Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens

Transcriptie

1 Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen in deze provincie? De meeste leerlingen zullen de vraag met neen beantwoorden. Een klasgesprek kan dan uit de volgende vragen bestaan: - Hoeveel personen kunnen we plaatsen op een vierkante meter? Verwijzen naar een kleine lift met grondoppervlakte 1 m² leidt tot het antwoord 4 of 5. - We nemen 4 personen. Hoeveel personen kunnen we plaatsen op 1 km²? Omzetting (de opgave is een toepassing op het metriek stelsel): 1 km² = m² Aantal personen: = Hoeveel personen kunnen we plaatsen in de provincie West-Vlaanderen? Aantal: = Wegens > is het antwoord op de vraag ja. Vragen aan de leerlingen voor thuis - Zou het ook lukken met 3 personen per m²? - Hoelang duurt het om de wereldbevolking te tellen als je per seconde één getal uitspreekt? 2. Toepassing op het begrip schaal. De aarde heeft een straal van 6378 km. Als je de aarde voorstelt door een bol met straal 20 cm, hoe hoog is dan de Everest (8848 m) op die voorstelling? Laat de leerlingen eerst een vermoeden opstellen: noteer op het bord hoeveel leerlingen denken dat het meer dan 5 cm is, tussen 1 cm en 5 cm, tussen 1 mm en 1 cm, minder dan 1 mm. 20 cm Berekening van de schaal: 6378 km = = Voorstelling Everest: 8848 m. 0,00028 m = 0,28 mm Conclusie: de aarde is een heel platte planeet. 3 Het kamelenprobleem (toepassing op de som van breuken) Een arabier laat bij zijn dood 17 kamelen na aan zijn drie zonen. In zijn testament staat: de oudste krijgt 1 2 van dat aantal, de volgende 1 3 en de jongste 1 9. Hoe kun je die verdeling uitvoeren zonder een kameel aan stukken te snijden? Zij halen er een wiskundige buur bij. Die brengt een eigen kameel mee. Nu zijn er 18 kamelen te verdelen. Oudste zoon: 18 kamelen. 1 2 = 9 kamelen Volgende zoon: 18 kamelen. 1 3 = 6 kamelen Jongste zoon: 18 kamelen. 1 9 = 2 kamelen 1

2 In het totaal is zo de erfenis van 17 kamelen verdeeld. De buurman neemt zijn eigen kameel terug naar huis. Het napraatje is hier belangrijk. De oplossing is immers op zijn minst wat vreemd. Je kunt de leerlingen erop wijzen dat het hier eigenlijk om een foutief opgestelde verdeling gaat: = De arabier heeft dus met zijn testament niet zijn volledig bezit aan kamelen verdeeld. Elke zoon krijgt bovendien met de uiteindelijke verdeling meer dan waar hij recht op heeft: 9 17 > > > 1 9 Vraag voor thuis Hermaak het vraagstuk met een ander aantal kamelen, desgevallend andere breuken of een ander aantal kinderen. Om dit op te lossen neem je best een natuurlijk getal met heel wat delers. Je kiest enkele delers zo dat hun som een beetje minder is dan het oorspronkelijk getal. Neem bijvoorbeeld 24. Delers: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 We kiezen de delers 12, 8, 3 met som 23. Die som is het aantal kamelen in de erfenis. 12 De breuken zijn dan: 24 = = = 1 8 Opnieuw moet er dan één kameel geleend worden. Kies je de delers 12, 6, 3 met som 21 dan moeten er drie kamelen geleend worden. Kies je de delers 8, 6, 4, 3, 2 met som 23 dan moet je vijf kinderen nemen en één kameel lenen. 4. Hoe laat je de leerlingen zelf de principes van het cavalièreperspectief vinden? Principe 1 Geef de leerlingen volgende twee voorstellingen van een balk. Te stellen vragen Welk soort vierhoek is elk zijvlak van een balk? Wat weet je over de onderlinge stand van twee overstaande zijden van een rechthoek? Vind je elke dergelijke evenwijdigheid van de ribben in de linkerfiguur terug? Vind je elke dergelijke evenwijdigheid in de rechterfiguur terug? Welke voorstelling zullen we dus verkiezen? Principe 1 Evenwijdige rechten in de ruimte worden in een vlakke voorstelling evenwijdig getekend. 2

3 Principe 2 Geef de leerlingen volgende twee voorstellingen van een kubus met ribben van 2 cm. Bij die voorstellingen is al voldaan aan het principe 1. Te stellen vragen a. Hoeveel ribben telt een kubus? Al die ribben hebben lengte 2 cm. Hoe dikwijls vind je die lengte in de linkerfiguur terug? Hoe dikwijls vind je die lengte in de rechterfiguur terug? b In elk hoekpunt van de kubus tref je drie rechte hoeken aan. Hoeveel rechte hoeken zijn dat in het totaal? Hoeveel van die rechte hoeken zijn in de linkerfiguur als een rechte hoek getekend? Hoeveel in de rechterfiguur? Welke van de twee voorstellingen zullen we verkiezen? Principe 2 Bij het tekenen houden we ten minste één zijvlak van de ruimtefiguur evenwijdig met het vlak van de tekening Principe 3 Te nemen beslissing: onder welke hoek tekenen we rechten loodrecht op het vlak van de tekening? Geef de leerlingen volgende drie voorstellingen van een balk. Bij die voorstellingen is al voldaan aan de vorige principes. Te stellen vragen Welk soort hoeken zijn de hoeken en in de ruimte? Kun je die hoeken beide als een rechte hoek tekenen? Is een belangrijkere hoek dan zodat het logisch is die hoek groter te tekenen (linkerfiguur)? Is een belangrijkere hoek dan zodat het logisch is die hoek groter te tekenen (rechterfiguur)? Welke van de drie voorstellingen zullen we verkiezen? 3

4 Principe 3 Rechten die loodrecht staan op het vlak van de tekening worden getekend onder een hoek van 45 met de horizontalen van de tekening. Principe 4 Te nemen beslissing: lijnstukken loodrecht op het vlak van de tekening hebben een bepaalde lengte; tekenen we ze op ware grootte, langer of korter? Geef de leerlingen de volgende vijf voorstellingen van een kubus met ribben van 3 cm. Bij die voorstellingen zijn de vorige principes toegepast. Te stellen vragen Een eerste beslissing: tekenen we die lijnstukken op ware grootte, langer of korter. De eerste twee voorstellingen lijken geen kubus, het antwoord is dus eenduidig: korter. Tweede beslissing: hoeveel korter tekenen we de lijnstukken? Dit keer zal er geen eensgezindheid zijn. Het is echter belangrijk dat we allemaal dezelfde keuze maken: we nemen halve grootte. Dat belet niet dat andere keuzes te verantwoorden zijn. Principe 4 Lijnstukken loodrecht op het vlak van de tekening worden op halve grootte getekend. 4

5 5. Voor twee driehoeken zijn er zes mogelijke gelijkheden tussen hun hoeken en hun zijden. Bestaan er twee driehoeken waarvoor vijf van die gelijkheden waar zijn en die toch niet congruent zijn? Vraag aan de leerlingen elke zijde en elke hoek te meten. Lengte van de zijden: ABC: AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 9 cm DEF: DE = 9 cm, EF = 13,5 cm, DF = 6 cm Grootte van de hoeken: ABC: Â = 32 ˆB = 127 Ĉ = 21 DEF: ˆD = 127 Ê = 21 ˆF = 32. Even lange zijden: BC = DF, AC = DE. Even grote hoeken: Â = ˆF, ˆB = ˆD, Ĉ = Ê (ook: benen evenwijdig in tegengestelde zin) Aantal gelijkheden: vijf Interessant is er later bij de gelijkvormige driehoeken op terug te komen. Immers: AB DF = BC DE = AC EF want 4 6 = 6 9 = 9 13,5 Dat betekent dat de driehoeken gelijkvormig zijn en dat het dus logisch is dat de hoeken paarsgewijs even groot zijn. Maar dat betekent dat je zelf dergelijke opgaven kunt maken: je hoeft alleen de maatgetallen van de zijden zo te kiezen dat: a b = b c = c d evenredigheidsfactor verschillend van 1. 5

6 6. Bestaan er twee veelhoeken, waarvan de lengten van de zijden recht evenredig zijn, en waarvan de hoeken paarsgewijs even groot zijn en die toch niet gelijkvormig zijn? Lengten van de zijden AB = 3 cm, BC = 1,5 cm, CD = 1 cm, DE = 3 cm, EF = 1,5 cm, FA = 1 cm A B = 6 cm, B C = 3 cm, C D = 2 cm, D E = 6 cm, E F = 3 cm, F A = 2 cm 6 Je stelt vast: 3 = 3 1,5 = 2 1 = 6 3 = 3 1,5 = 2 1 Grootte van de hoeken  = 135, ˆB = 135, Ĉ = 90, ˆD = 135, Ê = 135, ˆF = 90 ˆB' = 135, Ĉ' = 135, ˆD' = 90, Ê' = 135, ˆF' = 135, Â' = 90 Je stelt vast: paarsgewijs even groot. Toch zijn de veelhoeken duidelijk niet gelijkvormig. De oorzaak is dat voor twee opeenvolgende zijden van de ene veelhoek die evenredig zijn met twee opeenvolgende zijden van de andere veelhoek de ingesloten hoeken niet even groot zijn: B'C' BC = C'D' CD maar Ĉ Ĉ' 6

7 7. Gebruik transformaties om op eenvoudige wijze de oppervlakte van sommige figuren te berekenen. Voorbeelden Oplossingen Een puntspiegeling vormt de figuur om tot een halve cirkel. Twee verschuivingen of draaiingen vormen de figuur om tot een rechthoek. 7

8 8. Een eenvoudig bewijs met draaiingen voor de stelling van Van Aubel. Henricus van Aubel is geboren op 20 november 1830 te Maastricht en overleden op 3 februari 1906 te Antwerpen. Opgave Willekeurige vierhoek ABCD Op elke zijde bouwt men buitenwaarts een vierkant. De symmetriemiddelpunten M, N, P, Q van de vierkanten worden overstaand verbonden. Dan geldt: MP = QN MP QN Best splits je het bewijs in drie delen, die ieder op zichzelf eenvoudig zijn. Stap 1 Op de zijden [AB] en [AC] van een ABC bouwen we buitenwaarts vierkanten. Bewijs: EC = BF EC BF Oplossing De draaiing d(a, + 90 ) beeldt E op B en C op F af, dus het lijnstuk [EC] op het lijnstuk [BF]. Daaruit volgt: EC = BF EC BF Stap 2 We geven het midden van de zijde [BC] de naam S. De symmetriemiddelpunten van die vierkanten noemen we M en N. Bewijs: SM = SN SM SN Oplossing In BEC is [SM] een middenparallel, dus: SM = 1 2 EC SM // EC Analoog: SN = 1 BF SN // BF 2 Uit stap 1 volgt dan: SM = SN SM SN 8

9 Stap 3: de stelling van Van Aubel zelf. Verbind het midden S van de diagonaal [BD] met de symmetriemiddelpunten M, N, P, Q. Duid in de figuur de resultaten van stap 2 aan. De draaiing d(s, + 90 ) beeldt M op Q en P op N af en dus het lijnstuk [MP] op het lijnstuk [QN]. Daaruit volgt: MP = QN MP QN 9. De vergeten stelling van Carnot. Lazare Carnot: medestander van Robespierre tijdens de Franse revolutie, minister van Oorlog onder Napoleon. Verdedigde o.a. Antwerpen tegn de geallieerde coalities. In een ABC noemen we H het hoogtepunt. De vier punten A, B, C, H bepalen vier driehoeken: ABC, ABH, ACH, BCH. Bewijs dat de omcirkels van die driehoeken dezelfde straal hebben. Bewijs De benen van de hoeken BÂC en B Ĥ C staan paarsgewijs loodrecht op elkaar. Die hoeken zijn dus even groot of supplementair. Hun sinussen zijn bijgevolg gelijk. We bewijzen dat de straal R 1 van de omcirkel van HBC gelijk is aan de straal R van de omcirkel van ABC. BC De sinusregel in HBC: sin BHC ˆ = 2R 1 De sinusregel in ABC: BC sin BAC ˆ = 2R Omdat de linkerleden gelijk zijn, zijn ook de rechterleden gelijk: R = R 1 9