Afleiding Kepler s eerste wet, op basis van Newton s wetten

Transcriptie

1 Keple s eeste wet Afleiding Keple s eeste wet, op basis van Newton s wetten 1 Inleiding Johannes Keple leefde van 1571 tot 1630 en was een Duitse wiskundige. Afwijkend van wat tot die tijd gedacht wed, was hij evan ovetuigd dat de zon het centum van ons zonnestelsel is: het zogenaamde heliocentische model. Dit model was eede geponeed doo Copenicus ( ). Keple heeft een geometisch model ontwikkeld, dat de toenmalige beste waanemingen van de planeetbewegingen (Tycho Bahe, ) veklaade. Hij heeft daabij die wetten afgeleid: Een planeet heeft een ellipsvomige baan ond de zon, waabij de zon in één van de bandpunten F van die ellips staat, zie figuu 1. Figuu 1 De lijn die de planeet met de zon vebin beschijft in gelijke peiodes gelijke oppevlakken. Zie figuu. Figuu Indien de baanpeiode P van een planeet uitgedukt wo in jaen en de gemiddelde afstand a tot de zon in astonomische eenheden (astonomical unit = AU def = gemiddelde afstand van de aade tot de zon), dan 3 is het kwadaat van de baanpeiode gelijk aan de gemiddelde afstand tot de dede macht: P = a Isaac Newton leefde van 164 tot 177 en was één van de gootste wetenschappes. In 1687 publiceede hij Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica. Dit wek omvatte zijn bijdagen tot de klassieke natuukunde onde andee op het gebied van de mechanica, zwaatekacht en calculus (o.a. de diffeentiaalekening). De tweede wet van Newton lui: De kacht F wekend op een massa m is gelijk aan de afgeleide van de impuls p van die massa naa de dp tijd, in vectonotatie: F= De zwaatekacht wet van Newton hou in: Vesie d.d

2 Keple s eeste wet Twee massa s oefenen een aantekkende kacht F op elkaa uit, die evenedig is met de massa s m 1 en m m1 m en omgekeed evenedig met hun afstand in het kwadaat,: F=G. Hiein is G de zogenaamde gavitatieconstante. Zie figuu 3 Figuu 3 De die wetten van Keple blijken te volgen uit de genoemde wetten van Newton. In de liteatuu, onde andee in [Caol, 007], vin men voo Keple s eeste wet vaak afleidingen, die slechts indiect gebuik maken van de genoemde Newton wetten. In dit memo wo de eeste Keple wet afgeleid beginnend bij de Newton wetten. De afleiding gel voo een iets algemene geval dan doo Keple bescheven. De twee massa s bewegen, onde invloed van de zwaatekacht en de tweede wet van Newton, ten opzichte van elkaa in een baan volgens een kegelsnede. Model Twee massa s m 1 en m bewegen onde invloed van de gavitatiewet van Newton om hun gemeenschappelijke zwaatepunt, zie figuu 4. Figuu 4 Dit kan veeenvoudigd woden tot een twee-massa systeem M en μ, waabij de massa μ oteet om de massa M, zie figuu 4. De afleiding hievan is bescheven doo Caol a.o. [007, hoofdstuk, pagina s 39 43]. Hiebij is: Figuu 4 Vesie d.d

3 Keple s eeste wet M = m + m 1 m m µ = 1 m + m 1 = 1 1 θ ρ ϑ totale massa geeduceede massa plaatsvecto μ t.o.v. M plaatsvecto m t.o.v. gemeenschappelijke zwaatepunt 1 plaatsvecto m t.o.v. gemeenschappelijke zwaatepunt hoek van t.o.v. een basislijn éénheidsvecto in ichting éénheidsvecto in θ ichting (1) De plaats van μ ten opzichte van M is hiemee vastgelegd met de poolcoödinaten en θ. 3 Afleiding op basis van de Gavitatiewet en de Tweede wet van Newton De gavitatiewet van Newton levet de aantekkingskacht tussen de twee massa s M en μ. De kacht op μ heeft de tegengestelde ichting ten opzichte van ( ρ ) en is dus in vectonotatie: G M µ F = ρ () De tweede wet van Newton toegepast op massa μ : dp dv d F = = µ = µ (3) De vesnelling, van de geeduceede massa μ is gelijk aan de tweede afgeleide van de plaatsvecto: Voo deze vesnelling kan woden afgeleid [Meiam a.o., 1998, paagaaf.6]: d = ( && θ& ) ρ + ( && θ + & θ& ) ϑ (4). d Hiein is && de vesnelling in de ρ - ichting, -θ & is de centipetale vesnelling, θ && is de vesnelling in de ϑ - ichting en θ & & beteft de Coiolis vesnelling. Substitutie van () en (4) in (3) leveen de op te lossen diffeentiaalvegelijking: G M µ ρ = µ { ( && θ& ) ρ + ( && θ + & θ& ) ϑ } (5) Uit deze vegelijking is diect duidelijk dat de tem θ+ && & θ & gelijk aan nul moet zijn, omdat aan de linke kant van de vegelijking geen tem in de ϑ - ichting vookomt. We nemen aan dat de oplossing een kegelsnede is, die in poolcoödinaten bescheven kan woden met: = A 1+ e cos θ Hiein zijn A en e constanten. Met deze vegelijking kunnen zowel cikels (e = 0), ellipsen (0 < e < 1), paabolen (e = 1) als hypebolen (e >1) bescheven woden. Deze oplossing is coect indien blijkt dat (6) een oplossing is van diffeentiaalvegelijking (5). (6) Vesie d.d

4 Keple s eeste wet Om dat te kunnen vaststellen moeten de afgeleiden Hoeksnelheid θ & θ, &, & θ&& en && uitgedukt woden in enθ : De snelheid van de massa μ kan ontbonden woden in twee ondeling loodechte ichtingen v in de ρ - dθ ichting en v θ loodecht op de ρ -ichting, zie figuu 5. Dan gel: v θ= =θ &. Hiemee wo: vθ θ & = (7) Figuu 5 def Voo het impulsmoment van de geeduceede massa μ gel pe definitie: L =μ v. Dit impulsmoment is constant omdat de kacht F geen moment uitoefent op μ. De snelheid v θ staat loodecht op en dus is de gootte van het impulsmoment gelijk is aan: L = µ v θ (8) Met (7) en (8) volgt: Snelheid & L θ & = µ A d d 1+ e cos θ d dy dθ & = = = dy dθ A d A =, = y dy y dy y = 1+ e cos θ, = e sin θ dθ dθ L = ef. (9) µ, waabij: (9) Waamee volgt: Vesie d.d

5 Keple s eeste wet A L L e A L e & = e sin θ = sin θ = sin θ (10) Hoekvesnelling θ && y µ µ y µ A L d d θ& && µ L d θ = = = 3 µ Met volgt dan: Vesnelling && L e 3 sin && θ = θ (11) µ A L e d sin θ d& µ A L e dθ && = = = cos θ µ A Met (10) volgt dan: L e && = cos θ (1) µ A Substitueen van (9), (10), (11) en (1) in de diffeentiaalvegelijking (5) levet: L e L cos θ ρ + G M µ µ A µ ρ = µ L e L e L sin θ + sin θ ϑ 3 µ A µ A µ De ϑ tem in het echte lid blijkt indedaad gelijk aan nul te zijn. Na veeenvoudiging is de esteende vegelijking: Hieuit volgt: L e L G M = cos θ µ A µ 1 G M µ e = + cos θ, L A L /(G M µ ) L /(G M µ ) = 1+ e cos θ A of ook: Vegelijking van dit esultaat met (6) toont aan dat de constante A blijkbaa gelijk is aan Hiemee volgt: (13) L /(G Mμ ). Vesie d.d

6 Keple s eeste wet = L /(G M µ ) 1+ e cos θ Dit is dezelfde vom als die van een kegelsnede volgens (6). Blijkbaa is de oplossing van diffeentiaalvegelijking (5) indedaad een kegelsnede. Het is nu ook mogelijk om de gootte van het impulsmoment te bepalen, immes voo een ellips gel als vegelijking:, waabij: a = halve hoofdas e = excenticiteit van de ellips Waamee voo het impulsmoment volgt: a (1 e ) = 1+ e cos θ (14) (15) L = µ G M a (1 e ) (16) Voo paabolische of hypebolische banen gelden gelijksootige elaties. 4 Refeenties Caol a.o., 007 B.W. Caoll and D.A. Ostlie: An intoduction to Moden Astophysics, Second Edition, Peason, Addison Wesley, ISBN Meiam a.o., 1998 J.L.Meiam and L.G. Kaige: Engineeing Mechanics, volume, Dynamics, Fouth Edition, John Wiley & Sons, ISBN Vesie d.d