COMPUTATIONELE GROEPENTHEORIE VOOR DE EINDIGE MEETKUNDE

Transcriptie

1 COMPUTATIONELE GROEPENTHEORIE VOOR DE EINDIGE MEETKUNDE MAXIMALE PARTIËLE RECHTENSPREADS OP DE KWADRIEK VAN KLEIN Aantal woorden: Lns Denaux Studentennummer: Promotor: Dr. Peter Vandendressche Masterproef voorgelegd voor het behalen van de graad master n de rchtng wskunde Academejaar:

2

3 COMPUTATIONELE GROEPENTHEORIE VOOR DE EINDIGE MEETKUNDE MAXIMALE PARTIËLE RECHTENSPREADS OP DE KWADRIEK VAN KLEIN Aantal woorden: Lns Denaux Studentennummer: Promotor: Dr. Peter Vandendressche Masterproef voorgelegd voor het behalen van de graad master n de rchtng wskunde Academejaar:

4

5 Samenvattng Dt werk bespreekt twee computatonele zoektechneken de zjn gespecalseerd n de somorfevrje generate van structuren de voldoen aan vooropgestelde egenschappen: canoncal augmentaton en orbts on subsets. Bede zoektechneken maken gebruk van backtrackng om stapsgewjs structuren somorfevrj op te bouwen. Naar aanledng van de stude wordt een overzcht gegeven over computatonele groepentheore, een belangrjk domen gelnkt met (computatonele) algebraïsche meetkunde. Ook worden twee methoden besproken om verzamelngsgewjze stablsatoren van objecten effcënt te berekenen. De rode draad doorheen het werk s de stude van maxmale partële rechtenspreads op de kwadrek van Klen. Gemotveerd door het resultaat van Esfeld, Storme en Szkla [4] gaan we op zoek naar een klasse van partële rechtenspreads van grootte q 3 + q, met q de kardnaltet van het onderlggend endg veld. Trefwoorden: Computatonele groepentheore, verzamelngsgewjze stablsatoren, maxmale partële rechtenspreads, somorfevrje generate, canoncal augmentaton, orbts on subsets

6

7 Dankwoord Geen werk ter wereld s oot gerealseerd zonder hulp al dan net ndrect van butenaf. Daarom rcht k het woord tot eeneder de me help mjn masterproef tot een goed end te brengen. Noem het clché, heel veel dank gaat ut naar mjn promotor. Hj ntroduceerde mj tot de wereld van de computatonele endge meetkunde en begeledde me met openhed n dt toch wel utdagend onderzoeksdomen. Zoals hj me zelf wst te vertellen bj het begn van het academejaar: k ben alle dagen uw vrend en één dag uw vjand. Hermee maakte hj dudeljk dat hj altjd bered s mjn vragen en problemen de k door het jaar heen tegenkwam op te lossen, tot k utendeljk het endresultaat zou moeten verdedgen. Als tweede bedank k mjn moeder. De studes van haar dre knderen stelde zj mmmer en altjd ontegensprekeljk voorop. Het zal nemand verbazen dat dt net vanzelfsprekend s als alleenstaande moeder van dre unverstetstudenten. Ik ben haar dankbaar voor de kans de zj me gaf om de rchtng te studeren de k wl. Melghed s net mjn sterkste punt, maar soms mogen zaken met de hele wereld worden gedeeld. Verder gaat veel dank ut naar mjn vrendn. Ze gaf me veel drecte steun tjdens de vele uren de n dt werk kropen. Bovenden leerde zj me de stress de gepaard gng met mjn masterproef te relatveren, zodat k me net verloor n nodeloze frustrate. Tot slot bedank k edereen de het zag ztten dt werk, eens het als eerste verse was voltood, na te lezen op nhoudeljke en/of spellngsfouten. De kwaltet van een werk verhoogt mmers met elke paar ogen de het heeft nagelezen.

8

9 Inhoudsopgave Samenvattng Voorwoord Inhoudsopgave 1 Inledng 1 2 Algortmsche behandelng van algebraïsche structuren Computatonele groepentheore Groepen Baanberekenng en schreerbomen Stablsatoren Bass en stablsatorketens Het Schreer-Sms algortme Computatonele veldentheore Velden n een notendop Computatonele veldentheore Projecteve rumten en kwadreken Achtergrond Verzamelngsgewjs stablseren Transversal backtrackng Partton backtrackng Defntes en bassegenschappen De procedure Optmalsates Een P-verfjnng Orthogonale groepen Zoektechneken De Klen correspondente Een naïeve aanpak Canoncal augmentaton Invaranten Kleurenparttes Een F -functe

10 4.3.4 Optmalsates Depte-eerst varanten Orbts on subsets Notates Het algortme Resultaten Optmalsate a.d.h.v. assumpte: Snger deelgroepen Concluse en toekomstg onderzoek 77 A Englsh summary 80 A.1 Computatonal Group Theory A.2 Setwse stablzers A.3 Search technques A.4 Concluson and future research B Groepentheore: de kern n een notendop 84 B.1 Groepen B.2 Deelgroepen, normaaldelers en quotëntgroepen B.2.1 Deelgroepen B.2.2 Nevenklassen B.2.3 Orde van een groepselement B.2.4 Normaaldelers B.2.5 Quotëntgroepen B.3 Groepsmorfsmen en groepsactes B.3.1 Groepsmorfsmen B.3.2 Groepsactes C Velden, veldutbredngen en Galosvelden 93 C.1 Velden: defntes en egenschappen C.1.1 Defnte C.1.2 Morfsmen, rngen en dealen C.2 Veldutbredngen C.3 Endge velden: bassconcepten en constructe C.3.1 Galosvelden C.3.2 Constructe van endge velden D Floyds algortme voor cykeldetecte 102 Bblografe 105 Ljst van tabellen 106 Ljst van algortmen 107

11

12 Al raak je n code verloren en ljkt je verstand wel bevroren Je bljft toegewjd tot absurdtet Zo worden deeën geboren

13 Hoofdstuk 1 Inledng Onderzoek n de (zuvere) wskunde s een praktjk de al snds mensenheugens wordt beoefend. De meerderhed van dergeljke onderzoekers doet dt op haast dezelfde maner als eeuwen geleden: met pen en paper, als doel een bjdrage te leveren aan het axomatsch opgebouwd, utgestrekt wskundg unversum. Snds de ntrede van de artfcële denkkracht, gekend als de computer, ontstonden echter neuwe mogeljkheden bnnen dt onderzoeksgebed. Zo kan men op zoek gaan naar voorbeelden van specfeke structuren de voldoen aan dverse voorwaarden, of voor klene parameters de correcthed van een hypothese al dan net weerleggen. Eén van de gekendste voorbeelden s wellcht het bewjs dat een endg, projectef vlak van orde 10 net bestaat. Dt resultaat (van C. W. H. Lam [7], ex-doctoraatsstudent van H. Ryser) steunde net enkel op mmense computerkracht, maar bovenden ook op enkele doordachte bevndngen om berekenngen effcënter ut te voeren. De mpact hervan was net te onderschatten: net enkel lag dt resultaat n dezelfde ljn als de hypothese de stelt dat áls een endg projectef vlak bestaat, zjn orde een premmacht s, maar ook werd hermee een tegenvoorbeeld gecreëerd dat aantoonde dat de Bruck-Ryser 1 voorwaarde voor het bestaan van endge, projecteve vlakken net voldoende s. Dergeljke resultaten ut de lteratuur geven genoeg motvate om te onderzoeken wat dt onderzoeksdomen te beden heeft. Wskundge structuren theoretsch ( op paper ) defnëren tegenover deze voor te stellen aan de hand van een computer s echter een wereld van verschl. Hoofdstuk 2 geeft de lezer een overzcht van het computatonele aspect achter gekende, algebraïsche structuren. Er bestaat al veel lteratuur over dt deeldomen en dat s net verrassend, gezen de aanwezghed van (sterke) artfcële rekenkracht n de wereld alsmaar toeneemt. Een overzcht van deze structuren kan worden teruggevonden n Appendx B en C. Deze zjn voor dt werk geschreven omwlle van twee redenen. Enerzjds wordt alle vereste kenns opgeljst de nodg s om (vlot) de deeën de n dt werk beschreven staan te begrjpen, waardoor deze masterproef, naar mjn menng, toegankeljker wordt voor een breder publek. Anderzjds kan gedurende bewjsvoerng makkeljk verwezen worden naar stellngen waarop het bewjs steunt. 1 De stellng van Bruck-Ryser voor endge, projecteve vlakken ludt: als een projectef vlak van orde n bestaat, met n 1 of 2 (mod 4), dan s n een de som van twee volkomen kwadraten. Voorheen stelde zch de vraag of deze laatste voorwaarde ook voldoende was. Mts het projectef vlak van orde 10 = net bestaat, s het antwoord herop negatef. 1

14 Het hoofddoel van dt werk s het bestuderen van twee computatonele zoektechneken, genaamd canoncal augmentaton en orbts on subsets (Hoofdstuk 4). Dt zjn twee procedures de aan de hand van backtrackng op somorfsme na alle structuren van een bepaalde grootte n N genereren, waarbj elk van deze structuren voldoet aan specfeke, vooropgestelde egenschappen. De essente van bede zoektechneken steunt grotendeels op de veelvuldge berekenng van verzamelngsgewjze stablsatoren. Daarut volgt dat, om deze zoektechneken te optmalseren, men best onderzoekt hoe men op effcënte wjze verzamelngsgewjze stablsatoren berekent. Dt s de reden waarom we heraan een volledg hoofdstuk (Hoofdstuk 3) hebben gewjd. Hern worden twee verschllende backtrackmethoden besproken de elk de berekenng van verzamelngsgewjze stablsatoren tot een goed end brengen: transversal backtrackng en partton backtrackng. Gezen dt een werk s met focus op computerzoektochten bnnen de meetkunde, s een concreet framework nodg waarbnnen het nodge onderzoek kan worden verrcht. Mjn promotor P. Vandendressche heeft een bblotheek ontwkkeld bnnen de programmeertaal Java de operates aanbedt om te werken bnnen de endge projecteve meetkunde. Onder andere s ook groepentheore bevat n deze bblotheek. Het framework heet cl4 gg, dat staat voor computatonal lbrary for Galos geometry. Het geheel s nog steeds onder ontwkkelng, tot op de dag van vandaag wordt er functonaltet aan toegevoegd. Een eerste taak de onvermjdeljk moest worden volbracht s mj vertrouwd maken met deze utgebrede bblotheek aan functes, om later ermee te kunnen werken en functonaltet aan toe te voegen. Deze taak werd gecombneerd met de toevoegng van documentate bj de belangrjkste functes, met het oog op de toekomstge publcate van het framework. Doorheen het schrjven van dt werk voegde k onder andere de procedure achter partton backtrack toe en optmalseerde k de zoektechnek canoncal augmentaton. Een rode draad doorheen het werk s het onderzoek van maxmale partële rechtenspreads op de kwadrek van Klen. De motvate herachter s het theoretsche resultaat van Esfeld, Storme en Szkla [4]. We veronderstellen dat de kwadrek natuurljk s ngebed n PG(5, q), met q een premmacht. Dan stelt dt resultaat onder meer dat elke partële rechtenspread op de kwadrek van Klen ut hoogstens q 3 + q rechten bestaat. Echter bljft onbewezen of er voor elke premmacht een partële rechtenspread bestaat de daadwerkeljk q 3 + q rechten bezt. De aanwezghed van dergeljke lteratuur s schaars n contrast met resultaten over spreads (van generatoren) op polare rumten. Deze schaarste bedt een extra motvate dt onbekend terren te verkennen. De aanwezghed van zo n rode draad brengt voordelen met zch mee: de besprekng van de zoektechneken n Hoofdstuk 4 moet net zuver theoretsch bljven, maar kan telkens worden aftoetsen met een concrete toepassng. De behaalde resultaten omtrent maxmale partële rechtenspreads op de kwadrek van Klen staat samengevat n Hoofdstuk 5. Ook plannen over toekomstg onderzoek bnnen dt probleem zjn terug te vnden n dat hoofdstuk. Lns Denaux Me

15 Hoofdstuk 2 Algortmsche behandelng van algebraïsche structuren Bnnen de zuvere wskunde worden specfeke structuren geïntroduceerd en theoretsch behandeld. Hoe deze structuren kunnen worden voorgesteld op een computer s echter een wereld van verschl. Een mens s nameljk gespecalseerd symbolsch te rekenen en redeneren, een computer heeft nood aan een onderlggend framework alvorens het n staat s dezelfde berekenngen ut te voeren. Computatonele rekenkracht bedt echter de mogeljkhed het menseljke te overtroeven, mts het framework op effcënte wjze s geïmplementeerd. In dt hoofdstuk bekjken we hoe we gekende, algebraïsche structuren kunnen bekomen als een reeks van computatonele operates, op een zo effcënt mogeljke maner. We maken de veronderstellng dat we reeds weten hoe bassstructuren als groepen, velden, vectorrumten en projecteve deelrumten kunnen voorstellen. Immers steunt dt n essente op de keuze van een numerek referentestelsel. De aanwezghed van dergeljke bassstructuren gebruken we als vertrekpunt om te beredeneren hoe afgelede structuren kunnen worden berekend, zoals bjvoorbeeld een banenpartte van een verzamelng onder een groepsacte of een deelgroep de voldoet aan specfeke egenschappen. 2.1 Computatonele groepentheore Endge meetkunde en groepentheore zjn nauw met elkaar verbonden. Om de potentële kracht van groepentheore op te nemen n onze computatonele wereld, s het belangrjk deze algebraïsche structuren (en operates herop) zo effcënt mogeljk n kaart te brengen. Dt s een terren waarover reeds veel lteratuur te vnden s. De utwjdng over de bassbegnselen hervan baseert zch voornameljk op het werk van A. Hulpke [5] Groepen Om te verzekeren dat het vertrekpunt van dt werk eendudg s, volgt her een kort overzcht van de note groep en aanverwante bassprncpes. Voor een gedetalleerdere uteenzettng over dergeljke bassconcepten verwjzen we naar Appendx B. Defnte Een groep s een koppel (G, ) bestaande ut een verzamelng G en een bnare : G G G, de voldoen aan volgende axoma s: operate 3

16 Assocatvtet: ( a, b, c G)(a (b c) = (a b) c). Eenhedselement: ( e G)( a G)(e a = a e = a). Invers element: ( a G)( a 1 G)(a a 1 = a 1 a = e). Bovenden noemen we een groep abels als het ook voldoet aan volgend axoma: Commutatvtet: ( a, b G)(a b = b a). Als de bnare operate ut de context dudeljk s, duden we een groep (G, ) ook aan met G om notates lcht te houden. De bnare operate wordt vaak als product (a b) of zelfs net (ab) genoteerd. Defnte Zj G een groep, X G. We defnëren de deelgroep van G voortgebracht door X als X := H. Dankzj Lemma B.2.3 s dt goed gedefneerd. X H G Defnte Zj G een groep en H G een deelgroep. Beschouw verder g G. 1. De verzamelng gh := {g h h H} noemen we een lnkse nevenklasse van H n G. Verder noteren we de verzamelng van alle lnkse nevenklassen van G als L G (H) := {gh g G}. 2. De verzamelng Hg := {h g h H} noemen we een rechtse nevenklasse van H n G. Verder noteren we de verzamelng van alle rechtse nevenklassen van G als R G (H) := {Hg g G}. Opmerkng Een nevenklasse s eendudg gedefneerd en hangt net af van de keuze voor g n Defnte 2.1.3, zolang dt element behoort tot de nevenklasse n kweste. Dt volgt ut Lemma B.2.6: zj g Hg, dan volgt per defnte dat g = hg voor een zekere h H, bjgevolg s g g 1 = h H. Lemma B.2.6 vertaalt dt n de equvalente vorm Hg = Hg. We noemen dergeljk gekozen element een nevenklasserepresentant of korter een representant van de nevenklasse. Crucaal bj de voorstellng van een groep op een computer s een verzamelng waarop de groep nwerkt. Defnte Een groep G werkt n op een verzamelng Ω als er een bnare bewerkng Ω G Ω bestaat (genoteerd als w g, w Ω en g G) de voldoet aan volgende voorwaarden: ( w Ω)(w e = w). ( w Ω)( g, h G)((w g ) h = w gh ). We noteren G Ω. Defneer S Ω als de verzamelng van alle permutates op Ω. Met elke groepsacte van G op Ω kan een afbeeldng ϕ : G S Ω geassoceerd worden. Deze beeldt elk element g G af op de uneke permutate σ S Ω met dezelfde nwerkng op Ω als het element g (ze Appendx B voor meer detals). 4

17 Defnte Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω. 1. Zj ϕ de bjhorende permutatevoorstellng. De kern van dt homomorfsme noemen we tevens de kern van de acte en noteren we als ker(ϕ) := {g G w g = w, w Ω}. We noteren tevens ker(g) als de acte dudeljk s ut de context. 2. Als geldt dat ( g G)(( w Ω : w g = w) g = e), dan noemen we de acte getrouw. Verder zjn volgende defntes van groot belang: Defnte Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω en zj w Ω. 1. De verzamelng w G := {w g g G} noemen we de baan van w n Ω. 2. De verzamelng G w := {g G w g = w} noemen we de (punt-)stablsator van w. Va het Crterum voor deelgroepen (ze Stellng B.2.2) volgt dat G w een deelgroep vormt van G. Met al deze defntes n het achterhoofd hebben we genoeg materaal om volgende stellng te ntroduceren, één waarop de computatonele groepentheore sterk op leunt. Stellng Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω en beschouw w Ω. Dan bestaat er een bjecte tussen de baan w G en de verzamelng van alle rechtse nevenklassen van de stablsator G w, gegeven door f : w G {G w g g G} : w h G w h. Als gevolg geldt de zogenaamde baanformule: w G = [G : G w ]. Bewjs. Ze het bewjs van Stellng B Baanberekenng en schreerbomen Vanaf dt punt plaatsen we de note groep bnnen de algortmsche denkwereld. We veronderstellen dat we een groep(-selement) met bjhorende bnare operate correct op een computer kunnen voorstellen en bovenden dat de acte van een groep op een verzamelng eendudg s gedefneerd. Een groep kan al snel bestaan ut vele mljarden elementen. Om dergeljke structuur effcënt op te slaan, stellen we de groep voor aan de hand van generatoren van G. Herbj maken we dezelfde veronderstellng als A. Hulpke [5] maakte n zjn nottes: Assumpte Zj G een groep en X G een voortbrengende verzamelng (zodat X = G), dan veronderstellen we dat voor elke generator g X, ook zjn nverse g 1 n X bevat s. Deze veronderstellng heeft als doel te verzekeren dat elk element n G kan geschreven worden als product van posteve machten van generatoren. Merk op dat deze veronderstellng mmer waar s voor endge groepen G. In het verdere verloop van dt werk zullen er praktsch enkel endge groepen aan bod komen. Om deze fundamenten van computatonele groepentheore echter zo algemeen mogeljk te houden, beschouwen we wllekeurge groepen. Voor de rest van dt onderdeel veronderstellen we G een groep nwerkend op een zekere verzamelng Ω. Een crucaal begrp n de computatonele groepentheore s een baan van een groep, en hoe deze te berekenen. Hoewel een baan per defnte een verzamelng s, zullen we deze her, om 5

18 redenen de snel dudeljk zullen worden, als ljst voorstellen. Vanaf dt punt zullen algortmen zch sterk baseren op de berekenng van banen onder de gegeven groepsacte. Dt motveert ons om volgende assumpte te maken: Assumpte Zj G een groep en Ω een verzamelng waarop G nwerkt. Dan veronderstellen we dat elke baan w G met w Ω endg s, en bjgevolg door een computer kan opgeljst worden. Volgend algortme staat n de lteratuur bekend als het plan vanlla-algortme: Algortme 1: plan vanlla-algortme voor baanberekenng. Data: Een voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van een groep G, een verzamelng Ω G en een element w Ω. Resultaat: De baan w G, voorgesteld als ljst. 1 [w]; 2 foreach δ do 3 for [1, 2,..., n] do 4 γ δ g ; 5 f γ / then 6 [γ]; 7 end 8 end 9 end 10 return ; Bewjs correcthed. Wegens Assumpte s de baan de wordt berekend endg, dus kent het algortme een ende. Verder s het dudeljk dat de verkregen ljst enkel elementen zal bevatten horende tot w G. Omgekeerd zal élk element van w G tot de ljst behoren. Zo n element kan mmers geschreven worden als een kortste reeks van opeenvolgende nwerkngen van generatoren op w; stel n N geljk aan dt kortste aantal nwerkngen. Als n = 0 s het te bewjzen trvaal. Stel dat elk element van w G van lengte n = k 1, voor een zekere k N, behoort tot de ljst, en zj v w G van lengte n = k + 1. Als g X de generator s n de reeks de het laatst nwerkte op w om v te verkrjgen, dan volgt nductef dat v g 1 tot de ljst behoort (de lengte van de kortste reeks van nwerkngen horende bj dt element s mmers hoogstens k). Het algortme zal bjgevolg ook dt element n behandelng nemen en op een bepaald punt g erop laten nwerken. Het bekomen element γ := (v g 1 ) g = v zal oftewel reeds tot de ljst behoren, oftewel op dat punt eraan worden toegevoegd. Opmerkng Bekjken we de performante van Algortme 1, dan s dudeljk dat de totale utvoerngstjd van ljn 5 afhankeljk s van de soort ljst we gebruken. Een goede keus zou een HashLst zjn, voor effcënte opzoekbewerkngen. 2. Nemen we Ω := G, met G op zchzelf nwerkend va rechtse vermengvuldgng en w Ω = G wllekeurg (bjvoorbeeld het eenhedselement), dan volgt dat de bekomen 1 Herbj bedoelen we elk element u w G waarvoor de lengte van de kortste reeks nwerkngen van generatoren van G op w de resulteren n u geljk s aan n = k. 6

19 baan de volledge groep G s. Een gevolg hervan s dat men welswaar op een heel tjdsntenseve maner kan testen of een gegeven element al dan net tot een gegeven groep behoort. Een logsche volgende stap s het bestaande plan vanlla-algortme ut te breden naar een algortme de net enkel de baan teruggeeft, maar ook een transporter 2. Op dt punt zjn we van plan groepselementen op te slaan. Dergeljke objecten zjn echter behoorljk zwaar om n groten getale n het geheugen bj te houden. Om dt probleem op te lossen, zullen we voor elk element de ndex van de generator bjhouden de het laatst werd gebrukt om het element n kweste te bereken. Als voorbeeld, zj v Ω een element ut de ljst en g G de laatste generator de nwerkte op een element van Ω alvorens v te bekomen en toe te voegen aan de ljst. Dan kunnen we recursef de transporter van v bepalen door dat van v g 1 met g te vermengvuldgen. Bj concrete mplementates zullen deze ndces zch vertalen n ponters naar de corresponderende groepselementen. Dt geheel s samen te vatten n de volgende algortmen. Voor de eenvoud der notate defneren we voor elke δ w G : T[δ] := T[k] met k de ndex waarvoor [k] = δ. Algortme 2: Utbredng van het plan vanlla-algortme voor de berekenng van een schreerboom. Data: Een voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van een groep G, een verzamelng Ω G en een element w Ω. Resultaat: De baan w G, voorgesteld als ljst, en een ljst T van ponters wjzend naar laatstgebrukte generatoren. 1 [w]; 2 T [0]; 3 foreach δ do 4 for [1, 2,..., n] do 5 γ δ g ; 6 f γ / then 7 [γ]; 8 T T []; 9 end 10 end 11 end 12 return, T; 2 Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω en v, w Ω. Dan noemen we g een transporter van v naar w als v g = w. 7

20 Algortme 3: Berekenng van de corresponderende transporter naar een gegeven element. Data: Een voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van een groep G, een verzamelng Ω G en een element w Ω; bovenden de ljsten en T zoals verkregen ut Algortme 2 en een element δ w G. Resultaat: Een transporter van v naar δ. 1 γ δ; 2 g e; // Herbj s e G het eenhedselement. 3 whle γ w do 4 T[γ]; 5 g g g; 6 γ γ g 1 ; 7 end 8 return g; Bewjs correcthed. Dt valt te bewjzen met een technek analoog aan het bewjs van Algortme 1. Defnte Zj X = {g 1, g 2,..., g n } een voortbrengende verzamelng van een groep G en w Ω een element van een verzamelng waarop G nwerkt. Is de ljst van baanelementen de Algortme 2 teruggeeft, dan noemen we een corresponderende ljst T van transporters met de egenschap dat w T [] = [], voor alle {1, 2,..., n}, een transversaal van w n G. Inden we Algortme 3 toepassen voor elk van de baanelementen van de verkregen (als baan van w Ω), dan s dudeljk dat de bekomen ljst een transversaal vormt van w. Stel verder dat we de baan w G reeds kennen en we een transporter van s naar t (s, t w G ) wllen berekenen, dan s het voldoende om Algortme 3 toe te passen voor elk van deze elementen: zo vnden g 1, g 2 G zodat w g 1 = s en w g 2 = t; het element g1 1 2 vormt dan een transporter van s naar t. Opmerkng Een handge vsuele voorstellng van een groepsacte op een verzamelng s de van een graaf. In dt geval kunnen we met elk element van Ω een top assocëren; twee toppen zjn adjacent als en slechts als er een g G bestaat de de één op de ander afbeeldt. Wegens Assumpte s deze voorwaarde symmetrsch en bjgevolg goed gedefneerd. Algortme 1 kan je als gevolg assocëren met een breedte-eerst zoektocht met w Ω als wortel. Algortme 2 bredt deze analoge ut door bj te houden van welke top we tjdens het zoeken vandaan komen. 3. Bovenden kun je een transversaal vertalen als de ljst van (kortste) paden vanut de wortel naar elk van de andere toppen n de baan. Verder correspondeert de baan van w onder G met de samenhangscomponent van de graaf waarn w bevat s. Op de maner kan men zelfs een algortmsch bewjs vnden voor Proposte B.3.8. Defnte Zj G een groep, Ω G een verzamelng en w Ω. Beschouw verder een voortbrengende verzamelng X = g 1, g 2,..., g n en zj T de corresponderende ljst (van ponters) de Algortme 2 berekent. Dan noemen we T de schreerboom van w ten opzchte van X. 4 3 Zodoende geeft Algortme 3 telkens een kortste product van generatoren waarvoor dt product een transporter s. Dt volgt ut de kortste-padegenschap horende bj breedte-eerstbomen 4 Merk op dat de schreerboom van w afhangt van de volgorde waarn de generatoren worden overlopen! 8

21 Aan de hand van de analoge n Opmerkng zen we dat de zoektocht de Algortme 2 utvoert zorgt voor een boomstructuur n de corresponderende graaf; nameljk de breedteeerstboom. Dt verklaart waar de benamng schreerboom vandaan komt. Merk ten slotte op dat, als we het begrp schreerboom concreet wllen mplementeren, het effcënter bljkt n plaats van (ponters naar) generatoren, (ponters naar) de corresponderende nverse elementen bj te houden (Wegens Assumpte s dt mogeljk). Dt voorkomt nameljk heel wat overbodge berekenngen van nversen n ljn 6 van Algortme 3: Algortme 4: Effcëntere transporterberekenng. Data: Voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van groep G, verzamelng Ω G en een element w Ω; bovenden de ljsten en T zoals verkregen ut Algortme 2 en een element δ w G. Resultaat: Een transporter van v naar δ. 1 for t [1, 2,..., T ] do 2 h g 1 T[t] ; 3 T[t] X.ndexOf(h); 4 end 5 γ δ; 6 g e; // Herbj s e G het eenhedselement. 7 whle γ w do 8 T[γ]; 9 g g g ; // Omgekeerde volgorde van het product! 10 γ γ g ; 11 end 12 return g 1 ; // Ter compensate: resultaat nverteren. De voorberedng de getroffen wordt tussen regels 1 en 4 wordt n de praktjk op voorhand gedaan, anders zou dt algortme qua tjdscomplextet weng voordeel beden Stablsatoren Op het ende van ons verhaal zal bljken dat we dankzj Stellng 2.1.8, een vrj theoretsch gegeven, vele handge resultaten bnnen de computatonele groepentheore kunnen halen. De stellng s echter pas nuttg als we weten hoe we de stablsator G w van een punt w Ω G kunnen berekenen. Uteraard zal bljken dat dt mogeljk s en, bovenden, op een vrj effcënte maner. Alles vloet voort ut volgend resultaat van de Oostenrjker Otto Schreer [5]: Stellng (Schreer). Zj G een groep, X = {g 1, g 2,..., g n } G een (endge) voortbrengende verzamelng en H G een deelgroep waarvoor [G : H] = m < +. Beschouw verder een verzamelng R = {r 1, r 2,..., r m } G van representanten horende bj de rechtse nevenklassen van H n G, we stellen z.v.v.a. dat r 1 = e. Voor elke g G noteren we g := r voor de (uneke) representant r waarvoor Sg = Sr. Defneer U G als U := {r g j (r g j ) 1 {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}}, 9

22 dan geldt dat U = H. Om bovenstaande stellng te bewjzen en bovenden zaken overzchteljker te houden, ntroduceren we volgend lemma, waarvan het bewjs net zo vanzelfsprekend s als het zou ljken. Dt voorberedend lemma s net terug te vnden n het werk van Hulpke [5] en werd door ons toegevoegd ter verdudeljkng. Lemma Veronderstel dezelfde opstellng zoals naar voren gebracht n Stellng Defneer vervolgens t j := g 1 g 2 g j 1 voor alle j {2, 3,..., k} en stel t 1 := e. Dan volgt dat voor elke j {2, 3,..., k}, t j = t j 1 g j 1. Bewjs. Zj g α, g β G twee wllekeurge elementen. We zullen eerst bewjzen dat g α g β = g α g β. Deze geljkhed s echter equvalent met de utspraak dat g α g β behoort tot dezelfde rechtse nevenklasse als g α g β, of m.a.w. dat Hg α g β = Hg α g β. Wegens Lemma B.2.6 s dt laatste op zjn beurt equvalent met g α g β (g α g β ) 1 H; na herschrjvng wordt dt g α g β g 1 β g 1 α = g α gα 1 H. Passen we opneuw Lemma B.2.6 toe, transformeren we hetgeen we wllen bewjzen n Hg α = Hg α. Dt laatste s per defnte trvaal waar. Stel j {2, 3,..., k} wllekeurg. Per defnte geldt dat t j 1 = g 1 g 2 g j 2, zodat t j 1 g j 1 = g 1 g 2 g j 2 g j 1. Wegens het eerste deel van het bewjs s dt laatste geljk aan g 1 g 2 g j 1 ; dt vervolledgt het bewjs Bewjs Stellng Zj {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n} wllekeurg, dan geldt per defnte dat Hr g j = Hr g j. Ut Lemma B.2.6 volgt dat U H. Er rest ons nog aan te tonen dat U de volledge groep H voortbrengt. Beschouw daarvoor h H G wllekeurg. Dt element valt te schrjven als h = g 1 g 2 g k voor zekere ndces 1, 2,..., k {1, 2,..., n} en een zekere k N (nversen beschouwen we net, wegens Assumpte 2.1.9). Verder ntroduceren we dezelfde t j s, j {1, 2,..., k}, zoals geïntroduceerd n Lemma In een reeks van terates herschrjven we h n een product van elementen van H: h = g 1 g 2 g k = t 1 g 1 g 2 g k Immers, t 1 := e. = t 1 g 1 ((t 1 g 1 ) 1 t 1 g 1 )g 2 g k = (t 1 g 1 (t 1 g 1 ) 1 )t 2 g 2 g k Wegens Lemma = (t 1 g 1 (t 1 g 1 ) 1 ) t }{{} 2 g 2 ((t 2 g 2 ) 1 t 2 g 2 )g 3 g k =:u 1 U = u 1 (t 2 g 2 (t 2 g 2 ) 1 ) t }{{} 3 g 3 g k Wegens Lemma =:u 2 U. = u 1 u 2 u k 1 t k g k. Het eerste deel van het bewjs van Lemma bewjst eveneens dat t k g k = g 1 g 2 g k = h. Dt laatste s geljk aan de eenhed, aangezen bj veronderstellng h H en e de representant s van deze nevenklasse. Zo bekomen we dat t k g k = t k g k (t k g k ) 1 U, zodat we ern zjn geslaagd h te schrjven als product van elementen ut U. 10

23 Als zjnoot herhalen we dat het gebruk van groepen n dt werk zch zal beperken tot endge groepen, waarvoor de voorwaarde n Stellng mmer s voldaan. Defnte De verzamelng van generatoren U, zoals gedefneerd n Stellng , noemt men de schreergeneratoren van H. Zj T de transversaal van w Ω, corresponderend met de T de Algortme berekent. De Stellng van Schreer kunnen we toepassen om (een voortbrengende verzamelng van) de stablsator G w van een punt w te berekenen: we stellen H := G w en stellen R := T. Wegens Stellng correspondeert elk element van de baan w G mmers met een uneke rechtse nevenklasse van H. Met andere woorden, voor elke v w G (stel w g = v voor een zekere g G) kezen we T [v] als representant van Hg n G; wegens Stellng wordt op deze maner voor elke nevenklasse preces één zo n representant gekozen. Algortme 5: Berekenng van de puntstablsator a.d.h.v. de baan van dat punt. Data: Een voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van een groep G, een verzamelng Ω G en een element w Ω. Resultaat: De baan w G (als ljst ), het corresponderend transversaal T en een voortbrengende verzamelng U van G w. 1 [w]; 2 T [e]; 3 U {}; 4 foreach δ do 5 for [1, 2,..., n] do 6 γ δ g ; 7 f γ / then 8 [γ]; 9 T T [T [δ] g ]; 10 else 11 U U {T [δ] g T [γ] 1 }; 12 end 13 end 14 end 15 return, T, U; Bewjs correcthed. De correcthed van de berekenng van en T volgt ut het bewjs van Algortme 2. Vanaf ljn 4 tereert het algortme utendeljk over elk element van de baan (ook al s deze onder constructe). Herdoor zal het element T [δ] n ljn 11, mede wegens Stellng 2.1.8, tereren over elk element van R. Voor elk zo n terate loopt het algortme vanaf ljn 5 over elke generator g X. Bovenden, als het algortme n dergeljke dubbele terate ljn 11 berekt, dan bljkt het element T [δ] g een transporter te zjn de w op hetzelfde element afbeeldt als waarop T [γ] het element w zou afbeelden. Wegens Stellng volgt dat deze twee groepselementen tot dezelfde (rechtse) nevenklasse behoren. Overgens s T [γ], per defnte van R, de gekozen representant van deze nevenklasse (mmers, γ ). In ljn 11 wordt bjgevolg de juste verzamelng geconstrueerd, zoals n Stellng s gedefneerd. 11

24 Er valt echter nog te bewjzen dat n de gevallen dat de dubbele terate de else-clausule net berekt, er geen crucale generatoren worden overgeslagen. Dt s welswaar het geval: als γ /, dan wordt T [γ] net geconstrueerd als het product T [δ] g (nameljk n ljn 9). Als we op dat moment het element T [δ] g T [γ] 1 aan U zouden toevoegen, dan wordt enkel het eenhedselement toegevoegd, wat nets bjdraagt aan de groep de U voortbrengt. Opmerkng In Algortme 5 stapten we af van de schreerboom T en berekenden we n de plaats de transversaal T met de reden het algortme eenvoudg te houden. Met het oog op (geheugen-)effcënte werkt men n de praktjk echter beter met schreerbomen Bass en stablsatorketens Op dt punt s het dudeljk dat we graag zouden wllen werken met groepen (de orde berekenen, testen of een element bevat s n een groep...) zonder verplcht te zjn élk groepselement n het geheugen op te slaan. 5 Dt s wel degeljk mogeljk, zj met wat steun van ngevoerde defntes en stellngen. A. Hulpke [5] koos ervoor deze concepten te ntroduceren voor getrouwe groepsactes; wj kezen ervoor de groepsactes wllekeurg te houden. Defnte Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω. 1. Zj B = [β 1, β 2,..., β m ] (β Ω) een ljst van elementen met de egenschap dat ( g G) (( {1, 2,..., m})(β g = β ) (g ker(g))), dan noemen we B een bass voor de groep G. 2. Zj B = [β 1, β 2,..., β m ] een bass voor G en defneer G () := G ( 1) β voor elke {1, 2,..., m}; we stellen G (0) := G. Dan noemen we deze groepensequente de stablsatorketen corresponderend met B. Per defnte van een bass volgt onmddelljk dat G (m) = ker(g). Opmerkng Zj G een groep de met getrouwe acte nwerkt op een verzamelng Ω. Dan s elke g G op uneke wjze bepaald door de beelden β g 1, βg 2,..., βg m de g produceert. Immers, als h G zorgt voor exact dezelfde beelden, dan geldt per defnte van een bass dat gh 1 ker(g) = e (wegens een combnate van Proposte B.3.2 en B.3.6), zodat g = h. Wat s het nut van deze begrppen? Wat zal bljken s dat aan de hand van deze concepten, we op een eenvoudg en exhausteve wjze de groepselementen kunnen overlopen. Bovenden wordt het gemakkeljk om te testen of een gegeven element al dan net tot een groep behoort. Alles baseert zch op de volgende bevndng van de Amerkaan Charles Sms [5]: Gegeven een groep G de nwerkt op een verzamelng Ω en zj B = [β 1, β 2,..., β m ] een bass voor G met bjhorende stablsatorketen K := [G = G (0), G (1),..., G (m) = ker(g)]. Een element g G ( 1) behoort tot een (rechtse) nevenklassen van G () G ( 1), als gevolg kunnen we g herschrjven als g = a b, met a G () en b een representant van de nevenklasse van G () waartoe g behoort. Dezelfde redenerng kunnen we op zjn beurt toepassen op a G () ten opzchte van de nevenklassen van G (+1) G (), etc. Op de maner kunnen we het element beschrjven als g = ab m b m 1 b 1 met b een representant van de (rechtse) nevenklasse van 5 We wllen hoogstens enkele honderden elementen opslaan per groep, ongeacht de groepsgrootte. 12

25 G () G ( 1) en a ker(g). Ondertussen s het haast een reflex geworden bj het horen van nevenklasserepresentanten van stablsatorgroepen er Stellng bj te halen: deze representanten corresponderen nameljk met de baan van het punt dat door de deelgroep wordt gestablseerd. Op de maner kezen we op nveau een transversaal T horende bj de baan β G( 1) als ljst van nevenklasserepresentanten van G () n G ( 1). Bovenstaande redenerng bewjst meteen de correcthed van Algortme 6 verderop, dat slechts utvoert wat we n woorden beschreven. Voor de dudeljkhed geven we her een overzcht van notates, de voor de rest van dt en het volgend onderdeel (2.1.5) zal gehanteerd worden: Zj G een groep de nwerkt op een verzamelng Ω. We beschouwen K = [G = G (0), G (1),..., G (m) = ker(g)] een stablsatorketen van G, waarbj we G () dentfceren met een voortbrengende verzamelng van de groep. B = [β 1, β 2,..., β m ] de corresponderende bass. D = [ 1, 2,..., m ] een corresponderende ljst van banen van de basselementen, bv. de ljst van s van baanelementen ut β G( 1) zoals verkregen door Algortme 1; herbj veronderstellen we dat [1] = β. T = [T 1, T 2,..., T m ] de corresponderende ljst van transversalen bj D, m.a.w. T s de ljst van transporters horende bj. Als voorbeeld s T de transversaal horende bj de schreerboom T de Algortme 2 berekent (corresponderend met de berekende ). Vanaf dt punt zullen we deze reeks van objecten bundelen tot een stablsatorketen (K, B, D, T ). Algortme 6: Ontbndng van g G n de vorm g = ab m b m 1 b 1 met b een representant van G () n G ( 1) en a ker(g). Data: Groep G nwerkend op verzamelng Ω, element g G en stablsatorketen (K, B, D, T ). Resultaat: Ljst L = [b 1, b 2,..., b m, a] van nevenklasserepresentanten en kernelement a zodat g = ab m b m 1 b 1. 1 L [ ]; 2 1; 3 whle m do 4 δ β g ; 5 r T [δ]; 6 L L [r]; 7 g g r 1 ; 8 + 1; 9 end 10 L L [g]; // Toevoegng van a ker(g). 11 return L; We nemen nu een concrete toepassng onder de loep: het testen of een gegeven element al dan net tot de groep behoort. 13

26 Bovenstaand algortme zal een correcte voorstellng geven van elk element g G n termen van nevenklasserepresentanten en een element a ker(g). Stel echter dat g G\G voor een zekere groep G G en we Algortme 6 utvoeren op dt element, dan moet er ets foutlopen. Als er mmers nets zou foutlopen, hebben we succesvol g herschreven als product van elementen ut G, ets wat onmogeljk kan gebeuren. Ljn 5 en ljn 10 zjn de enge twee codeljnen waarn het proces kan foutlopen (ljn 10 n de zn dat mogeljks a / ker(g)). Dt geeft aanledng tot volgende utbredng van Algortme 6, de test of een element al dan net n een groep bevat s. Dt proces wordt ook wel eens het zften (Engels: sftng) van een element genoemd. Algortme 7: Sftng: test of een groepselement al dan net n een gegeven deelgroep bevat s. Data: Groepen G en G, G G, bede nwerkend op verzamelng Ω, element g G en stablsatorketen (K, B, D, T ). Resultaat: net bevat als g / G, anders ljst L = [b 1, b 2,..., b m, a] zoals n Algortme 6. 1 L [ ]; 2 1; 3 whle m do 4 δ β g ; 5 f δ / then 6 return net bevat; 7 end 8 r T [δ]; 9 L L [r]; 10 g g r 1 ; ; 12 end 13 f g / ker(g) then 14 return net bevat; 15 end 16 L L [g]; 17 return L; Opmerkng De controle de wordt utgevoerd n ljn 13 van Algortme 7 wordt voor de dudeljkhed net gedaan door her opneuw het algortme op ut te laten voeren; het algortme zou mmers noot endgen. De vraag stelt zch hoe dt best te controleren. Aangezen Hulpke [5] getrouwe groepsactes veronderstelt, s volgende verantwoordng enkel relevant n deze algemenere context. Stel g G en stel dat bovenstaand algortme ljn 13 berekt. Stel verder om het overzcht te behouden dat g := g T [β g 1 ] 1 met g0 := g. De bekomen g n ljn 13 zelf s dan geljk aan g T 1 [β g 1 ] 1 T 2 [β g 1 2 ] 1 T m [β g m 1 m ] 1. De tweede factor, T 1 [β g 1 ] 1, neutralseert per defnte van een transversaal de acte van de eerste factor, g, op β 1. Analoog neutralseert de derde factor, T 2 [β g 1 2 ] 1, de acte van de eerste twee factoren. Trekken we deze redenerng door, bekomen we dat het volledge element elke 14

27 β, {1, 2,..., m}, stablseert. Wat we wlden dudeljk maken s dat het overbodg s te controleren of de bekomen g n ljn 13 elke β stablseert, met als doel sneller een fout op te sporen dan wanneer we g zouden aftoetsen tegen elk element van ker(g). Bjgevolg zt er nets anders op dan deze exhausteve aftoetsng aan te wenden, waarvan de mogeljkhed n Opmerkng reeds werd vastgesteld. Als de groepsacte echter getrouw s, moet slechts worden afgetoetst of de bekomen g geljk s aan het eenhedselement. Wj zullen n de toekomst enkel groepen beschouwen met getrouwe groepsactes. Nu rjst de vraag hoe we dergeljke bass met corresponderende stablsatorketen (en overeenkomende ljsten van banen en transversalen) algortmsch kunnen opbouwen. Een mogeljkhed s de volgende: Stap 1: Start met het getal = 1. Stap 2: Construeer een volgend basselement voor G. Concreet: ga op zoek naar een element n Ω de net wordt gestablseerd door een generator van G ( 1). 6 Is de zoektocht geslaagd, stel β geljk aan dt gevonden element en ga verder naar Stap 3. Is de zoektocht mslukt, stop de procedure. Een bass met stablsatorketen en bjhorende transversalen s succesvol geconstrueerd. Stap 3: Pas Algortme 5 toe op (de voortbrengende verzamelng van) G ( 1) en de pasgevonden β. (Een voortbrengende verzamelng van) G () en bovenden een passende baan en transversaal T zjn gevonden. Stap 4: Verhoog het getal met 1 en keer terug naar Stap 2. In de praktjk s bovenstaande aanpak te veelesend, zoals staat beschreven n [6]. Het aantal schreergeneratoren loopt nameljk te snel op. We begnnen mmers met n generatoren n de voortbrengende verzamelng van G. In elke cyclus wordt het aantal schreergeneratoren vermengvuldgd met een getal van de orde O( β G( 1) ), als gevolg van de werkng van Algortme 5 de zch op zjn beurt baseert op Stellng In het slechtste geval stelt de baan β G( 1) de volledge verzamelng Ω voor en moeten er bovenden O( Ω ) cycl worden utgevoerd alvorens de procedure een ende kent. Dt komt neer op een geheugencomplextet van O(n Ω Ω ), exponenteel n het aantal elementen van Ω. Een beter alternatef s het Schreer-Sms algortme, dat gebruk zal maken van de deels opgebouwde stablsatorketen om overbodge generatoren op te sporen en te verwjderen Het Schreer-Sms algortme In dt onderdeel bespreken we het een algortme dat toelaat een stablsatorketen op effcënte wjze te berekenen, bekend onder de naam het Schreer-Sms algortme. We lassen eerst en vooral volgende defnte n: 6 De es dat β net mag gestablseerd worden door G ( 1) garandeert dat het stappenplan oot een ende kent; bovenden voorkomt dt de aanwezghed van overtollge elementen n de bass. 15

28 Defnte Een partële stablsatorketen van een groep G Ω s een keten genoteerd als (K, B, D, T ), K := [H (0), H (1),..., H (r) ], r m en verder met dezelfde notates als bj een gewone stablsatorketen. Deze heeft de egenschap dat de baan van β onder H ( 1) geljk s aan met corresponderende transversaal T en dat voor alle {1, 2,..., r}. H () H ( 1) β, Bj de algortmen n kweste wordt een stablsatorketen (K, B, D, T ) geconstrueerd, waarbj steeds meerdere lagen aan elke ljst worden toegevoegd. Echter, om het algortme overzchteljk te houden, zullen we de daadwerkeljke utbredngen van deze ljsten achterwege laten en enkel de ndvduele ljstelementen ntëren of utbreden. De context maakt snel dudeljk welke van de twee operates bedoeld wordt. Bovenden herhalen we dat we met elke notate van groep ook de generatoren van de groep kunnen bedoelen. Algortme 8: Schreer-Sms: constructe van een stablsatorketen. Data: Voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } van een groep G en een verzamelng Ω G. Resultaat: Stablsatorketen (K, B, D, T ). 1 H (0) ker(g); 2 foreach a (X\ker(G)) do // ker(g) bedt geen meerwaarde. 3 Algortme9((K, B, D, T ), a, 0); 4 end 5 return (K, B, D, T ); Om de recurseve stap van het algortme gemakkeljk van utleg te voorzen, laten we een bladzjde leeg om algortme en utleg naast elkaar te krjgen. Dt voorkomt overbodg heen-enweergeblader. 16

29 17

30 Algortme 9: Recursef aangeroepen procedure van het Schreer-Sms algortme. Data: Stablsatorketen (K, B, D, T ) n opbouw; schreergenerator a en hudge laag. Resultaat: Modfceert de stablsatorketen d.m.v. de baan en transversaal van de corresponderende laag ut te breden en neuwe schreergeneratoren recursef door te geven. 1 f Algortme7(H (), a) returns net bevat then // Elementtest. 2 f H () = ker(g) then // We bevnden ons onderaan de keten. 3 H (+1) ker(g); 4 β +1 wllekeurg punt ut {w Ω w a w}; 5 H () H () {a}; 6 +1 [β ]; T +1 [e]; 7 δ β a +1 ; s a; 8 whle δ β +1 do [δ]; 10 T +1 T +1 [s]; 11 δ δ a ; s s a; 12 end 13 Algortme9((K, B, D, T ), s, + 1); 14 else // De laag bezt een net-trvale baan ; T T +1 ; 16 l ; 17 foreach δ, ndexof(δ) l do 18 γ δ a ; 19 f γ / then 20 [γ]; T T [T [δ] a]; 21 else 22 s T [δ] a T [γ] 1 ; 23 Algortme9((K, B, D, T ), s, + 1); 24 end 25 end 26 foreach δ, ndexof(δ)> l do 27 foreach β H () {a} do 28 γ δ b ; 29 f γ / then 30 [γ]; T T [T [δ] a]; 31 else 32 s T [δ] b T [γ] 1 ; 33 Algortme9((K, B, D, T ), s, + 1); 34 end 35 end 36 end 37 H () H () {a}; 38 end 39 end 18

31 Om de code overzchteljk en helder te houden, worden her enkele commentaarregels opgeljst.v.m. de procedure van Algortme 9. Ljn 1: Deze ljn controleert of de gegeven schreergenerator reeds n de partële stablsatorketen s bevat. Als dt het geval s, mag deze genegeerd worden. Merk op dat Algortme 7 een stablsatorketen verest; met het argument H () bedoelen we de partële stablsatorketen met deze stablsatorgroep als bovenste, overkoepelende laag. Ljn 2: Her wordt afgetoetst of de laag de op dat moment onder de loep wordt genomen, de onderste laag (= ker(g)) voorstelt. Deze controle kan effcënt worden voltood door de twee voortbrengende verzamelngen met elkaar te vergeljken, of zelfs smpelweg af te toetsen of hun groottes al dan net geljk zjn. 7 Ljn 3: Intate van een neuwe laag. Herbj s (een voortbrengende verzamelng van) ker(g) op voorhand reeds bepaald; (de voortbrengende verzamelng van) H (+1) wordt heraan geljkgesteld. Ljn 4: Op dt punt wordt een neuw basselement gekozen. Is op voorhand al een bass bepaald of gekend, dan kon deze aan het algortme worden meegegeven en wordt er net zelf gezocht naar mogeljke basspunten. Ljn 6-12: Aan de hand van de enge (schreer-)generator a wordt een (partële) baan +1 en (partële) transversaal T +1, horende bj H (), geconstrueerd. Dt gebeurt a.d.h.v. een aangepast plan vanlla-algortme voor één generator. Ljn 13: De bekomen s wordt recursef als schreergenerator meegegeven. Geen andere elementen bekomen n deze clausule zjn (net-trvale) schreergeneratoren. Immers, als we de logca van Algortme 5 volgen, dan zou T [δ] a T [γ] 1 enkel net-trvaal zjn op het ende van deze whle-lus, waardoor U := {s}. Ljn 15: Op voorhand wordt de (partële) baan +1 en corresponderende (partële) transversaal T +1 n eenvoudgere notate herschreven. We benadrukken dat we de referentes aan andere varabelen doorgeven; de objecten kunnen n essente nog worden utgebred. Ljn 17-25: Alle oude baanelementen worden overlopen. Als de neuwe (schreer-)generator zorgt voor een utbredng van de baan, wordt dergeljk element achteraan de baan toegevoegd (en bjhorende transversaal utgebred). In het andere geval produceert deze clausule net-trvale schreergeneratoren de mogeljks kunnen zorgen voor utbredng. Ljn 26-36: Alle neuwe baanelementen worden overlopen, analoog aan Algortme 5. De baan en transversaal worden utgebred en eventuele neuwe schreergeneratoren worden recursef aangeroepen. Een formeel bewjs ontbreekt n het werk van Hulpke [5], vandaar we er één n dt werk toevoegen: 7 Immers, elke neuwe laag wordt geïnteerd als ker(g), de we op voorhand reeds hebben geconstrueerd. Bj deze ntate wordt bjgevolg exact dezelfde voortbrengende verzamelng doorgegeven. 19

32 Bewjs correcthed. Zj G een groep met voortbrengende verzamelng X = {g 1, g 2,..., g n } en beschouw de verzamelng Ω G. Zj verder (K, B, D, T ), B = D = T = m, de stablsatorketen de moet worden geconstrueerd (kes eventueel de bass B vast en geef deze mee aan het algortme). Neem een wllekeurge laag n beschouwng, voor een zekere {0, 1,..., m 1}. Onze bewerng s dat, nadat er n deze laag een recurseve oproep van Algortme 9 wordt voltood, de keten bestaande ut alle volgende lagen [H (+1), H (+2),..., H (m) ], met bjhorende opgebouwde banen en transversalen, een correcte stablsatorketen vormt. Zj m = 1. In het prlle begn van Algortme 8 vormt de keten trvaal een echte stablsatorketen. Beschouw de eerste aanroep van een recurseve stap n Algortme 8; de controle n ljn 2 van het recursef Algortme 9 zal slagen. De keten wordt utgebred tot twee lagen n ljn 3 en verder wordt het enge basselement n acht genomen (ljn 4). De hudge, bovenste laag wordt utgebred en de corresponderende baan en transversaal worden berekend. Op dt punt (net na ljn 12) beschouwen we een correcte stablsatorketen: een groep H (0) = a, ker(g) en een groep H (1) = ker(g) = H (0) β 1 (met corresponderende baan β H(0) 1 en transversaal). De recurseve aanroep op ljn 13 zal zorgen voor een mslukte controle n ljn 1, aangezen de bekomen s het engste basselement stablseert, dus per defnte n de kern (= H 0 ) bevat s (dt zal altjd mslukken op nveau m). Al het voorgaande kan geïdentfceerd worden met de ntalsatestappen n Algortme 5, waarbj de baan en transversaal n dt geval n een gevorderde gedaante zjn. Bovenden kunnen de volgende recurseve aanroepen de Algortme 8 zal maken samengevat worden n preces hetgeen Algortme 5 utvoert, waarvan we de correcthed reeds hebben bewezen. Dt gebeurt stap voor stap: de twee-gelaagde keten heeft als bovenste laag stapsgewjs H (0) = g 1, ker(g), H (0) = g 1, g 2 ker(g).... Kortom, na elke dergeljke oproep bekomen we opneuw een correcte stablsatorketen. Per nducte kunnen we nu aannemen dat de keten bestaande ut alle volgende lagen na elke recursestap een correcte stablsatorketen bljft. Neem nu n het algemeen een specfeke laag n beschouwng, voor een zekere {0, 1,..., m 1}. Stel dat we ervan utgaan dat deze laag alle mogeljke schreergeneratoren van hogerop ontvangt. Ljn 1 voert Algortme 7 correct ut, mts we net een recurseve aanroep zjn begonnen, waardoor wegens vorge redenerng de keten bestaande ut deze en alle volgende lagen een correcte stablsatorketen vormt. Vervolgens bredt het algortme, volledg analoog als Algortme 5, op correcte maner de hudge baan van β +1 en bjhorende transversaal T +1 ut. Bovenden worden er op regel 13, regels en regels alle mogeljke schreergeneratoren ut de hudge gegevens gehaald en recursef doorgegeven aan de volgende laag. Áls de hudge laag alle schreergeneratoren van bovenaf verkrjgt, zal het bjgevolg alle schreergeneratoren voor de volgende laag berekenen. Aangezen de schreergeneratoren van G geljk zjn aan de gegeven X, worden de juste generatoren aan de eerste, bovenste laag doorgegeven (de for-lus n Algortme 8). Inductef zal elke laag de juste schreergeneratoren n ontvangst nemen en wegens dezelfde argumenten als gebrukt n het aantonen van de correcthed van Algortme 5, geeft het algortme een correct berekende stablsatorketen terug. Opmerkng Algortme 8 veronderstelt dat (een voorbrengende verzamelng van) ker(g) reeds gekend en opgeslagen s. Helaas gebeurt de berekenng van deze groep onvermjdeljk op een exhausteve maner: s er nog geen bass B gekend, dan overlopen we elk groepselement 20