Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye

Transcriptie

1 Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas artoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eigenschappen van hoeken en driehoeksmeting

2 ISN: Kon. ib.: 047/006/8 D/0/047/85 estelnr.: NUR: 6 opyright by die Keure rugge Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Oude Kleine Gentweg Pathoekeweg rugge rugge - elgië - elgië - - H.R. rugge.5 Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher. Te onthouden Deze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt. voorwoord Dit boek bestaat uit grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige pictogrammen gebruiken we in het leerboek: leerwerkboek: Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. lle definities vind je op een rode achtergrond, eigenschappen en stellingen op een groene. Samenvatting De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel. Elk hoofdstuk eindigt met een samenvatting waarin duidelijk wordt gemaakt wat je moet kennen en kunnen, zodat je de oefeningen en de volgende hoofdstukken probleemloos kunt aanpakken. ij het lampje vind je de herkomst van wiskundige woorden of symbolen. etekenis Waar komen al die wiskundige begrippen vandaan?

3 4 De Na wiskunde ieder leerstofonderdeel die we vandaag kennen vind je een is het reeks resultaat oefeningen. van een eeuwenlang groeiproces. Om iets Onder gemakkelijk de wereldbol terug vind je te meer vinden, informatie kun je terecht over belangrijke het trefwoordenregister historische figuren in en achteraan staan ook in het leuke boek. anekdotes woorden vermeld. staan ook in de Deze marge afgedrukt, op de 5plaats waar ze het eerst Het gebruikt grafische worden. rekentoestel is een onmisbaar hulpmiddel De geworden. schrijvers Telkens van dit dit boek toestel wensen hulp je veel kan plezier bieden, met vind je het dit vak icoontje wiskunde. in kantlijn. Veel meer over het gebruik van het grafische rekentoestel vind je in het speciale IT practicumboek 5 TI-8(Plus). Geschiedenis Een wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was. 6 Geen wiskunde zonder computer. ls computerprogramma s kunnen helpen, zie je dit pictogram. Veel meer over het gebruik van IT vind je in het IT practicumboek 5 omputer. chteraan in het boek staat een trefwoordenlijst. Om het gemakkelijker te maken zijn deze woorden cursief in de kantlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst gebruikt worden. REKENMHINE Hier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen. Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in het blauw gedrukt. Om iets gemakkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook voor de kantlijn afgedrukt, op de plaats waar ze het eerst gebruikt worden. De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde op je nieuwe school.

4 4 Welkom (opnieuw) in de wakkere wetenschappelijke wereld van de wiskunde. De boekenreeks Van asis tot Limiet heeft als doel de wiskunde niet voor te stellen als een saaie en droge materie, maar wel als een levende en boeiende wetenschap waarmee je overal rondom je te maken hebt. Wiskunde in de realiteit dus. Zoals je kunt zien bij de tandwielen op deze foto is elk onderdeeltje noodzakelijk om tot een degelijk resultaat te komen. Zet de wiskundige machine maar in werking!

5 inhoud Hoeken. Hoeken meten > 8. Omzetten > 8. ewerkingen met hoeken > 9.4 Eigenschappen van hoeken > 9.5 Toepassingen >.6 Samenvatting > 7.7 Oefeningen > 8 Stelling van Pythagoras. Even herhalen > 4. Stelling van Pythagoras > 4. Omgekeerde stelling van Pythagoras > 8.4 Toepassingen op de stelling van Pythagoras > 9.5 Rechthoekige driehoek en de oppervlakte van een vierkant >.6 De stelling van Pythagoras, de beroemdste der stellingen? > 5.7 De Pythagorasboom > 40.8 Samenvatting > 4.9 Oefeningen > 4 Goniometrie: goniometrische waarden. onstante waarden in gelijkvormige rechthoekige driehoeken > 60. Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek > 6. Verband tussen sinus en cosinus > 6.4 erekening met de rekenmachine > 6.5 Grondformule van de goniometrie > 64.6 Het oplossen van een rechthoekige driehoek > 64.7 Toepassingen > 67.8 Samenvatting > 7.9 Oefeningen > 7 Trefwoordenregister > 95 5

6 6

7 . Hoeken meten > 8. Omzetten > 8. ewerkingen met hoeken > 9.4 Eigenschappen van hoeken > 9.4. Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn > 9.4. Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht zijn > 0.4. Hoeken die ontstaan bij het snijden van twee rechten met een derde rechte > Terminologie > Eigenschap >.5 Toepassingen >.5. In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor >.5. Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig met, en half zo lang als de derde zijde >.5. ewijs stellingen som van de hoekgroottes > Som van de hoekgroottes in een driehoek > Som van de hoekgroottes in een convexe vierhoek > 6.6 Samenvatting > 7.7 Oefeningen > 8 Hoeken 7

8 Hoeken ) Hoeken meten We herhalen even kort dat je overal meet De lengte van een lijnstuk is 6 cm De inhoud van een tetrapak is liter ) Omzetten 70 De massa van je leerkracht is 8 kg Ook hoeken kun je meten. Een hoek meten is deze hoek vergelijken met een andere hoek, die we als eenheid gebruiken. Om tot de hoek te komen die als eenheid gebruikt kan worden, neemt men een cirkel en verdeelt men die in 60 gelijke stukjes. ls men nu vanuit het middelpunt van de cirkel twee stralen tekent, naar twee opeenvolgende streepjes, dan ligt tussen deze twee stralen de hoek die wij als eenheid zullen nemen: DE GRD ( ). Elke graad kan nog verder onderverdeeld worden in minuten en seconden. graad = = 60 minuten = 60 minuut = = 60 seconden = 60 Je kunt een hoek die uitgedrukt is in graden, minuten en seconden ook schrijven in graden met een decimale onderverdeling en omgekeerd. Voorbeeld: ^ = 7 0 = 7,5 ^ =,58 = 4 55 ekijk samen met je leerkracht hoe je dit met je rekentoestel doet.

9 Deel Hoeken.) ewerkingen met hoeken Je gaat met behulp van je rekenmachine hoekgroottes bij elkaar optellen, van elkaar aftrekken en vermenigvuldigen met een reëel getal. Voorbeeld: = = , (5,0 ) = 4 7,58 4,9.4) Eigenschappen van hoeken.4. Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn, zijn gelijk of supplementair. gegeven Geval Geval eschouw nu de verschuiving t (). Elke verschuiving behoudt de grootte van een hoek. ijgevolg geldt: ^ = ^ De verschuiving t (cd) beeld ^ af op D^. D^ = 80 - D^ = 80 - ^ D^ + ^ = 80 D 9

10 0.4. Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht zijn Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk of supplementair. gegeven Geval Geval eschouw r (,90 ), een draaiing met centrum en een draaiingshoek van 90. Hoek ^ wordt hierdoor op hoek ^ afgebeeld. De benen van hoek ^ zijn paarsgewijs evenwijdig met die van hoek ^. Er geldt dus: ^ = ^ = ^ Uit geval volgt dat: ^ = D^. ovendien weten we dat: D^ = 80 - D^. D^ + ^ = Hoeken die ontstaan bij het snijden van twee evenwijdige rechten met een derde rechte.4.. Terminologie c 4 Overeenkomstige hoeken: ^ 4 en ^ ^ en ^ ^ en ^ ^ en 4 ^4 a b a // b c //\ a en c //\ b overeenkomstige hoeken D

11 Deel Hoeken.4.. Eigenschap ls twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee overeenkomstige hoeken gelijk. c ewijs: a b Gegeven: Te bewijzen: a // b c //\ a en c //\ b ^ en ^ ^ = ^ zijn overeenkomstige hoeken we beschouwen t (ab) t(a) = b omdat t() = en omdat het beeld van een rechte door een verschuiving een evenwijdige rechte is. t(c) = c want c is de drager van het geörienteerde lijnstuk. een verschuiving bewaart de grootte van een hoek, dus ^ = ^. Gevolgen: ls twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan gelden ook de volgende gelijkheden: ) Gegeven: c Te bewijzen: ^ + ^ ewijs: ) Gegeven: a // b en c //\ a en c //\ b ^ + ^ (overstaande hoeken) ^ = ^ ^ = ^ c a b (overeenkomstige hoeken) a // b en c //\ a en c //\ b Te bewijzen: ^ + ^ = 80 ewijs: ^ + ^ = 80 (nevenhoeken) ^ = ^ ^ + ^ = 80 a b (overeenkomstige hoeken) ) c Gegeven: Te bewijzen: ^ + ^ ewijs: 4) Gegeven: a // b en c //\ a en c //\ b ^ + ^ (overstaande hoeken) ^ = ^ ^ = ^ c a b (overeenkomstige hoeken) a // b en c //\ a en c //\ b Te bewijzen: ^ + ^ = 80 ewijs: ^ + ^ = 80 (nevenhoeken) ^ = ^ ^ + ^ = 80 a b (overeenkomstige hoeken)

12 Gevolg: ls een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdigen, dan staat ze ook loodrecht op de andere evenwijdige. Inderdaad: = 90, dus moet volgens de stelling ook ^ ^ = 90 (^ en ^ zijn overeenkomstige hoeken)..5) Toepassingen.5. In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor ewijs: D E } beschouw E en DE. als je goed kijkt, ontdek je dat = D (in een parallellogram zijn de ZHH overstaande zijden even lang) E^ = E^ (overstaande hoeken) ^ = D^ (hoeken ontstaan bij het snijden van twee evenwijdige rechten met een derde rechte) E DE en dus geldt E = E en E = DE Je weet vast nog dat deze eigenschap ook omgekeerd geldt. a b

13 Deel Hoeken.5. Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig met, en half zo lang als, de derde zijde Gegeven: D = D = E = E = F D (D is midden van []) (E is midden van []) Te bewijzen: DE // en DE = ewijs: We onthouden vooral dat onstrueer op ED het punt F zodat FD = DE. Steunend op de eerste toepassing ontdekken we dat vierhoek EF een parallellogram is. F = E en F // E (gegeven) F = E en F // E ( E en E hebben dezelfde drager) E

14 4 eschouw nu de vierhoek EF. F D We ontdekken hierin twee congruente driehoeken. } F = E (zie hierboven) ^ E = E (gemeenschappelijke zijde) E = E^ (F // E gesneden door E) EF E ZHZ Daaruit volgt dan dat = FE = DE DE = We kunnen zo ook aantonen dat in vierhoek EF F^ = ^ en ^ = E^ ls in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram. // EF // DE Het lijnstuk [DE] noemen we een middenparallel van de. Deze middenparallel verbindt de middens van zijden [] en [] en is evenwijdig met []. Elke driehoek heeft dus drie middenparallellen.

15 Deel Hoeken.5. ewijs stellingen som van de hoekgroottes.5.. Som van de hoekgroottes in een driehoek De som van de hoeken van een driehoek is steeds 80. Deze eigenschap ken je al uit het eerste jaar. Je onderzocht ze toen door te knippen: Teken een willekeurige driehoek op een blad papier. Knip de hoeken ^, ^ en ^ af met een schaar en plak ze tegen elkaar. en te vouwen: Teken een willekeurige driehoek en knip die uit. Vouw dan volgens onderstaande werkwijze. Nu kunnen we ze ook bewijzen. 4 d We tekenen d //. De gelijkheid van de overeenkomstige hoeken bewijst dat ^ + ^ + = 80 5

16 6.5.. Som van de hoekgroottes in een convexe vierhoek Je leraar sprak misschien al over de begrippen convex en concaaf. Een veelhoek is een convex als geen enkele zijlijn tussen twee hoekpunten ligt. Voorbeelden: D Een veelhoek is concaaf als er een zijnlijn is die tussen twee hoekpunten ligt. Voorbeelden: K e De som van de hoeken van een convexe vierhoek is steeds 60. Ook deze eigenschap ken je al. ewijs: We gaan hiervoor steunen op het bewijs op bladzijde 5. D Teken in vierhoek D de diagonaal []. Deze diagonaal verdeelt de vierhoek in twee driehoeken ( D en ). D In D is de som van de hoeken 80, dus: In is de som van de hoeken 80, dus: N K N M M ^ + ^ + D^ = 80 ^ + ^ + ^ = 80 ^ + ^ + ^ + ^ + D^ + ^ = ^ + ^ + D^ + ^ = 60 L L

17 Deel Hoeken Som van de hoeken van een convexe veelhoek We veralgemenen. figuur aantal driehoeken som van de hoeken driehoek vierhoek vijfhoek zeshoek tienhoek n-hoek.6) Samenvatting = = = = 440 n - (n - ) 80 Je kunt hoekgroottes uitgedrukt in graden met een decimale onderverdeling omzetten naar graden, minuten, seconden en omgekeerd. Je kunt bewerkingen met hoekgroottes uitvoeren. Je kunt de eigenschappen van hoeken gebruiken bij berekeningen en bewijzen. Je kunt de stellingen voor de som van de hoekgroottes in een driehoek en een convexe veelhoek gebruiken bij berekeningen en bewijzen. 7

18 8.7) Oefeningen Zet om in graden met decimale onderverdeling. a. 8 0 = b. 0 0 = c = d = e. 54 =. Zet om in graden, minuten en seconden. a. 7,56 = b.,09 = c. 7,004 = d. 0,4579 = e. 0,005 =. Voer de volgende bewerkingen uit. a = b = c. 5 ( ) = d = e. (7 7 ) : = f = g. ( 6 4 ) 0 = h. 0 : 00 =

19 Deel Hoeken a a b 4 b c 40 d c ereken alle hoeken als je weet dat a // b. ewijs dat gelijkbenig is als a // b. 6. epaal de hoekgrootte van ^, als je weet dat // DE. D 47 7 E 9

20 0 7. Twee hoeken van een driehoek meten 7 7 en 65. Hoe groot is de derde hoek? 8. In een rechthoekige driehoek meet een van de hoeken ereken de overige hoekgroottes. 9. ereken de som van de hoeken van een a. vijfhoek; b. twaalfhoek; c. zeventienhoek; d. 5-hoek. 0. onstrueer een veelhoek waarvan de som van de hoeken 980 is.. Is het mogelijk een veelhoek te tekenen waarvan de som van de hoeken 000 is?

21 Deel Hoeken. Gegeven: vierhoek D Gevraagd: epaal telkens de gevraagde hoek. ^ ^ ^ D^ In een vierhoek D is ^ = 70 en ^ =. ls ^ = D^, bereken dan ^ en D^. 4. In een vierhoek D zij ^ en D^ recht. Toon aan dat ^ en ^ supplementair zijn. 5. In de vijfhoek DE geldt ^ = 55. ereken de overige hoeken als ^ = D^, ^ = D^, E^ = ^. 6. D F E ewijs dat de vierhoek FED een parallellogram is