Financiële Algebra. wegens inflatie kan geld aan koopkracht verliezen, een zekere 1 nu wordt verkozen boven een onzekere 1 later.

Transcriptie

1 Finnciële Algebr Het is duidelijk dt geld een (positieve) tijdwrde heeft: een individu verkiest consumptie nu boven een toekomstige consumptie en verwcht een beloning voor de derving vn onmiddellijke consumptie, wegens infltie kn geld n koopkrcht verliezen, een zekere 1 nu wordt verkozen boven een onzekere 1 lter. We beschrijven eerst hoe deze tijdwrde kn uitgedrukt worden voor één ksstroom. Hierbij gn we in het bijzonder in op smengestelde intrestrekening, wrn ook nominle rentevoeten verrekend per deelperiode n bod komen. Vervolgens bekijken we de situtie wrbij meerdere ksstromen betrokken zijn. N een lgemene bespreking vn nnuïteiten behndelen we slotwrde en nvngswrde vn (constnt ddelijk ingnde) postnumerndo perpetuïteiten en nnuïteiten. Hiern komen prenumerndo nnuïteiten en exponentieel groeiende perpetuïteiten n bod, met ls toepssing het Dividend Discount Model voor ndelen. Het gebruik en de berekening vn netto contnte wrde ( net present vlue ) en interne rentbiliteit ( internl rte of return ) komen vervolgens n bod. We bespreken nsluitend obligties en het gebruik vn finnciële functies in Excel. Tlrijke opgven ronden het geheel f. Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 1

2 1 Tijdwrde vn geld: één ksstroom 1.1 Inleiding De situtie wrbij je in ruil voor op het moment 0 er ontvngt op het moment 2, schemtisch voorgesteld door een tijdlijn: Tijd (in jr) 0 2 Wrde (in ) heeft een return op 2 jr vn = = 0,2 0 ( 1 ) = 20% Een dergelijke return heeft ndelen in verbnd met de mnier vn toewijzen over de verschillende jren en levert moeilijk vergelijkbre getllen op. Wt is nmelijk beter: 10% op 1 jr of 20% op 2 jr? Drom wordt de rente 1 ) gennuliseerd en 2 ) betrokken op de beginwrde ( intrestrekening ) of betrokken op de eindwrde ( discontorekenen ). Het lineir nnuliseren levert de enkelvoudige intrest en de hndelsdiscontovoet op, terwijl exponentieel nnuliseren leidt tot smengestelde intrest en wiskundig disconto. De corresponderende enkelvoudige intrestvoet k wordt bepld door de verkregen rente lineir te nnuliseren en te betrekken op de nvngswrde 1000: k = = = 0,1 = 10% met (boek)wrde W t op het moment t gelijk n 1000 ( 1 + t k ). Opmerking: we noteren in deze tekst getllen met een komm, wrbij een sptie de scheiding is voor duizendtllen. We wijzen hier op het feit dt je zeer voorzichtig moet zijn met het gebruik vn punten en komm s in Excel. Deze worden bepld door de regionle instellingen in het (Windows)besturingssysteem. Het symbool / 1 lees je ls peruun ( per une d.w.z. per munteenheid, hier 1) en wordt meestl weggelten: 0,1 stt voor 10%. In formules hnteren we rentevoeten dn ook steeds ls een perunge en niet ls een percentge. 2 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

3 De overeenkomstige hndelsdiscontovoet δ wordt bekomen door de lineir gennuliseerde rente te betrekken op de slotwrde 1200: met boekwrde δ = = 8,33% ( ) Wt = t δ voor 0 t 2. De smengestelde intrestvoet r wordt bepld uit d.w.z = 1000 ( 1 + r ) 2, r = 1,2 1 9,54%. Als boekwrde bekomen we = ( + ) W r. t t Het wiskundige of smengestelde disconto d wordt gevonden uit ( ) 1000 = d. 1.2 Alleen smengestelde intrestrekening is consistent Wt betreft renteberekeningen is lleen smengestelde intrestrekening consistent. Beschouw de volgende situtie (over een periode vn twee jr): een belegging vn 100 brengt gedurende het eerste jr 100% op, mr het volgende jr is er een verlies vn 50%. Men zegt hierbij soms (foutief) dt dit op 2 jr een rendement geeft vn 100% - 50% = 50%, en dus op 1 jr een rendement vn 25%. In werkelijkheid werd 100 n 1 jr 200, en vervolgens op het einde vn het tweede jr 100, wt een rendement r vn 0% oplevert: 100 (1 + 1) (1-0.5) = 100 (1+ r) 2. 2 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 3

4 1.3 Smengestelde intrest In wt volgt concentreren we ons op de consistente mnier vn berekenen vi smengestelde intrest. De lgemene formule voor de situtie wrbij je in ruil voor een bedrg V 0 op het moment 0 een bedrg V n bekomt op het moment n, schemtisch voorgesteld door Tijd (in jr) 0 n Wrde (in ) V 0 V n wordt gegeven door ( ) V = V 1 + r n. n 0 Bovenstnde formule ( ) n 0 V = V 1 + r n noemt men de kpitlistieformule. Deze formule berekent bij een gekende nvngswrde V 0, duur n (jr) en (smengestelde) rentevoet r de slotwrde: men spreekt over oprenten. In plts vn nvngswrde gebruikt men ook de term contnte wrde (of ctuele wrde, present vlue ) en in plts vn slotwrde spreekt men over de toekomstige wrde ( future vlue ). Uit deze formule kunnen onmiddellijk een ntl ndere worden fgeleid, die telkens bij drie gegeven wrden uit de vier mogelijke V, V, n, r de vierde wrde berekent. ( ) 0 n Zo bekomen we de ctulistieformule: ( ) V = V 1 + r, 0 n n de rendementsformule: en de looptijdformule: Vn r = n 1 V 0 Vn ln V 0 n =. ln 1 r ( + ) 4 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

5 1.4 Gelijkwrdige rentevoeten Nst de (jrlijks) smengestelde rentevoet r is het mogelijk dt een finnciële instelling je een rentevoet per mnd voorschotelt (zeg 0,5%). In een dergelijk gevl is 12 0,5% = 6% de nominle rentevoet verrekend per mnd (de zogenmde mndelijks smengestelde rentevoet). In werkelijkheid wordt de corresponderende effectieve (jrlijkse) rentevoet r gevonden uit r = 1,005. Indien (lgemeen) een jr wordt onderverdeeld in q (even lnge) deelperiodes en wnneer de rentevoet per deelperiode gegeven wordt door p / 1, dn noemt men j ( q) : = q p de nominle rentevoet verrekend per deelperiode [ APR: Annul Percentge Rte, per deelperiode smengestelde rentevoet ]. De overeenkomstige effectieve of reële (jrlijkse) rentevoet r [ EAR: Effective Annul Percentge Rte, WR of WRR: Werkelijke (Reële) Rentevoet, APY: Annul Percentge Yield ] wordt gevonden uit q 1 + r = ( 1 + p) = 1 + q j( ) q q. Als limietgevl wnneer q nr + ndert, spreekt men over een continu smengestelde rentevoet Uit het feit dt volgt J: = j. ( + ) J 1 + r = lim 1 + = e q + q q J J= ln(1+r) en J r = e 1. Bij een opgegeven nominle rentevoet J zonder specifictie vn de kpitlistieperiode drukt deze ltste formule uit dt e 1 de mximle J corresponderende effectieve jrrentevoet is. Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 5

6 1.5 Infltie en belstingen Infltie De term nominl treedt ook nr voor in een ndere context, nl. deze vn verlies n koopkrcht. Veronderstel dt we te mken hebben met een uniforme infltievoet g / 1 op jrbsis, d.w.z. dt je om op 1 jr vnf nu over dezelfde koopkrcht te beschikken ls deze vn 1 momenteel je op dt tijdstip t = 1 een bedrg vn 1 + g moet bezitten (en nloog voor de volgende jren). In een dergelijk gevl is er sprke vn een nominle rentevoet i en een reële rentevoet i R (beide op jrbsis), wrbij het verbnd tussen beide gegeven wordt door 1 + i 1 + ir = 1 + g d.w.z. i R i g = 1 + g Indien g zeer klein is, dn gebruikt men de bendering i R i g. Voor een overzicht vn lle mndelijkse infltiecijfers vnf 1952 zie en Bijkomende informtie kn je rdplegen op de site vn de Europese Centrle Bnk Belstingen Als er een belstingperunge T / 1 geldt, dn is de netto rentevoet n belstingen gelijk n deze vóór belsting vermenigvuldigd met de fctor 1 T. 6 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

7 2 Tijdwrde vn geld: meerdere ksstromen Een (constnte) nnuïteit is een periodische (jrlijkse) betling vn een vst bedrg, gedurende n jr, wrbij dit bedrg vnf de storting smengestelde intrest opbrengt n r / 1 (per jr). Indien l deze betlingen gebeuren bij het einde vn het jr, spreekt men over een postnumerndo nnuïteit, zols bij het schem Tijd n 1 n Wrde... Een prenumerndo nnuïteit betreft betlingen die telkens gebeuren bij het begin vn het jr: Tijd n 1 n Wrde... We spreken f dt n ksstromen (i.e. n stortingen) overeenstemmen met een duur vn n jr voor de nnuïteit. Alle nnuïteiten kunnen ddelijk ingnd zijn, uitgesteld of vervroegd. Een ddelijk ingnde nnuïteit betekent dt de eerste betling gebeurt tijdens het eerstvolgende jr vnf nu (d.w.z. bij het einde vn het jr voor een postnumerndo en bij het begin [=nu] voor een prenumerndo nnuïteit). Een m jr uitgestelde nnuïteit impliceert dt het moment vn de eerste betling berekend wordt m jr vnf nu. Bij een m jr vervroegde nnuïteit werd de eerste storting berekend vnf m jr vóór nu. Een perpetuïteit is een eeuwigdurende nnuïteit. Zonder verdere nduidingen stt een nnuïteit vnf nu voor een ddelijk ingnde, constnte, postnumerndo nnuïteit. Dit wordt nloog uitgebreid nr perpetuïteiten. Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 7

8 2.1 Anvngswrde vn een perpetuïteit Indien je op moment 0 1 uitzet n smengestelde intrest r (peruun), r > 0, en je elk volgend jr de bekomen rente vn deze rekening hlt, bekom je eeuwigdurend het volgende tijdschem: Tijd Wrde r r r... nvngswrde 1 of equivlent Tijd Wrde nvngswrde 1/r wt impliceert dt voor een perpetuïteit de beginwrde gegeven wordt door Tijd Wrde... nvngswrde ( ) W 0 1 W ( ) = ls r > 0. r 0 Uit deze formule voor een perpetuïteit kn je eenvoudig de formule fleiden voor de nvngswrde vn een nnuïteit met looptijd n jr. 8 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

9 2.2 Anvngswrde vn een nnuïteit Tijd n 1 n Wrde... nvngswrde W 0 ( ) n r W0 =. r nl. post, duur n post, duur post, duur n 1 1 n W0 = W0 W0 ( 1 + r) = ( 1 + r). r r Jr 1 2 n n+1 n+2 op t=0 Perp. A Wrde Perp. B 1 1 ( + ) 1 r 1 1 r r r r r Ann ( ) n n op t=n 1 r Men gebruikt soms de nottie voor de contnte wrde- n r intrestfctor voor nnuïteiten ( ) r r n. Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 9

10 2.3 Slotwrde vn een nnuïteit Tijd n 1 n Wrde... slotwrde W n Uit de slotwrdeformule voor smengestelde intrest volgt onmiddellijk n 0 ( ) n W = W 1 + r W = n ( ) n 1 + r 1 Soms noteert men + n 1 r 1, en n r r spreekt men over de toekomstige wrde-intrestfctor voor nnuïteiten. r s voor deze nnuïteitsfctor ( ) 2.4 Contnte wrde en slotwrde voor prenumerndo (ddelijk ingnde) nnuïteiten [ nnuity due ] Tijd n 1 n Wrde... nvngswrde W 0 slotwrde W n Hierbij geldt en W = + W pre,duurn post,duurn W = W pre,duurn post,duurn+ 1 n n 10 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

11 De contnte en toekomstige wrde-intrestfctoren voor prenumerndo nnuïteiten worden respectievelijk genoteerd ls ɺɺ n r en ɺɺ s, wrbij en ɺɺ n r = 1 + n r n+ 1 r n 1 r ɺɺ s = s 1. n r 2.5 Annuïteiten met ndere dn jrlijkse betlingen Wnneer we te mken hebben met bijvoorbeeld mndelijkse betlingen ( mensuliteiten ), dn wordt het verbnd tussen de mndelijkse rentevoet p en de corresponderende reële jrlijkse rentevoet r gegeven door r = (1 + p). Als er gedurende n jr mndelijks een bedrg M betld wordt, dn is bijvoorbeeld de nvngswrde gelijk n 1 (1 + p) M p 12n. Alle formules in verbnd met jrlijkse betlingen zijn eenvoudig om te zetten wnneer je beseft dt, r en n stn voor respectievelijk het periodiek bedrg, de rentevoet per periode en het ntl periodes (gemeten met deze periode ls eenheid). 2.6 Exponentieel groeiende perpetuïteit Beschouw een exponentieel groeiende perpetuïteit met groeivoet g 0 1 en rentevoet r 0 1: Tijd Wrde (1+g) 2 Dn geldt nvngswrde ( ) W 0 (1+g)... Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 11

12 ls d.w.z. ls Bijgevolg is 2 ( ) (1 + g) (1 + g) W0 = r (1 r) 2 (1 r) g (1 + g) = r (1 + r) (1 + r) 1 = 1 + r 1 + g r 1 + g < 1, 1 + r g < r. W ( ) 0 = r g ls g < r. 2.7 Opmerking Het is ook mogelijk om vertrekkend vn de kennis vn de slotwrdeformule voor een nnuïteit de formule voor een perpetuïteit te beplen: Tijd n 1 n Wrde... slotwrde W n W = + (1 + r) + (1 + r) + + (1 + r) + (1 + r) + (1 + r) n ( ) 2 n 3 n 2 n 1 = 1 + (1 + r) + (1 + r) + + (1 + r) + (1 + r) + (1 + r) 1 + r 1 = (1 + r) 1 d.w.z. n 2 n 3 n 2 n 1 W = n ( ) n 1 + r 1 De perpetuïteitformule voor r > 0 volgt uit het feit dt lim n + r ( ) r 1 = r r. n 12 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

13 3 Andelen 3.1 Constnte dividenden groei-model voor ndelen Een toepssing vn de nvngswrdeformule voor een exponentieel groeiende perpetuïteit vind je bij het constnte dividenden groei-model voor ndelen [DDM: Dividend Discount Model, Gordon of Gordon- Shpiro groeimodel]. Dit model geeft n welke de wrde is vn een ndeel wnneer het betreffende dividend een constnte (eeuwigdurende) groeivoet g 0 1 heeft en ndeelhouders een rendement r 0 1 eisen voor dit ndeel. Noteer D t voor de wrde vn het dividend op het moment t, dn geldt en Dt + 1 = D t (1 + g) = D 0 (1 + g) P 0 D1 = ls g < r r g t + 1 wrbij P 0 de huidige prijs vn dit ndeel weergeeft (op het moment 0, net n de uitkering vn het dividend D 0). Deze formule bij constnte groei vn dividenden kn herschreven worden ls r D1 = + g, P 0 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 13

14 d.w.z. dt het vereist rendement gelijk is n het dividendrendement D 1 plus het kpitlwinstrendement (g). P0 In de veronderstelling vn een vste winstreservering wrbij het ingehouden gedeelte vn de winst geherinvesteerd wordt in projecten met eenzelfde rendement bekomen we een dergelijke constnte groei voor dividenden. Neem n dt elk jr b / 1 vn de winst wordt ingehouden, d.w.z. dt D = (1 b) E t wrbij E t de winst gedurende jr t voorstelt ( Ernings ). Men spreekt over b ls de plowbck rtio. Verder wordt het ingehouden gedeelte ( be t ) geïnvesteerd in projecten met rendement R / 1 zodt t Dn geldt E t + 1 = (1 + br) E t. D = (1 b) E = (1 b)(1 + br) E = (1 + br) D, t + 1 t + 1 t t wrdoor g = br. 3.2 Koers/winst verhouding bij ndelen Een ndere veelgebruikte rtio in deze context is de koers/winstverhouding ( price/ernings rtio ) gegeven door. Onder boven- P0 E stnde voorwrden geldt P0 1 b = E r br, wt in het specile gevl vn r = R leidt tot 1 P0 1 = E r, 1 de gebruikelijke interprettie vn koers/winst-verhouding ls een omgekeerd rendement Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

15 We beschouwen een VOORBEELD met E 1 = 4, r = 16% wrbij 60% vn de winst geherinvesteerd wordt in projecten met een rendement R = 20%. P0 Dn is b = 0,6 zodt g = br = 0,12 en P 0 = 40 wrdoor = 10. E Wnneer er geen mogelijkheid ws voor deze onderneming om te investeren in projecten met een rendement R > 16%, dn bevonden we ons in het specile gevl r = R en zou de prijs nu gelijk zijn n E1 4 = = 25. r 0,16 Wegens de mogelijkheid tot investeren in projecten met rendement 20%, kent deze onderneming groeimogelijkheden. Men spreekt hierbij over een huidige wrde vn de groeimogelijkheden gelijk n 15 (= 40 25) [ Present Vlue of Growth Opportunities ]. 1 Koers-winstverhouding BEL 20 ( ) Bron: Zie bv. voor voortschrijdend gemiddelde koers-winstverhoudingen in de jren 2007, 2008, 2009, 2010 en 2011 gegeven voor ndelen genoteerd n de AEX, AMX, BEL 20, CAC 40, DAX, FTSE 100 en OMX Stockholm gemiddelde K/W per sector op dtum vn 6 mei Op deze site vind je nst de koerswinstverhouding, ook het dividendrendement en de winst per ndeel vn lle ndelen die genoteerd zijn n de beurzen vn Amsterdm (AEX, AMX), Brussel (BEL 20), Prijs (CAC 40), Frnkfurt (DAX), Londen (FTSE 100) en Stockholm (OMX). Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 15

16 Bron: We wijzen tenslotte op het feit dt een ntl gepubliceerde P0 koers/winst-verhoudingen gebruik mken vn de formule en dus E eerder een retrospectieve rtio geven dn een prospectieve. The price-to-ernings rtio (P/E) is vlution method used to compre compny s current shre price to its per-shre ernings. The mrket vlue per shre is the current trding price for one shre in compny, reltively strightforwrd definition. However, ernings per shre (EPS) my not be s intuitive for most investors. The more trditionl nd widely used version of the EPS clcultion comes from the previous four qurters of the price-to-ernings rtio, clled triling P/E. Another vrition of the EPS cn be clculted using forwrd P/E, estimting the ernings for the upcoming four qurters. Both sides hve their dvntges, with the triling P/E pproch using ctul dt nd the forwrd P/E predicting possible outcomes for the stock. Forwrd P/E uses the future ernings guidnce insted of triling figures nd is useful for compring current ernings to future ernings, s well s gining clerer picture of wht ernings will look like without chrges nd other ccounting djustments. There re problems with forwrd P/E, however. A compny's stted estimte could hve ny number of motivtions behind it. Most compnies could underestimte ernings so they re set up to bet the estimte P/E when the next qurter's ernings re nnounced. Others my overstte the estimte nd lter djust it going into their next ernings nnouncement. Also, not only do compnies provide estimtes, but nlysts do s well, nd these estimtes cn be different. If you're using forwrd P/E s centrl bsis of your investment thesis, reserch the compnies regulrly. If the compny updtes its guidnce, this will ffect the forwrd P/E in wy tht might mke you reconsider your opinion. Triling P/E relies on wht is lredy done. It uses the current shre price nd divides by the totl EPS ernings over the pst 12 months: "P/E (ttm)" where ttm is Wll Street cronym for triling twelf months. It's the most populr P/E metric becuse it's the most objective. Since it uses 0 16 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

17 wht lredy hppened, there's little room for debte, ssuming the compny reported ernings ccurtely. Some investors prefer to look t the triling P/E becuse they don't trust somebody else's ernings estimtes. Triling P/E is not without problems, however. Wht compny did in the pst is not necessrily n indictor of wht it will do in the future. Most investors hve horror stories of losing big fter believing tht compny would return to its former glory. Investors should commit money bsed on future ernings power, not the pst. The fct tht the EPS number remins constnt while the stock prices fluctute is problem s well. If mjor compny event drives the stock price significntly higher or lower, the triling P/E will be less ble to reflect those chnges. (see nd ) Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 17

18 4 Investeringsbeslissingen: netto contnte wrde en interne rentbiliteit Bij het beoordelen vn investeringsprojecten zijn twee vrgen belngrijk: 1 ) is een project rendbel, d.w.z. is het de moeite wrd om de voorgestelde investering uit te voeren? 2 ) hoe rngschik je de rendbele projecten in volgorde vn wenselijkheid om uit te voeren (bv. bij het slechts kunnen beschikken over een beperkte hoeveelheid te investeren kpitl)? Nst terugbetlingstijd ( pybck ) wordt hier meestl gebruik gemkt vn de begrippen netto contnte wrde ( net present vlue [NPV], netto huidige wrde of netto ctuele wrde) en interne rentbiliteit ( internl rte of return [IRR] ). We bespreken deze twee begrippen, wrbij enkel de netto contnte wrde methode een goed ntwoord geeft op beide bovengestelde vrgen. We beschouwen hierbij ls voorbeeld een project dt jrlijks de volgende ksstromen genereert over de looptijd 5 jr: jr wrbij negtieve bedrgen wijzen op uitgven, positieve op inkomsten en wrbij de ksstroom in jr t genoteerd wordt ls C t. Bij een gegeven mrktrentevoet r, d.w.z. de opportuniteitskost voor kpitl die we voor de eenvoud gelijk nemen n zowel de rentevoet voor lenen ls deze voor beleggen, wordt de netto contnte wrde [ Net Present Vlue ] gedefinieerd ls de huidige wrde vn l deze ksstromen: 5 1 (1 + r) NPV(r) = r of lgemeen bij een looptijd n jr ls n t C t (1 r). t = 0 NPV(r) = + Bij een mrktrentevoet r gelijk n 10% geldt NPV(0,1) 137,24. Als we de wrde vn deze netto contnte wrde uitrekenen voor elke mogelijke wrde vn r bekomen we een kromme: het netto contnte wrde profiel 18 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

19 Netto Contnte Wrde NPV mrktrentevoet Indien de vergelijking NPV(r) = 0 slechts één zinvolle oplossing heeft, dn noemt men deze oplossing de interne rentbiliteit IRR [ internl rte of return ] vn dit project. Voor bovenstnd voorbeeld geldt IRR 15,24% (of 0,1524 / 1 ) De berekening vn deze IRR kn gebeuren vi een itertieve techniek steunend op lineire interpoltie zols beschreven ls volgt. Door te experimenteren met verschillende wrden vn r in NPV(r) zoek je twee wrde en 1 wrvoor respectievelijk NPV() > 0 en NPV( 1 ) < 0. Neem hier = 0,15 en 1 = 0,16: NPV NPV(0,15) 5,65 NPV(0,16) - 17, r We benderen de grfiek tussen (, NPV()) en ( 1, NPV( 1 )) door het lijnstuk dt deze twee punten met elkr verbindt. Het snijpunt ( 2, 0) Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 19

20 vn deze rechte met de X-s wordt gevonden door lineire interpoltie, y d.w.z. door de richtingscoëfficiënt vn deze rechte te berekenen ls x vi de punten (, NPV()) en ( 1, NPV( 1 )) en vervolgens vi (, NPV()) en ( 2, 0): d.w.z. i.e. of numeriek NPV( 1) NPV() 0 NPV() = 1 2 NPV() ( ) 1 2 = NPV( 1 ) NPV() NPV() ( ) 1 2 = NPV( 1 ) NPV() 2 0,1524. Indien we de berekeningen uitvoeren tot op 7 cijfers n het decimle punt, dn bekomen we 2 0, terwijl het resultt vn NPV hiervoor tot op 6 cijfers nuwkeurig gelijk is n NPV( 2 ) -0, Door de bovenstnde procedure te hernemen met en 2 i.p.v. met en 1 levert dit de volgende bendering op voor een wrde 3 : 3 0, wrbij NPV NPV( 3 ) - 0, r 20 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

21 Door op een dergelijke wijze itertief te werk te gn en telkens twee wrden te nemen met een verschillend teken voor de bijhorende NPVresultten, bekom je chtereenvolgens 4 0, , De itertie stopt zodr je twee wrden vindt die gelijk zijn (tot op een ntl decimlen), zodt een bendering voor IRR op deze wijze gegeven wordt door 0, Als ndere benderingstechniek kn je de regel vn Newton-Rphson hnteren, wrbij uitgegn wordt vn het snijpunt vn de rklijn in (, NPV()) n de grfiek vn NPV met de X-s om 2 te beplen, f() 2 = met f = NPV, f') wrn met deze 2 wordt verder gewerkt (zols in Excel tot op 7 decimlen): IRR 0, ,24% Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 21

22 Gebruik voor evlutie vn investeringsprojecten Anvrdingsprincipe NPV Een investeringsproject is te nvrden ls de netto contnte wrde ervn groter is dn of gelijk is n 0. Rngschikking vi NPV Onderling onfhnkelijke projecten met dezelfde looptijd mg je rngschikken op bsis vn grootte vn NPV, d.w.z. dt een project met een hoge NPV verkozen wordt over een project met lge NPV. Gezien NPV gedefinieerd werd ls de totle huidige wrde vn lle ksstromen uit het project, d.w.z. equivlente csh in de hnd is dit voor de hnd liggend. IRR Een project met IRR r is nvrdbr ls het om een investeringsproject gt, d.w.z. een belegging (mr de regel keert om ls het een lening betreft!). Projecten mg je niet rngschikken vi IRR! Beschouw bv. de volgende projecten met gegeven ksstromen en met r = 10%: A B ksstroom jr ksstroom jr NPV(r) 8, IRR 9 (= 900%) 1 (=100%) 22 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

23 5 Obligties Een obligtie is een schuldbekentenis vn een bedrijf, overheidsinstelling of stt. Wnneer een dergelijke instelling geld nodig heeft, kn die een beroep doen op het publiek dt zijn sprgeld op lngere termijn wil beleggen. Dt gebeurt vi het uitschrijven vn een obligtielening. Het bedrg dt ontleend wordt, wordt opgedeeld in kleine coupures, wrop beleggers kunnen intekenen. Bij een gewone obligtie bestond vroeger het eigenlijke wrdeppier uit een mntel (met vermelding vn het betrokken kpitl, d.w.z. de nominle wrde vn de obligtie) en een couponbld, mr deze effecten werden gedemteriliseerd (i.e. zij bestn nu slechts onder de vorm vn een inschrijving op rekening). N 31 december 2013 bleven lleen de gedemteriliseerde en de nomintieve effecten bestn en verdween het effect n toonder. Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 23

24 Effect n toonder: een effect op ppier, dt mterieel kn worden ngehouden of op een effectenrekening kn worden gepltst. Deze mogen vndg niet meer mterieel geleverd worden. Gedemteriliseerd effect: een effect dt bij een erkende rekeninghouder op een effectenrekening wordt ngehouden. Nomintief effect: een effect dt ingeschreven is in een door de emittent bijgehouden nomintief register. De wet vn 14/12/2005 voorziet in de fschffing vn de effecten n toonder. Door het KB vn 12/1/2006 wordt het werkterrein vn het effectenvereffeningsstelsel uitgebreid met beplde vennootschpsobligties om deze demterilistie mogelijk te mken (zie o.. de site vn Ntionle Bnk vn België _08_05_00.htm?l=nl of ). Wt de rentevergoeding betreft, zijn er verschillende mogelijkheden: bij vstrentende obligties ligt de couponrente vst tot de eindvervldg; bij floting rte notes wordt de rentevergoeding periodiek ngepst n de mrktrente; indien de intresten meermls per jr worden uitgekeerd, is deze couponrente een schijnbre d.w.z. nominle rentevoet j (q) verrekend per deelperiode; een nulcoupon obligtie heeft couponrente 0%. Er zijn geen periodieke uitbetlingen vn coupons en drom worden ze verkocht met een grote korting op de nominle wrde. In plts vn coupons ontvng je ls opbrengst op de vervldg een hogere terugbetlingswrde. De werkelijke rentevoet of het cturieel rendement y ( yield to mturity ) is de rentevoet wrbij de nkoopprijs P vn de obligtie gelijk is n de ctuele wrde vn de bedrgen die de koper ls obligtiebezitter nog zl ontvngen tot de eindvervldg. Beschouw een vstrentende obligtie met looptijd n (jr), nominle wrde (gelijk n de terugbetlingsprijs) V nom, jrlijkse couponrente c / 1 en prijs P (op tijdstip 0). Noem C t het uitgekeerde bedrg op moment t een ntuurlijk getl tussen 1 en n), dn geldt terwijl C V c V V ( 1 c) C = C = = C = V c 1 2 n 1 nom = + = +. n nom nom nom Het cturieel rendement y wordt gevonden uit P n t Ct ( 1 y). = + t = 1 Deze berekening kn in Excel gebeuren vi de functie RATE, YIELD of IRR [zie supr]. 24 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

25 Indien het cturieel rendement y gekend is, kn je de functie PRICE of PV gebruiken om P te beplen. Merk op dt bij een semestriële couponuitbetling c een nominle rentevoet is verrekend per semester (een semestrieel smengestelde rentevoet): c = j (2), wrbij de resterende formules hierop fgestemd worden. Nst de couponrentevoet en het cturieel rendement ( rendement op eindvervldg, yield to mturity ), te beplen vi o.. = RATE, = YIELD of = IRR, bestt ook het lopend rendement (Engelstlig: current yield ), d.w.z. de coupon gedeeld door de huidige prijs: Het behlde rendement op één jr wordt gegeven door Zo is Merk op dt en Voor een overzicht rond lineire obligties (OLO s: Obligtions Linéires - Lineire Obligties) verwijzen we nr Sinds hun lncering in 1989 zijn deze lineire obligties uitgegroeid tot de belngrijkste obligtiemrkt in België. Het gt om overheidsobligties met gestndrdiseerde kenmerken die vi veilingen gepltst worden bij institutionele beleggers. Ook bij Febelfin, de overkoepelende federtie voor de Belgische finnciele sector, vind je informtie over beleggingsinstrumenten (zie Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 25

26 6 Finnciële functies in Excel In een rekenbld zols Excel moet je rekening houden met de fsprk dt uitgnde ksstromen ls negtieve getllen worden ingegeven en inkomende ksstromen ls positieve getllen. In wt volgt gebruiken we een Engelstlige versie vn Excel, wrbij we de rgumenten in een functie scheiden door een komm (en het decimlteken een punt is). Indien je een Nederlndstlige Excel gebruikt, dien je hier puntkomm s te pltsen. Bij het einde vn deze prgrf geven we een vertling vn het Engels nr het Nederlnds voor de vermelde functies. De formules in verbnd met tijdwrde voor geld voor smengestelde intrest en voor nnuïteiten n n 0 ( ) n V = V 1 + r W = s = n r ( ) n 1 + r 1 r ( ) n r W0 = = n r r worden respectievelijk weergegeven door V n = FV (r, n, 0, V 0 ), en W n = FV (r, n, ) W 0 = PV (r, n, ). Hierbij worden de functies FV [ Future Vlue ] en PV [ Present Vlue ] gebruikt: = FV (rte, nper, pmt, pv, type) = PV (rte, nper, pmt, fv, type) met verplichte rgumenten vetgedrukt weergegeven. De nmen vn de rgumenten spreken voor zich, uitgenomen type wrmee je specificeert of het gt om postnumerndo [type = 0 of (stndrd) weggelten] of prenumerndo betlingen [type = 1]. 26 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)

27 De klssieke vrgstukken wrbij je uit de kennis vn op één n lle betrokken ingrediënten uit een formule deze onbekende beplt, kunnen opgelost worden vi deze functies of vi = RATE (nper, pmt, pv, fv, type, guess), en = NPER (rte, pmt, pv, fv, type) = PMT (rte, nper, pv, fv, type) Het rgument guess bij RATE wordt stndrd op 0,1 ingesteld. Enkel indien je met zeer lge rentevoeten werkt is het mogelijk dt je zelf deze gok moet ingeven. Zo vertlt voor smengestelde intrest de ctulistieformule V = V 1 + r zich in 0 n ( ) n V 0 = PV (r, n, 0, V n ), Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen) 27

28 bekomen we ls rendementsformule en ls looptijdformule Voor nnuïteiten geldt r = RATE (n, 0, V 0, V n) n = NPER (n, 0, V 0, V n). = PMT (r, n, W 0) = PMT (r, n, 0, W n), r = RATE (n,, W 0) = RATE (r,, 0, W n), n = NPER (r,, W 0) = NPER (r,, 0, W n). Wnneer de kpitlistieperiode niet gelijk is n 1 jr, kn je uit het Anlysis Toolpk de functies EFFECT en NOMINAL gebruiken: = EFFECT (nominl_rte, npery) = NOMINAL (effect_rte, npery) Deze dd-in moet gectiveerd worden: bij veelvuldig gebruik zorg je ervoor dt de het Anlysis Toolpk steeds in het geheugen gelden wordt door bij de menu-optie Tools, Add-Ins de keuze Anlysis Toolpk n te kruisen. Je moet deze dd-in eventueel wel instlleren wnneer je dt niet hebt gedn bij het instlleren vn Excel. Om een flossingstbel op te stellen voor een (postnumerndo) nnuïteitslening, kn je de functies IPMT [ Interest PyMenT ] en PPMT [ Principl PyMenT ] gebruiken: = IPMT (rte, per, nper, pv, fv, type) = PPMT (rte, per, nper, pv, fv, type) De netto contnte wrde vn een ksstroom wordt bepld vi = NPV (rte, vlue1, vlue2,...) wrbij je goed moet beseffen dt deze Net Present Vlue niet dezelfde is ls deze uit de meeste finnciële teksten. 28 Bnk- en beurswezen, Finnciële lgebr (Pul Verheyen)