C. von Schwartzenberg 1/18

Transcriptie

1 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 Ga je naar rechts, dan kom je (op de lijn) hoer uit. Het etal eet aan dat de lijn de y -as in het punt (0, ) snijdt. Stel l : y = a + b; het snijpunt met de y -as is (0, ) b =. naar rechts dan omlaa naar rechts dan omlaa a =. Dus l : y = +. a Stel l : y = a + b met a = rcl =. l : y = + b = + b door B(, ) = + b = b. Dus l : y =. b Stel k: y = a + b met a = rck = rcm =. k: y = + b = 5 + b door B( 5, ) = 0 + b = b. Dus k: y = +. a Stel p: y = a + b met a = rc rc p = q =. p: y = + b 0 = 8 + b door C ( 8, 0) 0 = 6 + b = b. Dus p: y = +. b p: y = + snijden met de ( y = 0) eet: 0 = + = (keer ) = 7. Dus S(7, 0). p: y = + snijden met de y -as ( = 0) eet: y = 0 + = 0 + =. Dus snijpunt met de y -as (0, ). 5a k: y = a + 0 door P ( 0, 0) 0 = a = 0a + 0 0a = 0 a = 0 =. 0 5b k: y = a + 0 door Q(, ) = a + 0 = a + 0 = a 7 = a. 5c k: y = a + 0 door O (0, 0) 0 = a = (kan niet). Er is dus een a moelijk. 6a m: y = + b door P ( 8, 0) 0 = 8 + b 0 = 6 + b 6 = b. 6b m en l evenwijdi rcm = rcl = a = y = + b door Q(0, 7) 7 = 0 + b 7 = b. 6c R(8, 6) lit op k, want 6 = 0, l : y = a door R(8, 6) m: y = + b door R(8, 6) 6 = a 8 0 = 8a 0 = 5 = a. 8 6 = 8 + b 6 = 6 + b = b. 6d k: y = 0,5 + snijden met de ( y = 0) 0 = 0,5 + = 0,5 (keer ) =. Dus S (, 0). l : y = a door S(, 0) 0 = a 0 = a a = a =. m: y = + b door S(, 0) 0 = + b 0 = 8 + b 8 = b. 7a a je naar rechts, dan a je omhoo, dus a je ( = ) naar rechts, dan a je ( = ) omhoo. Dus rc. l = 7b yb ya rc l = =. B A y 8a l : y = a + b met a =, 5. = = = l : y =,5 + b =,5 + b door B(, ) =,5 + b,5 = b. Dus l : y =, 5 +, 5. 8c : met y m y = a + b a = = = 0 = m: y = b = b door E (5, ) Dus m: y =. y 8b k: y = a + b met a = = = 5 = k: y = + b 0 = + b door D(, 0) = b. Dus k: y = +. y 8d n: y = a + b met a = = = 0 = 5, n: y = 5,5 + b 50 = 5, b door H (60, 50) 50 = b 60 = b. Dus n: y = 5, 5 60.

2 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 9a A = as + b met a = A s = = = A = 75s + b 00 = b s = 5 A = = 5 + b 85 = b. Dus A = 75s 85. 9b R = at + b met a = R = t 60 5 = 5 = R = t + b 0 = 5 + b t = 5 R = 0 5 = b. Dus R = t 5.,5 7,75 5,5 0a met p p = aq + b a = q = 5 50 = 75 = 0, 0. p = 0,0q + b 7,75 = 0, b q = 50 p = 7, 75 7,75 = + b 0, 75 = b. Dus p = 0, 0q + 0, 75. 0c q = 50 p = 0, , 75 = 5, 75. 0d p =,5 q = 50,5 + 57,5 = 5. 0b q q = ap + b met a = = 5 50 = 75 = 50. p,5 7,75 5,5 q = 50p + b 50 = 50 7, 75 + b q = 50 p = 7, = 87, 5 + b 57, 5 = b. Dus q = 50p + 57, 5. a 5,8 6,0, h = at + b met a = h 8. = t 8 = 6 = 5 h = 8t + b = + b 5 t = h = 6 86, = b. Dus h = 8t + 86,. 5 b h = 56, 7 eet: 56,7 = 8t + 86, 5 8t = 86, 56,7 5 t 5,9. Dus om oneveer :6. a L = at + b met a = L t = 96 = 6 = 8 L = t + b 8 67 = + b 8 t = L = 67 6 = b. Dus L = t b L = 80 eet: 80 = t = t (keer 8) 8 6 = t. Dus in 06. a 70,8 8,90 B = a + b met a = B 0, 58. = = B = 0,58 + b 8,90 = 0, b = 55 B = 8, 90 6 = b. Dus B = 0, bc Het vastrecht is 6 ( ). De prijs per m is 0,58 ( ). = 8 (m ) eet B = 0, = 8, 98 ( ). a Zie de plot hiernaast. b De top is (, ). c De top van een parabool lit op de symmetrieas. Dus top =. (in de tabel zie je dat = de symmetrieas is) Neem GR - practicum door. 5a ( ) = + heet (optie maimum eet) ma. ( ) = en (optie minimum eet) min. () = 6. 5b D = [, 5] (plot op dit domein) B = [ 6, 9]. (ebruik 5a met de plot en de tabel hieronder) 5c D = [, 0] (plot op dit domein) B = [, ]. (ebruik 5a met de plot en de tabel hierboven)

3 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 6a ( ) = heet (optie GR) ma. () =. D = [, 6] (plot op dit domein) B = [, ]. 6c D = [, ] (plot op dit domein) B = [, ]. 6b D = [0, 5] (plot op dit domein) B = [, ]. 6d D = [, 8] (plot op dit domein) B = [, ]. 7 ( ) = + is een (rechte) lijn. D [, ] (plot op dit domein) B [, = = ]. 8a 8b ( ) = heet (optie GR) ma. ( ) = en min. () = 6. (zie 8 b en 8 c) D = [ 5, ] (plot op dit domein) B = [ 8,5; ]. 8c D = [, 6] (plot op dit domein) B = [ 6, ]. 9a 5t + t + = 0 (intersect) t,. Dus D = [0;,]. 9b heet op dit domein ma. (,) = 9,. D = [0;,] (plot op dit domein) B = [ 0, 8; 9,]. 0a 0b p = ( ) = met top (, 0). (optie maimum) De raiek van ( ) = nu 0 eenheden naar beneden verschuiven dan komt de top op de. De ormule wordt ( ) = p = 9. a b p ( ) = 6 + p raakt de als D = 0. ( 6 + p = 0 heet oplossin) D = b ac = ( 6) p = 6 8p = 0 8p = 6 p = 6 =. 8 p ( ) = 6 + p heet een neatie minimum als D = 6 8p > 0. p (een parabool met de top onder de snijdt de in twee punten) D = 6 8p > 0 8p > 6 (delen door 8 teken klapt om) p <. p De raiek van y = a + b + c met a < 0 twee snijpunten met de D > 0 één snijpunt met de D = 0 een snijpunten met de D < 0

4 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 a D = b ac = ( 5) p = p = 0 p = 5 p =. p b D = 5 + p < 0 p< 5 p <. p a D = b ac = p = 0 p 6 = 0 p = 6 p = 6 p = 6. p b D = p 6 > 0 p > 6 p < 6 p > 6. p 5a Minimum a > 0 p > 0. ❶ D = b ac = ( p) p > 0 p p > 0 p ( p ) > 0 p < 0 p >. ❷ én p >. ❶ ❷ p 5b Maimum a < 0 p < 0. D = p p < 0 p ( p ) < 0 0 < p <. ❷ p én een p voldoet. ❶ ❷ ❶ 6a D = b ac = p p < 0 p + 8 p < 0 p ( p + 8) < 0 8 < p < 0. p 6b ( p) = eet ( p) + p p + p = p + p + p = p + p + = 0 p p = 0 ( p ) ( p + ) = 0 p = p =. 7a 7b Minimum a > 0 p > 0. p D = b ac = ( p + ) p > 0 p + p + p + p > 0 p 8p + > 0 (zie hiernaast de berekenin van de nulpunten) p < p >. ❷ ❶ én ❷ 0 < p < p > D = p 8p + > 0 p < p > (zie 7a). én p < 0. ❶ Maimum a < 0 p < 0. ❶ ❶ ❷ ❷ p 8p + = 0 ( a =, b = 8 en c = ) D* = ( 8) = 6 6 = 8 b ± D* 8 ± 8 8 ± 8 p = = = a p = p =. (beide oplossinen zijn positie) p 8a ( ) = a + b = 0 ( a + b) = 0 = 0 a + b = 0 = 0 a = b = 0 = b a. (midden tussen deze -waarden loopt de symmetrieas, dus) b b 0 + a a b b top = = = =. a a 8b ( ) = a + b + c = 0 ( abc-omule) b ± D = a b + D b D = =. a a b + D b D b + D b D b + a a a a top = = b = = = b. a a c eenheden ANDERS: y = a + b. omhoo verschuiven y = a + b + c Een verticale verschuivin verandert top niet. p p 9 top = b. ( a 0 inderdaad een maimum ) a = p = < = + = Ma. ytop = ( top) = ( p) = ( p) + p p + = p + p + = p + p + = p + = p = 8 (keer 8) 8 p = 6 p = 8 p = 8.

5 Functies en raieken C. von Schwartzenber 5/8 p p 0 top = b = = = p. a Ma. ytop = ( top) = ( p) = ( p) + p p + = p p + = p +. De top ( p, p + ) invullen in y = + eet: p + = p + (keer ) p = p p p 8 = 0 ( p ) ( p + ) = 0 p = p =. a 6 6 top = b = = =. a p p p p y top = ( top) = ( ) = p ( ) = + = + = + =. p p p p p p p p 9 = = (kruiselins vermenivulden) p p = 9 p =. b a = p = > 0 de etreme waarde is een minimum. b p + p + top = = =. a p p ❶ p + p + p + p ( p + ) ( p + ) ( p + ) ( p + ) ( p + ) ytop = ( ) = p ( ) + ( p + ) + 5 = + 5 = + 5 = + 5 =. p p p p p p p p ( p + ) = = (kruiselins vermenivulden) p ( p + ) = 8p p + p + p + = 8p p p + = 0 ( p ) ( p ) = 0 p =. ❷ Nu no ❷ in ❶ + top = = p p = b top = =. a p p p p p ( p ) ( p ) = = = + + = ( p ) Ma. ytop ( top) ( ) p ( ) ( p ) + = +. p p p p p p p ( p ) ( p ) p De top (, + ) invullen in y = + 9 eet: + = + 9 (intersect o) p p p p p p p + 6 ( p ) + = 6 p p p 6 top = = = p p = y top = ( ) = + 9 = 8 (etreem). p 6 top = = = p p = y top = ( ) = + 9 = 7 (etreem). Met intersect zijn de etremen ( Y ) direct a te lezen. p + p + p 6 p 8 + = 6 p p p + 0p = 6 p p + 0p = p p p = 0 p + p + = 0 ( p + ) ( p + ) = 0 p = p =. a Zie de evraade plot hiernaast. p p b top = b = = = p (keer ) top = p. a y top = ( top) ytop = ( top) + p top + 7 ❶ p = top invullen in ❶ eet dan ytop = ( top) + top top + 7 = ( top) ( top) + 7 = ( top) + 7. c Zie de evraade plot hiernaast. p p 5 Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = = = p = p p =. a 8 y = ( ) y = + 6 = + 6 = 6. Dus de toppen lien op y =

6 Functies en raieken C. von Schwartzenber 6/8 6 Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = 6 = p = p =. a p p y = ( ) y = + 6 = + 6 =. Dus de toppen lien op y =. 7 p p Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = = p =. a y = ( ) y = + + = + + = +. Dus de toppen lien op y = +. 8 Voor de -coördinaat van de toppen eldt: b p = = = p = p =. a p p y = ( ) y = ( ) + = + =. Dus de toppen lien op y = (een horizontale lijn). 9 Voor de -coördinaat van de toppen eldt: b p = = =. Dus de toppen lien op = (een verticale lijn). a p 0a Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = =. (nu een verelijkin in p zoeken) a p p y = ( ) y = p ( ) + ( ) + = p + = + = =. p p p p p p p p p p p y = moet y = 6 zijn = 6 p = p p p = 8. 0b Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = (zie 0a) p = p =. p y = ( ) y = + + = + =. Dus de toppen lien op y =. a b Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = 0 = 5. (verelijkin in p zoeken) a p p 5 y = ( ) y = p ( ) p + = p p + = p + = 5 + p +. p p p p p p p = 5 en y = 5 + p + invullen in y = p + = 5 5 (uitwerken eet) p p p p 5 5 = 5 = 5 = p = + p p top p 0 p = 0 p + 8 = 0 (kruiselins vermenivuldien) y = = = p top ( ) 5 (etreem). p ( p + 8) = 0 = 5 = 5 = top p p = p + 8p 0 = 0 y = = = ( p + 0) ( p ) = 0 top ( ) 5 7 (etreem). p = 0 p =. Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = 0 = 5 (zie a) p = 5 p = 5. a p p y = ( ) y = = = Dus de toppen lien op y = a Zie de plot hiernaast. (CALC en TABLE werken niet) (, is de toets boven 7; accolades met ` ( en ` )) (natuurlijk ook als vier verschillende ormules in te voeren) b Alle raieken aan door O (0, 0) en (; 0, 5). c d 6 De raieken van y = 0,5 en y = 0,5 komen niet onder de. 6 De raieken van y = 0,5 en y = 0,5 hebben een symmetrieas (de y -as). a Zie de plot hiernaast. b c d translatie (0, ) y = 0,5 ( omhoo) y = 0,5 +. Translatie (0, ) is een verschuivin van 0 naar rechts en eenheden omhoo. translatie (0, ) y = 0,5 y ( omlaa) = 0,5. translatie (0, 6) y = 0,5 y = 0, (6 omhoo)

7 Functies en raieken C. von Schwartzenber 7/8 a b c translatie (6, 0) y = 0,5 y = 0,5( 6). (zie hiernaast) (6 naar rechts) translatie (, 0) y = 0,5 y = 0,5( + ). (zie hieronder) ( naar links) translatie (, 0) y = 0,5 y = 0,5( ). ( naar rechts) 5a 5b tr. (, 5) y = 5 y = 5( ) + 5. tr. (, 6) y = 5 y = 5( + ) c tr. (7, 0) y = 5 y = 5( 7). 6 7a 7b 7c tr. (, 0) y = ( ) = ( + ). tr. (, ) y = k ( ) = ( + ). tr. (, ) y = h( ) = ( ). tr. (, ) y = l ( ) = ( ). tr. (0, ) y = ( ) = +. 6 tr. (0,) 6 7d y = 5 k ( ) = 5 +. top (0, 0) top (0, ) top (0, 0) top (0, ) ma. y (0) = 0 ma. (0) = min. y (0) = 0 min. k (0) = B =, 0] B =,] B = [0, B = [, tr. (, 8) y = ( ) = ( ) + 8. tr. (00, 0) 7e y = 0,5 l ( ) = 0,5( 00). top (0, 0) top (, 8) ma. y (0) = 0 ma. () = 8 B, 0] = B =, 8] tr. (, 0) y = 5 h( ) = 5( + ). 7 top (0, 0) top (00, 0) ma. y (0) = 0 ma. l (00) = 0 B, 0] = B =, 0] tr. ( 0,; 0,) y = 0, m( ) = 0, ( + 0,) 0,. top (0, 0) top (, 0) top (0, 0) top ( 0,; 0,) min. y (0) = 0 min. h( ) = 0 ma. y (0) = 0 ma. m( 0,) = 0, B = [0, B = [0, B, 0] = B = ; 0,] 8a 8b 8c 8d 9a 9b 9c 9d tr. (, ) y = ( ) = ( + ). top (0, 0) top (, ) ma. y (0) = 0 ma. ( ) = tr. (, ) y = 6 ( ) = 6( + ). symm. in (0, 0) symmetrisch in (, ) tr. (, ) y = 0,8 h( ) = 0,8( ). top (0, 0) top (, ) min. y (0) = 0 min. h() = 5 tr. (, ) 5 y = 0, k ( ) = 0,( ) +. symm. in (0, 0) symmetrisch in (, ) tr. (, 7) y = ( ) = ( ) 7. top (0, 0) top (, 7) min. y (0) = 0 min. () = 7 6 tr. (,) 6 y = 5 ( ) = 5( + ) +. top (0, 0) top (, ) ma. y (0) = 0 ma. ( ) = 5 tr. ( 6, ) 5 y = 6 h( ) = 8( + 6). symm. in (0, 0) symmetrisch in ( 6, ) tr. (, 0) y = 8 k ( ) = 8( ). symm. in (0, 0) symmetrisch in (, 0) 8a 9a h (, ) O h 9c O ( 6, ) O 8c (, ) (, 7) ebruik eventueel een plot en/o tabel voor de schets O k (,) 9b k 8b O O (, 0) O (, ) 8d (, ) O 9d

8 Functies en raieken C. von Schwartzenber 8/8 50 ( ) = a( p) + q p > 0 p < 0 q > 0 q < 0 q > 0 q < 0 n =,, 6,... a > 0 n =, 5, 7,... n =,, 6,... a < 0 n =, 5, 7,... 5a vermenivuldien y = 5 y = 0,5( 5 ). (zie de plot hieronder) t.o.v. de met 0,5 5b vermenivuldien y = 5 y =,5( 5 ). (zie de plot hiernaast) t.o.v. de met,5 5 tr. (, 5) verm., y = 0, 5 y = 0, 5( + ) 5 y =, 5( + ) a 5b tr. (, ) verm., y = 0, 5( ) + 7 y = 0, 5( ) + 9 y = 0, 75( ) +. top (, 7) top (, 9) top (, ) 6 verm., 6 tr. (, ) 6 y =, 5( + ) 7 y = 5( + ) y = 5( + 5). top (, 7) top (, ) top ( 5, )

9 Functies en raieken C. von Schwartzenber 9/8 5a 5b tr. ( 5, 6) verm., y = 0, y = 0,( + 5) + 6 y = 0, 9( + 5) 8. top (0, 0) top ( 5, 6) top ( 5, 8) verm., tr. ( 5, 6) y = 0, y = 0,9 y = 0,9( + 5) + 6. top (0, 0) top (0, 0) top ( 5, 6) 55a Vermenivuldien t.o.v. de met komt op hetzelde neer als spieelen in de. verm. -as, 55b ( ) 6 y = y (spieelen in ) = ( ) ab tr. (, ) y = y = + +. D = [0, D = [, B = [0, B = [, 57ac 57b tr. (, ) y = ( ) =. D = [0, D = [, B = [0, B = [, verm., tr. (, 0) y = y = ( ) = +. D = [0, D = [0, D = [, B = [0, B =, 0] B =, 0] Zie de raieken hiernaast. (een schets volstaat) (,0) y = (, ) y = 58ac 58b verm., tr. (0, ) y = y = ( ) =. D = [0, D = [0, D = [0, B [0, B = [0, = B = [, verm., tr. ( 5, 0) y = y = ( ) = + 5. D = [0, D = [0, D = [ 5, B = [0, B =, 0] B =, 0] Zie de raieken hiernaast. (een schets volstaat) ( 5, 0) y = y = y = (0, ) 59a 59c 59d 59e 59 tr. ( 5, ) tr. (, 7) y = ( ) = b y = ( ) = + 7. beinpunt (0, 0) beinpunt ( 5, ) beinpunt (0, 0) beinpunt (, 7) D = [0, D = [ 5, D = [0, D = [, B [, B [0, = = B = [0, B = [ 7, verm., tr. (, 0) y = y = h( ) = +. beinpunt (0, 0) beinpunt (0, 0) beinpunt (, 0) D = [0, D = [0, D h = [, B = [0, B =, 0] B h =, 0] verm., tr. (0, ) y = y = k ( ) = +. beinpunt (0, 0) beinpunt (0, 0) beinpunt (0, ) D = [0, D = [0, D k = [0, B = [0, B = [0, B k = [, verm., tr. (, ) y = y = l ( ) = +. beinpunt (0, 0) beinpunt (0, 0) beinpunt (, ) D = [0, D = [0, D l = [, B, 0] B B = [0, = l =, ] tr. (0, ) y = m( ) =. beinpunt (0, 0) beinpunt (0, ) D = [0, D m = [0, B m = [, B = [0,

10 Functies en raieken C. von Schwartzenber 0/8 60 ( ) = a p + q p > 0 p < 0 q > 0 q < 0 q > 0 q < 0 a > 0 D = [ p, en B = [ q, D = [ p, en B = [ q, D = [ p, en B = [ q, D = [ p, en B = [ q, a < 0 D = [ p, en B =, q] D = [ p, en B =, q] D = [ p, en B =, q] D = [ p, en B =, q] 6a 6b tr. (,) y = ( ) = +. beinpunt (0, 0) beinpunt (,) De GR eet (,06;,5) als beinpunt. Dat komt omdat de GR bij TRACE met een zekere staprootte werkt. 6a + 0 (onder het -teken nooit een neatieve etal),5 D = [,5;. (, 5) = + 0 = beinpunt (, 5; ). (zie de raiek hiernaast maak een tabel op de GR) 6b ( ) = +... B = [,. 6c ( ) = ( ) (intersect),. ( ) < ( ) (zie plot en domein),5 <,. 6a D =, ]. ( ) = +... B = [,. Het beinpunt is (, ). 6b D = [,. ( ) = +... B = [,. Het beinpunt is (, ). 6ab 0 D, ]. = ( ) =... B =, ]. Het beinpunt is (, ). (ik beperk me hiernaast tot een schets van ) 6c = 5 = (kwadrateren) 5 = = = (voldoet). 6c D h = [,. h( ) = B h =, 5]. Het beinpunt is (, 5). 6d 0 D k = [0,. k ( ) =... B k =, ]. Het beinpunt is (0, ). ( ) > < ( ). (zie bereik) <. (zie berekenin en domein) (, ) y -as (,) y =

11 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 65a Zie de plot hieronder. 65b Neem je achtereenvolens 000, 0 000, ,... dan komt ( ) steeds dichter bij 0. Neem je achtereenvolens 000, 0 000, ,... dan komt ( ) steeds dichter bij 0. 65c Als je (neatie o positie) dicht bij 0 kiest, wordt ( ) oneindi root (neatie o positie). 65d =..., want... 0 = (kan niet, want steeds is... 0 = 0). 0 66a 66b 67a 67b 68a 68b 68c 68d tr. (, ) y = ( ) = +. V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = Zie de schets hiernaast. (vermeld de asymptoten!!!) verm., tr. (, ) y = y ( ). = = + V.A.: = 0 V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = (vereet in de schets niet de asymptoten te stippelen!!!) tr. (5, 6) y = ( ) = V.A.: = 0 V.A.: = 5 H.A.: y = 0 H.A.: y = 6 verm., tr. (, ) y = y ( ). = = + V.A.: = 0 V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = (in je schets de asymptoten estippeld?) = (, ) verm., tr. (, 0) y = ( ). y = h = V.A.: = 0 V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 verm., tr. (0, ) y = ( ). y = k = V.A.: = 0 V.A.: = 0 V.A.: = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = y -as y -as y = (5,6) y -as = 5 y = 6 (, 0) h = y -as (, ) = k = (,) (0, ) y -as y -as y = y = y = 69 Het schema is (weens plaatsebrek) aedrukt na opave 7. 70a Zie de plot hieronder. (deze GR verbindt de takken van de hyperbool, maar de nieuwere apparaten doen dit elukki niet meer) 70b Neem je achtereenvolens 0, 00, 00, 00,... dan komt ( ) steeds dichter bij. De horizontale asymptoot van de raiek van is de lijn y =. 70c Als je dicht bij,5 kiest (eronder o erboven), wordt ( ) oneindi root (neatie o positie). 7a Noemer = 0 eet = 0 = V.A.: =. Voor rote is ( ) = + H.A.:. + = + = y = 7b Noemer = 0 eet 5 + = 0 = 5 = 5 V.A.: =. Voor rote is ( ) = = H.A.: y =. 5 +

12 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 69 ( ) = a + q p p > 0 p < 0 q > 0 q < 0 q > 0 q < 0 a > 0 V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. a < 0 V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. V.A.: = p en H.A.: y = q. 7a Noemer = 0 eet + = 0 V.A.: =. Voor rote is ( ) = H.A.:. = y = + 7b = + (eact o intersect) = =. + + (zie plot en domein) <. + 7a Noemer = 0 eet + = 0 V.A.: =. Voor rote is ( ) = H.A.:. = y = + Noemer = 0 eet = 0 V.A.: =. Voor rote is ( ) = + H.A.:. = y = A B 7b = + (kruiselins vermenivuldien) + (eact, dus niet met intersect!!!) ( ) ( ) = ( + ) ( + ) + = = 0 ( 5) = 0 = 0 (voldoet) = 5 (voldoet). ( ) < ( ) (zie raiek/ plot en domein) < < 0 < < 5. 7c = (kruiselins vermenivuldien) + (eact, dus niet met intersect!!!) ( + ) = ( ) + = = 5 =,5 (voldoet en y = ) A(,5; ). + = ( ) = ( + ) = + = 5 = 5 (voldoet en y = ) B( 5, ). AB = 5 B A = =. 6

13 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 7a Voor rote is N ( t ) = H.A.: N = t (dit betekent dat het aantal insecten niet boven de 800 uitkomt) 7b Zie de schets hiernaast. (stippel de horizontale symptoot) N N = 800 7c N ( t ) = = (intersect) 760 t + t 9,7. Dus op de tiende da zijn er 760 insecten. 7d De vierde da loopt van t = tot t =. N () = 680 en N () 707. (TABLE) Er zijn de vierde da = 7 insecten bijekomen. 7e N ( t ) = = 680 t =. (zie 7d) + t N ( t ) = = 75 (intersect) t 6,9. + t Het duurt dus oneveer 7 = daen. O v = t 75a = eet: = + b v = v b v v v = b v = (kruiselins vermenivuldien o breuken omkeren) v b b = b ( v ) = v o v = b v b = v v = b. v v 75b b = v. (de raiek staat hiernaast) v Noemer = 0 eet v = 0 V.A.: v =. Praktische betekenis: als de voorwerpsastand v = dan is er een beeld. Voor (oneidi) rote v is b = v v H.A.:. v v = b = Prakt. betekenis: er is een voorwerpsastand waarvoor de beeldpuntsastand b =. (voorwerp staat oneindi ver we) 75c b = v eet 75d v = v = v (kruiselins vermenivuldien) v (eact, dus niet met intersect!!!) v ( v ) = v v v = v v 6v = 0 v ( v 6) = 0 v = 0 v = 6. ( v = 0 voldoet niet omdat een noemer in lenzenormule nul wordt) Dus bij v = 6 is b = v = 6. b = eet v v v = (eact, dus niet met intersect!!!) v v = = = (kruiselins vermenivuldien) v v ( v ) = ( v ) = v 6 = v + 6 = v = 9 v = v = (voldoet) v = (voldoet). Dianostische toets Da k: y = a + b met a = rck =. k: y = + b 6 = + b door A(, 6) 8 = b. Dus k: y = + 8. Db l : y = a + b met a = rc m =. Dc l : y = + b = 9 + b door B(9, ) 7 = b. Dus l : y = + 7. k: y = a + 5 door A( 0, 0) 0 = a a = 5 a =. y Da y = a + b met a = 0, 5. = 5 = 8 = y = 0,5 + b = 0,5 5 + b door A( 5, ) =,5 + b 0,5 = b. Dus y = 0,5 0,5. Db met y y = a + b a = = 65 0 = 5 =. y = + b 60 = 0 + b door P (0, 60) 60 = 0 + b 60 = b. Dus y = 60.

14 Functies en raieken C. von Schwartzenber /8 Da W = at + b met a = W = t = = W = 00t + b 500 = 00 + b door (, 500) 500 = 00 + b 700 = b. Dus W = 00t 700. Db t = 5, eet W = 00 5, 700 = 860. Da A = ap + b met a = A p = = = 60. 9,75 7,50,5 A = 60p + b 800 = 60 7, 5 + b door (7, 5; 800) 800 = 50 + b 50 = b. Dus A = 60p Db A = 60, = 575. Dc A = 000 eet 000 = 60p = 60p 50 = p,7 ( ). 60 (ma ook met intersect) A > 000 (zie plot) p <,7 ( ) D5a D5b ( ) = 0, heet (opties in menu CALC) ma. (0) = 0 en min. (8) = 98. (zie D5b en D5c) D = [, ] (plot op dit domein) B = [ 98, 0]. D5c D (plot op dit domein) = [, ] B = [ 98, ]. D6a D = b ac = p = 0 p = 0 p = p = p =. p D6b D = p > 0 (zie D6a) p < p >. p D7a D7c D7d D = b ac = p 6p < 0 D7b p + p p + 6p = p p p < 0 p + 6p + = 0 p ( p ) < 0 p + p + = 0 0 < p <. ( p + ) ( p + ) = 0 p = p =. p p Voor de toppen eldt: = b = = en a p p p y = ( ) = ( ) = ( ) + p + 6p = p p + 6p = p + 6p = (keer ). p p = 5 p p 5 = 0 ( p 6) ( p + ) = 0 p = 6 p =. p Voor de toppen eldt: = en y = p + 6 p. (zie D7c) p De top (, p + 6 p) invullen in y = + eet: p + 6p = p + (keer ) p p = p 5 p 8p + 5 = 0 ( p 6) ( p ) = 0 p = 6 p =. D8 Voor de -coördinaat van de toppen eldt: b p = = = p p =. a y = ( ) y = + = =. Dus de toppen lien op y =. D9a tr. (,) y = ( ) = ( ) +. symm. in (0, 0) symm. in (,) D9a (, )

15 Functies en raieken C. von Schwartzenber 5/8 D9b D9c D9d tr. ( 5, ) y = ( ) = ( + 5) +. D9b ( 5,) top (0, 0) top ( 5, ) tr. (, ) y = h( ) = ( ) +. top (0, 0) top (,) 7 tr. (, 5) 7 y = k ( ) = ( + ) 5. symm. in (0, 0) symm. in (, 5) D9c h (,) k D9d (, 5) D0 tr. (, 5) ( ) = ( ) = ( ) + 5. top (0, 0) top (, 5) min. (0) = 0 min. () = 5 B = [0, B = [5, Da Db verm., tr. (, ) ( ) = ( ) + y = ( ) + 6 y ( 5). = + top (, ) top (, 6) top (5, ) tr. (, ) verm., ( ) = ( ) + ( 5) ( 5) 6. y = y = top (, ) top (5, ) top (5, 6) tr. (7, 5) Da y = ( ) = beinpunt (0, 0) beinpunt (7, 5) Dc D = [0, D = [7, B [5, B [0, = = Db Zie de schets hiernaast. Dab 0 D, ]. = ( ) =... B =, ]. Het beinpunt is (, ). Gebruik een tabel voor het maken van de raiek. (ik beperk me hiernaast tot een schets van ) Dc Da Db = = (kwadrateren) = = = (zie in schets). ( ) < (ebruik de schets) <. Dd verm., tr. (, ) y = y ( ). = = + V.A.: = 0 V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = 0 H.A.: y = (vereet niet de asymptoten te stippelen!!!) (7,5) =, 5,5 = (kwadrateren) 0,875,5 = 0,75 = 0,875 = (zie in schets).. ( ) >, 5 (ebruik de schets) 0,875 <. = (,) y = y -as y -as (,) y = y = D5a Noemer = 0 eet + = 0 V.A.: =. Voor rote is ( ) = + H.A.:. = y = + D5b + = + (kruiselins vermenivuldien) + (eact, dus niet met intersect!!!) ( + ) = ( + ) ( + ) + = = 0 + = 0 ( + ) ( ) = 0 = =. (voldoen) ( ) + (zie raiek/plot en domein) <. y = + = y =

16 Functies en raieken C. von Schwartzenber 6/8 Gemende opaven. Functies en raieken G0a l // m rc rc (klopt) l = m a = ; A (0, ) op k = 0 + ; A (0, ) op m = 0 + b = b. G0b k snijden met de ( y = 0) 0 = + = (keer ) =. Snijpunt S (, 0). S(, 0) op l 0 = a 0 = a a = a = ; S op m 0 = + b 0 = + b = b. G0c (, ) op k = + (klopt). (, ) op l = a = a 5 = a 5 = a; tevens (, ) op m = + b = 6 + b 9 = b. 8,95 9, Ga B = a + b met a = B 0, 6. = = B = 0,6 + b 9, = 0, b = 78 B = 9, 7 = b. Dus B = 0, Gb Het vastrecht is 7 ( ). De prijs per m is 0,6 ( ). Gc = B = + = 00 (m ) eet 0, ( ). Gd 50 = 0, = 0, 6 69, 8 (o intersect). 0, > 50 (zie plot) > 69, 8. De amilie verbruikt 70 m o meer. Ga Bij 0 km rekent A 00 +,0 0 = 68 ( ) B. en B 00 +,0 0 = 8 ( ) Bij 0 km rekent A 00 +,0 0 = 66 ( ) A. en B 00 +, 0 0 = 76 ( ) Gb K A = 00 +,. Gc Zie de raieken in het assenstelsel hiernaast. Gd > 00: KB =, + b 00 =, 00 + b door (00, 00) 60 = b. 00 voor 00 Dus KB =, + 60 voor > 00. K ( ) Ge Voor 00: KA = KB 00 +, = 00, = Voor > 00: KA = KB 00 +, =, =. Dus bij (oneveer) 7 km en 0 km. B A astand (km) (00, 880) (00,70) Ga ( ) = 8 + heet (opties in menu CALC) ma. (0) = en min. ( ) = en () =. Gb D = [0, ] (plot op dit domein) B = [, ]. Ga Maak een mooie raiek van deze unctie. (zie hiernaast) Gb ( ) = 0, 5 +, 5 heet (optie GR) ma. () =. Dus top T (, ) en bereik B =, ] (D = R). Gc (0) =, 5 C (0;, 5). (o met trace o met TABLE) TC : y = a,5 door T (, ) = a,5,5 = a. TC : y =,5,5. A T B Gd ( ) = 0,5 +,5 = 0 (keer ) = 0 ( ) ( 5) = 0 = = 5. Opp ABT = AB h (5 ). T = = = C

17 Functies en raieken C. von Schwartzenber 7/8 G5a p ( ) = + + p = (moet opl. hebben) + + p = 0 (moet nulp. hebben) D = b ac = ( p ) > 0 6 p + > 0 p > 0 p < 5. e G5b voor de toppen eldt: = en y = + p (zie de uitwerkin van G5a hierboven) De top (, + p) invullen in y = + + p = 6 + p = 0. p o: voor de toppen eldt: = b = = en a y = ( ) = ( ) + + p = 8 + p = + p < y = + p < p < 5. G6a D = b ac = p < 0 p p 8 < 0 p < 8 8 < p < 8. G6b Voor de toppen eldt: p = b = = p en y = a ( ) = ( p ) = ( p ) + p p + = p p + = p +. De top ( p, p + ) invullen in y = 5 eet: G6c De top ( p, p + ) invullen in y = + 8 eet: p + = 5 p + = p + 8 p = 9 (keer ) p p = 0 (keer ) p = 8 p + 6p + 8 = 0 p = 8 p = 8. ( p + ) ( p + ) = 0 p = p =. G7 G8a G8b G8c p Voor de -coördinaat van de toppen eldt: = b = = p p =. a y = ( ) y = + + = =. Dus de toppen lien op y = 5. verm., tr. (, ) ( ) = ( + ) + ( ) 8 ( ) 7. y = + + y = + + top (, ) top (, 8) top (, 7) verm., tr. ( a, b) ( ) = ( + ) y = y = + a = a = top (, ) top (, 6) top (, 5) 6 + b = 5 b =. tr. (, 6) verm., c ( ) = ( + ) y = y = top (, ) top (0, ) top (0, c). tr. (0, q) G9a ( ) = 0,5( + ) ( ) = 0, 5( + ) + q. top (, ) top (, + q) ( ) = 0,5( + ) + q door (0, 0) 0, 5 (0 + ) + q = 0 0, 5 + q = 0 = q q=. tr. ( p, 0) G9b ( ) = 0,5( + ) h( ) = 0,5( p + ). Verder aat de raiek van h door (0, 0) top (, ) top ( + p, ) 0,5 ( p + ) = 0 verm., a G9c ( ) = 0, 5( + ) k( ) = 0,5 a( + ) a. 0,5 ( p + ) = top (, ) top (, a) ( p + ) = 6 min. y ( ) = ma. y ( ) = a p + = ±. B = [, B =, a] =, 6] p = ± Dus a = 6 a =, 5. p = p = p = 6. G9d Top (, ) op m( ) = a + b 6a + b =. ❶ (0) = 0, 5 (0 + ) = 0,5 = = (0, ) is snijpunt met y -as. (0, ) op (de raiek van) m( ) = a + b 0 + b = b =. ❷ ❷ invullen in ❶ 6a = 6a = a =. 6

18 Functies en raieken C. von Schwartzenber 8/8 tr. ( 6, ) G0a y = ( ) = + 6. beinpunt (0, 0) beinpunt ( 6, ) D = [0, D = [ 6, B [, B [0, = = tr. (, ) y = ( ) =. V.A.: = 0 V.A.: = H.A.: y = 0 H.A.: y = G0b + 6 = (intersect) =, 79 =. + 6 (raiek en domein) 6, 79 <. ( 6, ) (, ) = y = G0c + 6 = (eact, dus niet met intersect!!!) + 6 = (kwadrateren) + 6 = 6 = 0 (voldoet). G0d = 5 = 6 (kruiselins vermenivuldien) (eact, dus niet met intersect!!!) 6 ( ) = 6 = 6 = = = (voldoet). 6 6 TI-8. Toppen a Zie de plot op [ 0, 0] [ 0, 0] hiernaast. b Optie minimum met` $ (= è) top is (, ). (bij Let Bound? en Riht Bound? met de cursor ( < o > ), o door het intikken van een -waarde, aan de juiste kant van de top aan staan en e ; bij de vraa Guess? alleen no maar e) Optie maimum met ` $ (= è) top is (, 6 ). (kies de tweede ormule na de optie maimum) a Zie de plot op [ 0, 0] [ 5, 5] hiernaast. b De toppen zijn (,79;,65) en (,79; 0,05).