TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op maandag 19 maart 007, uur. Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een punt toegekend. 1 (a) Een stationaire twee-dimensionale stroming v = (u, v) in het x, y-vlak wordt beschreven door u = ax, v = ay, met a een positieve constante. Is deze stroming incompressibel? (b) Is de stroming van onderdeel (a) rotatievrij? (c) Is het waar dat een materieel deeltje dat zich op t = 0 op (x, y) = (1, 0) in het stromingsveld van onderdeel (a) bevindt alleen een versnelling in de x-richting ondervindt ter grootte van Du Dt = a x? (d) Beschouw nogmaals het stromingsveld van onderdeel (a); het betreft de stroming van een Newtons medium in afwezigheid van externe krachten. Is het waar dat de drukgradiënt p in het stromingsveld gegeven wordt door p = ρa (xi + yj), met i en j de eenheidsvectoren in de x, y-richtingen? (e) Een plaat voert een harmonische beweging uit in zijn eigen vlak, en wekt daarmee een oscillerende stroming op in het aangrenzende viskeuze medium. Deze oscillerende stroming is merkbaar tot op een afstand δ (de indringdiepte ) van de plaat. Dit probleem wordt beschreven door de parameters δ, ν (de kinematische viscositeit), ω (de frequentie) en U 0 (de snelheidsamplitude). Met behulp van dimensie-analyse kan men aantonen dat er twee onafhankelijke kentallen zijn waarmee de stroming kan worden gekarakteriseerd, bijvoorbeeld δ (ν/ω) 1/ en U 0 (νω) 1/. 1

2 Is deze laatste uitspraak correct? (f) In een gekanaliseerd deel van een bergbeekje stroomt water met een uniforme snelheid V = 1 m/s. Ter plekke bezit de beek een diepte H en een breedte B = 1, 5 m. De totale volumeflux bedraagt Q V = 0, 3 m 3 /s. Is het waar dat de stroming superkritisch is? (g) Op een windstille dag fietst een wielrenner op een horizontaal traject met constante snelheid V = 36 km/h, en ervaart een lucht-weerstandskracht D. De weerstandscoëfficiënt C D is gedefinieerd als D C D = 1 ρv, A f waarbij ρ = 1 kg/m 3 de luchtdichtheid, en A f = 0.4 m het frontaal aanstroomoppervlak van wielrenner + fiets is. In goede benadering is C D = 0.8. Is het waar dat de wielrenner voor het fietsen met deze snelheid een vermogen moet leveren van tenminste P = 160 Nm/s = 160 J/s? (h) De snelheid in de grenslaag langs een vlakke wand wordt benaderd door ( ) y u(x, y) = V, 0 y δ δ waarbij δ(x) de locale grenslaagdikte, en V de snelheid van de uniforme buitenstroming. Is het waar dat de verdringings-(of verplaatsings-)dikte δ gelijk is aan δ = 1δ? (i) Beschouw een volledig ontwikkelde turbulente twee-dimensionale kanaalstroming. Is de turbulente viscositeit ν t op de kanaalwanden gelijk aan nul? (j) Is het waar dat in het centrum van een volledig ontwikkelde turbulente kanaalstroming de tijdsgemiddelde druk p lager is dan aan de kanaalwanden?

3 . Beschouw de stationaire stroming van een Newtonse vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) door een cilindrische buis met diameter R 0 een lengte L. Ter beschrijving van deze stroming hanteren we een cilindrisch (r, θ, x)-coördinatenstelsel. De beweging van de vloeistof is zuiver axiaal. Bij de intrede (x = 0) heerst een uniforme snelheid V 1, waarna op 0 < x < L de stroming door viskeuze effecten een overgang vertoont naar een ontwikkelde Poiseuille-stroming op x = L. De snelheidsverdeling van deze Poiseuille-stroming wordt gegeven door: ( ) x L : v(r) = ˆv 1 r. R0 Voorts is gegeven dat de drukken op x = 0 en x = L gelijk zijn aan p(x = 0) = p 1, en p(x = L) = p (< p 1 ). (3 pnt) (a) Toon aan dat ˆv = V 1. (b) Bepaal de volumeflux Q V op x = L. (c) Bepaal (met gebruikmaking van de integrale impulsbalans) de totale weerstandskracht W die de vloeistof op de buiswand uitoefent. 3

4 De vloeistof stroomt met dit snelheidsprofiel v(r) uit in de vrije atmosfeer. De straal vertoont daar een contractie: door viskeuze effecten ontstaat er ter plaatse (3) een aangepaste straal met uniforme snelheid V 3 en een diameter R 3. De druk in de straal mag overal gelijk worden genomen aan de atmosferische druk p a, dus ook p = p a ; effecten van oppervlakte-spanning en zwaartekracht worden verwaarloosd. ( pnt) (d) Leid uitdrukkingen af voor de snelheid V 3 en de diameterverhouding R 3 /R 0 in termen van de andere (bekende) grootheden. Vervolgens richt men de straal op een verticale plaat, zie schets. De stroming wordt nu als niet-viskeus beschouwd. Ter plaatse van het stuwpunt S bevindt zich in de plaat een klein gaatje, dat met één been van een U-buis-manometer verbonden is. Deze manometer is gevuld met een vloeistof met dichtheid ρ. (e) Leid een uitdrukking af voor het niveau-verschil h in de manometer als functie van de stromingsgrootheden. 4

5 Vervolgens richt men de waterstraal tegen een plaatje dat de uitstroomopening van een groot vat bedekt, zie schets. Dit vat is gevuld met een vloeistof met dezelfde dichtheid ρ, met het waterniveau H t.o.v. de (kleine) uitstroomopening. Het doorsnede-oppervlak van de uitstroomopening is A = πr3. ( pnt) (f) Bepaal de maximale waterhoogte H (als functie van de stromingsgrootheden) waarbij het afdekplaatje door de straal nog juist tegen de opening wordt gedrukt. 5

6 3. Beschouw twee oneindig lange coaxiale cilinders met straal R 1 = R en R = R. De cilinder-assen zijn parallel met de z-as. Tussen beide cilinders bevindt zich een Newtonse vloeistof met dynamische viscositeit µ. De dichtheid van de vloeistof is ρ. De binnenste cilinder roteert met een hoeksnelheid Ω 1, en de buitenste met een hoeksnelheid Ω. De stroming tussen de cilinders mag als stationair en incompressibel beschouwd worden. Neem aan dat de zwaartekracht verwaarloosd mag worden. In poolcoördinaten geformuleerd luiden de r en θ-component van de Navier-Stokes-vergelijking, met v(r, θ) = (u(r, θ), v(r, θ)): met: u t + u u r + v ( u r θ v r = 1 p ρ r + ν u u r ) v r θ v t + u v r + v v r θ + uv r = 1 ( p ρr θ + ν v v r + ) u r θ f = f r + 1 f r r + 1 f, en ν = µ/ρ r θ Incompressibiliteit geeft: v = u r + u r + 1 v r θ = 0.,, 6

7 ( pnt) ( pnt) ( pnt) (a) Beargumenteer waarom de vloeistofsneldheid v en de druk p niet afhangen van de azimutale coördinaat θ, dus dat geldt: v = (u(r), v(r)). (b) Stel de benodigde randvoorwaarden voor u en v op. (c) Toon aan dat v = (0, v(r)), ofwel dat er alleen een azimutale snelheidscomponent is. (d) Leid de gereduceerde Navier-Stokes vergelijking af en geef argumenten voor de vereenvoudigingen. (e) Toon aan dat de snelheidsverdeling is gegeven door v(r) = Ar + B/r. Bepaal de constanten A en B. Controleer uw antwoord voor v(r) aan de hand van de volgende twee speciale gevallen: (1) Ω 1 = Ω = Ω, dan v(r) = Ωr. () Ω 1 = Ω = Ω, dan v(r) = ΩR /r. Uiteraard zijn we geïnteresseerd in de wrijvingskracht die op de cilinders wordt uitgeoefend. De componenten van de spanningstensor in poolcoördinaten hebben de volgende vorm: σ rr = p + µ u r ; σ θθ = p + µ σ rθ = µ ( 1 u r θ + v r v ). r ( 1 v r θ + u ) r ; (f) Bepaal met de relevante componenten (en vereenvoudig deze) de schuifspanning τ aan het oppervlak op de binnenste cilinder. (g) Bepaal het totale krachtmoment per eenheid van lengte op de binnenste cilinder en het benodigd vermogen om de cilinders draaiend te houden. 7

8 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Tentamen FTV voor W (3B470) van maandag 19 maart (a) Ja, immers u + v = a a = 0. x y (b) Ja, want ω z v x u y = ( ) ψ x + ψ = 0. y (c) Ja. Op de x-as (y = 0) is v = 0, dus daar is de versnelling Dv = 0. In Dt de x-richting is de versnelling op y = 0: Du Dt = u t + u u x = 0 + ax a = a x. (d) Ja. De x, y-componenten van de Navier-Stokes-vergelijking geven: x : y : waarmee volgt: u u x + v u u v x + v v p = ρa (xi + yj). y = 1 p ρ x 1 p ρ x = a x y = 1 p 1 p ρ y ρ y = a y (e) Ja. Er zijn m = 4 parameters: δ[m], ν[m /s], ω[s 1 ], U 0 [m/s] met in totaal n = basisdimensies. Volgens het Buckingham-Π-theorema is het aantal onafhankelijk te kiezen kentallen dan m n =. Schrijf P = δ a1 ν a ω a3 U a 4 o. } [m]: 0 = a 1 + a + a 4 [s]: 0 = a a 3 a 4 Bij de keuze a 4 = 0 en a 1 = 1 vindt men a = 1 en a 3 = 1, dus P 1 = δ (ν/ω) 1/. Bij de keuze a 4 = 1 en a 4 = 0 vindt men a = 1 P = U 0 (νω) 1/. en a 3 = 1, dus 8

9 (f) Nee. Met Q V = HBV = 0, 3m 3 /s, B = 1, 5 m en V = 1 m/s volgt H = 0, m. Het Froude-getal van de stroming is F r = V gh = , < 1. De stroming is dus subkritisch. (g) Ja. De weerstandskracht t.g.v. de stroming is: D = C D 1 ρv A f 16N. Het benodigd vermogen is dan P = V D = 160Nm/s. Aangezien er ook nog mechanische wrijving optreedt (wielen, ketting, etc.) is het totaal benodigd vermogen dus groter dan 160N m/s. (h) Nee. De verdringingsdikte δ is: δ ( δ (x) = 1 u ) dy = 0 V [ δ 0 ( ) ] y 1 dy = δ 1 δ 3 δ = 3 δ(x). (i) Ja. Op de kanaalwanden zijn de turbulente fluctuaties gelijk aan nul: u = 0, v = 0, en dus u v = 0. Ondanks het feit dat daar u 0 is aan n de wanden dus ν t = 0. (j) Ja. Voor de tijdsgemiddelde druk geldt p/ρ + (u ) = p 0 /ρ. In het centrum is (u ) > 0, terwijl aan de wanden (u ) = 0. De druk in het centrum is dus lager dan aan de kanaalwanden.. (a) Massabehoud: πr 0V 1 = R0 0 (b) Volumeflux: Q V = πr 0V 1 (zie boven). (c) Integrale impulsbalans in x-richting: v(r)πrdr = 1 πr 0ˆv ˆv = V 1 (1) ρ S 1 u 1 (v 1 n 1 )ds + ρ S u (v n )ds = = (p 1 p )πr 0 + F x, waarbij F x = kracht in x-richting die de wand uitoefent op de vloeistof. Met (v 1 n 1 ) = u 1 = V 1 en (v n ) = +u = v(r) volgt: ρv 1 πr 0 + ρ R0 0 v (r)πrdr = (p 1 p )πr 0 + F x. Nu is R 0 0 v (r)πrdr = 1 3 πr 0ˆv, zodat [ ] 1 F x = (p p 1 )πr0 + ρπr0 3 ˆv V1. () De gevraagde kracht is dan [ W = F x = (p p 1 ) + 1 ] 3 ρv 1 πr0. (3) 9

10 (d) Massabehoud: πr 3V 3 = R0 0 Integrale impulsbalans in x-richting: v(r)πrdr = 1 πr 0ˆv = πr 0V 1. (4) ρ S u (v n )ds + ρ S 3 u 3 (v 3 n 3 )ds = = krachten x = 0. De som van de krachten die in x-richting op de vloeistof werken is gelijk aan nul, omdat de druk overal gelijk is aan p a, en oppervlaktespanningsen zwaartekrachtseffecten verwaarloosbaar zijn. Met (v n ) = u = v(r) en (v 3 n 3 ) = u 3 = V 3 krijgen we ρ R0 0 v (r)πrdr + ρπr 3V 3 = 0 (5) 1 3 πr3 0ˆv = πr 3V 3, ofwel V 3 R 3 = 4 3 V 1 R 0. Uit (4) leiden we af: ( ) R0 V 3 = V 1 R 3. (6) Substitutie hiervan in (5) levert: R 3 = 1 3 (7) R 0 en dan geeft (6): V 3 = 4 3 V 1. (e) Bernoulli in de waterstraal: p a + 1 ρv 3 = p S. (8) 10

11 Hydrostatische drukverdeling in de manometer: p S = p a + ρ gh h = ρv 3 ρ g. (9) (f) Druk aan rechterzijde van het plaatje: p rechts = p a + ρgh F rechts = (p a + ρgh)πr 3. (10) Uit de integrale impulsbalans volgt de kracht die de waterstraal (aan de linker zijde) op de plaat uitoefent: F links = (ρv 3 + p a )πr 3. De voorwaarde F links F rechts leidt dan tot H V 3 g. 3. (a) Het probleem is rotatiesymmetrisch, en kan dus niet van de hoek θ afhangen. (b) u(r) = 0, u( R) = 0. v(r) = Ω 1 R, v( R) = Ω R. (c) Incompressibiliteit leidt tot (met gebruik van a): u + u = 1 (ru) = 0, r r r r dus u(r) = C/r. Gebruik van de randvoorwaarden leidt tot: u(r) = 0. (d) Vergelijkingen zijn onafhankelijk van θ, de radiële snelheidscomponent u is nul, en de stroming is stationair. Dus: v r = 1 p ρ r, v v r = d v dr + 1 dv r dr v r = 0. (e) Stel: v(r) = Ar n. Substitutie in de differentiaalvergelijking v v r = 0 levert: n(n 1)Ar n + nar n Ar n = 0 ofwel n = 1, dus n = ± 1. De algemene oplossing is v(r) = Ar + B/r, en gebruik van de randvoorwaarden levert: (f) v(r) = (Ω Ω 1 )r + (Ω 1 Ω )R /r. σ rr = p ; σ θθ = p ; σ rθ = µ τ(r = R) = σ rθ r=r = µ (g) Krachtmoment per lengte-eenheid: ( v r v ) r M 1 = RπRτ(R) = 8πµ(Ω 1 Ω )R. Benodigd vermogen: P = M 1 Ω 1 = 8πµΩ 1 (Ω 1 Ω )R. ( v r v ) r=r = 4µ(Ω 1 Ω ). r. 11