Statistische Methoden. Afronden in tabellen. Leon Willenborg Willem Sluis

Transcriptie

1 Statstsche Methoden Afronden n tabellen Leon Wllenborg Wllem Slus

2 Inhoudsopgave 1. Inledng op het thema Probleemformulerng en -oplossng Concluse Lteratuur

3 1. Inledng op het thema 1.1 Algemene beschrjvng en leeswjzer Het afronden van getallen s een welbekend probleem. Stel men moet n de wnkel contant een bedrag betalen van 1,97 en de klenste munt de men kan gebruken s 5-cent. Dan betaalt men 1,95, door afrondng naar beneden. Inden men een aantal artkelen wl kopen, zeg van de volgende bedragen: 0,78, 1,99, 3,63 en 5,23, dan wordt eerst de optellng gemaakt (11,63 ) en afgerond: 11,65. Inden men eder van de bedragen eerst zou afronden en daarna optellen, betaalt men contant 11,70. Contante betalng s een praktsche reden waarom afronden n de praktjk wordt toegepast. Een andere reden om getallen af te ronden s bj hoofdrekenen wanneer men wl nagaan wat de orde van grootte s van een optellng. Ook computers ronden af wanneer met floatng pont getallen wordt gerekend. Dt zjn slechts enkele voorbeelden de het belang van afronden llustreren. Ze de Wkpeda-bjdrage over Roundng, de dverse, nteressante toepassngen bespreekt, maar net specfek n gaat op afrondng n tabellen de n dt stuk aan bod komt ( Afronden n de offcële statstek (en dus bj het CBS) wordt gebrukt om tabellen te vereenvoudgen (verstrekken van mnder detals) of om ze te bevelgen (door toevoegng van rus). Bj afronden n tabellen zou men n eerste nstante msschen kunnen denken dat dt ook eenvoudg s: rond edere cel waarde onafhankeljk van de anderen af, net als bj het afronden van getallen. Dat gaat echter net altjd goed. Problemen ontstaan wanneer men met krustabellen werkt, waar ook margnalen bj zjn gegeven. Voor deze tabellen geldt dat de cel waarden n het bnnenwerk n eenzelfde rj, kolom e.d. gelegen optellen tot het corresponderende randtotaal. Dt geldt ook voor margnalen van margnalen. We noemen de tabellen dan addtef. Bj afronden est men doorgaans ook dat de afgeronde tabellen (bnnenwerk en randen) addtef (optelbaar) zjn. Bovenden wl men dat de afgeronde cel waarden net te ver aflggen van de bjbehorende orgnele cel waarden. Om de gedachten te bepalen s n Tabel 1 een stuate weergegeven van een 2d tabel met twee 1d randen en een totaal generaal. Tabel 1. 2d-tabel met randen Stel dat de bedoelng s om de cel waarden af te ronden op 5-vouden, net al te ver verwjderd van de bjbehorende cel waarden, en zodang dat de afgeronde 2d tabel optelt tot de afgeronde 1d tabellen en deze op hun beurt weer optellen tot het 4

4 afgeronde totaal-generaal. In Paragraaf wordt dt voorbeeld verder besproken. In Paragraaf 2.4 staan meer voorbeelden van tabelafrondproblemen. In de boven gegeven voorbeelden wordt een getal afgerond op het dchtst bjlggende veelvoud van een bepaald getal (n de voorbeelden 5 (eurocent)). Bj het afronden van tabellen kjkt men vaak naar de twee dchtst bjlggende veelvouden van zo n getal, afrondbass genaamd en men heeft de keuze om naar boven of naar beneden af te ronden. Bjvoorbeeld kan men 17 dan bj een afrondbass van 5 afronden naar 15 of naar 20. De afrondfout s dan 2 (bj afronden naar beneden) of 3 (bj afronden naar boven). Voor sommge algortmen gebeurt de afrondng stochastsch. Met een bepaalde kans wordt naar beneden of naar boven afgerond. De kans voor afrondng naar beneden of naar boven wordt dan doorgaans bepaald door de afrondfout. (Ze Paragraaf voor enkele voorbeelden van dergeljke methoden). Afronden n tabellen zonder bjbehorende margnalen s eenvoudg als men de cellen afzonderljk kan afronden, zonder verdere beperkngen. Het wordt lastger als men meerdere tabellen heeft met gemeenschappeljke randen, bjvoorbeeld één tabel met zjn margnalen, en men wl al deze tabellen afronden zodang dat de afgeronde tabellen ook addtef zjn en bovenden net al te veel afwjken van de orgnele tabellen. Of men wl, als een probablstsche afrondmethode wordt gebrukt, dat de afrondng (condtoneel) zuver s, dus dat de afgeronde tabel (opgevat als stochast) (condtoneel) zuver s, en dus n verwachtng de oorspronkeljke tabel oplevert. Dat legt beperkngen op aan de afrondkansen. (Ze Paragraaf 2.3.7) In sommge gevallen vndt men geen oplossng voor een afrondprobleem als men edere cel waarde slechts kan afronden naar één van de twee de dchtst bjlggende veelvouden van de gekozen afrondbass. Men dent dan n een rumere omgevng van cel waarden naar een geschkt veelvoud van de afrondbass te kunnen zoeken. Uteraard geldt dan wel: hoe verder de oplossng (afrondng) verwjderd s van de oorspronkeljke cel waarde, des te groter de penalty. De afrondmethoden de n dt stuk worden gepresenteerd leden tot zekere optmalserngsproblemen, de gewoonljk alleen met een computer kunnen worden opgelost. Dat geldt egenljk voor alle afrondmethoden de bekend zjn n de lteratuur. Deze afrondproblemen worden n de praktjk opgelost met behulp van specale software bedoeld om lneare optmalserngsproblemen, of zelfs (gemengde) geheeltallge optmalserngsproblemen, op te lossen. Voor de n dt stuk beschreven afrondmethode s software beschkbaar. (Ze Paragraaf 2.3.8). Dat geldt ook voor enkele andere methoden de n dt stuk worden genoemd maar net verder utgedept (zoals controlled tabular adjustment (CTA); ze Paragraaf 2.3.6) Beschrjvng van het thema In dt stuk behandelen we afronden van tabellen, utgaande van een afrondtechnek de rekenng houdt met bepaalde afhankeljkheden tussen de dverse cel waarden n de tabellen de men wl afronden. Met het afronden van tabellen wordt bedoeld het 5

5 afronden van cel waarden n tabellen. Wat het onderwerp complceert s dat aan de afgeronde tabellen voorwaarden worden gesteld. Daar gaan we nu nader op n. Het doel van het afronden n tabellen s afgeronde tabellen te krjgen waarbj edere cel waarde een veelvoud s van een van te voren gekozen afrondbass s, waarbj 0 doorgaans een geheel getal s. Maar dat s net het enge. Men wl ook dat de afgeronde cel waarden net te ver af lggen van de oorspronkeljke cel waarden. Men streeft ernaar om edere cel waarde af te ronden naar één van de twee veelvouden van een gekozen afrondbass de het dchtst bj lggen. Alleen lukt dat net n alle gevallen. Een verfjnng van het afrondprobleem krjgt men door te kjken naar de relateve afrondfout n plaats van naar de absolute afrondfout. Bj deze laatste fout kjkt men alleen naar de afstand tussen een getal en zjn afrondng. Bj de relateve afrondfout deelt men de absolute fout door het getal zelf (als dt 0 s, hoeft men net af te ronden en s er dus ook geen sprake van een afrondfout, absoluut of relatef). Ze Paragraaf voor nadere nformate over relatef afronden Problemen en oplossngen Men zou afronden van tabellen op de smpelste maner kunnen doen door dt per cel waarde te doen. Men hoeft dan geen rekenng te houden met andere cellen en hun afrondngen. Hoewel smpel toe te passen, heeft deze methode ongecontroleerd afronden genaamd - nadelen, nameljk dat op deze maner verkregen afgeronde tabellen net optelbaar hoeven te zjn. Net alleen s dt storend, het kan zelfs neffectef zjn, n de zn dat de afrondng kan worden teruggedraad. In het geval afrondng wordt toegepast om tabellen te bevelgen, s dan de afrondng een schjnoperate de net tot velgere tabellen ledt. In Paragraaf wordt een voorbeeld gegeven van een dergeljke stuate. Afronden n tabellen waar lneare restrctes tussen cel waarden bestaan s lastg als men voor de afgeronde tabellen eveneens est dat de cel waarden n deze tabellen aan soortgeljke restrctes voldoen. Ook wl men dat de afgeronde cel waarden net te ver af lggen van hun oorspronkeljke waarden. Bj voorkeur s de afgeronde waarde van een cel waarde a één van de twee dchtst bjlggende veelvouden van de afrondbass: het klenste veelvoud van groter dan of geljk aan a of het grootste veelvoud van klener of geljk aan dan a, waarbj de afrondbass s. Hoewel dat vaak wel te bewerkstellgen s, s het net te garanderen dat het altjd mogeljk s. Er zjn voorbeelden waarbj dt net lukt. Paragraaf gaat her op n. Een ander fenomeen kan zch voordoen bj gekoppelde tabellen. Het s mogeljk dat de oorspronkeljke tabellen set bestaat ut een n -dmensonale tabel ( n 3 ) met margnalen, zodang dat als men alleen deze margnalen afrondt er geen moedertabel s de past bj deze afgeronde tabellen. Ze Paragraaf voor een voorbeeld. Inden men de moedertabel bj het afrondproces betrekt kan dt fenomeen net optreden. Ze Paragraaf

6 1.2 Afbakenng en relate met andere thema s Afronden van tabellen wordt op de volgende twee plaatsen n het statstsch proces gebrukt: Bj statstsche bevelgng: hercoderen, cel onderdrukkng, random rus toevoegen Bj presentate van tabellen: afkappen van cel waarden De beschrjvng de her gegeven wordt van het probleem van gecontroleerd afronden betreft één specfeke oplossngsmethode. Andere oplossngsmethoden voor dt probleem zjn ook mogeljk. Enkele daarvan worden besproken n Paragraaf Plaats n het statstsch proces Afronden wordt op de volgende plaatsen n het statstsche proces gebrukt: Output: Statstsche bevelgng Output: Representate van tabellen 1.4 Defntes Begrp Omschrjvng Absolute afrondfout Als x een waarde s en r (x) s een afgeronde waarde van x Absoluut afronden Afrondbass Afronden zonder restrctes Bnnenwerk (van een tabel met margnalen) bj een afrondng, dan s de absolute afrondfout x r ( x), waarbj de absolute waarde aan dudt. Afronden waarbj een penalty functe wordt gebrukt de bepaald wordt door absolute afrondfouten Een postef getal (doorgaans een geheel getal), n dt stuk aangedud met edere cel waarde n de afgeronde tabel(len) s een veelvoud van Afronden per cel waarde, zonder te letten op constrants de gelden n verband met optelbaarhed. Kan daarom leden tot afgeronde tabellen waarbj het afgeronde bnnenwerk net optelt tot de afgeronde randen. Aangedud met unrestrcted roundng n Wllenborg & De Waal (2001). De cel waarden van een tabel waarbj ook (sommge van) de randen gegeven zjn. Zo n tabel met zjn randen wordt als één geheel beschouwd. Ze ook: moedertabel. Celng (bj afrondbass Ze de functe Ce ( x) n de tabel n Paragraaf 1.5. Consstente set tabellen Determnstsch afronden Een set tabellen waarbj gemeenschappeljke randen hetzelfde zjn. Afrondtechnek waarbj geen kans mechansme wordt gebrukt om cel waarden af te ronden. Determnstc roundng n Wllenborg & De Waal (2001). Floor (bj afrondbass Ze de functe Fl ( x) n de tabel n Paragraaf 1.5. Gecontroleerd afronden Gekoppelde tabellen Hërarchsche tabel Afronden n tabellen waarbj er explcet op wordt gelet dat de afgeronde tabellen optelbaar zjn. Controlled roundng n Wllenborg & De Waal (2001). Een set tabellen de gemeenschappeljke randen hebben. Lnked tables n het Engels. Een bepaalde type gekoppelde tabellen, waarbj een 7

7 Intel varabele Lattce Margnaal (van een tabel) Moedertabel (bj een gegeven set tabellen) Moedertabel (bj een gegeven set tabellen) Ongecontroleerd afronden Opspanvarabelen (van een tabel) Rand (van een tabel) Relatef afronden Relateve afrondfout Rooster Stochastsch afronden hërarchsche structuur bestaat de aangeeft dat een tabel ( parent table ) kan worden verkregen door aggregate van een andere tabel ( chld table ). Deze hërarche hoeft geen boom te zjn. Ze: Tabel. Ze: Rooster. Een tabel de ontstaat ut een andere tabel (de het bnnenwerk vormt) door optellng (aggregate) van cel waarden n dezelfde rjen, kolommen, etc. Een tabel van waarut de tabellen n de gegeven set kunnen worden afgeled door aggregate, dat wl zeggen optellng / sommate van cel waarden n dezelfde rj, kolom, e.d. Zo n moedertabel hoeft net altjd te bestaan, ook al zjn de tabellen n de tabellen set onderlng consstent. Tabel waarvan de gegeven tabellen margnalen zjn. Anders gezegd, de moedertabel s de nwendge tabel en de gegeven tabellen zjn randen hervan. De gegeven tabellen moeten aan bepaalde restrctes voldoen,.c. dat af te leden gemeenschappeljke randen hetzelfde zjn. Dat s echter geen garante voor het bestaan van een moedertabel. Ze bjvoorbeeld Paragraaf voor een tegenvoorbeeld. Afrondmethode n tabellen waarbj men cel waarden onafhankeljk van elkaar afrondt. Ze ook: gecontroleerd afronden. Ze: Tabel. Ze: margnaal (van een tabel). Afronden waarbj een penalty functe wordt gebrukt de bepaald wordt door relateve afrondfouten. Als x een waarde s en r(x) s een afgeronde waarde van x bj een afrondng en x 0 dan s de relateve afrondfout x r ( x), waarbj de absolute waarde aan dudt. x Een graph waarmee kan worden aangegeven welke tabellen door aggregate ut welke andere tabellen af te leden zjn. Eng: Lattce. Een afrondmethode waarbj men cel waarden afrondt gebruk makend van een kans mechansme. Stochastc roundng n Wllenborg & De Waal (2001). Tabel Een functe T : D B waarbj D een endge verzamelng s, te schrjven als cartessch product D D... 1 D k voor zekere k en waarbj B het berek, s meestal één der verzamelngen der natuurljks getallen, Z der gehele getallen, Q der ratonale getallen of der reële getallen. De varabelen geassoceerd met de domenen D,..., 1 D k worden wel opspanvarabelen genoemd van de desbetreffende tabel. De varabele geassoceerd met de verzamelng B noemt men wel de Intel varabele van de desbetreffende tabel. Dt her gegeven beschrjvng slaat op een volledge tabel, zonder ontbrekende waarden. Tabellen met ontbrekende waarden kan men defnëren als een partële functe, een functe de slechts op een deel van zjn domen s gedefneerd. 8

8 1.5 Algemene notate Notate ( x) Fl ( x) Ce Omschrjvng Het grootste veelvoud van klener dan of geljk aan x. Fl staat voor het Engelse woord Floor. Het klenste veelvoud van groter dan of geljk aan x. Ce staat voor het Engelse woord Celng. CTA Controlled Tabular Adjustment (ze Paragraaf 2.3.7). MIP Mxed Integer Programmng. Typsche afrondstuates van tabellen betreffen sets gekoppelde tabellen. Deze tabellen kunnen aan elkaar gerelateerd zjn doordat ze gemeenschappeljke margnalen hebben. Deze kunnen explcet of mplcet bestaan. Als ze explcet bestaan s zo n margnaal één van de tabellen n de set. In het mplcete geval s zo n gemeenschappeljke margnaal te berekenen. Om de afhankeljkheden tussen tabellen aan te geven gebruken we roosters (lattces). Dt zjn graphen, waarbj de punten tabellen voorstellen en de kanten relates tussen de tabellen. Iedere tabel wordt gerepresenteerd door een verzamelng van varabelen de de tabel opspannen (de n het rooster als label bj de punt getoond wordt) Twee punten zjn door een kant verbonden als de tabel geassoceerd met het hoger gelegen punt kan worden verkregen door de tabel geassoceerd met het lager gelegen punt te aggregeren naar de (uneke) varabele de wel n de tabel zt geassoceerd met het lager gelegen punt maar net n de verzamelng geassoceerd met het hoger gelegen punt. Tabellen zjn vaak op meerdere maneren ut gedetalleerdere tabellen te verkrjgen door aggregate. Alle tabellen n een rooster worden verondersteld eenzelfde ntel varabele te hebben. Als voorbeeld nemen we een 3d-tabel opgespannen door de varabelen 1, 2, 3. Deze heeft dre 2d-margnalen (of randen), nameljk de tabellen opgespannen door varabelen 1, 2, door varabelen 1, 3 en door varabelen 2, 3. En de 1d-margnalen opgespannen door varabele 1, door varabele 2 en door varabele 3. Tenslotte s er nog het totaal generaal. In Fguur 1 zjn deze tabellen weergeven als punten, corresponderend met verzamelngen van opspannende varabelen. Twee punten zjn met een kant verbonden als één van de verzamelngen een maxmale echte deelverzamelng s van een ander. Alleen voor verzamelngen dt het geval, zó dat er geen verzamelng C s met A, B met A B s A C B. Her dudt een echte deelverzamelng aan (dus maar net ). Hoe groter de verzamelngen zjn, des te lager n de fguur zjn ze getekend. Verzamelngen van geljke omvang staan op hetzelfde horzontale nveau. Een fguur als weergegeven n Fguur 1 heet een rooster (Eng: lattce). 1.6 Representate van tabellen Er zjn verschllende maneren om tabellen te representeren. In de voorbeelden n Paragraaf 2.4 worden verschllende methoden gebrukt. De meest gebrukeljke methode voor 2d-tabellen s door mddel van een matrx-vorm, waarbj de cellen een 9

9 bepaalde plaats hebben n deze matrx. Tabel 36 s een voorbeeld van een dergeljke tabelrepresentate. Als een 2d-tabel margnalen heeft worden de vaak samen met de moedertabel afgebeeld. Tabel 4 s daar een voorbeeld van. Deze wjze van representate s soms handg maar net altjd. Bjvoorbeeld net voor hoger dmensonale tabellen, met een dmense hoger dan 2. In dat geval kan het handger zjn om te werken met een ljstrepresentate. Zo n ljst bestaat ut cel coördnaten samen met de bjbehorende cel waarde. Inden men de convente gebrukt dat alleen net-nul cellen n de ljst hoeven te worden genomen, heeft men een representate de effcënt s voor grote tabellen met veel nul cellen, ook wel jle tabellen (Engels: sparse tables) genoemd. Een voorbeeld van zo n ljstpresentate s net te vnden n het onderhavge stuk. In de numereke wskunde wordt een dergeljke tabel (matrx) veel gebrukt. Ze ook In het voorbeeld n Paragraaf wordt een 3d-tabel met margnalen laag voor laag gerepresenteerd. Fguur 1. Rooster van 3d-tabel met al zjn margnalen {} {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} Deze voorbeelden llustreren een dverstet aan representatemethoden voor tabellen de echter net utputtend s. Het s, tot slot, zaak te onderscheden tussen tabelrepresentates voor menseljk gebruk en voor computerverwerkng. Voor de eerste s een postesysteem vaak het meest nzchteljk, althans als de tabellen 2-dmensonaal zjn. De cel waarden worden dan n een tableau gepresenteerd waarbj de cel waarde van cel (, j) n de -de rj en de j -de kolom staat vermeld. Voor 3d tabellen worden dan lagen 2d tabellen getoond. Ook voor hërarchsche tabellen zjn overzchteljke representates bekend. Ze hervoor recente CBS publcates. 10

10 Voor de computerbewerkng s de ljstrepresentate just wel handg, waarbj een matrx s weergeven als een geordende rj van paren <coördnaten, cel waarde>, waarbj een paar alleen s opgeslagen als de cel waarde ongeljk nul s. Dt levert een effcënte wjze van opslag op voor jle tabellen, dat wl zeggen tabellen met veel nullen. In de numereke wskunde wordt deze wjze van opslag veel gebrukt. Merk op dat deze representate dezelfde vorm heeft ongeacht de dmense van de tabel. Het enge verschl s dat de coördnaten verschllend zjn: voor n dmensonale tabellen zjn het n-tuples, ofwel geordende rjtjes van n ndces. In paragraaf 2.3 wordt een andere vorm gekozen om een tabel op te slaan de handg s voor computerverwerkng. Herbj wordt de tabel gevectorseerd. Dt betekent dat de cellen n een tabel op een bepaalde maner geordend worden n een rj, en dat de rj alleen de cel waarden bevat. Dt betreft ook cel waarden de nul zjn. Ut het volgnummer n de rj kan men de coördnaten n een tabel berekenen, en omgekeerd. We geven een voorbeeld om dt te llustreren. Voorbeeld. Gegeven s Tabel 2. Tabel 2. Een voorbeeldtabelletje In vectorvorm zou deze tabel weergegeven kunnen worden als ( 43,0,15,21). (1) In Tabel 3 s de koppelng tussen cel coördnaten en vector coördnaten weergegeven. Tabel 3. Koppelng van tabel- en vector coördnaten Coördnaat tabelcel Coördnaat vector (1,1) 1 (2,1) 2 (1,2) 3 (2,2) 4 Tabel 3 kan gebrukt worden om coördnaten om te rekenen van de ene naar de andere representate. 11

11 2. Probleemformulerng en -oplossng 2.1 Korte beschrjvng Afronden van getallen s een eenvoudg probleem. Afronden n tabellen s lastger omdat men herbj rekenng dent te houden met restrctes. In een typsche afrondstuate heeft men te maken met meerdere tabellen met gemeenschappeljke randen, dus aggregaten de hetzelfde zjn. Voor de afgeronde tabellen est men doorgaans eenzelfde optelbaarhed als voor de oorspronkeljke tabellen. Est men net dat de afgeronde tabel optelbaar s, door bjvoorbeeld de afrondng per cel te bekjken, dan s men soms n staat om de orgnele tabellen terug te rekenen. Een voorbeeld van deze stuate s te vnden n Paragraaf 2.4. Ook bj stochastsche afrondmethoden heeft men te maken met restrctes bjvoorbeeld door de es van de zuverhed van de afrondmethode, zoals bjvoorbeeld bj de methode van Felleg (1975) (ze ook Paragraaf 2.3.7). In de praktjk doen zch verschllende stuates voor bj het afronden n tabellen. Een vaak voorkomend specaal geval betreft een 2-dmensonale tabel met randtotalen en een totaal generaal. Maar men zou ook met een 3-dmensonale tabel te maken kunnen hebben met al zjn lager-dmensonale randen. Ook zjn er stuates dat men met meerdere tabellen te maken heeft waarvan er enkele een gemeenschappeljke margnaal hebben. Dt zjn zogenaamde gekoppelde tabellen. Voorbeelden van enkele n de praktjk voorkomende stuates worden gegeven n Paragraaf 2.4. Al de genoemde stuates hebben gemeen dat er lneare relates bestaan tussen de celnhouden van sommge cellen n de set tabellen de men consstent wl afronden. Voor de corresponderende afgeronde cel waarden est men dat aan dezelfde lneare relates wordt voldaan. Bj het afronden zoekt men waarden de een veelvoud zjn van een getal, de afrondbass genoemd. Bj voorkeur zoekt men voor edere cel waarde een afgeronde waarde de dcht lgt bj de af te ronden waarde. Bj voorkeur één van de twee: het corresponderende afgeronde getal naar boven (celng - plafond) of naar beneden (floor - vloer). Als de afrondbass s dan s Fl (a ) geljk aan het grootste -voud klener dan of geljk aan a, en Ce (a ) s het klenste veelvoud van groter dan of geljk aan a. Dus, bjvoorbeeld, Fl (37 ) 35 en Ce (37 ) Toepasbaarhed Afronden voor datarepresentate s nteressant n de gevallen waarn het net nodg s om detalnformate te tonen, wanneer men schjnnauwkeurghed wl vermjden of als de orde van grootte van getallen goed genoeg s om een betoog te ondersteunen. Het s daarbj gewenst dat de afgeronde tabellen optelbaar zjn, en bovenden, voor eder van de cellen, net te ver van de oorspronkeljke cel waarden verwjderd zjn. In dt geval mogen cel waarden postef, negatef of nul zjn. 12

12 Afronden gebrukt als bevelgngsmethode, moet van een onvelge tabel, of set gekoppelde tabellen, een velge verse maken. In dt geval zjn de tabellen doorgaans net-negatef, dat wl zeggen dat eder van de cel waarden groter dan of geljk aan nul s. Dt levert restrctes op voor de cel waarden n de tabel de men kan gebruken bj het bepalen van de waardenbereken voor de orgnele cel waarden. De wjze van afrondng dent gecontroleerd te zjn, om te voorkomen dat cel waarden terug te rekenen zjn, exact of met grote nauwkeurghed. In fete houdt het afrondalgortme rekenng met het nterval waarmee men gevoelge cellen kan terugrekenen. Ze ook Paragraaf Utgebrede beschrjvng Het afrondprobleem Het afrondprobleem kan n algemene vorm als volgt worden geformuleerd. Inteel gegeven zjn reële getallen a a,..., a ) voldoen b ( b 1,..., b m ( 1 n de aan een aantal lneare restrctes Ma b waarbj de elementen van M gehele getallen zjn en ) gehele veelvouden zjn van een afrondbass. Vnd een vector y de aan dezelfde lneare restrctes My b voldoet, de alleen veelvouden van mag bevatten en de zo dcht mogeljk bj de ntële waarde a lgt. Het symbool staat her voor componentsgewjs toepassen van de symbolen, en. Deze formulerng s nog net compleet zonder een utleg over wat dcht bj preces betekent. Her wordt deze note explcet gemaakt door de keuze van een optmalsate expresse de gemnmalseerd dent te worden. Er zjn verschllende mogeljkheden voor de optmalsate expresse, elk met voor- en nadelen. Bovenstaand geval kan nog ets algemener geformuleerd worden door ook toe te staan dat de vector b ut gebroken veelvouden van de afrondbass bestaat. Echter, door ntroducte van een extra nputvarabele s dt te reduceren tot bovenstaand geval Absoluut afronden bnnen de grenzen In navolgng van het gebrukeljke afronden van een enkel reëel getal esen we dat y Fl a ) of y Ce ( a ) (2) ( Merk op dat we toestaan dat getallen als 4.12 afgerond worden naar 5.0 (met afrondbass 1.0). Dt effect moeten we n het algemeen toestaan om oplossngen te vnden de aan de lneare restrctes voldoen. Door ntroducte van beslsvarabelen x 0 of x 1 herformuleren we het probleem tot y Fl ( a ) x (3) x als Fl ( a ) Ce ( a ) (4) 0 13

13 dan moet (4) gelden en dat Mx 1 ( b M Fl ( a )) (5) Dt vormt een stelsel lneare restrctes n de beslsvarabelen x. In het algemeen zal dt meerdere mogeljke waarden voor x toestaan. Door een extra crterum n te stellen kunnen we een voorkeur voor bepaalde x kenbaar maken. Voor de doelfuncte en de gewchten daarn maken we de volgende keuzes: mn w x (6) w Fl ( a ) Ce 2 ( a ) a (7) de gewchten w worden bepaald ut de ntële waarden en drukken ut dat getallen a de dcht bj een veelvoud van de afrondbass lggen bj voorkeur afgerond worden tot dat veelvoud, ze Fguur 2. Merk op dat de gewchten negatef kunnen zjn. Zowel de keuze van de doelfuncte als van de gewchten, gegeven de keuze van een lneare doelfuncte, kan ook anders utvallen dan herboven s gedaan. Fguur 2. Gewchten voor de afrondmethode w Groot gewcht moedgt aan tot afronden naar beneden k ( k 1) v a Merk ook op dat als de ntële waarde al een veelvoud van de afrondbass s, dan bljft deze n de oplossng ongewjzgd, vanwege (4). Merk verder op dat het gewcht w 0 n het geval dat a preces mdden tussen twee grenzen lgt. In dat geval s de penalty voor het omlaag afronden net zo groot als voor omhoog afronden (nl. 0). Er zjn twee mogeljke problemen met deze aanpak. Ten eerste s de oplossng mogeljk net unek. Het s denkbaar om n dat geval extra crtera te bedenken de een keuze forceert. Zo kun je bj geljkwaardge oplossngen bjvoorbeeld ervoor kezen om de randen zoveel mogeljk tradtoneel af te ronden. 14

14 Daarnaast kun je de voorkeur geven om de klenste varabelen zoveel mogeljk tradtoneel af te ronden omdat daarvoor afrondngen relatef gezen de meeste mpact hebben. In deze nota gaan we op deze crtera net verder n 1, ook al omdat het net dudeljk s hoe deze extra crtera n de context van een professonele optmzer geformuleerd kunnen worden. Daarnaast s het n veel gevallen acceptabel om ut de net-uneke oplossngen een wllekeurge keuze te maken. Ten tweede s het mogeljk dat er geen oplossngen zjn. Dt betekent dat de beperkng dat er ofwel omlaag ofwel omhoog afgerond moet worden te strkt s Absoluut afronden over de grenzen heen Het s ook mogeljk om toe te staan dat de afgeronde waarden over de grenzen van aanlggende gehele waarden gaan. Dus bjvoorbeeld dat 4.12 afgerond wordt naar 3.0 (utgaande van een afrondbass van 1.0). We hebben dan y x Fl 0, x ( a ) x x 0 of x 1 x 0 als Fl ( a 0 x ) Ce x ( a ) (8) x x, geheeltallg Dergeljk grensoverschrjdend gedrag wordt mogeljk gemaakt door strkt posteve waarden voor x of x. Natuurljk wllen we dt zoveel mogeljk voorkomen, en dat komt dan ook tot utng n de aangepaste optmalsate-expresse. mn w x x 2 x 2 (9) w Fl ( a ) Ce 2 ( a ) a (10) Samen vormt dt wederom een optmalsateprobleem, dt keer met een mx van beslsvarabelen en nteger varabelen. Merk op dat een optmale oplossng bj probleem (9) altjd ofwel x 0 of 0 heeft. Merk verder op dat het algemenere probleem veel meer varabelen gebrukt dan het beperkte probleem. In de praktjk kan daarom gekozen worden om het utgebredere probleem pas op te lossen als het beperkte probleem geen oplossng heeft Relatef afronden Bovenstaande optmalsatefunctes kennen een absolute penalty toe n de zn dat het afronden van bjvoorbeeld 4.12 naar 4.0 even zwaar telt als het afronden van 1 In sommge specale gevallen zoals één dmensonaal afronden (totaal = som van termen) s dt goed te doen. x 15

15 naar Voor sommge doelenden s het beter om te kezen voor een relateve penalty. De optmalsatefuncte s mn w x x 2 a x 2 (11) w Fl ( a ) Ce 2 ( a ) a (12) Herbj s een klene constante de voorkomt dat we n numereke problemen komen n het geval van (hele) klene waarden a. Dt laatste s net onwaarschjnljk n het geval een grote nputvector a Verantwoordng De afrondmethode de n deze paragraaf s beschreven vndt zjn oorsprong n Fschett & Salazar-González (1998). In vervolgartkelen van Salazar-González s de methode verbeterd. Ze bjvoorbeeld Salazar-González (2005, 2006). De methode van Salazar-González maakt gebrukt van een mxed nteger programmng (MIP) formulerng. De her gepresenteerde methode s op het CBS geïmplementeerd en s beschkbaar voor toepassngen (ze Paragraaf 2.3.8) Afronden en tabelbevelgng Zoals eerder opgemerkt wordt afrondng n tabellen ook gebrukt om tabellen te bevelgen voordat ze gepublceerd worden. Het s een specale maner van rus toevoegen aan tabellen, met het doel om gevoelge gegevens te verhullen. Het dee s om gevoelge cellen n tabellen te beschermen. Voor eder gevoelge cel wordt een bevelgngsnterval gedefneerd (of een lengte van een dergeljk nterval). Dt s een nterval waarbnnen de desbetreffende te beschermen cel waarde net mag worden teruggerekend. Een geschkte keuze van een afrondbass s gebaseerd op al deze ntervallen (of hun lengtes). Ze verder Wllenborg & De Waal (2001). Een technek de als een veelbelovende generalsate van afronden kan worden gezen s Controlled Tabular Adjustment (CTA). Herbj wordt aan de oorspronkeljke cel waarden rus toegevoegd, zodang dat een velge set (synthetsche) tabellen wordt gegenereerd, de bovenden addtef zjn. Bj afronden voegt men ook rus toe, maar men s veel meer beperkt n de keuze van de rus voor edere cel waarde. Het voordeel van CTA s bovenden dat het tot mnder complexe optmalserngsmodellen ledt dan n Paragraaf 2.3. Voor detals ze Dandekar & Cox (2002), Castro (2006, 2011) Alternateve afrondmethoden Naast de herboven gepresenteerde afrondmethode van tabellen zjn n de lteratuur nog dverse andere methoden bekend om tabellen af te ronden. Een aantal van deze methoden wllen we her de revue laten passeren. De bedoelng van deze paragraaf s om de geïnteresseerde lezer te wjzen op enkele andere methoden van afronden, 16

16 zonder echter utvoerg op deze methoden n te gaan. Daarom zjn lteratuurverwjzngen opgenomen voor eder van de methoden de her kort worden besproken. Daar zjn de detals te vnden de n deze paragraaf ontbreken. Het overzcht n deze paragraaf s bedoeld om llustratef te zjn en net lmtatef. De methode van Felleg (1975) s probablstsch. Dt betekent dat het afronden van de cel waarden gebeurt met behulp van een kans mechansme. Iedere cel waarde van het bnnenwerk van een tabel wordt naar boven of naar beneden afgerond met bepaalde kansen, de afhangen van de afstand van de oorspronkeljke cel waarde tot de boven- respecteveljk ondergrens (of egenljk, de afstand van het fractonele deel tot 0 respecteveljk 1 n een genormalseerd afrondprobleem; ze hervoor Paragraaf 2.4.7). De afrondprocedure s zodang dat n verwachtng de afgeronde tabel geljk s aan de oorspronkeljke net-afgeronde tabel. Ook behoudt de procedure de optelbaarhed. De methode van Felleg s alleen te gebruken voor 1d tabellen. Bovenden heeft deze methode tegenwoordg alleen hstorsche waarde. Men zou deze methode kunnen beschouwen als een voorloper van de beneden te bespreken randomsatemethoden, toegepast bj het specfeke probleem van gecontroleerd afronden n tabellen. In Cox & Ernst (1982), Causey, Cox & Ernst (1985), Cox (1987), Cox & George (1989) wordt (onder andere) het gecontroleerd afronden n tabellen besproken, n het bjzonder voor 2- en 3-dmensonale tabellen met hun margnalen. Optmalserngsmodellen voor dergeljke problemen worden besproken evenals (benaderende) oplossngen. Dt werk s tegenwoordg vooral hstorsch van belang, aangezen het de aanzet vormt tot modernere probleemformulerngen voor gecontroleerd afronden n tabellen. Een andere methode van afronden de gebrukt maakt van kans mechansmen om een oplossng voor een afrondprobleem te vnden s de van Kelly, Golden & Assad (1990, 1993), Kelly, Golden, Assad en Baker (1990) en s gebaseerd op een zogenaamde lokale zoekmethode, zoals smulated annealng of tabu search. Ze hervoor Aarts en Lenstra (1997). Het gaat herbj om heurstsche methoden de gebrukt worden n de combnatorsche optmalserng. Herbj probeert men, begnnend vanut een startposte, ut te komen bj een voor de praktjk acceptabele oplossng, door van toestand naar toestand te sprngen. De oplossng de zo n methode oplevert hoeft echter net per se een optmum te zjn voor het probleem. Het zou wel een goede benaderng moeten zjn. Een andere methode voor het afronden van tabellen maakt gebruk van zogenaamde gerandomseerde algortmen, afkomstg van Raghavan & Thompson (1987); ze ook Motwan & Raghavan (1995). Dergeljke algortmen zjn net alleen geschkt om effcënt benaderngen te vnden van combnatorsche optmalserngsproblemen (zoals gecontroleerd afronden) maar ook om afschattngen te geven over de kwaltet van de gevonden oplossng, n de zn van de (verwachte) afwjkng tot het optmum. Ze Doerr e.a. (2006) en Doerr and Klen (z.j). 17

17 2.3.8 Software De afrondmethode beschreven n de Paragrafen tot en met Paragraaf s geïmplementeerd op het CBS (door Wllem Slus), de de software ook onderhoudt. In fete gaat het her net om een tool met een grafsch nterface maar om een API n de vorm van een.net assembly. Het egenljke optmalsateprobleem wordt opgelost met behulp van het optmalserngstool Xpress. Ook het tabelbevelgngspakket -ARGUS kan tabellen (gecontroleerd) afronden. Ze Hundepool e.a. (2011). -ARGUS kent wel een grafsch user nterface. 2.4 Voorbeelden Voorbeeld: 2d-tabel met margnalen Een 2d-tabel met margnalen de moet worden afgerond komt vaak voor n de praktjk. Het voorbeeld dat we her bekjken kan als typsch worden beschouwd, zj het dat de n de praktjk voorkomende tabellen vaak (veel) groter zjn, dat wl zeggen, meer cellen bevatten. Beschouw Tabel 4 waarn een 2d-tabel te zen s met 2 1d-margnalen en een totaal generaal. Tabel 4. 2d-tabel met randen Fguur 3 geeft het bjbehorende rooster weer. Fguur 3. Rooster van een 2d-tabel met al zjn margnalen {} {1} {2} {1,2} Tabel 4 s n Paragraaf 1 al geïntroduceerd (ze Tabel 1) om te lezer een concreet voorbeeld voor te schotelen van een tabelafrondprobleem. De bedoelng s om deze Tabel 4 af te ronden met afrondbass 5. Een oplossng staat n Tabel 5. 18

18 Tabel 5. Gecontroleerd afgeronde Tabel 4 met afrondbass In een aantal gevallen s een cel waarde net afgerond naar het dchtstbj gelegen veelvoud van 5. Deze cel waarden zjn grjs gekleurd Voorbeeld: ongecontroleerd afronden Utgaande van de ver tabellen weergegeven n Tabel 4 kunnen we laten zen wat er gebeurt als ongecontroleerd wordt afgerond naar het dchtstbjzjnde veelvoud van 5, dus edere cel op zchzelf. Men krjgt dan het resultaat weergegeven n Tabel 6. Tabel 6. Ongecontroleerd afgeronde Tabel 4 met afrondbass Het resultaat s echter net addtef, en dus nconsstent. Rjen 1 en 3 tellen net op tot de bjbehorende rjtotalen. Dt geldt ook voor de kolommen 2 en 4. In Tabel 6 zjn de bjbehorende margnale cel waarden grjs gekleurd om aan te geven dat de bjbehorende rjen en kolommen net addtef zjn. Opmerkng. Ook stochastsch afronden, waarbj celsgewjs wordt afgerond en geen rekenng wordt gehouden met de cumulateve effecten, kan leden tot net-addteve tabellen. De reden s n fete dezelfde als n het n deze paragraaf besproken voorbeeld: er wordt lokaal afgerond en de overall structuur n de tabellen speelt geen rol Voorbeeld: ongecontroleerd afronden en terugrekenbaarhed In dt voorbeeld laten we zen dat het ongecontroleerd afronden tot een stuate kan leden waarbj de oorspronkeljke tabel met zjn margnalen kan worden teruggerekend. Als het doel was om de tabellen te beschermen door toepassng van afrondng, s dt dus een totaal mslukte operate. Het voorbeeld toont aan dat het gecontroleerd afronden net alleen een esthetsch doel dent (n de zn dat afgeronde optelbare tabellen er beter utzen, of handger te gebruken zjn) maar dat dt ook nhoudeljk ets te betekenen heeft. Dt s een klen voorbeeld, en ook atypsch n de dageljkse afrondpraktjk, maar het s wel leerzaam. We starten met Tabel 7. 19

19 Tabel 7. Oorspronkeljke tabel met margnalen Als we deze tabel ongecontroleerd afronden naar dchtstbjzjnde veelvouden van 5, krjgen we Tabel 8. Tabel 8. Tabel 7, ongecontroleerd afgerond Iedere cel waarde n Tabel 8 staat n fete voor een verzamelng mogeljke waarden. Deze zjn weergegeven n Tabel 9. Tabel 9. Mogeljke waarden voor edere cel {3,4,5,6,7} {0,1,2} {8,9,10,11,12} {3,4,5,6,7} {0,1,2} {3,4,5,6,7} {8,9,10,11,12} {3,4,5,6,7} {8,9,10,11,12} In Tabel 9 zjn de mogeljke waarden berekend, door louter per cel te kjken. Als we ook rekenng houden met optelbaarhedsesen kunnen we de mogeljke waarden weer verder nperken. We kjken eerst naar de optelbaarhedsesen horzontaal. Het resultaat staat n Tabel 10. Tabel 10. Mogeljkheden geëlmneerd, eerst rjsgewjs. {6,7} {0,1,2} {8,9} {3,4,5,6,7} {0,1,2} {3,4,5,6,7} {8,9} {3,4} {11,12} Inden we nu kolomsgewjs kjken kunnen we de mogeljkheden verder beperken. Het resultaat staat n Tabel 11. Het bljkt dat de cel waarden n de eerste kolom nu allemaal bekend zjn. Tabel 11. Mogeljkheden geëlmneerd, nu kolomsgewjs {6} {1,2} {8,9} {3} {1,2} {3,4} {9} {3,4} {11,12} 20

20 Door nu wederom rjsgewjs te kjken vnden we een verdere reducte van de mogeljkheden. Van dre neuwe cellen zjn nu ook de cel waarden bekend, naast de dre ut de vorge stap. Het resultaat s te zen n Tabel 12. Tabel 12. Mogeljkheden geëlmneerd, weer rjsgewjs {6} {2} {8} {3} {1} {4} {9} {3,4} {11,12} Door nog een keer kolomsgewjs te rekenen vnden we de mogeljke waarden van alle cellen. Het resultaat staat n Tabel 13. Tabel 13. Oplossng, door weer kolomsgewjs te kjken {6} {2} {8} {3} {1} {4} {9} {3} {12} De oorspronkeljke tabel s nu feteljk gereconstrueerd, omdat Tabel 13 maar één oplossng voorstelt. Merk op dat bj deze herledng van de oorspronkeljke tabel gebruk s gemaakt van bepaalde kenns over het afrondproces. Zo dent bekend te zjn dat de afrondbass 5 s (dat s wel ut het resultaat af te lezen), maar ook dat ongecontroleerd s afgerond Voorbeeld: 3d-tabel met margnalen We beschouwen de tabel n Tabel 14, kolommen 1 en 2. De bjbehorende margnalen zjn weergeven n Tabel 15 tot en met Tabel 21. Het bjbehorende rooster s eerder al getoond, nameljk n Fguur 1, waar het als voorbeeld van zo n dagram s gepresenteerd voor preces dezelfde stuate als we her hebben. De bedoelng s om deze tabellen gecontroleerd af te ronden, met afrondbass 1. Tabel 14. Moedertabel opgespannen door varabelen x, y en z. z=0 y x z=1 y x

21 Tabel 15. x,y-rand som(z) y x Tabel 16. x,z-rand som(y) z x Tabel 17. y,z-rand som(x) z y Tabel 18. x-rand som(y,z) x Tabel 19. y-rand som(x,z) y

22 Tabel 20. z-rand som(x,y) z Tabel 21. Totaal generaal som(x,y,z) De afgeronde tabellen zjn te vnden n Tabel 22 tot en met Tabel 29. De tabellen staan n dezelfde volgorde als hun orgnelen. Het bjschrft van de orgnele tabellen s aangevuld door er afgerond(e) aan toe te voegen. Tabel 22. Afgeronde moedertabel opgespannen door varabelen x, y en z. z=0 y x z=1 y x Tabel 23. Afgeronde x,y-rand som(z) y x Tabel 24. Afgeronde x,z-rand som(y) z x Tabel 25. Afgeronde y,z-rand som(x) z y

23 Tabel 26. Afgeronde x-rand som(y,z) x Tabel 27. Afgeronde y-rand som(x,z) y Tabel 28. Afgeronde z-rand som(x,y) z 5 3 Tabel 29. Afgerond totaal generaal som(x,y,z) Voorbeeld: afronden met moedertabel Dt voorbeeld dent te worden gezen n relate tot dat n Paragraaf Op zchzelf genomen llustreert het voorbeeld n de onderhavge paragraaf hetzelfde als dat n Paragraaf We gaan ut van een tabel de we nu echter laagsgewjs beschrjven als tabellen met hun 1d randen en het bjbehorende totaal generaal. We beschouwen feteljk de dre 2 2 tabellen en hun margnalen, als weergegeven n Tabel 30, Tabel 31 en Tabel 32. Het bjbehorende rooster s als n Fguur 1. Tabel 30. Laag

24 Tabel 31. Laag Tabel 32. Laag 3 = som van laag 1 en laag De bedoelng s om deze tabellen af te ronden met afrondbass 1. Het resultaat s weergegeven n Tabel 33, Tabel 34 en Tabel 35. Tabel 33. Laag 1 afgerond Tabel 34. Laag 2 afgerond Tabel 35. Laag 3 afgerond (= som van laag 1 afgerond en laag 2 afgerond) Voorbeeld: afronden zonder moedertabel In dt voorbeeld gaan we ut van dezelfde tabellen als n het vorge voorbeeld, behalve het bnnenwerk (de moedertabel ). Met andere woorden we hebben dre 2dtabellen en dre 1d-tabellen en een totaal generaal, als n Tabel 36 tot en met Tabel 39 weergegeven. Het bjbehorende rooster s afgebeeld n Fguur 4. 25

25 Fguur 4. Rooster van 3 gekoppelde tabellen {} {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} De randtabellen zjn als volgt. Tabel 36. 1, 2-rand = 2,3-rand Tabel 37. 1,3-rand Tabel rand = 2-rand = 3-rand Tabel 39. Totaal generaal 1.9 Na gecontroleerde afrondng levert dat Tabel 40 tot en met Tabel 43 op. Tabel 40. Afgeronde 1,2-rand = afgeronde 2,3 rand Tabel 41.Afgeronde 1,3-rand

26 Tabel 42. Afgeronde 1-rand = afgeronde 2-rand = afgeronde 3-rand 1 1 Tabel 43. Afgerond totaal generaal 2 Met deze afgeronde tabellen, Tabel 40 tot en met Tabel 43 doet zch de stuate voor dat er geen moedertabel s voor deze tabellen, zoals eenvoudg te verfëren s. Ze ook Cox (2003), waar de afgeronde tabellen set gegeven wordt als voorbeeld van een consstente tabellen set zonder moedertabel. In het onderhavge stuk s dt voorbeeld gebrukt als llustrate van een paradoxale stuate bj het afronden van tabellen. Overgens dent men zch te realseren dat dergeljke consstente tabellen sets zonder moedertabel net een grote utzonderng vormen. Wl men vermjden dat de afgeronde tabellen sets geen moedertabel hebben, dan dent men bj het afronden de oorspronkeljke moedertabel te betrekken. Opmerkng. Dt resultaat s een paradox, dus een schjnbare tegenstrjdghed. Hj ontstaat als men de afgeronde cel waarden als echte waarden neemt. Als men zch echter realseert dat het om afgeronde waarden gaat, en dat eder van deze waarden n fete staat voor een nterval, s er nets aan de hand. Er s dan wel degeljk een moedertabel bj de afgeronde tabellen. Dt s een fete een net lege verzamelng van dergeljke tabellen. De oorspronkeljke moedertabel behoort tot deze verzamelng Voorbeeld: normalseren We kunnen een tabelafrondngsprobleem normalseren (dat wl zeggen n een normaal- of standaardvorm brengen) door bepaalde voorbewerkngen op de tabel toe te passen. Deze voorbewerkte tabel wordt dan afgerond en de utendeljke afgeronde tabel wordt verkregen door de afgeronde voorbewerkte tabel na te bewerken. Deze nabewerkngen zjn te zen als de nversen van de voorbewerkngen. Stel 0 s de gekozen afrondbass. We kunnen een cel waarde c n het bnnenwerk van een tabel schrjven als c n c r, waarbj c c n een geheel getal s en voor r geldt dat c 0 r c. We noemen r het resdu, en als de afrondbass 1 c s ook wel het fractonele deel. Het afronden heeft alleen betrekkng op het resdu van de cel waarde. Dat geldt daarmee ook voor de hele tabel (bnnenwerk). We kunnen overal de veelvouden van de afrondbass aftrekken van de cel waarden, en denovereenkomstg de margnalen aanpassen. Een voorbeeld llustreert de bedoelng. Stel dat de af te ronden tabellen gegeven zjn n Tabel 4 en dat de afrondbass 5 s. De bedoelde reducte ledt tot Tabel

27 Tabel 44. Bnnenwerk van Tabel 4 (modulo 5) en bjbehorende randen Tabel 45 bevat de verschltabellen van Tabel 4 en Tabel 44. Tabel 44 dent te worden afgerond en Tabel 45 dent dan bj het resultaat te worden opgeteld om een afgeronde Tabel 4 te krjgen. Tabel 45. Verschltabellen van Tabel 4 en Tabel Op dt afronden van Tabel 44 gaan we her verder net n. Dat s net anders dan bj andere tabellen. Het voordeel van de her toegepaste reducte echter s dat het bj grote waarden n de begntabel tot een tabel ledt met alle cel waarden n een beperkte range, van 0 tot. Het nadeel s dat het een extra rekenslag vergt. De volgende reducte s door de waarden n Tabel 44 door 5 te delen. Dt levert Tabel 46 op. Tabel 46. Tabel 44 gedeeld door 5 0,6 0,4 0,6 0,6 2,2 0,4 0,8 0 0,2 1,4 0,4 0,4 0,2 0,6 1,6 1,4 1,6 0,8 1,4 5,2 Tabel 46 kan nu worden afgerond met afrondbass geljk 1. Het resultaat van de afrondng staat n Tabel 47. Tabel 47. Tabel 46 gecontroleerd afgerond met afrondbass Een afrondng van de oorspronkeljke tabel krjgt men nu door 5 maal Tabel 47 te nemen en Tabel 45 daarbj op te tellen. Het resultaat s geljk aan Tabel 5. 28

28 Het normalseren s n de praktjk meestal net nodg. Nettemn s het aardg te weten dat afrondproblemen op de beschreven maner gestandaardseerd kunnen worden. 2.5 Kwaltetsndcatoren Een kwaltateve kwaltetsndcator voor een set afgeronde tabellen s of zj addtef, dus optelbaar, zjn of net, als de oorspronkeljke set tabellen dat ook was. Zoals Voorbeeld laat zen kan net-addtvtet van de afgeronde tabellen, bjvoorbeeld verkregen door net-gecontroleerd afronden, mplceren dat men de oorspronkeljke tabellen exact kan terugrekenen. Een kwaltetsndcator de men kan zen als een maat voor nformateverles s de mate waarn edere afgeronde tabel afwjkt van zjn orgneel. Inden men een tabel T als vector weergeeft en T een afrondng s van T (en ook als vector weergegeven) dan s d ( T, T ), met d een metrek, een maat voor het nformateverles. Een voorbeeld van zo n metrek s d ( T, T ) T T 1. Een afgeronde tabel wordt doorgaans gevonden na oplossng van een geschkt optmalserngsprobleem, waarbj een dergeljke afstand de doelfuncte s, en optelbaarhedscondtes onder andere als constrants worden gebrukt. Hoe dchter de procedure een oplossng vndt n de buurt van het optmum, hoe mnder nformateverles er s en hoe beter de kwaltet van de afrondng s. Als de afgeronde tabel bedoeld s om de corresponderende net-afgeronde te beschermen, dan spelen ook overwegngen ut de statstsche bevelgng mee om de kwaltet van de afrondng te beoordelen. Algemeen kan men stellen dat de mate waarn een afgeronde tabel de oorspronkeljke tabel bevelgt een kwaltateve kwaltetsndcator s. Ervan utgaande dat de regels de het CBS hanteert om tabellen te bevelgen deugen, dan kan men stellen dat als de juste procedure s gevolgd voor het afronden van een tabel, en men de juste parameters heeft gebrukt, de afgeronde tabellen velg zjn. De keuze van de afrondbass kan men relateren aan de bevelgngsntervallen voor gevoelge cellen n de tabellen. (Ze Wllenborg & De Waal (2001, Paragraaf 6.5) voor een besprekng van dt onderwerp. Of een afgeronde tabel velg s zou geverfeerd moeten worden door een onafhankeljke deskundge de de gevolge afrondprocedure heeft beoordeeld en goed heeft bevonden. Uteraard s dt alles mensenwerk en ook de controleur kan fouten maken. Maar n de praktjk ljkt dt een geschkte werkwjze om er zeker van te zjn dat een toegepaste afrondngsprocedure velge tabellen heeft opgeleverd. 29

29 3. Concluse Afronden van tabellen wordt op het CBS op dverse plaatsen gebrukt en n dverse processtappen. Het formaat van de af te ronden tabellen (n termen van het aantal cellen betrokken bj de afrondng) kan ook zeer varëren, van enkele tentallen tot vele mljoenen. In het bovenstaande hebben we een aantal oplossngen beschreven voor het afronden van tabellen. Dt s geen utputtende ljst. De vraag drngt zch op wat de beste methode s, zo de er al s. Deze vraag kan egenljk net beantwoord worden, omdat dt enerzjds van de specfeke doelstellngen van het afrondprobleem n kweste afhangt, en anderzjds van de grootte van het afrondprobleem. Het resultaat van een afrondng moet door een gebruker bekeken worden, de vervolgens moet beslssen of hj daarmee kan leven, of dat het afrondprobleem ets veranderd moet worden, of dat zelfs een heel ander afrondalgortme moet worden gebrukt. Er zjn een aantal tools op het CBS beschkbaar waarmee tabellen kunnen worden afgerond (τ-argus, WnAdjust). Deze tools zjn net geschkt voor zeer grote afrondproblemen. Voor dergeljke problemen s een maatwerkoplossng nodg (ze Paragraaf 2.3.8). 30

30 4. Lteratuur Aarts, E. & Lenstra, J.K. (1997), Local Search n Combnatoral Optmzaton, Wley. Castro, J. (2006), Mnmum-dstance Controlled Perturbaton Methods for Largescale Tabular Data Protecton. European Journal of Operatonal Research 171, Castro, J. (2011), Extendng Controlled Tabular Adjustment for Non-addtve Tabular Data wth Negatve Protecton Levels. Statstcs and Operatons Research Transactons 35, Causey, B.D., Cox, L.H. & Ernst, L.R. (1985), Applcatons of Transportaton Theory to Statstcal Problems. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 80, Cox, L.H. (1987), A Constructve Procedure for Unbased Controlled Roundng. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 82, Cox, L.H. (2003), On Propertes of Multdmensonal Tables. Journal of Statstcal Plannng and Inference 117, Cox, L.H. & Ernst, L.R. (1982), Controlled Roundng. INFOR 20, Cox, L.H. & George, J.A. (1989), Controlled roundng for Tables wth Subtotals. Annals of Operatons Research 20, Dandekar, R.A. & Cox, L.H. (2002), Synthetc Tabular Data: An Alternatve to Complementary Cell Suppresson. Manuscrpt, Energy Informaton Admnstraton, U.S. Department of Energy. Doerr, B. & Klen, C. (z.j.), Unbased Roundng of Ratonal Matrces. Report, Max- Planck-Insttut für Informatk, Saarbrücken, BRD. Doerr, B., Fredrch, T., Klen, C., Osbld, R. (2006), Unbased Matrx Roundng. In: 10-th Scandnavan Workshop on Algorthm Theory, Rga, Latva, Lecture Notes n Computer Scence, Sprnger-Verlag, Vol. 4059, Felleg, I.P. (1975), Controlled Random Roundng. Survey Methodology 1, Fschett, M & Salazar-González, J.-J. (1998), Computatonal Experence wth the Controlled Roundng Problem n Statstcal Dsclosure Control. Journal of Offcal Statstcs 14, Hundepool, A., Van de Weterng, A., Ramaswamy, R., De Wolf, P.-P., Gessng, S., Fschett, M., Salazar-González, J.-J, Castro, J. & Lowthan, Ph. (2011), -ARGUS (verson 3.5) User s Manual. CBS, The Hague. Kelly, J.P., Golden, B.L. & Assad, A.A. (1990), Usng Smulated Annealng to Solve Controlled Roundng Problems. ORSA Journal on Computng 2,