Tentamen: Gravitatie en kosmologie

Transcriptie

1 1 Tentamen: Gavitatie en kosmologie Docent: Jo van den Band Datum uiteiken: 3 decembe 2012 Datum inleveen: 14 decembe 2012 bij Maja of voo 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: decembe 2012 afspaak maken via ) Vemeld uw naam op elke pagina. Het is toegestaan om liteatuu en pogammatuu te aadplegen. Geef in het laatste geval een uitdaai mee. Geef aan met wie u samenwekt indien van toepassing). Motivee uw esultaat teneinde een maximale scoe te beeiken. Onleesbaaheden woden fout geekend. Alle opgaven tellen even zwaa alle ondedelen ook). Antwooden inleveen bij secetaesse of postvak): Maja Heonen, kame T2.24. Veel succes!

2 2 Opgave 1. Beschouw een bol met staal a, voozien van de gebuikelijke coödinaten u 1 θ, u 2 φ. De hoeken θ en φ kennen we van de sfeische coödinaten, met 0 θ π en 0 φ 2π. We tanspoteen een vecto λ paallel langs een cikel met latitude γ gegeven doo θ = θ 0 θ 0 = constant), beginnend en eindigend op punt P 0 met φ = 0 of 2π zie ondestaande guu). Figuu 1: Paallel tanspot ove een cikel met bepaalde latitude θ = θ 0 = constant. Opgave 1a) Bij aanvang maakt de eenheidsvecto λ op punt P 0 een hoek α oostelijk ten opzichte van het zuiden) met e θ. Welke hoek heeft λ ten opzichte van zijn oosponkelijke ichting als hij volledig ove de cikel is getanspoteed voo θ 0 = 85? Opgave 1b) Ove welke hoek wodt λ gedaaid voo een cikel met θ 0 = 5 nabij de Noodpool)? Opgave 1c) Ove welke hoek wodt λ gedaaid voo tanspot langs een geodeet? Wat zijn de geodeten op het oppevlak van een bol? Opgave 2. We beschouwen een vlak FRW univesum met metiek ds 2 = dt 2 + a 2 t) dx 2 + dy 2 + dz 2), 1) dat gevuld is met elativistisch mateiaal en een kosmologische constante Λ. We nemen aan dat de uimte een Big Bang heeft ondegaan op coödinatentijd t = 0. Opgave 2a) Schijf de Einsteinvegelijkingen op voo dit univesum en gebuik voo de pefecte vloeistof met toestandsvegelijking P = wρ de enegie-impuls tenso T a b = ρ 0 w w 0. 2) w Schijf de tt-tem van de Einsteinvegelijkingen uit en toon aan dat ρ + ȧ 2 = 8πG 3 a2 Λ 8πG ). 3) Opgave 2b) Gebuik het feit dat een elativistische vloeistof een toestandsvegelijking heeft met w = 1 3 en laat zien dat ρ = 3β2 8πG a 4, 4)

3 3 met β 2 een integatieconstante. Opgave 2c) Gebuik dit esultaat in de 'tt' Einsteinvegelijking en beeken de kosmologische schaalfacto a 2 t). Laat zien dat dit gelijk is aan ) 3 Λ a 2 t) = β Λ sinh 2t. 5) 3 Opgave 2d) Laat zien dat deze oplossing voldoet aan de andvoowaaden: at = 0) = 0, tewijl voo t we een exponentieel expandeend univesum dienen te vinden, op pecies dezelfde manie als wannee we de stalingsdichtheid ρ vewaaloosd hadden. Opgave 2e) Beschijf de asymptotische beweging van een foton dat langs de positieve ˆx-as eist. Laat de beweging beginnen op de oospong op t = 0. Gebuik hiebij Mathematica of iets degelijks. Analytisch kan het ook doo hypegeometische functies te gebuiken.) Opgave 2f) Laat zien dat voo "late" tijden de positie van het foton in essentie "beviest": de vootgang is exponentieel langszame en langzame naamate de coödinatentijd naa oneindig gaat. Als t i laat genoeg is zodat het univesum gedomineed wodt doo Λ, dan zal het foton binnen de oneindigheid van tijd tot het eind van het univesum, slechts een eindige afstand aeggen, gegeven doo ) 12 x ) xt i ) = β 2 e i t Λ/3. 6) Λ Opgave 3. We beschouwen de geodetische beweging van een testdeeltje in de Schwazschild uimtetijd. Deze uimtetijd wodt gegeven doo dτ 2 = 1 2M ) dt 2 1 2M ) 1 d 2 2 dθ 2 2 sin θ dϕ 2. 7) Opgave 3a) Laat zien dat de Schwazschild metiek twee constanten van beweging kent de zogenaamde Killing constanten) die gescheven kunnen woden als E = 1 2M ) u t, L = 2 sin θ u ϕ. 8) In het vevolg zullen we, zonde velies van algemeenheid, aannemen dat θ = π/2. Deze twee bewegingsconstanten kunnen woden gebuikt om geodetische beweging in adiele ichting te schijven als een dieentiaalvegelijking. Hietoe kunnen we de nomalisatie van viesnelheid gebuiken, g µν u µ u ν = 1. Opgave 3b) Laat zien dat de nomalisatie van vie-snelheid leidt tot de dieentiaalvegelijking ) d L = E 2 1 2M dϕ ) 1 + L2 2 ). 9) Opgave 3c) De dieentiaalvegelijking bestaat ook in Newtoniaanse mechanica, maa mist dan de tem 3 ; deze laatste tem is dus een elativistische bijdage aan de beweging. Laat zien dat als we deze tem vewaalozen, de dieentiaalvegelijking wodt opgelost doo ϕ) = a 1 + e cos y, 10)

4 4 waain y = ϕ + ϕ 0, en ϕ 0 een willekeuige constante is. In deze oplossing zijn a en e constanten die een maat zijn voo, espectievelijk, de gemiddelde staal van de baan en haa eccenticiteit. Ze zijn geelateed aan de Killing constanten E en L. Duk E en L uit in a en e. Opgave 3d) We zullen nu de elativistische tem 3 in acht nemen. Laat zien dat de dieentiaalvegelijking 9) dan nog altijd wodt opgelost doo 10) maa alleen als de coodinaat y en de hoek ϕ aan elkaa geelateed zijn via de vegelijking ) dy 2 = 1 2M 3 + e cos y). 11) dϕ a Ook nu geldt wee dat a en e geelateed zijn aan de Killing constanten E en L. Duk E en L uit in a en e. Opgave 3e) Laat zien dat de oplossing uit opgave 3d educeet tot de oplossing uit opgave 3c wannee de testmassa zich ve van de massa M bevindt, en beagumentee waaom dit in de lijn de vewachting lag. Opgave 3f) Gebuik 10) om uitdukkingen te vinden voo het peiaston en het apaston van de beweging. Gebuik deze esultaten om aan te tonen dat de afgelegde hoek ϕ tussen twee opeenvolgende peiasta exact gegeven wodt doo de integaal ϕ = 2π 0 dy 1 1 2Ma 3 + e cos y). 12) Laat tenslotte zien dat als de testmassa ve weg is van de massa M, de uitkomst van deze integaal gelijk is aan 2π, en dat voo massa's dichtbij de massa M de integaal een waade heeft gote dan 2π. Dit esultaat is de beoemde peiaston shift van de planeten in hun baan ond de zon: ze daaien iets snelle ond de zon dan op basis van loute de Newtoniaanse mechanica vewacht wodt. Opgave 3g) Beeken de peihelion-pecessie van Mecuius. Opgave 4. In deze opgave beschouwen we een stofbal waavan de uimtetijdkomming wodt bescheven doo de Schwazschild metiek. Zoals al is afgeleid in de voige opgave geldt dat een stofdeeltje in deze uimtetijd twee Killingconstanten E en L kent. De componenten van de 4-snelheid zien e dan als volgt uit: u 0 = g 0ν u ν = g 00 u 0 = m 1 2M ) 1 E, u = d dτ, u θ = 0, u φ = g φν u ν = g φφ u φ = 1 2 L. 13) Opgave 4a) Gebuikmakend van de nomalisatie van de 4-snelheid u µ u µ = 1), toon aan dat 1 2 ) d M dτ 2 ) ) L = 1 2 E2. 14) Opgave 4b) Volledige gavitationele ineenstoting vindt plaats wannee de duk niet lange voldoende is om een ste te in stand te houden. Het eenvoudigste model is e een waabij de duk

5 5 helemaal is weggevallen P = 0), maa de dichtheid is uiteaad nog steeds niet nul. De mateie heeft dan de enegie-momentum tenso van dukloos stof: T µν = ρ u µ u ν. 15) Laten we aannemen dat we te maken hebben met een stofbal die homogeen en isotoop is. Deze begint op ust, met een eindige staal R. Buiten de stofbal is e alleen maa sfeisch symmetische vacuüm-uimtetijd, waavan we veondestellen dat hij asymptotisch vlak is. Volgens de stelling van Bikho is dit uitwendige gedeelte van de uimtetijd dus van de Schwazschild-vom. Aan het oppevlak van de stofbal bewegen stofdeeltjes op geodeten van de uitwendige Schwazschilduimtetijd. Gebuikmakend van vgl. 14) en de beginvoowaaden, toon aan dat de beweging aan het oppevlak bescheven wodt doo d dτ ) 2 = 2M R R. 16) Op een facto 2M/R na, is dit een welbekende dieentiaalvegelijking, namelijk die van een cycloïde. Beschouw een punt P op een wiel dat in de x-ichting olt. Laat η de hoek zijn tussen de veticale as en een lijn die het midden van het wiel vebindt met het punt P. Als de staal van het wiel R is, toon aan dat de x- en y-componenten als volgt afhangen van η: x = Rη + sin η), y = R1 + cos η). 17) Bewijs ook dat ) dy 2 = 2R y. 18) dx y Doo vegelijking 18) te vegelijken met 16), leid een paametische oplossing af voo 16). Opgave 4c) Leg uit waaom de inwendige geometie van de stofbal die van een in elkaa stotend, gesloten k = +1) RW-univesum moet zijn. De Einsteinvegelijkingen woden dan twee gekoppelde dieentiaalvegelijkingen voo de schaalfacto a: ȧ ) 2 = 8πρ a 3 1 a 2, ä a = 4π 3 ρ, 19) waabij het punt de afgeleide naa de eigentijd van het stof aanduidt. Leid een paametische oplossing af voo a met beginwaade a m ), alsook voo de eigentijd τ, allebei in temen van een paamete η zoals hieboven. Leid ook een uitdukking af voo de dichtheid als functie van η. Opdat dit model geloofwaadig zou zijn, moet de omtek van het steoppevlak dezelfde zijn wannee ze gemeten wodt via de intene RW-metiek en de extene Schwaschild-metiek. Met andee wooden, als C de evenaa is op een willekeuig tijdstip, dan gαβ S dxα dx β 1/2 = gαβ F dxα dx β 1/2, 20) waabij g F de k = 1 RW-metiek is met lijnelement C C ds 2 = dτ 2 + a 2 τ) [ dχ 2 + sin 2 χ dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) ]. 21)

6 6 Toon aan dat het indedaad mogelijk is om aan 20) te voldoen voo alle tijdstippen. Hoe elateet deze voowaade de massa M en initiële staal R aan de initiële schaalfacto a m en de waade van de adiële coödinaat χ 0 van de and? Opgave 4d) Een waaneme A beweegt mee met het oppevlak van de stofbal. Leid uitdukkingen af in temen van M en R voo de tijd die volgens A vestijkt alvoens de volgende dingen gebeuen: a) de voming van een hoizon; b) het veschijnen van een singulaiteit. Neem aan de initiële staal en de massa van de ste gelijk waen aan die van de Zon. Wat zijn in dat geval de tijden a) en b)? Vegeet niet de nodige machten van G en c in te voeen.) Een andee waaneme B kijkt vanop een zee gote afstand naa de ineenstoting van de ste. Men kan aantonen dat de eigentijd t van B als volgt geelateed is aan de bovenstaande paamete η: R/2M 1) 1/2 + tanη/2) t = 2M ln R/2M 1) 1/2 tanη/2) +2MR/2M 1) 1/2 [η + R/4M)η + sin η)]. Deze uitdukking divegeet wannee een bepaalde waade van η wodt benaded. Wat is op dat moment? Bespeek. Voo massieve deeltjes kan de geodetische vegelijking gescheven woden als 22) du ν dτ = 1 2 νg µσ u µ u σ. 23) Hieuit kunnen we opmaken dat wannee alle componenten van de metiek onafhankelijk zijn van x ν voo een bepaalde index ν, dan ν g µσ = 0, en u ν is constant langs de hele geodeet: het is een bewegingsconstante. In de Schwazschild-metiek zijn alle componenten onafhankelijk van t, dus is u 0 een bewegingsconstante. Het is behulpzaam een nieuwe constante E als volgt te deniëen: E u 0. 24) Mek op dat u 0 = p 0 /m, met p µ het 4-momentum en m de ustmassa; E is dus de enegie pe eenheid ustmassa. De metiek is eveneens onafhankelijk van de hoek φ, zodat u φ een bewegingsconstante is, en we deniëen L u φ, 25) waabij L het baanimpuls pe eenheid ustmassa is. Omwille van sfeische symmetie gebeut de beweging in een vlak. Zonde bepeking kunnen we veondestellen dat dit het equatoiale vlak is θ = π/2), en u θ = dθ/dτ = 0.