Tentamen DYNAMICA (4A240) 23 juni uur

Transcriptie

1 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni uu Lees het ondestaande zogvuldig doo voodat u aan de opgaven begint! Algemene opmekingen: Begin iedee opgave op een nieuw blad. Vemeld op iede blad duidelijk uw naam en identiteitsnumme. Pesentee uw wek ovezichtelijk en leesbaa. Bij dit tentamen mag alleen gebuik woden gemaakt van het boek DYNAMICS van J.L. Meiam en L.. Kaige en een pocketcalculato of een gafische ekenmachine. ebuik van notebooks/lap-tops en ande studiemateiaal is dus niet toegestaan. Dit tentamen bestaat uit 3 opgaven. De deelcijfes die pe opgave kunnen woden behaald zijn (in tienden) 30 voo opgave, 35 voo opgave en 35 voo opgave 3. Algemene gegevens: Indien niet andes is vemeld, gelden de volgende gegevens: Veen en dempes zijn massaloos en hebben een lineaie kaakteistiek. Lages en schanieen zijn wijvingsloos. Kooden en kabels zijn massaloos en onekbaa. Katollen zijn massaloos. Kooden en kabels ollen zuive af ove katollen; e teedt dus geen slip op. SUCCES!!! /7

2 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 OPAVE Beschouw Figuu. Voo een filmstunt zijn de twee kooden, waaaan platfom AB boven een avijn hangt, gepepaeed (punten A en B woden niet doo de gond ondesteund). Kood zit stevig vast aan zowel de boom in punt O als aan het platfom in punt A. Kood BD is wel stevig bevestigd aan punt D, maa is aan punt B van het platfom bevestigd via een gemakkelijk los te maken knoop. Beide kooden mogen massaloos en onekbaa woden veondesteld. Kood heeft een lengte van d [m] en staat initieel onde een hoek van θ [ad] met de veticaal, zie Figuu. Platfom AB mag woden gemodelleed als een slanke, unifome balk met een lengte van L [m] en een massa van m [kg]. Veticaal wekt de zwaatekachtsvesnelling van g [m/s ] in de aangegeven ichting. Figuu toont ook de definities van de positieve tanslatieichtingen x (hoizontaal) en (veticaal) van het massamiddelpunt van platfom AB en de positieve otatieichting β van platfom AB. In deze opgave wodt nu het tijdstip beschouwd, waain de knoop in punt B net losgemaakt is, kood BD dus contact met het platfom gaat veliezen en platfom AB in beweging komt vanuit de hoizontale positie in ust. Noem de tekkacht in kood. y g β y x Figuu a) eken het fee-body diagam van platfom AB en neem de positieve ichtingen voo x, y en β ove uit Figuu. b) Duk de bewegingsvegelijking van het massamiddelpunt van platfom AB in de x -ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens. c) Duk de bewegingsvegelijking van het massamiddelpunt van platfom AB in de y - ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens. d) Duk de bewegingsvegelijking van platfom AB in de β -ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens en neem daabij de momenten t.o.v. het massamiddelpunt van platfom AB. Let op: deze opgave wodt vootgezet op de volgende bladzijde! /7

3 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 Een echtsdaaiend Catesisch coödinatensysteem met eenheidsvectoen i, j, k wodt gedefinieed, waabij eenheidsvecto i in de positieve x -ichting staat, eenheidsvecto j in de positieve y - ichting staat en eenheidsvecto k i j oveeenkomt met de positieve otatieichting voo β. e) Duk a A, de absolute vesnellingsvecto van het linkepunt van het platfom uit in de gegevens, de (nog onbekende) hoekvesnelling α van kood en de eenheidsvectoen. ip: maak gebuik van de elatieve vesnellingsvectovegelijking voo punten A en O. f) Duk a, de absolute vesnellingsvecto van het massamiddelpunt van platfom AB uit in de gegevens, de (nog onbekende) hoekvesnelling α van kood, de (nog onbekende) hoekvesnelling & β van platfom AB en de eenheidsvectoen. ip: maak gebuik van de elatieve vesnellingsvectovegelijking voo punten en A. 3/7

4 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 OPAVE Figuu toont een hade ubbeen homogene bal met een massa van m [kg] en een staal van [m], die op het punt staat om tegen de gond te botsen. Op het tijdstip t t [s], wannee de botsing met de gond begint, heeft het massamiddelpunt van de bal een hoizontale snelheid naa echts van v X [m/s] en een veticale snelheid van v Y [m/s] naa de gond toe. Bovendien heeft de bal op t t [s] een otatiesnelheid van ω [ad/s] met de wijzes van de klok mee. Mek op dat in Figuu de positieve tanslatieichtingen en de positieve otatieichting gedefinieed staan. Aangenomen mag woden, dat elastische defomatie van de bal alleen tijdens de botsing opteedt (niet evoo en niet ena), dat botsingen van de bal met de gond volkomen elastisch zijn, en dat e tijdens de botsing geen slip opteedt tussen de bal en de gond. Dit betekent dat e tijdens de botsing geen enegievelies opteedt. Noem W () t de onbekende wijvingskacht, die de gond uitoefent op de bal tijdens de botsing. De botsing vindt plaats in het zee kote tijdsinteval [ t,t ] [s]. Op t t [s], het tijdstip dat de botsing met de gond is afgelopen, is de otatiesnelheid van de bal ω [ad/s] en is de hoizontale snelheid van het massamiddelpunt van de bal v X [m/s]. De veticale snelheid van op t t [s] is v Y [m/s]. Deze snelheid is even goot als de veticale snelheid van op t t [s], doch is nu omhoog geicht en dus van ichting omgekeed. Veticaal wekt de zwaatekachtsvesnelling g [m/s ] in de aangegeven ichting. Dit gegeven is echte ielevant voo de uitweking van deze opgave, omdat niet zozee de veticale beweging van, maa met name de hoizontale beweging van en de otatiebeweging van de bal ondezocht woden. Omdat mag woden aangenomen, dat ook tijdens de vlucht van de bal doo de lucht geen enegievelies opteedt, wodt in veticale ichting na iedee botsing met de gond steeds wee dezelfde hoogte beeikt. X Y [m] θ, ω g Figuu a) Duk I, het massataagheidsmoment van de bal t.o.v. zijn massamiddelpunt, uit in de gegevens. b) Duk, de kinetische enegie van de bal op t t [s], uit in de gegevens. Let op: deze opgave wodt vootgezet op de volgende bladzijde! 4/7

5 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 c) Neem positie als de positie oveeenkomend met t t [s] en positie als de positie oveeenkomend met t t [s]. Waaom wodt e, gaande van positie naa positie, (netto) geen abeid geleved doo: ) de elastische kachten, ) de zwaatekacht, 3) de nomaalkacht en 4) de wijvingskacht? d) Neem wedeom positie als de positie oveeenkomend met t t [s] en positie als de positie oveeenkomend met t t [s]. Duk de abeid-enegievegelijking, die de enegetische elatie geeft tussen deze twee posities van de bal, uit in de gegevens. e) Duk de impulsvegelijking van het massamiddelpunt van de bal in de X -ichting uit in de gegevens voo het tijdsinteval [ t,t ] [s]. f) Duk de impulsmomentvegelijking van de bal in de θ -ichting uit in de gegevens voo het tijdsinteval [ t,t ] [s]. Neem daabij alle impulsmomenten t.o.v. het massamiddelpunt van de bal. g) egeven is dat: 0. 0 [m], v X 0 [m/s], ω 0 [ad/s] en m 0. [kg] (mee gegevens zijn niet nodig voo deze deelopgave). t Beeken v X, ω en Wdt (de impuls geleved doo de wijvingskacht tijdens de botsing). t 5/7

6 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 OPAVE 3 Figuu 3 toont het zijaanzicht van een mechanisch systeem. Een puntmassa van m [kg] bevindt zich op een glad oppevlak en is aan zijn linkezijde via een vee met veestijfheid k [N/m] vebonden met de vaste weeld. Deze puntmassa is aan zijn echtezijde via een onekbaa en massaloos kood, dat ove een katol loopt, vebonden met een puntmassa van m [kg]. Het kood olt zuive af ove de katol, m.a.w. e teedt geen slip op tussen kood en katol. De katol mag woden opgevat als een homogene schijf met een staal van [m] en een massa van m 3 [kg]. In het systeem is enegiedissipatie doo wijvingskachten te vewaalozen. Noem [N] de (nog onbekende) tekkacht in het hoizontale deel van het kood en [N] de (nog onbekende) tekkacht in het veticale deel van het kood. Veticaal wekt de zwaatekachtsvesnelling van g [m/s ] in de aangegeven ichting. De hoizontale veplaatsing van de puntmassa van m [kg] is positief naa echts en wodt aangegeven met x [m]. De veticale veplaatsing van de puntmassa van m [kg] is positief naa beneden en wodt aangegeven met y [m]. De otatie van de katol is positief met de wijzes van de klok mee en wodt aangegeven met θ [ad]. Als de vee ongespannen is geldt: x 0 [m], y 0 [m] en θ 0 [ad]. x m 3 θ g y Figuu 3 a) eken het fee-body diagam van de puntmassa van m [kg]. Neem de positieve ichting van de veplaatsing x ove uit Figuu 3. Duk de bewegingsvegelijking van de puntmassa van m [kg] in de x -ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens. b) eken het fee-body diagam van de puntmassa van m [kg]. Neem de positieve ichting van de veplaatsing y ove uit Figuu 3. Duk de bewegingsvegelijking van de puntmassa van m [kg] in de y -ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens. Let op: deze opgave wodt vootgezet op de volgende bladzijde! 6/7

7 entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 c) eken het fee-body diagam van de katol. Neem de positieve ichting van de otatie θ ove uit Figuu 3. Duk de bewegingsvegelijking van de katol in de θ -ichting zoveel mogelijk uit in de gegevens en neem daabij de momenten t.o.v. het centum van de otatieas van de katol (samenvallend met het massamiddelpunt van de katol). d) eef de kinematische elatie tussen de veplaatsing y van de puntmassa van m [kg] en de veplaatsing x van de puntmassa van m [kg]. eef de kinematische elatie tussen de veplaatsing y van de puntmassa van m [kg] en de otatie θ van de katol. e) Beschouw de statische evenwichtsstand. Duk de statische uitwijkingen xst, y st, θ st en de, st en, st tekkachten uit in de gegevens. f) Duk de eigenhoekfequentie ω n (in [ad/s]) van het systeem uit in de gegevens. Hint: stel eest de bewegingsvegelijking van het systeem op in temen van & y&, y en de gegevens doo combinatie van de antwooden van deelvagen a), b), c) en d). g) egeven is: k 0 [N/m], m. 5 [kg], 0. [m]. De oveige paametewaaden zijn onbekend. Puntmassa m wodt geëxciteed doo een onbekende veticale sinusvomige kacht. en gevolge van deze kacht meet een kachtsenso, die geplaatst is in het hoizontale deel van het kood de volgende dynamische component van de tekkacht: ( t) 0sin( 4t) [N]. Beeken de paticuliee oplossing voo de hoeksnelheid & θ p ( t) van de katol, die hievan het gevolg is. EINDE 7/7

8 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 OPAVE a) Het fee-body diagam van het platfom met de definitie van de positieve ichtingen: y β x b) Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking F x m& x voo het massamiddelpunt van het platfom in de x -ichting geeft: sin θ mx & c) Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking F y m& y voo het massamiddelpunt van het platfom in de y -ichting geeft: cos θ mg my & d) Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking M & β voo het platfom in de β -ichting geeft: L cosθ ml & β I e) Relatieve vesnellingsvectovegelijking: A ao + a A O Substitutie van: a 0 O ω ω + α ( A O ) A O a A / O / / a / in deze vegelijking met gebuikmaking van 0 ω (vanuit ust), α α k en d sinθi cosθj geeft: ( ) A / O /9

9 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 a A a dα cosθi dα sinθj [m/s ] A / O + f) Relatieve vesnellingsvectovegelijking: a A + a A Substitutie van: a A dα cos θi + dα sinθj ω ω + α ( AB / A ) AB A a / A AB / a / in deze vegelijking met gebuikmaking van 0 ω AB (vanuit ust), α && AB βk en / A Li geeft: a d cos θi + dα sinθj + L && βj [m/s ] OPAVE α a) b) m I [kgm ] 5 I ω + mv + mv [J] X Y c) ) Op de posities dat de botsing begint en eindigt is e geen elastische defomatie, dus: V e V e 0 [J]. Netto wodt e dus, gaande van positie naa positie, geen abeid veicht doo de elastische kachten (bij het inveen van de bal tijdens het e deel van de botsing wodt negatieve abeid veicht doo de elastische kachten, maa bij het uitveen van de bal tijdens het e deel van de botsing wodt doo de elastische kachten een even gote, doch positieve abeid veicht, zodat netto geen abeid wodt veicht doo elastische kachten). ) Het massamiddelpunt van de bal bevindt zich op beide posities op dezelfde hoogte, dus voo de potentiële enegietemen m.b.t. de zwaatekacht geldt: V g Vg. Netto wodt e dus gaande van positie naa positie geen abeid veicht doo de zwaatekacht (bij het inveen van de bal tijdens het e deel van de botsing wodt positieve abeid veicht doo de zwaatekacht, maa bij het uitveen van de bal tijdens het e deel van de botsing wodt doo de zwaatekacht een even gote, doch negatieve abeid veicht, zodat netto geen abeid wodt veicht doo de zwaatekacht). 3) De nomaalkacht veicht geen abeid, omdat e tijdens de botsing, op de positie waa de nomaalkacht wodt uitgeoefend, geen veticale veplaatsing opteedt. 4) De wijvingskacht veicht ook geen abeid, omdat e tijdens de botsing, op de positie waa de wijvingskacht wodt uitgeoefend, geen hoizontale veplaatsing opteedt (e is geen slip!). /9

10 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 d) De abeid-enegievegelijking is: + U Omdat e gaande van positie naa positie dus geen netto abeid wodt geleved doo extene kachten geldt: U 0 [J]. Uit het bovenstaande volgt dat de kinetische enegie op postie op t t [s], het moment dat het contact tussen de bal en de gond begint, gelijk is aan de kinetische enegie op positie op t t [s], het tijdstip dat de bal contact met de gond veliest: Als we deze vegelijking uitdukken in de gegevens kijgen we de gevaagde elatie: I ω + mv + mv I ω + mv + X Y X mv Y Omdat v v kan bovenstaande vegelijking woden veeenvoudigd tot: Y Y I ω + mv I ω + X mv X, of: I ω + mv I ω + mv X X, of: ω + v 5 X ω 5 + v X e) De algemene uitdukking voo de impulsvegelijking in de X -ichting voo het tijdsinteval t [s] is: [ ],t t ( t ) F dt ( t ) + X X t X Uitdukken van de componenten van deze vegelijking in de gegevens levet: X ( t ) mv X [Ns], t t X dt t t () t F W dt [Ns] Mek op dat de wijvingskacht die de gond op de bal uitoefent tijdens de botsing naa echts geicht is, dus in de positieve X -ichting (de bal oefent een even gote, doch tegengesteld geichte wijvingskacht uit op de gond). X ( t ) mv X [Ns] 3/9

11 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 Substitutie van deze uitdukkingen in de impulsvegelijking in de X -ichting geeft: t t () t dt mv X mv X + W f) De algemene uitdukking voo de impulsmomentvegelijking in de θ -ichting voo het t [s] en t.o.v. het massamiddelpunt van de bal is: tijdsinteval [ ] H t,t ( t ) M dt H ( t ) + t Uitdukken van de componenten van deze vegelijking in de gegevens levet: ( t ) ω H [Nms], t t I t () t dt W () t M dt W dt [Nms] t t t Mek op dat het moment, dat de wijvingskacht op de bal uitoefent t.o.v. het massamiddelpunt van de bal, tegen de wijzes van de klok in geicht is en dus in de negatieve θ -ichting staat. ( t ) ω H [Nms] I Substitutie van deze uitdukkingen in de impulsmomentvegelijking geeft: t t () t dt I I ω W ω, of: 5 t t () t dt mω W 5 mω g) E zijn 3 vegelijkingen (zie de antwooden van deelvagen d), e) en f)) met 3 onbekenden ( v X, ω en de impuls geleved doo de wijvingskacht tijdens, te weten W () t t t dt ), dus de 3 onbekenden zijn misschien op te lossen (het antwood op deelvaag d) is een niet-lineaie vegelijking in de onbekenden, die dit onzeke maakt). t t Elimineen van W () t dt uit de twee vegelijkingen, afgeleid bij deelvagen e) en f) levet: 4/9

12 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni m ω mω mv X + mv X 5 5 ω ω v X + v X, of: Deze vegelijking en de vegelijking gevonden bij deelvaag d) bevatten de twee onbekenden v X en ω. Substitutie van de gegevens in deze vegelijkingen geeft: + v ω X 0.004( 0 ω ) v X Vanwege het kwadatische kaakte van de e vegelijking zijn e oplossingen: Oplossing : v 0.43 X [m/s] en ω [ad/s] (dus tegen de wijzes van de klok in) Oplossing : v 0 X [m/s] en ω 0 [ad/s] Nu kan het antwood van deelvaag e) of het antwood van deelvaag f) gebuikt woden om de impuls geleved doo de wijvingskacht tijdens de botsing te bepalen. De impuls behoend bij oplossing wodt: W () t dt [Ns] De impuls behoend bij oplossing wodt: () 0 t t t t W t dt [Ns] De e oplossing vevalt, omdat die in tegenspaak is met het gegeven dat e geen slip opteedt. Bij de e oplossing moet de impuls van de wijvingskacht immes nul zijn, hetgeen impliceet dat tijdens de botsing slip opteedt. 5/9

13 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 OPAVE 3 a) Fee-body diagam: x kx g m N Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking m& x voo de x -ichting geeft: kx m x& & F x b) Fee-body diagam: y g m Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking m& y voo de y -ichting geeft: m g m y& & F y 6/9

14 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 c) Fee-body diagam: θ R H g m 3 R V Uitweken van de algemene bewegingsvegelijking M & θ voo de θ -ichting geeft: m & θ ofwel: m & θ 3 3 I Zowel de hoizontale en veticale eactiekachten R H, RV, die het lage op de katol uitoefent in punt, als de zwaatekacht m 3 g hebben geen moment t.o.v., omdat ze geen am hebben t.o.v.. d) De gevaagde kinematische elaties zijn (vanwege onekbaa kood en zuive afollen van kood zonde slip ove de katol): y x (dus geldt ook & y & x ) y θ (dus geldt ook & y & θ ) e) In de statische evenwichtsstand zijn alle snelheden en vesnellingen gelijk aan nul, dus gaan de bewegingsvegelijkingen afgeleid bij a), b) en c) ove in de volgende statische evenwichtsvegelijkingen: 0, st kxst g, st, st, st m 0 0 Oplossen met gebuikmaking van de kinematische elaties afgeleid bij d) geeft:, st, st mg m g xst yst k 7/9

15 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 θ st m g k f) Combinatie van de antwooden van deelvagen a), b), c) met de kinematische elaties uit d) levet: kx m & x ky m & y + + m g m & y m && θ m & y 3 3 en dus wodt de bewegingsvegelijking van het systeem in temen van & y&, y en de gegevens na elimineen van de tekkachten: ( + m + m )& y + ky m g m 3 Hiemee wodt de eigenhoekfequentie van het systeem gelijk aan: k ω n [ad/s] m 0 m + m g) Substitutie van de gegevens in het antwood van deelvaag a) geeft: ( t).5& x + 0x 0sin 4 Substitie van x y θ 0. θ en & x 0. & θ in deze vegelijking geeft: 0.5 & θ + θ 0sin ( 4t) Mek op dat ω [ad/s]. n De uitdukking voo de paticuliee oplossing van de otatie van de katol is, zie ook pag. 6 van uw boek): θ () t Θsin( t) p 4 waabij: 0 Θ 5 [ad] ( 4 8) De uitdukking voo de paticuliee oplossing van de otatiesnelheid van de katol volgt doo θ t te diffeentiëen naa de tijd: p () 8/9

16 Uitwekingen entamen DYNAMICA (4A40) 3 juni 00 () t 4Θcos( 4t) 0cos( t) θ & [ad/s] p 4 Altenatieve benadeing: Algemene oplossing voo de paticuliee oplossing, ofwel de steady-state esponsie: θ & θ & θ ( t) Asin ( 4t) + B cos( t) ( t) 4Acos( 4t) 4B sin( t) () t 6Asin( 4t) 6B cos( t) p 4 p 4 p 4 Na substitutie hievan in 0.5 & θ + θ 0sin( 4t), naa kant halen van alle temen en vevolgens gelijkstellen aan nul van de coëfficiënten voo de temen sin ( 4t) en ( 4t) cos (aan de vegelijking moet immes woden voldaan voo alle tijdstippen), woden twee lineaie vegelijkingen gevonden voo de twee onbekenden A, B. Oplossen van deze vegelijkingen levet: A 5 [ad] en B 0 [ad], waamee: () t 0cos( t) θ & [ad/s] p 4 Beschouwing achteaf: voo een fysisch ealistische situatie moeten de amplitudes van de dynamische componenten van de tekkachten kleine dan of gelijk zijn aan de (positieve) statische componenten, omdat kooden nu eenmaal geen dukkachten kunnen opnemen. 9/9