UITWERKINGEN DYNAMICA 1 Februari Uitwerking 1 (10 punten) a) De slinger is ondergedempt, anders zouden er geen oscillaties zijn.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "UITWERKINGEN DYNAMICA 1 Februari 2008. Uitwerking 1 (10 punten) a) De slinger is ondergedempt, anders zouden er geen oscillaties zijn."

Sandra Bogaert
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 UTWERKNGEN DYNAMCA ebuai 8 Uitwekin ( punten) a) De sine is ondeedempt, andes zouden e een osciaties zijn..6 massa is k.4. Ampitude tijd.6 massa is k.4. Ampitude tijd b) Zie sides 8 t/m an HC5 Exta is nu de dempinstem. Deze aat ineai met de sneheid. τ γ &. γ γ & en c) Eest de Ansatz-eeijkin (x) diffeentieen en daana inuen. De e-machten kunnen dan γ weesteept woden en wat je oehoudt is: q + q +. Uit de ABC-fomue ot dat m q dan eijk is aan: γ q ± m γ m. Dit kun je wee inuen in de Ansatz

Deze aat ineai met de sneheid. τ γ &. γ γ & en c) Eest de Ansatz-eeijkin (x) diffeentieen en daana inuen.

2 γ ± m γ t m eeijkin en dat eeft je: e a. De bewein is ondeedempt, dus de eeijkin moet bestaan uit een compexe e-macht. Dat kan aeen as dat wat onde de wote βt it γ staat keine is dan. We kijen nu een eeijkin in de om: ae e met β m γ en. n de eeijkin eeft de eeste facto de beinhoek (pi/6). De tweede m facto (de e e-macht) eeft het ea an de functie doo de dempin. De dede facto ( e e- macht) beschijft de osciaties. Voo het contoeen an de meetwaaden is aeen de e e- π macht an bean. De meetpunten t nt n kunnen samen met de eeen constanten ineud woden in de eeijkin en hieuit ot de hoek na eke osciatie. Uitwekin (6 punten) Zie boek bz. 95 oo de opossin ia m*a. Zie sides HC9 of boek bz. 86 oo opossin ia eneie-behoud. (Dit kan ebuikt woden, omdat de hoek met de hoizontaa constant is.) a) Voo massiee oende ciindes edt a sin( ϑ). De esnein an de ciinde is dus onafhankeijk an de staa R en de massa M. Ze zijn beide op hetzefde moment beneden. b) Voo de hoe ciinde eandet het massataaheidsmoment in MR. Dus edt oo de esnein: a sin( ϑ). De massiee ciinde is dus eede beneden dan de hoe ciinde. c) Aanezien het bokje wijinsoos naa beneden kan ijden is de enie kacht op het bokje de zwaatekacht. Voo de esnein an het bokje edt daaom: a sin( ϑ). Het bokje is dus eede beneden dan de ciinde. Uitwekin (6 punten) a) De ambuance heeft een siene met een aste fequentie. Maa de fequentie die je daadwekeijk hoot wodt bepaad doo het aanta oen dat pe tijdseenheid je oo binnen komt. Aanezien de ambuance beweet, za hij bij het uitzenden an een oend offont awee een stukje ede zijn. Hiedoo komen de offonten oo de ambuance uit, dichte bij ekaa te ien. En ien de offonten achte de ambuance ede uit ekaa. Afeidin, zie boek bz. 44.

De dede facto ( e e- macht) beschijft de osciaties. Voo het contoeen an de meetwaaden is aeen de e e- π macht an bean.

3 c b) Voo de fequentie oo de ambuance edt: f oo f amb. Voo de fequentie achte c amb c de ambuance edt f achte f amb. We hebben fomues met onbekenden. We c + wien amb weten, dus we eimineen f amb. Dit esuteet in: Uitwekin 4 ( punten) amb f oo f na amb c.8m / s f + f As de auto net niet aat sippen, wodt de statische wijinskacht maximaa aanespoken. As de bestuude daaenteen ewoon o as eeft, aan de wieen sippen en is e spake an ijdende wijin. n beide eaen is de wijinskacht tijdens het optekken constant (aeen de ootte is andes). a) as want de esnein is constant, en de beinsneheid was nu. µ m ma dus a µ met µ de an toepassin zijnde wijinscoefficient. oo na µ s S zonde sip en µ k S met sip. b) de wieen hebben een massataaheidsmoment, en hebben otatiesneheid t... het optekken. Dit betekent dat e impusmoment is. De enie manie waaop impusmoment kan eandeen is een netto kachtmoment. Bij de oozichtie bestuude is ootduend spake an zuie oende wieen. Het sneheidseschi an de ondekant /h wie m/h wedek is nu, en dat bijft het ook as de koppein wodt inetapt. Tijdens het uitoen wekt e dus een wijinskacht, en de auto emt ook niet af. Bij de onbesuisde bestuude daaien de wieen zo sne dat de ocae wiesneheid bij het wedek naa achteen wijst. Daadoo ontstaat een naa oen eichte wijinskacht, die de auto doet esneen, maa de otatiesneheid /d wieen emindet. µ k mr c) τ α, τ µ k mr α (constant zoan de wijin wekt) αt ma, µ k m a µ k (constant zoan de wijin wekt) + at Sipfase houdt op zoda R : µ k S + µ k t ( αt)r Dit eet: R µ k S t mr µ k ( + ) met R µ k S dus 9 µ k S t mr µ k ( + )

As de bestuude daaenteen ewoon o as eeft, aan de wieen sippen en is e spake an ijdende wijin. n beide eaen is de wijinskacht tijdens het optekken constant (aeen de ootte is andes).

4 d) Goen eeft de zuie oende auto aan. Rood eeft de aanankeijk sippende auto aan. Veticae stippeijnen een aan anaf wek moment het (zuie) uitoen beint. Hoizontae stippeijn eeft aan wannee de afstand S beeikt is. Opm: n de hie etekende situatie kijt de aanankeijk sippende auto de hooste eindsneheid. Afhankeijk an de etaswaaden oo, m, etc. kan ook het omekeede het ea zijn. Uitwekin 5 ( punten) a) m + R τ m sin t.o.. contactpunt De ichtin en ootte an de eactiekacht is pas te beekenen as de bewein eonden is doo opossen an de otatie beweinseeijkin. b) Het massamiddepunt oet een cikebewein uit, waabij de hoeksneheid steeds toeneemt. De hoizontae component an de bewein an het mmp moet an de wijinskacht afkomsti zijn. De 4

Afhankeijk an de etaswaaden oo, m, etc. kan ook het omekeede het ea zijn. Uitwekin 5 ( punten) a) m + R τ m sin t.o.. contactpunt De ichtin en ootte an de eactiekacht is pas te beekenen as de bewein eonden is doo opossen an de otatie beweinseeijkin.

5 5 nomaakacht staat hoizontaa, en za minde dan m bedaen want het mmp heeft een esneinscomponent omaa. c) ( ) cos cos d d sin d d sin m sin m α α τ α τ d) ae potentiee eneie is omezet in kinetische eneie, omdat noch de wijins- noch de nomaakacht een epaatsin hebben. ( ) cos * m cos m Uitwekin 6 ( punten) a) m m m b) Aanezien de kacht in het kood wekt anuit de oospon an de bewein, is het kachtmoment t.o.. dit punt nu, en bijft het impusmoment t.o.. dit punt eijk. Het impusmoment an een puntmassa bedaat m c) m m K (de adiee component an de sneheid is ewaaoosbaa as de massa anzaam naa binnen etokken wodt) Het kost kacht om de massa naa binnen te tekken, en e is epaatsin. De toename /d kinetische eneie is dus afkomsti an de abeid. d) ( ) ( ) m

( ) cos * m cos m Uitwekin 6 ( punten) a) m m m b) Aanezien de kacht in het kood wekt anuit de oospon an de bewein, is het kachtmoment t.o.. dit punt nu, en bijft het impusmoment t.o.. dit punt eijk.

6 Uitwekin 7 (4 punten) De kooden zij massaoos, zodat in ek kood de spankacht constant is. As e anzaam etokken wodt, is e statisch kachteneenwicht tot het moment an beken. De spankacht in het boenste kood is dan ote, want dat moet de som an m pus de tekkacht opbenen. Het boenste kood beekt eest. As e sne etokken wodt, dient in de anayse te woden meeenomen dat de kooden in feite een hee kein beetje kunnen uitekken. E ontstaat een onitudinae of in het ondeste kood. De massa eeft deze of nauweijks doo aan het boenste kood (en wodt een hee kein beetje esned). Dus beekt het ondeste kood. Uitwekin 8 (4 punten) Pe tijdsintea dt, stoomt massa µdt teen tubinebad. mpuseandein dp an deze massa: µdt* dp µ dt Uitwekin 9 (4 punten) mm G M GM ( R ) tee uitweken: M + GM ( R + ) M ( R + ) + M ( R ) ( R ) M ( R + ) + M ( R ) M ( R + R + ) + M ( R R + ) M ( R + R) + M ( R R) oo M M wodt dit ( M + R M ) in noeme kan tem ewaaoosd woden t.o.. R 6

As e sne etokken wodt, dient in de anayse te woden meeenomen dat de kooden in feite een hee kein beetje kunnen uitekken. E ontstaat een onitudinae of in het ondeste kood.

7 Uitwekin ( punten) a) 5 4 b.8x - x x b) -du/dx.4 b U - (.8/) x + (/4) x U x A c) De kacht is op x of x ± (in boenstaande afieken bij x ±. 4 ). B De potentiee eneie zit dan in een minimum of maximum, aanezien de afeeide is. De A waade an de eneie hie zijn: Maximum x edt U en minima x ± edt B A U. 4 B d) As de beinsneheid oot enoe is aat de massa symmetisch ond x oscieen. Dit is het eeste edeete an de afiek. Doo de dempin neemt echte de ampitude en dus de 7

De A waade an de eneie hie zijn: Maximum x edt U en minima x ± edt B A U.

8 sneheid af. De massa za op een eeen moment niet mee enoe eneie hebben om oe het maximum op x heen te komen. De massa aat dan oscieen in een an de minima ond A x ±. Dit is het tweede edeete an de afiek. De eden dat de ampitude niet is op t B is omdat de ampitude exponentiee afat en daaom pas is as x is oneindi. De eden dat de fequentie eandet is omdat je potentiaa niet paaboisch is en daaom je diffeentiaa eeijkin niet ineai. Dit zie je het duideijkst teu as de massa no net oe het maximum bij x heen-hobbet (ond t -5). Bij ote of keine ampitude ijkt de potentiaa min of mee paaboisch en daaom is de fequentie hie edeijk constant. 8

De eden dat de ampitude niet is op t B is omdat de ampitude exponentiee afat en daaom pas is as x is oneindi.

Vergelijkbare documenten

Oplossing oefening 3.4.

Oplossing oefening 3.4. Opossin oefenin 3.4. Opave Zoek ae symmetiën van de vom q = q + ɛξ(t, q t = t } q i = q i + ɛ ξ i (t, q, q, ( voo de hamonische osciato aaniaan: L = ( m q kq. ( Mek op dat we hie de tijdstansfomaties buiten