Tentamen Electromagnetisme I, 30 juni 2008, uur

Transcriptie

1 Tentamen Electomagnetisme I, 3 juni 8, uu Het tentamen estaat uit 6 opgaven.van de vagen 3,4,5,6 woden e slechts die meegenomen voo de eoodeling. Als je alle vie inlevet woden de este die geuikt om het cijfe vast te stellen. Instucties : schijf je naam op iede vel papie dat je inlevet. leg steeds uit wat je doet en waaom. Vectoen duidelijk aangeven met pijltjes : De sommen 1,,3 en 4,5,6 woden apat nagekeken. Schijf daaom (1,,3) en (4,5,6) op apate sets papie. Opgave 1 (algemeen; 3 punten) a. Geef de Maxwell vegelijkingen voo statische electische en magnetische velden in diffeentiaal- en integaalvom.. Geef de dimensie van Volt in temen van de S.I. eenheden m,s, kg, A. Opgave (egip electostatica; 5 punten) a. Aan die oppevlakken S 1, S en S 3 woden metingen gedaan van de totale electische flux doo het oppevlak, met als uitkomsten +1, +, -3 Nm /C. De volgende stellingen woden nu geponeed : (i) het oppevlak S 3 is het gootst; (ii) de (asolute) netto lading innen S 3 is het gootst; (iii) het E-veld oveal op het oppevlak S 1 is zwakke dan op S. Geef aan welke stellingen coect zijn : (1) alleen (i); () alleen (ii); (3) alleen (i) en (ii); (4) alleen (ii) en (iii); (5) (i) en (ii) en (iii).. In expeiment E 1 zijn 6 ladingen +Q vedeeld ove een holle, isoleende ol. In expeiment E is +6Q unifom vedeeld ove zo n ol. De punten A, B, C liggen op gelijke afstanden van het centum, en in het equatovlak van de ol. In E 1 liggen de ladingen Q op de lijn vanuit het centum naa A en C. Welke eweing is coect : (1) In iede expeiment is de veldstekte hetzelfde in de punten A, B, C, maa de stektes zijn veschillend in eide gevallen. () In iede expeiment is de veldstekte hetzelfde in de punten A, B, C, en de stektes zijn gelijk in eide gevallen. (3) In E 1 is de veldstekte hetzelfde in de punten A, B, C; in E is dat niet zo. (4) In E is de veldstekte hetzelfde in de punten A, B, C; in E 1 is dat niet zo. (5) Geen van deze eweingen is coect. 1

2 Opgave 3 (E-veld, ladingsvedeling, V(); = 11 punten) Gegeven een halve olschil (staal R) met een unifome oppevlaktelading σ. z Kies het centum van het equatovlak als oospong, en kies de z-as langs de lijn die het centum en de zuidpool van de halve ol veindt. R a. Schets het veloop van de electische veldlijnen dichtij de ol, en op afstand >> R. Beeken met ehulp van de integaalvom van de Maxwell vegelijkingen de discontinuiteit in de hoizontale en veticale componenten van het E -veld, gaande van innen de schil naa uiten de schil.. Geef de algemene fomule voo de potentiaal V( ) als integaal ove de ladingsvedeling, met een willekeuig punt ten opzichte van de oospong; veklaa alle symolen die je geuikt en maak een schets waain de veschillende vectoen duidelijk staan aangegeven. σ R c. Laat zien dat de V in de oospong gegeven wodt doo ε. d. Beeken V(z) voo een willekeuig punt op de positieve z-as. Ga na dat voo z= het antwood uit (c) volgt, en ga na hoe de uitdukking veeenvoudigt voo z >>R Benodigd voo (d) : sinϑ dϑ 1 a acosϑ + cosϑ = a + a a Opgave 4 (Electische polaizatie; = 11 punten) Het electische veld van een oject met polaizatie P ontstaat uit een geonden oppevlakteladingsdichtheid σ (gegeven doo σ ˆ = Pn ), en een geonden volumeladingsdichtheid ρ (gegeven doo ρ = P ). a. Beschouw eest een (niet-gepolaiseede) ol (staal R) met een unifome ladingsdichtheid ρ. Kies de oospong in het centum, en eken met de wet v. Gauss het E-veld innen en uiten de ol uit. Vegeet niet de ichting aan te geven.. Beschouw nu een ol (staal R) met een polaizatie P ( ) = k. Beeken σ en ρ. c. Beeken het E -veld innen en uiten de ol. Bedenk goed hoe je eide ladingsvedelingen σ en ρ in ekening engt. d. Geuik een Maxwell-vegelijking om te laten zien hoe het D -veld gedefinieed wodt, en geef de uitdukking voo D. Geef in een (nette!) schets aan wat het gedag is van de E, PD, -velden innen en uiten de ol. e. Geuik de andvoowaaden voo E of D om je antwood in (c) te contoleen.

3 Opgave 5 (Magnetische dipolen; = 1 punten) Beschouw een magnetische dipool m, geplaatst in de oospong en geoienteed in de z-ichting. µ m ˆ De vectopotentiaal wodt gegeven doo Adip =. Definiee ϑ als de hoek tussen en de z-ichting en ϕ als de hoek tussen de pojectie van in het xy-vlak en de x-ichting. µ m a. Laat zien dat B ( ) (cos ˆ sin ˆ dip = ϑ + ϑϑ) 3. Geef een uitdukking voo de hoek ϑ waaij de z-component van B dip gelijk is aan nul. Is ϑ kleine dan of gote dan 45? c. Beschouw nu een echthoekig daadaam met zijden a,, waadoo een stoom I loopt. Geef de waade van het esulteende magnetische dipoolmoment en laat met een schets zien wat de ichting van de dipool is. Laat vevolgens via de Loentz-kacht zien dat in een unifom B - veld een tosie τ op het daadaam wekt te gootte τ = m B Opgave 6 (Magnetostatica en inductie; = 1 punten) Voo het eekenen van het magneetveld ten gevolge van een (lijn)stoom geldt de wet van Biot- µ I d I d Savat : B ( ) = ; voo de vectopotentiaal geldt A µ =. a. Laat zien dat het magneetveld op afstand z oven een cikelvomige stoomlus (lus 1, staal R, stoom I) gegeven wodt doo ( ) µ IR B z = z ˆ. 3/ ( R + z ). Een kleine solenoide (spoel, staal a <<R, aantal windingen N) wodt op afstand z (z>>r) oven lus 1 geplaatst. Definiee de wedekeige inductantie M 1, het effect van het veld van lus 1 op spoel, en eeken deze. Je moet hievoo een enadeing geuiken. Geef aan welke. c. Schijf de flux doo spoel in temen van de vectopotentiaal ten gevolge van lus 1. Laat zien dat hieuit volgt dat M 1 = M 1. d. Lus 1 wodt nu doogeknipt; de einden woden zonde (het oppevlak van) de lus te veandeen met een weestand R veonden. Doo spoel wodt een stoom I = I cos( ωt) gestuud. Beeken de stoom die nu loopt in de weestand R EINDE---- 3

4 leeg 4

5 5

6 6