Driehoeksmeting in een. Copyright. rechthoekige driehoek

Transcriptie

1 Driehoeksmeting in een opyright rechthoekige driehoek

2 opyright

3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek. Goniometrische getallen van een scherpe hoek.... Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek Goniometrische getallen en de rekenmachine..... Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek.... Samenvatting Toepassingen.. Oplossen van een rechthoekige driehoek Vraagstukken.... Herhaling: voor wie iets meer wil.... Junior Wiskunde Olympiade.... opyright

4 Studiewijzer Leerdoelen De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek definiëren. Th blz ovenstaande definities toepassen.,, 7,, 8, 7, 9 Een hoek tekenen als een goniometrisch getal gegeven is. Goniometrische getallen van een hoek berekenen 9,, 8 met de rekenmachine. ij een gegeven goniometrisch getal de grootte van 0, 8 de hoek berekenen. De hoofdformule van de goniometrie formuleren. blz. 7 De hoofdformule van de goniometrie bewijzen. blz. 8 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de blz. tangens van een scherpe hoek formuleren. 9 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de blz. tangens van een scherpe hoek bewijzen. 0 ovenstaande formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen. 8 Hoeken en lengten berekenen in rechthoekige driehoeken. Vraagstukken oplossen door hoeken en lengten te berekenen in rechthoekige driehoeken., 7, 8,,, 0,,,,, 7, 8,,,, 9, 0,,,, Hoeken en lengten berekenen in ruimtefiguren. 9, 0,, 9,,, 9,, 7, 0 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

5 . Goniometrische getallen van een scherpe hoek % Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de ankerketting een hoek van met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is,7 meter lang. Hoe diep is het meer? ij rechthoekige driehoeken is er een verband tussen de scherpe hoeken: ze zijn complementair. Je hebt er ook een verband gevonden tussen de zijden: het kwadraat van de schuine zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Om dit probleem op te lossen, moet je echter ook verbanden kennen tussen de zijden en de hoeken. In D is = 90. [ ] is de schuine zijde. [ ] en [ ] zijn rechthoekszijden. [ ] noemen we de overstaande rechthoekszijde van en [ ] de aanliggende rechthoekszijde van. Je kunt ook de rechthoekszijden benoemen in functie van. Dan is [ ] de aanliggende rechthoekszijde en [ ] de overstaande rechthoekszijde. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 0

6 .. Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek Sinus van een scherpe hoek Zoekwerk 0 We zoeken een verband tussen de lengte van de zijden en de grootte van een scherpe hoek. Voorbeeld ij elk van de driehoeken is de grootte van een scherpe hoek gegeven en de lengte van de drie zijden. ereken de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de gegeven scherpe hoek en de schuine zijde op 0,0 nauwkeurig. E,78,97,7,87 D,8,87 F L, 0, M, K = DF = KM EF LM = Wat stel je vast? Voorbeeld Vervolledig de tekening zodat je twee rechthoekige driehoeken krijgt. ereken dezelfde verhouding als in het eerste voorbeeld. 0 0 Wat stel je vast? Verklaar. 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

7 Rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek zijn gelijkvormig. (gelijkvormigheidskenmerk HH) Uit de definitie van gelijkvormige driehoeken volgt dat overeenkomstige zijden een evenredigheid vormen. XY = YZ We verwisselen de middelste termen. XY YZ = Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de sinus van de scherpe hoek a. De sinus van de hoek a noteren we sin a. XY sin a = YZ = DEFINITIE De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde. Y X α Z α In D met = 90 is sin = =,8 = 0,788,90,90,8,0 De sinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal. Het vraagstuk van de boot kun je nu oplossen. Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de ankerketting een hoek van met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is,7 meter lang. Hoe diep is het meer? opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 07

8 Gegeven: D met = 90 = =,7 m Gevraagd:,7 m Oplossing: In D met = 90 : sin = sin =,7,7 m 8 =,7 sin = 0 Het meer is 0 m diep. osinus van een scherpe hoek Omdat DXYZ gelijkvormig is met D, kunnen we ook nog een andere evenredigheid afleiden. XZ = YZ We verwisselen de middelste termen. Y α Z α XZ YZ = X Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de cosinus van de scherpe hoek a. De cosinus van de hoek a noteren we cos a. XZ cos a = YZ = DEFINITIE De cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde. 08 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

9 In D met = 90 is cos = =,0 = 0,,90 De cosinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal.,90,8 Tangens van een scherpe hoek,0 Uit de gelijkvormigheid van DXYZ en D kan nog een andere evenredigheid afgeleid worden. XY = XZ We verwisselen de middelste termen. XY XZ = Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de tangens van de scherpe hoek a. De tangens van de hoek a noteren we tan a. XY tan a = XZ = DEFINITIE De tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde. Y X α Z α In D met = 90 is tan = =,0,8 =,78 De tangens van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal. Goniometrische getallen De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek noemen we goniometrische getallen van die hoek.,90,0,8 In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde steeds de langste zijde. ijgevolg liggen de sinus en de cosinus van een scherpe hoek steeds tussen 0 en. opyright De tangens van een scherpe hoek is groter dan 0.. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 09

10 Een geheugensteuntje van alle tijden!! Een schip is aan het zinken en de kapitein kan nog net het volgende bericht verzenden: sos castoa sinus cosinus tangens Opdrachten Schrijf met behulp van XY, YZ en XZ. a sin Y = d sin Z = Y b cos Y = e cos Z = c tan Y = f tan Z = X Z Vul in met sin, cos of tan. a RT RQ = R d RT TQ = Q b RT RQ = Q e TQ RQ = R Q c TQ RT = R TQ f RQ = Q R T Doorstreep de onjuiste antwoorden. tan = tan ED = E tan = D D tan ED = D E D 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

11 Teken een scherpe hoek a zodat a sin a = _ 7 b cos a = _ c tan a = De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is altijd kleiner dan de tangens van deze hoek. Verklaar. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek

12 Verbind wat bij elkaar hoort. a sin 0 D b cos 0 D c sin 0 d tan 0 0 m 7 Waar of niet waar? Verklaar. D a sin a is een hoek. b cos b is een getal. c Er bestaat een hoek a zo dat tan a > 0. d Er bestaat een hoek a zo dat cos a <. 8 In een rechthoekige D met [ H ] de hoogte op de schuine zijde is = H. ewijs de eigenschap van een rechthoekszijde met goniometrie. 8 Definieer cos a in twee verschillende driehoeken. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

13 .. Goniometrische getallen met de rekenmachine Met een rekenmachine is het mogelijk om goniometrische getallen van een hoek nauwkeurig te bepalen. De grootte van een hoek kan uitgedrukt worden in verschillende eenheden. De graad en de radiaal zijn de meest gebruikte eenheden. In dit boek gebruiken we de graad. Je rekenmachine met graden laten werken Druk op MODE, plaats de cursor op DEGREE. Druk op ENTER. Druk op LER en je krijgt een leeg scherm. Van hoek naar goniometrisch getal Voorbeelden We berekenen cos,. Druk op OS, voer, in en druk op ENTER. cos, = 0,7 8 0 We berekenen sin 0. Druk op SIN, voer 0 in en druk op ENTER. sin 0 = 0, Van goniometrisch getal naar hoek Voorbeeld We zoeken als tan =,7 78. Druk op ND TN, voer,7 78 in en druk op ENTER. = 9, 790 Het kwadraat van een goniometrisch getal berekenen Voorbeeld We berekenen het kwadraat van cos. We noteren: co s Voer cos in, druk op x en op ENTER. co s opyright = 0, Goniometrische getallen van een scherpe hoek

14 Opdrachten 9 ereken op 0,00 nauwkeurig. a sin = d cos 8 = b cos, = e tan = c tan 8,7 = f sin, = Het is een goede gewoonte om bij het invoeren van bijvoorbeeld sin je invoer af te sluiten met een haakje. Het moet als je bijvoorbeeld si n wil berekenen. 0 ereken de hoek a op 0,0 nauwkeurig. a sin a = 0, Þ a = d sin a = 0, Þ a = b tan a =, Þ a = e tan a = Þ a = c cos a = 0,7 Þ a = f cos a = 0,00 Þ a = ereken op 0,00 nauwkeurig. a si n = d co s = b co s, = e ta n = c ta n,7 = f si n, = Verklaar: // D 8 E D 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

15 .. Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek Zoekwerk We zoeken een verband tussen si n a en co s a. 0 Voorbeeld D met = 90 en =,, ereken: si n, + co s, = Herhaal dit voor. Wat stel je vast? Voorbeeld Kies de grootte van een scherpe hoek a. ereken si n a + co s a. Kom je tot hetzelfde besluit? EIGENSHP In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: si n a + co s a = Hoofdformule van de goniometrie We bewijzen deze eigenschap. Gegeven: D met = 90 scherpe hoek a c α a Te bewijzen: si n a + co s a = b ewijs: In D met = 90 : si n a + co s a = ( b _ a ) + ( c _ a ) (definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek) = b a + c a = b + c a = a a = (stelling van Pythagoras) opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek

16 Zoekwerk 0 We zoeken een verband tussen sin a, cos a en tan a. Voorbeeld D met = 90 en =, ereken: sin, = tan, = cos, Herhaal dit voor. Wat stel je vast?, Voorbeeld Kies de grootte van een scherpe hoek a. ereken sin cos a en tan a. Kom je tot hetzelfde besluit? EIGENSHP In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: sin cos a = tan a We bewijzen deze eigenschap. Gegeven: D met = 90 scherpe hoek a c α a Te bewijzen: ewijs: sin a cos a = tan a b In D met = 90 : sin cos a = b a c_ a (definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek) = b_ a a _ c = b _ c = tan a (definitie tangens van een scherpe hoek) opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

17 Opdrachten ls cos a = _, bereken dan sin a en tan a zonder rekenmachine. ls tan a = _, bereken dan sin a en cos a zonder rekenmachine. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 7

18 Samenvatting DEFINITIES In een rechthoekige driehoek is: de overstaande rechthoekszijde de sinus van een scherpe hoek = de schuine zijde sin = de aanliggende rechthoekszijde de cosinus van een scherpe hoek = de schuine zijde cos = de overstaande rechthoekszijde de tangens van een scherpe hoek = de aanliggende rechthoekszijde tan = EIGENSHPPEN In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: si n a + co s a = (hoofdformule van de goniometrie) sin a cos a = tan a Goniometrische getallen zonder rekenmachine 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

19 . Toepassingen.. Oplossen van een rechthoekige driehoek ls we van een rechthoekige driehoek een zijde en een scherpe hoek of twee zijden kennen, kunnen we de andere zijde(n) en hoek(en) berekenen. ij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je de ontbrekende elementen berekenen. Hierbij gebruik je de metrische eigenschappen in een rechthoekige driehoek en de goniometrische getallen van een scherpe hoek. Voorbeeld Gegeven: D met = 90 = en = 0 0 Gevraagd:, en Geef je resultaat op 0,0 nauwkeurig. Oplossing: In D met = 90 : + = 90 + = 90 = 7 tan = 0 = 0 tan = 8,9 cos = 0 = 0 cos =,7 Je kunt je oplossing steeds controleren met een niet-gebruikte eigenschap of definitie. ereken met tan : ontroleer met de stelling van Pythagoras: tan = 0 =, 8,9 = 7 + = 0 + 8, 9 = 7,08 _ 7,08 =,7 = Omdat je hier in je controle rekent met afgeronde getallen, kunnen je resultaten kleine afwijkingen hebben. opyright. Toepassingen 9

20 Voorbeeld R Gegeven: DPQR met P = 90 PQ = 8 en QR = 0 0 Gevraagd: PR, Q en R Geef je resultaat op 0,0 nauwkeurig. Q 8 P Oplossing: In DPQR met P = 90 : 0 = 8 + PR 0 8 = PR PR = _ = sin R = 8 0 R =, (stelling van Pythagoras) cos Q = 8 0 Q =,87 ontrole: ereken de som van de scherpe hoeken: ereken Q met tan Q : Q + R =,87 +, = 90 tan Q = _ 8 Q =,87 Elementaire opdrachten over het oplossen van rechthoekige driehoeken vind je in het bestand 0 oplossen van rechthoekige driehoeken. 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

21 0 Opdrachten ereken de ontbrekende zijden en hoeken van D met = 90. Rond indien nodig af op 0, nauwkeurig. a, m 0 b m, c, m, m d m m Gegeven: ereken E. D is gelijkzijdig DE ^ en D = D E 7 Gegeven: D, = 90, = 0, = m ereken op cm nauwkeurig: a en b H c H en H H opyright. Toepassingen

22 8 ereken op mm nauwkeurig de straal van de cirkel met middelpunt O. cm O 9 Onderzoek of de volgende uitspraak waar is in DM met = 90. ls M = en M = 0, dan is = _. M 0 In gelijkbenige D is tophoek gelijk aan 8 en de basis m. ereken 8 a de basishoeken van D b de lengte van de benen op cm nauwkeurig c de hoogte uit de top op cm nauwkeurig m d de oppervlakte op c m nauwkeurig ij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je een verklaring geven. Daarvoor moet je eigenschappen van driehoeken kennen. 9 Gebruik de tangens van een hoek. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

23 .. Vraagstukken Voorbeeld In een smal steegje met een breedte van één meter staat een ladder tegen een muur. De ladder is, m lang. Om stevig te staan, moet de ladder een hoek tussen 70 en 7 vormen met de grond. Kan deze ladder veilig geplaatst worden? Op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur? Gegeven: D met = 90 : = m en =, m Gevraagd: en Oplossing: In D met = 90 : cos =,, = +, m m (stelling van Pythagoras) = 7,87, = De ladder kan veilig geplaatst worden. = _, =, De ladder steunt op een hoogte van, m tegen de muur. ontrole: tan 7,87 = = tan 7,87 =, ij het oplossen van oefeningen gebruik je best zo veel mogelijk de gegevens en niet de berekende waarden. Zo voorkom je dat je met een fout resultaat verder werkt. opyright. Toepassingen

24 Voorbeeld Een piramide heeft als grondvlak een vierkant met een zijde van cm en de hoogte is 8 cm. T ereken a op 0,0 nauwkeurig. 8 cm D S α Oplossing: cm We berekenen S. S = _ (diagonalen-kenmerk parallellogram D) T In D met = 90 : = + ( stelling van Pythagoras ) 8 cm D = _ 88 S α S = _ = _ _ 88 = 8,8... cm We berekenen a. In DST met S = 90 : T tan a = 8 8 cm D a =, S α cm opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

25 Opdrachten In ruit D is = cm en D = cm. ereken de hoeken van de ruit en de lengte van de zijde op 0, nauwkeurig. Welk punt ligt het dichtst bij de rechte a? cm, cm 0 0 a opyright. Toepassingen

26 Een vliegtuig vliegt naar. In merkt de piloot dat hij niet genoeg brandstof heeft. Hij moet een tussenlanding maken in om te gaan tanken. De piloot wijkt hiervoor 0 af van zijn koers. ligt op 870 km van. Tijdens de tussenstop berekent hij dat hij nog 00 km moet vliegen om te bereiken. 0º 870 km 00 km Hoeveel kilometer heeft de piloot nu meer gevlogen dan oorspronkelijk gepland? ij berekeningen rond je enkel het eindresultaat af. Tussenresultaten kun je eventueel opslaan in je rekenmachine en opvragen als je ze nodig hebt. Het rekenen met afgeronde getallen kun je ook vermijden door je rekenmachine pas op het einde van de oefening te gebruiken. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

27 ereken, op m m nauwkeurig, de inhoud van de kegel die je krijgt door de rechthoekige D te laten wentelen. a b om om cm 0º Een balk ( EFGH is 8 m breed, m diep en m hoog. D ) ereken a. G H F m α E m D 8 m 7 Je zwemt een kanaal over en je maakt daarbij een hoek van met de oever. Het kanaal is 0 m breed. Hoeveel meter moet je zwemmen om de andere oever te bereiken? Op een afstand van m zie je, recht voor je uit kijkend, de voet van een toren. Kijk je onder een hoek van naar boven, dan zie je de top. ereken, op 0, m nauwkeurig, de hoogte van deze toren. opyright. Toepassingen 7

28 8 Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 0 km. ls je weet dat de dalingshoek is, hoe ver van de landingsplaats moet dan de piloot de landing inzetten? 9 Een lichtstraal die schuin in het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule uitgedrukt wordt: sin a sin b = _. Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in een punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem, als de invalshoek a gelijk is aan 0 en het water m diep is? Werk op cm nauwkeurig. Q β α P 0 In ruit D is de hoek gelijk aan 0 en de zijde 0 m. ereken de lengte van de diagonalen op cm nauwkeurig. In de kamer van Fran staat het bed op 80 cm van de deur. De deur is m breed. Om een goede doorgang te hebben, moet de deur minstens open kunnen staan. Is dit mogelijk? deur m 80 cm 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

29 ereken de oppervlakte van parallellogram D op 0,0 nauwkeurig. 0 D 8 ereken op c m nauwkeurig de oppervlakte van een gelijkbenige D waarvan de tophoek gelijk is aan en de hoogte op de basis m. Een kraanmachinist moet een big bag plaatsen op een toren in opbouw. De toren is nu m hoog. De onderkant van de big bag hangt, m onder de top van de kraanarm. De kraanarm heeft een lengte van 0 m en is op de wagen bevestigd op m boven de grond. Hoe groot is de kleinste hoek die de kraanarm moet maken om de big bag nog op de toren te kunnen leggen? Kapers gaan een schip enteren. Daarvoor willen ze kettingen afschieten zodat de masten van het kleinere schip vernield worden, maar de romp en de lading intact blijven. Met kettingen hebben de kanonnen maar een bereik van 00 m. De man in het kraaiennest weet dat hij 0 m boven de waterlijn zit. Hij ziet het schip naderen onder een hoek van 0. Kunnen ze nu het schip raken? opyright. Toepassingen 9

30 Tijdens een citytrip naar Parijs logeer je in een hotel met zicht op de Eiffeltoren. Vanuit je venster op de zesde verdieping, m hoog, kijk je onder een hoek van, naar de top en onder een hoek van naar de voet van de toren. Vul de tekening aan en bereken de hoogte van de Eiffeltoren. Eiffeltoren 7 an de rand van een slotgracht zie je de top van een toren onder een hoek van 7. Ga je 0 m achteruit, dan zie je de top onder een hoek van. a b Hoe breed is de slotgracht? Hoe hoog is de toren? 0 Duid de afstanden aan op de tekening. I kegel = _ p r h 8 De dalingshoek is de hoek die gevormd wordt met een horizontale lijn. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

31 Herhaling: voor wie iets meer wil 8 a is een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek. Vul de tabel in en rond de getallen af op 0,00 en de hoeken op 0, nauwkeurig. 9 a sin a cos a tan a 0 7, 0,8 0,97 Hoeveel m dakbedekking is er nodig om het dak te vernieuwen van een huis van m breed en 8 m diep? m 0 Een biljarttafel is 8 cm bij, cm. Een biljartbal wordt zonder effect van het punt naar het punt gespeeld. Welke afstand heeft de biljartbal afgelegd?, cm 0 7 cm Een ladder van, m staat tegen een muur. De voet van de ladder is op, m van de muur geplaatst. Welke hoek vormt de ladder met de muur en op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur? ereken op 0, nauwkeurig. De omtrek van een ruit is, m. Eén van de diagonalen is, m. ereken de hoeken van de ruit op 0, nauwkeurig. opyright Herhaling: voor wie iets meer wil

32 Een piloot begint aan een vlucht van 00 km (van naar ). Hij moet uitwijken naar om te gaan tanken. Hij wijkt hiervoor 0 af van zijn koers. angekomen in, stelt de piloot vast dat hij 870 km gevlogen heeft. Hoeveel km moet hij nog vliegen om in aan te komen? 0º 870 km 00 km ereken de hoeken op en de afstanden op 0, nauwkeurig. a, en b Q, Q en Q c Q, Q en Q Q P In 90 werden op het kanaal russel harleroi sluizen vervangen door 0 sluizen en het hellend vlak van Ronquières. Het hellend vlak overbrugt een afstand van m en heeft een hellingshoek van,7. Wat is het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt? Een cilindervormige waterton met diameter 70 cm en een hoogte van m is volledig gevuld. Omdat de ton te zwaar is om te verplaatsen, kantelen we ze over zodat er water wegloopt. Hoe hoog staat het water in de gekantelde ton? D m 70 cm º 7 Toon met de figuur aan. a b sin = _ cos = _ º c tan = 8 a en b zijn de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek en sin a = _. ereken zonder rekenmachine. a cos a en tan a b sin b, cos b en tan b opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

33 9 Duid de juiste antwoorden aan. D is gelijk aan 0º a cos 0 cos 0 0º b cos 0 cos 0 c cos 0 cos 0 0º 0º D 0 d cos 0 cos 0 Stel: op de Noordpool en Zuidpool staan twee telescopen opgesteld en 0,9 ze zijn beide op dezelfde maankrater gericht. Op een zeker moment M kijken ze allebei onder een hoek van 0,9 naar deze krater. De polar 0,9 radius is de afstand tussen het centrum van de aarde en de Noorden Zuidpool en bedraagt 7 km. Hoe groot is de afstand van de maankrater tot het middelpunt van de aarde? N 7 km Z Gegeven: D is gelijkbenig met tophoek = 0 = = 8 m Z is het zwaartepunt Gevraagd: Z op 0, m nauwkeurig 8 m 0 Z ereken op 0, m nauwkeurig. Q m 8º P opyright Herhaling: voor wie iets meer wil

34 Junior Wiskunde Olympiade In dit parallellogram, dat tevens een ruit is, meet de langste diagonaal 0 en de hoogte. epaal de lengte van de andere diagonaal D E In de rechthoekige driehoek is = en D en EF staan loodrecht op en DE staat loodrecht op. De lengte van [ EF ] is gelijk aan F D α E si n a si n a cos a si n a co s a D sin a co s a E co s a D met = 90, = cm en = 0 cm In deze driehoek wordt een vierkant ingeschreven zoals in de figuur. Hoe lang is de zijde van dit vierkant? cm 0 cm 8 cm 9 cm 0 cm D cm E cm epaal de oppervlakte van het parallellogram in de figuur. º _ 8 º _ 8 0 D E 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

35 De hoogtelijn verdeelt de rechte hoek van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden en in twee hoeken a en b. Dan is cos a + cos b gelijk aan _ +, D, E, Een driehoek met schuine zijde wentelt om het hoekpunt van de kleinste hoek. Hierdoor beschrijven de andere twee hoekpunten twee concentrische cirkels. Wat is de oppervlakte van de ring? cos 0 = _ p p D p E p opyright Junior Wiskunde Olympiade

36 opyright