TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie, (3D030) op dinsdag 13 augustus 2002, Het tentamen levert maximaal 30 punten op waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een 1 punt toegekend. 2 (a) Gegeven een stationair tweedimensionaal (dimensieloos) snelheidsveld v =(u, v) met u = ax + ay 2 v = ay, waarbij a een constante is. Is deze stroming incompressibel? (b) Kan de stroming van onderdeel (a) met potentiaaltheorie worden beschreven? (c) Is het waar dat de versnelling in het stromingsveld van onderdeel (a) gegeven is door Dv Dt =(a2 x + a 2 y 2 )i +(a 2 y)j, met i, j de eenheidsvectoren in de x, y-richtingen? (d) Is het waar dat de viskeuze spanningstensor voor de stroming van onderdeel (a) de volgende vorm heeft? ( ) a ay σ =2µ ay a 1

2 p 1 p 2 D 1 D 2 (e) Om de volumeflux Q V door een buis (diameter D 1 )tebepalen gebruikt men de zgn. Venturi-meter, bestaande uit een contractie (diameter D 2 ) waar men de statische druk p 2 meet. Stroomopwaarts van de Venturi is de druk p 1. Het medium mag als niet-viskeus worden beschouwd. Er is gegeven dat D 1 =2D 2. Is het waar dat de volumeflux Q V gegeven wordt door Q V = π [ ] 1/2 2(p1 p 2 ) 4 D2 1, ρ met ρ de dichtheid van het medium? (f) Iemand giet een pot stroop (kinematische viscositeit ν = 10 cm 2 /s leeg op een glad tafeloppervlak. De stroop stroomt horizontaal weg in een dunne laag met dikte h = 5 mm; de over de hoogte gemiddelde snelheid bedraagt V = 1 mm/s. Kan deze stroming als een Stokes-stroming worden opgevat? (g) Is het waar dat het Froude-getal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingstermen en de zwaartekrachtsterm in de Navier-Stokes-vergelijking? (h) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Poiseuille-stroming? (i) Beschouw een dunne grenslaag aan een vlakke plaat met lengte L. Buiten de grenslaag stroomt het medium (met kinematische viscositeit ν) met een uniforme snelheid V. Voorhet Reynolds-getal geldt: Re VL ν >> 1. 2

3 Is het waar dat de snelheidscomponent v loodrecht op de plaat gelijk is aan nul? (j) Men verandert de partiële zuurstofspanning boven een stilstaande vloeistoflaag ter dikte d waardoor vanaf t = 0debo- venzijde van vloeistoflaag op een hogere zuurstofconcentratie c 1 wordt gehouden. Voor t<0heerst overal een concentratie c 0. Het zuurstoftransport in de vloeistoflaag is op te vatten als een diffusieproces beschreven door de 1D diffusievergelijking: c t = D 2 c x, 2 met D de diffusiecoëfficiënt. Is het waar dat men pas vanaf t = d 2 /D aan de andere zijde van de vloeistoflaag (op x = d) iets merkt van de concentratieverandering? x y c 1 c 0 x =0 x = d 3

4 2. Beschouw de stationaire stroming van een Newtonse vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) door een cilindrische buis met diameter 2R 0 een lengte L. Ter beschrijving van deze stroming hanteren we een cilindrisch (r, θ, x)-coördinatenstelsel. De beweging van de vloeistof is zuiver axiaal. Bij de intrede (x = 0) heerst een uniforme snelheid V 1, waarna op 0 <x<lde stroming door viskeuze effecten een overgang vertoont naar een ontwikkelde Poiseuille-stroming op x = L. De snelheidsverdeling van deze Poiseuille-stroming wordt gegeven door: x L : v(r) =ˆv ( ) 1 r2 R0 2 Voorts is gegeven dat de drukken op x =0enx = L gelijk zijn aan p(x =0)=p 1,enp(x = L) =p 2 (<p 1 ).. p1 p 2 = p a 2R 0 V 1 ρ, ν 2R 0 x =0 x = L (1 pnt) (1 pnt) (3 pnt) (a) Toon aan dat ˆv =2V 1. (b) Bepaal de volumeflux Q V op x = L. (c) Bepaal de totale weerstandskracht W die de vloeistof op de buiswand uitoefent door gebruik te maken van de integrale inpulsbalans. 4

5 De vloeistof stroomt met dit snelheidsprofiel v(r) uit in de vrije atmosfeer. De straal vertoont daar een contractie: door viskeuze effecten ontstaat er ter plaatse (3) een aangepaste straal met uniforme snelheid V 3 en een diameter 2R 3. De druk in de straal mag overal gelijk worden genomen aan de atmosferische druk p a, dus ook p 3 = p a ; effecten van oppervlakte-spanning en zwaartekracht worden verwaarloosd. p 2 = p a p 3 = p a 2R 0 x = L 2R3 V 3 (2 pnt) (d) Leid uitdrukkingen af voor de snelheid V 3 en de diameterverhouding R 3 /R 0 in termen van de andere (bekende) grootheden. Vervolgens richt men de straal op een verticale plaat, zie schets. De stroming wordt nu als niet-viskeus beschouwd. Ter plaatse van het stuwpunt S bevindt zich in de plaat een klein gaatje met oppervlak S πr3. 2 Het gaatje is met één been van een U- buis-manometer verbonden. Deze manometer is gevuld met een vloeistof met dichtheid ρ 0. V 3 stuwpunt S 2R 3 h ρ 0 (1 pnt) (e) Leid een uitdrukking af voor het niveau-verschil h in de manometer als functie van de stromingsgrootheden. 5

6 Vervolgens richt men de waterstraal tegen een plaatje dat de uitstroom-opening van een groot vat bedekt, zie schets. Dit vat is gevuld met een vloeistof met dezelfde dichtheid ρ, met het waterniveau H t.o.v. de (kleine) uitstroomopening. Het doorsnedeoppervlak van de uitstroomopening is A = πr 2 3. p a V 3 p a A ρ H 2R 3 (2 pnt) (f) Bepaal de maximale waterhoogte H (als functie van de stromingsgrootheden) waarbij het afdekplaatje door de straal nog juist tegen de opening wordt gedrukt. 6

7 3. Door de werking van de zwaartekracht stroomt een viskeuze vloeistof met kinematische viscositeit ν en dichtheid ρ in een dunne film langs de buitenwand van een verticaal opgestelde cilinder met diameter 2R (zie figuur). z r y y =0 z p g z =0 ge z vloeistoffilm cilinder gas R R + h De filmdikte h is uniform en klein ten opzichte van de diameter van de cilinder (h R). Eindeffecten mogen worden verwaarloosd. De wrijving met het omringende gas is ook verwaarloosbaar. De druk in het gas is uniform en bedraagt p g. De stroming in de film is stationair, axisymmetrisch ( / θ = 0) en zuiver axiaal (v(r, θ, z) =(0, 0,v z )). (1 pnt) (1 pnt) (a) Toonmetbehulpvandecontinuïteitsvergelijking aan dat de snelheid v z alleen van de straal r afhangt. (b) Laat zien dat in de film de druk overal gelijk is aan de gasdruk p g en laat zien dat de z-component van de Navier-Stokes vergelijking voor dit probleem reduceert tot: ν ( d r dv ) z = g. r dr dr 7

8 (2 pnt) (1 pnt) (1 pnt) (c) Beargumenteer dat de randvoorwaarden voor de snelheid v z (r) in de film worden gegeven door: v z (r) R =0 dv z (r) R+h =0 dr en laat zien dat voor de oplossing geldt: v z (r) = g [ (R 2 r 2 )+2(R + h) 2 ln r ]. 4ν R (d) We gaan nu onderzoeken hoe het omringende gas de vloeistoffilm in diffundeert. We nemen het volgende aan: omdat op het vloeistof-gas interface geldt dat v z / r = 0, mag in de buitenste vloeistoflaag ter dikte δ c h, dus voor R + h δ < r < R + h, de snelheid nagenoeg constant worden verondersteld. Laat zien dat in die buitenste laag geldt: v z (r) v 0 = gh2 2ν. Gebruik hiervoor ln(1 + δ) δ 1 2 δ2 + O(δ 3 )voorδ 1. (e) Op het interface van de vloeistoffilm en het omringende gas is de vloeistof verzadigd en de gasconcentratie in de film gelijk aan c g. Bovenaan de film (z = 0) wordt de gasconcentratie in de film gelijk aan nul verondersteld. Verder wordt aangenomen dat de indringdiepte δ c klein blijft ten opzichte van de filmdikte h, zodat mag worden aangenomen dat in de concentratiegrenslaag de snelheid constant is (v z = v 0 = gh 2 /2ν). Laat zien dat onder bovenstaande condities de concentratieverdeling c(r, z) in goede benadering wordt beschreven door: c v 0 z = D 1 ( r c ) D 2 c r r r r. 2 Met andere woorden laat zien dat voor (R h) het probleem als 2D Cartesisch mag worden beschouwd. 8

9 (1 pnt) (2 pnt) (1 pnt) (f) Toon aan dat als gevolg van het bovenstaande de gasconcentratieverdeling in de concentratiegrenslaag wordt beschreven door: c v 0 z = D 2 c y 2 c(y, 0) = 0 c(0,z)=c g c(,z)=0 met y = R + h r. y (g) Substitutie van de gelijkvormigheidsvariabele η = 4Dz/v 0 geeft: d 2 c dc +2η dη2 dη =0 met als oplossing c(η) =c 0 + c 1 erf(η). Bepaal de integratieconstanten c 0 en c 1 en hiermee de oplossing c(r, z). (h) We definiëren de indringdiepte δ c als de waarde van y waarvoor c =0.01 c g. Geef een uitdrukking voor δ c als functie van z,d, en v 0 en geef aan over welke lengte L vanaf z = 0 de oplossing in (g) geldig is. 9

10 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerkingen Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) van dinsdag 13 augustus (a) Ja, immers u x + v = a + a =0. y (b) Nee, immers ω z v x u = 2ay 0 y i.h.a. (c) Ja. Du Dt = u t + u u x + v u =0 a( ax + ay 2 )+ay 2ay y = a 2 x + a 2 y 2 Dv Dt = v t + u v x + v v y =0+0+a2 y. (d) Ja, want σ =2µ u x ( 1 u + ) v v 2 y x y ( 1 v + ) u 2 x y (e) Nee. Uit de combinatie massabalans Q V = π 4 D2 1V 1 = π 4 D2 2V 2 V 2 = V 1 D 2 1 D 2 2 en Bernoulli p ρv 1 2 = p ρv 2 2 =2µ =4V 1 a ay ay a 10

11 volgt: V 2 1 =16V 2 1 2(p 1 p 2 ) ρ [ 2(p1 p 2 ) V 1 = ] 1/2 [ 2(p1 p 2 ) 15ρ ] 1/2 Q V = π 4 D2 1 15ρ (f) Ja. Het Reynolds-getal bedraagt Re = Vh ν = = << (g) Nee. Het Froude-getal geeft de verhouding van de convectieve versnellingsterm en de zwaartekrachtsterm: Fr = [(v )v] [g] = V 2 gl. (h) Nee. In een Poiseuille-stroming heerst een balans tussen druk- en viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. (i) Nee. De continuïteitsvergelijking luidt u x + v y =0, waarbij x en y de coördinaatrichtingen langs resp. loodrecht op de plaat zijn. Met de grootte-orden [u] =V,[x] =L, [y] = δ, metδ de grenslaagdikte, volgt dan [v] = δ L V. Aangezien Re >> 1isδ << L. De snelheidscomponent v is dus zeer klein, doch essentieel ongelijk aan nul. (j) Ja. De indringdiepte leidt men direct af met behulp van schaalargumenten: c t = D 2 c x 1 2 t D δ δ Dt. 2 De indringdiepte δ is gelijk aan de wanddikte d op tijdstip t = d 2 /D. 11

12 2. (a) Massabehoud: πr 2 0V 1 = R0 0 v(r)2πrdr = 1 2 πr2 0ˆv ˆv =2V 1 (1) (b) Volumeflux: Q V = πr0v 2 1 (zie boven). (c) Integrale impulsbalans in x-richting: ρ S 1 u 1 (v 1 n 1 )ds + ρ S 2 u 2 (v 2 n 2 )ds = =(p 1 p 2 )πr0 2 + F x, waarbij F x =krachtinx-richting die de wand uitoefent op de vloeistof. Met (v 1 n 1 )= u 1 = V 1 en (v 2 n 2 )=+u 2 = v(r) volgt: ρv 2 1 πr ρ R0 0 v 2 (r)2πrdr =(p 1 p 2 )πr F x. Nu is R 0 0 v 2 (r)2πrdr = 1 3 πr2 0ˆv 2,zodat [ ] 1 F x =(p 2 p 1 )πr0 2 + ρπr0 2 3 ˆv2 V1 2. (2) De gevraagde kracht is dan [ W = F x = (d) Massabehoud: πr 2 3V 3 = R0 0 (p 2 p 1 )+ 1 3 ρv 2 1 Integrale impulsbalans in x-richting: ] πr 2 0. (3) v(r)2πrdr = 1 2 πr2 0ˆv = πr 2 0V 1. (4) ρ S 2 u 2 (v 2 n 2 )ds + ρ S 3 u 3 (v 3 n 3 )ds = = krachten x =0. De som van de krachten die in x-richting op de vloeistof werken is gelijk aan nul, omdat de druk overal gelijk is aan p a, en oppervlaktespannings- en zwaartekrachtseffecten verwaarloosbaar zijn. 12

13 Met (v 2 n 2 )= u 2 = v(r) en(v 3 n 3 )=u 3 = V 3 krijgen we R0 ρ v 2 (r)2πrdr + ρπr3v =0 0 (5) 1 3 πr3 0ˆv 2 = πr3v 2 3 2, ofwel V3 2 R3 2 = 4 3 V 1 2 R0 2. Uit (4) leiden we af: ( ) 2 R0 V 3 = V 1 R 3. (6) Substitutie hiervan in (5) levert: R 3 = 1 3 R 0 2 (7) en dan geeft (6): V 3 = 4 3 V 1. (e) Bernoulli in de waterstraal: p a ρv 2 3 = p S. (8) Hydrostatische drukverdeling in de manometer: p S = p a + ρ 0 gh. h = ρv 3 2 2ρ 0 g. (9) (f) Druk aan rechterzijde van het plaatje: p rechts = p a + ρgh. (10) Uit de integrale impulsbalans volgt de kracht die de waterstraal (aan de linker zijde) op de plaat uitoefent: F links = ρv3 2 πr3 2 + p a F rechts =(p a + ρgh)πr3 2. De voorwaarde F links F rechts leidt dan tot H V 3 2 g. 3. (a) De continuïteitsvergelijking geeft: 1 r r (rv r)+ 1 r v θ θ + v z z =0 v z z =0 axisymmetrie v z θ =0 13

14 hieruit volgt v z = v z (r). (b) De impulsvergelijking in z-richting luidt: v z t + v v z r r + v θ v z r θ + v v z z z = 1 ρ [ ( 1 ν r v ) z v z r r r r 2 θ 2 p z + ] + 2 v z + g z 2 stationair: / t =0. axisymmetrisch: / θ =0,v r = v θ =0. axiaal: v r = v θ =0env z = v z (r). Deze gegevens leiden dan tot: 0= 1 p ρ z + ν ( r v ) z + g r r r De impulsvergelijking in r en θ richting geeft p/ r = p/ θ = 0 en dus p = p(z) zodat overal geldt dat p = p g. Dit geeft tot slot ν ( d r dv ) z = g r dr dr (c) Twee keer integreren geeft: v z (r) = r2 g 4ν + a ln r + b no slip: r = R v z =0 R2 g + a ln R + b =0 4ν geen wrijving: r = R + h v [ z r =0 2rg 4ν + a ] r =0 Dan geldt: a = (R + h)2 g 2ν 2(R + h)g + a 4ν R + h =0 en b = (R + h)2 g 2ν r=r+h ln R + R2 g 4ν 14

15 (d) v z (R + h) = = g 4ν = g 4ν [ R 2 (R + h) 2 +2(R + h) 2 ln r ] R [R 2 R 2 2Rh h 2 +2(R 2 +2Rh + h 2 )ln(1+ hr ] ) = q [ 2Rh h 2 +2(R 2 +2Rh + h 2 )( h 4ν R 1 2 = g [ h 2 +4h 2 h 2 + O(h 3 ) ] = gh2 4ν 2ν (e) Er geldt δ c h R zodat r R en / r 1/δ c : ( 1 r c ) = 2 c r r r r + 1 c 2 r r c2 r 2 immers: 2 c r 2 c g δ 2 c 1 c g 1 c R δ c r r (f) Substitutie van r = R + h y in het resultaat van (e) geeft: c v 0 z = D 2 c y 2 h 2 R 2 + O(( h R )3 )) op z = 0 is de concentratie gelijk aan nul c(y, 0) = 0 op y = 0 is de concentratie gelijk aan c g c(0,z)=c g ver weg van de interface y = h δ c is de concentratie gelijk aan nul c(,z)= 0. (g) y =0 η =0 c(0) = c 0 = c g } y = η = c( ) =c z =0 o + c 1 =0 c 1 = c g ] dus: y c(y, z) =c g 1 erf = c g 1 erf R + h r 4Dz/v 0 4Dz/v 0 15

16 (h) Op de grenslaag (y = δ c )geldt: δ c c(δ c,z)=c g 1 erf =0.01 c g 4Dz/v 0 dus: δ c erf =0.99 4Dz/v 0 δ c =2 δ c =4 Dz/v 0 4Dz/v 0 De oplossing geldt zolang δ c =4 Dz/v 0 h en dus 16Dz/v 0 h 2. M.a.w. er moet gelden: z L = h2 v 0 16D. 16