INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN N (N 1)

Transcriptie

1 INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) --004, ANTWOORDEN OPGAVE (a) i. Standaadafwijking: S x = t NX (x i x) N Standaadafwijking an het gemiddelde: S x = t NX (x i x) N (N ) ii. De standaadafwijking geeft de speiding aan in de losse meetesltaten, d.w.z. is een maat oo de beedte an de edelingsfnctie an losse meetesltaten. Hij wodt gebikt als 68%-onzekeheidsgebied oo de indiidele (losse) meetesltaten. De standaadafwijking an het gemiddelde geeft de speiding aan in gemiddelde waades, d.w.z. is een maat oo de beedte an de edelingsfnctie an gemiddelden (als die ake gemeten zoden woden). Hij wodt gebikt als 68%-onzekeheidsgebied oo het gemiddelde an een meetseie. (b) i. De elatiee onzekeheid in de meting an de totale massa moet egeleken woden met de elatiee onzekeheid in de gemiddelde pil-massa. De eeste is 0.0/39.79 = ,detweedeis(zieondedeelii.) 0.70/43.4 =.6 0. Deze laatste is ds eel gote en daaom is kan de onzekeheid in de totala-massa-meting ewaaloosd woden. ii. De gemiddelde massa an de 0 pillen wodt beekend m.b.. m = N NX m i =43.38 mg en de onzekeheid m.b.. S m = t NX (m i m) =0.35 mg N (N ) Dit is echte het 68%-nawkeigheidsgebied. Het 95.4%-gebied is maal zo goot en ds is de gemiddelde massa an de 0 pillen m =(43.4 ± 0.70) mg. iii. Het totaal aantal pillen n wodt beekend m.b.. n = (43.4 ± 0.70) 0 3 =(7.63 ± 0.) 03 =(7.6 ± 0.) 0 3 De onzekeheid hiein is beekend m.b.. S n n = S m m

2 i. Methode : Om met 95.4%-zekeheid het aantal pillen exact te knnen bepalen, moet de onzekeheid in n<0.5 woden. Dat betekent dat hij 3/0.5 = 46maal zo nawkeig moet woden. Dat kan alleen als S m ook 46 kee zo nawkeig wodt en daaoo zijn 46 = kee zoeel metingen nodig. Zoeel pillen zitten e echte niet in de pot, ds dit is zinloos. : Beekend kan woden wat de optimale onzekeheid wodt als m.b.. deze methodedehelepotwodtgeteld(watopzichzinloosis). DestandaadafwijkingS m wodt n 0 S m =0.35 =0.03 mg endsdeonzekeheidinn: S n = n S m m = =4.4 > Eest moet woden opgezocht wat het 90%-betowbaaheidsgebied betekent. Uit de tabel blijkt dat dit het gebied is an ca..645 kee de standaadafwijking (5% oeschijdingskans). De onzekeheid in m wodt dan = 0.58 mg en het aantal pillen dehale n = (43.4 ± 0.58) 0 3 =(7.63 ± 0.0) 03 =(7.6 ± 0.) 0 3 (c) i. De standaadafwijking σ wodt beekend m.b.. σ = a hxi = ε (x x w ) = Z = = x p(x) dx = n n 3 x3 a a + a Z a a 3 a3 4 o a a q σ = a x +cos( a x) dx x sin( a x) a =0.36 a. 3 a + a = a 3 = a 3 x cos( x) a a 3 o a a sin( x) a a a ii. Het deel an de meetesltaten tssen σ en σ wodt beekend olgens: Z σ σ Z σ p(x) dx = = σ +cos( a x) dx n [x] σ σ + a o sin( x) σ a σ = σ a + sin( a σ)=0.65 Ds65%andemetingenalleninhetgegeengebied. (d) i. Geminimaliseed wodt in dit geal χ = X i (f (x i ) y i ) S y i

3 ii. De oowaade is dat de onzekeheden in de x-gootheden x i moeten ewaaloosbaa klein zijn. iii. De fnctie f (x) beat een aantal fit-paametes a, b, c,.... De bestpassende fitwodt geonden it die set an paametes waabij χ minimaal is. Die wodt geonden ia het stelsel egelijkingen χ / a =0, χ / b =0, χ / c =0,...etc. Oplossen an dit stelsel egelijkingen (eeneel egelijkingen als onbekenden) leet de gezochte waaden oo a, b, c, etc. i. Voo een echte-lijn-eband f (x) = ax + b lkt dat wel analytisch omdat het stelsel egelijking it (iii.) een lineai stelsel is en ds analytisch oplosbaa. Voo het eband f (x) =a exp ( bx) is het stelsel een niet-lineai stelsel en ds niet analytisch oplosbaa.. In het laatste geal dient de tial-and-eo-methode te woden toegepast, ofwel de botte-bijl methode: de laptop (nmeieke methode). Als altenatief kan de data gelineaiseed woden. Neem de ln an de y-meetwaaden, dan wodt olgens de theoie het eband ln (f (x)) = ln (a) bx. Dit is een echte lijn met asafsnijding ln (a) en helling b. Na lineaisatie kan de echte-lijn-fit woden toegepast. Daabij moet gelet woden op de gewijzigde onzekeheden in ln (y i ), nl. S ln(yi ) = S yi /y i. OPGAVE (a) In een tijd τ / zal de stekte an de adioaktiiteit gehaleed zijn en daamee ds ook µ: µ τ / = µ 0 exp τ / /τ D = µ0 / exp τ / /τ D =/ exp τ / /τ D = τ / /τ D =ln() τ / =ln() τ D (b) Het is noodzakelijk dat T τ D omdat gedende de meettijd (ds T ) µ wel constant moet blijen. Andes weet je niet wat de meting oostelt. (c) Van de Poissonedeling is bekend dat de onzekeheid in één meetwaade gelijk is aan de wotel ean, ds is S ni = n i (d) Om een echte-lijn-fit te knnen toepassen, dient de logaitme te woden genomen: ln (µ) =ln(µ 0 ) t τ D Ds als we ln (n i ) itzetten tegen de tijd t, ewachten we een echte lijn met een helling /τ D en een asafsnijding ln (µ 0 ) (e) De lijn gaat niet doo de oospong omdat ln (µ 0 ) niet exact bekend is en ds geen constante is. 3

4 (f) Langs de y-as komt ds ln (n i ). De onzekeheid hiein is S ln(ni ) = ln (n i) n i S ni = n i ni = ni (g) Je moet gebiken de 3de fit, ds de fit y = ax + b met ongelijke onzekeheden S i. We moeten een fit toepassen met onbekenden en de onzekeheden S i zijn in ondedeel (f) beekend en zijn niet constant. (h) ln(n i ) t () (i) In een tabel: x i = t i y i =ln(n i ) S i = ni S i = n i x i S i y i Si x i Si x i y i S i Hieit olgt de helling a: a = = = = , τ D de onzekeheid hiein: 663 S a = = de asafsnijding b: b =ln(µ 0 )= =6.8696

5 en de onzekeheid hiein: Hieit olgt oo τ D : S b = =0.030 τ D = a = (0.845 ± 0.05) =(.83 ± 0.035) =(4.6 ± 0.3) 03 s De onzekeheid hiein is beekend m.b.. S τ D τ D = S a a De halfwaadetijd τ / is n τ / = (.83 ± 0.035) ln () = (0.8 ± 0.0) = (4.6 ± 0.3) 0 3 ln () = (.95 ± 0.09) 0 3 s. 5