5 Algemene oplossing baanvergelijking, r = ξ/(1 + e cos f)

Transcriptie

1 5 Algemene oplossing baanvegelijking, = ξ/(1 + e cos f) De bewegingsvegelijking van een planeet met massa m 2 ond de zon met massa m 1 schijven we als = GM 3, (5.1) waa M = m 1 +m 2. Omdat dit een tweedegaads vegelijking is voo de diedimensionale vecto hebben we 6 andvoowaaden nodig om de oplossing te vinden. We beginnen met het vezamelen van de andvoowaden doo af te leiden dat het totale hoekmoment L behouden is. In het heliocentische assensysteem geldt L = m 2, (5.2) waabij m 2 de massa van de planeet is. We kunnen ook het hoekmoment pe massa-eenheid, k, definiëen als De tijdsafgeleide hievan is k =. (5.3) k = +, (5.4) waabij de tweede tem te echtezijde,, gelijk is aan 0 omdat paallel is aan zichzelf en hun uitpoduct dus 0 is. Figue 1: De hoekmoment vecto k staat loodecht op de positievecto en de snelheidsvecto. Omdat k behouden is, is de beweging van de planeet bepekt tot een constant vlak loodecht op k. 6

2 Omdat gegeven is doo de bewegingsvegelijking (5.1) kunnen we (5.4) schijven als k = ( GM/ 3 )= GM( )=0. (5.5) Dus, k (en L) zijn constant in de tijd. Omdat zowel de absolute gootte van de vecto L als zijn ichting behouden zijn, betekent dit dat de beweging van de planeet in een constant vlak (loodecht op L of k) plaats vindt. De vecto k is onze eeste andvoowaade (Fig. 1). Een tweede constante vecto volgt uit k, k =( ) ( GM/ 3 )= GM 3 ( ) ( ), (5.6) waabij we de egel uit de vectoekening gebuiken dat (a b) c =(a c ) b +( b c )a. Omdat de tijdsafgeleide van de afstand gelijk is aan de pojectie van de snelheidsvecto op de positievecto,ṙ =ˆ, volgt = ˆ = ṙ. Hiemee wodt (5.6) k = GM ṙ 2 = d GM. (5.7) dt Tegelijketijd kunnen we k ook schijven als k = d dt ( k ), (5.8) omdat k een constante vecto is. Uit (5.7) en (5.8) samen volgt nu en daaom d k + GM =0, (5.9) dt k + GM = constant GM e, (5.10) waa e een constante vecto is. Aangezien k loodecht op het baanvlak staat en een constante is, moet noodzakelijkewijs in datzelfde baanvlak liggen. De vecto e ligt dus ook in dat baanvlak. Late zullen we zien dat deze vecto vanuit de zon naa het peihelion van de planeet wijst. De vecto e is onze tweede andvoowaade. De vectoen k en e zijn niet volledig onafhankelijk omdat k e. We hebben dus nog niet onze 6 andvoowaaden compleet. Beschouw, = GM / 3 = GM ṙ/ 3 = d dt GM. (5.11) 7

3 Tegelijketijd geldt = dt d 1 2. (5.12) Combinatie van (5.11) en (5.12) geeft d.w.z., d dt 1 2 GM 1 2 v2 GM =0, (5.13) = constant h, (5.14) waa v de snelheid van de planeet is t.o.v. de zon, v 2 = en h een constante, de zg. enegie integaal. De constante h is onze dede andvoowaade. We kunnen afleiden dat 1 G 2 M 2 (e 2 1) = 2hk 2, (5.15) met e en k de lengtes van, espectievelijk, de vectoen e en k. Onze andvoowaaden bestaan nu uit de vecto k, de vecto e, en de constante h. In pincipe zou dit 7 onafhankelijke beginvoowaaden kunnen geven (3 voo elk van de vectoen en 1 voo de scala), maa de elaties (5.15) en k e educeen dit aantal met 2. We hebben dus maa 5 onafhankelijke beginvoowaaden, en komen e nog één tekot. De vom van de baan is volledig gespecificeed, maa nog niet de positie van de planeet op de baan! Deze laatste beginvoowaade wodt gevonden uit deze positie op een gegeven tijdstip, of, equivalent, het tijdstip van peihelion passage τ. Alle 6 beginvoowaaden zijn nu compleet: k, e, τ en h. 1 Bewijs van (5.15): Uit (5.10) vinden we G 2 M 2 e 2 =( k ) ( k )+G 2 M ( k ) GM. Omdat k, geldt k = k en ( k ) ( k )=k 2 v 2. Daaom volgt G 2 M 2 e 2 = k 2 v 2 + G 2 M 2 + 2GM k. We gebuiken nu een aantal elaties uit de vectoekening, en vinden dat k = k = k. Hiemee kijgen we G 2 M 2 (e 2 1) = k 2 v 2 2GM waamee (5.15) bewezen is. k = k 2 v 2 2GM k 2 =2k v2 GM =2k 2 h, 8

4 Figue 2: De baan van een deeltje in het zwaatekachtsveld van een puntmassa, is een kegelsnede met de puntmassa in het bandpunt. De vecto e wijst naa het peicentum, waa het deeltje de puntmassa het dichtst nadet. De wae anomalie f is gemeten vanaf deze ichting. Wat is de vom van de baan? We definiëen de hoek f, de wae anomalie, als de hoek tussen de de vecto e en de positievecto. Dit komt oveeen met de hoek tussen de ichting van peihelion en de huidige positie van de planeet, gezien vanuit de zon (Fig. 2). E geldt dus e = e cos f. (5.16) Tegelijketijd kunnen we m.b.v. vegelijking (5.10) ook schijven e = 1 GM ( k + GM /) = 1 GM ( k + GM) = 1 GM ( k2 + GM) = Waauit volgt = k2 GM. (5.16) k2 /GM 1+e cos f. (5.17) In het college hebben we gezien dat dit de algemene beschijving van een ellips, paabool, of hypebool is (Fig. 2). We hebben hiemee de eeste wet van Keple afgeleid uit de wetten van Newton: de baan van een planeet is een ellips met de zon in één van de 9

5 Figue 3: Geometie van een ellips baan met de 6 baanelementen aangegeven. Het lentepunt is aangegeven met het symbool Υ. bandpunten, en hebben ook meteen laten zien dat paabolen en hypebolen ook geldige oplossingen zijn, afhankelijk van de waade van ξ = k 2 /GM, d.w.z. afhankelijk van de totale hoekmoment van het systeem. De 6 andvoowaaden woden doogaans gegeven als de baanelementen: halve lange as a, excenticiteit e, inclinatie ι, lengte van de klimmende knoop Ω, het agument (lengte t.o.v. de klimmende knoop) van peihelion ω, en het tijdstip van peihelion passage τ. Soms wodt i.p.v. de hoek ω de hoek ω = Ω+ ω gegeven, d.w.z. de lengte van het peihelion t.o.v. het lentepunt. Mek op dat deze hoek in twee veschillende vlakken wodt gemeten: Ω in het ecliptisch vlak, en ω in het baanvlak van de planeet! Hoe hangen deze 6 baanelementen samen met de zes andvoowaaden zoals we hieboven hebben afgeleid? De vecto k geeft de oientatie van het baanvlak: ι en Ω. De vecto e geeft vom van de baan: e en ω. De scala h geeft, samen met k en e, de halve lange as a. De laatste andvoowaade is het moment van peihelion passage τ, identiek aan het coespondeende baanelement. 10

6 6 Afleiding van de wetten van Keple uit de Newtonse mechanica De eeste wet van Keple (de planeten bewegen langs een ellips met de zon in één van de bandpunten) is al in de voogaande afleiding bewezen (vegelijking 5.17). Tegelijketijd vonden we dat ook paabool-banen en hypebool-banen geldige oplossingen zijn. De tweede wet van Keple kan gevonden woden doo de positie van de planeet in poolcoodinaten te schijven (Fig. 4), = ê, (6.1) waa ê een eenheidsvecto langs de ichting is. Als de planeet met een hoeksnelheid f beweegt, veandet ook de ichting van ê met die snelheid, ê = f ê f, (6.2) waa ê f de eenheidvecto loodecht op ê in het baanvlak is. Figue 4: De eenheidsvectoen ê en ê f definiëen een systeem van poolcoodinaten. Hun ichtingen veandeen met de positie van de planeet in zijn baan. De snelheid van de planeet, kan nu gevonden woden doo de tijdsafgeleide van (6.1) te nemen, =ṙê + ê =ṙê + fê f. (6.3) Met (6.1) en (6.3) kan nu de vecto k gescheven woden als k = = 2 fê z, (6.4) 11

7 waa de vecto ê z de eenheidsvecto loodecht op het baanvlak (en de vectoen ê en ê f ) is. De gootte van k is k = 2 f. (6.5) Het oppevlak doolopen doo de lijn zon planeet pe tijdseenheid, da/dt = A, is gegeven doo Ȧ = f, (6.6) aangezien de planeet een afstand df aflegt in tijdseenheid dt mits df gegeven is in adialen; de oppevlakte da van de diehoek (zon, planeet op tijdstip t, planeet op tijdstip t + dt) is dus da =1/2 df, waauit (6.6) volgt. Met vegelijking (6.5) volgt dan A = 1 k, (6.7) 2 en omdat k een constante is, is A dat ook. In andee wooden: de lijn zonplaneet dooloopt gelijke oppevlakken in gelijke tijdsintevallen, oftewel de tweede wet van Keple. Figue 5: Volgens de tweede wet van Keple dooloopt een planeet in gelijke tijden gelijke oppevlakken (de geaceede gebieden). We integeen nu (6.7) ove de hele baan, da = 1 t=p 2 k ellipsbaan t=0 dt, (6.8) met P de omlooppeiode van de planeet. De oppevlak van een ellips is gegeven doo A = πab= πa 2 1 e 2, met a en b de halve lange as en halve kote as, en e de ecxcenticiteit. In andee wooden, πa 2 1 e 2 = 1 kp. (6.9) 2 12

8 Met behulp van vegelijking (5.15) en het feit dat a = GM/2h (zie voetnoot 2 ) volgt k = GMa(1 e 2 ). (6.10) Substitutie in (6.9) geeft P 2 = 4π2 GM a3, (6.11) de dede wet van Keple:, de vehouding van de dede macht van de halve-lange assen van de banen van twee planeten is gelijk aan de atio van het kwadaat van hun peiodes. 2 Vegelijk de uitdukking voo in (5.17), met de uitdukking voo een ellips, = k2 /GM 1+e cos f Hieuit volgt = a(1 e2 ) 1+e cos f. a = k2 /GM 1 e 2, en met h = G 2 M 2 (e 2 1)/2k 2 (vgl. 5.15) vinden we a = GM/2h. 13

9 7 De vegelijking van Keple De baanoplossing uit appendix 5 dukt de positie uit als functie van de hoek f, de wae anomalie. Om de positie van de planeet te vinden als functie van tijd, moeten we achtehalen hoe de hoek f vaieet met t. Als we de positie vecto ontbinden in componenten langs de x- en y-as (Fig. 6), kijgen we = a(cos E e)î + b sin E ĵ, (7.1) waa î en ĵ de eenheidsvectoen zijn langs, espectievelijk, de x- en y-as, de hoek E gemeten is vanuit de oospong (het middelpunt van de ellips), en a en b de halve lange en kote assen zijn. De hoek E wodt de excentische anomalie genoemd. Figue 6: Links: definitie van de excentische anomalie E voo een planeet op postie. Rechts: Het oppevlak van de geaceede secto SQX is gelijk aan b/a kee de oppevlakte van SQ X, waabij S de zon aanduidt, Q de planeet, en X het peihelion. Uit (7.1) volgt dat de afstand tot de zon gegeven is doo = a(1 e cos E). (7.2) Wat is E als functie van tijd? Volgens de tweede wet van Keple is het doolopen oppevlak doo de lijn planeet zon gelijk in gelijke tijden. Het geaceede oppevlak A is dus gegeven doo A = πab t τ P, (7.3) 14

10 waa t τ de tijd is sinds peihelion passage en P de baanpeiode. Omdat dit oppevlak A ook een deel van een ellips is, waavan de gootte gevonden kan woden doo het coespondeende deel van een cikel met staal a de schalen met b/a, geldt dus dat het oppevlak SQX gelijk is aan A = b a (oppevlak van SQ X) (7.4a) A = b a (oppevlak van OQ X oppevlak van OQ S) (7.4b) A = b 1 a 2 a ae 1 2 ae a sin E = 1 ab(e e sin E). (7.4c) 2 Gelijkstellen van vegelijking (7.3) en (7.4c) geeft de zg. vegelijking van Keple, E e sin E = M, waabij (7.5a) M = 2π (t τ). P (7.5b) De gootheid M wodt de gemiddelde anomalie genoemd, van de planeet op tijdstip t. De gemiddelde anomalie neemt evenedig toe met de vesteken tijd. Het geeft de positie aan van de planeet als deze op een cikelbaan zou lopen met dezelfde peiode P. Voo cikelbanen geldt dus M = E = f. Voo niet-cikelbanen kan E gevonden woden uit M doo (7.5a) te inveteen (doogaans m.b.v. numeieke iteatie), en daauit, via (7.1) de positie van de planeet. Zonodig kan de wae anomalie f beekend woden via cos f = sin f = b sin E a(cos E e) = cos E e 1 e cos E, (7.6a) = 1 e 2 sin E 1 e cos E. (7.6b) 15