TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE GROEP CARDIOVASCULAIRE BIOMECHANICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE GROEP CARDIOVASCULAIRE BIOMECHANICA Tentamen Tanspotfysica (8VB00) op dondedag 10 maat 2014, uu. Het tentamen bestaat uit 4 vagen die elk maximaal 10 punten opleveen. De laatste vaag (opgave 4) is facultatief en kan woden gebuikt om het esultaat van de bijbehoende tussentoets te vebeteen (hoogste cijfe geldt). Vagen bestaan uit veschillende ondedelen. De maximale waadeing pe ondedeel is in de kantlijn weegegeven. 1

2 Opgave 1 Beantwood de volgende vagen met ja of nee en geef een kote motivatie (goed antwood + goede motivatie:, goed antwood + foute motivatie: 0 pnt, goed antwood + geen 1 motivatie:, fout antwood + goede motivatie: 1 2 of zelfs ). a. Is de snelheid langs een stoomlijn constant? b. Gegeven het stationaie twee-dimensionale stomingsveld v = v x e x +v y e y in het x,y-vlak: v x = αx, v y = αy (α > 0). Is de stoming otatievij? c. Een twee-dimensionale, stationaie, wijvingsloze stoming in een divegeend kanaal wodt gegeven doo de snelheidscomponenten v x = (1 x L )V, v y = y V (0 < x < L). L Is het waa dat een vloeistofelementje op de as (y=0) van het kanaal een (plaatsafhankelijke) vetaging ondevindt te gootte (L x)v 2 /L 2? d. Is de stoming van (c.) incompessibel? e. Beschouw eentweedimensionale stominginhetx,y-vlak metsnelheidscomponentenv x = x 2 y en v y = xy 2. Kan deze stoming met een stoomfunctie ψ woden bescheven? f. Is het waa dat voo het stomingsveld van ondedeel (e.) de viskeuze schuifspanningen gelijk zijn aan 4ηxy? g. Beschouw de stationaie, één-dimensionale diffusie van een mateiaal waabij de (constante) concentatieflux wodt gegeven doo j = D dc dx, met c = c(x) de concentatie en D = D(x) de plaatsafhankelijke diffusiecoëfficiënt. Is het waa dat bij D = α/x het concentatieveloop wodt gegeven doo c(x) x? h. Om de stoming in het menselijk hat te bestudeen maakt men een laboatoium-model dat tweemaal zo goot is als het oiginele hat (L m = 2L). De typische stoomsnelheid V m in het model-hat is de helft van die in het oigineel (V m = 1 2V). De vloeistof die in het laboatoium-model wodt gebuikt heeft dezelfde dichtheid en dezelfde viskeuze eigenschappen als menselijk bloed. De invloed van de zwaatekacht wodt buiten beschouwing gelaten. Men wil de stoming in het hat ondezoeken bij een fequentie van 80 slagen/min. Is het waa dat de fequentie van het model-hat dan 20 slagen/min moet zijn? i. Beschouw een laminaie genslaag langs een vlakke plaat, gekaakteiseed doo Re >> 1. Is het waa dat men in de genslaag de duk als unifom mag beschouwen? j. Je wodt gevaagd een metalen staaf met blote handen vast te houden op een afstand d = 10 cm van het uiteinde, die gloeiend heet is vehit. De wamtegeleiding in de staaf veloopt als een een-dimensionaal diffusiepoces, met κ = 10 4 m 2 /sec de themische diffusiteit van het metaal. Is het waa dat de staaf geust 400 sec kan woden vastgehouden zonde je handen te banden? 2

3 Opgave 2 Vanuit een cilindisch vat, waain een constante duk p 1 heest, stoomt een viskeuze incompessibele vloeistof doo een onde opening (diamete 2R 0 ) via een zee nauwe spleet tussen de bovenzijde van het vat en een massieve dekselplaat in zuive adiale ichting naa buiten, zie figuu. De spleet heeft een constante hoogte h. De omgevingsduk is p a. De staal R 1 van de dekselplaat is vele malen gote dan de spleethoogte h. Men mag veondestellen van de stoming in de spleet stationai is, en zuive adiaal geicht. De kinematische viscositeit ν van de vloeistof is zee goot, zodat de taagheidskachten in de spleetstoming te vewaalozen zijn t.o.v. de viskeuze kachten. De zwaatekacht speelt geen ol. Te beschijving van de stoming hanteen we een cilindisch (, φ, z)-assenstelsel. a. Leid af (m.b.v. massabehoud) dat de adiale snelheidscomponent v van de spleetstoming kan woden gescheven als v = c(z)/, waabij c(z) een functie is van de axiale coödinaat z. b. Laat zien met goede agumentatie dat de adiale component van de Navie-Stokesvegelijking voo de spleetstoming veeenvoudigt tot p = v η2 z 2. c. Laat zien dat de duk in de spleet onafhankelijk is van z. d. Geef de andvoowaaden voo v, en bepaal de oplossing v (,z) expliciet in temen van en z. e. Geef de andvoowaaden voo de duk, en bepaal het dukveloop p(). Men vult het vat vevolgens met een vloeistof met een zee lage viscositeit, waadoo in de spleetstoming nu de viskeuze kachten zijn te vewaalozen t.o.v. de taagheidskachten. In de spleet heest dan een adiale stoming met snelheid v = a/, met a een constante. f. Laat zien(m.b.v. de -component van de Navie-Stokes-vegelijking, die voo deze situatie ook educeet tot een vij eenvoudige vom) dat in deze stoming de wet van Benoulli geldt. g. Bepaal voo deze niet-viskeuze stoming de dukvedeling p(). We gaan e nu vanuit dat R 0 << R 1. Bepaal vevolgens gootte en ichting van de netto dukkacht die de stoming op de dekselplaat uitoefent. 3

4 Opgave 3 Beschouw een bolvomige cel met dichtheid ρ, wamtecapaciteit C p en staal a (zie figuu)die zee langzaam afkoelt in een oneindig gote hoeveelheid stilstaande exta-cellulaie vloeistof met tempeatuu T 0 en themische diffusieteit κ. De tempeatuu van de cel is homogeen en gelijk aan T a (t). We meten de tempeatuu van de exta-cellulaie vloeistof op een afstand = 2a van het middelpunt van de cel. T a (t) a T() a. Beedenee dat de tempeatuu T(,t) in de omgeving van de bol kan woden bescheven met T t = κ 1 ( 2 2T ). b. Maak een ode-afschatting van de temen en geef aan vanaf welke waaden van t = τ het poces quasi-statisch kan woden beschouwd. c. Geef de stationaie (quasi-statische) tempeatuuvedeling als functie van en T a (t). d. Beeken de wamteflux q h (t) aan het oppevlak van de cel. e. Bepaal voo dit quasi-statische geval T a (t). 4

5 Opgave 4 (facultatief) Een medicijnafgifte systeem, bestaat uit een lange staaf met lengte L veel gote dan zijn adius R 1, omkapseld doo een poeuze capsule met adius R 2 > R 1 (R 2 << L). staaf mantel z R 1 R 2 Het medicijn lost zo goed op dat te plaatse van de ovegang naa de poeuze capsule ( = R 1 ) de concentatie gelijk is aan de satuatiewaade c s. Het diffusiepoces veloopt echte langzaam genoeg om te mogen veondestellen dat de medicijnstaaf niet dunne wodt. Om de weking van de poeuze mantel te bestudeen bevindt het geheel zich in een oneindig goot vat met wate waain stevig wodt geoed zodat de medicijnconcentatie buiten de poeuze mantel constant mag woden veondesteld en mag woden vewaaloosd t.o.v. de concentatie binnen de mantel. Binnen de mantel is de vloeistof in ust. a. Beedenee dat de concentatie c(, t) binnen de poeuze mantel wodt bescheven doo de vegelijking ( ) c t = D1 c voo R 1 R 2 met D de diffusiecoëfficiënt in wate. b. Na veloop van tijd stelt zich een evenwicht in en is de medicijnconcentatie binnen de poeuze mantel alleen nog maa een functie van de staal en geen functie mee van de tijd t. Geef een uwe schatting van de tijd die nodig is voo het instellen van dit evenwicht. c. Geef de diffeentiaalvegelijking met bijbehoende andvoowaaden die deze evenwichtssituatie beschijft. d. Laat zien dat de stationaie concentatievedeling dan wodt gegeven doo: c() = c s ln(/r 2 ) ln(r 1 /R 2 ). e. Bepaal de diffusieflux j zowel te plaatse van de poeuze mantel ( = R 2 ) als te plaatse van de medicijnstaaf ( = R 1 ). 5

6 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE GROEP CARDIOVASCULAIRE BIOMECHANICA Uitwekingen tentamen Tanspotfysica (8VB00) 10 maat Antwooden Opgave 1 a. Nee, in het algemeen niet: de snelheidsvecto v aakt aan de stoomlijn, maa kan in gootte vaiëen. Alleen in het bijzondee geval dat de afstand tot nabuige stoomlijnen constant is, is v = constant langs de beschouwde stoomlijnen. b. Ja, immes ω z = vy x vx y = 0. c. Ja. De vesnelling wodt gegeven doo Dv x Dt = v x t +v v x x x = 0+(1 x L V ( V L ) = (L x)v2 L 2. d. Ja. Immes v x x + v y y = V L + V L = 0. e. Ja, immmes elke 2D-stoming waavoo v = 0 kan met een stoomfunctie bescheven woden. Aangezien vx vy x = 2xy en y = 2xy is v = 0. f. Nee. De viskeuze nomaalspanningen woden gegeven doo τ xx = 2η vx x = 4ηxy τ yy = 2η vy y = 4ηxy, maa de viskeuze schuifspanningen zijn: ( vx τ xy = τ yx = η y + v ) y = η(x 2 y 2 ). x g. Nee. Immes uit j = αx dc dc dx = constant volgt dx x, en dus c(x) x2 h. Ja. Voowaade voo een dynamisch gelijkvomig schaalmodel is dat zowel het Reynoldsgetal Re = VL/ν als het Stouhal-getal S = wl/v voo oigineel en model dezelfde waaden moeten hebben: Re = VL ν = V ml m ν m, S = ωl V = ω ml m V m. Met L m = 2L,V m = 1 2 V en ν m = ν vinden we ω m = 1 4ω, dus het hat-model dient een slag-fequentie te hebben van 20 slagen/min. p p i. Ja. Omdat de genslaag bij Re >> 1 zee dun is, volgt: y 0 (fomeel y p x ). De duk in de genslaag is dan gelijk aan de duk p(x) in de hoofdstoming. Een dunne genslaag bengt geen vestoing aan in die hoofdstoming, zodat V = constant. Volgens Benoulli: p(x) ρv 2 = const dp dv dp dx = ρv dx volgt dan dat dx = 0. Kotom, de duk in de genslaag heeft oveal dezelfde waade. j. Nee. Het gaat om geleiding van wamte, hetgeen bescheven wodt doo de 1D diffusievegelijking T t = κ 2 T x, met T de tempeatuu, κ de themische diffusiecoëfficiënt, en 2 x de ichting waain de diffusie veloopt. we kunnen inzien dat de themische indingdiepte gelijk is aan δ(t) = O( κt), met κ = 10 4 m 2 /sec. We vinden dan op t = 400 sec: δ th (400) = 0.2 m. Je hebt dan je handen veband! 6

7 Antwooden Opgave 2 a. De continuïteitsvegelijking in cilindische coödinaten is: 1 (v )+ 1 v φ φ + v z z = 0. Aangezien hie v φ = v z = 0 veeenvoudigt deze tot (v ) = 0 v (,z) = c(z), met c(z) een nog onbekende functie van z. b. In de spleetstoming is v φ = v z = 0, zodat de adiale component van de Navie-Stokesvegelijking wodt: [ ( v t +v v = 1 p 1 ρ +ν v ) v ] v z 2. Omdat de stoming stationai is ( t = 0) en bovendien viskeus-gedomineed (kuipstoming) zijn de temen in het linke lid nul esp. vewaaloosbaa klein. Met het onde (a) gevonden esultaat v = c/ zien we dat ( 1 v ) v 2 = 2 v v v 2 = 2c 3 c 3 c 3 = 0, zodat oveblijft: p = v η2 z 2, met η = ρν. c. Met v z = 0indespleet enmet hetgegeven dat zwaatekacht geen ol speelt educeet de z-component van de Navie-Stokes-vegelijking tot 0 = 1 p ρz, m.a.w. de duk in de spleet is onafhankelijk van z. d. Randvoowaaden: v (z = 0) = 0 en v (z = h) = 0. Aangezien p geen functie is van z, is ook p onafhankelijk van z. De bij (b) gevonden vegelijking schijven we dan als 2 v z 2 = 1 p η = a() η en deze vegelijking kan dan tweemaal naa z woden geïntegeed, met als esultaat: v z z v z = a()z η = a()z2 2η +b() +b()z +d. Met behulp van de andvoowaaden vinden we en daamee v (z = 0) = 0 d = 0 v (z = h) = 0 b() = a() h 2η v (,z) = a() 2η (z2 hz)., 7

8 Met het onde (a) gevondene volgt a() = A, en daamee v (,z) = A 2η (z2 hz). e. De andvoowaaden voo de duk zijn: p( = R 0 ) = p 1 en p( = R 1 ) = p a. Substitutie van v (,z) in de -component van NS (zie ondedeel (b)) levet: p = η2 v z 2 = A en dus: p() = Aln +C. De constanten A en C woden bepaald m.b.v. de andvoowaaden: p 1 = AlnR 0 +C p a = AlnR 1 +C. Aftekken geeft p 1 p a = A ln R 0 R 1 en dus A = p 1 p a ln(r 0 /R 1 ) C = p 1 + p a p 1 ln(r 0 /R 1 ) lnr 0. f. Voo deze stationaie, niet-viskeuze stoming met v = v () en v θ = v z = 0 educeet de -component van NS tot v v = 1 p ρ. Dit is ook te schijven als ( ) d p + ( ) 1 d ρ 2 v2 = 0. Integatie naa levet: p+ 1 2 ρv2 = constant, ofwel p+ 1 2 ρv 2 = constant, met V = v = v. De constante wodt bepaald doo de duk waabij v = 0, dus voo : p = p a. Het esultaat is dan: p+ 1 2 ρv2 = p a. g. Met invullen van v = a/ vinden we: p()+ a2 ρ 2 2 = p a. De netto dukkacht op de dekselplaat is dan: R1 R1 F = [p() p a ]2πd = πa 2 d ρ R 0 R 0 = πa2 ρ[lnr 0 lnr 1 ] < 0. De dekselplaat wodt doo de stoming naa beneden getokken. 8

9 Antwooden Opgave 3 a. Convectie-diffusie vegelijking in bol-coodinaten met v = 0. b. Dan geldt: O( T/τ) O(κ/a 2 ) dus τ a 2 /κ. c. Quasi statisch geeft (2T ) = 0 T = C 1 2 nogmaals integeen geeft: T(,t) = C 1 +C 2 Randvoowaaden T(a,t) = T a (t) en T(,t) = T 0 geeft T(,t) = a (T a(t) T 0 )+T 0 d. Wamteflux q h (,t) = κ T en dus q h(a,t) = κ a (T a(t) T 0 ) e. Afkoeling: T a ρc p t 4 3 πa3 +4πa 2κ a (T a T 0 ) = 0 en dus T a T 0 = 3κ t a 2(T a T 0 ) T a T 0 = (T a (0) T 0 )e 3 Antwooden Opgave 4 κ a 2t a. De convectie-diffusie-vegelijking luidt: c t + v c = D 2 c (zie fomuleblad) Binnen de mantel is: v = 0. De diffusietem in cilindecoödinaten: 2 c = 1 ( c ) c 2 φ c z 2 Aangezien L >> R 2 volgt : Axisymmetie impliceet: zodat φ = 0, 2 c = 1 ( c ) E blijft dus ove: ( c t = D1 c ) z = 0.. 9

10 b. E teedt nog diffusie op als de temen in linke- en echtelid van dezelfde gootte-ode zijn: ( ) ( cs c 0 O = O D c ) s c 0 τ (R 2 R 1 ) 2 dus als τ = O ( (R2 R 1 ) 2 ) D c. Voo de evenwichtssituatie educeet de diffusievegelijking tot: ( D c ) = 0. andvoowaaden c(r 1 ) = c s en c(r 2 ) = 0 d. Na integatie vindt men: c = a c = a c = aln+b Na toepassing van de andvoowaaden c(r 1 ) = c s en c(r 2 ) = 0 vinden we c(r 1 ) = alnr 1 + b = c s en c(r 2 ) = alnr 2 +b = 0. Hieuit volgt: b = alnr 2 en alnr 1 alnr 2 = c s. De constanten zijn dus: a = c s lnr 1 lnr 2 = c s b = ln(r 1 /R 2 ) lnr 2. c s ln(r 1 /R 2 ) De evenwichts-concentatievedeling is dan: c() = e. Voo de diffusieflux geldt c s ln(r 1 /R 2 ) ln c s ln(r 1 /R 2 ) lnr ln(/r 2 ) 2 = c s ln(r 1 /R 2 ). j = D c = D ( c e + 1 c φ e φ + c ) z e z = D c e = c sd R 2 ln(r 1 /R 2 ) 1 e = c sd R 2 ln(r 1 /R 2 ) 1 e j( = R 2 ) = c sd 1 e ln(r 1 /R 2 ) R 2 j( = R 1 ) = c sd ln(r 1 /R 2 ) 1 e. R 1 10