De Regenboog. Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen

Transcriptie

1 De Regenboog Get Heckman IMAPP, Radboud Univesiteit, Nijmegen Voo Jozef Steenbink, te gelegenheid van zijn afscheid van de Radboud Univesiteit op 17 Febuai Wet van Snellius In 1616 fomuleede de Nedelandse wiskundige Willebod Snellius de naa hem genoemde wet ove beking van licht bij ovegang van het ene homogeen optisch medium M 1 naa het andee homogeen optisch medium M 2, gescheiden doo een vlak V. Veondestel dat een lichtstaal vetekt vanuit A, en op het gensvlak V invalt te B. Een deel van het licht beekt te B en komt aan in C. Een ande deel weekaatst op V en komt aan te D. De hoek van inval i en de hoek van efactie zijn de hoeken tussen de invallende lichtstaal en de nomaal N en tussen de geboken lichtstaal en de nomaal N espectievelijk. De weekaatste lichtstaal vetekt te B onde dezelfde hoek i. A N D V B i i M 1 M 2 C De bekingswet van Snellius zegt dat sin i sin = n 1

2 met n een constant getal, de zogenaamde bekingsindex bij ovegang van medium M 1 naa medium M 2. Als n > 1 dan is < i en beekt het licht dus naa de nomaal toe. We zeggen in dat geval dat medium M 2 optisch dichte is dan medium M 1. Bijvoobeeld wate is optisch dichte dan lucht, want de bekingsindex van lucht naa wate is bij benadeing 4/3. 2 Vaiationeel pincipe van Femat De Fanse wiskundige Piee de Femat gaf in 1662 een elegante veklaing voo de wet van Snellius. Veondestel dat het licht in medium M 1 een snelheid v 1 en in medium M 2 een snelheid v 2 heeft. De veondestelling van een eindige lichtsnelheid was in die tijd geen sinecue. Het vaiationeel pincipe van Femat zegt dat het licht om van A naa C te komen pecies die weg kiest, waavoo de benodigde tijd t, ook wel de optische lengte van die weg genaamd, minimaal is onde alle wegen van A naa C. Het bewijs van dit pincipe is eenvoudig doo geschikte coodinaten te kiezen. We kiezen V als de x-as en A = (x 1, y 1 ), C = (x 2, y 2 ) voo zekee x 1 < x 2, y 1 > 0 en y 2 < 0. Het punt B = (x, 0) is een vaiabel punt op V. Zij s 1 de afstand van A tot B, en s 2 de afstand van B tot C. Als t 1 de optische lengte is van A naa B, en evenzo t 2 van B naa C, dan is v 1 = s 1 /t 1 en v 2 = s 2 /t 2. De optische lengte t vanuit A via B naa C wodt dus gegeven doo (x x1 ) t = t 1 + t 2 = s 1 /v 1 + s 2 /v 2 = 2 + y1 2 (x x2 ) y2 2 v 1 als functie van x. Met behulp van de kettingegel volgt v 2 dt dx = (x x 1 ) v 1 (x x1 ) 2 + y 2 1 (x 2 x) v 2 (x x2 ) 2 + y2 2 = sin i v 1 sin v 2 voo de afgeleide van t naa x. Hiebij dient men voo x < x 1 de hoek i negatief te nemen, en evenzo voo x > x 2 de hoek negatief te nemen. De optische lengte t als functie van x is dus minimaal pecies dan als sin i sin = v 1 v 2 en dus als de beking veloopt volgens de wet van Snellius met n = v 1 /v 2. Het nulpunt van de afgeleide van x t(x) geeft indedaad een minimum omdat voo x goot ook t(x) goot wodt. Als bonus bij dit bewijs van de 2

3 wet van Snellius uit het vaiationeel pincipe van Femat vinden we voo de bekingsindex n de vehouding v 1 /v 2 van de twee snelheden van het licht in de media M 1 en M 2. Beedenee of eken na dat het pincipe van Femat ook geldt voo weekaatsing van een lichtstaal. 3 Veklaing van Descates De methode om geschikte coödinaten te kiezen, en dan een meetkundig gesteld pobleem op te lossen met ekenen, is afkomstig van Descates in zijn boek Discous de la Méthode uit Hiebij weden constucties en edeneingen van de Euclidische meetkunde vevangen doo algeba, en het zou enige tijd vegen voodat deze methode univeseel geaccepteed wed. Descates gaf als eeste de coecte veklaing voo de monochomatische weking van de egenboog. Z i A B c R d O i C W In bovenstaande figuu is een centale dwase doosnede getekend van een egenduppel. Een lichtstaal vanaf de zon Z beekt op de egenduppel te A, weekaatst vevolgens tegen de binnenwand van de egenduppel te B, en velaat tenslotte de egenduppel na beking te C, en wodt opgevangen doo een waaneme W. Een deel van het licht zal te A weespiegelen op de egenduppel, een ande deel zal na beking te B de duppel velaten, 3

4 en wee een ande deel zal te C weespiegelen op de binnenwand, maa de veklaing van de egenboog zal volgen uit dat deel van het licht wat de in de figuu aangegeven weg vekiest. De bekingen te A en C gaan volgens de wet van Snellius met bekingsindex n = 4/3 bij ovegang van lucht naa wate. De waaneme ziet de zon vitueel staan in de ichting van het punt R. De deviatie of vedaaiingshoek d te R wodt gegeven doo d = 2i als som van de deviaties (i ) te A, (180 2) te B en (i ) te C. Kiezen we onze eenheden zo dat de staal van de egenduppel gelijk aan 1 is, dan geldt voo een invallende lichstaal op hoogte 0 h 1 van de centale as h = sin i = n sin volgens de wet van Snellius. In adialen vinden we dus d(h) = 2 acsin(h) 4 acsin(h/n) + π voo de deviatie d(h) als functie van de hoogte h. Diffeentiëen van d naa h geeft dd dh = h 2 n 2 h 2 zodat de deviatie als functie van de hoogte een extemum heeft voo h = (4 n 2 )/3 = vanwege n = 4/3. Dit extemum van h d(h) is een minimum, want voo h = 0 is de afgeleide dd/dh = 1. De conclusie is dat het complement van de deviatiehoek c = (180 d) = (4 2i) een maximale waade van heeft. De conlusie dat de complementaie deviatiehoek c = c(h) een uniek maximum c n heeft voo een bepaalde hoogte 0 < h < 1 blijft geldig zolang de bekingsindex n voldoet aan 1 < n < 2. Voots kan men naekenen dat dit maximum c n als functie van n een dalende functie is. We tabelleen nu de complementaie hoek c = 4 acsin(3h/4) 2 acsin(h) voo hoogte h tussen 0.0 en 1.0. h c

5 h c Uit deze tabel is duidelijk dat de intensiteit van de uittedende lichtwaaie stek vehoogd is ond het maximum c = Aangenomen dat een vaste popotie van de invallende bundel na één intene eflectie uitteedt volgt dat de intensiteit van de uittedende lichtwaaie als functie van de hoek c evenedig is met dh dc = 1 dc/dh en dus stek vehoogd is dicht nabij de maximale waade van h c(h). Z 42 D Een invallende lichtbundel van de zon Z op een egenduppel D wodt naa het bovenstaande agument vestooid in de ichting van de zon binnen een kegel met een hoek van 42. Het voostooide licht heeft een stek vehoogde intensiteit op de and van deze kegel. We concludeen dat we de egenboog slechts kunnen zien als we met onze ug naa de zon staan, en wel onde een hoek van 42 ten opzichte van de ichting van de zonnestalen. De lucht onde de egenboog zien we een beetje lichte en boven de egenboog een beetje donkede. Voots is het duidelijk dat een waaneme W te A (met schaduw AB) de egenboog R slechts kan zien, als de zon Z onde een lagee hoek dan 42 staat, dus bij vookeu aan het begin van de ochtend of het einde van de middag. Z W 42 R A B 5

6 Indedaad, de waaneme W ziet geen vestooid licht van egenduppels die onde een gotee hoek dan 42 staan. De egenduppels onde een hoek van 42 zogen evoo dat we de egenboog zien onde deze hoek. De egenduppels die voo de waaneme onde een kleinee hoek dan 42 staan zogen evoo dat de waaneme het binnengebied van de egenboog heldede ziet dan het buitengebied. Het is natuulijk ook mogelijk dat het licht binnen de egenduppel niet één maal spiegelt maa vake, zeg k kee. De deviatie d k in adialen wodt dan gegeven doo en dus vinden we d k = 2(i ) + k(π 2) = kπ + 2i 2(k + 1) d k (h) = kπ + 2 acsin(h) 2(k + 1) acsin(h/n) voo de k-de deviatiehoek als functie van de hoogte h. De afgeleide wodt dus dd k dh = 2 2(k + 1) 1 h 2 n 2 h 2 en deze wodt nul als h k = ((k + 1) 2 n 2 )/((k + 1) 2 1) met als eeste paa hoogtewaaden h 1 = , h 2 = , h 3 = , h 4 = , etc. De bijbehoende deviatiehoeken zijn d 1 = , d 2 = , d 3 = , d 4 = , etc. Mek op dat bij de nulde egenboog geen extemum opteedt, zodat e ook geen nulde egenboog bestaat. De eeste egenboog zien we zoals al eede opgemekt onde een hoek c 1 = De tweede egenboog van een lichtstaal, die aan de ondekant van de egenduppel invalt, en naa boven toe twee maal spiegelt, zien we onde een hoek c 2 = Deze tweede egenboog kunnen we in bijzondee gevallen nog zien, opnieuw met de ug naa de zon. De dede egenboog kunnen we in theoie zien, kijkend in de ichting van de zon, onde een hoek c 3 = 39.67, maa in de paktijk is deze al te zwak om met blote oog waa te nemen. Echte met modene lasetechniek kunnen we in het laboatoium wel tot de tweehondedste egenboog waanemen. 4 Kleuen bij Newton De weking van kleuen wed veklaad doo Isaac Newton aan de hand van zijn bekende pisma expeiment in zijn boek Opticks uit Een nauwe 6

7 bundel wit licht valt in op een glazen pisma, en beekt naa de nomaal toe met een bekingsindex van ongevee n = 3/2, en beekt opniew bij uitteden van de nomaal af. w v W Een waaneme W ziet niet lange een schepe bundel wit licht, maa het hele kleuen spectum: ood, oanje, geel, goen, blauw en violet. Kennelijk vaieet de bekingsindex pe kleu. Rood licht heeft de kleinste bekingsindex, en violet licht de gootste. Bij beking van lucht naa wate is de bekingsindex n = 1.33 voo ood licht en n v = 1.34 voo violet licht. Voo het complement van de kitische deviatiehoek voo de eeste egenboog vindt men maxima c = voo ood licht en c v = voo violet licht. Dit veklaat waaom de egenboog van buiten naa binnen van ood naa violet kleut. Beedenee of eken na dat de tweede egenboog pecies andesom kleut. 5 Slotopmeking Mijn inteesse in de egenboog wed gewekt doo een pachtig college dictaat uit 1975 ove de egenboog van mijn oudcollega Jan de Boe, dat ik toevallig uit een afvalcontaine heb kunnen vissen. In zijn veantwooding schijft hij: De egenboog heeft geen paktisch nut. Vanwaa dan toch dit college? De enige echtvaadiging evan ligt in de imponeende schoonheid van de egenboog. En daa gaat het me om in wetenschap: ik ben op zoek naa schoonheid. Mensen zoals Keats hebben betoogd dat je deze schoonheid bedeft doo theoetische beschouwingen. Voo mij echte wodt de schoonheidsbeleving vestekt doo inzicht. De egenboog wodt e mooie doo. Ik denk dat veel natuuwetenschappes zich in deze wooden hekennen. Schoonheid is een van de diepee gonden die ons natuuwetenschappes aanzet tot ons wek. Zo is het maa net! 7