Beste leerling. De auteurs

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Beste leerling. De auteurs"

Transcriptie

1 Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming niet lleen getuigt vn weinig respet, mr ook onwettig (en strfr) is. este leerling Wiskunde leren kn leuk zijn. Mr dn moet jij eerst weten hoe je grg wiskunde ontdekt. egin je grg onmiddellijk oefeningen te mken of rdpleeg je eerst de theorie ouw je het liefst zelf de theorie stpsgewijs op of he je grg hulp vn je lerr Verklring vn de ionen: d Je mg een rekenmhine geruiken. Je mg geen rekenmhine geruiken. Werk de oefening uit op een prt ld. Zorg ervoor dt je steeds een ntl ursuslden in je mpje het zitten. it is leerstof vn het eerste jr. In je vdemeum vind je de theorie. Mtrix Wiskunde geeft je vershillende mogelijkheden. In elk gevl moet je zelf n de slg: smen met je lerr, smen met je klsgenoten of lleen. lke nieuwe les strt in het leerwerkoek. In de Op verkenning g je op zoek nr nieuwe leerstof die je vi vrgen en opdrhten zelf kunt ontdekken. Wt je zelf ontdekt, egrijp je immers eter en onthoud je lnger. e leerstof die je moet onthouden, wordt smengevt in een kder. ls de leerstof niet duidelijk is, kun je uitleg vrgen n je lerr of een leerling vn je kls. rn mk je een eerste reeks oefeningen. Zo kun je ngn wr je prolemen ondervindt. Nst elke oefening vind je een verwijzing nr vervolgoefeningen in het oefenoek. ls je moeilijkheden ervrt, volg je de weer-verwijzingen. Wil je meer uitdgende oefeningen n mk je de meer-oefeningen. Op die mnier kom je zeker n je trekken. In het oefenoek vind je heel wt oefenmteril op vershillende niveus. Het niveu vn elke oefening stt vermeld ij het nummer vn de oefening. nooit nr een hoger niveu ls je het vorige nog niet eheerst. Op het openleertrjet vind je lle oefeningen uit het leerwerkoek en het oefenoek in een hndig overziht. eruik mrkeerstiften om het openleertrjet te personliseren: Kleur de oefeningen die jij moet mken geel. eruik groen om een oefening te overkleuren ls je ze orret kon oplossen. eruik rood ls je fouten het gemkt. Op die mnier zie je onmiddellijk met welke leerstof je prolemen het op welk niveu. Uiterrd kun je ook digitl oefeningen mken. Je vindt een mss oefenmteril op Voor meer info: 00, Uitgeverij Pelkmns, Kpelsestrt, 950 Kpellen lle rehten voorehouden. Niets uit deze uitgve mg worden verveelvoudigd, opgeslgen in een geutomtiseerd gegevensestnd of openr gemkt, op welke wijze ook, zonder de uitdrukkelijke voorfgnde en shriftelijke toestemming vn de uitgever. Informtie over kopieerrehten en de wetgeving met etrekking tot de reprodutie vindt u op ll rights reserved. No prt of this ook my e reprodued, stored or mde puli y ny mens whtsoever, whether eletroni or mehnil, without prior permission in writing from the pulisher. Omslg en typogrfie: Studio Uitgeverij Pelkmns Ly-outontwerp: Studio Uitgeverij Pelkmns Ly-outuitvoering: mz Tekeningen: John Verheyen, mz lles wt je moet kennen en kunnen op het einde vn het tweede jr stt in het vdemeum. e leerstof uit het sisonderwijs en het eerste jr, die je ook dit jr nog nodig het, wordt ngegeven met een prt ioon. ij het egin vn het tweede jr kun je een (digitle) dignosetoets mken om n te gn of je deze leerstof nog eheerst. Vnf het tweede jr hehten we veel elng n ewijsvoering, voorl in de meetkunde. en eigenshp ewijzen etekent dt je de wrheid vn die uitsprk ntoont. ewijzen geeurt steeds op de volgende mnier: verkennen nlyseren (vooruitdenken terugdenken) pln mken. In Mtrix Wiskunde zul je ontdekken dt je wiskunde kunt geruiken in heel wt dgelijkse situties en om onrete prolemen op te lossen. Op het einde vn elk lesgeheel vind je in de ruriek prolemsolving een reeks uitdgende prolemen die je lleen of smen met je klsgenoten kunt oplossen. We wensen je een oeiende en leerrijke ontdekkingsreis toe. e uteurs ISN /00/0055/0 NUR 6 8 Onderwerpen: wiskunde, meetkunde

2 Hoe werk je met Mtrix Wiskunde Vooreelden om de theorie te illustreren en te verduidelijken. M 56 LRWRKOK e -oefeningen zou je foutloos moeten kunnen mken. e -oefeningen moet je vlot kunnen mken om nr de Tweede grd te gn, welke studiekeuze je ook mkt. Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) Op verkenning Het volume vn een pirmide Hoe heet het ruimtelihm links op de foto... Hoe ereken je het volume vn een prism Vergelijk het volume vn een pirmide met het volume vn een prism met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlk. Wt moet je doen met het volume vn de ilinder om het volume vn de kegel te eplen Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de pirmide in het prism kn Vul de pirmide en giet het wter over in het prism. Wiskundetl formule voor het volume vn een kegel Het volume vn een kegel met grondvlk en hoogte h... Meet de hoogte vn het gevulde deel (= volume pirmide). Meet de hoogte vn het prism. Hoeveel keer kn de inhoud vn de pirmide in het volume vn het prism Noteer de formule om het volume vn een kegel te erekenen. V = S h V = _... h... Wt moet je doen met het volume vn het prism om het volume vn de pirmide te eplen ONTROL V = Wiskundetl formule voor het volume vn een pirmide Volume V S h V = _ ereken het volume vn een vierzijdige pirmide. Het grondvlk is een rehthoek met ls lengte dm en reedte dm. e hoogte vn de pirmide is 5 dm. 6 Het volume vn een kegel Welk ruimtelihm heeft hetzelfde grondvlk ls een kegel... Hoe ereken je het volume vn een ilinder Vergelijk het volume vn een kegel met het volume vn een ilinder met hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte.... Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de kegel in de ilinder kn Vul de kegel en giet het wter over in de ilinder. Meet de hoogte vn het gevulde deel (volume kegel).... Hershrijf de formule voor het volume vn de ilinder. Noteer de formule voor het volume vn een kegel en hershrijf de formule ook voor deze kegel. Meet de hoogte vn de ilinder.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de kegel in het volume vn de ilinder ntl rien de nm vn de pirmide 567 V** het ntl grensvlkken 566 V* Hoeveel keer is het volume vn de hele ol groter dn het volume vn de kegel Noteer de formule voor het volume vn de ol. V = Wiskundetl formule voor het volume vn een ol Het volume vn een ol met strl r. sisegrippen 565 Vul in (geef het orrete ntl of geef de meest pssende enming). Hoeveel grensvlkken heeft een vijfzijdige pirmide Welke vorm heeft het grondvlk vn een vierzijdige pirmide Welke vorm heeft het grondvlk vn een driezijdige pirmide d Welke vorm heen de opstnde grensvlkken vn een htzijdige pirmide e Hoeveel rien heeft een twlfzijdige pirmide f Hoeveel hoekpunten heeft een pirmide met 0 rien g Hoeveel opstnde grensvlkken heeft een pirmide met rien W en pirmide met n grensvlkken is een - zijdige pirmide en pirmide met n hoekpunten heeft rien en pirmide met n rien heeft grensvlkken In de vlkke meetkunde is een regelmtige veelhoek een veelhoek wrvn le zijden even lng zijn en lle hoeken even groot. In de ruimtemeetkunde is een regelmtig veelvlk een veelvlk wrvn lle grensvlkken regelmtige veelhoeken zijn en wrij in elk hoekpunt evenveel zijvlkken smenkomen. r estn slehts 5 regelmtige veelvlkken. Vul de tel n: ntl grensvlkken ntl hoekpunten ntl rien Kls: I S K U I kuus of regelmtig vlk N X otëder of regelmtig vlk Nm: Nummer: Shooljr: Pirmide, kegel en ol M Pirmide, kegel en ol Kleur de oefeningen die jij moet mken geel. eruik groen om een oefening te overkleuren ls je ze orret kon oplossen. eruik rood ls je fouten het gemkt. M 7 OPNLRTRJT Leerwerkoek V een ol met strl m. (Rond je resultt f tot op ijfers n de komm.) Volume V M πr V = _ ONTROL en gsluhtllon heeft de vorm vn een ol. Wt is het volume vn zo n llon met een strl vn 6, m Rond het volume zinvol f. M e pirmide vn heops heeft een vierknt ls grondvlk met een zijde vn 0, m en de hoogte is 6,6 m. Oefenoek Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk MR Weetje... Kunstenrs willen deze pirmide tijdens een zndsulptuurfestivl nouwen op shl :00. Hoeveel m³ znd heen zij nodig (Rond f tot op dm³.) M e pirmide, de kegel en de ol Oefeningen Hoeveel keer is het volume vn de pirmide vn znd kleiner dn de ehte pirmide ereken het volume vn een vierzijdige pirmide met een vierknt ls grondvlk. e zijde vn het vierknt edrgt,5 m en de hoogte is m. 9 en hlve ol met strl r wordt gevuld met wter. ls je dit wter in een ilinder giet met strl r en hoogte r, welk deel vn de ilinder is dn gevuld MR Je soort goed op het sisniveu. M een Wrom niet eens Het volume vn een pirmide, een kegel en V*-oefening proeren een ol een kegel met ls dimeter vn het grondvlk 5 m en ls hoogte dm. Reht en omgekeerd evenredige grootheid Wt moet je kunnen het volume eplen vn een pirmide, een kegel en een ol Ruimtemeetkunde V V Je ziet onmiddellijk welke leerstof je onder de knie het en welke niet én vn de grootste wiskundigen uit de geshiedenis is ongetwijfeld rhimedes (87 - v. hr.). Op een gedenksteen ij zijn grf is een figuur geeiteld die hiernst is geshetst. Ze illustreert de stelling vn rhimedes. eloof je het niet Je kunt deze stelling ontroleren in een oefening in je oefenoek. V ereken het volume vn deze pirmide M T R r MR en n-zijdige pirmide heeft rien en n-zijdige pirmide heeft opstnde grensvlkken Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn ). Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (vervolg) 8 en je op zoek nr meer uitdgende oefeningen of prolemen n volg je de meer verwijzingen. Zo kun je telkens een trpje hoger gn in moeilijkheidsgrd. en n-zijdige pirmide heeft hoekpunten d vlk He je de leerstof goed egrepen het ntl hoekpunten 7 M en n zijdige pirmide heeft grensvlkken tetrëder of regelmtig Moeilijker: niet iedereen moet deze oefeningen kunnen mken. Wil je grg een studierihting volgen met veel uren wiskunde, dn moet je deze oefeningen zeker OPNLRTRJT te personliseren: ook eheersen.eruik kleur om dit openleertrjet 6 Vul de kegel en giet het wter over in de hlve ol. Op foto zie je het resultt. Vul de kegel nogmls en giet opnieuw. Wt stel je vst (foto ) Hoeveel keer gt het wter vn de kegel in de hlve ol Nm Ruimtemeetkunde rvr je moeilijkheden ij een oefening, dn kun je in je oefenoek verder oefenen tot je het heel goed kunt. Je volgt de weer verwijzing. de vorm vn de opstnde grensvlkken het ntl rien Hoeveel keer denk je dt het volume vn de kegel in de hlve ol kn n het ntl opstnde rien S =... Wrdoor mg je de hoogte ij deze ilinder vervngen... 6 ntl opstnde grensvlkken Noteer de formule voor het volume vn een ilinder. V =... 5 ntl hoekpunten 566 V* V =... V =... ntl grensvlkken het ntl opstnde grensvlkken... ONTROL ntl zijden grondvlk V =... Hoe epl je de oppervlkte vn het grondvlk h Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn ). Vul het shem in. 56 ereken het volume vn de kegel met dimeter 8 m en hoogte 0 m. Het volume vn een ol Hiernst zie je een hlve ol, een kegel en een ilinder. e strl vn de hlve ol is de strl vn het grondvlk vn de kegel en de ilinder. e strl vn de hlve ol is ook de hoogte vn de kegel en de ilinder. S is de oppervlkte vn het grondvlk. 566 V* kegel en ol Titel M Pirmide, V =... Noteer de formule om het volume vn een pirmide te erekenen. Het volume vn een pirmide met grondvlk en hoogte h Volume V OFNOK MTKUN Lesgeheel Inziht opouwen door vrgen en opdrhten. 567 V** ls je de oefeningen vn V** goed kon oplosssen, is het de moeite wrd om je nog een trpje hoger te wgen. e V***oefeningen zijn lleen voor de olleozen in de wiskunde. ls je deze oefeningen kunt mken, kun je met een gerust hrt kiezen voor een studierihting wr wiskunde een hoofdvk is je een 605 proleem. 60 Hier 60he Vrg uitleg 606 n607 de lerr of n een medeleerling en mk extr oefeningen op hetzelfde niveu of zet een stpje terug. Vrgstukken met reht en omgekeerd evenredige grootheden Hoe werk je met mtrix wiskunde 5

3 Wiskunde Inhoud wndeling Lesgeheel Ruimtemeetkunde M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 8 M e pirmide, de kegel en de ol M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 6 Lesgeheel Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M Spiegelingen herkennen en tekenen M5 igenshppen vn de spiegeling 6 M6 Symmetrie 8 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 0 M8 igenshppen vn de vershuiving M9 riingen herkennen en tekenen 6 M0 igenshppen vn de driing 8 M e puntspiegeling 0 Lesgeheel Hoeken M Indeling vn de hoeken volgens hun som M Indeling vn de hoeken volgens hun ligging 6 M Hoeken gevormd door rehten en een snijlijn 50 M5 Hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 5 M6 e som vn de hoeken in een driehoek 58 M7 ewijs: de eigenshp vn overstnde hoeken 60 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 6 M9 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek 70 Lesgeheel ongruentie M0 ongruente figuren 7 M ongruente driehoeken 76 M ewijzen met ongruente hoeken 8 M igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 86 M igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek 88 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 90 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek 9 Lesgeheel 5 igenshppen vn driehoeken M7 e sishoeken in een gelijkenige driehoek 00 M8 en uitenhoek vn een driehoek 0 M9 onstrutie en lssifitie vn driehoeken 06 M0 e driehoeksongelijkheid 08 M ewijs: de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek 0 M ewijs: de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek M ewijs: het vernd tussen de hoeken en de zijden in een driehoek 6 M ewijs: de driehoeksongelijkheid 7 Lesgeheel 6 igenshppen vn vierhoeken M5 igenshppen vn vierhoeken 0 M6 lssifitie vn vierhoeken M7 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek 8 M8 ewijs: de eigenshppen vn de zijden, hoeken en digonlen in een vierhoek 0 Them s 5 Register 5 it he je nodig leerwerkoek p. - 0 oefenoek nr rekenmhine geodriehoek psser Ruimtemeetkunde Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdemeum. en kuus wordt voorgesteld in vlièreperspetief. Wt is de orrete voorstelling Welke ruimtefiguur is een pirmide Hoe ereken je het volume vn een ilinder it kun je l kuus en lk in vlièreperspetief tekenen pirmide, kegel en ol herkennen volume erekenen vn kuus, lk en ilinder V = πrh V = π r h V = l h Verder oefenen Inhoud M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk p. 8 M e pirmide, de kegel en de ol p. M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol p. 6 d d d 6 INHOU 7

4 M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk Op verkenning nzihten Wt is de vorm vn elk grensvlk vn de doelsteen in werkelijkheid... e grootte vn elke hoek is in werkelijkheid en de lengte vn elke rie is.... Ruimtefiguren kun je vnuit vershillende hoeken ekijken. Wt je dn ziet, noem je het nziht. voornziht ovennziht linkerzijnziht Wiskundetl egrippen en vluhtlijn of verdwijnlijn is de drger vn een rie die loodreht op het voorvlk stt. In vlièreperspetief worden het voorvlk en het htervlk op wre grootte of op shl getekend. e rien die loodreht op het voorvlk stn, worden gehlveerd. e hoek gevormd door (het verlengde vn) de horizontle en de vluhtlijnen is 5. e lengtes vn de rien vn het voorvlk en het htervlk lijven ehouden, de ndere worden gehlveerd. e hoekgrootten vn het voorvlk en htervlk lijven ehouden. e hoekgrootten vn de ndere vlkken wijzigen. e evenwijdigheid lijft ehouden. Wt is de vorm vn elk nziht... Wt weet je over de grootte vn de hoeken en de lengte vn de zijden vn elk nziht lke hoek is en elke zijde is.... Wiskundetl egrippen en nziht is het eeld dt je ziet vnuit één eplde knt. en grensvlk wordt voorgesteld op wre grootte (shl) en met zijn werkelijke vorm. e lengtes vn de rien lijven ehouden. e hoekgrootten lijven ehouden. e evenwijdigheid lijft ehouden. e ruimtelijke situtie verdwijnt. Isometrish perspetief Wt is de lengte vn elke rie... Wt is de vorm vn elk grensvlk op de figuur... Meet de ngeduide hoek: Wiskundetl egrippen In isometrish perspetief wordt voorn een vertile rie op wre grootte of op shl getekend. e vluhtlijnen mken een hoek vn 0 met de horizontle. e lengtes vn de rien lijven ehouden. e hoekgrootten lijven niet ehouden. e evenwijdigheid lijft ehouden. vlièreperspetief Wt is de vorm vn het voorvlk op de figuur... Wt is de vorm vn het rehterzijvlk op de figuur... Welke fmeting klopt niet meer met de werkelijkheid... d Ntuurlijk perspetief Welke vorm heeft het linkerzijvlk op de figuur... Vergelijk de lengtes vn de vertile rien op de figuur. Weetje Isometrish komt vn de riekse woorden isos en metrein die respetievelijk gelijk en meten etekenen.... e drger vn deze rie noem je ook vluhtlijn of verdwijnlijn.... Wrom verklein je de fmetingen vn rien, voorwerpen, enz. die verder liggen Meet de ngeduide hoek: Teken de vluhtlijnen vn de groene rien. Wt vlt je op 8 Ruimtemeetkunde 9

5 M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk (vervolg) it punt wordt een vluhtpunt of verdwijnpunt genoemd. Teken ook het tweede vluhtpunt vn de kuus. Welk soort perspetief wordt geruikt in deze vlkke voorstellingen Weer Meer 57 In een ntuurlijk perspetief kun je één of meerdere vluhtpunten tekenen. it hngt f vn de positie vn de wrnemer of tekenr. Teken een rehte door deze twee vluhtpunten. Hoe loopt die rehte... Wiskundetl egrippen en vluhtpunt (of verdwijnpunt) is het snijpunt vn vluhtlijnen. Het ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief is een ntuurgetrouwe weergve vn een voorwerp. Vluhtlijnen komen smen in één of meerdere vluhtpunten op de horizon (= horizontle lijn op ooghoogte). e lengtes vn rien lijven niet ltijd ehouden. e hoekgrootten lijven niet ltijd ehouden. e evenwijdigheid lijft niet ltijd ehouden Je ziet twee voorstellingen vn een kuus. Zijn volgende uitsprken wr of niet wr Zet een kruisje in de juiste kolom. F H N O M P Weer Meer Weer 56 Meer 565 Oefeningen Teken het vluhtpunt. J K I IJKL is het grondvlk vn de kuus L riehoek is in werkelijkheid een rehthoekige driehoek. riehoek is in werkelijkheid een gelijkenige driehoek. Vierhoek is op de figuur een ruit. Hoek FH is in werkelijkheid een rehte hoek. Vierhoek NMIJ is op de figuur een vierknt. riehoek PMI is in werkelijkheid een gelijkenige driehoek. Hoek NOP is op de figuur een rehte hoek. Vierhoek NOKJ is op de figuur een ruit. wr niet wr 0 Ruimtemeetkunde Wt moet je kunnen ττde vershillende perspetieven herkennen ττinformtie die verloren is gegn op tekeningen in vershillende perspetieven weergeven

6 M e pirmide, de kegel en de ol Op verkenning e pirmide Vul de juiste enmingen in. Kies uit: opstnde rie, rie vn het grondvlk, opstnd grensvlk, grondvlk, top, hoogte, hoekpunt. e kegel Knip uit een ld een rehthoekige driehoek. Wentel de driehoek om een rehthoekszijde over een hoek vn T T... Welke ruimtefiguur ekom je... it soort ruimtefiguur noem je een omwentelingslihm.... T... top F hoogte P Vul n. R Q... J L Het grondvlk vn een pirmide is... e opstnde grensvlkken zijn ltijd... Het ntl zijden vn het grondvlk eplt de nm vn de pirmide. en pirmide met een driehoek ls grondvlk noem je een driezijdige pirmide. K... M... M middelpunt strl vn het grondvlk Welk omwentelingslihm ekom je ls je een rehthoek wentelt om een zijde over een hoek vn Weetje r estn ook kegels en ilinders die geen omwentelingslihmen zijn. enoem ovenstnde pirmides. Wiskundetl egrippen pirmide :... pirmide :... pirmide :... d en kegel is een ruimtefiguur met ls grondvlk een irkel en die in een punt uitloopt. T Wiskundetl egrippen en pirmide is een ruimtefiguur egrensd door een veelhoek met n zijden en n driehoeken (die smenkomen in de top). Nm: Het grondvlk vn de pirmide is een zeshoek, dus is het een zeszijdige pirmide. Top: T Hoekpunten: T,,,,, en F e hoogte: TM [TM] stt loodreht op het grondvlk. rensvlkken: Het grondvlk: veelhoek F Opstnde grensvlkken: T, T, T, T, TF en FT Rien: Zijden vn het grondvlk: [], [], [], [], [F] en [F] Opstnde rien: [T], [T], [T], [T], [T] en [TF] T M F e ol e ol is ook een... Welke figuur moet je drien om een s om een ol te ekomen... Top: T e hoogte: TM Middelpunt vn het grondvlk: M Strl vn het grondvlk: M M strl M Ruimtemeetkunde

7 M e pirmide, de kegel en de ol (vervolg) Wiskundetl egrippen 5 Vn een ruimtelihm krijg je het voornziht en het rehterzijnziht. Omirkel de nm vn de ruimtelihmen die ij het voornziht en het rehterzijnziht kunnen horen. Weer 590 en ol is een ruimtefiguur die je ekomt door een irkel om zijn middellijn te wentelen over 60. M vz rz vz rz vz rz Middelpunt vn de ol: M Strl vn de ol: M Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol MR Oefeningen Hieronder is een htzijdige pirmide getekend. eef de juiste nm. T:... []:... 6 Vn ruimtelihmen krijg je de ovennzihten. Omirkel de voornzihten die ij deze ovennzihten kunnen horen. Weer 59 TM :... d ΔTH:... e ΔTM:... f [FT]:... T M F H Wt moet je kunnen ττeen pirmide, kegel en ol herkennen Ruimtemeetkunde 5

8 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) Op verkenning Het volume vn een pirmide Hoe heet het ruimtelihm links op de foto... Hoe ereken je het volume vn een prism... Vergelijk het volume vn een pirmide met het volume vn een prism met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlk. Wt moet je doen met het volume vn de ilinder om het volume vn de kegel te eplen Noteer de formule om het volume vn een kegel te erekenen. V =... Wiskundetl formule voor het volume vn een kegel Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de pirmide in het prism kn... Vul de pirmide en giet het wter over in het prism. Het volume vn een kegel met grondvlk en hoogte h Volume V Meet de hoogte vn het gevulde deel (= volume pirmide).... Meet de hoogte vn het prism.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de pirmide in het volume vn het prism... Wt moet je doen met het volume vn het prism om het volume vn de pirmide te eplen... Noteer de formule om het volume vn een pirmide te erekenen. ONTROL h V = _ S h ereken het volume vn de kegel met dimeter 8 m en hoogte 0 m. V =... V =... Wiskundetl formule voor het volume vn een pirmide Het volume vn een pirmide met grondvlk Volume V en hoogte h V = _ S h S is de oppervlkte vn het grondvlk. h Het volume vn een ol Hiernst zie je een hlve ol, een kegel en een ilinder. e strl vn de hlve ol is de strl vn het grondvlk vn de kegel en de ilinder. e strl vn de hlve ol is ook de hoogte vn de kegel en de ilinder. Noteer de formule voor het volume vn een ilinder. V =... Hoe epl je de oppervlkte vn het grondvlk S =... Wrdoor mg je de hoogte ij deze ilinder vervngen ONTROL ereken het volume vn een vierzijdige pirmide. Het grondvlk is een rehthoek met ls lengte dm en reedte dm. e hoogte vn de pirmide is 5 dm. V = Hershrijf de formule voor het volume vn de ilinder. V =... Noteer de formule voor het volume vn een kegel en hershrijf de formule ook voor deze kegel. Het volume vn een kegel V =... Welk ruimtelihm heeft hetzelfde grondvlk ls een kegel... Hoe ereken je het volume vn een ilinder... Vergelijk het volume vn een kegel met het volume vn een ilinder met hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte. Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de kegel in de ilinder kn... Vul de kegel en giet het wter over in de ilinder. Meet de hoogte vn het gevulde deel (volume kegel).... Meet de hoogte vn de ilinder.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de kegel in het volume vn de ilinder... Hoeveel keer denk je dt het volume vn de kegel in de hlve ol kn... Vul de kegel en giet het wter over in de hlve ol. Op foto zie je het resultt. Vul de kegel nogmls en giet opnieuw. Wt stel je vst (foto )... Hoeveel keer gt het wter vn de kegel in de hlve ol... Hoeveel keer is het volume vn de hele ol groter dn het volume vn de kegel... Noteer de formule voor het volume vn de ol. V = Ruimtemeetkunde 7

9 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (vervolg) een ol met strl m. (Rond je resultt f tot op ijfers n de komm.) Wiskundetl formule voor het volume vn een ol Het volume vn een ol met strl r r M Volume V V = _ π r ONTROL en gsluhtllon heeft de vorm vn een ol. Wt is het volume vn zo n llon met een strl vn 6, m Rond het volume zinvol f. 8 e pirmide vn heops heeft een vierknt ls grondvlk met een zijde vn 0, m en de hoogte is 6,6 m. MR ereken het volume vn deze pirmide Weetje én vn de grootste wiskundigen uit de geshiedenis is ongetwijfeld rhimedes (87 - v. hr.). Op een gedenksteen ij zijn grf is een figuur geeiteld die hiernst is geshetst. Ze illustreert de stelling vn rhimedes. Je kunt deze stelling ontroleren in een oefening in je oefenoek.... Kunstenrs willen deze pirmide tijdens een zndsulptuurfestivl nouwen op shl :00. Hoeveel m³ znd heen zij nodig (Rond f tot op dm³.) Oefeningen Hoeveel keer is het volume vn de pirmide vn znd kleiner dn de ehte pirmide MR ereken het volume vn een vierzijdige pirmide met een vierknt ls grondvlk. e zijde vn het vierknt edrgt,5 m en de hoogte is m. 9 en hlve ol met strl r wordt gevuld met wter. ls je dit wter in een ilinder giet met strl r en hoogte r, welk deel vn de ilinder is dn gevuld MR een kegel met ls dimeter vn het grondvlk 5 m en ls hoogte dm.... Wt moet je kunnen τ het volume eplen vn een pirmide, een kegel en een ol 8 Ruimtemeetkunde 9

10 Prolemsolving Hiernst zie je de ontwikkeling vn een kuus. ls het gele vlkje (e) op de ovenknt vn de kuus te zien is, welke kleur (letter) heeft de onderknt dn R Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk P O e Rond de rde wordt een touw gepltst op één meter oven de oppervlkte. Hoeveel lnger is dit touw dn de omtrek vn de rde oe een gok it kun je l de middelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen een hoek meten en tekenen de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen de oördint vn een punt eplen Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdemeum.... Verder oefenen... In welke tekening is m de middelloodlijn vn [] m m m... line mkt vn een kuus ht kleinere lken door de kuus drie keer door te zgen. Ze wil de totle oppervlkte vn de ht kleinere lken vergelijken met de totle oppervlkte vn de kuus. e totle oppervlkte vn de ht lken =. de totle oppervlkte vn de kuus. Hoe groot is hoek d... d en ouwpln voor een windmolenprk wordt fgekeurd. Volgens de rihtlijnen mogen op die lotie slehts twee windmolens op één lijn stn. Hoeveel windmolens moeten miniml weggehld worden In welke tekening is d de issetrie vn hoek d d d d... Wt is de oördint vn punt (, ) (,) (,)... y x d... it he je nodig leerwerkoek p. - oefenoek nr psser geodriehoek Inhoud M Spiegelingen herkennen en tekenen p. M5 igenshppen vn de spiegeling p. 6 M6 Symmetrie p. 8 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen p. 0 M8 igenshppen vn de vershuiving p. M9 riingen herkennen en tekenen p. 6 M0 igenshppen vn de driing p. 8 M e puntspiegeling p. 0 0 Prolemsolving

11 M Spiegelingen herkennen en tekenen Op verkenning Spiegelingen in de werkelijkheid gelijks word je geonfronteerd met spiegels en spiegeleelden. Je stt voor de spiegel. Je zwit met je rehterhnd. Wt doet je spiegeleeld... eruikt je spiegeleeld ook de rehterhnd om te zwien Je stt voor de spiegel. Je doet drie stppen hteruit. Wt doet je spiegeleeld Rk met één vinger de spiegel n. Wt doet je spiegeleeld Stppenpln het spiegeleeld vn een punt tekenen met de geodriehoek Lt de loodlijn op de tekenzijde smenvllen met de spiegels. Vershuif de geodriehoek zodt het punt op de tekenzijde ligt. Meet de fstnd vn tot n de spiegels en duid op gelijke fstnd, n de ndere knt vn de spiegels het punt n. m m Het spiegeleeld vn een figuur Teken het spiegeleeld vn de figuur F ten opzihte vn de spiegels m. Hoe g je te werk m Het spiegeleeld vn een punt Teken het spiegeleeld vn het punt. Noem dit punt. Meet de fstnd vn tot m en de fstnd vn tot m. Wt stel je vst... Teken het spiegeleeld vn het punt. Noem dit punt. fig. F Meet de fstnd vn tot m en de fstnd vn tot m. Wt stel je vst... Wt is de onderlinge ligging vn m en en... e rehte m is de... vn [ ] en [ ]. m m Teken het spiegeleeld vn de irkel t.o.v. spiegels m. Hoe g je te werk m Wiskundetl egrippen Het punt is het spiegeleeld vn het punt door een spiegeling ten opzihte vn (t.o.v.) spiegels m ls en slehts ls (.s..) m de middelloodlijn is vn ['] eeld vn een punt door een spiegeling: s m () = ' ' m d(,m) = d(',m) m O Wiskundetl symolen s m () = ' wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) spiegeleeld S () = ' lees je ls het spiegeleeld vn door spiegeling t.o.v. spiegels is '. Wiskundetl egrippen Het spiegeleeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te spiegelen. s m (Δ) = Δ''' s m (Δ) = Δ''' lees je ls het spiegeleeld vn de driehoek t.o.v. de spiegels m is de driehoek '''. spiegeling (kleine letter) nm vn de spiegels (wordt een eetje lger geshreven) m Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk

12 M Spiegelingen herkennen en tekenen (vervolg) 609 MR 60-6 Oefeningen Teken het spiegeleeld t.o.v. de rehte m vn de punten, en vn het lijnstuk vn de driehoek d vn het prllellogrm e vn de irkel (,r) d m m m e m m Kleur en vul n. e rehte F is de spiegels. Kleur het spiegeleeld vn de luwe driehoek groen. ekijk ndhtig het vooreeld en vul in. Vooreeld: s ([]) = [F] s ([F]) = s ([]) = s F ([]) = Zijn de punten en t.o.v. dezelfde spiegels gespiegeld Zo j, teken de spiegels. 67 F MR Teken de spiegels x ls je weet dt s x () = '. d = = e f = 6 Teken het spiegeleeld vn de rehte m t.o.v. de rehte. 68 m m MR 69-6 Hoeveel spiegelssen kun je tekenen... x is de... vn [']. Hoeveel spiegelssen kun je tekenen... Verklr je ntwoord.... m Is figuur F' het eeld vn figuur F door een spiegeling Zo j, teken dn de spiegels. Hoeveel punten moet je spiegelen om het spiegeleeld vn een rehte te kunnen tekenen... ls de rehte de spiegels snijdt: Wt is het spiegeleeld vn het snijpunt... fig. F fig. F fig. F Hoeveel punten moet je nog extr spiegelen... Wt merk je op ls de rehte loodreht op de spiegels stt... fig. F fig. F fig. F Wt moet je kunnen Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ spiegeleelden herkennen τ het spiegeleeld tekenen vn een punt, lijnstuk, rehte, vlkke figuren τ de spiegels nduiden of tekenen ls een figuur en zijn spiegeleeld gegeven zijn 5

13 M5 igenshppen vn de spiegeling Op verkenning Teken het spiegeleeld vn figuur t.o.v. de rehte m. Het spiegeleeld vn het punt is het punt, het spiegeleeld vn is, enz. Verklr je ntwoord. Strt ij punt en wndel in wijzerzin door de figuur. Welk hoekpunt kom je ls eerste tegen... Strt ij punt en wndel in wijzerzin door het spiegeleeld. Welk hoekpunt kom je ls eerste tegen... Wt stel je vst P igenshppen de spiegeling m Het spiegeleeld vn een rehte is een rehte. Het spiegeleeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het spiegeleeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. = '' = = '' = = '' = Wt stel je vst lke spiegeling ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; (mr keert de oriënttie vn de hoeken om); de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een spiegeling. m... Vergelijk in oefening, en d op p. telkens en. Wt kun je esluiten Oefeningen... Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. 7 egeven: s m () = ' en = ' = Welke eigenshp vn de spiegeling he je toegepst om dit ntwoord te vinden 6-6 MR 65 = = = ' = ' = ' = Wt stel je vst... Vergelijk in oefening en d op p. telkens en '. Wt kun je esluiten 8 Teken door zo weinig mogelijk punten te spiegelen het spiegeleeld vn een prllellogrm. Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een prllellogrm te spiegelen... Welke eigenshp(pen) he je toegepst 66 MR d e onderlinge ligging vn rehten Wt is de onderlinge ligging vn de rehten op de figuur Vul in Wt kun je esluiten... e oriënttie vn hoeken Teken op de figuur de rehte P.... vn een vierknt. Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een vierknt te spiegelen... Welke eigenshp(pen) he je toegepst Teken het spiegeleeld vn de rehte P. Moet je hiervoor het punt P spiegelen... Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de spiegeling onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de spiegeling ntonen n de hnd vn een vooreeld 6 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ de eigenshppen vn de spiegeling verwoorden τ de eigenshppen vn de spiegeling toepssen om het spiegeleeld vn een figuur te tekenen 7

14 M6 Symmetrie Op verkenning 0 Teken de ndere helft vn de vlinder. 6 Teken een gelijkenige driehoek met tophoek die n de volgende voorwrden voldoet. = 50 = = m Teken de issetrie vn de tophoek. Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst... Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst Teken de symmetries(sen) Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst... Teken het spiegeleeld vn t.o.v. de issetrie. Wt stel je vst... Teken in de symmetrishe driehoeken lle symmetriessen. Hoeveel symmetriessen heen ongelijkenige driehoeken... Hoeveel symmetriessen heen gelijkenige driehoeken... MR 65 Wiskundetl egrippen Hoeveel symmetriessen heen gelijkzijdige driehoeken... en symmetries vn een figuur is een rehte die de figuur op zihzelf spiegelt. is symmetries vn fig. F Symmetrishe figuren zijn figuren met één of meerdere symmetriessen. S (fig. F) = fig. F fig. F F H Oefeningen Teken de rest vn de figuur ls je weet dt x de symmetries is Zijn deze figuren symmetrish Indien j, teken dn de symmetries(sen). d x Wt moet je kunnen 8 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ een symmetries herkennen in een figuur τ een symmetries vn een figuur tekenen τ een figuur vervolledigen ls de symmetries en een deel vn de figuur gegeven zijn 9

15 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen Op verkenning Vershuivingen in de werkelijkheid Tijdens een toneelstuk vn Finding Nemo moet in het deor een shool vissen worden verpltst. e vissen hngen lleml n elkr vst en zijn met een stfje n het punt X vstgemkt. ls het punt X wordt verpltst nr het punt Y, dn vershuiven lle vissen in het deor. Zo gt de vis in punt nr de plts vn de vis in punt ', de vis in punt gt nr de plts vn de vis in punt ',... Nr welke plts gt de vis in punt F Noem het punt F' en teken de vis op de juiste plts. Het shuifeeld vn een punt Teken in de ovenstnde figuur het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk en het lijnstuk FF. F X Y Wiskundetl egrippen en vershuiving wordt epld door een vetor. Het punt is het shuifeeld vn het punt door een vershuiving volgens vetor XY.s.. het lijnstuk evenwijdig is met het lijnstuk XY (de lijnstukken heen dezelfde rihting) N het lijnstuk even lng is ls het lijnstuk XY (de lijnstukken zijn even lng) N de pijl vn nr dezelfde zin heeft ls de pijl vn X nr Y (de lijnstukken heen dezelfde zin). eeld vn een punt door een vershuiving: t () = ' XY [ ] // [XY] N ' = XY N ['] en [XY] heen dezelfde zin X Y Meet: =... =... =... =... =... FF =... Wt stel je vst... Teken op [ ] een pijl vn nr. Teken op [ ] een pijl vn nr. oe dit voor lle lijnstukken. Wijzen lle pijlen nr dezelfde knt Of met ndere woorden: heen lle lijnstukken dezelfde zin... Wt is de onderlinge ligging vn de rehte, de rehte, de rehte, de rehte ',... Wiskundetl symolen vershuiving (= trnsltie) (kleine letter) t () = ' XY wt vershoven wordt (tussen ronde hkjes) shuifeeld de vetor die de vershuiving eplt (wordt een eetje lger geshreven) t () = ' XY lees je ls het shuifeeld vn door de vershuiving volgens vetor XY is '. Wt kun je nu vertellen over de rihting vn, vn, Meet: XY = Vergelijk dit met de lengte vn [ ], vn [ ], vn [ ],... Wt stel je vst... Vergelijk de rihting en de zin vn [XY] met de rihting en de zin vn de ndere lijnstukken. Wt stel je vst... lle lijnstukken met dezelfde lengte, rihting en zin ehoren tot dezelfde vetor. Wiskundetl egrippen en vetor is een verzmeling lijnstukken die lleml dezelfde lengte, rihting en zin heen. en vetor wordt voorgesteld door een pijl. X Y XY, w, PP' stellen dezelfde vetor voor. P P Weetje venwijdige rehten heen dezelfde rihting. XY lees je ls vetor XY. e pijl oven de letters geeft de zin n. w lees je ls vetor w. Stppenpln het shuifeeld vn een punt tekenen met de geodriehoek Teken door het punt een evenwijdige met de rehte XY. Plts op de evenwijdige rehte het punt ' zodt XY = '. Y Let op de zin vn het lijnstuk. Het punt moet het eginpunt X zijn en het punt ' moet het eindpunt zijn. Het shuifeeld vn een figuur F X Vershuif de figuur F volgens XY. Hoe g je te werk Y O Vershuif de irkel volgens. Hoe g je te werk X Y 0 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk

16 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen (vervolg) Wiskundetl egrippen Het shuifeeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te vershuiven. t (Δ) = Δ''' XY X Y t (Δ) = Δ''' XY lees je ls het eeld vn de driehoek door de vershuiving volgens XY (de vetor XY) is de driehoek. 6 Onderzoek de figuren. Is fig. F het eeld vn fig. F door een vershuiving Zo j, teken de vetor die deze vershuiving eplt. Zo neen, verklr wrom niet. d e fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F Oefeningen fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F MR 6-6 Vershuif. e vershuiving wordt epld door XY. Vershuif de punten,, en. e vershuiving wordt epld door TV. Vershuif de punten, F, en H Werden de punten en door dezelfde vershuiving vershoven Zo j, vershuif het punt volgens dezelfde vershuiving. Zo neen, verklr wrom niet. X Y F T H V... d... e... 7 Vershuif de figuren telkens volgens de gegeven vetor. t u ( ) = ''' t v () = '''' u v d e f = = = t () = '''' w w... d... e... f... Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk Wt moet je kunnen τ het eeld vn een vershuiving herkennen τ het shuifeeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, τ de vetor die de vershuiving eplt nduiden of tekenen een vlkke figuur tekenen

17 M8 igenshppen vn de vershuiving Op verkenning Teken het shuifeeld vn figuur. e vershuiving wordt epld door XY. Het shuifeeld vn is, het shuifeeld vn is, enz. X P Y igenshppen de vershuiving Het shuifeeld vn een rehte is een (evenwijdige) rehte. Het shuifeeld vn een lijnstuk is een (evenwijdig) lijnstuk. Het shuifeeld vn een hlfrehte is een (evenwijdige) hlfrehte. lke vershuiving ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een vershuiving. X Y Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. =... =... =... =... Wt stel je vst Vergelijk in oefening 7, en op p. en. Wt kun je esluiten Oefeningen 8 Teken het eeld vn het prllellogrm volgens t. Vershuif zo weinig mogelijk punten om je XY eeld te vinden. Hoeveel punten moet je vershuiven... Welke eigenshppen he je toegepst... Y X Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken =... =... ' =... ' =... Wt stel je vst Vergelijk in oefening 7, en op p. en '. Wt kun je esluiten 9 Vershuif de rehte m volgens t. Wt is de onderlinge ligging vn een rehte en hr shuifeeld... Hoeveel punten moet je ten minste vershuiven 65 MR 65 om het eeld vn een rehte te vinden... m e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten Vul in Vergelijk in oefening 7 de onderlinge ligging vn de rehten in de figuren en hun shuifeelden. Wt kun je esluiten Teken de rehte P in het rooster. Vershuif P volgens t. XY Moet je hiervoor het punt P vershuiven... Verklr je ntwoord. Wt is de onderlinge ligging vn P en P Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk 0 Vershuif [XY] volgens vetor w. M is het midden vn [XY]. Is het eeld M vn M ook het midden vn [X Y ] Verklr Onderzoek. Kn vierknt het eeld vn vierknt zijn door een vershuiving Verklr Kn fig. het eeld vn fig. zijn door een vershuiving Verklr Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de vershuiving onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de vershuiving verwoorden X M τ de eigenshppen vn de vershuiving ntonen n de hnd vn een vooreeld τ de eigenshppen vn de vershuiving toepssen om het shuifeeld te tekenen Y MR MR

18 M9 riingen herkennen en tekenen Op verkenning riingen in de werkelijkheid Tom en le zitten in een reuzenrd. Nog 90 grden drien en hun kje hngt heleml ovenn In welk kje zitten ze ls het rd met de klok meedrit (in wijzerzin)... In welk kje zitten ze ls het rd niet met de klok meedrit (in tegenwijzerzin)... Wiskundetl symolen rottie = driing (kleine letter) r (O,α) () = ' wt gedrid wordt (tussen ronde hkjes) drieeld driingshoek entrum vn de driing Stppenpln het drieeld vn een punt tekenen met geodriehoek en psser Teken een irkel met entrum O en strl O. Teken [O]. Teken hoek O' zodt ' op de irkel ligt. Let op de drizin. O O Weetje α is een letter uit het riekse lfet en wordt in de wiskunde vk geruikt om hoekgrootten n te duiden. r (O,α) () = ' lees je ls het eeld vn door driing met entrum O en over een hoekgrootte α is '. O uid het punt (het entrum) n wr het rd rond drit. Vergelijk de fstnd vn de kjes tot het entrum. Wt stel je vst... Liesje zit in kje 6 en het rd drit in tegenwijzerzin. Hoe groot is de drihoek die Liesje nog moet fleggen voor ze kn uitstppen... e klsdeur drit open. Wrrond drit de klsdeur... Welke drizin heeft de deur vn je kls ls de deur open gt Het drieeld vn een figuur ri de figuur rond entrum O over een hoek vn 0. Hoe g je te werk O... Het drieeld vn een punt ls de uto 80 km/u rijdt, duidt de snelheidsmeter 80 n. Teken de nld voor 80 km/u. Meet = en = Is de nld vn lengte vernderd ls ze 80 km/u nduidt Wiskundetl egrippen Het drieeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te drien. r (O, 00 ) ( ) = ''' r (O,α) ( ) = ''' lees je ls het drieeld vn de driehoek rond entrum O over hoek α is driehoek '''.... Hoe groot is de hoek wrover de nld is gedrid vn 0 tot 80 km/u 00 O... Wiskundetl egrippen Het punt is het drieeld vn het punt door een driing rond het punt O over een hoek α. Het entrum vn een driing is het punt wrrond wordt gedrid. e drihoek heeft een grootte (het ntl grden) en een zin (wijzerzin of tegenwijzerzin). Wijzerzin noteer je met een negtieve hoek. Tegenwijzerzin noteer je met een positieve hoek. eeld vn een punt door een driing: r (O,α) () = ' O' = α O = O' O 70 (= tegenwijzerzin) 70 (= wijzerzin) wijzerzin: O" = 70 tegenwijzerzin: O' = Oefeningen epl de drihoek. r(o,...) F = F' O F F Teken het drieeld vn de punten, en door r (O, 0 ). O MR Wt moet je kunnen 6 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ het drieeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen τ een driing herkennen (het entrum vn een driing vinden, de drihoek vn een driing eplen) 7

19 M0 igenshppen vn de driing Op verkenning Oefeningen Teken het drieeld vn figuur. e figuur wordt gedrid rond entrum O over een hoek vn 00. Het drieeld vn is, het drieeld vn is, enz. en irkel met een oppervlkte vn 0 m² wordt gedrid over een hoek vn 80. Wt is de oppervlkte vn het eeld vn deze irkel... Welke eigenshp he je geruikt om je ntwoord te vinden P 5 egeven: r (O, 90 ) evrgd: Kleur het drieeld vn de luwe driehoek Lijnstukken O Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. O =... =... =... =... Wt stel je vst... Vergelijk in oefening de lengte vn de overeenkomstige lijnstukken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten... 6 Teken door zo weinig mogelijk punten te drien r (o,0 ) () = '''' Hoeveel punten he je gedrid om het eeld te vinden... Welke eigenshp(pen) vn de driing he je geruikt 68 MR Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. =... ' =... =... ' =... Wt stel je vst O... Vergelijk in oefening de grootte vn de hoeken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten... e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten Vul in Wt stel je vst... 7 Het drieeld vn de driehoek is fout. n welke eigenshppen wordt niet voldn 688 igenshppen de driing... Het drieeld vn een rehte is een rehte. Het drieeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het drieeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. lke driing ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een driing. 8 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk O Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de driing onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de driing ntonen n de hnd vn een vooreeld O τ de eigenshppen vn de driing verwoorden τ de eigenshppen vn de driing toepssen om het drieeld vn een figuur te tekenen 9

20 M e puntspiegeling Op verkenning e puntspiegeling ri driehoek over een hoek vn 80 met K ls entrum. Het drieeld vn het punt is het punt, het drieeld vn is en het drieeld vn is. Meet de lengtes. Wiskundetl egrippen en symmetriemiddelpunt vn een figuur is het spiegelpunt dt de figuur op zihzelf spiegelt. O is een symmetriemiddelpunt vn figuur F. O K =... K =... s O (fig. F) = fig. F K =... K =... K =... K =... Wt stel je vst Oefeningen... eze ijzondere driing wordt ook een puntspiegeling genoemd. 8 Teken s O (), s O (), s O () O het eeld vn het lijnstuk s O ([XY]). X O MR K Wt is het punt O vn figuur... Y Wiskundetl egrippen s O (ruit ) en puntspiegeling is een driing met een drihoek vn 80 of 80. Het entrum vn de driing is het spiegelpunt. Wiskundetl symolen r (O,80 ) (F) = s O (F) = F' O is het spiegelpunt. F O F 9 en kunstwerk vn M.. sher. Zoek het entrum vn de driing die hond op hond feeldt. O MR 69 wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) s O () = ' Hoe groot is de drihoek... spiegeling (kleine letter) Het symmetriemiddelpunt Teken in vierknt de digonlen. Noem het snijpunt vn de digonlen M. Spiegel t.o.v. het punt M. Wt merk je op s O () = ' spiegeleeld nm vn het spiegelpunt ( wordt een eetje lger geshreven, hoofdletter) lees je ls het spiegeleeld vn door puntspiegeling met spiegelpunt O is '. 0 Onderzoek. Teken in de figuren de symmetriemiddelpunten in luw en de symmetriessen in het rood. Let op! Niet lle figuren zijn symmetrish of heen een symmetriemiddelpunt. Heen lle symmetrishe figuren een symmetriemiddelpunt... Zijn lle figuren met een symmetriemiddelpunt symmetrish... MR Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk Test je kennis vn lle trnsformties verder in het oefenoek. Wt moet je kunnen τ het eeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen door een puntspiegeling τ het symmetriemiddelpunt vn een figuur eplen MR

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179 M1 1 Titel Ruimtelijke situties

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus sisegrippen Dit kun je l de enmingen vn vershillende soorten driehoeken en vierhoeken geruiken een kuus, een lk en een ilinder herkennen evenwijdige en snijdende rehten herkennen sherpe, stompe en rehte

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c

Opgave 1 Stel je eens een getal voor, bijvoorbeeld: 504,76. a b c Opgve 1 Stel je eens een getl voor, ijvooreeld: 504,76. Wt zijn de ijfers vn dit getl? Hoeveel is elk vn die ijfers wrd? Wt etekent de komm? Opgve 2 Bekijk het getl 6102,543. d e Hoeveel ijfers hter de

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen.

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen. 582 Rngshik vn klein nr groot. 583 Vul n. 0,3 km 500 m 200 000 m 25 000 dm... 0,3 m 40 m 12 dm 240 mm... 1 mm is... mm kleiner dn 1 m. 8 m is... m kleiner dn 1 m. d 9 92 70 47 3 m is... mm kleiner dn 1

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen.

Lucht in je longen. Streep de foute woorden door. Hoe komt lucht in je longen? Zet een cirkel om de dieren met longen. 9 Luht in je longen Hoe komt luht in je longen? = longen = middenrif Kleur op de tekening de volgende onderdelen: Streep de foute woorden door. Ons lihm heeft zuurstof / kooldioxide nodig. Bij het indemen

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

MEETKUNDE 4 Driehoeken

MEETKUNDE 4 Driehoeken MEETKUNDE 4 Driehoeken M18 Driehoeken in de ruimte 38 M19 Driehoeken tekenen 4 M0 Merkwrdige lijnen in een 44 M1 Omtrek, oppervlkte en volume 47 37 M18 Driehoeken in de ruimte 738 E Vul n. In KLM zijn

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan?

Inhoudsmaten. Verkennen. Uitleg. Opgave 1. Dit is een kubus met ribben van 1 m lengte. Hoeveel bedraagt de inhoud ervan? Inhousmten Verkennen Opgve 1 Dit is een kuus met rien vn 1 m lengte. Hoeveel ergt e inhou ervn? Kun je e nm kuieke meter ls eenhei vn inhou verklren? In hoeveel kleinere kuussen is eze kuieke meter vereel?

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase

Ontleden? Leuk! Inleiding. Opzet van deze lesbrief. Door Henk Jongsma, hoofdauteur Op Niveau tweede fase Door Henk Jongsm, hoofduteur Op Niveu tweede fse Ontleden? Leuk! Inleiding Lstig soms, dt ontleden. Denk je net een regel te egrijpen, kom je weer een uitzondering tegen. En ls je denkt die uitzondering

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Diagonaalvlakken. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Diagonaalvlakken. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Wiskune eerste fse HAVO/VWO Meten en tekenen Ruimtelijke figuren Digonlvlkken Verkennen Opgve 1 Hier zie je pkjes Choomel. Neem n t elk vn ie pkjes e vorm heeft vn een lk vn 5,5 m ij 4,0 m ij 9,5 m. Er

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. = a b c. x = 1.5 Breuken. teller teller. noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Kerstvkntieursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem

Nadere informatie

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief

Breuken. Breuken. Wiskunde voor de brugklas. 1 De cd-roms van Wiskunde Interactief De d-roms vn Wiskunde Intertief Breuk voor de Bsisshool het hoe wrom vn reuk verevoudig 8 4 4 optell 4 + 7 ftrekk 3 4 7 3 vermigvuldig 4 3 del 7 : 3 4 Breuk voor de Bsisshool,Vmo, Hvo/VWO Po het hoe wrom

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken?

les 1 1 Welke breuk is het grootst? 2 Hoe kun je een meter veterdrop in zes gelijke stukken verdelen? Hoe vergelijk je de breuken? 0 vergelijken en op volgorde zetten vn eenvoudige reuken en kommgetllen reuken omzetten in kommgetllen en omgekeerd Welke reuk is het grootst? 5 6 2 7 9 5 5 9 2 5 7 2 7 8 8 9 8 5 00 5 6 7 20 5 7 27 70

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA.

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA. Hnleiing voor het mken vn Ppierrhitetuur, PA. Inleiing PA is het mken vn 3D ojeten uit een plt stuk ppier of krton. Eerst wort een ontwerp gemkt op ppier of krton. Door het snijen en vouwen vn het ontwerp

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Assertiviteit. Agressiviteit

Assertiviteit. Agressiviteit ASSERTIVITEIT drs. M.F. Serrurier Shepper 1 SITUATIE Assertiviteit is een zelfewuste, psyhishe weerrheid wrdoor u in stt ent op te komen voor uw eigen elngen en uiting te geven n uw gevoelens, wensen en

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv ICT - Grfieken met VU-grfiek ldzijde 64 1 De snijpunten met de x-s zijn ( 3, ), (4, ) en (5, ). f( 3) =, 5 ( 3) 3 ( 3) 35, 3+ 3= f( 4) =, 5 ( 4) 3 ( 4) 35, 4+ 3= f( 5) =, 5 ( 5) 3 ( 5) 35, 5+ 3= Met de

Nadere informatie

MEETKUNDE 3 Vierhoeken

MEETKUNDE 3 Vierhoeken MEETKUNDE 3 Vierhoeken M11 Vierhoeken in de ruimte 8 M1 Vierhoeken tekenen 1 M13 Kuus en lk 14 M14 Metriek stelsel M15 Rehthoek en lk 3 M16 Vierknt en kuus 8 M17 Trpezium, prllellogrm en ruit 3 7 M111

Nadere informatie

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde

Havo B deel 1 Uitwerkingen blok 1 Moderne wiskunde Hvo B deel Uitwerkingen lok Moderne wiskunde Blok Vrdigheden ldzijde 0 l gt door (0, ) dus strtgetl l gt door (0, ) en (, ), dus nr rehts en omlg ofwel nr rehts en 0, omlg. Het hellingsgetl is dn 0, y

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u?

1 Uw secretaresse vraagt u wie u voor deze sessie wilt uitnodigen. Aan welke mensen denkt u? CREATIVITEIT drs. R.B.E. vn Wijngrden 1 SITUATIE Elke dg zijn er momenten die om retiviteit vrgen. Een proleem oplossen, een nieuw idee ontwikkelen, ties edenken, vereterpunten zoeken zken wrvoor het nuttig

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Handig rekenen met eigenschappen G15 + + + + + ( 14 + 24) + (3 19) 10 16 = 6 (6 + 14) + (5 + 55) 20 + 60 = 80 (27 + 35) + ( 12 58 3) 62 73 = 11

Handig rekenen met eigenschappen G15 + + + + + ( 14 + 24) + (3 19) 10 16 = 6 (6 + 14) + (5 + 55) 20 + 60 = 80 (27 + 35) + ( 12 58 3) 62 73 = 11 84 V** Vul binnen de hkjes de juiste tekens in zodt de gelijkheden kloppen. De letters stellen gehele getllen voor. + + + + + + + + + b + + d + e f = (... b...... d... e... f ) b b + + d + e f = ( b) +

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger

Nadere informatie