Opgaven voor Calculus - Oplossingen

Transcriptie

1 Wiskunde voor kunstmatie intellientie Opaven voor Calculus - Opave Bepaal de afeleiden van de volende functies: (i) f() := sin( + 2 ), (ii) f() := sin() + sin( 2 ), (iii) f() := sin(cos()), ( ) cos() (iv) f() := sin(sin()), (v) f() := sin, (vi) f() := sin(cos()), (vii) f() := sin( + sin()), (i) f () = cos( + 2 )( + 2) (ii) f () = cos() + 2 cos( 2 ) (iii) f () = cos(cos()) sin() (iv) f () = cos(sin()) ( cos() ) cos() sin() cos() (v) f () = cos 2 (vi) f cos(cos()) sin() sin(cos()) () = 2 (vii) f () = cos( + sin())( + cos()) (viii) f () = cos(cos(sin())) sin(sin()) cos() (viii) f() := sin(cos(sin())) Opave 2 Als je ewone afeleide vervelend vindt, zou je het misschien interessanter vinden om van de volende functies de afeleide f () te berekenen: (i) f() := sin(( + ) 2 ( + 2)), (iii) f() := sin 2 (( + sin()) 2 ), (ii) f() := sin ( 2 + sin()), ( ) (iv) f() := sin, cos( ) (v) f() := sin( sin()) + sin(sin( 2 )), (vi) f() := sin 2 () sin( 2 ) sin 2 ( 2 ), (vii) f() := ( + sin 5 ()) 6, (viii) f() := sin(sin(sin(sin(sin())))), (i) f() := sin((sin 7 ( 7 ) + ) 7 ), () f() := ((( 2 + ) + ) 4 + ) 5, (i) f() := sin( 2 + sin( 2 + sin( 2 ))), (iii) f() := sin(2 ) sin 2 (), (iv) f() := sin + sin() (ii) f() := sin(6 cos(6 sin(6 cos(6)))), ( ) sin( sin() )

2 (i) f () = cos(( + ) 2 ( + 2))(2( + )( + 2) + ( + ) 2 ) (ii) f () = sin( 2 + sin()) 2 cos( 2 + sin())(2 + cos()) (iii) f () = 4 sin(( + sin()) 2 ) cos(( + sin()) 2 )( + sin())( + cos()) ) 2 cos( ) + 5 sin( ) cos( ) 2 ( (iv) f () = cos cos( ) (v) f () = cos( sin())(sin() + cos()) + 2 cos(sin( 2 )) cos( 2 ) (vi) f () = 2 sin() cos() sin ( 2 ) + 6 sin 2 () sin 2 ( 2 ) cos( 2 ) (vii) f () = 6( + sin 5 ()) 5 ( + 5 sin 4 () cos()) (viii) f () = cos(sin(sin(sin(sin())))) cos(sin(sin(sin()))) cos(sin(sin())) cos(sin()) cos() (i) f () = 4 cos((sin 7 ( 7 ) + ) 7 )(sin 7 ( 7 ) + ) 6 sin 6 ( 7 ) cos( 7 ) 6 () f () = 5((( + 2 ) + ) 4 + ) 4 (4(( + 2 ) + ) (( + 2 ) 2 (2 + ) + ) + ) (i) f () = cos( 2 + sin( 2 + sin( 2 )))(2 + cos( 2 + sin( 2 ))(2 + 2 cos( 2 ))) (ii) f () = 296 cos(6 cos(6 sin(6 cos(6)))) sin(6 sin(6 cos(6))) cos(6 cos(6)) sin(6) (iii) f () = 2 cos(2 ) sin 2 () + 2 sin( 2 ) sin() cos() sin(2 ) sin 2 () cos() (iv) f () = cos ( sin( sin() ) + sin() ) 2 sin( sin() ) cos( ( + sin()) 2 ) 2 sin() cos() sin() sin 2 () sin 2 ( sin() ) Opave Vind lokale en lobale minima en maima voor de volende functies (die op R met uitzonderin van eventuele nulpunten van de noemer edefinieerd zijn): (i) f() :=, (ii) f() := 4 2 2, (iii) f() := , (iv) f() := 2 8 +, (v) f() := 5 + +, (vi) f() := 2 + 2, (vii) f() := 4 ( ), (viii) f() := + 48, (i) f () = 2, f () = 6 Kritieke punten: f () heeft nulpunten = en 2 = f ( ) < lokaal maimum met f( ) = 2 27, f ( 2 ) > lokaal minimum met f( 2 ) = 2 27 De functie f() is onberensd, daarom bestaat een lobaal minimum of maimum (ii) f () = 4 4 = 4( 2 ), f () = Kritieke punten: f () heeft nulpunten =, 2 = en = f ( ) > lokaal minimum met f( ) =, f ( 2 ) < lokaal maimum met f( 2 ) =, f ( ) > lokaal minimum met f( ) = De functie f() is onberensd naar boven, daarom bestaat een lobaal maimum, maar de twee lokale minima zijn ook lobale minima (iii) f () = ( 2) Kritieke punten: f () heeft nulpunten ( ) 2 = en 2 = 2 en f() is niet edefinieerd in = In wisselt het teken van f () van + naar lokaal maimum met

3 f( ) = 2, in 2 wisselt het teken van f () van naar + lokaal minimum met f( 2 ) = 2 Voor van links aat f() naar, voor van rechts aat f() naar +, dus is de functie f() onberensd en bestaan er een lobale minima of maima (iv) f () = = ( 2)( + 4), f () = 6 2 Kritieke punten: f () heeft nulpunten = 4 en 2 = 2 f ( ) < lokaal maimum met f( ) = 2, f ( 27 2 ) > lokaal minimum met f( 2 ) = De functie f() is onberensd en heeft dus een lobale minima of maima (v) f () = heeft een nulpunten, dus heeft de functie f() een lokale minima of maima en omdat f() continu is ook een lobale minima of maima (vi) f () = 2 heeft een nulpunten maar is in = niet edefinieerd Omdat f() 2 voor alle R en f( ) = 2 is = een lobaal minimum Er zijn een verder lokale minima of maima De functie is onberensd naar boven, daarom bestaat er een lobaal maimum (vii) f () = 4 ( ) 4 ( ) 2 = (4 5) ( ) 2 Kritieke punten zijn de nulpunten = en 2 = 4 5 van f () en het punt = waar f () niet edefinieerd is In wisselt het teken van f () van naar + lokaal minimum met f( ) =, in 2 wisselt het teken van f () van + naar lokaal maimum met f( 2 ) 44 Voor () is f() > en voor > is f() <, dus heeft f() in een minimum of maimum Omdat f() onberensd is, bestaat er een lobale minima of maima (viii) f () = Kritieke punten zijn de nulpunten = 2 en 2 = 2 van f () en het punt = waar f() en f () niet edefinieerd zijn In wisselt het teken van f () van + naar lokaal maimum met f( ) = 2, in 2 wisselt het teken van f () van naar + lokaal minimum met f( 2 ) = 2 Voor van links aat f() naar, voor van rechts aat f() naar +, dus is de functie f() onberensd en bestaan er een lobale minima of maima Opave 4 Een ellips wordt beschreven door de verelijkin 2 + y2 = De parameters a en b even b 2 de lenten van de twee halfassen van de ellips Voor a = b = is de ellips een cirkel We bekijken rechthoeken met zijden evenwijdi aan de - en y-assen, die in de ellips lien Bepaal de afmetinen van de rechthoeken: (a) met maimale oppervlakte, (b) met maimale omvan, die in de ellips passen We lossen 2 + y2 = naar y op, dit eeft y = b 2 De hoekpunten van een rechthoek b 2 zijn (, y), (, y), (, y) en (, y) Voor de oppervlakte O van zo n rechthoek eldt O = 2 2y = 4y en voor omvan P eldt P = 2 + 2y = 2( + y) (a) Er eldt O() = 4b 2 = 4, dan is O () = 2b 2 q ( volt 2 2 = en dus = 2 a Dan is y = 2 b en de maimale oppervlakte is O ma = 2ab ) Uit O () = (b) Er eldt P () = 2( + b 2 ), dan is P () = 2( b q Uit P () = volt 2 = a2 a en dan is y = b2 2 +b 2 a De maimale omvan is P 2 +b 2 ma = 2 + b 2

4 Opave 5 Een bal wordt uit een hoote h met snelheid v verticaal omhoo of omlaa eooid (als v > wordt hij omhoo eooid, als v < omlaa) De hoote van de bal wordt (afhankelijk van de tijd) door een functie h(t) beschreven, voor de snelheid v(t) eldt v(t) = h (t) en de acceleratie a(t) = v (t) = is constant (we nemen de acceleratie met een minteken, omdat deze omlaa ericht is, de waarde van is oneveer 98m/s 2 ) (i) Toon aan dat h(t) = 2 t2 + v t + h (ii) Wat is de maimale hoote die de bal bereikt? (iii) Wat is de snelheid waarmee de bal de rond raakt? (i) Omdat v (t) = is v(t) = t + c voor een constante c R We hebben v() = v, dus is c = v Er eldt nu h (t) = t + v, dus is h(t) = 2 t2 + v t + d voor een constante d R Omdat h() = h is d = h (ii) De maimale hoote wordt bereikt voor t met h (t ) = v(t ) = Dan is t = v en dus h(t ) = v2 + h 2 (iii) Uit h(t) = volt t 2 2 v t 2h = en dus t = v v h v 2 ± +2h Omdat we een positieve t willen, moeten we de oplossin t 2 = v kiezen Er eldt dan v(t 2 ) = t 2 + v = v 2 + 2h De snelheid is neatief omdat hij omlaa ericht is Opave 6 Bepaal primitieven voor de volende functies: (i) f() = a (i) f() := a b, (ii) f() := + sin(), (iii) f() := a2 2 = ep(lo( a b b (ii) f() = is cos() )) heeft primitieve F () = ep(lo( a )) = a lo( a b ) b lo(a) lo(b) = sin() Een primitieve van +sin() cos 2 () cos 2 (), dus heeft f() de primitieve F () = tan() (iii) f() = 2 = a ( b is tan() en een primitieve van sin() cos ( ) cos() a )2 en dit heeft primitieve F () = arcsin( a ) Opave 7 Bepaal de volende interalen (bijvoorbeeld door partiële interatie): (i) cos () d, (ii) ep( 2 ) d, (iii) 2 sin() d, (iv) lo 2 () d

5 (i) cos ()d = cos() cos 2 ()d = sin() cos 2 () sin()2 cos()( sin())d = sin() cos 2 () + 2 sin 2 () cos()d = sin() cos 2 () + 2 cos()d 2 cos ()d = sin() cos2 () + 2 sin() (ii) ep( 2 )d = 2 2 (2) ep( 2 )d = 2 2 ep( 2 ) 2 2 ep( 2 )d = 2 (2 ep( 2 ) ep( 2 )) (iii) 2 sin()d = 2 cos() + 2 cos()d = 2 cos() + 2 sin() 2 sin()d = 2 cos() + 2 sin() + 2 cos() (iv) lo 2 ()d = 2 2 lo 2 () lo() d = 2 2 lo 2 () lo()d = 2 2 lo 2 () 2 2 lo() d = 2 2 (lo 2 () lo()) + 2 d = 2 2 (lo 2 () lo() + ) 2 Opave 8 Bepaal de volende interalen (bijvoorbeeld door substitutie): lo(lo()) ep() (i) d, (ii) ep(2) + 2 ep() + d, (iii) ep(ep()) ep() d, (iv) 2 d (i) Substitueer u = lo(), du = d, dan wordt de interaal lo(u)du = u lo(u) u = lo() lo(lo()) lo() (ii) Substitueer u = ep(), du = ep()d, dan wordt de interaal (u+) 2 du = u+ = ep()+ (iii) Substitueer u = ep(), du = ep()d, dan wordt de interaal ep(u)du = ep(u) = ep(ep()) (iv) Substitueer u = 2, du = 2d, dan wordt de interaal 2 ( 2 ) 2 Opave 9 Bereken de volende bepaalde interalen: u du = ( u) 2 = (i) 2 (2 + ) d, (ii) 2 (2 ) 2 d, (iii) ( ) d, (iv) (vii) () 2 2 a ( 2 ) d, (v) 2 ( + ) d, a2 2 d, (viii) (i) ( ) d, (vi) + d, + d, (i) d, (ii) 25 2 π ( ) 2 d, 2 sin() d

6 (i) Een primitieve van f() = 2 + is F () = De interaal is dus F (2) F () = 6 = 6 (ii) Een primitieve van f() = (2 ) 2 is F () = (2 ) De interaal is dus F (2) F () = + 8 = 8 (iii) Een primitieve van f() = is F () = 2 + De interaal is dus F () F () = 9 = 9 (iv) Een primitieve van f() = ( 2 ) = is F () = De interaal is dus F (2) F ( ) = 2 4 = 9 4 (v) Een primitieve van f() = ( ) = is F () = De interaal is dus F (4) F () = = = 6 5 (vi) Een primitieve van f() = + is F () = De interaal is dus F (8) F () = = 26 (vii) Een primitieve van f() = 2 ( + ) = is F () = De interaal is dus F (2) F () = = 4 (viii) Een primitieve van f() = + is F () = 2 + De interaal is dus F () F () = 4 2 = 2 (i) Een primitieve van f() = ( ) 2 = is F () = De interaal is dus F () F () = 4 + = 2 5 () In de interaal 2 d = a ( a )2 d substitueren we t =, dt = a a d, dan wordt de interaal a 2 t 2 dt Nu substitueren we t = sin(u), dt = cos(u)du, dit eeft de interaal a 2 sin 2 (u) cos(u)du = a 2 cos 2 (u)du Met partiële interatie zien we dat a 2 cos 2 (u)du = (sin(u) cos(u)+ sin 2 (u)du) = (sin(u) cos(u)+ du cos 2 (u)du) = 2 ( a )2 + arcsin( a a2 (sin(u) cos(u) + u) = (t t arcsin(t)) = a2 ( )) =: F () De 2 a bepaalde interaal is dus F (a) F () = a2 (arcsin() arcsin()) = 2 a2 π 4 (i) Een primitieve van f() = = ( + ) is F () = ( lo(5 )+lo(5+)) = lo( ) De interaal is dus F (4) F () = (lo(9) lo(4)) = lo( 9) = lo( ) (ii) We intereren partieel, dit eeft 2 sin()d = 2 cos() + 2 cos()d = 2 cos() + 2 sin()d sin()d = 2 cos() + 2 sin()d + 2 cos() =: 9 27 F () De interaal is dus F ( π π2 ) F () = 2 2 = π Opave Bereken de volende bepaalde interalen: (i) 2 + d, (ii) d, (iii) 2 ep( 2 ) d (i) Een primitieve van f() = 2 + is F () = (2+) 2, dus is de interaal F () F () = (25 27) = 98 (ii) We schrijven + = 2 + In de interaal + d substitueren we = u2, d = 2udu, dan wordt de interaal 2u 2 +u du = 2 u 2 +u du+2 +u du = 2 (u )du+2 lo(+u) =

7 u 2 2u + 2 lo( + u) = lo( + ) Een primitieve van de oorspronelijke functie is dus F () = lo(+ ) = +4 4 lo(+ ) De interaal is dus F (9) F (4) = ( lo(4) lo()) = 4 lo( 4 ) (iii) Een primitieve van f() = ep( 2 ) is F () = 2 (2 ep( 2 ) ep( 2 )) (zie Opave 7(ii)) De interaal is dus F ( 2) F () = 2 (2e2 e 2 + ) = e2 + 2