van basis tot Handleiding limiet Meetkunde

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "van basis tot Handleiding limiet Meetkunde"

Transcriptie

1 Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze ewerkt voor het gemeenschpsonderwijs door Wendy Luyckx o Roefs rtoons Dve Vnroye vn sis tot limiet Hndleiding Meetkunde 1

2 voorwoord ISN: Kon. i.: 0147/006/ /007/168 estelnr.: NUR: 16 opyright y die Keure rugge Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, die Keure, Oude Kleine Gentweg Pthoekeweg rugge rugge - elgië - elgië - - H.R. rugge 1.5 Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt worden door middel vn druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorfgnde schriftelijke toestemming vn de uitgever. No prt of this ook my e reproduced in ny form y print, photoprint, microfilm or ny other mens without written permission from the pulisher. Dit oek estt uit 34 grote delen. delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere prgrfen. De moeilijkste oefeningen De zijn volgende in het luw hndige gedrukt. pictogrmmen geruiken we in het leeroek: 1 Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. lle definities vind je op een rode chtergrond, eigenschppen en stellingen op een groene. Elk hoofdstuk eindigt met een smenvtting wrin duidelijk wordt gemkt wt je moet kennen en kunnen, zodt je de oefeningen en de volgende hoofdstukken proleemloos kunt npkken. 3 ij het lmpje vind je de herkomst vn wiskundige woorden of symolen.

3 3 vn sis tot limiet 4 De wiskunde schrijvers die vn we dit vndg oek kennen wensen is je het veel resultt plezier met vn een het vk eeuwenlng wiskunde. groeiproces. Onder de wereldol vind je meer informtie over elngrijke historische figuren en stn ook leuke nekdotes vermeld. 5 Het grfische rekentoestel is een onmisr hulpmiddel geworden. Telkens dit toestel hulp kn ieden, vind je dit icoontje in de kntlijn. Veel meer over het geruik vn het grfische rekentoestel vind je in het specile IT prcticumoek 5 TI-83(Plus). 6 Geen wiskunde zonder computer. ls computerprogrmm s kunnen helpen, zie je dit pictogrm. Veel meer over het geruik vn IT vind je in het IT prcticumoek 5 omputer. chtern in het oek stt een trefwoordenlijst. Om het gemkkelijker te mken zijn deze woorden cursief in de kntlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst geruikt worden. N ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in het luw gedrukt. Om iets gemkkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister chtern in het oek. Deze woorden stn ook voor de kntlijn fgedrukt, op de plts wr ze het eerst geruikt worden. De schrijvers vn dit oek wensen je veel plezier met het vk wiskunde op je nieuwe school.

4 4 Wiskunde is veel meer dn lleen mr optellen en vermenigvuldigen. Ook meetkunde en ruimtemeetkunde moeten tot je wiskundige gge ehoren. Dt ook meetkunde in de reliteit dikwijls wordt toegepst, zullen we in dit hndoek illustreren. Zo zie je hier de ernin-express, die in Zwitserlnd een cirkelvormige n moet fleggen lvorens hij in de lpen verdwijnt, om er ndien in Itlië weer uit te rijden. Hou je potlood, gom, psser en geodriehoek in de nslg en leg ook je rekenmchine niet te ver weg rlos F.

5 5 inhoud vn sis tot limiet De wondere wereld vn de meetkunde > 7 1 sisegrippen vn de meetkunde > 11 Vlkke figuren > 31 3 Symmetrie > 87 4 Ruimtefiguren > 111

6 6 M.. Escher Klimmen en dlen ordon rt - rn - Hollnd. lle rechten voorehouden.

7 7 De wondere wereld vn de meetkunde Intro

8 In volgende kuussen zijn telkens twee rechten getekend over de snijlijn vn twee zijvlkken. G n of deze rechten snijdend, evenwijdig of kruisend zijn. c d en zijn kruisend en zijn snijdend en zijn snijdend en zijn evenwijdig Teken in volgende lken telkens rechten en over de snijlijnen vn de zijvlkken heen, zodt en snijdend zijn. en kruisend zijn. c en evenwijdig zijn Duid op de foto twee snijdende Duid op de tekening twee rechten n. kruisende rechten n.

9 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde 9

10 10

11 11 sisegrippen vn de meetkunde 1.1 Meetkundige egrippen > Onderlinge ligging vn rechten in het vlk > Hoeken > 0

12 1 1.1 Meetkundige egrippen en zijn twee verschillende punten vn π. Wt stelt elk vn de volgende notties voor? rechte [ hlfrechte [ c [] lijnstuk [] d lengte vn het lijnstuk [] Vul in met, Ç, = of zodt je een wre uitsprk krijgt D D π c = d D Ç [ e [ f = g h π i D 3 Meet volgende lijnstukken (tot op 1 mm nuwkeurig). E S D c d e f g h [] [] [E] [D] [S] [SE] [S] [SD] 68 mm 6 mm 56 mm 63 mm 1 mm 35 mm 53 mm 10 mm

13 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde X en Y zijn twee verschillende punten vn het vlk π. Teken lle punten die op 3 cm vn X liggen. Teken lle punten die op cm vn Y liggen. c Hoeveel punten zijn er die op 3 cm vn X en op cm vn Y liggen? : en X Y Is [ = [? Verklr. J. [ en [ stellen lleei dezelfde hlfrechte met grenspunt voor. Is [ = [? Verklr. Nee. [ en [ stellen verschillende hlfrechten (met een verschillend grenspunt) voor.

14 c Is [ = [? Verklr. Nee. [ en [ stellen verschillende hlfrechten (verschillend grenspunt en verschillende richting) voor De punten, en zijn collineir. = cm en = 8 cm. Hoe groot is? Geef lle oplossingen en mk telkens een duidelijke tekening. ll = 6 cm ll = 10 cm mogelijkheid 1 cm 8 cm ll = 6 cm mogelijkheid 8 cm cm ll = 10 cm Om zeer nuwkeurige metingen uit te voeren, geruikt men soms een schuifpsser. Er estn nu l digitl fleesre schuifpssers (tot op 0,01 mm nuwkeurig). Zoek in de hndel hierover meer informtie.

15 Deel 1 lgerïsch rekenen Onderlinge ligging vn rechten in het vlk Gegeven: de meetkundige figuur vn enkele rechten. Gevrgd: vul in met // of. // g n // c h c m c m i n // p d n j n // n e // c k // f p l // c m n p Gegeven: de punten, en. de rechten en c. Gevrgd: Teken door de rechte evenwijdig met c. Teken door de rechte d evenwijdig met. c Teken door de rechte f evenwijdig met c. d Teken door de rechte g evenwijdig met. f c d g 3 Gegeven zijn de punten, en en de rechten x en y Teken door de loodlijn op x. Teken door de loodlijn op y. c Teken door de loodlijn c op x. d Teken door de loodlijn d op y. d x y c

16 Gegeven zijn drie rechten, en c., c Mk een duidelijke tekening. c Wt kun je esluiten over de onderlinge ligging vn en c? // c c Welke eigenschp zie je hier toegepst? ls twee rechten loodrecht stn op eenzelfde derde rechte, dn zijn deze rechten onderling evenwijdig. 5 Gegeven: de meetkundige figuur vn enkele rechten. Gevrgd: noteer telkens of de gegeven rechten snijdend, evenwijdig of loodrecht zijn. en loodrecht c en c snijdend m c en d loodrecht d en d evenwijdig e en c snijdend d f c en m evenwijdig f g m en snijdend h f en d loodrecht

17 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde Mk een duidelijke tekening en vul ndien het pssende symool in. Kies uit //,, //\ of =. en c // c c // en c c c c // en // c // c c d en // c c c e // en c // \ c... //\ c

18 Teken de middelloodlijn vn []. met geodriehoek met psser en lt m = ml [] m = ml [] epl de fstnd vn het punt tot de rechten en. Werk tot op 1 mm nuwkeurig. De fstnd vn tot is 8 mm. De fstnd vn tot is 19 mm Gegeven is een punt. epl een rechte zodt de fstnd vn tot 4 cm is. Hoeveel oplossingen zijn er?

19 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde Gegeven is het lijnstuk []. onstrueer de punten die op 5 cm liggen vn en vn. Hoeveel mogelijke oplossingen zijn er? Twee, X en Y. c onstrueer drie cirkels die door en gn. X Y onstrueer een punt dt even ver vn en ligt en dt tot een fstnd heeft vn 1 cm. Hoeveel oplossingen zijn er? Twee, X en Y. Y X 1 cm 1 cm

20 0 1.3 Hoeken G Geef de juiste nm voor de volgende hoeken. E 1 Ê 1 : stompe hoek Ê : stompe hoek F : gestrekte hoek Ĝ: volle hoek nulhoek D : stompe hoek Ĉ: scherpe hoek D : scherpe hoek F epl de grootte vn elke hoek en schrijf de gepste enming ernst X = 7 Ŷ = 135 stompe hoek scherpe hoek Z Y X V Ẑ = 70 scherpe hoek V = 00 stompe hoek 1 Û1 = 35 scherpe hoek Û = 145 stompe hoek Û3 = 180 gestrekte hoek U Schippers, scouts en zeelui mken nogl eens geruik vn een komps. De kompsnld wijst steeds en overl het noorden n. lle ndere richtingen mken dus een hoek met het noorden. Zo mkt oost een hoek vn 90. Zoek nu het ntl grden dt hoort ij c d e f g Zuid 180 West 70 Noordoost 45 Noordnoordoost Westnoordwest Zuidwest 5 Zuidzuidwest 0 30

21 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde Ook in de wielersport zijn hoeken vn groot elng. ekijken we deze fiets. De hoek tussen de ovenuis en de opstnde uis rechts kn vn fiets tot fiets verschillen. Voor een sportfiets edrgt deze hoek ongeveer 73. Voor een gewone fiets Hoeveel edrgt hij voor deze cityike? 84 Hoe groot is de hoek voor jouw fiets? fhnkelijk vn de fiets Teken de volgende hoeken. = 5 e ê = 195 = 45 f F = 180 c ĉ = 0 g Ĝ = 315 d D = 150 h ĥ = D 195 E F 180 G 315 H 360

22 Teken telkens het tweede een vn de hoek ls de grootte gegeven is. = 48 = 75 c = Een prd heeft oogkleppen om zijn gezichtsveld te eperken. Drdoor heeft hij mr een kijkhoek vn 8. rceer het gedeelte dt het prd niet kn zien Teken de hoek zodt = met psser en linil. c

23 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde 3 9 Meet de hoeken,, ĉ vn de driehoek en epl hun som = 90 = 8 Ĉ = Ĉ = Meet de hoeken,, ĉ, D vn de vierhoek en epl hun som. = 10 = 100 Ĉ = 70 D = Ĉ + D = 360 D 11 epl de grootte vn elke hoek, zonder te meten c e 1 60 E d d is deellijn Ĉ 1 = 10 Ê 1 = 40 d f Ê = D 1 F 1 d 147 d is deellijn 1 D 1 = F 1 35 = D 158 = F

24 epl de grootte vn elke hoek, zonder te meten. Gegeven: O = 4 Gegeven: O = 58 OD = 4 is deellijn vn O o oc is deellijn vn O X D 3 1 O 1 4 O 3 4 Y Gevrgd: epl O O O en O 1,, 3 4 Gevrgd: epl O, O, O en O O 90 = 90 4 = 48 O = 90 O = 90 4 = 48 = = 1 + OD = = 7 O1 = O + OD = 48 4 = 7 = = 90 OD = 66 O 3 = 90 OD = 90 4 = 66 = O 4 = 180 O = = O O 1 = 1. = = 9 O XO XO = 90 = 90 = 90 9 = 61 O = 90 + YO = 90 + O = = O = 90 O = 90 9 = Reken uit en controleer ndien met je rekenmchine c d e f g h = i = j = k = Teken met psser en linil de deellijn vn hoek en hoek

25 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde Teken met psser en linil de deellijn vn, en ĉ. Wt is je conclusie? De drie deellijnen gn door hetzelfde punt en zijn nevenhoeken. Teken de deellijn vn 1 en vn. 1 Formuleer je evindingen. De twee deellijnen stn loodrecht op elkr Gegeven: x en y snijden elkr in het punt S. Gevrgd: Teken de loodlijn in S op x. Teken ook de loodlijn in S op y. S 3 1 x y

26 6 Meet de hoek ŝ 1, en meet de hoeken tussen de twee loodlijnen. Ŝ 1 = 0, mr ook Ŝ = 0 De hoeken tussen de loodlijnen zijn 0 en 70. c Tot welk esluit kom je? Kun je dt ook verklren? Ŝ 1 = Ŝ verklring: Ŝ 1 + Ŝ 3 = 90 ( y) Ŝ + Ŝ 3 = 90 ( x) dus: Ŝ 1 = Ŝ Gegeven: de hoek S en het punt P. Gevrgd: Teken door P de loodlijn op [S. Teken door P ook de loodlijn op [S. S P Meet de hoek tussen de twee loodlijnen en S. S = 50 en P = 130 c Zijn deze twee hoeken supplementir? J, = Vul volgende tel in. hoek α complement vn α supplement vn α

27 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde ereken het verschil tussen het supplement en het complement vn een hoek α. Werk hiervoor eerst met 3 concrete hoeken. Proeer dt ndien te verlgemenen. hoek α supplement vn α complement vn α verschil v. 1: v. : v. 3: lgemeen: α 180 α 90 α 90 * * (180 α) (90 α) = 180 α 90 + α = 90 Het verschil tussen het supplement en het complement vn een hoek is steeds Een hoek is groter dn zijn complement. Zoek deze hoek. α = de gezochte hoek, 90 α = zijn complement α = 90 α + α + α = 90 + α = 11 α = 56 De gezochte hoek is Het complement vn een hoek is drieml zo groot ls de hoek zelf. Zoek deze hoek. α = de gezochte hoek, 90 α = zijn complement 90 α = 3. α 90 = 3α + α 90 = 4α,5 = α De gezochte hoek is Het supplement vn een hoek is vijfml zo groot ls de hoek zelf. Zoek deze hoek. α = de gezochte hoek, 180 α = zijn supplement 180 α = 5. α 180 = 5α + α 180 = 6α 30 = α De gezochte hoek is 30

28 Het supplement vn een hoek is 48 groter dn de hoek zelf. ereken het complement vn deze hoek. α = de gezochte hoek, 180 α = zijn supplement 180 α = α = α + α 13 = α 66 = α Het complement vn de hoek is Twee hoeken O = 37 en O = 59 liggen n weerszijden vn O. Mk een tekening. Hoe groot is de hoek vn de deellijnen? O : = : = hoek deellijnen: 48 Zelfde vrg voor O = O = hoek deellijnen: +

29 Deel 1 sisegrippen vn de meetkunde O = 35 Teken in O de loodlijn op O en de loodlijn op O. Nummer lle hoeken in O. Hoe groot zijn deze hoeken? 1 5 O O 1 = 90 O = = 55 O = 90 O = = 35 1 O 3 = 90 O = = 55 O4 = O = 35 en O 5 = 180 O 4 = = 145

30 30

31 31 Vlkke figuren. Driehoeken > 3.3 Vierhoeken > 51.4 De cirkel > 64.5 Omtrek en oppervlkte vn vlkke figuren > 71

32 3. Driehoeken Gegeven:! XYZ Vul de meest pssende enming in. Kies uit: hoekpunt, zijde, drger vn een zijde, ingesloten hoek, nliggende hoeken, overstnde hoek. [XY] is een Ŷ is de tussen de yz is de X en Ẑ zijn de vn de Ẑ is de vn de zijde ingesloten hoek zijden drger vn zijde [YZ] nliggende hoeken zijde overstnde hoek zijde [XY] en [YZ] [XZ] [XY] Z X Y Kenmerken vn de merkwrdige lijnen in een driehoek. Duid met een kruisje n welke kenmerken elke lijn heeft. door een hoekpunt loodrecht op een zijde door het midden vn een zijde zwrtelijn hoogtelijn middelloodlijn deellijn Vul in met zwrtelijn, hoogtelijn, middelloodlijn of deellijn. D E cd is een G is een G is een ef is een G F hoogtelijn deellijn hoogtelijn middelloodlijn M S R N Q os is een zwrtelijn RN is een deellijn MQ is een hoogtelijn sp is een middelloodlijn P O

33 Deel Vlkke figuren Hieronder zijn 10 driehoeken getekend, genummerd vn 1 tot 10. Vul eide tellen in en geef voor elke driehoek de meest pssende nm. Om de eerste tel in te vullen, moet je de zijden meten; om de tweede tel in te vullen, moet je de hoeken meten Tel 1! II II II enming cm 5 cm 4 cm gelijkenige driehoek 3,8 cm 3 cm 6 cm ongelijkenige driehoek 3 4 cm 5 cm 3 cm ongelijkenige driehoek 4 6 cm 7 cm 4,9 cm ongelijkenige driehoek 5 5,9 cm 5,9 cm 5,9 cm gelijkzijdige driehoek 6 5 cm 5 cm 7,9 cm gelijkenige driehoek 7 6,9 cm 7,1 cm 9,9 cm ongelijkenige driehoek 8 8,8 cm 8,9 cm 5,9 cm ongelijkenige driehoek 9 5 cm 7,9 cm 10,8 cm ongelijkenige driehoek 10 3,9 cm 3,9 cm 3,9 cm gelijkzijdige driehoek

34 Tel! HOEK HOEK HOEK enming 1 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek stomp scherp scherp stomphoekige driehoek 3 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek 4 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek 5 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek 6 stomp scherp scherp stomphoekige driehoek 7 recht scherp scherp rechthoekige driehoek 8 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek 9 stomp scherp scherp stomphoekige driehoek 10 scherp scherp scherp scherphoekige driehoek Vergelijk de zijden en de hoeken vn iedere driehoek. Wt merk je op? Tegen over de lngste zijde ligt de grootste hoek. Tegen over de kortste zijde ligt de kleinste hoek Vul in. Noteer ook je erekening. ij een rechthoekige driehoek is de ene scherpe hoek 7. Hoe groot is dn de ndere scherpe hoek? 63 ij een gelijkenige driehoek is de tophoek 100. Hoe groot is elke sishoek? De sishoeken zijn 40. c hoe groot zijn de sishoeken vn een gelijkenige rechthoekige driehoek? d e De sishoeken zijn 45. in een gelijkenige driehoek is een sishoek 50 Hoe groot zijn de ndere hoeken? De ndere hoeken zijn 50 en 80. in! is = 4. is duel zo groot ls ĉ. Hoe groot is elke hoek? ^ + ^ + ^ = 180 F ^ + ^ = F ^ + ^ = 138 (^ = ^ ) dus 3^ = 138 en ^ = 46 dn is ^ = 9 De hoeken zijn 9, 46 en 4. f g Vn een gelijkenige stomphoekige driehoek is één scherpe hoek. Hoe groot is de stompe hoek? De stompe hoek is 136. in een driehoek is de ene hoek het duel vn de kleinste hoek en een ndere het drievoud vn de kleinste hoek. Hoe groot is elke hoek vn deze driehoek? De hoeken zijn 30, 60 en 90.

35 Deel Vlkke figuren 35 h in een rechthoekige driehoek is één scherpe hoek vierml zo groot ls de ndere scherpe hoek. Hoe groot is elke hoek vn deze driehoek? De hoeken zijn 18, 7 en Wr of vls? Indien vls, verklr. Er estt een stomphoekige driehoek die rechthoekig is. Vls. De som der hoeken zou meer dn 180 zijn. Er estn gelijkenige rechthoekige driehoeken. c d e f g h i Wr.! XYZ is gelijkzijdig! XYZ is gelijkenig. Wr. De sishoeken vn een gelijkenige driehoek zijn ltijd scherp. Wr. Er estt een driehoek wrvn de hoeken 40, 55 en 95 zijn. Vls. De som der hoeken in een driehoek is steeds 180 (en niet 190 ).! XYZ is gelijkzijdig! XYZ is gelijkenig. Vls. De pijl geldt niet ltijd. Niet elke gelijkenige driehoek is gelijkzijdig.. Elke gelijkzijdige driehoek is scherphoekig. Wr. Een rechthoekige driehoek kn niet gelijkzijdig zijn. Wr. Er estt een driehoek wrvn de zijden 5 m, 3 m en 8 m lng zijn. Vls: 5 m + 3 m = 8 m Welke reeks hoeken kn vn eenzelfde driehoek zijn? Noteer hier de letter d één rechte hoek, één stompe hoek, één scherpe hoek. één rechte hoek, één stompe hoek, één stompe hoek. c één rechte hoek, één rechte hoek, één scherpe hoek. d één rechte hoek, één scherpe hoek, één scherpe hoek. e één scherpe hoek, één stompe hoek, één stompe hoek epl zonder meten de ngeduide hoeken. Geef telkens ook de verklring = 90, dus: 60 1 = 30 1 = = = = 180, dus: = 1 75 = = 30 D is gelijkenig, dus: D = = D = = D = 75

36 d is de deellijn vn X. epl zonder meten de ngeduide hoeken. Geef ook telkens de verklring. X 40 1 Z d Y X = Z1 Z ( X 1 = X wnt d deellijn vn X ) ( Z 1 = 180 Z ) 40Z Y ( in XMZ: Z = 180 X M ) 1 = = Ŷ = ( ) 35 in XYZ: Y = Z M 10 ekijk ndchtig onderstnde tekening. = D en =. epl D1 en verklr. In ( ) gelijkenig geldt: + = 140 = 140 = 70 In D( gelijkenig) geldt: = D 1 = 70 1 D 40 De hoek D 1 is ereken de gevrgde hoeken voor elk vn volgende driehoeken in! is = 58, = 67, Ĉ = 55 in! DEF is D = , Ê = , F = c in! GHI is Ĝ = 7, Ĥ = 4. Ĝ, Ĥ = 108 I = 45 J d in! JKL is Ĵ = 40, K =. Ĵ + L, L = 30 K = 110 e in! MNP is M = 3. P, N = 4. P, P = 30 M = N =90 f in! RST is R = Ŝ +. T, Ŝ = 1 R, T = R = Ŝ = g in! UVW is Û + V = 58, Û V = 6, W = 1 V = 16 Û = 4

37 Deel Vlkke figuren 37 onstructieoefeningen Teken in! : - de zwrtelijn Z - de hoogtelijn H - de middelloodlijn MX op de zijde [] - de deellijn D X D Z H M Teken de rechten,, c en d ls: - de hoogtelijn is uit - de middelloodlijn is op [] - c de zwrtelijn is uit - d de deellijn is vn ĉ d c 3 onstrueer in! lle hoogtelijnen Hoeveel zijn er? 3 Wt stel je vst? h 1, h en h 3 snijden elkr in h h 3 1 punt. Formuleer je evinding in een zin. De 3 hoogtelijnen vn een driehoek snijden elkr h 1 in 1 punt.

38 38 4 onstrueer in! lle zwrtelijnen Hoeveel zijn er? 3 Wt stel je vst? z 1, z en z 3 snijden elkr in 1 punt. z 1 Formuleer je evinding in een zin. z z 3 De 3 zwrtelijnen vn een driehoek snijden elkr in 1 punt. 5 onstrueer in! lle middelloodlijnen Hoeveel zijn er? 3 m Wt stel je vst? m 1, m en m 3 snijden elkr in 1 punt. Formuleer je evinding in een zin. m 3 De 3 middelloodlijnen vn een driehoek snijden elkr in 1 punt. m onstrueer in! lle deellijnen. d d 3 d 1 Hoeveel zijn er? 3 Wt stel je vst? d 1, d en d 3 snijden elkr in 1 punt. Formuleer je evinding in een zin. De 3 deellijnen vn een driehoek snijden elkr in 1 punt.

39 Deel Vlkke figuren onstrueer een gelijkenige driehoek met ls top. onstrueer de zwrtelijn uit. onstrueer de hoogtelijn uit. M z = h Wt stel je vst? Formuleer je evinding in een duidelijke zin. Is deze zwrtelijn uit ook de middelloodlijn op de sis []? Verklr. In een gelijkenige driehoek is de zwrtelijn uit de top ook de hoogtelijn. J, M is de zwrtelijn P IMI = IMI; } M is de middelloodlijn. M is de hoogtelijn P M = 90 Is deze zwrtelijn uit ook de deellijn vn? Verklr J, in!m is = Ĉ = Ĉ 1 } P = 1 in!m is = De gelijkenige driehoek ls wterps De Egyptenren geruikten geen wterps om n te kijken of iets volkomen horizontl ws. In de plts drvn geruikten ze een houten instrument in de vorm vn de letter. n de top vn dit instrument ws een touwtje evestigd met drn een gewichtje. Door ervoor te zorgen dt het touw met het gewichtje (dt steeds verticl hing) door het midden vn het verindingsstuk ging, hd men zekerheid dt dit ltje horizontl stond. Men mkte hier geruik vn de eigenschp dt in een gelijkenige driehoek (de letter ) de zwrtelijn (verticl touwtje door het midden vn het ltje) ook de hoogtelijn ws (en dus loodrecht op de verticle stond, d.w.z. volkomen horizontl).

40 40 8 onstrueer een gelijkenige driehoek met een sis vn 5 cm en een sishoek vn cm 9 onstrueer een gelijkenige driehoek wrij de sis 4 cm is en een een 8 cm cm 8 cm 4 cm onstrueer een gelijkzijdige driehoek wrvn de omtrek,1 dm is. 7 cm 7 cm 7 cm

41 Deel Vlkke figuren onstrueer een ongelijkenige driehoek wrvn de zijden hieronder gegeven stn. 1 onstrueer een gelijkenige driehoek met omtrek 1,9 dm. Zorg ervoor dt de sis 5 cm meet cm 7 cm 5 cm onstrueer een rechthoekige driehoek wrvn een rechthoekszijde 8 cm meet en een scherpe hoek 36 is. 8 cm 36

42 Gn in een rechthoekige driehoek de drie hoogtelijnen ook door één punt? Onderzoek en formuleer je evinding in een duidelijke zin. F De hoogtelijnen IDI, IEI en IFI komen smen in de rechte hoek. E D onstrueer een rechthoekige driehoek wrvn een rechthoekszijde 5 cm lng is en de schuine zijde een lengte heeft vn 7 cm. 7 cm 5 cm onstrueer volgende driehoeken:! met = 5 cm, = 4 cm en = 40 5 cm 40 4 cm

43 Deel Vlkke figuren 43! DEF wrvn een zijde 4 cm lng is, een ndere zijde 5,5 cm en de ingesloten hoek 100 is. D 4 cm E 100 5,5 cm F c! GHI met GH = 5,5 cm, Ĝ = 30 en ĥ = 75 G 5,5 cm H I d! MNP met MN = 5 cm, NP = 4,5 cm en MP = 3 cm M 5 cm N 3 cm 4,5 cm P e! JKL wrvn een zijde 5 cm lng is en de nliggende hoeken n die zijde 45 en 60 meten. J 5 cm K L

44 44 f een gelijkenige driehoek RST met tophoek R = 50 en ST = 4 cm R 50 g T S 4 cm een gelijkenige driehoek UVW met een hoek vn 10 en de overstnde zijde die 7 cm lng is. U 7 cm V 10 W h een rechthoekige driehoek XYZ met Ŷ = 55 en XZ = 6 cm. Y 55 X 6 cm 35 Z 17 Proeer een driehoek te construeren wrvn de zijden 6 cm, cm en 3 cm zijn cm 3 cm 6 cm

45 Deel Vlkke figuren 45 Wt merk je? Hoe zou dt komen? Dit gt niet wnt 6 > + 3. Wnneer kun je met drie gegeven lengten toch geen driehoek tekenen? ls één vn de drie lengten lnger is dn de twee ndere smen onstrueer de driehoek ls je weet dt m de middelloodlijn is op [] en n de middelloodlijn op []. Mk voorf een nlyse. ls m = ml [], dn kun je vinden. ls n = ml [], dn kun je vinden. m n

46 onstrueer de rechthoekige driehoek ls je weet dt [M] de zwrtelijn is vnuit, ĉ een rechte hoek is en de rechte m de middelloodlijn is op de zijde []. Mk voorf een nlyse. ls m = ml [], dn is m. Ĉ = 90, dus:. IMI = IMI (m = ml []). m M onstrueer driehoek ls gegeven is dt de rechte c de deellijn is vn ĉ en de rechte de deellijn vn. Mk voorf een nlyse. ls = dl, dn is = 1 ls c = dl Ĉ, dn is Ĉ 1 = Ĉ.. c 1 1

47 Deel Vlkke figuren onstrueer driehoek ls gegeven is dt [M] een zwrtelijn is, de rechte de hoogtelijn uit en de rechte c de hoogtelijn uit. Mk voorf een nlyse. c M Hieronder stt op een ijzondere mnier de verzmeling vn de driehoeken getekend. D is de verzmeling vn de driehoeken, G de verzmeling vn de gelijkenige driehoeken, GZ de verzmeling vn de gelijkzijdige driehoeken. In R zitten de rechthoekige driehoeken. Welke driehoeken zitten in de verzmeling RG? De rechthoekige gelijkenige driehoeken. RG R D GZ G

48 48 Plts in elk geied een cijfer en teken dn voor elk geied een pssende driehoek Tijd om de kunstenr uit te hngen Teken een (grote) gelijkzijdige driehoek. Ps op elke zijde vn deze driehoek een lijnstukje vn dezelfde lengte f. (Hoe kleiner dit lijnstukje, hoe mooier de tekening zl worden). Verind de punten: je krijgt opnieuw een gelijkzijdige driehoek. Herhl ovenstnde werkwijze met de nieuwe driehoek enz. ls je dt verschillende keren n elkr toepst, ekom je een mooie figuur.

49 Deel Vlkke figuren Er zijn nog heel wt ndere mnieren om op een cretieve mnier met driehoeken mooie figuren te tekenen. Hier krijg je nog een vooreeld: teken een gelijkzijdige driehoek. Neem vn elke zijde het midden en verind die punten: je ekomt opnieuw een gelijkzijdige driehoek (en zelfs meer dn één). Herhl deze werkwijze tot Teken zelf een pythgorsoom. Teken eerst een vierknt met erovenop een gelijkenige rechthoekige driehoek. Op eide rechthoekszijden teken je nu weer een vierknt, op elk vierknt weer een gelijkenige rechthoekige driehoek, enz.

50 50 6 Hoeveel gelijkzijdige driehoeken vind je in onderstnde figuur? kleine driehoek: 16 4 kleine driehoeken: 6 9 kleine driehoeken: 3 16 kleine driehoeken: In deze figuur kn je 6 gelijkzijdige driehoeken herkennen.

51 Deel 1 lgerïsch rekenen 51.3 Vierhoeken De som vn de hoeken vn een driehoek is 180. De som vn de hoeken vn een vierhoek is 360. Zoek zelf de som vn de hoeken vn een vijfhoek. Doe dt door te tekenen en te redeneren. Je kn in een vijfhoek (zie tekening) 3 driehoeken tekenen. In elke driehoek is de som der hoeken = Wt is de som vn de hoeken vn een zeshoek? = 70 c We verlgemenen: wt zou de som zijn vn de hoeken vn een tienhoek? = 1440 d Zoek de som vn de hoeken vn een n-hoek. (n ). 180

52 Re Re is de verzmeling vn de rechthoeken. P P is de verzmeling vn de prllellogrmmen. Teken in elk geied een pssende figuur en rceer de lege geieden Teken een vierknt wrvn een zijde [] gegeven is. D onstrueer volgende vierhoeken. Teken een rechthoek wrvn de lengte 8 cm is en de reedte 5 cm. 8 cm 5 cm Teken een prllellogrm met zijden vn 3 cm en 4 cm en met een ingesloten hoek vn cm 40 4 cm

53 Deel Vlkke figuren 53 c Teken een ruit wrvn een hoek 35 is en elke zijde 3,5 cm. 3,5 cm 35 d Teken een ruit wrvn de digonlen 4 cm en 6 cm zijn. 4 cm 6 cm e Teken een rechthoek wrvn een digonl 5 cm is. 5 cm onstrueer volgende vierhoeken door eerst de digonlen te tekenen. De digonlen stn loodrecht op elkr, zijn niet even lng en delen elkr middendoor. De digonlen stn loodrecht op elkr, zijn even lng en delen elkr niet middendoor.

54 54 c De digonlen stn niet loodrecht op elkr, zijn niet even lng en delen elkr niet middendoor. d De digonlen stn niet loodrecht op elkr, zijn niet even lng en delen elkr middendoor. e De digonlen stn niet loodrecht op elkr, zijn even lng en delen elkr middendoor. f De digonlen stn loodrecht op elkr, zijn even lng en delen elkr middendoor.

55 Deel Vlkke figuren 55 6 Wr of vls? lle prllellogrmmen zijn trpeziums. Wr. Sommige rechthoeken zijn ruiten. Wr. c lle ruiten zijn vierknten. Vls. d Er estn ruiten met 4 gelijke hoeken. Wr. e Elke rechthoek is een prllellogrm. Wr in vierhoek D stn de digonlen loodrecht op elkr. Mg je hieruit esluiten dt D een ruit is? Neen. indien je ntwoord neen is, teken dn een tegenvooreeld. in vierhoek D zijn 3 hoeken even groot. Mg je hieruit esluiten dt D een rechthoek is? Neen. indien je ntwoord neen is, teken dn een tegenvooreeld Teken een vierhoek met even lnge digonlen, die echter geen rechthoek is

56 56 Teken een vierhoek met één pr overstnde zijden die even lng zijn, die echter geen prllellogrm is onstrueer een ruit wrij de grote digonl 10 cm is en de zijde vn de ruit 6 cm. Geruik geodriehoek en psser. 6 cm 10 cm Welke figuur krijg je ls ij een willekeurige vierhoek de middens vn de nliggende zijden veronden worden? Een prllellogrm.

57 Deel Vlkke figuren Teken in een prllellogrm de deellijnen vn de hoeken. Duid lle snijpunten n. Welke figuur ontstt er? Een rechthoek Welke figuur wordt er gevormd ls je in een willekeurige driehoek de middens vn de zijden en het voetpunt vn de hoogtelijn uit verindt? Trek ps een esluit ndt je dt met minstens drie verschillende driehoeken het uitgeproeerd. Een gelijkenig trpezium.

58 Zeg vn elke uitsprk of deze WR of VLS is. Indien nodig, mk je een tekening. Elke vierhoek met twee even lnge overstnde zijden is een prllellogrm. Vls. Elke vierhoek met twee even lnge en evenwijdige overstnde zijden is een prllellogrm. Wr. c Elk prllellogrm met twee even lnge digonlen is een rechthoek. Wr. d Elke vierhoek met twee even lnge digonlen is een rechthoek. Vls. e Elke vierhoek wrvn de digonlen elkr middendoor delen, is een prllellogrm. Wr.

59 Deel Vlkke figuren 59 f Elke vierhoek met twee even lnge digonlen die elkr middendoor delen, is een rechthoek. Wr. g Elke ruit met even lnge digonlen is een vierknt. Wr. h Elk prllellogrm met één rechte hoek is een rechthoek. Wr ij een prllellogrm weet je dt de overstnde hoeken gelijk zijn. Wt weet je in een prllellogrm vn twee opeenvolgende hoeken? Onderzoek dt op een prllellogrm dt je zelf tekent D = 360 = = D dus: = = = 180 D

60 60 Proeer dt te verklren. Misschien kn dit een hulp zijn om te eginnen: in prllellogrm D is + + Ĉ + D = 360 = Ĉ en = D Hoeveel vierknten kun je ontdekken op een schkord? Vierknten estnde uit vkjes ntl = = = = = = = Totl: Verdeel dit stuk grond in vier stukken vn dezelfde grootte en vorm, zodt op elk stuk evenveel omen stn.

61 Deel Vlkke figuren kun je onderstnde figuren verdelen in vier stukken die even groot zijn en dezelfde vorm heen? kun je onderstnd vierknt verdelen in vijf stukken die even groot zijn en dezelfde vorm heen? Enkele luciferspelletjes Je mg ij volgende figuur vier lucifers verpltsen en je moet drie vierknten overhouden die even groot zijn ls de kleine vierknten die gegeven zijn. Door het verpltsen vn slechts drie lucifers moeten uit de vijf vierknten vier vierknten worden gevormd die onderling even groot zijn. c ls je ij onderstnde figuur twee lucifers wegneemt, moet je twee vierknten overhouden. d ls je cht lucifers wegneemt ij volgende figuur, moet je twee vierknten overhouden.

62 Teken een ruit (groot genoeg!). Ps op elke zijde een lijnstukje vn dezelfde lengte f (hoe kleiner, hoe eter). Verind nu de vier verkregen punten. Je ekomt een prllellogrm. Herhl ovenstnde werkwijze op dit prllellogrm. Je ekomt opnieuw een prllellogrm. lijf nu deze werkwijze herhlen. Er verschijnt uiteindelijk een mooie figuur welke figuur ekom je ls je de middens vn de zijden vn een rechthoek met elkr verindt? Een ruit. Welke figuur ekom je ls je de middens vn de zijden vn een ruit met elkr verindt? Een rechthoek.

63 Deel Vlkke figuren 63 c Teken een vierknt (groot genoeg!). Verind de middens vn elke zijde met elkr. Er verschijnt een nieuw vierknt. Herhl met dit nieuwe vierknt dezelfde werkwijze, enz Verdeel het getekende trpezium in 4 gelijke delen.

64 64.4 De cirkel 1 Vul in met het pssende egrip OX is de strl L [] is een koorde Z O [OZ] is een pothem KL is de dimeter K X kl is een koorde [KL] is een middellijn Teken een cirkel met strl 6 cm. Teken hierin een koorde met lengte vn 8 cm. Teken het pothem op deze koorde. Wt is de grootste koorde die je in deze cirkel kn tekenen? De dimeter (1 cm). 8 cm 6 cm

65 Deel Vlkke figuren Gegeven: punten en. Hoeveel cirkels kn men tekenen die zowel door ls door gn? Leg kort uit. Oneindig veel. lle middelpunten liggen op ml [].

66 Hoeveel cirkels kn men tekenen door, en? Voer dit uit. ml [] Eén. ml [] Teken een cirkel die door en door gt en wrij het middelpunt op de rechte r ligt. r M ml [] Wnneer he je in dergelijke opgve geen oplossing? ls r, dn is ml [] // r. c Wnneer he je in dergelijke opgve oneindig veel oplossingen? ls r = ml [].

67 Deel Vlkke figuren Het snijpunt vn de digonlen vn een rechthoek is het middelpunt vn een cirkel die door de hoekpunten vn de rechthoek gt. Verklr. De digonlen vn een rechthoek zijn even lng en ze snijden elkr middendoor. Geldt dt ook voor een prllellogrm? Neen, de digonlen zijn niet (ltijd) even lng.

68 Onderzoek volgende eigenschp (werk met drie verschillende cirkels): het pothem vn een koorde vn een cirkel deelt die koorde middendoor. M M O O O M O is gelijkenig en OM is zwrtelijn uit O dus IMI = IMI

69 Deel Vlkke figuren Gegeven: een cirkel die door en gt. De lengte vn het pothem vn de koorde [] is 4 cm. onstrueer deze cirkel. 4 cm M Teken in een cirkel twee koorden die even lng zijn. Meet de middelpuntshoeken die gevormd worden door het middelpunt vn de cirkel en de uiteinden vn de twee koorden. Wt kun je esluiten? M 1 = M ls koorden in een cirkel even lng zijn, dn zijn de middelpuntshoeken, gevormd door het middelpunt en de uiteinden vn de koorden, even groot. M 1 6 cm 6cm

70 Teken in een cirkel een koorde [] die even lng is ls de strl vn de cirkel. 5 cm M r = 5 cm ls M het middelpunt is vn de cirkel, wt is er dn specil n!m? Kun je dt verklren?!m is gelijkzijdig. IMI = IMI = r II = r Dus lle lijnstukken zijn gelijk n r of 5 cm ls je door een cirkel rechten tekent, wt is dn het grootste ntl stukken wrin je deze cirkel kunt verdelen? ls je door een cirkel 3 rechten tekent, wt is dn het grootste ntl stukken wrin je deze cirkel kunt verdelen? c ls je door een cirkel 4 rechten tekent, wt is dn het grootste ntl stukken wrin je deze cirkel kunt verdelen?

71 Deel 1 lgerïsch rekenen 71.5 Omtrek en oppervlkte vn vlkke figuren Herleid. 7 hm = 700 m i 4 hm = 400 m 3 dm = 30 cm j 101,5 m = 1,015 km c 15 hm = 150 dm k 33,5 cm = 0,335 m d 1,014 dm = mm l 9,74 dm = mm e 81 mm = 8,1 cm m dm = 700 km f,9 hm = cm n 56, mm = 0,056 m g 73 m = 0,073 km o 730,9 cm = 0,7309 dm h 0,5 mm = 0,05 cm Herleid. 19 m = cm i,15 h = c 5 dm = 500 m j = 00 c c 7,7 dm 770 cm k 6,3 = 0,063 h d 5 hm = 0,05 km l 6 = 600 m e 15,5 km = m m m = 13,45 h f 13 cm = 0,13 m n 3,5 h = m g 18,5 mm = 0,0185 dm o 31,9 c = cm h,1 m = mm Herleid. 5 dm 3 = 5000 cm 3 i 571,4 ml = 0,5714 l 9 mm 3 = 0,009 cm 3 j 0,0 dl =,00 hl c,3 m 3 = cm 3 k 4, l = 4, dm 3 d 4,1 dm 3 = 0,041 m 3 l 30 dl = 3 dm 3 e 5,6 m 3 = 560 dm 3 m 8,7 cm 3 = 0,0087 l f 1,0 dm 3 = mm 3 n 40,6 cm 3 = 4,06 cl g 67,8 hl = 6780 l o 14 dm 3 = 140 dl h 0,3 l = 30 cl ereken en zet om in de ngeduide eenheid. 789 mm + 36 dm + 7 dm cm (in m) 7,89 m m +,7 m + 16,3 m = 386,91 m 0,376 dm + 34 mm + 6, dm + 5,37 m (in cm) 376 cm + 3,4 cm + 6 cm + 53,7 cm = 1185,1 cm

72 7 c mm + 4,70 hm + 3,5 m + 91 dm (in km) 4,6 km +,47 km + 0,035 km + 0,91 km = 8,015 km Kntoor vn Notris Eddy DEN OEMEL d 90 hm + dm + 7 mm (in dm ) dm dm + 0,007 dm = ,007 dm e 130 hm + 7 m dm m (in km ) 1,3 km + 0,00007 km + 0,845 km + 0,01598 km =,16105 km f 1 h c (in m ) m m + 30 m = m g 0, h c + 46 (in ) 0 + 3, = 69,46 h 7 m dm cm 3 (in cm 3 ) cm cm cm 3 = cm 3 Kleine Veestrt, RUGGE - Tel. (050) openre verkoop Notris Eddy DEN OEMEL, te rugge, zl het hiern eschreven goed openr verkopen. STD RUGGE groot woonhuis met grge Frnciscusln 3 Opp. 3 re 40 c K.I. : eschrijving : Gelijkvloers : grote living, keuken, dkmer, hll, grge, koer en tuintje 1e verdieping: 4 slpkmers, dkmer Grote zolder ezoek : Woensdg tussen uur Zterdg tussen 10-1 uur koopdg woensdg 18 MEI 008 om uur in fé De Ongelovige Thoms, rugsche Lne 3, rugge inlichtingen : Notris Eddy Den oemel, Kleine Veestrt, rugge - Tel. (050) i 18 dm cm mm 3 (in m 3 ) 0,018 m 3 + 0, m 3 + 0, m 3 = 0, m 3 druk. Die Keure - Rugge j 1 hl + 4 dl + 7 dl (in l) 100 l + 0,4 l + 70 l = 170,4 l k 15 dl + 65 dl + 96 l (in dm 3 ) 150 l + 6,5 l + 96 l = 150 dm 3 + 6,5 dm dm 3 = 5,5 dm 3 l 35 cl + 65 ml + 0,6 l (in cm 3 ) 0,35 l + 0,65 l + 0,6 l = 0,35 dm 3 + 0,65 dm 3 + 0,6 dm 3 = 875 cm Herleid volgende oppervlktemten tot lndmten: 453 m (= h c) 45 3 c 10,9 dm 10 9 c

73 Deel Vlkke figuren 73 c m 9 h c d 10 hm 3 dm 56 m 10 h 3 56 c e 7,0536 km 705 h Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de rechthoeken in. l P 40 cm 0 cm 10 cm 800 cm 0,7 m 0 cm 180 cm 1400 cm 8 m 1 m 80 m 336 m 4 cm 5 dm 108 cm 00 cm 4 m 4 m 16 m 16 m Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de vierknten in. z P 1 dm 48 dm 144 dm 1,8 dm 7, dm 3,4 dm 0 m 80 m 400 m 6,5 cm 6 cm 4,5 cm Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de prllellogrmmen in. s h P 40 cm 30 cm 0 cm 140 cm 800 cm 0,7 m 5, dm 0 cm 4,4 dm 14 dm 8 m 1 m 7 m 80 m 196 m 10 cm 50 mm dm 70 cm 00 cm 8 m 5 m 3 m 6 m 4 m

74 Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de driehoeken in. h 36 dm 5,1 dm 91,8 dm 10 cm 18 dm 108 dm 8 cm 5,1 cm 71,4 cm 8 cm 5 dm 00 cm Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de ruiten in. D d 49 dm 30 dm 735 dm 0 cm 6 mm 6 cm 18 m 0 m 180 m 0,4 dm 5 dm 100 cm Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de trpeziums in. h 18 m 1 m 10 m 150 m 360 dm 4 m 1,5 dm 450 m 8 m 4 m 5 m 130 m 30 cm 5 dm 5 cm 00 cm Vul ij de volgende tel de ontrekende gegevens vn de cirkels in. Geruik 3,14 ls wrde voor π. r P 5 cm 31,4 cm 78,5 cm 7,81 dm 49,0468 dm 191,5775 dm 6,5 cm 40,8 cm 13,665 cm,5 cm 15,7 cm 19,65 cm ereken de omtrek vn een prllellogrm ls de lengte vn twee nliggende zijden m en 3 m is. P = m + m + 3 m + 3 m = 10 m In een rechthoek is de reedte 60 cm en de lengte 1,5 m. ereken omtrek en oppervlkte. P =. (l + ) =. (1,5 m +0,60 m) = 4, m = l. = 1,5 m. 0,60 m = 0,9 m

75 Deel Vlkke figuren In een gelijkzijdige driehoek is een zijde 1 dm lng. ereken de omtrek. P = 3. z = 3. 1 dm = 36 dm De strl vn een cirkel is 1 cm. ereken omtrek en oppervlkte. P =. p. r =. p. 1 cm = 75,36 cm = p. r = p. 1 = 45,16 cm In een vierknt met zijde m is een cirkel getekend met dimeter 80 cm. ereken de oppervlkte vn het vierknt. S vierknt = m. m = 4 m ereken de oppervlkte vn de cirkel. S cirkel = p. (40 cm) 506,55 cm c ereken de oppervlkte vn het deel vn het vierknt dt uiten de cirkel ligt. S vierknt - S cirkel cm 506,55 cm = ,45 cm Een dk estnde uit rechthoeken vn 8 m lng en 5 m reed wordt geïsoleerd. ereken hoeveel m isoltiemteril men nodig heeft. S =. 8 m. 5 m = 80 m Men heeft 80 m isoltiemteril nodig Een stuk lndouwgrond is gevormd door percelen. Het eerste perceel is een vierknt met een omtrek vn 400 m. Het tweede perceel is driehoekig. De grond wordt verkocht tegen 5 euro per m. Het volledige stuk grond kost euro. 1 ereken de totle oppervlkte vn de grond. D S 1+ = ( ) 5 ( / m ) = m ereken de oppervlkte vn de driehoek. S = Stotl S1 = m m = 7000 m of 70 c epl de lengte vn [D]. D = x $ en x 100 = 7000 P x = 140 m of D = 40 m

76 Gegeven: De oppervlkte vn het trpezium D is 500 m. ereken D 70 m D 40 m ( + ). h ( 70 + D ). 40 = 500 = 5000 = ( 70 + D ) = 70 + D 55 = D De lengte vn een rechthoek is vierml zo groot ls de reedte. De oppervlkte vn de rechthoek is 1600 dm. ereken de reedte. l = 4. = l. = 4. = = = = 0 dm Rond een vijver is een weg ngelegd. uitenomtrek vn de weg = 47,1 m ereken de oppervlkte vn de vijver. r = strl uitencirkel. π. r = 47, 1 47, 1 m r =. π r 7, 50 m strl innencirkel is dus 5, 50 m S vijver = π. ( 5, 50) 95, 03 m De oppervlkte vn de vijver is iets meer dn 95 m. Vijver m ereken de oppervlkte vn het grsperk. Grsperk Weg 1 m = 5 m. 5 m = 5 m vierknt 5 m Grsperk = 1 m. 5 m = 5 m weg 5 m = = 0 m grs vierknt weg

77 Deel Vlkke figuren Gegeven: m 3,5 m 3,5 m m ,5 m 1,5 m m Vul onderstnde tel n: nr. soort figuur oppervlkteformule ingevulde opp. formule oppervlkte 1 vierknt S = z s m. m 4 m rechthoek S = l. 3, 5 m. m 6, 5 m 3 4 trpezium ruit S ( + ). h, ( 5, 5 m + m). 175, m S = S D. = d. 7 m. 3, 5 m 5 driehoek., S h 5, 5 m. 3, 5 m =., 6 driehoek S h 175, m. 3, 5 m = ( + ). h, m ( 3, 5 m + 175, m). m 7 trpezium S S = 8 driehoek S =., 5, 5 m. 175, m 9 trpezium S ( + ). h m, ( 9 m + 5, 5 m) ). 3, 5 m S = 10 hlve cirkel S π. r π. π. ( 3, 5 m) S = 6, 565 m 1, 5 m 9, 1875 m 3,065 m 5, 5 m 4, 815 m 5, 375 m 19, 46 m ereken de gerceerde oppervlktes. 6 m M 6 m S = S S vierknt cirkel = 6 m. 6 m π. ( 3 m) = 36 m = 7, 7566 m 8, 7433 m ( ) S = S S cirkel vierknt r. r = r π : = ( πr r ): πr = r :

78 Teken in een vierknt een prllellogrm zodt de oppervlkte vn het prllellogrm de helft is vn de oppervlkte vn het vierknt Teken in een rechthoek een ruit wrvn de oppervlkte de helft is vn de oppervlkte vn de rechthoek In een tuin is een zwemd ngelegd in de vorm vn een vierknt. Op elke hoek vn het vierknt stt een stevige oom. Men wil nu dit zwemd vergroten, mr: de vorm vn het zwemd zwemd moet vierknt lijven, de oppervlkte moet net het duel zijn vn het oorspronkelijke vierknt en de omen moeten lijven stn. Vind jij een oplossing? S = ( zwemd z ). Het nieuwe zwemd onder een hoek vn 45 pltsen en het middelpunt vn het oude en het nieuwe zwemd lten smenvllen.

79 Deel Vlkke figuren Een eigenr verkvelt een rechthoekig domein vn 60 m ij 35 m in 3 percelen ouwgrond:, en. 3,5 cm ereken op welke schl dit pln getekend werd. 6 cm 60 m 1 cm 10 m = 1000 cm cm 1,5 cm,5 cm schl: 1 : 1000 ereken de werkelijke oppervlkte vn elk deel. S = 0 m. 35 m = 700 m S = 15 m. 35 m = 55 m S = 5 m. 35 m = 875 m c ereken de oppervlkte vn elk deel op schl. S = cm. 3, 5 cm = 7 cm S = 15, cm. 3, 5 cm = 5,5 c S =, 5 cm. 3, 5 cm = 8, 75 m d Vergelijk voor elk deel de werkelijke oppervlkte en de oppervlkte op schl. Wt stel je vst? cm 7 cm cm 5,5 cm cm 8, 75 cm = = = De verhouding is steeds

80 Welke weg is de lngste? Verklr. weg 1 weg O hlve cirkel = π. 5 r = 5. π r 5. O kel = 5. π r hlve cir eide wegen zijn even lng Iemnd wil een rechthoekige oprit vn 10 m op 4,5 m lten plveien met vierknte tegels vn 10 cm op 10 cm. Hoeveel plveien heeft men nodig? = 10 cm 10 cm = 100 cm = 0, 01 m plvei oprit = 10 m 4,5m = 45 m Men heeft 4500 plveien nodig. De plveien kosten 30 euro per m. Voor het leggen vn de tegels etlt men 50 euro per m + 1% tw. hoeveel moet men in het totl etlen? 45 m. 30 e/m = e m. 50 e/m = e 50 1% vn 50 = e 47,5 Totl: e 407, Isel en rt heen geouwd op een rechthoekig stuk grond vn m op 44 m. chter hun huis ligt een weide vn 4 h. Hoeveel keer is deze weide groter dn hun stuk ouwgrond? m. 44 m = 968 m = 0,0968 h De weide is ongeveer 41,3 keren groter dn het stuk ouwgrond.

81 Deel Vlkke figuren Omdt het zonlicht nogl fel innenvlt in een vernd, wil men het dk met een lichtdoorltende stof vn innenuit fschermen. Men heeft 5 repen stof nodig vn 3,5 m lengte. De reedte vn de repen is stndrd 1,40 m. De prijs vn de stof is 8,75 euro per strekkende meter (tw inegrepen). Hoeveel moet men etlen voor de stof? 5. 3,5 m = 16,5 m kostprijs: 16,5. 8,75 = 14,1875 Men etlt 14,19. De repen stof worden gestikt op een reedte vn 1,0 m. ereken de totle oppervlkte vn de stof die men heeft gepltst. S stof = 5. 3,5 m. 1,4 m =,75 m S edekt deel = 5. 3,5 m. 1, m = 19,5 m Men geruikt,75 m stof Een rechthoekige grge vn 8 m op 4,5 m wordt etegeld met vierknte tegels vn 15 cm reed. Je estelt 10 % tegels meer om zeker voldoende te heen. Hoeveel tegels g je estellen? grge = 8 m. 4,5 m = 36 m tegel = 15 cm. 15 cm = 5 cm 0,05 m ntl tegels = 36 : 0,05 = % vn 1600 = 160 Je moet 1760 tegels estellen. 35 Vorm het trpezium op nevenstnde x y mnier om tot een rechthoek. Stel m..v. die figuur dn de oppervlkteformule vn het trpezium op. x y In de verkregen rechthoek eplen we lengte en reedte. reedte = h (hoogte trpezium) lengte = + wnt. l = + x + y + x y = + S rechthoek = ( + ). h

82 Stel n de hnd vn driehoek 1, rechthoek en driehoek 3 de oppervlkteformule vn het trpezium op. 1 h 3 1 h 3 h = + h + = h + h + h 1 ( 1 3 ) ( ) = + + h = = ( + ) h ( + ) h = h Stel n de hnd vn driehoeken 1 en de oppervlkteformule vn het trpezium op. h 1 h = + h ( + ) h = Stel n de hnd vn prllellogrm 1 en driehoek de oppervlkteformule vn het trpezium op. h 1 h = h + = h + h ( ) = + h = ( + ) h ( + ) h = 1

83 Deel Vlkke figuren Stel n de hnd vn driehoek 1 de oppervlkteformule vn een ruit op. 1 = 4 = = D d 1 = D d D. d = Trcht nu zelf de oppervlkte te erekenen vn volgende figuren door deze figuren te verdelen in driehoeken, prllellogrmmen, rechthoeken, enz. en door zelf de fmetingen die je nodig het te gn meten. 1 = ( en 1= 3) = ( 4, 6 cm + 1,9 cm) 1,4 cm + 4, = 17, 84 6 cm 1,9 cm cm 3 * = = ( 5 cm +,5 cm),cm = 16, 5 cm

84 84 1 = 1+ = ( 6 cm +,5 cm) 1,5 cm: + ( 6 cm +,8 cm) 1,5cm: = 1,975 c m Teken hieronder 4 cirkels met verschillende strl. (Neem ls strl getllen wrmee gemkkelijk te rekenen vlt, v. 1 cm, cm ) Tekening: zie opgve Nu neem je een touwtje en je legt dt netjes rond een cirkel. Meet dn de lengte vn dt touwtje (= de omtrek). Doe dt voor elke cirkel en vul volgende tel verder n: strl lengte touwtje (= omtrek) lengte touwtje strl lengte touwtje dimeter cirkel 1 ± p ± p cirkel ± p ± p cirkel 3 ± p ± p cirkel 4 ± p ± p fhnkelijk vn de gekozen strlen

85 Deel Vlkke figuren Teken op krton een cirkel met strl r (zelf te kiezen) en knip die cirkel uit. Giet nu de cirkelschijf volledig vol met fijne preltjes. Giet ndien de preltjes over op een rechthoek (of op de odem vn een rechthoekige doos) met ls lengte 4r en ls reedte r. Proeer uit te vissen welk deel vn de oppervlkte vn de rechthoek (totle oppervlkte = 4r. r of 4r ) gevuld is met de preltjes. Vind op deze mnier een endering voor de oppervlkteformule vn een cirkel. v. r = 5 cm Rechthoek = 0. 5 cm = 100 cm Ongeveer 4 5 wordt edekt door de preltjes (rechthoek vn 116 cm ij 5 cm). Dus: cirkel = 4r ( r ) De kwdrtuur vn de cirkel. Dt ws een vn de drie prolemen wr men in het Oude Griekenlnd mee worstelde: onstrueer een vierknt dt net dezelfde oppervlkte heeft ls een gegeven cirkel. Wrom ws (is) dt zo n moeilijk proleem? S vierknt = z S πr πr cirkel = = ( ) Je zou dus een vierknt moeten tekenen met zijde π. r en π is geen rtionl getl! De kwdrtuur vn de cirkel Het proleem vn oefening 43 ws één vn de drie klssieke prolemen uit de Griekse meetkunde. Op pgin 45 in dit oek lees je iets over de ndere prolemen, nl. de driedeling vn een hoek. De ijkomende moeilijkheden die dit proleem onoplosr mkten, wren enerzijds dt de Grieken geen irrtionle getllen kenden (zols π) en nderzijds de opdrcht om elke constructie uit te voeren met enkel een psser en een linil (dus zonder meten). In de Nederlndse tl geruikt men de uitdrukking kwdrtuur vn een cirkel nog steeds om n te geven dt iets onoplosr is.

86 86

87 87 Symmetrie 3.1 Spiegelingen > Puntspiegelingen > 100

88 Spiegelingen In spiegeling herken je het woord spiegel. In welke eroepen mkt men geruik vn een spiegel en wrom geruikt men dt voorwerp? De kpper: om de klnt een zicht te geven op zijn hrdos. Een chuffeur: om het chterliggend verkeer te zien. Onderzeeërs: geruiken een spiegeltelescoop Gegeven: De figuur. Gevrgd: Vul n. s y () = g s F (q) = z s p () = h s (D) = F c s q (G) = i s (H) = H y d s G (I) = j s E ( D ) = F e s D () = E k s D ( y ) = p f s y (z) = x l s r ( I ) = I y x y z D E F G H I p q r Hoe zl je de spiegels moeten tekenen opdt (geef lle mogelijke oplossingen): een rechte op zichzelf wordt gespiegeld; Elke rechte loodrecht op deze rechte, of de rechte zelf. een hlfrechte op zichzelf wordt gespiegeld; De drgers vn deze hlfrechte. c een lijnstuk op zichzelf wordt gespiegeld? De drgers of de middelloodlijn vn dit lijnstuk.

89 Deel 3 Symmetrie onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door te spiegelen t.o.v. de y-s. Mk geruik vn de coördinten vn de ngeduide punten. y E D D E x G=G F F onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door te spiegelen t.o.v. de x-s. Mk geruik vn de coördinten vn de ngeduide punten. y M D x M D

90 90 6 onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door te spiegelen t.o.v. de s y x 7 onstrueer telkens het eeld vn de meetkundige figuur door de spiegeling t.o.v. de s D D

91 Deel 3 Symmetrie 91 c M M d D D e M M

92 9 f D D g h D D

93 Deel 3 Symmetrie 93 8 Spiegel een vierknt t.o.v. de drger vn één vn zijn digonlen = = D = D = Spiegel een prllellogrm t.o.v. de drger vn één vn zijn digonlen. = m D = D c Spiegel een rechthoekige driehoek t.o.v. de drger vn één vn zijn rechthoekszijden. = = D n

94 94 x onstrueer s (x), s ([]) en s ([XY]). Y X D = X D Y x Y Gegeven: = s () de rechte x Gevrgd: Zoek s (x). Y ' X x X x Gegeven: = s () het punt Gevrgd: Zoek s () =. ' ' Kunnen (, ) en (, ) tot eenzelfde spiegeling met s ehoren? Verklr. ' c = ' ' ' ' ' J. = ml ([ ]) Neen. Neen. = ml ([ ]) Ç ml ([ ]) ml ([ ]) ml ([ ])

95 Deel 3 Symmetrie onstrueer de spiegels ls x het spiegeleeld is vn x. c Y x x X' = Y x' 1 x' X = Y X Y X 1 x' x 14 onstrueer de spiegels ls X = s (X) en Y = s (Y) X = X' X = Y' Y = Y' Y = X' Onderzoek wnneer het spiegeleeld vn een rechte een evenwijdige rechte n de eerste rechte is. ls de spiegels evenwijdig is met de rechte of loodrecht op deze rechte stt. x x x = x

96 Verklr wrom een spiegeling ook het midden ewrt. Of: ls M het midden is vn [] dn is M het midden vn [ ] met M = s (M) = s () = s () M M Vermits een spiegeling de lengte vn een lijnstuk ewrt, is IMI = I M I en IMI = I M I. Dr IMI = IMI (M is het midden vn []) is I M I = I M I of M is het midden vn [ ] Een spiegeling is epld door een niet-identiek puntenkoppel vn deze spiegeling. Verklr. Om een spiegeling uit te voeren moet men de spiegels kennen. Met dit niet-identiek puntenkoppel vn de spiegeling kn men de spiegels vinden: de middelloodlijn vn het lijnstuk epld door de punten vn het puntenkoppel Teken een!. ls je vnuit punt nr punt gt en vndr nr punt, he je dn wijzerzin of tegenwijzerzin? Hoe is dt ij het spiegeleeld vn! om een s? in!: wijzerzin in! : tegenwijzerzin

97 Deel 3 Symmetrie Zoek ehngppier dt symmetrisch is opgeouwd. Duid op een stuk ervn de symmetries(sen) n Zoek lderen vn omen die symmetrisch zijn opgeouwd. Zoek nr een foto vn een geouw dt symmetrisch is opgeouwd en mk een collge Niettegenstnde we mr één hrt heen, is ons menselijk lichm symmetrisch opgeouwd. Illustreer dt en zoek in de ntuur nog nr vooreelden. hersenhelft, ogen, oren, longen, rmen, enen, ijskristllen, ld vn een oom, Hoeveel symmetriessen heeft een cirkel? Oneindig veel. 3 Wr of niet wr? ls een vierhoek symmetriessen heeft, dn is het een ruit. Niet wr. ls een vierhoek 1 symmetries heeft, dn is het een gelijkenig trpezium. Wr. c Elk vierknt heeft 4 symmetriessen. Wr. d Er estt een zeshoek met mr 1 symmetries. Wr. e ls een figuur symmetriessen heeft, dn is het een ruit of een rechthoek. Niet wr. f Een stomphoekige driehoek kn nooit drie symmetriessen heen. Wr. g Een stomphoekige driehoek kn nooit een symmetries heen. Niet wr.

98 Duid in onderstnde figuren lle symmetriessen n. 1 e i f j c g k d h l oneindig veel Verklr wrom er geen driehoek met precies symmetriessen getekend kn worden. lle gelijkzijdige driehoeken heen precies 3 symmetriessen. (niet gelijkzijdige) Gelijkenige driehoeken heen precies 1 symmetries. lle ndere driehoeken heen geen symmetriessen.

99 Deel 3 Symmetrie Vervolledig de figuur ls je weet dt een symmetries is. c 7 Hoeveel symmetriessen heeft een regelmtige vijfhoek? Hoeveel symmetriessen heeft een regelmtige chthoek? 8 c Hoeveel symmetriessen heeft een regelmtige n-hoek? n

100 Puntspiegelingen x y z Gegeven: de figuur. Gevrgd: Vul n. s E () = H g s F ( I ) = s D (G) = h s H ( G ) = I c s E () = G i s E ( I ) = d s (y) = y j s (G) = e s E (p) = r k s (FH) = D f s E (F) = DH l s (p) = r D E E / / // // // // // // D E F / / G H I / / p q r Hoe zl je het centrum vn een puntspiegeling moeten pltsen opdt (geef lle mogelijke ntwoorden): een rechte op zichzelf wordt gespiegeld; Het centrum ligt ergens op de rechte. een hlfrechte op zichzelf wordt gespiegeld; Geen enkele mogelijkheid! c een lijnstuk op zichzelf wordt gespiegeld? Het centrum is het midden vn dit lijnstuk onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door de puntspiegeling met centrum O. Mk geruik vn de coördinten vn de ngeduide punten. y D E F G 1 O 0 1 G F x E D

101 Deel 3 Symmetrie onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door de puntspiegeling met centrum M y E F D I J H 1 G M G H x 0 1 J I D F E 5 onstrueer het eeld vn de meetkundige figuur door de ngegeven puntspiegeling c s D D = D s D = D s X d s D X D O O

102 Gegeven is een prllellogrm en O is het snijpunt vn de digonlen. Teken s O (D). = = D O D = = Gegeven is een gelijkenig trpezium D en O is het snijpunt vn de digonlen. Teken s O (D). D O D 8 Gegeven is een cirkel c (O,r) met middelpunt O en strl r. Teken s O (c (O,r) ) r O r

103 Deel 3 Symmetrie Teken een vierknt met zijden vn 3 cm. Zoek het eeld vn dit vierknt door de puntspiegeling met ls centrum een vn de hoekpunten. Herneem dt voor elk hoekpunt vn de oorspronkelijke figuur. s () s (D) s () s (D) s () s () s D () D s () s D () s D () s () s () 10 (, ) s O. Zoek O = ' = O c O ' O ' 11 = s O (). Zoek ' c O O = ' = O '

104 104 1 Hoeveel puntspiegelingen estn er die de rechte feelden op de rechte? Oneindig veel Wt is er specil n de ligging vn de centr? l deze centr liggen op een rechte x zodt IxI = Ix I. Deze rechte x loopt evenwijdig met en. x ' Teken een driehoek. ls je vn nr nr gt, he je dn wijzerzin of tegenwijzerzin? In wijzerzin. Hoe is dit ij het eeld vn! onder een puntspiegeling met ls centrum? In wijzerzin.

105 Deel 3 Symmetrie Zoek! ls! = s (!)! = s O (! ) O Zoek innen de hoofdletters vn het lfet nr letters die een symmetriemiddelpunt heen. Noteer die letters en duid het symmetriemiddelpunt n.

106 Welke vierhoeken heen een symmetriemiddelpunt? Teken ze en duid het symmetriemiddelpunt n. M M M 17 Heen volgende figuren een symmetriemiddelpunt? Zo j, duid dt n c e J J J d f J J J

107 Deel 3 Symmetrie 107 g i k J J J h j l Neen Neen 18 Ontwerp een figuur of symool dt een symmetriemiddelpunt heeft. J M

108 M is het middelpunt vn de ene cirkel en N is het middelpunt vn de ndere cirkel. heeft deze figuur een symmetriemiddelpunt? Zo j, duid dit n. J, het midden vn [MN]. Heeft deze figuur symmetriessen? Zo j, duid ze n. J, MN en de middelloodlijn vn [MN]. M O N

109 Deel 3 Symmetrie epl op onderstnde figuur vn M.. Escher: het symmetriemiddelpunt; de symmetriessen; Is er niet. Rechte door: door 1 en 6 door 3 en 5 door en 4 M.. Escher s irkel Limiet IV 007 ordon rt - rn - Hollnd. lle rechten voorehouden. ➃ ➀ ➂ ➄ ➁ ➅

110 110

111 111 Ruimtefiguren 4. Meetkundige lichmen > Voorstelling vn ruimtefiguren in het vlk > Opouw vn meetkundige lichmen > 18

112 11 4. Meetkundige lichmen Noteer de juiste nm vn elk lichm. d g kegel prism cilinder e h prism ol kuus c f i cilinder lk pirmide Kleur voor elk lichm vn oefening 1 (indien mogelijk) het grondvlk groen en het ovenvlk luw. 3 Kleur de rien vn de opstnde zijvlkken vn volgende lichmen. c d Kleur de onzichtre rien vn de lichmen in streepjeslijnen. c

113 Deel 4 Ruimtefiguren Vul n. Een kuus heeft 4 opstnde rien. Een prism met een vijfhoek ls grondvlk heeft 5 opstnde rien. c Een lk heeft 1 rien in totl. d Een pirmide met een zeshoek ls grondvlk heeft 1 rien in totl. e Een prism met een zeshoek ls grondvlk heeft 18 rien in totl In volgende tekeningen zijn reeds 4 zichtre rien gegeven. Teken de ndere rien in volle lijn ls ze zichtr zijn, en in streepjeslijn ls ze onzichtr zijn. c e d f Kleur in de tekeningen het gevrgde vlk. c het voorvlk het rechterzijvlk d het chtervlk het linkerzijvlk Welke meetkundige lichmen herken je in volgende voorwerpen? c lk ol kegel

114 114 d e f lk lk / pirmide cilinder

115 Deel 1 lgerïsch rekenen Voorstelling vn ruimtefiguren in een vlk Gegeven: enkele lichmen in kvlierperspectief. Gevrgd: schrijf de gevrgde mten op. l = 30 mm = 17 mm h = 17 mm l = 34 mm = 17 mm h = 17 mm c d z = 17 mm z = 5,5 mm Teken in kvlierperspectief. Een kuus met een rie vn 4 cm en wrij ovenvlk en rechterzijvlk zichtr zijn. 4 cm

116 116 een lk wrvn lengte en reedte vn het grondvlk 4 cm en 3 cm zijn en de opstnde rie cm. Het grondvlk en rechterzijvlk zijn zichtr. cm 3 cm 4 cm c Een kuus met rie 3 cm wrij grondvlk en linkervlk zichtr zijn. 3 cm d een lk met lengte en reedte vn het grondvlk 4 cm en cm en een opstnde rie vn 3 cm. cm 3 cm 4 cm Vervolledig de tekeningen in kvlierperspectief. De getekende lijnen zijn de rien vn een lk of een kuus. Teken ook de niet-zichtre rien in streepjeslijnen. c

117 Deel 4 Ruimtefiguren 117 d Onderstnde lichmen zijn gegeven in isometrisch perspectief. Schrijf de gevrgde mten erij. c l =,9 cm z = 1,8 cm l =,9 cm = 1,4 cm =,1 cm h = 1,8 cm h = 1,4 cm Teken in isometrisch perspectief: Een kuus met rien vn 3 cm.

118 118 Een lk met lengte vn 5 cm, reedte 3 cm en hoogte cm. cm 5 cm 3 cm c Een kuus met een rie vn,5 cm.,5 cm d Een lk met een lengte vn 3,5 cm, een reedte vn,5 cm en een hoogte vn 4 cm. 4 cm,5 cm 3,5 cm

119 Deel 4 Ruimtefiguren In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kuussen getekend. Tel het ntl dt telkens in de voorstelling nwezig is. c e d f In een pllet zijn stenen verpkt. Je krijgt dit te zien. Hoeveel stenen zitten hierin verpkt? = Kleur vn volgende lichmen het voornzicht geel, het ovennzicht groen en het linkernzicht luw.

120 10 c d Teken vn elk vn volgende lichmen het V, L en. V L V L c V L

121 Deel 4 Ruimtefiguren 11 d V L e V L Teken het lichm in isometrisch perspectief ls V, L en gegeven zijn. V L V L V L V L

122 1 V L c V L

123 Deel 4 Ruimtefiguren 13 d V L Teken vn elk vn volgende lichmen het V, L en. L V L V c V L

124 14 d V L 1 Teken volgende lichmen in kvlierperspectief ls V, L en gegeven zijn L V L V c L V d L V

125 Deel 4 Ruimtefiguren 15 c d

126 16

127 Deel 4 Ruimtefiguren 17

128 Opouw vn meetkundige lichmen 1 Zijn volgende ontwikkelingen vn een kuus juist? Indien niet, verklr de fout c J. J. d Neen, vllen smen. Neen, vllen smen. Teken de ontwikkeling vn deze kuussen

129 Deel 4 Ruimtefiguren Gegeven: de ontwikkeling vn een kuus met ls grondoppervlk DHI Gevrgd: reng de punten over in de perspectieftekening. Welke punten vllen smen?, E en M /, F en N / G en K / J en L E G H K M M = = E M = = E J = L G = K H D I L N D I F J Gegeven: de perspectieftekening vn een kuus en zijn ontwikkeling. Gevrgd: Plts de punten op de ontwikkeling. Welk vierknt is dn het ovenvlk? Kleur dt vierknt in de ontwikkeling. D F D F E F E F H G G D G G H

130 Gegeven: een doelsteen en de ontwikkeling ervn. Gevrgd: Plts de stippen op de juiste plts in de ontwikkeling ls het grondvlk ingekleurd is (tip: de som vn de ogen vn tegenoverliggende vlkken is steeds gelijk) ij volgende doelsteen heeft de mker een foutje egn. De som vn tegenoverliggende vlkken is niet ltijd dezelfde. G n, met ehulp vn de ontwikkeling wt fout is gelopen. Je krijgt twee perspectieven vn de doelsteen. De som vn tegenoverliggende vlkken moet ltijd 7 zijn Om een uit krton gesneden kuus te kunnen dichtplkken, mkt men n de rnd vn het zijvlk een lipje extr. Teken ij volgende ontwikkelingen een minimum ntl lipjes om lle vlkken mooi dicht te kleven. Eén lipje is telkens l getekend.

131 Deel 4 Ruimtefiguren ehoren volgende ontwikkelingen tot een lk? Indien niet, toon n wrom niet c J. Neen, linkervlk ondern is te klein. d J. Neen, linkervlkken te klein; linkerovenvlk moet ondern 9 Teken vn volgende lken de ontwikkelingen.

132 Op een cdeuverpkking is een nmklint geschilderd. Teken op een ontwikkeling vn de lk de juiste fdruk vn dit lint.

133 Deel 4 Ruimtefiguren Iemnd wil ls decortie op een pkje een goudkleurige ovenzijde en een goudkleurige nd nrengen. Welke is dn de juiste mnier om de ontwikkeling in te kleuren? Oplossing Op een goocheldoosje stn llerlei feeldingen. Teken de ontwikkeling en drop de pssende symolen.

134 Gegeven: de ontwikkeling met kleeflipjes vn een fotodoosje. Gevrgd: teken het doosje in perspectief zodt je de tekst OLOR00ISO30EXP kunt lezen ls linkernzicht. 14 Vervolledig de ontwikkeling vn volgende rechte prism s

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

MEETKUNDE 4 Driehoeken

MEETKUNDE 4 Driehoeken MEETKUNDE 4 Driehoeken M18 Driehoeken in de ruimte 38 M19 Driehoeken tekenen 4 M0 Merkwrdige lijnen in een 44 M1 Omtrek, oppervlkte en volume 47 37 M18 Driehoeken in de ruimte 738 E Vul n. In KLM zijn

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas.

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas. Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze Eric Willockx EWERkt voor het GO! onderwijs vn de Vlmse Gemeenschp door Wendy Luyckx Els Ss RTooNS Dve Vnroye Proefexemplr Leerwerkoek Trnsformties

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus sisegrippen Dit kun je l de enmingen vn vershillende soorten driehoeken en vierhoeken geruiken een kuus, een lk en een ilinder herkennen evenwijdige en snijdende rehten herkennen sherpe, stompe en rehte

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Klas: Project: ENENN. Ontwerp

Klas: Project: ENENN. Ontwerp Voornm & nm: Kls: 3 BSIS LSSEN Project: MEETKUNDIG TEKE ENENN Ontwerp 2010 : w. vermelen Strtdtum P L N N I N G T V e n T T Geplnde einddtum Werkelijke einddtum Strtdtum P L N N I N G P R K T I J K Geplnde

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas artoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eigenschappen van

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen.

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen. 582 Rngshik vn klein nr groot. 583 Vul n. 0,3 km 500 m 200 000 m 25 000 dm... 0,3 m 40 m 12 dm 240 mm... 1 mm is... mm kleiner dn 1 m. 8 m is... m kleiner dn 1 m. d 9 92 70 47 3 m is... mm kleiner dn 1

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Rekenregels van machten

Rekenregels van machten 4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde Junior Wiskunde Olympide 0-03: de tweede ronde Volgende enderingen kunnen nuttig zijn ij het oplossen vn sommige vrgen.,44 3,73 5,36 π 3,46.ls + =en =3,dnis gelijkn () 5 () 6 () 3 () 9 (E) 3.Hetgetl (

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal

1 MEETKUNDE. Wat vindt u van deze preview? www.plantyn.com/integraal. Laat het ons weten op. http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal INTEGRL www.plantyn.com/integraal INTEGRL SNEK PREVIEW DEEL HOOFDSTUK MEETKUNDE LEERWERKOEK Wat vindt u van deze preview? Laat het ons weten op http://wiskunde.plantyn.com/mijnmeningoverintegraal WISKUNDE

Nadere informatie

6 116 = 696. som: = som: = som: = zo groot één 0 erbij = = 7 600

6 116 = 696. som: = som: = som: = zo groot één 0 erbij = = 7 600 LES 1 Reken uit (met cijferen of kolomsgewijs) 5 74 = 1 87 8 45 = 2 76 4 62 = 2 492 6 517 = 12 9 462 = 4 158 7 219 = 1 5 4 Vn verhl nr rekentl Reken uit met cijferen of kolomsgewijs. Vder koopt een ndere

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

Wiskunde voor 1 havo/vwo

Wiskunde voor 1 havo/vwo Wiskunde voor 1 hvo/vwo Deel 2 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons

Nadere informatie

MEETKUNDE 3 Vierhoeken

MEETKUNDE 3 Vierhoeken MEETKUNDE 3 Vierhoeken M11 Vierhoeken in de ruimte 8 M1 Vierhoeken tekenen 1 M13 Kuus en lk 14 M14 Metriek stelsel M15 Rehthoek en lk 3 M16 Vierknt en kuus 8 M17 Trpezium, prllellogrm en ruit 3 7 M111

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt?

Hoeveel betaal je in totaal? Hoe kun je dat bedrag narekenen? Hoe bereken je het bedrag dat je van de 20 euro terug krijgt? Opgve 1 Je ziet hier een eenvoudige ksson. Hoeveel dingen he je volgens de ksson gekoht? Hoeveel etl je in totl? Hoe kun je dt edrg nrekenen? Hoe ereken je het edrg dt je vn de 20 euro terug krijgt? Je

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Meetkunde met algebra

Meetkunde met algebra Meetkunde met lger Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten, lok Redeneren met vormen, getllen en formules vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (0) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken

Nadere informatie