Gevoeligheidsanalyse transportparameters

Transcriptie

1 Gevoeligheidsanalyse tanspotpaametes voo de ondegond Woute Kaeman Ed Veling Het model PROFCD (PROFile Convection-Diusion) is doo Veling (1993) gescheven om snel een inschatting te kunnen maken van het tanspot van vevuiling in de ondegond. Het is een inteessante vaag hoe onzekeheid in de invoepaametes de esultaten beïnvloedt (zie ook Pappenbege en Beven, 006). In dit Bachelo Gaduation Poject (BSc) is op zoek gegaan naa een snelle en eenvoudige methode om deze gevoeligheid te kunnen schatten. Zo kan in de paktijk gemakkelijk bepaald woden o de onzekeheid in de invoepaametes acceptabel is o niet. Hievoo is een Matlab-pogamma (PaamSensCD = Paamete Sensitivity Convection Diusion) ontwikkeld. Modelbeschijving Voo een aantal milieustudies is het van belang om eenvoudig te bepalen hoe snel vevuilende stoen doodingen in de ondegond. In het veleden is e veel ondezoek gedaan naa het modelleen van veplaatsing en abaak van vevuilingen in de ondegond. Met behulp van analytische omules kan in bepaalde situaties een schatting woden gemaakt van de hoeveelheid sto die een bepaald niveau is gepasseed. De patiële dieentiaalvegelijking die ééndimensionaal chemisch tanspot onde constante stoomsnelheid en met abaak beschijt is de volgende, c ( nc + ρ s) = ( nd qc ) µ wnc µ sρs, 0 < z <, t > 0, t z z waain z [L] de astand tot het maaiveld is, t [T] de tijd, c [M/L³] de concentatie, s [ ] de geadsobeede massaactie, n [ ] het vochtvolume pe volumedeel, D [L²/T] de dispesiecoëiciënt, q [L/T] de volumelux (Dacysnelheid), ρ [M/L³] het sootelijke gewicht van de gond en µ w en µ s [1/T] de snelheidsconstanten voo eeste ode abaak in espectievelijk wate en gond. Aangenomen wodt dat de elatie tussen c en s bescheven wodt doo de lineaie elatie s= kc met k [L³/M] de distibutiecoëiciënt. Indien men Woute Kaeman (wkaeman@gmail.com) studeede aan de Technische Univesiteit Delt, en is nu na zijn astudeen wekzaam bij Boskalis bv. Ed Veling (E.J.M.Veling@TUDelt.nl) is wekzaam bij de Technische Univesiteit Delt, Faculteit van Civiele Techniek en Geowetenschappen, Vakgoep Watemanagement, Postbus 5048, 600 GA Delt. STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4 3

2 deze elatie hieboven substitueet kijgt men de volgende patiële dieentiaalvegelijking: c c R c = D v µ Rc, 0 < z<, t > 0, t z z waabij R = 1 +ρ kn[ ] de etadatie is, v= q/ n [L/T] de echte snelheid en µ = ( µ w + µ sρkn) / R[1/T] een eectieve abaakconstante is. In de doo Veling (1993) ontwikkelde pogamma s ZEROCD (ZERO Convection-Diusion) en PROFCD (PROFile Convection-Diusion) wodt veschil gemaakt tussen twee opvattingen van de concentatie c (zie Ket en Zube (1978)): c (,): z t de volumegemiddelde concentatie. De opgeloste massa pe volume-eenheid van vloeisto in een elementai gondvolume op een locatie z en een tijd t. c (,): z t de luxgemiddelde concentatie. De opgeloste massa pe volume-eenheid van vloeisto dat een gegeven doosnede passeet op een locatie z en een tijd t. De volgende elatie geldt tussen de twee concentatiebeschijvingen: D c (,) z t c (,) z t = c (,) z t. v z De luxgemiddelde concentatie c voldoet aan dezelde patiële dieentiaalvegelijking als c. Om de dieentiaalvegelijking op te kunnen lossen dienen wij nog begin- en andvoowaaden op te geven. Wij maken de keuze dat e op t = 0 geen sto in de gond aanwezig is en dat e aan het maaiveld een continue luxinjectie plaatsvindt. De bijbehoende voowaaden luiden dan voo de c -concentatie: c ( z,0) = 0, 0 < z<, & c (0, t) = c, t 0. 0 De oplossing van deze patiële dieentiaalvegelijking luidt (zie Van Genuchten (1981) en Veling (1993, omule c (,) 1 z t, p. 5): ( ) ( ) ( + ) ( + ) 1 v u z Rz ut 1 v u z Rz ut c ( z, t) = c0 exp ec + exp ec, D 4DRt D 4DRt met u= v 1+ 4µ DR v [L/T]. Het uiteindelijke doel van de pogamma s is het bepalen van de hoeveelheid sto (dat kan dus een vevuiling maa ook een tace zijn) die aanwezig is in een bepaald gondvolume. De volgende integalen zijn dan van belang: M (,) zt = nsr c(',) z tdz', z 4 STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4

3 t M (,) zt = Q c(,') zt dt'. 0 De paamete S [L ] is het oppevlak van het gebied, en Q [L³/T] de volumetische stoomsnelheid ( Q= qs). De eeste integaal epesenteet de hoeveelheid sto aanwezig in het gebied onde een niveau z. De tweede integaal epesenteet de hoeveelheid sto die een niveau z gepasseed is geduende de peiode (0, t ). Als e geen abaak is, zijn M en M aan elkaa gelijk. Deze integalen kunnen analytisch woden bepaald ahankelijk van de opgegeven andvoowaade. ZEROCD en PROFCD zijn geschikt voo situaties waabij de beginconcentatie 0 is en waabij de andvoowaade een kotstondige injectie ( c ) o blootstelling ( c ) is, een continue injectie/blootstelling o een blokvomige injectie/blootstelling in de tijd. Voo het geval hieboven geldt (zie Veling (1993, omule M (,) 1 zt, p. 3)): ( ) ( ) + + v D u RD D 4DRt QDR 1 vz v v t v u z Rz ut (,) = 0 + exp ec M z t c ( v u) z ( Rz ut) 1 vz v v t exp ec, Du RD D 4DRt met u= v 1+ 4µ DR v [L/T]. Mek op dat M (0, t) = c0qt, zoals ook uit de andvoowaade volgt. Indien men weet hoeveel sto e aan het maaiveld is geïnjecteed (bijvoobeeld doo een taceexpeiment, o doo egenval o doo een vuilstot), dan kan men doo middel van het pogamma ZEROCD met behulp van de analytische expessies voo M en M bepalen op welke tijd een gegeven actie β = M (,) zt M (0,) t = M (,) zt cqt 0 van de tot dan toe geïnjecteede sto onde een gegeven niveau z nog aanwezig is. Het pogamma PROFCD beekent poielen van de gepasseede actie als unctie van de tijd op een gegeven diepte en als unctie van de diepte op een gegeven tijd. De uitvoe is zodanig dat de esultaten gaisch weegegeven kunnen woden. Beide pogamma s zijn alleen van toepassing op een ééndimensionale situatie. E wodt vanuit gegaan dat e alleen tanspot in veticale ichting plaats vindt. De kote ekentijd en de gemakkelijke gaische weegave van de esultaten maken de pogamma s ondanks hun bepekingen geschikt voo het maken van een eeste inschatting van de gevolgen van een mogelijke vevuilingssituatie. Daanaast zijn de pogamma s geschikt voo het veiiëen van numeieke beekeningen met andee modellen. Paameteanalyse Het pogamma PROFCD (dat hie beschouwd wodt) ekent met 6 paametes: v= q/ n (eectieve snelheid), R (etadatiecoëiciënt), D (dispesiecoëiciënt), µ (abaakconstante), z (diepte waaop massaactie bepaald wodt) en t 1 (meettijd). Om de eecten van een veandeing in de paametes te kunnen bepalen kunnen veschillende analyses woden uitgevoed. Te denken valt aan bijvoobeeld een analyse volgens de Monte-Calomethode. Het is echte zee bewekelijk om van de invoepaametes de vedeling te bepa- STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4 5

4 len. E is daaom gekozen om, voo een eeste analyse, de paametes pocentueel te vehogen en te kijken wat dit voo een eect heet op de uitkomst van het pogamma. Dit is gedaan met behulp van een Matlab-analyse waavan een van de esultaten in iguu 1 is weegegeven Mass Faction [-] x Snelheid velocity [m/d] Retadatie Retadation Facto [-] acto Figuu 1: Vegelijking snelheid en etadatieacto, op de opstaande as is de gepasseede massaactie β weegegeven. Het is duidelijk te zien dat de eecten van paametevaiaties voo beide paametes niet lineai zijn. In het veld kan deze analyse goed gebuikt woden. In een situatie waain alle paametes bekend maa onzeke zijn kunnen gaieken als de bovenstaande gemaakt en geaadpleegd woden om te bekijken hoe gevoelig het systeem voo die onzekeheid is. Gevoeligheidsanalyse van het model In de paktijk zal men weinig gedetailleede kennis hebben van de paametes in het gebuikte model. Het ligt dan voo de hand voo elk van de paametes een passende vedelingsunctie te kiezen. Daaom is evoo gekozen om een nieuw MATLAB-pogamma (PaamSensCD) te maken dat op gond van een gekozen vedelingsunctie voo elk van de paametes de daadoo ontstane vedelingsunctie van de gepasseede massaactie kan bepalen. Zowel in de liteatuu als in de paktijk blijkt het eg lastig om de vedeling van de gondpaametes te schatten. E is daaom gekozen om het pogamma zo inteactie mogelijk te maken en de gebuike de vedelingsunctie van elke paamete te laten kiezen. De mogelijkheid wodt geboden om een paamete: Constant te houden; de paamete wodt dan als vaste waade in de beekening meegenomen. Nomaal te vedelen; e dient naast een vewachtingswaade ook een standaad deviatie (SD) ingevoed te woden. Exponentieel te vedelen met de invoewaade als gemiddelde. 6 STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4

5 Voo elke paamete kan een andee vedeling gekozen woden, de GUI (Gaische Use Inteace) van het pogamma is weegegeven in iguu. Figuu : Plaatje van een deel van de gebuikesinteace van PaamSensCD met invoepaametes. Onde "Distibution type" kan de gewenste vedeling woden aangegeven. De gepasseede massaactie (Beta = β ) wodt bij elke paametewijziging diect opnieuw doogeekend. Het pogamma voet vevolgens een Monte-Calo-analyse uit. Kot gezegd houdt dit in dat e een aantal keen een willekeuig getal uit de opgegeven vedeling wodt getokken. Aan de hand van de ingevoede vedelingen, vewachtingswaaden en eventuele standaaddeviaties tekt het pogamma 1000 kee elke paamete en ekent de gepasseede massaactie uit. Deze 1000 waades woden vevolgens in een histogam geplot zodat de gebuike kan zien hoe de vedeling van de massaactie e uit ziet. Daanaast wodt de gemiddelde waade, de standaaddeviatie en het veschil tussen de maximale en minimale waaden van de esultaten bepaald. Dit is te zien in iguu 3. STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4 7

6 Figuu 3: Resultaat PaamSensCD na de Monte-Calo-analyse (1000 tekkingen). Een van de andee opties van het model is het maken van plots van de eecten van het vaiëen van dimensieloze paametes. Doo ove te gaan op dimensieloze paametes wodt het aantal vijheidsgaden namelijk velaagd. Voo dit model zijn de dimensieloze gootheden: ς τ ε µ = vz D, = v t ( RD), = RD v. Paktijkgeval Om de mogelijkheden van deze onzekeheidsanalyse in de paktijk toe te passen maken wij gebuik van een goed gedocumenteed paktijkgeval van een ééndimensionaal vevuilingstanspot in een homogene ondegond (Pang en Hunt, 001). Hie wed een niet-eactieve tace doo een homogene gondkolom gevoed waabij op veschillende diepten de gepasseede concentatie tegen de tijd gemeten wed. De paametes van het expeiment zijn als volgt: v = 7,7 m/d, α = 0, 06 m, R = 1 (geen adsoptie), µ = 0 (geen abaak), z = 8 m en t 0 (duu van de injectie) = 13 minuten, waabij de v en de α zijn gevonden na kalibatie. Zie iguu 4 waa voo deze paametes het poiel is uitgeekend met behulp van het pogamma PROFCD en waain de meetwaaden uit de publicatie van Pang en Hunt (001, iguu 1) zijn opgenomen. In iguu 5 wodt de gepasseede massaactie als unctie van de tijd op een diepte van z = 8 m getoond. 8 STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4

7 Figuu 4: Resultaat pogamma PROFCD, concentatieveloop als unctie van de tijd op een diepte van 8 m. De meetwaaden uit de publicatie van Pang en Hunt (001, iguu 1) zijn ingevuld met een +. Figuu 5: Resultaat pogamma PROFCD, gepasseede massaactie als unctie van de tijd bij een injectie van 13 minuten = dag op een diepte van 8 m. STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4 9

8 Met het bescheven PaamSensCD-pogamma is het slechts mogelijk om een continue injectie te simuleen. Wij maken nu gebuik van de paametes hieboven en nemen aan dat e een continue injectie plaatsvindt. Uit het pogamma ZEROCD blijkt dat na t 1/ = 0,5776 dag = 13,86 uu de helt van de tot dan toe geïnjecteede massa is gepasseed. Indien wij nu met PaamSensCD een onzekeheidsanalyse uitvoeen dan vekijgen wij het volgende esultaat voo de speiding in t 1/ gebaseed op de onzekeheid in de snelheid want uit de publicatie van Pang en Hunt (001) blijkt deze niet goed bekend te zijn. De vedeling van deze paamete wodt in dat atikel niet gegeven. Daaom nemen wij aan dat de gekalibeede waade ( v = 7,7 m/d) de vewachtingswaade is met een standaad deviatie van 1.5 m/d. Nu volgt: v = 7,7 m/d, met SD = 1,5 m/d D = αv = 0,06 * 7,7 = 0,70 m /d, met SD = 0,039 m /d De invoe voo de Monte-Calo-simulatie ziet euit als in iguu 6. Voo de opgegeven paametewaaden beekent het PaamSensCD-pogamma eeds een β waade van 0,499999, zoals ook vewacht mocht woden op gond van de beekening met ZEROCD. Figuu 6: Invoegegevens voo bescheven paktijkgeval. Na 1000 veschillende tekkingen voo v en D wodt de standaaddeviatie voo β in dit geval 0,068 bij een gemiddelde gepasseede massaactie van β = 0, (zie iguu 7). Doo de niet-lineaiteit van de gebuikte omules is het niet zo dat de gesimuleede massaactie ook wee nomaal vedeeld is. Deze esultaten geven de gebuike mee inzicht hoe betouwbaa een voospelling is voo het tijdstip t 1/. 30 STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4

9 Figuu 7: Resultaat vedeling β bescheven paktijkgeval. Conclusies en aanbevelingen Het PaamSensCD-pogamma dat is gescheven aan de hand van de omules uit het PROFCD-appot is een snel en eenvoudige stuk geeedschap om de betouwbaaheid en buikbaaheid van laboatoium- en velddata te ondezoeken. Het biedt de mogelijkheid om in de paktijk optedende vedelingen van paametes in te voeen en zo de vedeling van de beekende gepasseede massaactie gaisch wee te kunnen geven. Daanaast beschikt het ove de mogelijkheid om analyses uit te voeen met dimensieloze paametes. Het biedt ook de mogelijkheid om contoulijnen voo β te tekenen in een ( ς τ )-, ( ς ε) - o ( ε τ )-vlak; dat zijn die dimensieloze gootheden (zie boven). Het pogamma bepekt zich vooalsnog tot 1 type andvoowaade en typen vedelingen. Het vedient aanbeveling om het pogamma op enkele punten uit te beiden. De bepeking tot een continue injectie en een luxconcentatie maakt het pogamma niet altijd toepasbaa. Dit is gemakkelijk te doen met behulp van de omules gegeven in het PROFCD-appot voo volume gemiddelde concentatie en voo instantane en eindig duende vevuilingssituaties. Daanaast is het mogelijk om het pogamma uit te beiden naa mee vedelingstypes om mee mogelijke paametevaiaties op te kunnen vangen. Beschikbaaheid Het pogamma PaamSensCD bestaat uit een dietal Matlab-7 iles die beschikbaa zijn bij de tweede auteu. Liteatuu Genuchten, M.Th. van (1981) Analytical solutions o chemical tanspot with simultaneous adsoption, zeo-ode poduction and ist-ode decay; in: Jounal o Hydology, jg 49, pag STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4 31

10 Ket, A. en A. Zube (1978) On the physical meaning o the dispesion equation and its solutions o dieent initial and bounday conditions; in: Chemical Engineeing Science, jg 33, pag Pang, Liping en Buce Hunt (001) Solutions and veiication o a scale dependent dispesion model; in: Jounal o Contaminant Hydology, jg 53, pag Pappenbege, F. en K.J. Beven (006) Ignoance is bliss: O seven easons not to use uncetainty analysis; in: Wate Resouces Reseach, jg 4, W0530, doi:10.109/005wr00480 (8 pag). Veling, E.J.M. (1993) ZEROCD and PROFCD, Desciption o Two Pogams to Supply Quick Inomation with espect ot the Penetation o Taces in the Soil; RIVM Repot , Bilthoven. (zie 3 STROMINGEN 1 (006), NUMMER 4