Driehoeksmeting in een. Copyright. rechthoekige driehoek

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Driehoeksmeting in een. Copyright. rechthoekige driehoek"

Transcriptie

1 Driehoeksmeting in een opyright rechthoekige driehoek

2 opyright

3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek. Goniometrische getallen van een scherpe hoek.... Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek Goniometrische getallen en de rekenmachine..... Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek.... Samenvatting Toepassingen.. Oplossen van een rechthoekige driehoek Vraagstukken.... Herhaling: voor wie iets meer wil.... Junior Wiskunde Olympiade.... opyright

4 Studiewijzer Leerdoelen De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek definiëren. Th blz ovenstaande definities toepassen.,, 7,, 8, 7, 9 Een hoek tekenen als een goniometrisch getal gegeven is. Goniometrische getallen van een hoek berekenen 9,, 8 met de rekenmachine. ij een gegeven goniometrisch getal de grootte van 0, 8 de hoek berekenen. De hoofdformule van de goniometrie formuleren. blz. 7 De hoofdformule van de goniometrie bewijzen. blz. 8 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de blz. tangens van een scherpe hoek formuleren. 9 Het verband tussen de sinus, de cosinus en de blz. tangens van een scherpe hoek bewijzen. 0 ovenstaande formules gebruiken om goniometrische getallen te berekenen. 8 Hoeken en lengten berekenen in rechthoekige driehoeken. Vraagstukken oplossen door hoeken en lengten te berekenen in rechthoekige driehoeken., 7, 8,,, 0,,,,, 7, 8,,,, 9, 0,,,, Hoeken en lengten berekenen in ruimtefiguren. 9, 0,, 9,,, 9,, 7, 0 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

5 . Goniometrische getallen van een scherpe hoek % Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de ankerketting een hoek van met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is,7 meter lang. Hoe diep is het meer? ij rechthoekige driehoeken is er een verband tussen de scherpe hoeken: ze zijn complementair. Je hebt er ook een verband gevonden tussen de zijden: het kwadraat van de schuine zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Om dit probleem op te lossen, moet je echter ook verbanden kennen tussen de zijden en de hoeken. In D is = 90. [ ] is de schuine zijde. [ ] en [ ] zijn rechthoekszijden. [ ] noemen we de overstaande rechthoekszijde van en [ ] de aanliggende rechthoekszijde van. Je kunt ook de rechthoekszijden benoemen in functie van. Dan is [ ] de aanliggende rechthoekszijde en [ ] de overstaande rechthoekszijde. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 0

6 .. Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek Sinus van een scherpe hoek Zoekwerk 0 We zoeken een verband tussen de lengte van de zijden en de grootte van een scherpe hoek. Voorbeeld ij elk van de driehoeken is de grootte van een scherpe hoek gegeven en de lengte van de drie zijden. ereken de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de gegeven scherpe hoek en de schuine zijde op 0,0 nauwkeurig. E,78,97,7,87 D,8,87 F L, 0, M, K = DF = KM EF LM = Wat stel je vast? Voorbeeld Vervolledig de tekening zodat je twee rechthoekige driehoeken krijgt. ereken dezelfde verhouding als in het eerste voorbeeld. 0 0 Wat stel je vast? Verklaar. 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

7 Rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek zijn gelijkvormig. (gelijkvormigheidskenmerk HH) Uit de definitie van gelijkvormige driehoeken volgt dat overeenkomstige zijden een evenredigheid vormen. XY = YZ We verwisselen de middelste termen. XY YZ = Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de sinus van de scherpe hoek a. De sinus van de hoek a noteren we sin a. XY sin a = YZ = DEFINITIE De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde. Y X α Z α In D met = 90 is sin = =,8 = 0,788,90,90,8,0 De sinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal. Het vraagstuk van de boot kun je nu oplossen. Een boot ligt voor anker. Door de stroming maakt de ankerketting een hoek van met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerketting dat onder water zit, is,7 meter lang. Hoe diep is het meer? opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 07

8 Gegeven: D met = 90 = =,7 m Gevraagd:,7 m Oplossing: In D met = 90 : sin = sin =,7,7 m 8 =,7 sin = 0 Het meer is 0 m diep. osinus van een scherpe hoek Omdat DXYZ gelijkvormig is met D, kunnen we ook nog een andere evenredigheid afleiden. XZ = YZ We verwisselen de middelste termen. Y α Z α XZ YZ = X Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a en de schuine zijde hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de cosinus van de scherpe hoek a. De cosinus van de hoek a noteren we cos a. XZ cos a = YZ = DEFINITIE De cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde. 08 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

9 In D met = 90 is cos = =,0 = 0,,90 De cosinus van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal.,90,8 Tangens van een scherpe hoek,0 Uit de gelijkvormigheid van DXYZ en D kan nog een andere evenredigheid afgeleid worden. XY = XZ We verwisselen de middelste termen. XY XZ = Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen: In rechthoekige driehoeken met eenzelfde scherpe hoek a is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a hetzelfde. Deze verhouding is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de tangens van de scherpe hoek a. De tangens van de hoek a noteren we tan a. XY tan a = XZ = DEFINITIE De tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde. Y X α Z α In D met = 90 is tan = =,0,8 =,78 De tangens van een scherpe hoek drukt een verhouding uit tussen twee lengten en is dus een reëel getal. Goniometrische getallen De sinus, de cosinus en de tangens van een scherpe hoek noemen we goniometrische getallen van die hoek.,90,0,8 In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde steeds de langste zijde. ijgevolg liggen de sinus en de cosinus van een scherpe hoek steeds tussen 0 en. opyright De tangens van een scherpe hoek is groter dan 0.. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 09

10 Een geheugensteuntje van alle tijden!! Een schip is aan het zinken en de kapitein kan nog net het volgende bericht verzenden: sos castoa sinus cosinus tangens Opdrachten Schrijf met behulp van XY, YZ en XZ. a sin Y = d sin Z = Y b cos Y = e cos Z = c tan Y = f tan Z = X Z Vul in met sin, cos of tan. a RT RQ = R d RT TQ = Q b RT RQ = Q e TQ RQ = R Q c TQ RT = R TQ f RQ = Q R T Doorstreep de onjuiste antwoorden. tan = tan ED = E tan = D D tan ED = D E D 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

11 Teken een scherpe hoek a zodat a sin a = _ 7 b cos a = _ c tan a = De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is altijd kleiner dan de tangens van deze hoek. Verklaar. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek

12 Verbind wat bij elkaar hoort. a sin 0 D b cos 0 D c sin 0 d tan 0 0 m 7 Waar of niet waar? Verklaar. D a sin a is een hoek. b cos b is een getal. c Er bestaat een hoek a zo dat tan a > 0. d Er bestaat een hoek a zo dat cos a <. 8 In een rechthoekige D met [ H ] de hoogte op de schuine zijde is = H. ewijs de eigenschap van een rechthoekszijde met goniometrie. 8 Definieer cos a in twee verschillende driehoeken. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

13 .. Goniometrische getallen met de rekenmachine Met een rekenmachine is het mogelijk om goniometrische getallen van een hoek nauwkeurig te bepalen. De grootte van een hoek kan uitgedrukt worden in verschillende eenheden. De graad en de radiaal zijn de meest gebruikte eenheden. In dit boek gebruiken we de graad. Je rekenmachine met graden laten werken Druk op MODE, plaats de cursor op DEGREE. Druk op ENTER. Druk op LER en je krijgt een leeg scherm. Van hoek naar goniometrisch getal Voorbeelden We berekenen cos,. Druk op OS, voer, in en druk op ENTER. cos, = 0,7 8 0 We berekenen sin 0. Druk op SIN, voer 0 in en druk op ENTER. sin 0 = 0, Van goniometrisch getal naar hoek Voorbeeld We zoeken als tan =,7 78. Druk op ND TN, voer,7 78 in en druk op ENTER. = 9, 790 Het kwadraat van een goniometrisch getal berekenen Voorbeeld We berekenen het kwadraat van cos. We noteren: co s Voer cos in, druk op x en op ENTER. co s opyright = 0, Goniometrische getallen van een scherpe hoek

14 Opdrachten 9 ereken op 0,00 nauwkeurig. a sin = d cos 8 = b cos, = e tan = c tan 8,7 = f sin, = Het is een goede gewoonte om bij het invoeren van bijvoorbeeld sin je invoer af te sluiten met een haakje. Het moet als je bijvoorbeeld si n wil berekenen. 0 ereken de hoek a op 0,0 nauwkeurig. a sin a = 0, Þ a = d sin a = 0, Þ a = b tan a =, Þ a = e tan a = Þ a = c cos a = 0,7 Þ a = f cos a = 0,00 Þ a = ereken op 0,00 nauwkeurig. a si n = d co s = b co s, = e ta n = c ta n,7 = f si n, = Verklaar: // D 8 E D 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

15 .. Verband tussen goniometrische getallen van een scherpe hoek Zoekwerk We zoeken een verband tussen si n a en co s a. 0 Voorbeeld D met = 90 en =,, ereken: si n, + co s, = Herhaal dit voor. Wat stel je vast? Voorbeeld Kies de grootte van een scherpe hoek a. ereken si n a + co s a. Kom je tot hetzelfde besluit? EIGENSHP In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: si n a + co s a = Hoofdformule van de goniometrie We bewijzen deze eigenschap. Gegeven: D met = 90 scherpe hoek a c α a Te bewijzen: si n a + co s a = b ewijs: In D met = 90 : si n a + co s a = ( b _ a ) + ( c _ a ) (definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek) = b a + c a = b + c a = a a = (stelling van Pythagoras) opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek

16 Zoekwerk 0 We zoeken een verband tussen sin a, cos a en tan a. Voorbeeld D met = 90 en =, ereken: sin, = tan, = cos, Herhaal dit voor. Wat stel je vast?, Voorbeeld Kies de grootte van een scherpe hoek a. ereken sin cos a en tan a. Kom je tot hetzelfde besluit? EIGENSHP In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: sin cos a = tan a We bewijzen deze eigenschap. Gegeven: D met = 90 scherpe hoek a c α a Te bewijzen: ewijs: sin a cos a = tan a b In D met = 90 : sin cos a = b a c_ a (definitie sinus en cosinus van een scherpe hoek) = b_ a a _ c = b _ c = tan a (definitie tangens van een scherpe hoek) opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

17 Opdrachten ls cos a = _, bereken dan sin a en tan a zonder rekenmachine. ls tan a = _, bereken dan sin a en cos a zonder rekenmachine. opyright. Goniometrische getallen van een scherpe hoek 7

18 Samenvatting DEFINITIES In een rechthoekige driehoek is: de overstaande rechthoekszijde de sinus van een scherpe hoek = de schuine zijde sin = de aanliggende rechthoekszijde de cosinus van een scherpe hoek = de schuine zijde cos = de overstaande rechthoekszijde de tangens van een scherpe hoek = de aanliggende rechthoekszijde tan = EIGENSHPPEN In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek a geldt: si n a + co s a = (hoofdformule van de goniometrie) sin a cos a = tan a Goniometrische getallen zonder rekenmachine 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

19 . Toepassingen.. Oplossen van een rechthoekige driehoek ls we van een rechthoekige driehoek een zijde en een scherpe hoek of twee zijden kennen, kunnen we de andere zijde(n) en hoek(en) berekenen. ij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je de ontbrekende elementen berekenen. Hierbij gebruik je de metrische eigenschappen in een rechthoekige driehoek en de goniometrische getallen van een scherpe hoek. Voorbeeld Gegeven: D met = 90 = en = 0 0 Gevraagd:, en Geef je resultaat op 0,0 nauwkeurig. Oplossing: In D met = 90 : + = 90 + = 90 = 7 tan = 0 = 0 tan = 8,9 cos = 0 = 0 cos =,7 Je kunt je oplossing steeds controleren met een niet-gebruikte eigenschap of definitie. ereken met tan : ontroleer met de stelling van Pythagoras: tan = 0 =, 8,9 = 7 + = 0 + 8, 9 = 7,08 _ 7,08 =,7 = Omdat je hier in je controle rekent met afgeronde getallen, kunnen je resultaten kleine afwijkingen hebben. opyright. Toepassingen 9

20 Voorbeeld R Gegeven: DPQR met P = 90 PQ = 8 en QR = 0 0 Gevraagd: PR, Q en R Geef je resultaat op 0,0 nauwkeurig. Q 8 P Oplossing: In DPQR met P = 90 : 0 = 8 + PR 0 8 = PR PR = _ = sin R = 8 0 R =, (stelling van Pythagoras) cos Q = 8 0 Q =,87 ontrole: ereken de som van de scherpe hoeken: ereken Q met tan Q : Q + R =,87 +, = 90 tan Q = _ 8 Q =,87 Elementaire opdrachten over het oplossen van rechthoekige driehoeken vind je in het bestand 0 oplossen van rechthoekige driehoeken. 0 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

21 0 Opdrachten ereken de ontbrekende zijden en hoeken van D met = 90. Rond indien nodig af op 0, nauwkeurig. a, m 0 b m, c, m, m d m m Gegeven: ereken E. D is gelijkzijdig DE ^ en D = D E 7 Gegeven: D, = 90, = 0, = m ereken op cm nauwkeurig: a en b H c H en H H opyright. Toepassingen

22 8 ereken op mm nauwkeurig de straal van de cirkel met middelpunt O. cm O 9 Onderzoek of de volgende uitspraak waar is in DM met = 90. ls M = en M = 0, dan is = _. M 0 In gelijkbenige D is tophoek gelijk aan 8 en de basis m. ereken 8 a de basishoeken van D b de lengte van de benen op cm nauwkeurig c de hoogte uit de top op cm nauwkeurig m d de oppervlakte op c m nauwkeurig ij het oplossen van rechthoekige driehoeken moet je een verklaring geven. Daarvoor moet je eigenschappen van driehoeken kennen. 9 Gebruik de tangens van een hoek. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

23 .. Vraagstukken Voorbeeld In een smal steegje met een breedte van één meter staat een ladder tegen een muur. De ladder is, m lang. Om stevig te staan, moet de ladder een hoek tussen 70 en 7 vormen met de grond. Kan deze ladder veilig geplaatst worden? Op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur? Gegeven: D met = 90 : = m en =, m Gevraagd: en Oplossing: In D met = 90 : cos =,, = +, m m (stelling van Pythagoras) = 7,87, = De ladder kan veilig geplaatst worden. = _, =, De ladder steunt op een hoogte van, m tegen de muur. ontrole: tan 7,87 = = tan 7,87 =, ij het oplossen van oefeningen gebruik je best zo veel mogelijk de gegevens en niet de berekende waarden. Zo voorkom je dat je met een fout resultaat verder werkt. opyright. Toepassingen

24 Voorbeeld Een piramide heeft als grondvlak een vierkant met een zijde van cm en de hoogte is 8 cm. T ereken a op 0,0 nauwkeurig. 8 cm D S α Oplossing: cm We berekenen S. S = _ (diagonalen-kenmerk parallellogram D) T In D met = 90 : = + ( stelling van Pythagoras ) 8 cm D = _ 88 S α S = _ = _ _ 88 = 8,8... cm We berekenen a. In DST met S = 90 : T tan a = 8 8 cm D a =, S α cm opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

25 Opdrachten In ruit D is = cm en D = cm. ereken de hoeken van de ruit en de lengte van de zijde op 0, nauwkeurig. Welk punt ligt het dichtst bij de rechte a? cm, cm 0 0 a opyright. Toepassingen

26 Een vliegtuig vliegt naar. In merkt de piloot dat hij niet genoeg brandstof heeft. Hij moet een tussenlanding maken in om te gaan tanken. De piloot wijkt hiervoor 0 af van zijn koers. ligt op 870 km van. Tijdens de tussenstop berekent hij dat hij nog 00 km moet vliegen om te bereiken. 0º 870 km 00 km Hoeveel kilometer heeft de piloot nu meer gevlogen dan oorspronkelijk gepland? ij berekeningen rond je enkel het eindresultaat af. Tussenresultaten kun je eventueel opslaan in je rekenmachine en opvragen als je ze nodig hebt. Het rekenen met afgeronde getallen kun je ook vermijden door je rekenmachine pas op het einde van de oefening te gebruiken. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

27 ereken, op m m nauwkeurig, de inhoud van de kegel die je krijgt door de rechthoekige D te laten wentelen. a b om om cm 0º Een balk ( EFGH is 8 m breed, m diep en m hoog. D ) ereken a. G H F m α E m D 8 m 7 Je zwemt een kanaal over en je maakt daarbij een hoek van met de oever. Het kanaal is 0 m breed. Hoeveel meter moet je zwemmen om de andere oever te bereiken? Op een afstand van m zie je, recht voor je uit kijkend, de voet van een toren. Kijk je onder een hoek van naar boven, dan zie je de top. ereken, op 0, m nauwkeurig, de hoogte van deze toren. opyright. Toepassingen 7

28 8 Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 0 km. ls je weet dat de dalingshoek is, hoe ver van de landingsplaats moet dan de piloot de landing inzetten? 9 Een lichtstraal die schuin in het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule uitgedrukt wordt: sin a sin b = _. Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in een punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem, als de invalshoek a gelijk is aan 0 en het water m diep is? Werk op cm nauwkeurig. Q β α P 0 In ruit D is de hoek gelijk aan 0 en de zijde 0 m. ereken de lengte van de diagonalen op cm nauwkeurig. In de kamer van Fran staat het bed op 80 cm van de deur. De deur is m breed. Om een goede doorgang te hebben, moet de deur minstens open kunnen staan. Is dit mogelijk? deur m 80 cm 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

29 ereken de oppervlakte van parallellogram D op 0,0 nauwkeurig. 0 D 8 ereken op c m nauwkeurig de oppervlakte van een gelijkbenige D waarvan de tophoek gelijk is aan en de hoogte op de basis m. Een kraanmachinist moet een big bag plaatsen op een toren in opbouw. De toren is nu m hoog. De onderkant van de big bag hangt, m onder de top van de kraanarm. De kraanarm heeft een lengte van 0 m en is op de wagen bevestigd op m boven de grond. Hoe groot is de kleinste hoek die de kraanarm moet maken om de big bag nog op de toren te kunnen leggen? Kapers gaan een schip enteren. Daarvoor willen ze kettingen afschieten zodat de masten van het kleinere schip vernield worden, maar de romp en de lading intact blijven. Met kettingen hebben de kanonnen maar een bereik van 00 m. De man in het kraaiennest weet dat hij 0 m boven de waterlijn zit. Hij ziet het schip naderen onder een hoek van 0. Kunnen ze nu het schip raken? opyright. Toepassingen 9

30 Tijdens een citytrip naar Parijs logeer je in een hotel met zicht op de Eiffeltoren. Vanuit je venster op de zesde verdieping, m hoog, kijk je onder een hoek van, naar de top en onder een hoek van naar de voet van de toren. Vul de tekening aan en bereken de hoogte van de Eiffeltoren. Eiffeltoren 7 an de rand van een slotgracht zie je de top van een toren onder een hoek van 7. Ga je 0 m achteruit, dan zie je de top onder een hoek van. a b Hoe breed is de slotgracht? Hoe hoog is de toren? 0 Duid de afstanden aan op de tekening. I kegel = _ p r h 8 De dalingshoek is de hoek die gevormd wordt met een horizontale lijn. opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

31 Herhaling: voor wie iets meer wil 8 a is een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek. Vul de tabel in en rond de getallen af op 0,00 en de hoeken op 0, nauwkeurig. 9 a sin a cos a tan a 0 7, 0,8 0,97 Hoeveel m dakbedekking is er nodig om het dak te vernieuwen van een huis van m breed en 8 m diep? m 0 Een biljarttafel is 8 cm bij, cm. Een biljartbal wordt zonder effect van het punt naar het punt gespeeld. Welke afstand heeft de biljartbal afgelegd?, cm 0 7 cm Een ladder van, m staat tegen een muur. De voet van de ladder is op, m van de muur geplaatst. Welke hoek vormt de ladder met de muur en op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur? ereken op 0, nauwkeurig. De omtrek van een ruit is, m. Eén van de diagonalen is, m. ereken de hoeken van de ruit op 0, nauwkeurig. opyright Herhaling: voor wie iets meer wil

32 Een piloot begint aan een vlucht van 00 km (van naar ). Hij moet uitwijken naar om te gaan tanken. Hij wijkt hiervoor 0 af van zijn koers. angekomen in, stelt de piloot vast dat hij 870 km gevlogen heeft. Hoeveel km moet hij nog vliegen om in aan te komen? 0º 870 km 00 km ereken de hoeken op en de afstanden op 0, nauwkeurig. a, en b Q, Q en Q c Q, Q en Q Q P In 90 werden op het kanaal russel harleroi sluizen vervangen door 0 sluizen en het hellend vlak van Ronquières. Het hellend vlak overbrugt een afstand van m en heeft een hellingshoek van,7. Wat is het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt? Een cilindervormige waterton met diameter 70 cm en een hoogte van m is volledig gevuld. Omdat de ton te zwaar is om te verplaatsen, kantelen we ze over zodat er water wegloopt. Hoe hoog staat het water in de gekantelde ton? D m 70 cm º 7 Toon met de figuur aan. a b sin = _ cos = _ º c tan = 8 a en b zijn de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek en sin a = _. ereken zonder rekenmachine. a cos a en tan a b sin b, cos b en tan b opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

33 9 Duid de juiste antwoorden aan. D is gelijk aan 0º a cos 0 cos 0 0º b cos 0 cos 0 c cos 0 cos 0 0º 0º D 0 d cos 0 cos 0 Stel: op de Noordpool en Zuidpool staan twee telescopen opgesteld en 0,9 ze zijn beide op dezelfde maankrater gericht. Op een zeker moment M kijken ze allebei onder een hoek van 0,9 naar deze krater. De polar 0,9 radius is de afstand tussen het centrum van de aarde en de Noorden Zuidpool en bedraagt 7 km. Hoe groot is de afstand van de maankrater tot het middelpunt van de aarde? N 7 km Z Gegeven: D is gelijkbenig met tophoek = 0 = = 8 m Z is het zwaartepunt Gevraagd: Z op 0, m nauwkeurig 8 m 0 Z ereken op 0, m nauwkeurig. Q m 8º P opyright Herhaling: voor wie iets meer wil

34 Junior Wiskunde Olympiade In dit parallellogram, dat tevens een ruit is, meet de langste diagonaal 0 en de hoogte. epaal de lengte van de andere diagonaal D E In de rechthoekige driehoek is = en D en EF staan loodrecht op en DE staat loodrecht op. De lengte van [ EF ] is gelijk aan F D α E si n a si n a cos a si n a co s a D sin a co s a E co s a D met = 90, = cm en = 0 cm In deze driehoek wordt een vierkant ingeschreven zoals in de figuur. Hoe lang is de zijde van dit vierkant? cm 0 cm 8 cm 9 cm 0 cm D cm E cm epaal de oppervlakte van het parallellogram in de figuur. º _ 8 º _ 8 0 D E 8 opyright Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

35 De hoogtelijn verdeelt de rechte hoek van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden en in twee hoeken a en b. Dan is cos a + cos b gelijk aan _ +, D, E, Een driehoek met schuine zijde wentelt om het hoekpunt van de kleinste hoek. Hierdoor beschrijven de andere twee hoekpunten twee concentrische cirkels. Wat is de oppervlakte van de ring? cos 0 = _ p p D p E p opyright Junior Wiskunde Olympiade

36 opyright

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN ) Gegeven: een rechthoekige driehoek ABC. Schrijf de volgende goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden van

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

Inleiding goniometrie

Inleiding goniometrie Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

VOORBEREIDINGSWEEK BASISOPDRACHTEN

VOORBEREIDINGSWEEK BASISOPDRACHTEN DEEL I VOORBEREIDINGSWEEK BASISOPDRACHTEN In deze week werk je aan een grote serie opdrachten die gereedschap zullen zijn voor de rest van de periode. Je moet zelf je eigen uitwerking maken in een soort

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl.

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl. Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = 44 25 + 69 BC = 69 = cm De omtrek van ABC is 5 + 2 + = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm

Nadere informatie

1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5

1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5 Herhalingsoefeningen Willekeurige driehoeken Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1 Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 00 - I Beoordelingsmodel Stappenteller maximumscore De staplengte is 600 : 754 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) ( 0,58 meter) Als het antwoord in meters gegeven

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Driehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef. 694. 24 dm 3 96 dm 3 240 dm 3 oef. 704

Driehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef. 694. 24 dm 3 96 dm 3 240 dm 3 oef. 704 4 riehoeken it kun je al 1 ruimtefiguren herkennen hoeken meten en tekenen 3 oppervlakte berekenen van vierhoeken 4 volume berekenen van balk en kubus Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord.

Nadere informatie

oppervlakte grondvlak hoogte

oppervlakte grondvlak hoogte OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = π diameter oppervlakte cirkel = π straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal INTEGRL www.plantyn.com/integraal INTEGRL SNEK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK MEETKUNDE LEERWERKOEK Wat vindt u van deze preview? Laat het ons weten op http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal WISKUNDE

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. xamen VMO-GL en TL 2013 tijdvak 2 dinsdag 18 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CS GL en TL ij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten

Nadere informatie

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

BZL WISKUNDE Naam: Klas:

BZL WISKUNDE Naam: Klas: BZL WISKUNDE Naam: Klas: Ruimtelijk Inzicht en driehoeksmeting in een Rechthoekige driehoek Doel van de taak Zelfstandig de geziene leerstof in verband met rechthoekige driehoeken gebruiken in het vlak

Nadere informatie

2 Trigonometrie. Domein Meetkunde havo B

2 Trigonometrie. Domein Meetkunde havo B Domein Meetkunde havo B Trigonometrie Inhoud.. Sinus, cosinus en tangens.. Lijnen en hoeken.. De sinusregel.4. De cosinusregel.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs ctwo Utrecht

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2008 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180.

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. V: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. Neem dan eens allemaal een blad papier en teken daarop een driehoek. In elke hoek zet je een letter (A, B en C) of geef je een kleurtje. Knip

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 22 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 22 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2010 tijdvak 2 dinsdag 22 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Leerstofplanning. 3 vmbo-k

Leerstofplanning. 3 vmbo-k Leerstofplanning 3 vmbo-k Inhoud 3 vmbo-k deel 1 1 Kijken in ruimtefiguren Bij kaart: schaal, hemelsbreed en werkelijke afstand(vuistregels), hoogtelijnen op kaart, verticale doorsnede bij hoogtekaart,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2

Examen HAVO. wiskunde B1,2 wiskunde 1,2 Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 23 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1 H5 Ruimtelijke figuren in het plat VWO 5.0 INTRO a een vierkant ; een lijnstuk ; een vierkant Bijvooreeld zo: Het laagste punt is het midden van het grondvlak. Snij van een kurk aan weerszijden een stuk

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Gelijkvormigheid Voorkennis V-1a /A = 74, /B 1 = 18 en /D 1 = 88 /A + /B 1 + /D 1 = 74 + 18 + 88 = 180 c /B = 104, /C = 55 en /D = 1 d /B = /B 1 + /B = 18 + 104 = 1 en /D = /D 1 + /D = 88 +

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 wiskunde B1, Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. it examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Pythagoras

Wiskunde Opdrachten Pythagoras Wiskunde Opdrachten Pythagoras Opdracht 1. Teken een assenstelsel met daarin de punten A(2,5), B(5,2) en C(9,6). A. Bereken AB, BC en AC. B. Laat door middel van berekening zien dat hoek B van driehoek

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden

Hoofdstuk 10 - Hoeken en afstanden oofdstuk 0 - oeken en afstanden Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 7 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde

Nadere informatie

Examen VMBO-GL en TL 2008 wiskunde CSE GL en TL tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur

Examen VMBO-GL en TL 2008 wiskunde CSE GL en TL tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur Examen VMBO-GL en TL 2008 wiskunde CSE GL en TL tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten

Nadere informatie

Bereken de oppervlakte van de donkere gedeelten in de tekeningen hieronder.

Bereken de oppervlakte van de donkere gedeelten in de tekeningen hieronder. Oefenopgaven oppervlakte en inhoud 1. Bereken de oppervlakte van de driehoeken en parallellogrammen hieronder. 2. Bereken de oppervlakte van de donkere gedeelten in de tekeningen hieronder. 3. A. Bereken

Nadere informatie