wiskunde B pilot vwo 2017-I

Transcriptie

1 wiskunde B pilot vwo 07-I Fomules Goniometie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos( t) cos ( t) sin ( t) cos ( t) sin ( t)

2 wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende gaieken? De uncties en g zijn gegeven doo: ( ) ln( ) en g ( ) e 5p Ga na met eacte beekening o de gaieken van en g elkaa aken. Bewegen ove een lijn Gegeven is lijn k met vegelijking. p deze lijn ligt het punt P. Vecto P wodt om de oospong ove 90 linksom gedaaid. Zo ontstaat vecto P'. Vecto PQ heet dezelde ichting en dezelde lengte als P'. Zie de iguu. iguu m Q P' k P Wannee het punt P ove lijn k beweegt, zal het punt Q ove een lijn m bewegen. In de iguu is m gestippeld weegegeven. 4p Stel een vegelijking van lijn m op.

3 wiskunde B pilot vwo 07-I Een dede cikel Gegeven zijn de cikels c en c. Cikel c heet middelpunt M (,0) en staal. Cikel c heet middelpunt M (6,0) en staal 6. Voo elke positieve waade van is e één cikel c met middelpunt M en staal zó dat geldt: M ligt boven de -as; c aakt aan cikel c én aan cikel c. In iguu is de situatie getekend voo en in iguu voo 4. Vede is in beide iguen diehoek MMM getekend. iguu iguu 4 c c M M 6 M M 6 M M c c c c De gootte van MMM is ahankelijk van : voo elke waade van geldt: cos( MM M) 4p Bewijs de juistheid van deze omule. Als onbegensd toeneemt, nadet de gootte van MMM tot een limiet. p 4 Beeken eact deze limiet in gaden.

4 wiskunde B pilot vwo 07-I E is één waade van waavoo c niet alleen aakt aan c en c, maa ook aan de -as. In iguu is deze situatie weegegeven, waabij cikel c voo een deel is getekend. Cikel c aakt de -as in punt P. iguu M c P c 6 M M c 6p 5 Beeken eact de waade van in deze situatie. 4

5 wiskunde B pilot vwo 07-I Een achtbaan De baan van een punt P wodt gegeven doo de volgende bewegingsvegelijkingen: () t cos() t sin() t t () cos() t met t in seconden en en in mete. Als t loopt van 0 tot, dooloopt P de baan pecies één kee. In iguu is deze baan weegegeven. ok is te zien waa P zich bevindt op t 0 en in welke ichting P zich dan beweegt. iguu iguu P A B 5p 6 Beeken met behulp van dieentiëen de maimale snelheid van het punt P in mete pe seconde. Rond je antwood a op één decimaal. Voo 0t zijn e vie tijdstippen waaop de -coödinaat en de -coödinaat van P aan elkaa gelijk zijn. p deze tijdstippen bevindt P zich achteeenvolgens in de punten A,, B en. Zie iguu. 5p 7 Beeken eact hoeveel seconden de beweging van A naa B duut. Een punt Q maakt dezelde beweging als P, maa Q loopt seconden vóó op P. De bewegingsvegelijkingen van Q zijn dan: t () cos( t) sin(( t)) t () cos( t) Als t en als t, vallen P en Q samen. p alle andee tijdstippen is e spake van een lijnstuk PQ. 4p 8 Bewijs dat de helling van lijnstuk PQ onahankelijk van t is. 5

6 wiskunde B pilot vwo 07-I Een geboken unctie De unctie is gegeven doo: iguu ( ) De lijn k met vegelijking snijdt de gaiek van in twee punten, A en B. Zie iguu. De coödinaten van punt A zijn (, ). B k A 4p 9 Beeken eact de coödinaten van punt B. Het vlakdeel V wodt ingesloten iguu doo de gaiek van, de -as, de -as en de lijn k. In iguu is dit vlakdeel gijs gemaakt. V wodt gewenteld om de -as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam. 5p 0 Beeken eact de inhoud van dit omwentelingslichaam. V B k A De gaiek van wodt a eenheden naa boven veschoven. Zo ontstaat de gaiek van een unctie g. De waade van a kan zowel positie als negatie zijn. De unctie g heet een invese unctie. De gaiek van de invese unctie van g heet één veticale asmptoot. ok de gaiek van g heet een veticale asmptoot. Gegeven is, dat de astand tussen deze twee veticale asmptoten gelijk is aan 4. 4p Beeken eact de mogelijke waaden van a. 6

7 wiskunde B pilot vwo 07-I Bandweendheid van een deu De (lucht)tempeatuu tijdens een bepaald soot natuulijke band kan woden bescheven met het volgende model: ln ( ) 6ln( ) 9 nat ( ) e t t T t Hiein is T nat de tempeatuu in C en t de tijd in minuten vana het begin van de band. De bijbehoende gaiek is weegegeven in iguu. iguu natuulijke band tempeatuu (ºC) T nat tijd (minuten) In de iguu is te zien dat de tempeatuu bij deze natuulijke band een maimum beeikt. 5p Beeken eact deze maimale tempeatuu. Deuen woden getest op hun bandweendheid doo ze in een laboatoium aan een band bloot te stellen. De tempeatuu tijdens zo n laboatoiumband veloopt andes dan bij de natuulijke band, namelijk volgens de omule: T ( t ) 0 45 log(8 t ) lab Hiein is T lab de tempeatuu in C en t de tijd in minuten vana het begin van de band. De bijbehoende gaiek is weegegeven in iguu. iguu laboatoiumband tempeatuu (ºC) 800 T lab ºC (0,69; 00) tijd (minuten) 7

8 wiskunde B pilot vwo 07-I Tempeatuen onde de 00 C leveen geen blijvende schade aan de deu op. Pas vana een tempeatuu van 00 C heet een deu onde de band te lijden. Het tijdstip t waaop deze tempeatuu bij de laboatoiumband wodt beeikt, is ageond op twee decimalen 0,69. Zie iguu. 4p Beeken algebaïsch het tijdstip t waaop de tempeatuu bij de laboatoiumband de waade 00 C beeikt. Rond je antwood a op die decimalen. In de est van deze opgave bekijken we een deu die wodt blootgesteld aan een laboatoiumband. Deze deu blijkt pecies 0 minuten stand te houden. Men vaagt zich a hoe beekend kan woden o zo n deu tijdens de natuulijke band óók 0 minuten standhoudt. In iguu is het vlakdeel gijs gemaakt dat wodt ingesloten doo de gaiek van T lab, de hoizontale lijn met vegelijking T 00 en de veticale lijn met vegelijking t 0. iguu laboatoiumband tempeatuu (ºC) 800 T lab ºC (0,69; 00) tijd (minuten) De Ameikaan Simon Ingbe deed in 98 de volgende veondestelling: De deu bezwijkt tijdens de natuulijke band op dát tijdstip t b, waavoo geldt dat de oppevlakte tussen de gaiek van T nat, de hoizontale lijn met vegelijking T 00 en de veticale lijn met vegelijking t tb gelijk is aan de oppevlakte van het gijze vlakdeel in iguu. 7p 4 ndezoek o volgens de veondestelling van Ingbe de deu tijdens de natuulijke band minstens 0 minuten standhoudt. 8

9 wiskunde B pilot vwo 07-I Peoatie Voo elke waade van p, met p 0, is de unctie p gegeven doo: p p 4p 6 ( ) ( )( ) E is één waade van p waavoo de gaiek van 6p 5 Beeken eact de coödinaten van die peoatie. p een peoatie heet. 9