SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar...

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op dinsdag 17 april 1, uur. Het tentamen levert maximaal 3 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar... Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. (a) Gegeven een twee-dimensionale stroming in het x, y-vlak met snelheidsveld u = (u, v) = (αx, βy), met α en β constanten. Is deze stroming incompressibel voor willekeurige waarden van α en β? (b) Is de stroming van (a) rotatievrij? (c) Gegeven een tijdsafhankelijk twee-dimensionaal snelheidsveld u(t) = (u, v) = (A cos ωt, A sin ωt), waarin A een amplitude en ω een frequentie zijn. Is het waar dat de deeltjesbanen cirkelvormig zijn? (d) Een verticale windtunnel wordt gebruikt voor skydiving-oefeningen. Bij een bepaalde windsnelheid U kan een persoon met gestrekte armen en benen bewegingloos blijven hangen in de luchtstroom. Gegeven: massa persoon m = 7 kg, dichtheid lucht ρ = 1, 5 kg m 3, g = 1 m s, weerstandscoëfficiënt (C D 1, ), en het frontaal aanstroomoppervlak van de persoon is A =, 8 m. Is het waar dat de benodigde windsnelheid ongeveer gelijk is aan U = 38 m s 1? (e) Is het waar dat het Strouhalgetal de verhouding weergeeft van de instationaire en de stationaire versnellingstermen in de bewegingsvergelijking? (f) Het snelheidsprofiel in een laminaire grenslaag aan een vlakke plaat wordt benaderd met { ( ) u sin πy V = δ, y δ 1, y δ met V de hoofdstroomsnelheid, δ = δ(x) de plaatselijke grenslaagdikte, en (x, y) Cartesische coördinaten langs resp. loodrecht op de plaat. Is het waar dat de verplaatsingsdikte gelijk is aan δ = ( 1 + π ) δ? 1

2 (g) Een bacterie (afmeting µm) zwemt met snelheid V 1 µm/sec in een waterige oplossing. Is het waar dat de stroming om de bacterie als een Stokesstroming mag worden opgevat? (h) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Poiseuille-stroming? (i) Is het waar dat de turbulente viscositeit ν t een medium-eigenschap is? (j) Beschouw een ontwikkelde turbulente kanaalstroming. Is het waar dat de tijdsgemiddelde druk p aan de wanden groter is dan in het midden van het kanaal? Opgave Beschouw de stationaire stroming van een Newtonse vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) door een cilindrische buis met diameter R een lengte L. Ter beschrijving van deze stroming hanteren we een cilindrisch (r, θ, x)-coördinatenstelsel. De beweging van de vloeistof is zuiver axiaal. Bij de intrede (x = ) heerst een uniforme snelheid V 1, waarna op < x < L de stroming door viskeuze effecten een overgang vertoont naar een ontwikkelde Poiseuille-stroming op x = L. De snelheidsverdeling van deze Poiseuille-stroming wordt gegeven door: x L : v(r) = ˆv ( ) 1 r R. Voorts is gegeven dat de drukken op x = en x = L gelijk zijn aan p(x = ) = p 1, en p(x = L) = p (< p 1 ). (3 pnt) (a) Toon aan dat ˆv = V 1. (b) Bepaal de volumeflux Q V op x = L. (c) Bepaal (met gebruikmaking van de integrale impulsbalans) de totale weerstandskracht W die de vloeistof op de buiswand uitoefent.

3 De vloeistof stroomt met dit snelheidsprofiel v(r) uit in de vrije atmosfeer. De straal vertoont daar een contractie: door viskeuze effecten ontstaat er ter plaatse (3) een aangepaste straal met uniforme snelheid V 3 en een diameter R 3. De druk in de straal mag overal gelijk worden genomen aan de atmosferische druk p a, dus ook p = p a ; effecten van oppervlakte-spanning en zwaartekracht worden verwaarloosd. (d) Leid uitdrukkingen af voor de snelheid V 3 en de diameterverhouding R 3 /R in termen van de andere (bekende) grootheden. Vervolgens richt men de straal op een verticale plaat, zie schets. De stroming wordt nu als niet-viskeus beschouwd. Ter plaatse van het stuwpunt S bevindt zich in de plaat een klein gaatje, dat met één been van een U-buis-manometer verbonden is. Deze manometer is gevuld met een vloeistof met dichtheid ρ. (e) Leid een uitdrukking af voor het niveau-verschil h in de manometer als functie van de stromingsgrootheden. 3

4 Vervolgens richt men de waterstraal tegen een plaatje dat de uitstroom-opening van een groot vat bedekt, zie schets. Dit vat is gevuld met een vloeistof met dezelfde dichtheid ρ, met het waterniveau H t.o.v. de (kleine) uitstroomopening. Het doorsnede-oppervlak van de uitstroomopening is A = πr3. (f) Bepaal de maximale waterhoogte H (als functie van de stromingsgrootheden) waarbij het afdekplaatje door de straal nog juist tegen de opening wordt gedrukt. 4

5 Opgave 3 In een lager glijdt een vlak over een dunne laag olie. Voorwaarde voor de draagkracht van het lager is dat de dikte van de vloeistoflaag groter wordt in de richting van de verplaatsing. Rayleigh dacht dat het getekende lager een grotere last kan dragen dan een plaat die een hoek maakt met de horizontaal. We gaan dit probleem in dit vraagstuk uitrekenen (maar niet of Rayleigh gelijk had). y x L 1 L U p = h h 1 S x = p = (a) De diktes van de film zijn veel kleiner dan de horizontale afmetingen, h 1, L 1,. Verder is het Reynoldsgetal Re = Uh 1, met ν de kinematische viscositeit van de vloeistof. De stroming is stationair, onsamendrukbaar, zwaartekracht ν speelt geen rol, de breedte van het lager is B, we verwaarlozen randeffecten, en we veronderstellen dat de stroming horizontaal gericht is (v = ). De bovenkant van het lager heeft een snelheid U, de onderkant staat stil. Toon overtuigend aan dat de Navier Stokes vergelijkingen worden 1 p µ x = u p, en =, (1) y y met µ de dynamische viscositeit, µ = ρν en ρ de massadichtheid. (b) Formuleer de randvoorwaarden voor u(x, y) op de twee intervallen x [ L 1, ] en x [, L ]. Los vervolgens vergelijking (1) op voor u(x, y). In de oplossing staat de nog onbekende dp/dx. (c) Het draagvermogen van het lager wordt bepaald door de drukverdeling p(x). We lossen die op door te eisen dat de volumestroom Q door de spleet met hoogte h(x) onafhankelijk is van x. Bereken Q, en druk die uit in dp/dx. (d) Gegeven is dat de druk buiten het lager gelijk is aan de atmosferische druk, die we voor het gemak p = stellen. Los nu p(x) op. Hint: Neem aan dat de druk bij punt S (x = ) p = p s is. Laat zien dat dp/dx stuksgewijs constant is. Uit constantheid van Q links en rechts van de stap, en het resultaat van (c) kunnen we nu p s uitrekenen. 1 (e) Teken de grafiek van p(x), en bepaal de verticale component van de kracht, het draagvermogen van het lager. Bepaal tenslotte de horizontale component van de kracht die nodig is om het lager te laten bewegen. 1 Andere manieren kunnen natuurlijk ook, op de geschetste manier gebruiken we expliciet dat de druk continu is in punt S. 5

6 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Tentamen FTV voor W (3B47) van 17 april 1. Opgave 1 (a) Nee, de stroming is incompressibel indien u+ v x y (b) Ja, voor willekeurige α en β is v u =. x y (c) Ja. De vorm van de deeltjesbanen berekent men uit =, dus alleen als α = β. dx = A cos ωt Dit levert: dx = A cos ωtdt en dy = A sin ωtdt. Na integratie volgt dy A sin ωt = dt. x x = A sin ωt, ω y y = A cos ωt ω waarin de integratieconstanten x en y de rol spelen van referentiecoördinaten. Blijkbaar is: (x x ) + (y y ) = A ω, dus de deeltjesbanen zijn alle cirkels, met middelpunt (x, y ) en straal A/ω. (d) Ja. Voor krachtenevenwicht geldt: mg = D = C D A 1 ρu dus U = mg C D Aρ 148 U 38 m s 1. (e) Ja. Het Strouhal-getal is gedefinieerd als Sr = v t = ωl. (v )v V (f) Nee. Na substitutie van u vindt men δ = ( ) 1 u [ ( )] V dy = δ 1 sin πy δ dy = = ( ) y + δ πy δ cos = ( ) 1 π δ π δ. (g) Ja, voor de waterige oplossing is de kinematische viscositeit klein, in de orde van ν 1 6 m /sec. Het Reynoldsgetal van de stroming is dan: Re = V L ν.1 5 << 1. (h) Nee. In een Poiseuille-stroming heerst een balans tussen druk- en viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. (i) Nee. De turbulente viscositeit ν t kan in de stroming van plaats tot plaats verschillen, omdat deze een kunstmatige koppeling is tussen de turbulente fluctuaties en het tijdsgemiddelde snelheidsveld. (j) Ja. Integratie van de y-component van de tijdsgemiddelde Navier-Stokesvergelijking (met y de coördinaat loodrecht op de stromingsrichting) levert: p ρ + (v ) = p ρ met p een referentiedruk. Aan de wanden zijn de fluctuaties v, en dus is de druk daar hoger dan in het midden van het kanaal. 6

7 Opgave (a) Massabehoud: πr V 1 = R v(r)πrdr = 1 πr ˆv ˆv = V 1 () (b) Volumeflux: Q V = πr V 1 (zie boven). (c) Integrale impulsbalans in x-richting: ρ S 1 u 1 (v 1 n 1 )ds + ρ S u (v n )ds = = (p 1 p )πr + F x, waarbij F x = kracht in x-richting die de wand uitoefent op de vloeistof. Met (v 1 n 1 ) = u 1 = V 1 en (v n ) = +u = v(r) volgt: ρv 1 πr + ρ R v (r)πrdr = (p 1 p )πr + F x. Nu is R v (r)πrdr = 1 3 πr ˆv, zodat [ ] 1 F x = (p p 1 )πr + ρπr 3 ˆv V1. (3) De gevraagde kracht is dan [ W = F x = (d) Massabehoud: πr 3V 3 = R (p p 1 ) ρv 1 Integrale impulsbalans in x-richting: ] πr. (4) v(r)πrdr = 1 πr ˆv = πr V 1. (5) ρ S u (v n )ds + ρ S 3 u 3 (v 3 n 3 )ds = = krachten x =. De som van de krachten die in x-richting op de vloeistof werken is gelijk aan nul, omdat de druk overal gelijk is aan p a, en oppervlaktespannings- en zwaartekrachtseffecten verwaarloosbaar zijn. Met (v n ) = u = v(r) en (v 3 n 3 ) = u 3 = V 3 krijgen we R ρ v (r)πrdr + ρπr3v 3 = (6) 1 3 πr3 ˆv = πr3v 3, ofwel V3 R3 = 4 3 V 1 R. Uit (4) leiden we af: ( ) R V 3 = V 1. (7) R 3 Substitutie hiervan in (5) levert: R 3 = 1 3 (8) R 7

8 en dan geeft (6): V 3 = 4 3 V 1. (e) Bernoulli in de waterstraal: p a + 1 ρv 3 = p S. (9) Hydrostatische drukverdeling in de manometer: p S = p a + ρ gh h = ρv 3 ρ g. (1) (f) Druk aan rechterzijde van het plaatje: p rechts = p a + ρgh F rechts = (p a + ρgh)πr3. (11) Uit de integrale impulsbalans volgt de kracht die de waterstraal (aan de linker zijde) op de plaat uitoefent: F links = (ρv3 + p a )πr3. De voorwaarde F links F rechts leidt dan tot H V 3 g. 8

9 Opgave 3 (a) De stroming is stationair, viskeuze krachten overheersen (Re 1), de laag is dun, zodat we termen met / x mogen verwaarlozen ten opzichte van / y, en tenslotte is v =, zodat uit massabehoud u = volgt u/ x =. (b) De randvoorwaarden voor het snelheidsveld zijn op x [ L 1, ]: u(x, y = ) =, u(x, y = h 1 ) = U, en voor x [, L ]: u(x, y = ) =, u(x, y = h ) = U. De algemene oplossing van de Navier Stokes vergelijking is u(x, y) = 1 dp µ dx y + Ay + B, waarbij de constanten A, B bepaald worden door de randvoorwaarden, zodat u(x, y) = 1 dp µ dx (y yh 1, ) + U y, h 1, op respectievelijk x [ L 1, ], en x [, L ]. (c) De volumestroom Q is Q = h u(x, y) dy = 1 dp 1µ dx h3 1, + 1 Uh 1,. (d) Aangezien de volumestroom Q niet afhangt van x, vinden we voor x <, dp/dx = (1µ/h 3 1)(Q 1Uh 1), en voor x, dp/dx = (1µ/h 3 )(Q 1Uh ). De grafiek van de druk is de hieronder getekende tent, met p s de druk bij x =. p s x = -L 1 x = x = L De helling voor x < is dp/dx = p s /L 1, en voor x, dp/dx = p s /L, zodat p s = 1µ (Q + 1 L U h 1) 1 h 3 1 p s = 1µ (Q + 1 L U h ) waaruit volgt h 3 p s = 6µU(h h 1 ) h 3 1/L 1 + h 3 /L. Inderdaad, het lager werkt alleen als h > h 1. (e) De verticale component van de kracht op het bovenste deel van het lager is de oppervlakte van de driehoek maal de breedte B, F y = 1p s(l 1 + L ) B. De kracht F x op de bovenkant is de som van de kracht F x,1 links, en rechts, met F x,1 = µ u ( h1 dp L y 1 B = L 1 B y=h1 dx + µ U ), h 1 en analoog voor F x,. De som van beide is [ 6(h h 1 ) ( L1 F x = µ U B + L ) ]. h 3 1/L 1 + h 3 /L h 1 h 9