Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.

Transcriptie

1 bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen

2 ISBN: Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: nur: 6 Copyright by die Keure Brugge Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg Brugge - België - H.R. Brugge. Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher. Te onthouden Deze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt. voorwoord Dit boek bestaat uit 6 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige pictogrammen gebruiken we in het leerboek: Samenvatting De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel. Betekenis Waar komen al die wiskundige begrippen vandaan?

3 Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. Om iets gemakkelijk terug te vinden, kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook in de marge afgedrukt, op de plaats waar ze voor het eerst gebruikt worden. De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde. Geschiedenis Een wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was. REKENMACHINE Hier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen.

4 4

5 . Rationale getallen Getallenverzamelingen > 6 Bewerkingen met rationale getallen > 6 Werken met machten > 8 4 Van breuk naar decimale vorm > 8 Van begrensde decimale vorm naar breuk > 6 Van onbegrensde repeterende decimale vorm naar breuk > 0 7 Rekenen met onbegrensde decimale vormen > 8 Samenvatting > Oefeningen >. Reële getallen De getallenas > 8 V is een irrationaal getal > Reële getallen op de getallenas > 4 Reële getallen en het gebruik van de rekenmachine > Samenvatting > 6 Oefeningen > Reële getallen. Rekenen met reële getallen Eigenschappen van de bewerkingen in R > 8 Rekenen in R > De vierkantswortel in R > 4 Eigenschappen van vierkantswortels > Het vereenvoudigen van een vierkantswortel > 6 Het wortelvrij maken van de noemer > 4 7 De derdewortel > 8 Samenvatting > Oefeningen > 7

6 6 natuurlijke getallen gehele getallen rationale getallen. Rationale getallen ) Getallenverzamelingen Als kleuter (of als peuter) heb je leren tellen met natuurlijke getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een telling van een eindig aantal dingen. We kunnen de natuurlijke getallen als volgt opsommen: N {0,,,, 4,, 6, 7, } Bij het aftrekken van natuurlijke getallen krijg je echter niet altijd een natuurlijk getal, bijvoorbeeld - 7. Daarom werd de getallen - verzameling uitgebreid tot de gehele getallen. Een geheel getal is het verschil van twee natuurlijke getallen. Ook temperaturen onder het nulpunt, het aantal meter onder de zeespiegel of afdalen met een lift tot in een kelderverdieping kun je nu met een geheel getal weergeven. Z {0,, -,, -,, -, 4, -4, } Bij het delen van twee gehele getallen is het resultaat niet altijd een geheel getal, bijvoorbeeld 8 : 8. Ook als je een pizza wilt verdelen of als een erfenis van 000 euro moet verdeeld worden onder personen, kun je dit niet met een geheel getal weergeven. Opnieuw werd de getallenverzameling uitgebreid. We verkregen de rationale getallen. Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan het tweede niet nul is. Q { 0,, -,, -,, 7, - 4 }, Op sommige vragen kun je in Q nog steeds geen antwoord bedenken. Welk getal zul je moeten kwadrateren om te krijgen? Ook het getal π is geen rationaal getal. We zullen onze getallenverzameling nog eens moeten uitbreiden. ) Bewerkingen met rationale getallen Uit Van Basis tot Limiet getallenleer plukten we het volgende overzicht van bewerkingen in Q. Optellen en aftrekken Algemeen: Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk. Maak de breuken gelijknamig. tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar af) en behoud de noemer. 4 Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Voorbeelden:

7 volgorde van bewerkingen Deel Reële getallen Vermenigvuldigen Voorbeeld: Algemeen: - 4 ( -8 6) Bepaal vooraf het teken (- als er een oneven aantal mintekens in de opgave staat). Delen Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Je kunt soms ook vooraf vereenvoudigen. Algemeen: Machten Bepaal vooraf het teken (- als er een oneven aantal mintekens in de opgave staat). Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de Algemeen: tweede breuk. Verhef de teller en de noemer tot deze macht. De volgorde van bewerkingen: eerst reken je uit wat tussen haakjes staat; dan bereken je alle machten en vierkantswortels; Voorbeeld: - : Voorbeelden: (- ) 4 Let op: (0,) -0, vervolgens voer je alle vermenigvuldigingen en delingen uit van links naar rechts; 4 ten slotte voer je alle optellingen en aftrekkingen uit van links naar rechts. Staan er in de opgave verschillende soorten haken, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit. Voorbeelden: - ( - 7) - 4 : + - (-) - 4 : : : ( ) : ( ) : - 4 ( - - 0) : ,8 - (,7 -, ) +, (V, + 0, V0, : 0,) 6,8 - (,7 -, ) +, (V, + 0, V) 6,8 - (,7 -,) +, (, + 0, ) 6,8 - (, -,) +, (, + 0,) 6,8 - +, 6, ,8 Het Mannetje Won Van De Oude Aap 7

8 8 eindig, oneindig periode ) Werken met machten Voorbeelden: (-) (-) - (-) - ( ) 7 (-) : ( ( ) ) ( ) - Herinner je de rekenregels voor bewerkingen met machten. Je vindt ze hiernaast in symbolen. [( - ) ( ] ( - ) 7 4 ( ) ) ( 4 ) Aa, b C Q 0, Am, n C Z: a m a n a m + n a m : a n a m - n (a m ) n a m n (a b) n a n b n (a : b) n a n : b n 4 ) Van breuk naar decimale vorm ( : ) : 4 4 Je weet dat een rationaal getal in breukvorm of in decimale vorm kan geschreven worden. Voorbeelden: 4,7 - -, , , ,466 0, De decimale vorm van een rationaal getal is steeds eindig (afbrekend) of oneindig repeterend. Een oneindig rationaal getal heeft na de komma steeds een cijfer of een groep cijfers die in dezelfde volgorde blijft terugkeren. We noemen dit de periode. Deze is in de bovenstaande voorbeelden steeds in kleur onderstreept. Afspraak: meestal noteren we de periode tweemaal. Voorbeelden: eindige decimale vorm: repeterende decimale vorm: repeterende decimale vorm: 47 00,47 7 8, , periode 4 periode 4 niet-repeterend deel

9 Deel Reële getallen Om de decimale schrijfwijze van een breuk te bepalen, volstaat het de staartdeling uit te voeren tot je een rest verkrijgt die je voordien al eens gevonden had. Voorbeeld: 0, , ,748 De resten die je krijgt zijn: 4 0-4,,,,, 6, start herhaling Je mag dus noteren dat: , Ook de rekenmachine kan hier behulpzaam zijn. - Deel 4 door 7 en je krijgt de periode is af te lezen: Deel door 7 en je krijgt de periode is af te lezen: 70 Let op! - Deel 7 door en je krijgt In werkelijkheid is 7 :,88 de periode is 8 - Deel 4 door en je krijgt hier is de periode helemaal niet meer af te lezen ) Van eindige decimale vorm naar breuk Eindige decimale vormen kunnen altijd in breukvorm geschreven worden met als noemer een macht van 0. Deze breuk kun je eventueel nog vereenvoudigen. - Schrijf als teller het getal zonder de komma. - Schrijf als noemer een macht van 0, met als exponent het aantal cijfers na de komma. - Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Je kunt dit ook met je rekentoestel. Voorbeelden: 0, 0 8, ,

10 0 6 ) Van oneindige repeterende decimale vorm naar breuk Voorbeeld :,66 - We stellen het getal gelijk aan x:,66 x - We verschuiven de komma (vermenigvuldigen met een macht van 0) zodat het repeterende gedeelte juist één keer voor de komma staat: 6,66 00x - We maken volgende aftrekking: 00x 6,66 - x,66 x 4 - Dus x 4 : x 4 x 6 Voorbeeld : 0,866 : - We stellen het getal gelijk aan x: 0,866 x - We verschuiven de komma zodat het repeterende gedeelte dadelijk na de komma staat: 08,66 0x - We verschuiven de komma zodat het repeterende gedeelte juist één keer voor de komma staat: 086,666 00x - We maken volgende aftrekking: 00x 086,66-0x 08,66 0 x 78 - Dus 0x 78 : 0 x 78 0 x 6 Voorbeeld : -,8080 : 0 - We stellen het getal gelijk aan x: (We bepalen de breuk van het tegengestelde en voegen,8080 x het toestandsteken - op het einde toe), x 80, x - We maken volgende aftrekking: x 80, x, x 06 - Dus 00x 06 : 00 x x : 00 -, Opmerking: Gebruik je rekentoestel om eventueel berekeningen uit te voeren en te controleren.

11 Deel Reële getallen Om een repeterende oneindige decimale vorm in breukvorm te noteren: - stel je het getal (of het tegengestelde) gelijk aan x; - eventueel verschuif je de komma zodat het repeterend gedeelte dadelijk na de komma start; - verschuif je de komma zodat het repeterend gedeelte juist één keer voor de komma staat; - bepaal je het verschil van de twee voorgaande stappen (grootste - kleinste); - los je de vergelijking op (en vereenvoudig je zo ver mogelijk). 7 ) Rekenen met oneindige decimale vormen Voorbeeld : Bereken het product van 0, en 0,77 0, 0,77 7 dus is: 0, 0, Als je de staartdeling maakt, krijg je: 0, Voorbeeld : Bereken de som van 0, en 0,77 0, ,77 Opmerking: , Als je moet rekenen met oneindige decimale vormen kun je ook rekenen met benaderende waarden door de getallen af te ronden. Je berekent dan uiteraard het resultaat niet exact maar bij benadering. In het volgende deel komt dit uitgebreid aan bod (blz. ).

12 8 ) Samenvatting Je kent de methode om breuken op te tellen en af te trekken: vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk; maak de breuken gelijknamig; tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar af) en behoud de noemer; 4 vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Je kent de methode om breuken met elkaar te vermenigvuldigen: bepaal vooraf het teken (dit is als er een oneven aantal mintekens in de opgave staat); vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar; vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Je kunt soms vooraf vereenvoudigen. Je kent de methode om breuken door elkaar te delen: bepaal vooraf het teken (dit is als er een oneven aantal mintekens in de opgave staat); vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. Je kent de methode om breuken tot een macht te verheffen: verhef de teller en de noemer tot deze macht. Je kent de volgorde der bewerkingen: eerst voer je alles uit wat tussen haakjes staat; dan bereken je alle machten en vierkantswortels; vervolgens voer je alle vermenigvuldigingen en delingen uit van links naar rechts; 4 ten slotte voer je alle optellingen en aftrekkingen uit van links naar rechts. Indien er binnen de haakjes nog haakjes voorkomen, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit. Je kent de rekenregels voor bewerkingen met machten: a m a n a m + n (a m ) n a m n (a : b) n a n : b n a m : a n a m - n (a b) n a n b n Je kent de betekenis van een eindige en een oneindige repeterende decimale vorm. eindig:, oneindig: -, 7, 6,44 Je kent de betekenis van een periode. Je weet dat je de decimale vorm van een breuk verkrijgt door de teller te delen door de noemer. Je kent de methode om een decimale vorm om te zetten in een breuk. Van eindige decimale vorm naar breuk: - schrijf als teller het getal zonder de komma; - schrijf als noemer een macht van 0, met als exponent het aantal cijfers na de komma; - vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. Van repeterende decimale vorm naar breuk: - stel het getal (of het tegengestelde) gelijk aan x; - verschuif, indien nodig, de komma zodat het repeterend gedeelte dadelijk na de komma start; - verschuif de komma zodat het repeterend gedeelte juist één keer voor de komma staat; - bepaal het verschil van de twee voorgaande stappen (grootste kleinste); - los je de vergelijking op (vereenvoudig zo ver mogelijk).

13 Deel Reële getallen ) Oefeningen Werk uit. - k 4 - ( ) ) ( g - 8 ) ( -4 ) ( 4 ) l ( - ) a (-7) + (-48) f b ( : -4 c ( - ) d (,0) i ( : ) h (-6 - ) m e (-) 4 j (-48) : (-8) o Bereken. a - : 8 64 g (,8 -,7) : (-0,) b, - (-0,4) + 0, : 0, h,, -,8 4, c ( - : ) i ( 0,0 0, + ) : (-,6) d 0,6 (-0,8) : 0,6 j (0,4-0, 0,6) (-0,8),4 0,6 -, e - (-8) : 4 7 f V(-0, : 0, - + V64) Bereken. a + l ( - ) (-6) b m -4 - k (0, 0,6 -,4 0,) : [0, (0,6 -,4) 0,] c - 4 n (-4) - (-) (-4) d 4-8 o 6 ( - ) ( - ) (-) e 0 - p (-) + 4 ( - - -) f (-) 7 - (-) q ( - - ) - - g (-) - (-) 4 r (-) (-) ( -4 ) (-) h (-) - (-) (-) i 4 (-) (-) - (-) (-4) j (-) 4 n : 4 ( - + 4) ( ) : 7 k (-) - (-) (-)

14 4 4 Bereken. a ( - 8) (-) n ( - ) ( 4-4 ) ( ) - 8 b (- - ) (-) - (-) (-6) - (-) (- - 6) o (8 - ) (0 - ) c ( + ) - ( ) - - d (-) - (-) - (-) - + (-4) q - : p ( - ) : e (-4 + 7) ( - 8) - 4 [ - (7-4)] r : - f ( -) [8 - ( + 7)] - (- - ) ( ) s (-) - (-) 4 - ( - ) g [- - ( - )] (-) + 7 (4-6) t - h (- - ) (-) - (-) (-7) - (-) (-4-6) u (6 + 7 V4) : - : V6 i (4 + ) - (-) 6 - (- ) v ( 6 - ) [ 4-7 ( -4 )] ( + ) j ( 6-4 ) ( 7 ) ( - w - 4) ( ) - + [ ( - )] - k (-) - (-) - (-) (-) (-) (-) : (-)4 - (-) x ( ) l (-4) ( - ) ( - - ) ( ) y V(8 : 4 + V6) : ( - ) m V[V 8 : 6 - ( ) : + ] : [(-) (-) - (-) ] z (- - ) Werk uit. a ( - ) : ( - ) f a - b a 4 b - a - b -6 b (-a bc ) g (-a ) - c [( - ) - : 7 6 ] - ] h [( ) - : 0, d (a b c ) - : (a -8 b -6 c - ) i ( 0 : ) ( - ) e ( a- (-a ) 4 j ( 4 - ) ( - 4) a - a ) - (-) ( ) 6 Bepaal de decimale vorm van de volgende rationale getallen. Gebruik je rekenmachine of wiskunde-software. Bepaal de periode en het niet-repeterende deel. a i - q b - j r 0 c 7 k -08 s d l t e - m 7 u 6 48 f 4 n - v 0 g 00 o - w - 8 h 70 p 7 40 x -88

15 Deel Reële getallen 7 Bepaal de decimale vorm van de volgende rationale getallen. Gebruik je rekenmachine of wiskundesoftware. Bepaal de periode en het niet-repeterende deel. a b c d e f Noteer als een onvereenvoudigbare breuk. g h i a, e -4, i -8,06 b 4,08 f,00 j, c -,0 g -, k,4 d, h 4, l -6,8 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk. a 4, e -,44 i 8,66 b -,00 f,4646 j 0, c 7, g,0606 k 0, d -, h 6, l 6,00 0 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk. a,044 d -,48 g 0,77 b -7, e -0,044 h 0,0000 c,00644 f 4,6 i 8,8 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk. a,44 d,044 g,044 b,044 e,44 h -4,8 c,0044 f,044 i,44 Noteer als een onvereenvoudigbare breuk. a 0, h 0,00000 o 0,0000 b 6,66 i 6,66 p -,77 c -, j 0,00 q,6 d -7,08 k -,77 r 0, e 08,644 l 0,00 s 0,488 f -0, m,66 t -7, g 6,66 n 0,00766 u 0,004 Bereken. a, 0, h (0,44 ) b -,77 :, i V0,644 c -0,00 : (-0,0707 ) j, - 0, d 0,066 : 4,44 k, :, e 0,44 :,088 l 0,48 0, f 6,, m -, + 7, g 0,77 + 0,00 8

16 6 4 Wat is het 00ste cijfer na de komma bij de decimale schrijfwijze van? verklaar. Wat is het ste cijfer na de komma bij de decimale schrijfwijze van 7000? (Vlaamse Wiskunde Olympiade ). 6 a Je kunt het getal 0 als volgt ontbinden in priemfactoren: 0 ontbind 0, 0, 0 4 en 0 in priemfactoren. b Verklaar: An C N: 0 n n n c Als je 80 in priemfactoren ontbindt, krijg je als resultaat: Met welk getal zul je dus moeten vermenigvuldigen om een macht van tien te verkrijgen? d e f vul aan: , Als je wilt weten of een breuk te schrijven is als een decimaal getal, dan ga je de noemer (van de vereenvoudigde breuk!) ontbinden in priemfactoren. Als je hier enkel de factoren of (of allebei) in verkrijgt, dan is de breuk te schrijven als een decimaal getal. bepaal zonder een rekenmachine te gebruiken of volgende breuken als een decimaal getal te schrijven zijn of niet Als in de noemer van een onvereenvoudigbare breuk een getal staat, dat na ontbinding in priemfactoren minstens één der factoren of bevat, benevens andere factoren, dan is de breuk te schrijven als een gemengd repeterende decimale vorm. Illustreer dit met voorbeelden. Als in de noemer van een onvereenvoudigbare breuk een getal staat, dat na ontbinding in priemfactoren geen en geen bevat, dan is de breuk te schrijven als een zuiver repeterende decimale vorm. Illustreer dit met drie voorbeelden. 7 Kun je, in breukvorm omzetten? Verklaar? 8 Schrijf onmiddellijk (zonder de staartdeling uit te voeren en zonder rekenmachine) de decimale voorstelling van: a b c d Bepaal, zonder staartdeling en zonder rekenmachine, de decimale voorstelling van: a b c d

17 palindroom 0 Uit de Junior Wiskunde Olympiade (00 en 00): a b c d e f g Als :?, dan is? gelijk aan: 4 Deel Reële getallen a b 8 c 40 d 4 e 7 (76-4) (76-4) + (4-76) (76-4) is gelijk aan a -704 b 0 c 04 d 704 e 408 Het getal (00 ) + eindigt op a b c d 7 e [ - 0( - 0) - ] - is gelijk aan a - b - c d - 6 is gelijk aan 6 a b 6 e c d e 6 Een palindroom is een getal dat gelijk blijft wanneer je het van achter naar voor leest: bv.. het verschil tussen het eerstvolgende jaartal dat palindroom is en het jongste palindroom jaartal dat we gehad hebben, bedraagt a b 0 c 0 d e 00 Als je - schrijft als een decimaal getal (met een eindig aantal cijfers), dan is de som van de cijfers a b 7 c 0 d e geen van de vorige JWO 004, e ronde, oef. Merkwaardig 8 en en en en en en en Met bestaande wiskundesoftware kun je gemakkelijk 8, 8, 8,, 4 8, als volgt afdrukken en dan onderzoeken welke macht voldoet. Opdracht: Zoek nu een getal x, zodat de som der cijfers van x gelijk is aan x. 7