Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas."

Transcriptie

1 Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze Eric Willockx EWERkt voor het GO! onderwijs vn de Vlmse Gemeenschp door Wendy Luyckx Els Ss RTooNS Dve Vnroye Proefexemplr Leerwerkoek Trnsformties vn het vlk en gelijkvormigheden 3

2 2 ISN: Kon. i.: 0147/2006/118 D/2011/0147/184 estelnr.: NUR: 126 opyright y die Keure rugge Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Oude Kleine Gentweg Pthoekeweg rugge rugge - elgië - elgië - - H.R. rugge Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt worden door middel vn druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorfgnde schriftelijke toestemming vn de uitgever. No prt of this ook my e reproduced in ny form y print, photoprint, microfilm or ny other mens without written permission from the pulisher. Te onthouden Deze leerstof moet je goed kennen en egrijpen voorleer je verder kunt. voorwoord Dit oek estt uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere prgrfen. De volgende hndige pictogrmmen geruiken we in het leeroek: leerwerkoek: 1 Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. lle definities vind je op een rode chtergrond, eigenschppen en stellingen op een groene. Smenvtting De elngrijkste eigenschppen, egrippen en regels vn een leerstofonderdeel. 2 Elk hoofdstuk eindigt met een smenvtting wrin duidelijk wordt gemkt wt je moet kennen en kunnen, zodt je de oefeningen en de volgende hoofdstukken proleemloos kunt npkken. 3 ij het lmpje vind je de herkomst vn wiskundige woorden of symolen. etekenis Wr komen l die wiskundige egrippen vndn? Proefexemplr

3 4 De N wiskunde ieder leerstofonderdeel die we vndg kennen vind je een is het reeks resultt oefeningen. vn een eeuwenlng groeiproces. Om iets Onder gemkkelijk de wereldol terug vind je te meer vinden, informtie kun je terecht over elngrijke het trefwoordenregister historische figuren in en chtern stn ook in het leuke oek. nekdotes woorden vermeld. stn ook in de Deze mrge fgedrukt, op de 5plts wr ze het eerst Het geruikt grfische worden. rekentoestel is een onmisr hulpmiddel De geworden. schrijvers Telkens vn dit dit oek toestel wensen hulp je veel kn plezier ieden, met vind je het dit vk icoontje wiskunde. in kntlijn. Veel meer over het geruik vn het grfische rekentoestel vind je in het specile IT prcticumoek 5 TI-83(Plus). Geschiedenis Een wiskundige teruglik in de tijd. Leuke wetenswrdigheden over hoe het vroeger ws. 6 Geen wiskunde zonder computer. ls computerprogrmm s kunnen helpen, zie je dit pictogrm. Veel meer over het geruik vn IT vind je in het IT prcticumoek 5 omputer. chtern in het oek stt een trefwoordenlijst. Om het gemkkelijker te mken zijn deze woorden cursief in de kntlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst geruikt worden. REKENMHINE Hier wordt uitgelegd hoe je rekenmchine je kn helpen. N ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in het luw gedrukt. Om iets gemkkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister chtern in het oek. Deze woorden stn ook voor de kntlijn fgedrukt, op de plts wr ze het eerst geruikt worden. De schrijvers vn dit oek wensen je veel plezier met het vk wiskunde op je nieuwe school. Proefexemplr 3

4 4 Welkom (opnieuw) in de wkkere wetenschppelijke wereld vn de wiskunde. De oekenreeks Vn sis tot Limiet heeft ls doel de wiskunde niet voor te stellen ls een sie en droge mterie, mr wel ls een levende en oeiende wetenschp wrmee je overl rondom je te mken het. Wiskunde in de reliteit dus. Zols je kunt zien ij de tndwielen op deze foto is elk onderdeeltje noodzkelijk om tot een degelijk resultt te komen. Zet de wiskundige mchine mr in werking! Proefexemplr

5 inhoud 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 1.1 Evenwijdige projectie > Stelling vn Thles > Smenvting > Oefeningen > 9 2 Isometriën en Homothetieën 2.1 Isometrieën > Homothetieën > 24 3 Gelijkvormigheden 3.1 Gelijkvormigheden, evenredigheden en schl > Gelijkvormige driehoeken > Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken > 62 Proefexemplr 5

6 6 Proefexemplr

7 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 1.1 Evenwijdige projecie > Inleiding > eeld vn een punt > eeld vn een lijnstuk > eeld vn een rechte > eeld vn een vlkke figuur > ehoud eigenschppen > De loodrechte projectie > Vernd tussen de lengte vn een lijnstuk en de lengte vn de loodrchte projectie vn het lijnstuk > Stelling vn Thles > Instp > Omgekeerde stelling vn Thles > Toepssingen op de stelling vn Thles > Een gegeven lijnstuk in een gelijk ntl delen verdelen > Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken > De vierde evenredige construeren > De stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk > ijzonder gevl vn de stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk > Thles in de ruimte > Smenvtting > Oefeningen > 18 1 Proefexemplr 7

8 8 trnsformties eeld Evenwijdige projectie en 1 de stelling vn Thles 1.1) Evenwijdige projectie Inleiding Je mkte reeds kennis met een ntl trnsformties vn het vlk. ij een spiegeling, verschuiving, driing en puntspiegeling heeft elk element juist één eeld. Het zijn trnsformties vn het vlk die ovendien de grootte vn een hoek, de lengte, de oppervlkte en de vorm vn een figuur ehouden. Deze drie vooreelden illustreren hoe je vn een voorwerp een eeld kunt mken. De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens he je een ntl elementen nodig: een voorwerp dt geprojecteerd wordt, de richting volgens welke je projecteert en Proefexemplr het vlk wrop je projecteert. Ook in de vlkke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlkke figuren projecteren.

9 projecties projectierichting prllelprojectie eeld vn een punt Vooreeld: eschouwen we in het vlk twee rechten en ( //\ ) en de punten X, Y en Z. Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles We kunnen het eeld vn een punt zoeken door dit punt te prjecteren, evenwijdig met en op. Drvoor tekenen we door dit punt X een evenwijdige met tot deze rechte snijdt in X'. Het punt X' is het eeld vn X door de projectie p. We noteren dit ls volgt: p (X) = X' Hierij noemen we de projecties of drger en de projectierichting. Merk op dt elk punt vn p juist één eeld heeft, wnt: - door een punt kn je mr één evenwijdige tekenen met een gegeven rechte ; - deze rechte heeft juist één snijpunt met, wnt //\. Een evenwijdige projectie (prllelprojectie) is dus een trnsformtie vn het vlk. Merk op: Punten vn de rechte wrop we projecteren heen zichzelf ls projectie. 6X g : p _ Xi = X met X! en XX ' _ ( i 6X! : p _ Xi = X Y Proefexemplr Y Y X X X M Z M M Z Z 9

10 eeld vn een lijnstuk We onderzoeken het eeld vn een lijnstuk [] door een evenwijdige projectie p. Er zijn twee mogelijkheden: p ([]) = [''] p //\ In dit gevl is het eeld vn een lijnstuk opnieuw een lijnstuk ([]) = ' = ' // = In dit gevl is het eeld vn een lijnstuk een punt. ls je vergelijkt met '' dn merk je dt de evenwijdige projectie een trnsformtie is vn p die niet ltijd de fstnd ewrt. Dit in tegenstelling met ndere trnsformties zols verschuivingen, spiegelingen, driingen en puntspiegelingen. We stellen vst dt '' Œ 'D' = D E'F' Õ EF Eigenschp: D E E E F Elke prllelprojectie ewrt de lengte vn een lijnstuk ls het lijnstuk evenwijdig is met de rechte wrop men projecteert. Proefexemplr F

11 1.1.4 eeld vn een rechte Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles We onderzoeken het eeld vn een rechte x door een evenwijdige projectie p. Ook hier zijn er twee mogelijkheden: p (x) = x //\ D = D E In dit gevl is het eeld vn een rechte de projecties. lgemeen: E x p x // U X (x) = X' met X' en X' x In dit gevl is het eeld het snijpunt vn x en. de projectie vn een rechte die niet evenwijdig is met de projectierichting is opnieuw een rechte eeld vn een vlkke figuur Om een vlkke figuur te projecteren op een rechte, projecteer je eigenlijk elk punt vn die figuur op die rechte. Vooreelden: P S Q R S Q T U esluit: het eeld vn elke ovenstnde figuur is een lijnstuk gelegen op de projecties. Proefexemplr T O Z X Y c U x 11

12 ehoud eigenschppen Stelling: De evenwijdige projectie ehoudt de gelijke grootte vn evenwijdige lijnstukken. Gegeven: Te ewijzen: ewijs: Gevolg: // D, = D p p [] = [''] [D] = ['D'] '' = 'D' D D D onstrueer de lijnstukken ['''] // [] en ['D''] // [D] zodt de prllellogrmmen ''' en DD"' ontstn. In D '''' en D 'D''D' geldt: Y = Y (overeenkomstige hoeken ij ''' // 'D'' en snijlijn ) ''' = 'D'' ( ''' = = D = 'D'' ) 4 D '''' D 'D''D' overeenkomstige Y = D Y (overeenkomstige hoeken ij ' // DD' en snijlijn ) L zijden in congruente driehoeken ''' = 'D'' ls evenwijdige rechten n een snijlijn lijstukken met dezelfde lengte fsnijden, dn snijden ze ook lijnstukken met dezelfde lengte f vn elke ndere snijlijn. Figuur: = D L '' = 'D' L '''' = ''D'' D Proefexemplr D D

13 loodrechte projectie De loodrechte projectie Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles De loodrechte projectie is de projectie wrijde projectierichting loodrecht stt op de projecties. We zeggen: S S R P de loodrechte vn een punt X op de rechte is het voetpunt X' vn de loodlijn uit op. De orthogonle projectie is een ijzonder gevl vn de prllelprojectie. ijgevolg ewrt elke orthogonle projectie de lengte vn een lijnstuk ls dit lijnstuk evenwijdig is met de rechte wrop we projecteren. 6X g : p _ Xi = X met X! en XX = 6X d: p _ Xi = X Proefexemplr Q Q F F G G 13

14 Vernd tussen de lengte vn een lijnstuk en de lengte vn de loodrechte projectie vn het lijnstuk Gegeven: //\ p [] = [''] Te ewijzen: []c '' = cos ewijs: onstrueer " // '', noem \ " α In D " geldt: " cos = (definitie cos in rechthoekige D ") cos = ( " = '' wnt dit zijn overstnde zijden in de rechthoek "'') F cos = '' (eide leden vermenigvuldigen met ) Proefexemplr

15 1.2) Stelling vn Thles Instp 3 cm 2,8 cm Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 6 cm 5,6 cm Op ovenstnde constructie merken we het volgende: = 2 1 en '' = 2 1 m..w. = = 1 2 We illusteren deze vststelling met ehulp vn GeoGer. Proefexemplr 15

16 16 stelling vn Thles ' ' c L = c Thles vn Milet Stelling vn Thles: De evenwijdige projectie ehoudt de verhouding vn de lengtes vn evenwijdige lijstukken. Gegeven: Te ewijzen: Gegeven: ' // ' // ' = 1 onstrueer door de rechte p die evenwijdig is met. Zo ekom je de punten ", " en ". W = W (verwisselende innenhoeken) HH 4 D " D " Z 1 = Z 2 (overstnde hoeken) " = P = " Thles vn Milete leefde vn ongeveer 624 tot 547 voor hristus n de kust vn Klein-zië, wt nu Turkije heet. Hij ws edreven hndelr die fortuin mkt met het verkopen vn oliën. Door dit eroep mkte hij vele reizen en mkte hij kennis met niet-europese eschvingen zols de Egyptische fro's en de oosterse eschving. Op oudere leeftijd ps strtte hij met zijn studie vn de wetenschp en de filosofie. Thles rcht een nieuwe mnier vn denken. Tot dn toe ws wiskunde voorl vn prktische rd, lleen het resultt telde. Thles gf een verklring! Overstnde hoeken die gelijk zijn, gelijkenige driehoeken die gelijke sishoeken heen, een dimeter die de cirkel in twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH: het zijn lleml vooreelden vn eigenschppen die n hem toegeschreven worden. lleen over de "stelling vn Thles" heen geschiedkundigen geen zekerheid of die ddwerkelijk Proefexemplr vn Thles fkomstig is. Hndig is de stelling wel, ze lt immers toe op de fstnd tussen 2 schepen te vinden of de hoogte vn een pirmide 2 p

17 c S d S S = S S = c d = c + c + d Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles Gevolg: Evenwijdige rechten eplen op 2 snijdende rechten evenredige lijnstukken. Opmerking: In de formulering vn de stelling vn Thles stt " evenwijdige lijnstukken". Volgende tekening mkt je duidelijk wrom dit niet opgt ij niet-evenwijdige lijnstukken. X Y P X Y P Q Omgekeerde stelling vn Thles ls ' // ' en = dn is ' // '. ewijs: We ewijzen deze stelling in het gevl dt []. Gegeven: Te ewijzen: ewijs: ' // ' = ' // ' Teken D' // ' (D' ['']) We kunnen nu de stlling vn Thles toepssen. Dus: = D L D = D L D = + D + D L D = L '' = 'D' Q XY X Y! PQ P Q XY wnt = 1 omdt XY = PQ PQ X Y en 1 omdt X'Y' P'Q' P Q Proefexemplr Dus: ' = D' en ijgevolg vlt D' smen met '. Vermits wd D' evenwijdig getekend heen met ' geldt ook: ' // ' 17

18 Toepssing op de stelling vn Thles Een gegeven lijnstuk in een gelijk ntl delen verdelen Vooreeld: Werkwijze: onstrueer het lijnstuk [] Verdeel het lijnstuk [] in drie gelijke delen. Teken een rechte door die snijdt en epl op deze rechte de punten P, Q en R zodt P = PQ = QR. Geruik je psser. Verind R met en construeer de evenwijdige met R door Q en P. De punten P' en Q' verdelen het lijnstuk [] nu in drie gelijke delen. Verklring: PP' // QQ' P' P = = 1 P'Q' PQ P' = P'Q' op dezelfde wijze tonen we n dt P'Q' = Q' ijgevolg: P' = P'Q' = Q' onstructie: Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken Vooreeld: Werkwijze: X PQ Verdeel het lijnstuk [] in 2 lijnstukken zodt =. X RS P R Q S onstructie: onstrueer [] en teken een rechte door die snijdt. epl op deze snijlijn de punten M en N zodt M = PQ en MN (1) Geruik je psser! Verind met en teken de rechte m door M en evenwijdig met N. m = {X} Uit de stelling vn Thles volgt nu dt P P P' Q Q' M M X m Proefexemplr M X ( 1) = P MN X PQ RS = RS X R R N N

19 De vierde venredige contstrueren De stelling vn Thles lijft ntuurlijk gelden ls 0 de scis is vn het snijpunt vn de rechten en. Of: ' esluit: ' ' Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles = Er geldt ook: = + + of: = Een evenwijdige n een zijde vn een driehoek eplt op de ndere zijden lijnstukken die evenredig zijn met die zijden De stelling vn Thles en het ehoud vn de ijk Vn de hieronder fgeeelde pirmide T wordt gevrgd om de onekende hoogte x te erekenen. T Het proleem egrijpen: Ik moet de hoogte erekenen. Hiervoor mk ik een vlkke voorstelling. Ik herken Thles in de driehoek TN. Oplossing: In het vlk TN geldt: N TN 'M TN N // 'M Volgens de stelling vn Thles eplen de Dus: evenwijdige rechten N en 'M op de snijlijnen T en TN evenredige lijnstukken. ntwoord: T TM = MN 3 = x = 5 (x 4) 12 = 5x 20 5x = 32 x = 32 = 6,4 5 De hoogte vn de pirmide T is dus 6,4 cm. ontrole:, Klopt de evenredigheid? = cm 5 cm 3 cm 3 cm M 4 cm N T M N 3 x-4 4 cm x x nr vlkke situtie Proefexemplr 19

20 20 1.3) Smenvtting Je kent de etekenis vn een evenwijdige projectie p en weet wt edoeld wordt met projectierichting en projecties. Y (X) = X' ls X Ç p p (X) = X' ls X is de projecties is de projectierichting Y' M M' Je kunt het eeld eplen vn een lijnstuk, een rechte en een figuur door een evenwijdige projectie. Je kent de etekenis vn de loodrechte projectie op een rechte. p p (X) = X' ls X Ç (X) = X' ls X projecties en de projectierichting stn loodrecht op elkr. Je kent de stelling vn Thles De evenwijdige projectie ehoudt de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. = Je kent de omgekeerde stelling vn Thles ls ' // ' en = dn is ' // '. Je kn de stelling vn Thles en de omgekeerde stelling vn Thles toepssen. Proefexemplr Y Y' X' X X X' Z Z' Z' Z

21 G D 1.4) Oefeningen 1 epl de eelden vn de punten X, Y, Z, M en N door p en door p. 2 epl de eelden vn de volgende figuren N door p c door p F E D G door p d door p H M Z Y D Deel 1 Hoeken Proefexemplr E X O 21

22 22 X Y X' X 3 Indien X' en Y' de projecties X en Y, teken dn de projecties en de projectierichting in de volgende gevllen. X' Y = Y' Y' 4 gegeven: rechten en gevrgd: p 1 = p X' = p 1 (X) Y' = p 1 (Y) Z' = p 1 (Z) en p 2 = p X'' = p (X) 2 Y'' = p 2 (Y) Z'' = p 2 (Z) Teken de driehoek XYZ. Z' X Y' d c Y' = X" X X' = Y' Proefexemplr Z" X' Y Y" X' Y

23 5 Gegeven zijn een prllellogrm D en een rechte op. epl een projectierichting zodt de evenwijdige projectie de vier hoekpunten op in vier verschillende punten in drie verschillende c in twee verschillende D feeldt; punten feeldt; punten feeldt. 6 Gegeven: zie figuur ([XY]) = [X'Y'] gevrgd: p D Teken een lijnstuk [XY] zodt: XY = X'Y' c XY < X'Y' XY > X'Y' X' X' Y' Y' d Deel 1 Hoeken X' XY = X'Y' en [XY] //\ [X'Y'] Proefexemplr X' D Y' Y' 23

24 24 7 Gegeven: D gevrgd: epl het eeld vn D door p door p 8 Gegeven: Δ Gevrgd: epl p (), p () en p (). 9 Vul volgende tellen n. '//'//c' '//' = '' '' '' '' '' '' Proefexemplr

25 10 Gegeven:, en zijn collineir Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles, en zijn collineir // // gevrgd: Mk telkens een pssende tekening voor de volgende situties: c = 3 cm = 4 cm '' = 2 cm = 6 cm '' = 4 cm '' = 5 cm = 2 cm = 1,5 cm '' = 5 cm Proefexemplr 25

26 26 11 Gegeven: trpezium D gevrgd: P D In een trpezium D (//D) wordt een rechte getekend die [] snijdt in Q en [D] in P. In welke gevllen is PQ //? D 22 Gegeven: trpezium D, EF // Gevrgd: ereken DS, S en F. D P P PD Q Q 3 4 4, c ,5 1,9 E F S 7,6 4,8 5,8 Proefexemplr

27 14 Gegeven: = 2,2 cm = 1,3 cm D = 4,5 cm '' = 2,8 cm ' // ' // ' // DD' Gevrgd: epl '' en 'D' ' Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles ' P 15 Teken een lijnstuk [] vn 12 cm. epl P op [] zodt = 5. P 3 Proefexemplr ' D D' 27

28 28 16 Het lijnstuk [] is gegeven met = 9 cm. epl het punt X op de rechte zodt X = 5 X 2 ereken X en X. Zijn er meerdere oplossingen? 17 Het lijnstuk [] is gegeven. epl op de punten M, N en P zodt = 3 M 4 = 3 N 4 c P = 3 P 4 Proefexemplr

29 Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 18 ls het snijpunt vn 2 geijkte rechten en scis 0 heeft voor eide rechten, dn zl elke rechte die twee punten met een zelfde scis verindt, evenwijdig zijn met de rechte door de punten met scis 1. mk een duidelijke tekening die deze uitsprk stft. 19 2,3 x+2 P P 7,4 6,8 x 5 Q 8 Q x Proefexemplr 29

30 30 20 Verdeel een lijnstuk [] vn 8 cm in drie even lnge delen. Verdeel een lijnstuk [] vn 13 cm in zeven even lnge delen. 21 Teken een reële getllens. Plts drop een ijk. Plts op deze getllens de punten met scis 1, 1, 7, 13, Proefexemplr

31 22 Gegeven zijn drie lijnstukken: = cm D = cm E F EF = c cm onstrueer een lijnstuk [XY] met XY = x cm en wrij x de vierde evenredige is tot, en c. 23 De hiernst fgeeelde figuur is een fgeknotte pirmide. ereken de onekende hoogte x = PQ. Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 6 cm D 4 cm D onstrueer een lijnstuk [ZU] met ZU = z cm wrij z de derde evenredige is tot en c. Proefexemplr D T P x Q 8 cm 31

32 32 24 De vloer vn de hiernst fgeeelde zolder is een vierknt met zijde 4 m. De hoogte vn de zolder is 2 3 m. Om een zolderkmertje te mken rengt men een plfond n op een hoogte h vn 3 3 m. ereken de oppervlkte 2 vn het plfond. Proefexemplr h 4 m

33 Deel 1 Evenwijdige projectie en de stelling vn Thles 25 In een prllellogrm D verindt men een hoekpunt met een punt E op de zijde [D] zo dt E = 1 D. 4 Het lijnstuk [E] snijdt de digonl [] in een punt F. F De verhouding is dn (JWO 2003, 1ste ronde, oefening 19, Junior Wiskunde Olymide vzw.) c 1 5 d 1 4 F E e In een driehoek is W = 90, = 15 cm en = 30 cm. In deze driehoek wordt een vierknt ingeschreven zols in de figuur. Hoe lng is de zijde vn dit vierknt? 8 cm 9 cm c 10 cm d 11 cm e 12 cm (JWO 2003, 2de ronde, oefening 7, Junior Wiskunde Olymide vzw.) 27 Driehoek is rechthoekig in en zijde [] heeft lengte 3. Door een punt P op de zijde [] trekt men een rechte evenwijdig n die [] snijdt in Q. ls de oppervlkte vn het trpezium PQ tweeml zo groot is ls die vn de driehoek PQ, hoe lng is dn [P]? 1 2 c 3 d 2 e 5 (JWO 2002, 2de ronde, oefening 11, Junior Wiskunde Olymide vzw.) 28 In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 4 en 6, construeert men een hlve cirkel met middelpunt op de schuine zijde en rken n de rechthoekszijden. Wt is de strl vn deze cirkel? 2 2,4 c 2,5 d 3 e (JWO 2003, 2de ronde, oefening 12, Junior Wiskunde Olymide vzw.) Proefexemplr S Q P D 2S 33

34 34 28 onderzoeksopdrcht Onderzoek met estnde wiskundesoftwre of de volgende uitsprken wr zijn. Gegeven:, en c zijn rechten die door O gn. c d e f g Gevrgd:, ', ', ' c ls // '' en // '', dn is // ''. (Dit is een ijzonder gevl vn de stelling vn Desurgues) Door het hoekpunt vn driehoek trekt men de rechte die doorhet midden M vn de zwrtelijn E gt en snijdt in D. Dn is = 2 1 D. Trekt men in een convexe vierhoek de digonlen, dn zijn de zwrtepunten vn de 4 driehoeken die zo ontstn de hoekpunten vn een prllellogrm. Teken de driehoek en noem Mhet midden vn [], N het midden vn [M] n X het snijpunt vn N en. Teken door M de rechte evenwijdig met N en noem Y het snijpunt vn en. [] wordt nu door X en Y in drie even lnge delen verdeeld. De deellijn vn een hoek vn een driehoek verdeelt de overstnde zijde in stukken, die evenredig zijn met de ngrenzende zijden vn de driehoek. D is een prllellogrm. E is het midden vn [] en F is het midden vn [D]. Wt kn je esluiten over de stukken wrin [D] door E en F verdeeld wordt? De middens vn de zijden vn een willekeurige vierhoek zijn de punten vn een prllellogrm. Proefexemplr

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas artoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eigenschappen van

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze ewerkt voor het gemeenschpsonderwijs door Wendy Luyckx o Roefs rtoons Dve Vnroye vn sis tot limiet Hndleiding Meetkunde 1 voorwoord ISN: 978

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v.

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v. MEETKUNE leerweg 5 hilip ogert Filip Geeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willok m.m.v. jörn rreyn RToons ve Vnroye roefeemplr ook ls volgt formuleren: '' '' 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus sisegrippen Dit kun je l de enmingen vn vershillende soorten driehoeken en vierhoeken geruiken een kuus, een lk en een ilinder herkennen evenwijdige en snijdende rehten herkennen sherpe, stompe en rehte

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Extra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales.

Extra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales. Etra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde Transformaties en Stelling van Thales.. Waar of niet waar? a. Het beeld van een rechte door de projectie op

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

MEETKUNDE 4 Driehoeken

MEETKUNDE 4 Driehoeken MEETKUNDE 4 Driehoeken M18 Driehoeken in de ruimte 38 M19 Driehoeken tekenen 4 M0 Merkwrdige lijnen in een 44 M1 Omtrek, oppervlkte en volume 47 37 M18 Driehoeken in de ruimte 738 E Vul n. In KLM zijn

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde Junior Wiskunde Olympide 0-03: de tweede ronde Volgende enderingen kunnen nuttig zijn ij het oplossen vn sommige vrgen.,44 3,73 5,36 π 3,46.ls + =en =3,dnis gelijkn () 5 () 6 () 3 () 9 (E) 3.Hetgetl (

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Klas: Project: ENENN. Ontwerp

Klas: Project: ENENN. Ontwerp Voornm & nm: Kls: 3 BSIS LSSEN Project: MEETKUNDIG TEKE ENENN Ontwerp 2010 : w. vermelen Strtdtum P L N N I N G T V e n T T Geplnde einddtum Werkelijke einddtum Strtdtum P L N N I N G P R K T I J K Geplnde

Nadere informatie

Meetkunde met algebra

Meetkunde met algebra Meetkunde met lger Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten, lok Redeneren met vormen, getllen en formules vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (0) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen.

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen. 582 Rngshik vn klein nr groot. 583 Vul n. 0,3 km 500 m 200 000 m 25 000 dm... 0,3 m 40 m 12 dm 240 mm... 1 mm is... mm kleiner dn 1 m. 8 m is... m kleiner dn 1 m. d 9 92 70 47 3 m is... mm kleiner dn 1

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Meetkunde 4 Congruentie

Meetkunde 4 Congruentie Meetkunde 4 ongruentie M0 ongruente figuren 6 M ongruente driehoeken 68 M ewijzen met ongruente driehoeken 76 M3 igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 85 M4 igenshp en onstrutie vn

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie