Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas.

Transcriptie

1 Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze Eric Willockx EWERkt voor het GO! onderwijs vn de Vlmse Gemeenschp door Wendy Luyckx Els Ss RTooNS Dve Vnroye Proefexemplr Leerwerkoek Trnsformties vn het vlk en gelijkvormigheden 3

2 2 ISN: Kon. i.: 0147/2006/118 D/2011/0147/184 estelnr.: NUR: 126 opyright y die Keure rugge Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Oude Kleine Gentweg Pthoekeweg rugge rugge - elgië - elgië - - H.R. rugge Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt worden door middel vn druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorfgnde schriftelijke toestemming vn de uitgever. No prt of this ook my e reproduced in ny form y print, photoprint, microfilm or ny other mens without written permission from the pulisher. Te onthouden Deze leerstof moet je goed kennen en egrijpen voorleer je verder kunt. voorwoord Dit oek estt uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere prgrfen. De volgende hndige pictogrmmen geruiken we in het leeroek: leerwerkoek: 1 Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. lle definities vind je op een rode chtergrond, eigenschppen en stellingen op een groene. Smenvtting De elngrijkste eigenschppen, egrippen en regels vn een leerstofonderdeel. 2 Elk hoofdstuk eindigt met een smenvtting wrin duidelijk wordt gemkt wt je moet kennen en kunnen, zodt je de oefeningen en de volgende hoofdstukken proleemloos kunt npkken. 3 ij het lmpje vind je de herkomst vn wiskundige woorden of symolen. etekenis Wr komen l die wiskundige egrippen vndn? Proefexemplr

3 4 De N wiskunde ieder leerstofonderdeel die we vndg kennen vind je een is het reeks resultt oefeningen. vn een eeuwenlng groeiproces. Om iets Onder gemkkelijk de wereldol terug vind je te meer vinden, informtie kun je terecht over elngrijke het trefwoordenregister historische figuren in en chtern stn ook in het leuke oek. nekdotes woorden vermeld. stn ook in de Deze mrge fgedrukt, op de 5plts wr ze het eerst Het geruikt grfische worden. rekentoestel is een onmisr hulpmiddel De geworden. schrijvers Telkens vn dit dit oek toestel wensen hulp je veel kn plezier ieden, met vind je het dit vk icoontje wiskunde. in kntlijn. Veel meer over het geruik vn het grfische rekentoestel vind je in het specile IT prcticumoek 5 TI-83(Plus). Geschiedenis Een wiskundige teruglik in de tijd. Leuke wetenswrdigheden over hoe het vroeger ws. 6 Geen wiskunde zonder computer. ls computerprogrmm s kunnen helpen, zie je dit pictogrm. Veel meer over het geruik vn IT vind je in het IT prcticumoek 5 omputer. chtern in het oek stt een trefwoordenlijst. Om het gemkkelijker te mken zijn deze woorden cursief in de kntlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst geruikt worden. REKENMHINE Hier wordt uitgelegd hoe je rekenmchine je kn helpen. N ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in het luw gedrukt. Om iets gemkkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister chtern in het oek. Deze woorden stn ook voor de kntlijn fgedrukt, op de plts wr ze het eerst geruikt worden. De schrijvers vn dit oek wensen je veel plezier met het vk wiskunde op je nieuwe school. Proefexemplr 3

4 4 Welkom (opnieuw) in de wkkere wetenschppelijke wereld vn de wiskunde. De oekenreeks Vn sis tot Limiet heeft ls doel de wiskunde niet voor te stellen ls een sie en droge mterie, mr wel ls een levende en oeiende wetenschp wrmee je overl rondom je te mken het. Wiskunde in de reliteit dus. Zols je kunt zien ij de tndwielen op deze foto is elk onderdeeltje noodzkelijk om tot een degelijk resultt te komen. Zet de wiskundige mchine mr in werking! Proefexemplr

5 inhoud 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 1.1 Evenwijdige projectie > Stelling vn Thles > Smenvting > Oefeningen > 9 2 Isometriën en Homothetieën 2.1 Isometrieën > Homothetieën > 24 3 Gelijkvormigheden 3.1 Gelijkvormigheden, evenredigheden en schl > Gelijkvormige driehoeken > Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken > 62 Proefexemplr 5

6 6 Proefexemplr

7 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 1.1 Evenwijdige projecie > Inleiding > eeld vn een punt > eeld vn een lijnstuk > eeld vn een rechte > eeld vn een vlkke figuur > ehoud eigenschppen > De loodrechte projectie > Vernd tussen de lengte vn een lijnstuk en de lengte vn de loodrchte projectie vn het lijnstuk > Stelling vn Thles > Instp > Omgekeerde stelling vn Thles > Toepssingen op de stelling vn Thles > Een gegeven lijnstuk in een gelijk ntl delen verdelen > Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken > De vierde evenredige construeren > De stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk > ijzonder gevl vn de stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk > Thles in de ruimte > Smenvtting > Oefeningen > 18 1 Proefexemplr 7

8 8 trnsformties eeld Evenwijdige projectie en 1 de stelling vn Thles 1.1) Evenwijdige projectie Inleiding Je mkte reeds kennis met een ntl trnsformties vn het vlk. ij een spiegeling, verschuiving, driing en puntspiegeling heeft elk element juist één eeld. Het zijn trnsformties vn het vlk die ovendien de grootte vn een hoek, de lengte, de oppervlkte en de vorm vn een figuur ehouden. Deze drie vooreelden illustreren hoe je vn een voorwerp een eeld kunt mken. De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens he je een ntl elementen nodig: een voorwerp dt geprojecteerd wordt, de richting volgens welke je projecteert en Proefexemplr het vlk wrop je projecteert. Ook in de vlkke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlkke figuren projecteren.

9 projecties projectierichting prllelprojectie eeld vn een punt Vooreeld: eschouwen we in het vlk twee rechten en ( //\ ) en de punten X, Y en Z. Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles We kunnen het eeld vn een punt zoeken door dit punt te prjecteren, evenwijdig met en op. Drvoor tekenen we door dit punt X een evenwijdige met tot deze rechte snijdt in X'. Het punt X' is het eeld vn X door de projectie p. We noteren dit ls volgt: p (X) = X' Hierij noemen we de projecties of drger en de projectierichting. Merk op dt elk punt vn p juist één eeld heeft, wnt: - door een punt kn je mr één evenwijdige tekenen met een gegeven rechte ; - deze rechte heeft juist één snijpunt met, wnt //\. Een evenwijdige projectie (prllelprojectie) is dus een trnsformtie vn het vlk. Merk op: Punten vn de rechte wrop we projecteren heen zichzelf ls projectie. 6X g : p _ Xi = X met X! en XX ' _ ( i 6X! : p _ Xi = X Y Proefexemplr Y Y X X X M Z M M Z Z 9

10 eeld vn een lijnstuk We onderzoeken het eeld vn een lijnstuk [] door een evenwijdige projectie p. Er zijn twee mogelijkheden: p ([]) = [''] p //\ In dit gevl is het eeld vn een lijnstuk opnieuw een lijnstuk ([]) = ' = ' // = In dit gevl is het eeld vn een lijnstuk een punt. ls je vergelijkt met '' dn merk je dt de evenwijdige projectie een trnsformtie is vn p die niet ltijd de fstnd ewrt. Dit in tegenstelling met ndere trnsformties zols verschuivingen, spiegelingen, driingen en puntspiegelingen. We stellen vst dt '' Œ 'D' = D E'F' Õ EF Eigenschp: D E E E F Elke prllelprojectie ewrt de lengte vn een lijnstuk ls het lijnstuk evenwijdig is met de rechte wrop men projecteert. Proefexemplr F

11 1.1.4 eeld vn een rechte Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles We onderzoeken het eeld vn een rechte x door een evenwijdige projectie p. Ook hier zijn er twee mogelijkheden: p (x) = x //\ D = D E In dit gevl is het eeld vn een rechte de projecties. lgemeen: E x p x // U X (x) = X' met X' en X' x In dit gevl is het eeld het snijpunt vn x en. de projectie vn een rechte die niet evenwijdig is met de projectierichting is opnieuw een rechte eeld vn een vlkke figuur Om een vlkke figuur te projecteren op een rechte, projecteer je eigenlijk elk punt vn die figuur op die rechte. Vooreelden: P S Q R S Q T U esluit: het eeld vn elke ovenstnde figuur is een lijnstuk gelegen op de projecties. Proefexemplr T O Z X Y c U x 11

12 ehoud eigenschppen Stelling: De evenwijdige projectie ehoudt de gelijke grootte vn evenwijdige lijnstukken. Gegeven: Te ewijzen: ewijs: Gevolg: // D, = D p p [] = [''] [D] = ['D'] '' = 'D' D D D onstrueer de lijnstukken ['''] // [] en ['D''] // [D] zodt de prllellogrmmen ''' en DD"' ontstn. In D '''' en D 'D''D' geldt: Y = Y (overeenkomstige hoeken ij ''' // 'D'' en snijlijn ) ''' = 'D'' ( ''' = = D = 'D'' ) 4 D '''' D 'D''D' overeenkomstige Y = D Y (overeenkomstige hoeken ij ' // DD' en snijlijn ) L zijden in congruente driehoeken ''' = 'D'' ls evenwijdige rechten n een snijlijn lijstukken met dezelfde lengte fsnijden, dn snijden ze ook lijnstukken met dezelfde lengte f vn elke ndere snijlijn. Figuur: = D L '' = 'D' L '''' = ''D'' D Proefexemplr D D

13 loodrechte projectie De loodrechte projectie Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles De loodrechte projectie is de projectie wrijde projectierichting loodrecht stt op de projecties. We zeggen: S S R P de loodrechte vn een punt X op de rechte is het voetpunt X' vn de loodlijn uit op. De orthogonle projectie is een ijzonder gevl vn de prllelprojectie. ijgevolg ewrt elke orthogonle projectie de lengte vn een lijnstuk ls dit lijnstuk evenwijdig is met de rechte wrop we projecteren. 6X g : p _ Xi = X met X! en XX = 6X d: p _ Xi = X Proefexemplr Q Q F F G G 13

14 Vernd tussen de lengte vn een lijnstuk en de lengte vn de loodrechte projectie vn het lijnstuk Gegeven: //\ p [] = [''] Te ewijzen: []c '' = cos ewijs: onstrueer " // '', noem \ " α In D " geldt: " cos = (definitie cos in rechthoekige D ") cos = ( " = '' wnt dit zijn overstnde zijden in de rechthoek "'') F cos = '' (eide leden vermenigvuldigen met ) Proefexemplr

15 1.2) Stelling vn Thles Instp 3 cm 2,8 cm Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 6 cm 5,6 cm Op ovenstnde constructie merken we het volgende: = 2 1 en '' = 2 1 m..w. = = 1 2 We illusteren deze vststelling met ehulp vn GeoGer. Proefexemplr 15

16 16 stelling vn Thles ' ' c L = c Thles vn Milet Stelling vn Thles: De evenwijdige projectie ehoudt de verhouding vn de lengtes vn evenwijdige lijstukken. Gegeven: Te ewijzen: Gegeven: ' // ' // ' = 1 onstrueer door de rechte p die evenwijdig is met. Zo ekom je de punten ", " en ". W = W (verwisselende innenhoeken) HH 4 D " D " Z 1 = Z 2 (overstnde hoeken) " = P = " Thles vn Milete leefde vn ongeveer 624 tot 547 voor hristus n de kust vn Klein-zië, wt nu Turkije heet. Hij ws edreven hndelr die fortuin mkt met het verkopen vn oliën. Door dit eroep mkte hij vele reizen en mkte hij kennis met niet-europese eschvingen zols de Egyptische fro's en de oosterse eschving. Op oudere leeftijd ps strtte hij met zijn studie vn de wetenschp en de filosofie. Thles rcht een nieuwe mnier vn denken. Tot dn toe ws wiskunde voorl vn prktische rd, lleen het resultt telde. Thles gf een verklring! Overstnde hoeken die gelijk zijn, gelijkenige driehoeken die gelijke sishoeken heen, een dimeter die de cirkel in twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH: het zijn lleml vooreelden vn eigenschppen die n hem toegeschreven worden. lleen over de "stelling vn Thles" heen geschiedkundigen geen zekerheid of die ddwerkelijk Proefexemplr vn Thles fkomstig is. Hndig is de stelling wel, ze lt immers toe op de fstnd tussen 2 schepen te vinden of de hoogte vn een pirmide 2 p

17 c S d S S = S S = c d = c + c + d Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles Gevolg: Evenwijdige rechten eplen op 2 snijdende rechten evenredige lijnstukken. Opmerking: In de formulering vn de stelling vn Thles stt " evenwijdige lijnstukken". Volgende tekening mkt je duidelijk wrom dit niet opgt ij niet-evenwijdige lijnstukken. X Y P X Y P Q Omgekeerde stelling vn Thles ls ' // ' en = dn is ' // '. ewijs: We ewijzen deze stelling in het gevl dt []. Gegeven: Te ewijzen: ewijs: ' // ' = ' // ' Teken D' // ' (D' ['']) We kunnen nu de stlling vn Thles toepssen. Dus: = D L D = D L D = + D + D L D = L '' = 'D' Q XY X Y! PQ P Q XY wnt = 1 omdt XY = PQ PQ X Y en 1 omdt X'Y' P'Q' P Q Proefexemplr Dus: ' = D' en ijgevolg vlt D' smen met '. Vermits wd D' evenwijdig getekend heen met ' geldt ook: ' // ' 17

18 Toepssing op de stelling vn Thles Een gegeven lijnstuk in een gelijk ntl delen verdelen Vooreeld: Werkwijze: onstrueer het lijnstuk [] Verdeel het lijnstuk [] in drie gelijke delen. Teken een rechte door die snijdt en epl op deze rechte de punten P, Q en R zodt P = PQ = QR. Geruik je psser. Verind R met en construeer de evenwijdige met R door Q en P. De punten P' en Q' verdelen het lijnstuk [] nu in drie gelijke delen. Verklring: PP' // QQ' P' P = = 1 P'Q' PQ P' = P'Q' op dezelfde wijze tonen we n dt P'Q' = Q' ijgevolg: P' = P'Q' = Q' onstructie: Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken Vooreeld: Werkwijze: X PQ Verdeel het lijnstuk [] in 2 lijnstukken zodt =. X RS P R Q S onstructie: onstrueer [] en teken een rechte door die snijdt. epl op deze snijlijn de punten M en N zodt M = PQ en MN (1) Geruik je psser! Verind met en teken de rechte m door M en evenwijdig met N. m = {X} Uit de stelling vn Thles volgt nu dt P P P' Q Q' M M X m Proefexemplr M X ( 1) = P MN X PQ RS = RS X R R N N

19 De vierde venredige contstrueren De stelling vn Thles lijft ntuurlijk gelden ls 0 de scis is vn het snijpunt vn de rechten en. Of: ' esluit: ' ' Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles = Er geldt ook: = + + of: = Een evenwijdige n een zijde vn een driehoek eplt op de ndere zijden lijnstukken die evenredig zijn met die zijden De stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk Vn de hieronder fgeeelde pirmide T wordt gevrgd om de onekende hoogte x te erekenen. T Het proleem egrijpen: Ik moet de hoogte erekenen. Hiervoor mk ik een vlkke voorstelling. Ik herken Thles in de driehoek TN. Oplossing: In het vlk TN geldt: N TN 'M TN N // 'M Volgens de stelling vn Thles eplen de Dus: evenwijdige rechten N en 'M op de snijlijnen T en TN evenredige lijnstukken. ntwoord: T TM = MN 3 = x = 5 (x 4) 12 = 5x 20 5x = 32 x = 32 = 6,4 5 De hoogte vn de pirmide T is dus 6,4 cm. ontrole:, Klopt de evenredigheid? = cm 5 cm 3 cm 3 cm M 4 cm N T M N 3 x-4 4 cm x x nr vlkke situtie Proefexemplr 19

20 20 1.3) Smenvtting Je kent de etekenis vn een evenwijdige projectie p en weet wt edoeld wordt met projectierichting en projecties. Y (X) = X' ls X Ç p p (X) = X' ls X is de projecties is de projectierichting Y' M M' Je kunt het eeld eplen vn een lijnstuk, een rechte en een figuur door een evenwijdige projectie. Je kent de etekenis vn de loodrechte projectie op een rechte. p p (X) = X' ls X Ç (X) = X' ls X projecties en de projectierichting stn loodrecht op elkr. Je kent de stelling vn Thles De evenwijdige projectie ehoudt de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. = Je kent de omgekeerde stelling vn Thles ls ' // ' en = dn is ' // '. Je kn de stelling vn Thles en de omgekeerde stelling vn Thles toepssen. Proefexemplr Y Y' X' X X X' Z Z' Z' Z

21 G D 1.4) Oefeningen 1 epl de eelden vn de punten X, Y, Z, M en N door p en door p. 2 epl de eelden vn de volgende figuren N door p c door p F E D G door p d door p H M Z Y D Deel 1 Hoeken Proefexemplr E X O 21

22 22 X Y X' X 3 Indien X' en Y' de projecties X en Y, teken dn de projecties en de projectierichting in de volgende gevllen. X' Y = Y' Y' 4 gegeven: rechten en gevrgd: p 1 = p X' = p 1 (X) Y' = p 1 (Y) Z' = p 1 (Z) en p 2 = p X'' = p (X) 2 Y'' = p 2 (Y) Z'' = p 2 (Z) Teken de driehoek XYZ. Z' X Y' d c Y' = X" X X' = Y' Proefexemplr Z" X' Y Y" X' Y

23 5 Gegeven zijn een prllellogrm D en een rechte op. epl een projectierichting zodt de evenwijdige projectie de vier hoekpunten op in vier verschillende punten in drie verschillende c in twee verschillende D feeldt; punten feeldt; punten feeldt. 6 Gegeven: zie figuur ([XY]) = [X'Y'] gevrgd: p D Teken een lijnstuk [XY] zodt: XY = X'Y' c XY < X'Y' XY > X'Y' X' X' Y' Y' d Deel 1 Hoeken X' XY = X'Y' en [XY] //\ [X'Y'] Proefexemplr X' D Y' Y' 23

24 24 7 Gegeven: D gevrgd: epl het eeld vn D door p door p 8 Gegeven: Δ Gevrgd: epl p (), p () en p (). 9 Vul volgende tellen n. '//'//c' '//' = '' '' '' '' '' '' Proefexemplr

25 10 Gegeven:, en zijn collineir Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles, en zijn collineir // // gevrgd: Mk telkens een pssende tekening voor de volgende situties: c = 3 cm = 4 cm '' = 2 cm = 6 cm '' = 4 cm '' = 5 cm = 2 cm = 1,5 cm '' = 5 cm Proefexemplr 25

26 26 11 Gegeven: trpezium D gevrgd: P D In een trpezium D (//D) wordt een rechte getekend die [] snijdt in Q en [D] in P. In welke gevllen is PQ //? D 22 Gegeven: trpezium D, EF // Gevrgd: ereken DS, S en F. D P P PD Q Q 3 4 4, c ,5 1,9 E F S 7,6 4,8 5,8 Proefexemplr

27 14 Gegeven: = 2,2 cm = 1,3 cm D = 4,5 cm '' = 2,8 cm ' // ' // ' // DD' Gevrgd: epl '' en 'D' ' Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles ' P 15 Teken een lijnstuk [] vn 12 cm. epl P op [] zodt = 5. P 3 Proefexemplr ' D D' 27

28 28 16 Het lijnstuk [] is gegeven met = 9 cm. epl het punt X op de rechte zodt X = 5 X 2 ereken X en X. Zijn er meerdere oplossingen? 17 Het lijnstuk [] is gegeven. epl op de punten M, N en P zodt = 3 M 4 = 3 N 4 c P = 3 P 4 Proefexemplr

29 Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 18 ls het snijpunt vn 2 geijkte rechten en scis 0 heeft voor eide rechten, dn zl elke rechte die twee punten met een zelfde scis verindt, evenwijdig zijn met de rechte door de punten met scis 1. mk een duidelijke tekening die deze uitsprk stft. 19 2,3 x+2 P P 7,4 6,8 x 5 Q 8 Q x Proefexemplr 29

30 30 20 Verdeel een lijnstuk [] vn 8 cm in drie even lnge delen. Verdeel een lijnstuk [] vn 13 cm in zeven even lnge delen. 21 Teken een reële getllens. Plts drop een ijk. Plts op deze getllens de punten met scis 1, 1, 7, 13, Proefexemplr

31 22 Gegeven zijn drie lijnstukken: = cm D = cm E F EF = c cm onstrueer een lijnstuk [XY] met XY = x cm en wrij x de vierde evenredige is tot, en c. 23 De hiernst fgeeelde figuur is een fgeknotte pirmide. ereken de onekende hoogte x = PQ. Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 6 cm D 4 cm D onstrueer een lijnstuk [ZU] met ZU = z cm wrij z de derde evenredige is tot en c. Proefexemplr D T P x Q 8 cm 31

32 32 24 De vloer vn de hiernst fgeeelde zolder is een vierknt met zijde 4 m. De hoogte vn de zolder is 2 3 m. Om een zolderkmertje te mken rengt men een plfond n op een hoogte h vn 3 3 m. ereken de oppervlkte 2 vn het plfond. Proefexemplr h 4 m

33 Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 25 In een prllellogrm D verindt men een hoekpunt met een punt E op de zijde [D] zo dt E = 1 D. 4 Het lijnstuk [E] snijdt de digonl [] in een punt F. F De verhouding is dn (JWO 2003, 1ste ronde, oefening 19, Junior Wiskunde Olymide vzw.) c 1 5 d 1 4 F E e In een driehoek is W = 90, = 15 cm en = 30 cm. In deze driehoek wordt een vierknt ingeschreven zols in de figuur. Hoe lng is de zijde vn dit vierknt? 8 cm 9 cm c 10 cm d 11 cm e 12 cm (JWO 2003, 2de ronde, oefening 7, Junior Wiskunde Olymide vzw.) 27 Driehoek is rechthoekig in en zijde [] heeft lengte 3. Door een punt P op de zijde [] trekt men een rechte evenwijdig n die [] snijdt in Q. ls de oppervlkte vn het trpezium PQ tweeml zo groot is ls die vn de driehoek PQ, hoe lng is dn [P]? 1 2 c 3 d 2 e 5 (JWO 2002, 2de ronde, oefening 11, Junior Wiskunde Olymide vzw.) 28 In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 4 en 6, construeert men een hlve cirkel met middelpunt op de schuine zijde en rken n de rechthoekszijden. Wt is de strl vn deze cirkel? 2 2,4 c 2,5 d 3 e (JWO 2003, 2de ronde, oefening 12, Junior Wiskunde Olymide vzw.) Proefexemplr S Q P D 2S 33

34 34 28 onderzoeksopdrcht Onderzoek met estnde wiskundesoftwre of de volgende uitsprken wr zijn. Gegeven:, en c zijn rechten die door O gn. c d e f g Gevrgd:, ', ', ' c ls // '' en // '', dn is // ''. (Dit is een ijzonder gevl vn de stelling vn Desurgues) Door het hoekpunt vn driehoek trekt men de rechte die doorhet midden M vn de zwrtelijn E gt en snijdt in D. Dn is = 2 1 D. Trekt men in een convexe vierhoek de digonlen, dn zijn de zwrtepunten vn de 4 driehoeken die zo ontstn de hoekpunten vn een prllellogrm. Teken de driehoek en noem Mhet midden vn [], N het midden vn [M] n X het snijpunt vn N en. Teken door M de rechte evenwijdig met N en noem Y het snijpunt vn en. [] wordt nu door X en Y in drie even lnge delen verdeeld. De deellijn vn een hoek vn een driehoek verdeelt de overstnde zijde in stukken, die evenredig zijn met de ngrenzende zijden vn de driehoek. D is een prllellogrm. E is het midden vn [] en F is het midden vn [D]. Wt kn je esluiten over de stukken wrin [D] door E en F verdeeld wordt? De middens vn de zijden vn een willekeurige vierhoek zijn de punten vn een prllellogrm. Proefexemplr