5.76 Matischeuen en delaminaties ond de opening in een koolstof/epoy plaat [] d. Themogafie Themische inspectie omvat die ondezoeksmethoden, waamee, doo middel van enegieovedacht via wamtegeleiding of infaode staling, tempeatuuvedelingen woden bepaald. Het tanspot van wamte wodt immes beïnvloed doo de aanwezigheid van fouten in het mateiaal. Ook de wamte die ontwikkeld wodt doo wijving en doo de goei van een fout, kan met themogafie zichtbaa gemaakt woden. In de meest algemene opstelling voo themogafie wodt een lase gebuikt, die wamtepulsen uitzendt naa het poefstuk. Deze themische golven woden deels geeflecteed en 7

280 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen deels doogelaten doo het poefstuk. Met een themogafische camea kan men dan het patoon van de oppevlaktetempeatuen opmeten. Met deze techniek is men ein geslaagd om delaminaties en hasijke zones in koolstofvezelvestekte kunststoffen te detecteen, alsook fouten in lijmvebindingen tussen metalen en composietondedelen. Figuu 5.77 toont de distibutie van de oppevlaktetempeatuu in een glas/epoy composiet. De plaat wed eest ondewopen aan een impact en nadien vede belast in vemoeiing. Hoewel de impactschade met het blote oog nauwelijks zichtbaa was, blijkt uit de themogafische opnames duidelijk dat e impactschade aanwezig is en dat deze toeneemt tijdens de vemoeiing. Figuu 5.77 Distibutie van de oppevlaktetempeatuu bij schade-evolutie in een glas/epoy composiet [3]. 7

281 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.4. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN In nagenoeg alle bepoevingsmethodes, die in paagaaf 5. aan bod kwamen, wodt de belasting eendimensionaal aangebacht. In de klassieke tekpoef wodt e bv. maa in één ichting aan het mateiaal getokken. Ook in de kuippoeven en vemoeiingspoeven wodt de belasting vaak slechts in één ichting aangebacht. Degelijke poefomstandigheden zijn vaak een gove simplificatie van de paktijk, waa dikwijls nomaalspanningen en schuifspanningen gelijktijdig opteden in veschillende ichtingen. Een epeimentele simulatie van alle mogelijke belastingscombinaties is echte onmogelijk om veschillende edenen: de kostpijs van een degelijk poefpogamma is te hoog, het opleggen van veschillende combinaties van nomaalspanningen en schuifspanningen in allelei vehoudingen zou aangepaste en complee poefmachines veeisen, het opmeten van de gootte en ichting van de opgelegde vevomingsstoestand zou een omvangijke instumentatie veeisen. Om bovenstaande edenen is men zogenaamde beukciteia gaan ontwikkelen: citeia die op basis van een bepekt aantal epeimentele gegevens het moment van beuk kunnen voospellen voo een mee complee spanningstoestand. Deze beukciteia bekommeen zich niet om het afgelegde pad naa de uiteindelijke beuk, maa enkel om de voospelling van het moment van beuk. Zoals vemeld in paagaaf 5.., hebben ductiele en bosse mateialen een zee veschillend beukgedag en bijgevolg weden veschillende beukciteia ontwikkeld voo ductiele en bosse mateialen. In geval van ductiele mateialen is de tem beukciteium niet coect, omdat het citeium niet het moment van complete beuk aangeeft, maa wel het moment van vloeien. Het voospelt dus eigenlijk de limiettoestand waaop het lineai elastisch gebied wodt velaten en het vloeien begint. Dit vloeien valt niet noodzakelijk samen met het volledig bezwijken van de constuctie. Daaom wodt in de volgende paagafen een ondescheid gemaakt tussen (i) vloeiciteia voo ductiele mateialen, en (ii) beukciteia voo bosse mateialen Vloeiciteia voo ductiele mateialen Voo de metalen, de gootste klasse van ductiele mateialen, weden een aantal vloeiciteia ontwikkeld op basis van volgende veondestellingen: het mateiaal wodt homogeen en isotoop ondesteld tot op het moment waaop het vloeien begint, de vloeigens in tek en duk wodt dezelfde ondesteld, uit epeimenten is vede gebleken dat de plastische vevoming gebeut zonde volumeveandeing en dat de hydostatische spanning geen invloed heeft op het vloeien. Op basis van deze vooondestellingen weden twee vloeiciteia ontwikkeld, die beiden gebaseed zijn op de maimaal toelaatbae schuifspanningen. Men had immes epeimenteel eeds heel voeg vastgesteld dat schuifspanningen een belangijke ol spelen in het bezwijkgedag van ductiele metalen. Indedaad, wannee een dunne plaat van zacht staal heel fijn gepolijst wodt en vevolgens ondewopen aan een tekpoef, dan ziet men tijdens het vloeien een patoon van heel fijne lijnen, allemaal onde een hoek van ongevee 45 met de 7

282 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen tekichting. Deze lijnen weden voo het eest geobseveed doo Lüde in 854 en zijn afgebeeld in Figuu Figuu 5.78 Lüde s lijnen tijdens het vloeien van een dunne stalen poefplaat in tek [6]. Wannee men de tekpoef van deze dunne staalplaat benadet doo een vlakspanningstoestand, dan kan men m.b.v. de cikel van Moh eenvoudig aantonen dat de maimale schuifspanning indedaad opteedt onde een hoek van 45 met de belastingsichting. Figuu 5.79 toont de cikel van Moh voo de vlakspanningstoestand in geval de tekspanning de vloeigens v heeft beeikt. 73

283 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.79 Cikel van Moh voo vlakspanningstoestand in zuivee tek [4]. De waade van de maimale schuifspanning ma is dan de helft van de vloeigens v. De twee belangijkste en meest gebuikte vloeiciteia, die op deze waanemingen zijn gebaseed, zijn (i) het citeium van Tesca, en (ii) het citeium van von Mises. 74

284 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.4..a. Citeium van Tesca Heni Tesca leidde in 868 het citeium van maimale schuifspanning (Eng: maimum sheaing stess citeion) af uit de hieboven bescheven epeimentele waanemingen. Het citeium stelt dat het mateiaal onde een willekeuige spanningstoestand plastisch gaat vevomen wannee de absolute maimale schuifspanning in het mateiaal de schuifspanning ma = v / beeikt waabij dat mateiaal gaat vloeien wannee het uitsluitend aiaal op tek wodt belast. Om dit citeium toe te passen, dukt men de absolute waade van de maimale schuifspanning uit in functie van de hoofdspanningen I, II en III. Men kan aantonen dat geldt: I III v ma (5.7) 5.4..b. Citeium van von Mises Von Mises bepekt zich niet tot het gebuik van de maimale schuifspanning ma, maa definieet die schuifspanningswaaden voo zijn citeium. In elk punt kan men namelijk de hoofdspanningen I, II en III en de bijhoende hoofdichtingen beekenen. Nu is het zo dat in datzelfde punt die andee, ondeling loodechte ichtingen bestaan, waa de schuifspanningen maimaal zijn (vegelijk met de cikel van Moh in vlakspanning). Deze die schuifspanningen noteet men als: 3 II I I III III II (5.8) Uit beschouwingen ove de enegie die bij het vevomingspoces betokken is, stelde von Mises dan volgend citeium voo vloeien vooop: II III I III I II v (5.9) Omdat deze uitdukking invaiant is en niet afhangt van het gekozen assenstelsel, kan het von Mises citeium ook uitgedukt woden voo elke spanningstoestand: 6 (5.) zz zz y z yz v 75

285 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Beukciteia voo bosse mateialen Bij beukciteia voo bosse mateialen moet men vooeest een duidelijk ondescheid maken tussen isotope en anisotope mateialen. Voo isotope bosse mateialen (bv. gietijze) zien de beukciteia e totaal andes uit dan voo anisotope bosse mateialen (bv. composieten) a. Isotope bosse mateialen In geval van isotope mateialen veschilt het beukgedag van bosse mateialen gondig van dat van ductiele mateialen. Zo zal het beukvlak bij een eenvoudige tekpoef loodecht staan op de tekichting (zie Figuu 5.8). Figuu 5.8 Bezwijken van een bos mateiaal onde tekbelasting [4]. Bij een tosiepoef daaentegen maakt het beukvlak van de poefstaaf een hoek van 45 met de afschuifichting. Het beukoppevlak is daadoo spiaalvomig, zoals aangegeven in Figuu

286 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.8 Bezwijken van een bos mateiaal onde tosiebelasting [4]. Dit beukpatoon geeft aan dat de beuk onde tosiebelasting opteedt onde de maimale tekspanning. Indedaad, uit de cikel van Moh blijkt immes onmiddellijk dat de maimale tekspanning bij een tosiepoef opteedt onde een hoek van 45 met de afschuifichting, zoals afgebeeld in Figuu 5.8. Figuu 5.8 Cikel van Moh voo tosiebelasting [4]. Voo een algemene spanningstoestand stelt men dan dat beuk opteedt wannee de gootste hoofdspanning I gelijk wodt aan de beukspanning die wed gemeten in een aiale tekpoef. Dit is een veel gebuikt beukciteium voo isotope bosse mateialen. 77

287 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.4..b. Anisotope bosse mateialen Voo anisotope bosse mateialen heeft men zich vaak geïnspieed op beukciteia voo isotope ductiele mateialen, en mee in het bijzonde op het von Mises beukciteium. Een beukciteium dat heel vaak wodt toegepast op het beukgedag van composietmateialen, is het Tsai-Wu citeium. Net als het von Mises citeium stelt het een kwadatische uitdukking van de spanningen vooop, die beuk voospelt op het moment dat de uitdukking gelijk wodt aan één. In zijn meest algemene vom geldt het beukciteium van Tsai-Wu voo een diedimensionale spanningstoestand, maa het wodt zelden in die vom gebuikt. Vezelvestekte kunststoffen woden immes vaak uitgevoed als dunne platen of schalen en dan ondestelt men vaak een tweedimensionale vlakspanningstoestand in elke laag van het composiet. Het Tsai-Wu citeium wodt dan toegepast op een afzondelijke laag van het composiet. Het beukciteium wodt gescheven in het assenstelsel van othotopie, dus volgens de lokale assen ( e, e, e 3 ) (zie ook paagaaf..): F 66 F F F F F (5.) De coëfficiënten F ij en F i zijn functie van de tek- en dukstektes in de veschillende ichtingen van othotopie. De kwadatische temen in, en zijn ongevoelig voo het teken van de spanning, tewijl de temen in en wel degelijk afhangen van het teken van de aangelegde spanning. De koppeltem in geeft de inteactie wee tussen twee ondeling loodechte spanningen, maa vaak wodt deze tem nul ondesteld. In de ondestelling dat F =, kan men de waade van alle constanten F ij en F i bepalen uit eenvoudige eendimensionale tek- en dukpoeven, zodat het Tsai-Wu citeium uiteindelijk wodt: X X C YT Y (5.) C XT XC YT YC S T waabij X T en X C de tek- en dukstekte voostellen volgens de ichting van de vezelvesteking, Y T en Y C de tek- en dukstekte loodecht op de vezelichting, en S de afschuifstekte. Naast het Tsai-Wu citeium bestaan e nog tal van andee citeia om het beukgedag van anisotope bosse mateialen te voospellen, maa die bespeking valt buiten het bestek van deze cusus (zie [5]). 78

288 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen 5.5. MATERIAALMODELLEN Uit bovenstaand ovezicht van de bepoevingsmethodes blijkt dat mateialen zich heel veschillend kunnen gedagen naagelang de gootte van de belasting, de duu van de belasting, de vaiatie van de belasting, de belastingssnelheid, enz. Het is dan ook duidelijk dat de wet van Hooke, die het lineai elastisch gedag van mateialen beschijft, vaak niet voldoet om het complee gedag van mateialen te beschijven. Daaom zijn heel wat modellen ontwikkeld, die de wet van Hooke vevangen doo een mee gecompliceede betekking tussen spanningen en ekken. Aangezien pecies dit veband tussen spanning en ek afhangt van het type mateiaal, noemt men deze modellen mateiaalmodellen. Om deze mateiaalmodellen enigszins te classificeen, kan men de veschillende types mateiaalgedag indelen in vie gote categoieën: tijdsonafhankelijk mateiaalgedag in deze categoie bengt men de types mateiaalgedag onde die niet afhangen van de tijd. Deze mateiaalmodellen hebben een zee beed toepassingsbeeik omdat heel wat constucties ondehevig zijn aan statische belastingen en hun spanningen en ekken onde deze belasting niet afhangen van de tijd. De belangijkste mateiaalmodellen in deze klasse beschijven het elastisch en het plastisch mateiaalgedag, tijdsafhankelijk mateiaalgedag de spanningen en ekken in sommige mateialen zijn wel degelijk afhankelijk van de tijd. Hiebij kan de tijdschaal enom vaiëen, afhankelijk van de belasting. Zo zal een impactof stootbelasting slechts enkele milliseconden duen, tewijl een cyclische vemoeiingsbelasting dagen of jaen kan aanhouden. Ook onde een constante, statische belasting kan de vevoming in de loop van de tijd gaan toenemen (kuip), of de spanning gaan afnemen (elaatie), scheugoei in de twee voogaande mateiaalklassen wed veondesteld dat het mateiaal foutvij is en geen scheuen vetoont. De beukmechanica bestudeet de invloed van scheuen op het globale gedag van het mateiaal en beekent de scheugoei onde cyclische belastingen. Men kan ondescheid maken tussen de elastische beukmechanica en de elastischplastische beukmechanica, naagelang men eventuele plastische vevoming aan de scheutip al dan niet in ekening bengt, degadatie de schademechanica is een vij ecente tak van de mechanica die een altenatief biedt om complee schadepatonen te modelleen. Zo vetonen bosse mateialen onde cyclische belasting vaak duizenden kleine micoscheutjes. Het is onbegonnen wek om de beukmechanica toe te passen op de goei van elk van die scheutjes. De schademechanica tacht de gemiddelde degadatie van het mateiaal wee te geven t.g.v. al deze scheutjes. Figuu 5.83 geeft een ovezicht van de classificatie, die nu mee in detail bespoken wodt. 79

289 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Tijdsonafhankelijk Elastisch Plastisch Foutvij mateiaal Beschadigd mateiaal Tijdsafhankelijk Scheugoei Degadatie Visco-elastisch Visco-plastisch Beukmechanica Schademechanica lineai elastisch elastisch-pefect plastisch kuip kuip tijd tijd elastisch elastisch schade lage, statische belastingen in metalen, beton, keamieken,... idealisatie van ductiel gedag van metalen, waabij geen vesteviging opteedt in de plastische fase langduige statische belasting van polymeen, beton,... gedag van gond, ook van metalen bij hoge tempeatuen spanningsconcentatie in de buut van de scheutip degadatie van mateiaaleigenschappen onde kuip, vemoeiing, impact voo allehande mateialen niet-lineai elastisch elastisch-plastisch met vesteviging elaatie elaatie elastisch-plastisch elastisch-plastisch tijd tijd schade lage, statische belastingen in ubbes, polymeen,... modelleing van poductiepocessen voo metaalvomgeving (walsen, dieptekken) langduige statische belasting van polymeen, beton,... boutvebindingen in pijpleidingen en tubines bij hoge tempeatuen scheugoei met plastische vevoming aan de scheutip degadatie van mateiaaleigenschappen onde kuip, vemoeiing, impact voo allehande mateialen sta sta-pefect plastisch vevomingssnelheid vevomingssnelheid het mateiaal vevomt niet, onafhankelijk van de gootte van de spanning modellen voo het vevomingsgedag van gond sta-plastisch met vesteviging gedag van metalen bij hoge vevomingssnelheden (impact) gedag van metalen bij hoge vevomingssnelheden en gote vevomingen (bv. keukelzone auto) hysteesis hysteesis modellen voo het vevomingsgedag van gond enegiedissipatie bij metalen en kunststoffen onde cyclische belastingen enegiedissipatie bij cyclische belasting met gote amplitude van metalen en polymeen Figuu 5.83 Ovezicht van de veschillende klassen mateiaalmodellen. 8

290 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Tijdsonafhankelijk mateiaalgedag Zoals blijkt uit Figuu 5.83, zijn e twee gote subklassen binnen de categoie Tijdsonafhankelijk mateiaalgedag : (i) elastisch mateiaalgedag, en (ii) plastisch mateiaalgedag a. Elastisch mateiaalgedag Lineai elastisch Het lineai elastisch mateiaalgedag geldt voo een goot aantal mateialen bij lage belastingen. Staal, beton en keamieken zijn typische voobeelden. In dit domein van het mateiaalgedag geldt de wet van Hooke, zoals die wed opgesteld in hoofdstuk. Niet-lineai elastisch Vele ubbes en polymeen vetonen een niet-lineai elastisch gedag. De spanning neemt niet echt evenedig toe met de vevoming, maa bij ontlasten wodt de spanning-ek cuve wel in omgekeede zin doolopen en keet het mateiaal teug naa zijn oosponkelijke onvevomde toestand. Sta Sta mateiaalgedag is eigenlijk een idealiseing van een zee stijf mateiaalgedag, waabij de elasticiteitsmodulus E zee goot is. Als gevolg daavan is voo een bepaalde spanning de bijhoende vevoming nagenoeg nul. Een degelijk mateiaalmodel vindt men vaak teug in numeieke simulaties, waabij voo de eenvoud het gedag van zee stijve mateialen als sta wodt gemodelleed b. Plastisch mateiaalgedag Het plastisch mateiaalgedag ondescheidt zich van het elastisch mateiaalgedag doodat na ontlasting een pemanente ek p oveblijft. Globaal kan men vie belangijke types van plastisch mateiaalgedag ondescheiden (Figuu 5.83). Elastisch-pefect plastisch Als het mateiaal geen (of nauwelijks geen) vesteviging vetoont in de vloeifase, wodt het mateiaal gemodelleed als elastisch-pefect plastisch. Eens het mateiaal vloeit, kan de ek stek toenemen onde constante spanning. Elastisch-plastisch met vesteviging Als het mateiaal wel degelijk vestevigt tijdens het vloeien, dan neemt de spanning toe bij toenemende ek. De helling van deze cuve hangt uiteaad af van de staalsoot en wodt bepaald uit epeimentele tekpoeven. Sta-pefect plastisch Dit is een zee veeenvoudigd model voo het plastisch gedag van metalen. Het model gaat uit van de idee dat de elastische ekken zéé klein zijn t.o.v. de mogelijke ekken in het plastisch gebied. Daaom ondestelt men dat het mateiaal niet vevomt zolang de spanning beneden de vloeigens blijft. Eens de vloeigens is beeikt, vloeit het mateiaal onde nagenoeg constante spanning. 8

291 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Sta-plastisch met vesteviging In dit geval neemt men opnieuw aan dat het mateiaal niet vevomt in het elastisch gebied. In het plastisch gebied teedt echte wel vesteviging op van het mateiaal en stijgt de vloeigens bij toenemende ekken. E bestaan veschillende modellen voo plasticiteit en een gedetailleede bespeking valt buiten het bestek van deze cusus. Hie woden enkel een aantal algemene eigenschappen van de mateiaalmodellen voo plasticiteit samengevat. De totale ek wodt gescheven als de som van de elastische ek en de pemanente ek: (5.3) ij e ij p ij e Voo de elastische ek ij geldt nog altijd de wet van Hooke. De pemanente ek daaentegen is onomkeebaa. Om te bepalen wannee e pemanente ek ontstaat, gebuikt men een vloeiciteium dat aangeeft bij welke spanningstoestand het vloeien stat. Zoals in paagaaf 5.4. uitgelegd, zijn het citeium van Tesca en von Mises de meest gebuikte citeia. E zijn echte ook andee citeia die ekening houden met de vesteviging van het mateiaal in het plastisch gebied. Dit wil zeggen dat na ontlasting in het plastisch gebied, het mateiaal bij hebelasting pas zal beginnen vloeien bij een hogee waade van de spanning dan de oosponkelijke vloeigens. De vezameling van bestaande vloeiciteia kan men schijven in een algemene vom: elastisch : plastisch : f ( f ( kl kl, ), ) (5.4) waabij de vestevigingspaamete voostelt. Bij de citeia van Tesca en von Mises is de vestevigingspaamete nul, en wodt geen vesteviging ondesteld in het plastisch gebied. Men vult de waade van de actuele spanningen in in het vloeiciteium. Zolang de waade van het vloeiciteium kleine is dan nul, bevindt het mateiaal zich in het elastisch gebied. Als het vloeiciteium nul wodt, teedt vloeien op. p Mocht men voo de pemanente ekken ij betekkingen opstellen, analoog aan de wetten van Hooke, dan kan men geen onomkeebae vevoming modelleen. Indedaad, als: p S ( ) (5.5) ij dan zou de pemanente ek altijd dezelfde waade hebben voo een bepaalde spanning. Dat is hoegenaamd niet het geval, want na elke vedee belasting in het plastisch gebied stijgt de pemanente ek bij ontlasting. Nu blijkt dat men een onomkeebae vevoming op een veel eenvoudige manie kan uitdukken als volgt: ij kl p ij p ij S ( ij kl, ) als als f ( f ( kl kl, ), ) (5.6) 8

292 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen p Ditmaal woden niet de pemanente ekken ij gebuikt, maa wel hun vevomingssnelheden p ij. Is het vloeiciteium kleine dan nul, dan teedt geen aangoei op van de pemanente ek. Is het vloeiciteium nul, dan kan de pemanente ek aangoeien. De bespeking van de pecieze uitdukkingen S ij die het veband aangeven tussen de spanningen kl en de vevomingssnelheden, valt buiten het bestek van deze cusus. p ij Tijdsafhankelijk mateiaalgedag Analoog met het elastisch en plastisch mateiaalgedag in het tijdsonafhankelijk domein, ondescheidt men in het tijdsafhankelijk domein visco-elastisch en visco-plastisch gedag. Globaal kan men zowel in het visco-elastisch als in het visco-plastisch gebied vie typische fenomenen ondescheiden bij het tijdsafhankelijk mateiaalgedag: (i) kuip, (ii) elaatie, (iii) vevomingssnelheid en (iv) hysteesis. Het wood visco-elastisch is ontstaan uit de obsevatie dat sommige mateialen eigenschappen vetonen van zowel elastische vaste stoffen als van visceuze vloeistoffen. Een typisch voobeeld zijn kunststoffen, zoals bv. polycabonaat. Bij hoge tempeatuen gedaagt deze kunststof zich als een visceuze vloeistof, tewijl het zich bij kametempeatuu gedaagt als een vaste stof. Een belangijk veschil is dat ideaal lineai elastische mateialen bij ontlasting steeds teugkeen naa hun onvevomde begintoestand. Visceuze vloeistoffen daaentegen hebben geen vemogen om aangebachte vevomingen te niet te doen. Uiteaad vomen ideaal lineai elastische mateialen en ideaal visceuze vloeistoffen de twee uiteinden van het hele spectum. Tussenin bevinden zich een heleboel mateialen, die zich, afhankelijk van de tempeatuu, de vevomingssnelheid, de mateiaalstuctuu,... in mindee of meedee mate visceus of elastisch gedagen. Dit gedag noemt men dan ook viscoelastisch. De ondestaande discussie wodt bepekt tot visco-elastisch gedag. Bij visco-plastisch gedag zal na ontlasting een pemanente vevoming oveblijven die veel moeilijke te modelleen p valt, zoals eeds bleek uit het vehaal ove de vevomingssnelheden ij bij tijdsonafhankelijk plastisch gedag. Kuip en elaatie Zoals eeds bescheven in paagaaf 5..5 ove de kuippoeven, is kuip een toenemende vevoming onde constante spanning, tewijl elaatie een afnemende spanning voostelt onde constante vevoming. Omdat deze fenomenen analoog zijn, woden zij tesamen behandeld. Een eenvoudige klasse van modellen voo visco-elastische mateialen zijn de mechanische modellen. Deze modellen tachten het gedag van het visco-elastisch mateiaal te beschijven m.b.v. lineaie veen en visceuze dempes en gebuiken dus in feite een analogie om het visco-elastisch gedag te beschijven. Figuu 5.84 toont de bouwstenen van deze mechanische modellen: de lineaie vee (Figuu 5.84(a)) en de visceuze dempe (Figuu 5.84(b)). 83

293 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.84 Lineaie veen en visceuze dempes als basiselementen van de mechanische modellen [4]. Voo de vee met veeconstante E, is de spanning vebonden met de ek doo de elatie: v E v (5.7) Voo de visceuze dempe geldt een lineai veband tussen de spanning en de vevomingssnelheid : d d (5.8) waabij de viscositeitsconstante is van de dempe. Nu zijn e veschillende combinaties mogelijk van dit vee- en dempesysteem. Het model van Mawell bestaat uit een seieschakeling van een lineaie vee en een visceuze dempe, zoals weegegeven in Figuu Figuu 5.85 Model van Mawell [4]. In dit geval is de spanning, op elk tijdstip t, dezelfde in de vee als in de dempe. De totale velenging is de som van beide delen, zodat: 84

294 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen v E d (5.9) (t) (t) E t ( ) d In geval van een kuippoef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de bovenstaande vegelijking levet onmiddellijk [5]: ( t) t (5.3) E In geval van een elaatiepoef is de ek constant. Het veband tussen spanning en ek wodt dan: E E ep t (5.3) Figuu 5.86 toont de espons van het vee-dempe systeem voo een kuippoef en een elaatiepoef. De linkecuve is een maat voo de toenemende vevoming onde constante spanning (kuip), tewijl de echtecuve een maat is voo de afnemende spanning onde constante ek (elaatie). Figuu 5.86 Mawell model, met coespondeende kuip- en elaatiecuves [6]. 85

295 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Het model van Kelvin-Voigt plaatst een vee en een dempe in paallel, zoals weegegeven in Figuu Figuu 5.87 Model van Kelvin-Voigt [4]. In dat geval is de ek, op elk tijdstip t, dezelfde in de vee en de dempe. Dan volgt onmiddellijk dat: E (5.3) In geval van een kuippoef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de bovenstaande vegelijking levet onmiddellijk [5]: E ( t) ep t (5.33) E In geval van een elaatiepoef is de ek constant. Het veband tussen spanning en ek wodt dan eenvoudig: E (5.34) Figuu 5.88 toont de espons van het vee-dempe systeem voo een kuippoef en een elaatiepoef. De linkecuve is een maat voo de toenemende vevoming onde constante spanning (kuip), tewijl de echtecuve een maat is voo de afnemende spanning onde constante ek (elaatie). Figuu 5.88 Kelvin-Voigt model, met coespondeende kuip- en elaatiecuves [6]. 86

296 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Dit model is minde ealistisch, omdat bij het aanleggen van de spanning i.g.v. de kuippoef, niet onmiddellijk een vevoming opteedt. En ook bij elaatie is het niet ealistisch dat de spanning niet afneemt in functie van de tijd. In vele gevallen voldoen deze modellen dan ook niet. Men kan dan ovegaan naa een uitgebeidee combinatie van veen en dempes in seie en paallel, maa vaak neemt men zijn toevlucht tot empiische modellen. Deze modellen distilleen een eenvoudige wet die zuive gebaseed is op epeimentele waanemingen. Voo het kuipgedag (bij constante spanning ) van composietmateialen en kunststoffen gebuikt men bijvoobeeld vaak de wet [7,8]: m n (,t) K t (5.35) E Daabij zijn K, m en n constanten, die woden gefit op basis van epeimentele esultaten. Men moet heel voozichtig zijn met het gebuik van degelijke empiische modellen, omdat ze vaak slechts buikbaa zijn in een bepekt toepassingsgebied (uni-aiale spanning, constante tempeatuu,...). Vevomingssnelheid Zoals vemeld in paagaaf 5..7, vetonen vele mateialen beduidend andee eigenschappen bij zee hoge vevomingssnelheden. Zo is het typisch voo metalen dat de vloeigens toeneemt bij hogee vevomingssnelheid. Een diepgaande inleiding ove dit soot mateiaalmodellen vindt men in [9], hie woden enkel een paa (semi-)empiische modellen voogesteld. Een semi-empiische betekking die vaak wodt gebuikt, is de volgende [3]: A ln (5.36) v v, waabij v, de vloeigens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigens bij vehoogde vevomingssnelheid en A een constante. Deze betekking geeft aan dat de toename van de vloeigens evenedig is met de natuulijke logaitme van de vevomingssnelheid. Voo aluminium, kope en zacht staal gebuikt men ook vaak de empiische wet [3]: v v, n (5.37) waabij v, opnieuw de vloeigens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigens bij vehoogde vevomingssnelheid en n een constante. Hysteesis Hysteesis stamt van het Giekse wekwood hysteein wat betekent: te laat komen, niet beantwooden aan. Deze tem wodt gebuikt voo het veschijnsel waabij het gevolgde pad langs de spanning-ek cuve bij belasting niet hetzelfde is als bij ontlasting. Figuu 5.89 toont een voobeeld van hysteesis bij de cyclische belasting van een glas/epoy composiet. In de eeste paa duizend cycli is de spanning-ek lus nagenoeg een echte lijn, tewijl de lus vebeedt naamate het aantal cycli toeneemt. 87

297 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.89 Spanning-ek espons van een glas/epoy composiet onde cyclische belasting [3]. Ook bij vemoeiing van metalen teedt hysteesis op. Hysteesis kan zowel vookomen in het elastisch gebied als in het plastisch gebied, zoals geïllusteed doo Figuu 5.9. Figuu 5.9 Hysteesis van metalen in het elastisch (links) en plastisch (echts) gebied [3]. Een hysteesislus betekent vebuik van enegie. In paagaaf. weden de abeid en elastische enegie gedefinieed. Daabij wed aangetoond dat de abeid van de uitwendige kachten als elastische enegie wodt opgeslagen in het mateiaal. Bij ontlasting zogt de elastische enegie evoo dat het mateiaal zich teugplooit in zijn oosponkelijke, onvevomde toestand. Wannee nu het mateiaal bij belasten en ontlasten niet dezelfde weg volgt langs de spanningek cuve, is de oppevlakte van de lus gelijk aan de hoeveelheid enegie die pe volume- 88

298 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen eenheid wed vebuikt. Deze enegie kan woden omgezet in wamte of woden aangewend voo de uitbeiding van scheuoppevlak. Hysteesis wodt vaak op analoge wijze gemodelleed als kuip en elaatie. Figuu 5.9 toont een voobeeld van mogelijke modelleing. In Figuu 5.9(a) staat een gecombineed veedempesysteem voo modelleing van hysteesis afgebeeld. Figuu 5.9(b) toont de espons van de ek (t) voo een blokbelasting (t) voo dit vee-dempesysteem. Figuu 5.9(c) toont tenslotte het geïdealiseede (volle lijn) en ealistische veloop (steeplijn) van een hysteesislus. Met het mechanisch model van veen en dempe in het achtehoofd kan men de geïdealiseede hysteesislus als volgt uitleggen: bij belasting teedt een onmiddellijke elastische ek op (weking van de veen). Onde constante spanning neemt de ek dan vede toe t.g.v. de vetaagde dempeweking. Wannee men nu gaat ontlasten, valt de elastische ek onmiddellijk weg (ontlasting van de veen). Hoewel het systeem volledig ontlast is, duut het nog een tijd vooalee ook de vevoming volledig op nul is teuggevallen. Bij een epeimentele opmeting van de hysteesislus (zie bv. Figuu 5.89) zal de lus niet zo echthoekig zijn als de geïdealiseede lus in volle lijn in Figuu 5.9(c), maa wel zoals de ealistische hysteesislus in steeplijn. Figuu 5.9 Mogelijke modelleing van hysteesis [3] Scheugoei De dede gote categoie van mateiaalmodelleing beteft de mechanica van scheuen en keven. In tegenstelling tot de beide voogaande klassen gaat het hie niet om de belasting van initieel foutvij mateiaal. Doo de aanwezigheid van keven of scheuen is het mateiaal ongelijkmatig belast en teden spanningsconcentaties op ond de scheuen. De beekening van deze spanningen ond scheuen en de voospelling van de scheugoei is het domein van de beukmechanica. Het spanningsveld ond een scheu hangt uiteaad af van de wijze waaop de scheu wodt belast. In de liteatuu beschouwt men die veschillende modes waaop de scheuvlakken woden belast. Deze die modes woden weegegeven in Figuu 5.9 en kijgen de omeinse lettes I, II en III toegewezen. 89

299 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.9 Veschillende scheumodes []. In de displicine van de beukmechanica kan men twee gote takken ondescheiden: (i) de elastische beukmechanica, en (ii) de elastisch-plastische beukmechanica a. Elastische beukmechanica Met behulp van de elasticiteitslee kan men nu de spanningsvedeling ond zo n scheutip gaan beekenen in een aantal voo de paktijk elevante gevallen. Het eenvoudigste geval is dat van een oneindige plaat met een inwendige scheu, zoals weegegeven in Figuu De oneindige plaat wodt belast met een tekspanning loodecht op de scheu, zodat de scheu belast wodt in mode I. De totale scheulengte is a. Men veondestelt dat de plaat belast wodt in vlakspanning en dus zijn de elevante spanningen, en y. 9

300 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.93 Inwendige scheu met lengte a in een oneindige plaat. Hecht men aan de scheutip een polai assenstelsel ( e, e ), dan kan men aantonen dat de spanningen, en y ond de scheutip, beekend volgens de elasticiteitstheoie, de volgende zijn [4]: y a a a 3 cos sin sin 3 cos sin sin 3 cos sin cos (5.38) Zoals duidelijk blijkt uit de fomules, woden deze elastische spanningen oneindig als, dus aan de scheutip zelf. Dit is natuulijk in de paktijk onmogelijk, maa doo de ondestellingen van de elastische theoie woden degelijke esultaten wel bekomen. Voo een gegeven uitwendige belasting en scheulengte a is de facto a in de vegelijkingen (5.38) constant. Deze constante tem vomt pecies de definitie van de spanningsintensiteitsfacto K I : K I a (5.39) waabij [MPa] de aangelegde spanning is op de plaat en a [m] de halve scheulengte. De spanningsintensiteitsfacto K I heeft dus de dimensie [MPa m ]. De subscipt I duidt op de belasting van de scheutip in mode I. De spanningscomponenten, en y kunnen dus gescheven woden als het poduct van K I met een geometische functie f(,). Met andee wooden, K I bepaalt de gootte van de elastische spanningen aan de scheutip, aangezien K I alleen functie is van de kefgeometie en de aangelegde spanning. 9

301 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Hoewel de configuatie in Figuu 5.93 een oneindige plaat voostelt, gaat deze beekening ook op voo platen waabij de scheulengte zee klein is t.o.v. de beedte van de plaat. Als de lengte van de scheu niet vewaaloosbaa is t.o.v. de plaatbeedte of als de scheu zich aan de and van de plaat bevindt (zie Figuu 5.94), zijn andee spanningsintensiteitsfactoen K I nodig. Figuu 5.94 Veschillende scheugeometieën [33]. Toch woden deze spanningsintensiteitsfactoen K I steeds gescheven als [33]: K I CCF a (5.4) waabij CCF staat voo Configuation Coection Facto. Deze dimensieloze facto hangt af van de scheugeometie en de eindige afmetingen van de plaat. De waaden van CCF voo allehande geometieën en scheutypes kan men teugvinden in de liteatuu. Figuu 5.95 toont het voobeeld van een eindige plaat met een scheu aan de linkezijde. De plaat is belast met een tekspanning en de totale scheulengte is ditmaal a. 9

302 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.95 Spanningen ond een scheutip belast in mode I []. De coectiefacto CCF bedaagt in dit geval: a a a a CCF,,3,55,7 3,95 (5.4) W W W W waabij a de scheulengte is en W de beedte van de plaat. Voo een voldoend bede plaat (a/w << ) is CCF =,. Wannee een spanningsanalyse wodt gedaan van een foutvij en gelijkmatig belast mateiaal, dan woden de spanningen vegeleken met mateiaaleigenschappen zoals de vloeigens of de tekstekte van het mateiaal om te beoodelen of de component veilig is onde statische belasting. Als daaentegen defecten of scheuen aanwezig zijn, wodt de spanningsintensiteitsfacto K I vegeleken met een andee mateiaaleigenschap om de eseve tot beuk te beoodelen. Deze mateiaaleigenschap is de beuktaaiheid K Ic (Eng: factue toughness). Beneden deze kitische waade van de spanningsintensiteitsfacto K I goeit de scheu niet vede, boven deze kitische waade zal de scheu vede uitbeiden. De waade van de beuktaaiheid omvat een zee uim gebied voo de meest bosse mateialen zoals ijs en keamiek, tot de meest taaie mateialen zoals metalen. Keamische mateialen en polymeen hebben steeds lage waaden, in het inteval. 5 MPa m. Composieten hebben typisch een beuktaaiheid tussen en MPa m. De metalen beeiken beuktaaiheden van tot MPa m. De spanningsintensiteitsfacto K I kan ook met succes woden toegepast op vemoeiing van metalen. Indedaad, in heel wat metalen constucties zijn eeds initiële scheutjes aanwezig (doo poductiepocessen of lasfouten), en onde cyclische belastingen zullen deze scheutjes langzaam goeien, omdat de spanningen daa lokaal heel wat hoge zijn dan de spanningen die in de est van de constuctie opteden

303 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Om een idee te kijgen van de scheugoei in metalen ondedelen, heeft men heel wat vemoeiingspoeven gedaan op metalen poefplaten met een initiële scheu. Een schematische voostelling is getekend in Figuu Figuu 5.96 Toepassing van de spanningsintensiteitsfacto voo vemoeiing []. Meestal situeet het spanningsbeeik zich volledig in de tekzone, omdat de scheuen hoofdzakelijk goeien onde tekbelasting en bij dukbelasting opnieuw woden dichtgedukt. Als men nu de epeimenteel opgemeten scheuaangoei pe cyclus, da/dn, uitzet t.o.v. het beeik van de spanningsintensiteitsfacto K I, beiden op een logaitmische schaal, dan blijkt dat e voo vele metalen een lineai veband bestaat tussen beide, zoals geïllusteed doo Figuu

304 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen Figuu 5.97 Typische data voo da/dn vs. K I []. Men kan het lineai veband als volgt schijven: da dn K n I C (5.4) waabij C en n twee constanten zijn. Deze wet is de wet van Pais-Edogan en wodt nog steeds heel veel gebuikt in de studie van vemoeiing van metalen ondedelen b. Elastisch-plastische beukmechanica De elastische beukmechanica is zee waadevol gebleken voo het ontwep van mateialen met defecten of scheuen. In vele taaie mateialen leiden deze spanningsconcentaties niet onmiddellijk tot beuk, maa teedt ond de scheutip een zone op van plastische vevoming. Daadoo woden de hoge spanningen gemilded en beidt het pobleem zich niet uit naa de est van de constuctie. 95

305 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen De elastische beukmechanica kan degelijke fenomenen niet weegeven, zoals ook eeds bleek uit de vegelijkingen (5.38). Deze vegelijkingen beekenden dat de spanning aan de scheutip ( ) naa oneindig gaat. Uiteaad is dit fysisch onmogelijk, en zal zoda de vloeigens is beeikt, het mateiaal ond de scheutip plastisch gaan vevomen. Deze studie is het domein van de elastisch-plastische beukmechanica. Figuu 5.98 illusteet dit met een schematisch voobeeld. In het mateiaal is een uitspaing aanwezig. Deze doosnedeveandeing zogt voo een spanningsconcentatie en het ontstaan van een scheu. Aan de scheutip vevomt het mateiaal plastisch, tewijl vedeop het mateiaal zich nog elastisch gedaagt. Figuu 5.98 Elastisch-plastisch spanningsveld ond een scheu []. Ook voo deze plastische zone ond de scheutip zijn een heel aantal modellen ontwikkeld. De meeste modellen maken een aantal veondestellingen omtent de gootte en de vom van de plastische zone ond de scheutip. Het is belangijk te vemelden dat de elastisch-plastische beukmechanica maa elevant is voo taaie mateialen. In zee bosse mateialen (bv. keamische mateialen) zal de scheu instabiel gaan goeien, zonde enige plastische vevoming ond de scheutip Degadatie Degadatie van het mateiaal kan veoozaakt woden doo heel uiteenlopende vomen van belasting. Vemoeiing, impact en kuip kunnen aan de basis liggen van een toenemende schade in het mateiaal. In sommige mateialen zoals composieten en beton is deze schade heel diffuus en bestaat ze uit tal van micoscopische scheutjes of andee defecten. De beukmechanica is niet geschikt om degelijke vespeide schade te modelleen. Vandaa wodt de continuum schademechanica (Eng: continuum damage mechanics) vaak aangewend als altenatief. 96

306 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen In zijn meest eenvoudige vom gaat de continuum schademechanica uit van de basisondestelling dat een beschadigd mateiaal kan vevangen woden doo een fictief schadevij mateiaal dat echte vemindede stijfheids- en stekte-eigenschappen bezit. Dit wodt vetaald doo het pincipe van equivalente vevoming (Eng: equivalent stain pinciple) dat wed ingevoed doo Lemaite in 965 en schematisch is weegegeven in Figuu Figuu 5.99 Pincipe van equivalente vevoming. Het pincipe van equivalente vevoming stelt dat een beschadigd mateiaal met elasticiteitsmodulus E en schade D, belast met een spanning, dezelfde vevoming vetoont als een fictief schadevij mateiaal met elasticiteitsmodulus E, belast met de effectieve spanning ~ = /(-D). De vegelijking wodt: D (5.43) E E Men kan de betekking ook eenvoudig heschijven als: E ( D) (5.44) Dit is de basisvegelijking van de eendimensionale schademechanica. Als men de facto (-D) weglaat uit bovenstaande vegelijking, bekomt men onmiddellijk de eendimensionale vom van de wet van Hooke. Doo de intoductie van de tem (-D) geeft men pecies aan dat de stijfheid E van het mateiaal doo de schade is afgenomen tot de stijfheid E (-D). De waade van de schadevaiabele D is begepen tussen nul (foutvij mateiaal) en één (volledig bezweken mateiaal). In tegenstelling tot de beukmechanica, concenteet de schademechanica zich niet op het gedag en de goei van één individuele scheu. De schadevaiabele D vetegenwoodigt het globaal effect van alle miniscule scheutjes op een macoscopische gootheid, nl. de stijfheid E. De continuum schademechanica wodt aangewend in tal van domeinen: impact, vemoeiing, kuip, en voo tal van mateialen: beton, composieten, keamieken,... Een toepassing binnen de vakgoep Mechanische Constuctie en Poductie is de modelleing van vemoeiingsschade 97

307 Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Mateiaalmodellen in vezelvestekte kunststoffen m.b.v. continuum schademechanica []. Dit voobeeld wodt kot bespoken om de mogelijkheden van de schademechanica te illusteen. Metalen en vezelvestekte kunststoffen vetonen een stek veschillend gedag in vemoeiing. In metalen gebeut de scheugoei zee taag. Pas op het einde van de levensduu goeit een macoscopische scheu die uiteindelijk leidt tot bezwijken van de constuctie. De goei van deze scheu kan gemodelleed woden met de elastische of elastisch-plastische beukmechanica. Tijdens het ovegote deel van de levensduu blijft de stijfheid van de constuctie nagenoeg intact. In vezelvestekte kunststoffen daaentegen kunnen eeds scheutjes ontstaan na een paa hondeden tot duizenden belastingscycli. Deze scheutjes hebben ook onmiddellijk hun impact op de waade van de stijfheid die behoolijk kan afnemen. Pecies deze stijfheidsdegadatie kan men modelleen met de continuum schademechanica. Figuu 5. toont de poefopstelling die in het ondezoek wed gebuikt. Links staat de schematische voostelling van het epeiment. Een poefstuk wodt bovenaan ingeklemd en ondeaan heen en wee vebogen doo een kuk-dijfstangmechanisme. De fequentie van de heen-en-weegaande beweging is, Hz. Het is dus een veplaatsingsgestuude vemoeiingspoef in buiging. Rechts staat een foto van een ingeklemd poefstuk in uitbuiging. Figuu 5. Epeimentele opstelling voo vemoeiingstest in buiging: schematische voostelling van de poefstand (links) en foto van het poefstuk in buiging (echts) []. Deze poeven weden uitgevoed op een met glasweefsel vestekt epoyhas. Zoals eeds hoge vemeld, kunnen vezelvestekte kunststoffen in vemoeiing eeds vij vlug scheutjes vetonen en dat wodt bevestigd doo Figuu 5.. Deze figuu toont een gepolijste dwasdoosnede van de zone van het glas/epoy poefstuk ond de inklemming. De inklemplaten en de ichting van buiging zijn schematisch weegegeven. Uit de micoscoopopname blijkt indedaad een veelheid aan scheutjes in het mateiaal. En pecies deze scheutjes zogen voo een afname van de stijfheid E van het mateiaal. 98