Rotatie in 2D. Modeltransformaties. Translatie in 2D. Rotatie van een punt tov rotatiepunt (pivot) over een rotatiehoek:

Transcriptie

1 23 24 Modeltansfomaties Opbouwen van een tafeeel met gafische pimitieven Objecten in een tafeeel laten evolueen. met een tussentijd t de fsische positie van alle coödinaten van een tafeeel hebeekenen en dan, telkens opnieuw, alle objecten met hun nieuwe coödinaten tov. oospong geneeen; ee omslachtig pogammeewek en moeilijk te ondehouden code; 2. eenmalig definiëen van de objecten van het tafeeel in de uimte; en dan een aantal of alle objecten in het tafeeel te ondewepen aan een eeks tansfomaties om e op die manie coect in de uimte te situeen; mooiee en efficiëntee code. Rotatie in 2D Rotatie van een punt tov otatiepunt (pivot) ove een otatiehoek: = cos = sin = cos( + ) en = sin( + ) = coscos sin sin = cos sin + sin cos Mativom: = cos sin sin cos Veplaatsen van een punt in het vlak: Tanslatie in 2D Mativom: = + = + = + Rotatie van een punt ond een willekeuig otatiepunt (pivot): (, ) = + cos = + sin en = + cos( + ) = + sin( + ) = + coscos sin sin = + cossin + sin cos = + ( ) cos ( ) sin = + ( ) sin + ( ) cos owel multiplicatieve als additieve elementen: efficiënte mativom? Rotatie ond een willekeuig punt: op een andee manie fomuleen.

2 25 26 Schaling in 2D Beïnvloeden van de gootte van een object: coödinaten (, ) van het object woden vemenigvuldigd met espectievelijk schaalfactoen s en s : Mativom: = = s = s s 0 0 s Toepassing: schalen van OpenGL pimitieven met vaste initiële afmetingen, bijv. glutwiecube Stelling: Homogene coödinaten een pobleem in een n-dimensionale uimte heeft telkens een oveeenkomstig pobleem in een (n + ) dimensionale uimte Vaststelling: de oplossing van een pobleem in de uimte met dimensie (n + ) is vaak eenvoudige te bekomen dank ij de eta vijheidsgaad De oplossing in de (n + )-dimensionale uimte kan dan op de één of andee manie gepojecteed woden naa de uimte met dimensie n. Homogeniseen van een punt met twee coödinaten (, ): toevoegen van een dede coödinaat w 0, de schaalfacto. Het punt wodt nu bepaald doo die coödinaten: (w, w, w). ojectie van een punt (6, 8, 4): (6/4, 8/4) of (4, 2). 3D: punt (,, ) homogeniseen: schaalfacto toevoegen (,,, ) Samenstelling van tansfomaties De die basistansfomaties kunnen in mativom gescheven woden: = M + M 2 tansfomatie M M 2 tanslatie otatie schaling [ ] [ ] 0 0 [ ] [ ] cos sin 0 sin cos 0 [ ] [ ] s s 0 Een efficiënte combinatie van veschillende tansfomaties is eg moeilijk ealiseebaa: alle beekeningen moeten voo elke deeltansfomatie punt pe punt uitgevoed woden. 2D tansfomaties mbv. homogene coödinaten unt: een 3 kolommati tanslatie otatie schaling = = = cos sin 0 sin cos s s tansfomatiemati: een 3 3 mati = T(, ) Samenstelling van tansfomaties: vemeniguldigen van matices = R() = S(s, s )

3 27 28 pivot Rotatie () ond een willekeuig punt (, ) = T(, ) R() T(, ) 0 cos sin 0 0 = 0 sin cos cos sin ( cos) + sin = sin cos ( cos) sin 0 0 Vemenigvuldiging van matices: niet commutatief. De volgode is belangijk: tansfomaties woden uitgevoed van echts naa links. Globale weeldcoödinatenssteem tansfomatie elatief ten opichte van de globale oospong en de hoofdassen otate tanslate beginnen met de eenheidsmati M = I eest een otatie M = R M en dan een tanslatie M = T M = T R I tanslate otate v = M v of v = T R I v e- of post vemenigvuldiging Het oteend viekant: owel een otatie als een tanslatie tansfomatie Het esultaat is afhankelijk van de volgode van dee tansfomaties: indien eest een otatie uitgevoed wodt en dan een tanslatie, dan oteet het viekant ond ijn eigen middelpunt; bij omgekeede volgode oteet het viekant ond de oospong. Twee manieen om de otatie- en tanslatiematices samen te voegen: pe-vemenigvuldiging: wodt de tweede mati B langs links met de eeste mati A vemenigvuldigd: het esultaat is dus C = B A. post-vemenigvuldiging: wodt de tweede mati B langs echts met de eeste mati A vemenigvuldigd: het esultaat is dus C = A B. Beide volgodes ijn mogelijk, maa de juiste volgode is wel afhankelijk van hoe de tansfomatie bekeken wodt, ten opichte van een globaal coödinatenssteem of ten opichte van een lokaal coödinatenssteem. Lokaal weeldcoödinatenssteem tansfomatie: een tansfomatie van het coödinatenssteem: de oospong en de assen woden mee getansfomeed otate tanslate tanslate otate beginnen met de eenheidsmati M = I eest een otatie M = I R en dan een tanslatie M = M T = I R T v = M v of v = I R T v

4 29 30 Modeltansfomaties in 3D elke tansfomatie wodt gekaakteiseed doo een tansfomatiemati samengestelde tansfomaties, een sequentie van basistansfomaties, geven doo concatenation aanleiding tot één enkele tansfomatiemati; dee levet pecies hetelfde esultaat op als de uitvoeing van de opeenvolgende deeltansfomaties. Het gafische ssteem hoeft slechts eenmaal de vemenigvuldiging uit te voeen van de veschillende tansfomatiematices. De esulteende mati wodt gebuikt om alle punten van het object aan de tansfomatie te ondewepen. Hoe ingewikkeld de combinatie van tansfomaties ook moge ijn, elk punt van het te tansfomateen object wodt slechts vemenigvuldigd met één enkele mati. Bij compleee tansfomaties is de enige eta beekeningslast de eenmalige beekening van de esulteende mati. Schaling in 3D glmatimode(gl MODELVIEW) ; glloadidentit ( ) ; = = S(s, s, s ) s s s glscaled ( GLdouble s, GLdouble s, GLdouble s ) ; g lscalef ( GLfloat s, GLfloat s, GLfloat s ) ; t Tanslatie in 3D glmatimode(gl MODELVIEW) ; glloadidentit ( ) ; = = T(,, t ) t gltan slated ( GLdouble t, GLdouble t, GLdouble t ) ; gltanslatef ( GLfloat t, GLfloat t, GLfloat t ) ; Rotatie ond -as in 3D glmatimode(gl MODELVIEW) ; glloadidentit ( ) ; = = R () cos sin 0 0 sin cos glrotated ( GLdouble hoek, GLdouble v, GLdouble v, GLdouble v ) ; glrotatef ( GLfloat hoek, GLfloat v, GLfloat v, GLfloat v ) ; De twee andee tansfomatiematices kunnen afgeleid woden doo een cclische pemutatie :.

5 3 32 Rotatie ond -as en -as in 3D = R () Diecte manipulatie van actieve mati met een specifieke mati aangeduid doo pointe m (6 waaden, kolom-pe-kolom gestockeed ijn) = = cos sin 0 0 sin cos = R () cos 0 sin sin 0 cos glloadmatif ( const GLfloat m) ; glmultmatif ( const GLfloat m) ; paallellepipedum doo een tansfomatie op een balk (geschaalde kubus): de vlakken paallel met he-vlak wodt schuin gemaakt: = + cot de vlakken paallel met he-vlak wodt schuin gemaakt: = + cot vooaanicht ijaanicht LIFO stackstuctuu een actieve tansfomatiemati A vanuit mati A een aantal tansfomaties esulteend in een mati B van dieelfde A een aantal andee tansfomaties esulteend in mati C. voo C: teug A econstueen: omgekeede tansfomaties op B glushmati alle enties op de stack woden één plaats naa onde geduwd huidige actieve mati (die op de top van de stack stond en één plaats naa onde geduwd is) wodt gedupliceed op de top van de stack glopmati de ganse matistack schuift opnieuw één plaats naa boven mati die net onde de top van de stack staat, wodt opnieuw de actieve mati // tansfomaties esulteend in mati A glushmati ( ) ; // mati A wodt bewaad op de stack // bijkomende tansfomaties esulteend in mati B glopmati ( ) ; // mati A wodt teug top van de stack // bijkomende tansfomaties esulteend in mati C = + cot = + cot = dee shea tansfomatie : geen OpenGL functie s cot s cot s implementatie doo de mati elf op te bouwen en dan te vemenigvuldigen met de actieve tansfomatiemati: GLfloat mshea [6] = {.0, 0.0, 0.0, 0.0, glmultmatif ( mshea ) ; 0.8,.0,.2, 0.0, 0.0, 0.0,.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0,.0 };