Meetkunde met algebra

Transcriptie

1 Meetkunde met lger

2 Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten, lok Redeneren met vormen, getllen en formules vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (0) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw n te tsten, oversln. * ij opgven met dit merkteken hoort een werkld. Inhoudsopgve Opnieuw de Stelling vn Pythgors De stelling vn Pythgors toepssen 0 Opnieuw gelijkvormigheid De stelling vn Thles Gemengde opgven 6 Rekentechniek 9 Eerste eperimentele uitgve ugustus 009 olofon 009 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, Dolf vn den Homergh Met medewerking vn Josephine uskes, Richrd erends, Sie Kemme, Dick Klingens Illustrties Wilson Design, Uden Op dit werk zijn de eplingen vn retive ommons vn toepssing. Iedere geruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. De rechten lijven n ctwo.

3 Opnieuw de Stelling vn Pythgors In dit hoofdstuk worden dezelfde prolemen vk meetkundig en lgerïsch ngepkt. Het sell veld sell wordt gestrt vnf de zogenmde home plte. Dt is een vierknt vn 7 ij 7 inch ( inch, cm) wr symmetrisch twee rechthoekige driehoeken uitgehld zijn. 7 8, home plte 7. De lengte inch in de tekening is niet ect. ereken de ecte mt. Hieronder is het speelveld getekend. 7 outfield grss line infield foul line foul line M 90 R 60 H Opnieuw de stelling vn Pythgors

4 De l moet innen de foul lines lijven. De grens tussen infield en outfield is de grss line. Het is een deel vn een cirkel met middelpunt M. Voor de fmetingen, zie het pltje op de vorige ldzijde. (De mten zijn nu in feet, foot 0 cm.). ereken de fstnd vn de homeplte H tot het eindpunt R vn de grss line in een deciml. Tip. Teken een loodlijn vnuit M op een foul line. ls je de lengte hiervn niet kunt erekenen, ekijk dn de Rekentechniek over de grden driehoek. c. ereken de oppervlkte vn het infield in een deciml. In de opgve hieroven he je de stelling vn Pythgors geruikt. In het volgende ewijzen we deze stelling opnieuw. En wel op verschillende mnieren. We geven twee lgerïsche ewijzen; drvoor moet je rekenen. We geven ook twee meetkundige ewijzen; drvoor moet je redeneren. Pythgors, georen op het Griekse eilnd Smos, leefde in de zesde eeuw voor hr. Hij reisde nr ylonië en Egypte en heeft dr wrschijnlijk zijn wiskundekennis opgedn. Hij hield zich ezig met rekenkunde, meetkunde, muziek en strologie. Pythgors vestigde zich in roton (een Griekse hndelsstd in Zuid Itlië), wr hij een filosofische school stichtte, een soort religieuze sekte met een heleoel regels (die op de moderne mens eigenrdig overkomen). Pythgors' grote verdienste is dt hij de dingen met getllen uitdrukte. De stelling vn Pythgors is nr hem genoemd. De stelling vn Pythgors is misschien wel de ekendste stelling uit de wiskunde. Elke middelre scholier in Nederlnd leert hem. De stelling is minstens 00 jr oud, en specile gevllen vn de stelling zijn nog ouder. Er zijn honderden ewijzen vn de stelling. De meest ekende vorm vn de stelling luidt: + = c ; dn moet je voor, en c wel de juiste zijden nemen, en weten dt hij voor rechthoekige driehoeken geldt. Meetkunde met lger

5 We gn de stelling vn Pythgors eerst meetkundig ewijzen. Hierij wordt niet gerekend; er wordt lleen met meetkundige figuren geschoven. * De stelling vn Pythgors ls legpuzzel Hiernst zijn op de zijden vn een rechthoekige driehoek vierknten gezet. Hieronder zijn de drie vierknten getekend en cht kopieën vn de rechthoekige driehoek. Links stn de twee kleinere vierknten en vier driehoeken. Drmee kun je een vierknt leggen. Rechts stt het grote vierknt en vier driehoeken. Ook hiermee kun je een vierknt leggen.. Teken hoe je dt kunt doen. (ls je hulp nodig het: op het knipld stn cht rechthoekige driehoeken met de drie vierknten.). Lt nu zien dt de oppervlkte vn de twee kleinere vierknten smen hetzelfde is ls de oppervlkte vn het grote vierknt. Uit ovenstnde volgt de stelling vn Pythgors: De oppervlkte vn de vierknten op de rechthoekszijden smen is hetzelfde ls de oppervlkte vn het vierknt op de schuine zijde. In het pltje: oppervlkte +oppervlkte =oppervlkte Nog even terug nr de puzzel rechts: vn het grote vierknt en de vier driehoeken kn een vierknt worden gelegd. c. Voor de preciezen (en dt zijn wij): hoe weet je zeker dt er geen knik zit ij het punt wr het grote vierknt met twee driehoeken smenkomen? Tip. Toon n dt de drie hoeken in de punt smen 80 zijn. Opnieuw de stelling vn Pythgors

6 We gn de stelling vn Pythgors nu lgerïsch ewijzen. Hierij wordt wel gerekend; we heen merkwrdige producten nodig. c De stelling vn Pythgors lgerïsch: De rechthoekszijden vn een rechthoekige driehoek noemen we en, de schuine zijde c. Dn is + =c. c De stelling vn Pythgors lgerïsch () Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de nevenstnde figuur gelegd. Er ontstn twee vierknten. De zijden vn de rechthoekige driehoeken zijn:, en c. De oppervlkte vn het grote vierknt is: ( + ). Je kunt de oppervlkte vn dt vierknt ook in, en c uitdrukken door de oppervlkte vn de vijf stukken ij elkr te tellen. Dit leidt tot een vergelijking. Lt door vereenvoudigen zien dt hieruit de stelling vn Pythgors volgt. c De stelling vn Pythgors lgerïsch () Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de nevenstnde figuur gelegd. Er ontstn twee vierknten. De zijden vn de rechthoekige driehoeken zijn:, en c. Door de oppervlkte vn het grote vierknt op twee mnieren te erekenen, kun je lten zien dt + = c.. Doe dt.. Wrom is de grote vierhoek een vierknt? In opgve en geruik je merkwrdige producten. merkwrdige producten z + w = z + zw + w ( ) ( z w ) = z zw + w ( z + w )( z w ) = z w Merkwrdig moet hier in een oude etekenis gelezen worden: wrd om te merken=onthouden. Meetkunde met lger 6

7 In ouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten. Drvoor geruik je een zogenmde ouwhk. De ouwhk wordt ook wel de ---steek genoemd. Op de drie ltten zet je hetzelfde veelvoud uit vn, en. ijvooreeld: 0 cm, 0 cm en 0 cm. _en_uitzetten.htm Voor de zijden vn een ---steek geldt de stelling vn Pythgors. Om een rechte hoek uit te zetten, wordt de omkering vn de stelling vn Pythgors geruikt: ls voor de zijden, en c vn een driehoek geldt: + =c, dn is de driehoek rechthoekig. De omkering vn de stelling vn Pythgors Twee ltjes en X zitten schrnierend in n elkr vst. Tussen en X is een elstiekje gespnnen. X c X c X c 8 8 heeft lengte 8 en X lengte. Hoe groter de hoek tussen de ltjes is, hoe lnger het elstiekje wordt. De lengte vn het elstiekje noemen we c. In het middelste pltje is de hoek tussen de ltjes recht. In dit gevl kun je c erekenen.. Doe dt. 8 ls de lengte vn de ltjes en zijn en de lengte vn het elstiekje c, kun je voor het middelste pltje de vergelijking + =c opschrijven. In de ndere twee gevllen kun je lleen mr een ongelijkheid opschrijven: + c. X c X c X. Vul voor het linker- en rechterpltje het pssende ongelijkteken in. 7 Opnieuw de stelling vn Pythgors

8 Stelling De lengten vn de zijden vn een driehoek noemen we, en c. ls + =c, dn is de hoek tegenover de zijde vn lengte c recht. ls + <c, dn is de hoek tegenover de zijde vn lengte c stomp. ls + >c, dn is de hoek tegenover de zijde vn lengte c scherp Scherphoekig, stomphoekig of rechthoekig? Hiernst is een driehoek getekend wrvn de zijden, 7 en 8 cm lng zijn.. G n of de driehoek scherphoekig, stomphoekig of rechthoekig is. 6. Doe dt ook voor de driehoek met zijden vn 6, 0 en. 0 7 c h c D Misschien vind je het verhl met de elstiekjes in opgve niet overtuigend. Hieroven is de hoek ij scherp. De loodrechte projectie D vn op ligt dn tusen en. Dn >D en >D, dus + >D +D =c. Hieronder is de hoek ij stomp. c c In dit gevl ligt de loodrechte projectie D vn op lijn uiten lijnstuk. ewijs dt + <c. D Meetkunde met lger 8

9 8 In een ssenstelsel zijn gegeven de punten (7,0), (,) en (6,).. Is hoek scherp, recht of stomp? In een ssenstelsel zijn gegeven de punten O(0,0), P(,) en Q(,0).. Voor welke wrden vn is driehoek POQ rechthoekig? c. Voor welke wrden vn is OPQ stomp? 9 In de meetkundige formulering vn de stelling vn Pythgors worden vierknten gezet op de zijden vn een rechthoekige driehoek. Je kunt ook ndere figuren op de zijden zetten; die moeten wel gelijkvormig zijn. ltijd geldt dt de oppervlkte vn de figuur op de schuine zijde gelijk is n de som vn de oppervlktes vn de twee figuren op de rechthoekszijden. We ekijken drie vooreelden ij de ---driehoek: met op elke zijde een geodriehoek, met op elke zijde een hlve cirkel, met op elke zijde een letter T (die estt uit vier vierknten). G n dt voor elk vn deze vooreelden de generlistie vn de stelling vn Pythgors opgt. 0 We pltsen nu op de zijden vn de rechthoekige driehoek ijzondere figuren, nmelijk figuren die gelijkvormig zijn met de rechthoekige driehoek zelf! Zie pltje. Hoe kun je heel eenvoudig zien dt de generlistie vn de stelling vn Pythgors opgt? Deze ltste eschouwing vn de stelling vn Pythgors is fkomstig vn lert Einstein. 9 Opnieuw de stelling vn Pythgors

10 De stelling vn Pythgors toepssen Slkkenhuis Het "slkkenhuis" hiernst estt uit op elkr nsluitende rechthoekige driehoeken, wrvn een rechthoekszijde lengte heeft. De kleinste driehoek heeft twee rechthoekszijden vn lengte. ij de lijnstukken vnuit het centrum n, 7 en stppen stt een vrgteken.. Hoe lng zijn de zijden wr een vrgteken ij stt? Geef ecte ntwoorden; lt wortels die je niet kunt vereenvoudigen stn. In de tweede figuur is het slkkenhuis voortgezet.. Zijn de hoeken om het centrum lle even groot? Licht je ntwoord toe. c. N hoeveel stppen is het lijnstuk vnuit het centrum lnger dn 000? Twee vierknten met middelpunten M en N en zijden en grenzen n elkr zols hiernst is getekend. De oppervlkte vn de twee vierknten smen is 8. Hoe groot is de lengte vn lijnstuk MN? Tip: Teken een rechthoekige driehoek met MN ls schuine zijde. Hoe lng zijn de rechthoekszijden (uitgedrukt in en )? Vn een driehoek zijn de zijden,, en 6. De strl vn de omgeschreven cirkel noemen we R.. ereken de oppervlkte vn de driehoek.. Lt zien dt R =( R) +9. c. ereken R. M R D is een vierknt vn 0 ij 0. Een punt innen dt vierknt ligt even ver vn de punten, ls vn de zijde D. ereken ect hoe groot die fstnd is. Gegeven is een kwrtcirkel met middelpunt M en hoekpunten en. n deze cirkel wordt in R een rklijn getrokken. De projecties vn en op deze rklijn noemen we en. ls gegeven is dt = en =, hoe groot is dn de strl vn de cirkel? Tip. Lt vnuit en loodlijnen neer op lijn MR. Lt zien dt je dn twee congruente driehoeken krijgt. Pythgors, septemer 00 Meetkunde met lger 0

11 6 Twee cirkels met strl en rken elkr uitwendig en rken een rechte lijn.. ereken de fstnd vn de rkpunten op de rechte lijn. We tekenen een zo groot mogelijk cirkeltje in het geied dt wordt ingesloten door de twee cirkels en de rechte lijn.?. ereken de strl vn dt cirkeltje. 7 De zijden vn een -tje verhouden zich ls :. Twee rechthoeken met fmetingen en liggen over elkr zols in de figuur. Wt is de oppervlkte vn het deel wr ze elkr overlppen? Wiskundetoernooi RU Nijmegen, 009 De stelling vn Pythgors toepssen

12 8 Drie cirkels met strlen vn, en rken elkr. Hoe lng is de (dikgetekende) cirkeloog met het vrgteken? Kngoeroe wizprof007, vrg 9 Sietse mkt vn drie hlve oomstmmen een nkje ls in de figuur. De dimeter vn de oomstmmen n de onderknt is dm, de dimeter vn de ovenste stm dm. Hoeveel dm is het nkje hoog? Kngoeroe wizprof00, vrg 6 Meetkunde met lger

13 Opnieuw gelijkvormigheid Twee figuren zijn gelijkvormig ls de ene figuur een vergroting is vn de ndere. (Een verkleining is een vergroting met fctor tussen 0 en.) De twee driehoeken en PQR hieronder zijn gelijkvormig. P R We noteren dt zó: QPR. We spreken f dt we de volgorde vn de hoekpunten in deze nottie zó nemen dt corresponderende hoekpunten op corresponderende pltsen stn. Hier: correspondeert met Q, correspondeert met P, correspondeert met R. Q 6 Q P Gegeven driehoek met zijden, en, verder een lijnstuk PQ met lengte 6 cm.. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR.. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. c. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. α γ c β Nottie In driehoek noteren we: de zijde tegenover hoek met, de zijde tegenover hoek met, de zijde tegenover hoek met c, de hoek met hoekpunt met α, de hoek met hoekpunt met β en de hoek met hoekpunt met γ. Opnieuw gelijkvormigheid

14 ls PQR, dn is de vergrotingsfctor p. Mr ook q en r c, dus p q c = =. r In de onderouw he je gezien dt twee driehoeken gelijkvormig zijn ls de hoeken vn de ene driehoek even groot zijn ls de hoeken vn de ndere driehoek. Dit geldt niet voor vierhoeken. Lt dt met een vooreeld zien. In het volgende lten we zien dt je verhoudingen nders kunt schrijven. We doen dit weer én lgerïsch én meetkundig. Een rechthoek wordt door een digonl verdeeld in twee stukken met gelijke oppervlkte. Geruik dit om n te tonen dt de twee grijze rechthoeken in de grote rechthoek gelijke oppervlkte heen. In het pltje hieronder is een horizontle hlve lijn h en een verticle hlve lijn v getekend met gemeenschppelijk eginpunt. D is een rechthoek met een zijde op h en een zijde op v. v D h. Teken drie rechthoeken met een zijde op h en een zijde op v die gelijkvormig zijn met D en net ls D de verticle zijde korter heen dn de horizontle zijde.. Wt merk je op over de hoekpunten rechtsoven vn de rechthoeken? Meetkunde met lger

15 ekijk nog eens het pltje vn opgve. De zijden vn de ene grijze rechthoek zijn en, die vn de ndere grijze rechthoek c en d.. Druk de oppervlkte vn de grijze rechthoeken in,, c en d uit. c d d. Er geldt ook: =. Wrom? c d lijkr komt de gelijkheid = op hetzelfde neer ls c d = c. d Door eide leden vn de gelijkheid = met hetzelfde c getl te vermenigvuldigen kun je dt ook inzien. c. Met welk getl (uitgedrukt in,, c en d)? d c d = komt ook op hetzelfde neer ls = c d. Hoe kun je dt lten zien? lgerïsch en meetkundig? 6 Veronderstel het wel of niet-roken niet fhngt vn het feit of iemnd mn of vrouw is. In een enquête werd gevrgd of de persoon mn of vrouw ws en of hij/zij rookte. de resultten stn in de de volgende tel: mn vrouw roker 0 90 niet roker 00 Hierin lees je onder ndere f dt er 0 mnnen zijn die roken.. Welk getl verwcht je op lege plts?. Geef twee mnieren om dt getl te erekenen. In opgve 7 kun je zeggen: de getllen in de kolommen heen gelijke verhouding, je kunt ook zeggen: de getllen in de rijen heen gelijke verhouding, mn vrouw roker niet roker c d Opnieuw gelijkvormigheid

16 De getllen in de kolommen heen dezelfde verhouding c d etekent: =. De getllen in de rijen heen dezelfde verhouding etekent: =. d c c d d = = d = c c Hierij zijn,, c en d getllen 0. c d = vervngen door d = c noemt men wel: kruislings vermenigvuldigen. 7 In driehoek geldt: =, = en =. Vn driehoek KLM is gegeven: K=. Verder geldt: KL:=KM:.. Teken driehoek. Neem de cm ls eenheid.. Gegeven is: KL=. ereken KM teken driehoek KLM. Geldt: KLM? c. Gegeven is: KL= ereken KM teken driehoek KLM. Geldt: KLM? 8 Driehoek hiernst heeft een rechte hoek in. Voor de zijden: zie figuur. Driehoek KLM heeft een rechte hoek in K en KL=6. Verder geldt: KL:=LM:.. ereken de zijden KM en LM.. Zijn de driehoeken KLM en gelijkvormig? Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls ze twee hoeken even groot heen; ls ze één hoek even groot heen en de zijden die die hoek vormen in de ene driehoek dezelfde verhouding heen ls die zijden in de ndere driehoek. l eerder heen we opgemerkt: ls KLM, dn k l m = =. Dit komt op hetzelfde neer ls: c : : c = k : l : m Meetkunde met lger 6

17 M l k L m K Gelijkvormigheid KLM = K en = L KLM = K en :c=l:m KLM k l m = = : : c = k : l : m r c Hoe mk je gelijkvormige driehoeken? Teken een stel evenwijdige lijnen: Teken drover heen twee snijdende lijnen: Je krijgt een ptroon vn gelijkvormige driehoeken Dt je gelijkvormige driehoeken krijgt, zie je ls volgt. (We herhlen dit uit de onderouw.) F- en Z-hoeken r r p q p q De lijnen p en q zijn evenwijdig. Dn zijn de hoeken met het puntje erin gelijk. 7 Opnieuw gelijkvormigheid

18 Q P Q P Specile gevllen vn gelijkvormigheid Zie het pltje hieroven. De lijnen PQen zijn evenwijdig, dn: PQ De figuur rechts noemen we wel zndloper. 8 D E 9 Zie pltje. is een rechthoekige driehoek. Hoek DE is recht. ereken E. D S E 0 Zie pltje. D is een rechthoek vn ij. Op D ligt E zó, dt DE=. Het snijpunt vn E en D is S.. ereken S ect.. G met een erekening n of hoek DS recht is. Gegeven twee gelijkvormige driehoeken met zijden, en en, 6 en 8. y 6 8 ereken en y. Tip. Er zijn nog twee ndere driehoeken gelijkvormig. Schrijf vervolgens een stelsel vn twee vergelijkingen in en y op, en los dt op. Meetkunde met lger 8

19 In een rechthoekige driehoek is een vierknt getekend, zie pltje hiernst. De rechthoekszijden zijn en 8. ereken de zijde vn het vierknt ect. Gulden rechthoek Een gulden rechthoek heeft de volgende eigenschp. ls je er een vierknt vnf knipt, zie pltje, houd je een rechthoek over die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek. Verhouding vn lengte en reedte in een gulden rechthoek De korte zijde vn de linker rechthoek nemen we en de lnge zijde.. Druk de zijden vn de rechthoek die je over houdt in uit.. Toon n: de rechthoek links is een gulden rechthoek =0. c. Los de vergelijking in op. Merk op >0. De lnge zijde vn de rechthoek is dus +, dit noemen we het gulden snede getl. De gulden rechthoek vind je terug in kunst, ntuur en rchitectuur. Men eweert dt deze vorm vn lle rechthoeken de mooiste is. Le orusier mkte ijvooreeld geruik vn de gulden snede ij het ontwerpen vn geouwen. De verhouding tussen de zijde en de digonl in een regelmtige vijfhoek Hiernst is een regelmtige vijfhoek getekend met een digonl. De zijde heeft lengte en de digonl lengte. We tekenen er nog twee digonlen ij. Het snijpunt vn de digonlen E en is S. 9 Opnieuw gelijkvormigheid

20 E D. Druk de zijden vn de driehoeken ES en S in uit. Tip. ESD is een ruit.. Geruik gelijkvormigheid om een vergelijking voor op te schrijven. c. ereken. S De verhouding tussen een digonl en de zijde vn een regelmtige vijfhoek is het gulden snede getl. D Voor driehoek geldt: =. Verder ligt er op zijde een punt D zó, dt =D=D.. ereken de hoeken vn driehoek. Tip. Noem D=α en druk lle hoeken in de figuur uit in α.. ereken de verhouding :. Tip. Geruik gelijkvormigheid. 6 In driehoek snijdt de issectrice vn hoek de zijde in D. Dn geldt: D:D=:. ewijs dit. Tip. Verleng D. Teken door een lijn evenwijdig n lijn. D S α δ R β 7 Hiernst stt een vierhoek met zijn digonlen.. Lt zien: ls α=β, dn γ=δ.. ls α=β, wt merk je dn op over de lijnen PQ en SR? γ P Q 8 Vermenigvuldigen, delen en omgekeerde nemen. Gegeven drie lijnstukken vn lengte, en. Hoe mk ik een lijnstuk vn lengte? Hoe mk ik een lijnstuk vn lengte? Tip. Geruik een zndloper. Meetkunde met lger 0

21 De stelling vn Thles We ekijken de rechthoekige driehoek. Vnuit de rechte hoek is een loodlijn neergelten op zijde. Het voetpunt vn de loodlijn is D. Verder: zie figuur. h p D p+q=c q. Toon n dt de driehoeken, D en D gelijkvormig zijn. Tip. Lt ijvooreeld zien dt de hoeken D en D even groot zijn. Met ehulp vn kun je een ntl gelijkheden vn verhoudingen opschrijven.. Toon n dt druit volgt: h = p q, = p c en = q c c. Lt zien hoe je met twee gelijkheden uit de stelling vn Pythgors kunt ewijzen.. Een ekende stelling uit de meetkunde is de stelling vn Thles en zijn omgekeerde. Stelling vn Thles In een rechthoekige driehoek is het midden vn de schuine zijde het middelpunt vn de omgeschreven cirkel vn die rechthoekige driehoek. Omgekeerde stelling vn Thles ls het middelpunt vn de omgeschreven cirkel vn een driehoek op een zijde ligt, dn is de hoek tegenover die zijde recht. De omgekeerde stelling vn Thles wordt ook wel ls volgt geformuleerd. Vnuit een punt vn een cirkel "zie je" een middellijn onder een hoek vn 90. De stelling vn Thles

22 Thles vn Milete (c. 6 v.hr. - v.hr.) ws een filosoof. Hij kwm uit Milete (in het huidige Turkije). De oude Grieken zgen hem ls een vn de Zeven Wijzen. Hij schijnt de zonsverduistering vn 8 v. h. voorspeld te heen. Mogelijk heeft hij zijn kennis over sterrenkunde opgedn tijdens een reis nr ylon. We gn de stelling en zijn omgekeerde meetkundig en lgerïsch ewijzen. De stelling vn Thles meetkundig Gegeven een rechthoekige driehoek. Je kunt die driehoek zien ls een hlve rechthoek. Hoe volgt hieruit dt het midden vn de schuine zijde het middelpunt vn de omgeschreven cirkel is? M De omgekeerde stelling vn Thles meetkundig Zie pltje. Het middelpunt vn de omgeschreven cirkel vn driehoek is M, een punt op zijde. Je moet lten zien dt hoek recht is. Zie pltje.. Wrom zijn de hoeken wrin gelijke tekens gezet zijn even groot?. Wt kun je zeggen over de vier hoeken, wrin tekens gezet zijn, smen? c. Hoe volgt nu dt hoek recht is? De stelling vn Thles lgerïsch We geruiken dezelfde letters ls in de driehoek n het egin vn prgrf. h M D Verder is M het midden vn. De lengte vn lijnstuk MD noemen we. Je moet lten zien dt M het middelpunt vn de omgeschreven cirkel vn driehoek is, dus dt M=M.. Druk M, p en q uit in c en en vul het resultt in in de formule h = p q.. Lt nu zien hoe dt M=M uit volgt. Meetkunde met lger

23 Gegeven een lijnstuk. Teken het geied wr kn liggen ls driehoek scherphoekig is. r M r h D 6 De omgekeerde stelling vn Thles lgerïsch Het middelpunt M vn de omgeschreven cirkel vn driehoek ligt op zijde. Je moet lten zien dt hoek recht is oftewel dt + =c. De strl vn de cirkel noemen we r.. Druk D en D uit in en r.. Druk (r ) en (r+) uit in, en h, met ehulp vn de stelling vn Pythgors. Uit volgt: (r ) +(r+) = + h. c. Werk de hkjes weg in (r ) +(r+) = + h. d. Hoe volgt + =c uit c? M 7 Lijnstuk is een middellijn vn. =6 en =. ereken ect. H M G N 8 Gegevens zie pltje. ewijs dt de punten, H en op één lijn liggen. Tip. Lt zien dt hoek H 80 grden is. E D 9 D en E zijn hoogtelijnen in driehoek. M is het midden vn zijde. ewijs dt D en E even ver vn M fliggen. M E D M 0 D is een vierknt met middelpunt M. DE is een rechthoekige driehoek (hoek E is recht). ewijs dt vierhoek DME een omgeschreven cirkel heeft. De stelling vn Thles

24 Gemengde opgven Hiernst zie je twee concentrische (= met hetzelfde middelpunt) cirkels. De koorde vn de grote cirkel rkt de kleine cirkel en heeft lengte 0. ereken de oppervlkte vn het grijze geied (tussen de twee cirkels). In het pltje hiernst stn vier vierknten met zijde en vier cirkels. ereken de strl vn die cirkels ect. In het pltje hiernst stn vier vierknten met zijde en dertien cirkels, met vier verschillende strlen. ereken die strlen ect. De gedeputeerdenpoort in Nijmegen De gedeputeerdenpoort in Nijmegen estt uit een vierknt met zijde met drop een hlve cirkel, zie figuur. ereken de strl vn de omgeschreven cirkel vn de poort ect. Meetkunde met lger

25 8 Uit de Nederlndse Wiskunde Olympide, eerste ronde, 6 jnuri 007 Een vlg in de vorm vn een gelijkzijdige driehoek is n twee hoekpunten opgehngen n de toppen vn twee verticle plen. De ene pl heeft een lengte en de ndere pl een lengte. Verder is gegeven dt het derde hoekpunt vn de vlg precies de grond rkt. epl de lengte vn de zijde vn de vlg. Tip. Noem de lengte vn de zijde en lt zien dt: = Hoe je zo n soort vergelijkingen op kunt lossen vind je in de Rekentehniek, zie het vooreeld op lz. 6 In een vierknt is een kwrtcirkel getekend. Een rechthoek vn 8 ij ligt lngs twee zijden vn het vierknt en heeft precies één punt met de cirkel gemeenschppelijk. ereken de zijde vn het vierknt. Wiskunde Olympide 99 7 Zie pltje. In een vierknt is een rechthoek getekend. De hoekpunten vn de rechthoek liggen op de zijden vn het vierknt. De oppervlkte vn het grijze deel is 8. ereken de lengte vn de digonl vn de rechthoek. Dion Gijswijt in Pythgors, oktoer Op de zijden vn een vierknt met zijde worden vierknten gezet. Teken er een chthoek omheen, zie oven. Die chthoek is niet regelmtig. Vier zijden heen lengte.. ereken de lengte vn de vier ndere zijden ect. Gemengde opgven

26 Je krijgt wel een regelmtige chthoek ls je het juiste formt rechthoeken op de zijden zet. De lnge zijden vn die rechthoeken zijn.. Hoe lng moet je de korte zijden (ect) mken? 9 We proeren ook zoiets (ls in 8) ij een regelmtige driehoek.. ereken de zijden vn de zeshoek die je krijgt ect ls je vierknten op de zijden vn een regelmtige driehoek met zijde zet. (Zeshoek rechtsoven). ereken ect de fmetingen vn de rechthoeken die je op de zijden vn een regelmtige driehoek met zijde moet zetten om een regelmtige zeshoek te krijgen. ekijk zo nodig opgve vn de Rekentechniek. 0 ls je vierknten op de zijden vn een regelmtige vijfhoek met zijde zet vormen de uitenste hoekpunten de hoekpunten vn een tienhoek. Vijf zijden vn de tienhoek zijn. ekijk het pltje links.. ereken de hoeken vn de grijze driehoeken. onclusie: de twee grijze driehoeken zijn gelijkvormig. Noem de strl vn de omgeschreven cirkel vn de regelmtige vijfhoek r. Meetkunde met lger 6

27 . Druk de lengte vn de vijf ndere zijden vn de vijfhoek uit in r. ls je rechthoeken vn ij r op zijden zet vormen de uitenste hoekpunten een regelmtige tienhoek. Stelling De strl vn de omgeschreven cirkel vn een regelmtige n-hoek met zijde noemen we r. ls je op de zijden rechthoeken vn ij r zet, vormen de uitenste hoekpunten een regelmtige nhoek. ewijs de stelling. D Gegeven driehoek. De uitenissectrice vn hoek snijdt lijn in D. Toon n dt :=D:D. Tip. Teken een lijn door evenwijdig n D. Je krijgt weer een gelijkenige driehoek. m Zie pltje. Toon n: + = m + d. d M d Koorde In de figuur hiernst zijn drie cirkels getekend die elkr twee n twee rken. De strlen vn de cirkels zijn, 6 en 9. De grootste cirkel heeft een koorde die de kleinere twee cirkels rkt. ereken de ecte lengte vn de koorde. Tip. ereken de fstnd vn het middelpunt vn de grote cirkel tot de koorde. Dion Gijswijt in Pythgors 7 Gemengde opgven

28 D is een rechthoek met drinnen het punt P. De fstnden vn P tot drie hoekpunten vn de rechthoek zijn gegeven. D 6 8 P ereken de vierde fstnd. Wiskunde toernooi Rdoud Universiteit 99 Meetkunde met lger 8

29 6 Rekentechniek Wortels vereenvoudigen Dit is een herhling vn derdeklsstof. De driehoek hiernst is rechthoekig.. G dt n. ekijk de vier driehoeken met zijden, en ;,, ; 6,, en 80 ;, en. Deze zijn rechthoekig.. G dt voor de eerste in de serie n. Omdt de rechthoekszijden zich verhouden ls :, is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek hiernst. Door de driehoek met zijden, en met te vermenigvuldigen, krijg je de driehoek met zijden,, (Vergelijk de kortste rechthoekszijden.) Dus =. c. Hoe volgt met gelijkvormigheid dt 80 = 6? d. De driehoeken met zijden, en en, en zijn gelijkvormig. Hoe volgt hieruit dt =? In opgve heen we met gelijkvormigheid gezien dt: =, =, 80 = 6. We noemen dit vereenvoudigen vn wortels. Je kunt dt ook puur lgerïsch doen: = = = = 9 Rekentechniek

30 = = = = 80 = 6 = 6 Op de middelre school is het geruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dt etekent: schrijf een zo klein mogelijk geheel getl chter het wortelteken: 8 = 9 =, schrijf geen wortel in de noemer: 6 = = = 6, lt geen reuken onder het wortelteken stn: 6 6 = 6 = = 9 9 = 6 Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk c. 7 De en de --90-grden driehoek In de tweede kls he je het volgende l gezien. In een grden driehoek (hlve regelmtige driehoek) verhouden de zijden zich ls : :. In een --90-grden driehoek (hlf vierknt) verhouden de zijden zich ls :: 0 Vn een gelijkenige driehoek is de tophoek 0 en de gelijke enen zijn. ereken ect de sis. Meetkunde met lger 0

31 Het trpezium hiernst is opgeouwd uit twee en twee --90-grden driehoeken. De kortste zijde is 6. ereken de lengte vn de ndere zijden en de digonlen ect. Schrijf de wortels in je ntwoord zo eenvoudig mogelijk. Vooreeld De vergelijking + + = 0 los je op door kwdrteren: + + = = = = = 0 = of = 7. 9 lleen = voldoet n de oorspronkelijke vergelijking. De rechthoekige driehoek hiernst heeft schuine zijde 7 en omtrek 0. Een vn de rechthoekszijden noemen we.. Lt zien dt + 89 =.. Los de vergelijking in ect op. 6 Los op:. = +. = + c. = + 7 Hiernst is een vierknt in een rechthoekige driehoek getekend. Verder zie pltje.. Druk lle lijnstukken in het pltje uit in. lijkr geldt: ( + ) + ( ) = +. Leg dit uit met het pltje. c. ewijs de gelijkheid puur lgerïsch. Wortels vereenvoudigen h 8 In driehoek is D een hoogtelijn. Verder is gegeven: D D=, D =, D = +. Rekentechniek

32 . ereken en en toon n dt driehoek rechthoekig is. Omdt D = h = D D geldt dt D = en + elkrs omgekeerde zijn, dus: = +.. ontroleer dt lgerïsch. Vooreeld Ook (ijvooreeld) mer schrijven. + + = = = +. +, kun je zonder wortel in de noe- 9 Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer Meetkunde met lger

33 7 ntwoorden Prgrf Opnieuw de stelling vn Pythgors. 8. Noem de projectie vn M op de foul line N, dn 0 en HN= 90 ( 0 ) = 0 7 MN= dus HR,8 ft., 0 c. Zie pltje: sinα= =, dus α 8, 90 S M α α R N De oppervlkte vn de cirkelsector SMR= 90 + α π ,87. De oppervlkte vn driehoek HMR= HR MN=8,7. De gevrgde oppervlkte 07,87+8,7 0, ft.. H α 90 β. De twee gelegde vierknten hieroven heen dezelfde oppervlkte, ls je vn eide vier dezelfde rechthoekige driehoeken fhlt, houd je ij de linker figuur de twee kleine vierknten over en ij de rechter figuur het grote vierknt. c. Noem de niet rechte hoeken vn de rechthoekige driehoek α en β, dn zijn de drie hoeken die in de punt smenkomen ij elkr: α+β+90=80, dus ze vormen een gestrekte hoek. ntwoorden

34 . Oppervlkte vn de vier driehoeken is: = Oppervlkte kleine vierknt= c. Dus: c + = ( + ). Hkjes wegwerken geeft het gewenste resultt.. Er zit geen knik in het punt wr de twee driehoeken en het vierknt n elkr gelegd zijn, zie c, en de zijden zijn lle +.. Oppervlkte vn de vier driehoeken is: = Oppervlkte kleine vierknt= ( ). =. Hkjes wegwerken geeft het Dus: c ( ) + gewenste resultt.. Een hoek is de som vn de twee scherpe hoeken vn de een rechthoekige driehoek, dus 90.. c = + 8 =. Links: + > c en rechts: + < c > 8, dus de hoek tegenover de zijde vn 8 is scherp, dus een scherphoekige driehoek =, dus de driehoek is rechthoekig. 7 Noem D= en D=y, dn c = + + y > + + y = + ( ) 8 =, = + = en c = + = 0, dus: + c =, dus hoek is recht. E D F 9 Noem de rechthoekszijden en en de schuine zijde c dn heen de geodriehoeken oppervlkte, en c. Uit + =c, volgt: + =c, dus voor het eerste vooreeld klopt de stelling. De hlve cirkels heen oppervlkte π, π en πc. De T -s heen oppervlkte H, H en Hc. Dus ook voor de ndere vooreelden klopt de stelling. 0 De oppervlkte vn de hele witte driehoek noemen we. =E, =D en =F. Verder +=, dus D+E=F. Meetkunde met lger

35 Prgrf De stelling vn Pythgors toepssen., 8,. De hoeken worden kleiner, wnt de overstnde rechthoekszijde lijft en de nliggende rechthoekszijde wordt groter. c. N n stppen is de lengte n +, dus n+>000, dus n miljoen stppen. ekijk de rechthoekige driehoek met MN ls schuine zijde. De rechthoekszijden zijn: + en. MN = (+) + ( ) =... = ( + ) MN = ( + ) = 8 =. -R R h. De hoogte h vn de driehoek is =. De oppervlkte is dus.. Mk een rechthoekige driehoek met schuine zijde R en rechthoekszijden en R (gerceerd, zie pltje). c. R = + ( R) R = 8R + R R= = Noem die fstnd, dn ( ), dus =6. 0 α γ D M δ R β Zie pltje: en D zijn de loodrechte projecties vn en op lijn MR. MD=r en M=r, dus = r ( r ) en D = r ( r ) Verder α+γ=90 wnt hoek M is recht, β+δ=90, wnt hoek DM is recht en γ+δ=90 wnt hoek M is recht. Dus α=δ en β=γ. Verder M=M=r, de strl vn de cirkel. Dus zijn de driehoeken M en MD congruent. Dus =MD. Dit geeft: ( r ) = r r r = r r r + = r r 6r + = 0 r = of r = lleen r= voldoet n de oorspronkelijke vergelijking. ntwoorden

36 M + N O N 6. Noem het middelpunt vn de kleine cirkel M en vn de grote cirkel N. Het punt O ligt op dezelfdehoogte ls M, recht onder N. De fstnd vn de rkpunten is gelijk n MO= =. Zie pltje. P is het middelpunt vn het kleine cirkeltje. QR=MO=. Noem de strl vn het kleine cirkeltje. Dn MQ=, PM=+, NR= en PN=+. = en Dus QR ( + ) ( ) = = M Q P rklijn R ( + ) ( ) = 6 = PR =, dus 6 = dus = Zie pltje. De zijden vn de grijze ruit zijn +. Dus: + =. Kwdrteren = =. Dus oppervlkte ruit=h. geeft: + = +, dus 8 Noem het middelpunt vn de kleinste cirkel P, vn de middelste cirkel Q en vn de grootste cirkel R. Dn: PQ=, PR= en QR=. Dus driehoek PQR is rechthoekig in P, dus de cirkeloog is H vn de cirkelomtrek, dus π. 9 Noem het middelpunt vn de kleine cirkels P en Q en vn de grote cirkel R. Dn RP=RQ= en PQ=. Het midden vn PQ noemen we M, dn is de hoogte vn het nkje: RM = = R Prgrf Opnieuw gelijkvormigheid P R P 6 6 P Q R c 6 Q Q. PR = 6 =, QR = 6 = 7. PR = 6 8 =, QR = 6 0 = c. 6 = PR =, QR = 6 = 7 Dt zou ijvooreeld etekenen dt lle rechthoeken gelijkvormig zijn. Meetkunde met lger 6

37 q r u p s t Noem die oppervlktes,, c, d, e en f. Dn: p+q+r=s+t+u, p=s en r=u, dus q=t.. Die liggen op lijn.. Linksoven: d en rechtsonder c.. Dt is de helling vn de rechthoek linksonder respectievelijk rechtsoven. c. c d. lgerïsch: ls je eide leden vn de eerste gelijkheid met c vermenigvuldigt en de eide leden vn de tweede vergelijking met dn krijg je in eide gevllen d=c. Meetkundig volgt het uit de gelijkvormigheid vn de twee witte rechthoeken en M. :=KM:, dus KM= K L J c. KM=7 M 7 J K L 7 ntwoorden

38 8. KL:=LM:, dus 6:=LM:, dus LM=8 en KM= 7. Nee 8 D E 9 = 0 + = 6 en E = D = 0 Dus E=. 0. E = + =. Driehoek DSE is gelijkvormig met S. Dus S:ES=:DE=:, dus S =.. D = + = en DS = = D = en DS + S = + 6 =, dus j. Of (ijvooreeld): de driehoeken DE en SD heen hoek hetzelfde en S:D=D:E, dus DE SD, dus SD= DE=90. Zie pltje. 6 D y T 8 De grijze driehoeken zijn gelijkvormig, dus =. Mr dn DT T (twee hoeken gelijk). T D y + 7 DT D 7 Dus: = = en = =, T T y 8 dus: 8 y + = en = 7 y. 8 Dus: 8y + = 7 7 y + 6, dus y= en =8. 8 De grijze driehoek is gelijkvormig met de hele driehoek, dus: = = 8 = 8 8. De witte rechthoek links is gelijkvormig met de witte rechthoek rechts, dus: = = Meetkunde met lger 8

39 D c. = + of = E S. D//E en ED// vnwege symmetrie, dus ESD is een prllellogrm, zelfs een ruit. Dus ES=S= en S=S=. E ES. = = = 0 S c. Zie de vorige opgve: = + D. D=α, dn D=α en D=α (uitenhoek vn driehoek D. Dus D=α, dn ook =α. Hoekensom in driehoek geeft: α=80, dus α=6. De hoeken zijn dus 7, 7 en 6 grden.. Stel =, en =, dn D=D==, dus D=. De gelijkvormigheid vn de driehoeken D en geeft: =, dus we krijgen weer: D =, zie vorige opgve dus de verhouding is: ( ): : = +. Je zou ook kunnen vinden (dt is hetzelfde): : ( ) zie opgve 9 vn Rekentechniek., 6 Noem E het snijpunt vn de lijnen D en de lijn door evenwijdig met. Dn zijn de hoeken E en E even groot (Z-hoeken), dus E=. De gelijkvormigheid vn de driehoeken D en DE geeft: D = E D E S α δ T R β 7. Zie pltje: STP RTP (twee gelijke hoeken), dus PT:TQ=ST:TR. Omdt ook de hoeken STR en PTQ even groot zijn, zijn dn ook de driehoeken STR en PTQ. Evenwijdig (Z-hoeken) γ P Q 9 ntwoorden

40 8. Teken een willekeurige driehoek S met S= en S=. Teken op het verlengde vn S ij S zó, dt S=. De lijn door evenwijdig n snijdt lijn S in X. Dn heeft SX lengte, g dt n. S. en X zijn evenwijdig, dn heeft lengte. X S X Prgrf De stelling vn Thles α β γ D. Zie pltje: α+β=90 (hoekensom in driehoek D) en β+γ=90, dus α=γ. Dus de drie driehoeken heen twee hoeken hetzelfde.. Uit de gelijkvormigheid vn de twee kleinste diehoeken volgt: q h h = h = p pq. Uit de gelijkvormigheid vn driehoek D en driehoek volgt: p = c = pc. Uit de gelijkvormigheid vn driehoek D en driehoek volgt: q = c = qc. c. ( ) + = qc + pc = c p + q = c De rechthoek heeft een omgeschreven cirkel, het middelpunt is het snijpunt vn de digonlen.. De driehoeken M en M zijn gelijkenig, wnt: M=M=M.. 80 c =80, dus + = 80=90. Meetkunde met lger 0

41 . M=c, p=c+, q=c, dus c c + = h c =. ( )( ) h Nu geldt in driehoek DM de stelling vn Pythgors, dus: M = h. Uit M = h Dus M=M. en c = h, volgt: M = c. We nemen de cirkel met middellijn. Vnuit een punt vn die cirkel zie je onder een rechte hoek. Vnuit een punt innen de cirkel zie je onder een stompe hoek en vnuit een punt uiten de cirkel zie je onder een scherpe hoek. Je moet dus punten uiten de cirkel heen. Om hoek en ook scherp te heen moet je tussen de lijnen door en loodrecht op lijven. Je krijgt dus het grijze geied in de tekening hiernst. 6. D = r +, D = r. ( r + ) = h en ( r ) = h c. r + r + + r r + = + h r + = + h d. Uit c volgt : r + + h = + ( ) + = r = c. 7 + = =, dus = ( 6 ) ( ) 6 8 HG=90 en GH=90, dus hoek H is gestrekt. 9 D en E liggen eide op de cirkel met middellijn. 0 Omdt de hoeken DE en DM eide recht zijn, liggen M en E op de cirkel met middellijn D. Prgrf Gemengde opgven 0 R N r Noem de strl vn de kleine cirkel r en strl vn de grote cirkel R. Dn is de oppervlkte vn het grijze geied: π(r r )=π 0 =00π M ntwoorden

42 r r r Noem de strl vn zo n cirkel r, dn (zie pltje): r =, dus r = r ( + ) r r =, dus r = =. + + Hetzelfde is:, zie opgve 9 vn Rekentechniek. De vier grootste cirkels heen strl. L M N De cirkel in het midden heeft strl. De strl vn de vier cirkels in de hoeken noemen we. Om te erekenen ekijken we de figuur links. Dr is een grote cirkel en een cirkel in de hoek getekend. Er geldt: + = + = ( + ) =, dus =. Hetzelfde is:, zie opgve 9 vn Rekentechniek. + y y Om de strl vn de vier cirkels te erekenen die de zijden vn grote vierknt in het midden rken, ekijken we het pltje hiernst. is het middelpunt vn zo n cirkel en het middelpunt vn een vn de grote cirkels. De strl vn de groet cirkel is en die vn de ndere cirkel noemen we y. De stelling vn Pythgors in driehoek geeft: ( y + ) = + ( y ), dus y =. r r M r Noem de het hoogste punt vn de deur en de twee hoekpunten onder en. Noem het middelpunt vn de cirkel M en de strl r. N is het midden vn. Dn is = en N=.. De stelling vn Pythgors in driehoek NM geeft: r = ( r ) +, dus r=. N De stelling vn Pythgors in de driehoek met het stippellijntje geeft: = Dus: = = 6 9. Kwdrteren geeft: ( 9) ( ( 9)( 6) = = Meetkunde met lger

43 r 8 8 Dit geeft: = 9. 6 Noem de zijde vn het vierknt r, dn (zie pltje): r = r + r 8 r r =, dus r=. ( ) ( ) ( )( ) 0 r r 7 Zie pltje: = ( y ) + ( y + ) = + y = 8 d. y De lengte vn de digonl is dus d y y γ β α E X D 0. De grijze driehoeken zijn gelijkenig. De tophoek vn de kleine driehoek noemen we α en de tophoek vn de grote γ. α= 60=7 en β= (80 α)=. β+γ+ 90=60, dus γ=7. Dus de grijze driehoeken heen een even grote tophoek, dus heen ze dezelfde hoeken.. De sis vn de kleine driehoek is en de enen zijn r. De enen vn de grote driehoek zijn, dus de sis is. r ls je rechthoeken zet op de zijden vn een regelmtige n-hoek, moet je de tussenruimtes opvullen met gelijkenige driehoeken om tot de n-hoek te komen. Die gelijkenige driehoeken heen dezelfde tophoek ls de gelijkenige driehoek met ls top het middelpunt vn de n-hoek en een zijde vn de n-hoek ls sis. Deze ltste driehoek heeft sis en zijden r. De tussenruimte heeft sis, dus enen r. De lijn door evenwijdig met D snijdt in E. X ligt op lijn, zie pltje. E= XD (F-hoeken) en E= D, dus E= E, dus E=. m E en D zijn evenwijdig, dus: :E=D:D, E=, dus ook :=D:D. M N ntwoorden

44 N ligt op zó, dt N en loodrecht op elkr stn. Noem MN=, dn N=d+ en N=d. = d + + h = d + d + + h en ( ) ( d ) + h = d d + h =, hierij is h=n. + Dus: + = d + + h = d + m Q R P K L M K, L en M zijn de middelpunten vn de cirkels. P en R zijn de rkpunten en Q het midden vn de koorde. Dn zijn PK, QL en RM evenwijdig. KL=9 =6 en LM=9 6=, dus QL=. De lengte vn de koorde= 9 = 6 =. D 6 Zie pltje: = 6 en 8 = 8 = 6 Dus: ( ) ( ) 8 P Dus: 8 = 6, dus =. Prgrf 6 Rekentechniek.. + = + = c. De driehoek met zijden 6,, en 80 ontstt uit die met zijden, en door met 6 te vermenigvuldigen. d. ls je de driehoek met zijden, en met vermenigvuldigt, krijg je de driehoek met zijden, en. (Let op de derde zijde.) Dus =. (Let op de eerste zijde.) 60 M c. 7 Meetkunde met lger

45 Het midden vn noemen we M, dn is M een grden-driehoek. Dus M= en M=, dus =. Twee zijden zijn: 6, een zijde is 6 en de digonlen zijn: De ndere rechthoekszijde is 89 rechthoekszijden smen zijn 0 7=.. 8, De twee 6. Kwdrteren geeft: = + = 0 + = 0 = of =. ( )( ) n de oorspronkelijke vergelijking voldoet lleen =.. Kwdrteren geeft: = + = 0 + = 0 = of =. ( )( ) n de oorspronkelijke vergelijking voldoet lleen =-. c. = + = Kwdrteren geeft: + = + = 0 = 0 = of =. ( )( ) n de oorspronkelijke vergelijking voldoet lleen =. c d 7. = + ; =, dus = (gelijkvormigheid vn de twee kleinere driehoeken). Verder c = +. De rechthoekszijden vn de grote driehoek zijn: + en +, dus d= ( ) ( ) nderzijds d=+c= ( ) ( ) = Kwdrteren geeft: ( ) ( ) = We ekijken eerst de linkerknt. Het deel ( + ) + + = + + = = +, dus de linkerknt is: = = ntwoorden

46 Meetkunde met lger 6 en de rechterknt is: ( ) ( ) = Klopt! 8. ( ) + = + + =, ( ) = + = en ( ) 8 = = c, dus c = +. + =? Kruislings vermenigvuldigen geeft: ( )( ) = + en dt klopt. 9 Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer. = = + = = + ( ) = = +