MEETKUNDE. leerplan ABC. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. Dave Vanroye

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "MEETKUNDE. leerplan ABC. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. Dave Vanroye"

Transcriptie

1 leerpln fex em pl r MEETKUNE Philip ogert Filip Geeurickx Mrc Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Pr oe Erik Willockx rtoons ve Vnroye 3

2 ook ls volgt formuleren: '' '' 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige driehoeken inderdd de middelste termen vn plts verwisselen. fex em pl r In de stelling vn Thles spreekt men vn de verhouding vn evenwijdige lijnstukken. 1 gelijkvormige driehoeken Volgende tekening mkt duidelijk wrom dit 1 efinities vind je op een Y rode chtergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig ls en slechts ls hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes stn in een X overeenkomstige zijden dezelfde verhouding heen. ornje kder. woorden: niet opgt ij niet-evenwijdige lijnstukken. in XY X'Y' in symolen: PQ P'Q' Δ ''' F Δ XY wnt 3 PQ )U e eroemd ( st ) e stelling Eigenschppen vind je op W, V W, U W * en stelling Pythgors 1 omdt XY PQ '' vn '' '' in woorden: een groene chtergrond. 3 k X Y P Q Geschiedenis vn de wiskunde vn en herkomst vn In een rechthoekige driehoek is het kwdrt de X'Y' 1 omdt X'Y' P'Q' en Vooreeld: schuine zijde gelijk n de som vn deegrippen. kwdrten vn de P'Q' In deze voorstelling zijn de zijden [] en [''] overeenkomstige rechthoekszijden. 4 zijden, net ls [] en [''] en ook [] en ['']. We stimuleren het geruik Thles vn Milete (Turkije c. 64 v.hr. -c. 545 v.hr.) vn wiskundesoftwre in symolen: GeoGer. Thles vn Milete leefde vn (c.) 64 tot zols + ΔW is W rechthoekig in W V U U We(c.) noemen en, en, en overeenkomstige hoeken. 547 v.hr. n de kust vn Klein-zië, dt nu of: 5+ c Turkije heet. Omdt hij hndelr in oliën ws, reisde n het einde vn elke prgrf vind je een eschvingen. Z Z Z smenvtting. kenmerk Gegeven: Δ rechthoekig ( Z Z Z ) schlmodellen We zeggen ook dt Δ ''' en Δ3: zijn vn elkr. in Δ Δ ''' hij veel en mkte kennis veel niet-europese Wemet ewijzen deze stelling: Ps op oudere leeftijd strtte met de studie vn + Te hij ewijzen: 4 projectievoorstelling volgt: wetenschppen en filosofie.ewijs: Hij zorgde voor eenuit de eerste opmerkingen: oe Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls de overeenkomstige zijden een evenredigheid eplen. mnier verhouding vn denken tussen en trchtte de wiskunde te verklren. - nieuwe de constnte der egelijkvormigheidsfctor hde o oovereenkomstige f d s t u k 3 d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een chthoekige driehoek Erofwordt gezegd dt hij in stt ws een zonsverduistering voorspellen, kortweg fctor. te wrschijnlijk deze vn 585 v. 6 ) Smenvtting Pr 5 uitsprk: lles is wter. immers dt de oerstof wter Thles meende pictogrmmen + - uit de definitie volgt dt congruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je wter, ls duidelijkst fsevernderingen ondergt. ls ijs smelt TE ONTHOUEN + + de verhouding vn de overeenkomstige is dn 1. stoom. ezijden Grieken geloofden ook dt ls je stoom verder verdunt, je lu ( + ) Overstnde hoeken die even groot zijn, ETEKENIS gelijkenige driehoeken die eve [] Prktische fsprk: heen, een dimeter die de cirkel in twee gelijke verdeelt, GESHIEENIS Je kent de etekenis vn sinus, cosinus en tngens (de goniometrische wrden )vn een delen scherpe hoek inhet co om de overeenkomstige zijden vn gelijkvormige driehoeken gemkkelijk terug te vinden, spreken we f een rechthoekige driehoek. het zijn lleml vooreelden vn eigenschppen die n Thles toeges REKENMHINE sin V hoeken zodnig dt de hoekpunten vn de overeenkomstige hoeken in dezelfdevolgorde stn overstnde te noteren rechthoekszijde over de stelling vn Thles zijn er twijfels. Geschiedkundigen heen g IT schuine zijde lgemeen: stelling ddwerkelijk vn Thles fkomstig is. '' '' '' c nliggende ls: rechthoekszijde In symolen: Opmerking: cos V vn de Mr hndig is die stelling wel. Hij erekende zo de hoogte F pirm schuine zijde W U V, W en W n: U Δ Δ def V tn U Vd V UE c Uit de formule + c ( met U 90 in Δ ) kunnen we fleiden: ook de fstnd tussen twee schepen mee vinden. overstndeerrechthoekszijde '' '' '' nliggende rechthoekszijde esluit: L c c

3 mide te erekenen. Hij nm de uitdging n en werkte ls volgt. Op de lijn die het midden vn één vn de zijden met de schduw vn de top () vn de pir pltste hij een pltje [E] zodt de schduw vn de top vn dit pltje precies smenv vn de top vn de pirmide. Hij mt de fstnden KL, M,, E en erekende de Teken de twee gelijkvormige fex em pl r driehoeken wrmee Thles gewerkt heeft. ereken de hoogte vn de V O OR WOOR L pirmide ls je weet dt KL 114 m K M M 96 m E 3 m en E m ij sommige sis oefeningen vind je een of twee sterretjes. it duidt de moeilijkheidsgrd n. 6 Gegeven is een prllellogrm wrij 4 cm en 3 cm. e fstnd tuss 7 cm. ereken de fstnd tussen de zijden [] en []. 17 In is PQ // en P []; Q []. ereken PQ en ls P 6 cm; P 3 cm en PQ + 15 cm chtern in het oek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen vn de oefeningen. Oppervlkte- en inhoudsprolemen. Oplossingen Een foto heeft een lengte vn 1 cm en een reedte vn 8 cm. ls we deze foto op het c inzoomen tot 10 %, wt wordt dn de omtrek en de oppervlkte? En ls we uitzoomen Een ruit met zijde 6 cm heeft een oppervlkte vn 18 cm². eze ruit is gelijkvormig me cm. epl de oppervlkte vn deze ruit. 8 8 onstructie vn een Pythgorsoom c Elk hoofdstuk eindigt met een vrdigheid. Een prllellogrm met zijden 6 cm en 4 cm heeft een oppervlkte vn 18 cm² en is gelijkvormig1.1 Evenwijdige projectie (lz. 16) met een prllellogrm met een oppervlkte vn 8 cm². ereken de zijden vn dit prllellogrm. [] [] - {} [] Je herinnert je misschienvnog de constructie vn een Pythgorsoom. Zo n oom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume vn de4 kleinste kegel. d ereken vn een vierknt, een gelijkenige rechthoekige driehoek te construeren met depczijde vn het ls pschuine pc pczijde pc of Vgrootste kegel vierknt. Vervolgens construeer je een vierknt op elke rechthoekszijde vn de driehoek. Op de zijde vn het vierknt teken je opnieuw een gelijkenige, rechthoekige driehoek, en zo g je nog een tijdje door. T 13 d mi[] e figuur die je krijgt is eigenlijk een frctl. t is een meetkundige figuur wrin eenzelfde motief zich op 6cm [G] e [E] een kleinere schl steeds herhlt. In gedchten kun je dt proces oneindig vk voortzetten. c dn mi[g] f Elk klein tkje kn immers weer opgevt worden ls een stmmetje dt een complete oom drgt. g HGF G F x x Lten we vertrekken vn een vierknt met zijde. 4, 5); (0, 3); pirmide (3, 1); e hierop Vn14 de(regelmtige T wordt, heeft ls schuine H e gelijkenige driehoek die geouwd zijde.is gegeven: E 5, 5), F(0, 3) 3 (, 3 ), E ( e rechthoekszijde x kunnen weii ls volgt krijgen: 6 cm en ITPI 15 cm. x + x e 15 pirmide gesneden door het 7;wordt 5; EF 6; GH 10; IJ vlk 4 EFGH 9 Hier wordt uitgelegd hoe een rekenmchine je kn helpen. oe 9 19 ISN: Pr Kon. i.: /011/0147/391 estelnr.: NUR: 16 Ly-out en opmk: die Keure ruk: die Keure 56 P x x vn de opstnde zijden gt en evenwijdig loopt 16 6 ereken de inhoud vn eide delen. 1 x c 54. ''' en de gelijkvormigheidsfctor is d 4 x ls de omtrek vn gelijk is n 0 cm, wt is dn de omtrek vn ''''? 17 (0,8) 33 m ls de oppervlkte vnoom is n 60cm, wt is dn de oppervlkte vn ''' ls we onze wtgelijk lten groeien Foto s: Shutterstock, fotostock die Keure Niets uit deze uitgve mg verveelvoudigd en/of openr gemkt We erekenen de nieuwe rechthoekszijde x. x worden door middel vn druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze x + x d n opyright y die Keure rugge ook zonder voorfgnde schriftelijke toestemming vn de uitgever. 1. Stelling vn Thles (lz. 8) No prt of this ook my e reproduced in ny form y print, Verntwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, photoprint, microfilm or ny other mens without written permission x 14 8 Kleine Pthoekeweg rugge - elgië from the pulisher H.R. rugge x x ruk: 011 Er komt opnieuw een tkje ij x x + x k x x 4 5, 6 8

4 eeld je even in wt de wereld zou zijn zonder meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen erekenen hoeveel deze etonnen constructie kn drgen. e ouwheer vn deze schns in Noorwegen zou mr gokken hoeveel hout hij zou nodig heen ij het pirmidevormige dk en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de lustrde. En jij, op je skiltten, zou niet weten hoelng je op de schns lijft en onder welke hoek je gelnceerd wordt. In dit oek glijden we doorheen de meetkunde en estuderen er de eroemdste wiskundige eigenschp: e stelling vn Pythgors. O j, de skischns is ls toeristische ttrctie te ezoeken ten noorden vn Oslo. Proefexemplr

5 Inhoud 1 Thles en gelijkvormigheden 1.1 Evenwijdige projectie > 8 1. Gelijkvormigheden > e stelling vn Thles > 59 Vrdigheden Kies een oplossingsmethode > 78 Stelling vn Pythgors.1 Metrische etrekkingen in een rechthoekige driehoek > 8. Stelling vn Pythgors > 85 Vrdigheden onstructie vn een Pythgorsoom > 10 3 Goniometrie 3.1 Goniometrische wrden vn een hoek > Formules uit de goniometrie > 13 Vrdigheden: Vkoverschrijdende vrdigheid: wiskunde en rdrijkskunde > Vectoren 4.1 Vectoren > Vectoren en coördinten > 175 Synthese oefening > 188 Oplossingen > 139 Trefwoordenregister > 143 Proefexemplr

6 e ultieme filmervring vind je niet in een gewone ioscoop, mr wel in een IMX theter. it theter heeft een gigntisch scherm en je kunt er ook nr 3-films gn kijken. Sommige IMX zlen zijn (hlf) olvormig. Hels moet je voor IMX nr onze uurlnden. e lichtsterkte vn de projectorlmp is zo groot, dt je de lmp vnuit het ISS (interntionl ruimtesttion) zou kunnen zien. oor de hitte die de lmp veroorzkt, moet ze continu met wter gekoeld worden. e sterkte is wtt, en per seconde stuurt de projector 48 eeldjes nr het grote scherm. Proefexemplr

7 Thles en gelijkvormigheden 6 Omzetting reuken - kommgetllen > 1.1 Evenwijdige projectie 1 Inleiding 8 eeld vn een punt > 9 3 eeld vn een lijnstuk > 10 4 eeld vn een rechte > 11 5 eeld vn een vlkke figuur > 1 6 Loodrechte projectie > 1 7 Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de x-s of de y-s > 13 8 Loodrechte projectie op een vlk > 14 9 Europese projectie > Smenvtting > Oefeningen > Gelijkvormigheden 1 Gelijkvormige figuren > 9 Lengten erekenen in gelijkvormige vlkke figuren > 30 3 Gelijkvormige ruimtefiguren > 31 4 omtrek, oppervlkte en inhoud vn gelijkvormige figuren > 3 5 Gelijkvormige driehoeken > 33 6 Gelijkvormigheidskenmerken vn driehoeken > 34 7 Gelijkvormige figuren epld door snijvlkken in een driedimensionle figuur > 37 8 Toepssingen vn gelijkvormigheden > 38 9 Middenprllel vn een driehoek > Eigenschp vn het zwrtepunt vn een driehoek > 4 11 Smenvtting > 43 1 Oefeningen > e stelling vn Thles 1 e stelling vn Thles > 59 ijzondere gevllen vn de stelling vn Thles > 61 3 e omgekeerde stelling vn Thles > 6 4 Toepssingen op de stelling vn Thles > 63 5 Smenvtting > 66 6 Oefeningen > 67 Vrdigheden Kies een oplossingsmethode > 78 1 Proefexemplr

8 ) Inleiding Je mkte reeds kennis met een ntl trnsformties vn het vlk. ij een spiegeling, verschuiving, driing en puntspiegeling heeft elk element juist één eeld. Het zijn trnsformties vn het vlk die ovendien de grootte vn een hoek, de lengte, de oppervlkte en de vorm vn een figuur ehouden. eze drie vooreelden illustreren hoe je vn een voorwerp een eeld kn mken. Evenwijdige projectie e voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens he je een ntl elementen nodig: een voorwerp dt geprojecteerd wordt, Proefexemplr de richting volgens welke je projecteert en het vlk wrop je projecteert. Ook in de vlkke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlkke figuren projecteren.

9 ) eeld vn een punt We eschouwen in het vlk twee snijdende rechten en en een punt X. We zoeken het eeld X vn X door X te projecteren op volgens. G ls volgt te werk: Teken door X de rechte die evenwijdig is met. Zoek het snijpunt vn met en noem dit snijpunt X. We noemen de projecties en de projectierichting. Nottie: p ] Xg X Lees: X is het eeld vn X door de evenwijdige projectie op volgens. Nog meer vooreelden: p ^h p ^h p ^h p ^Eh E E We stellen vst: snijdt X Y E E snijdt X p ^Xh X F XX ' en X p ^Xh X Opmerkingen: F F hoofstuk 1 THlES EN GElijkvORMIGHEEN X - Elk punt X heeft steeds mr één eeld, wnt door X kn je mr één evenwijdige tekenen met die noodzkelijk snijdt omdt en ook elkr snijden. rom is een evenwijdige projectie een trnsformtie vn het vlk. - schduwvorming is een mooi vooreeld vn evenwijdige projectie in de ruimte. X X X lees: X is een element vn de rechte v etekenis: X ligt op de rechte X Y lees: X is geen element vn de rechte etekenis: X ligt niet op de rechte Proefexemplr 9

10 10 3 ) eeld vn een lijnstuk Nu we punten kunnen projecteren, kunnen we ook lijnstukken en vlkke figuren projecteren. Om het eeld te zoeken vn een lijnstuk door evenwijdige projectie, volstt het om de uiterste punten vn het lijnstuk te projecteren. G H G H E F p h 6G p h p h p ^6 h " E, Onderzoeksopdrcht 1: Meet en Meet ook en Is Is ehoudt de evenwijdige projectie de lengte vn een lijnstuk? Onderzoeksopdrcht : Gegeven: ' p h p h Gevrgd: Wt kun je esluiten over en? Vststelling: E F ' en ' Proefexemplr We stellen vst dt in dit gevl de eelden vn en eveneens dezelfde lengte heen. e evenwijdige projectie ehoudt de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken.

11 gevolg "" hoofstuk THlES EN GElijkvORMIGHEEN ls evenwijdige rechten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook gelijke lijnstukken f vn elke ndere snijlijn. L L "" 4 ) eeld vn een rechte eschouw de projectie p en de (te projecteren) rechte d. We onderscheiden voor de ligging vn d twee gevllen. d In dit gevl is het eeld vn een rechte een rechte, nmelijk de projecties. p ^dh d ( d ' E E In dit gevl geldt: p ^dh " X, Proefexemplr X d 11

12 1 5 ) eeld vn een vlkke figuur Om het eeld vn een vlkke figuur te eplen, volstt het om de uiterste punten vn de figuur te projecteren. Onderzoeksopdrchten: Wt is het eeld vn Δ? Wt is het eeld vn de cirkel c? ewrt een evenwijdige projectie de vorm vn een figuur? ewrt een evenwijdige projectie de grootte vn een hoek? P S Q R c U S Q T U ewrt een evenwijdige projectie de oppervlkte vn een figuur? Verklr. esluit: Het eeld vn een vlkke figuur is steeds een lijnstuk. 6 ) Loodrechte projectie e loodrechte projectie is de projectie wrij de projectierichting loodrecht stt op de projecties. Nottie: p ^ Δ h p ^ PQRS h 6 S p ^ H h 6 F S S R P Q Q F Proefexemplr p ^Δ h lees je ls: Het eeld vn Δ door de loodrechte projectie op de rechte is F T O G G

13 y y hoofstuk 1 THlES EN GElijkvORMIGHEEN 7 ) Lengte vn een lijnstuk evenwijdig n de x-s of de y-s Vorig jr he je geleerd dt je punten kunt voorstellen met coördinten in een crtesins ssenstelsel. co ^h ^6, 4h omdt ( 5, ) (, 3) -4 y (6, 4) - het eerste coördintgetl de scis is vn de loodrechte projectie vn het punt op de x-s. - het tweede coördintgetl de scis is vn de loodrechte projectie vn het punt op de y-s. Zo is ook co ^h ^-5,h en co ^h ^-, - 3h Met ehulp vn coördinten kunnen we ook lengten vn lijnstukken eplen. We weten dt de loodrechte projectie de fstnd ewrt ls het lijnstuk evenwijdig is n de projecties. 4 (1, 4) (6, 4) ( 1, 3) ( 7, 3) F( 3, 3) F x We kunnen de fstnden nu eplen. esluit: (x, y ) x x ^- 7h 5 EF E F y E E( 3, 5) 6 Proefexemplr x - x ls ' x-s met co^h `x, y j en co^h `x, y j y - y ls ' y-s x 13

14 14 8 ) Loodrechte projectie op een vlk ij de projectie op een vlk spreken we f dt we steeds loodrecht projecteren. Het vlk wrop we projecteren noemen we het projectievlk. Zo is p ^ h ; p ^ h ; p ^ h ' is de loodrechte projectie vn op α ' is de loodrechte projectie vn op α ' is de loodrechte projectie vn op α α noemt met het projectievlk Op een vlk kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rechten, vlkke figuren projecteren, mr ook ruimtefiguren. Om een figuur loodrecht te projecteren op een vlk, projecteren we elk punt vn de figuur loodrecht op dit vlk. Vooreeld: Hieronder zie je de loodrechte projectie vn een kegel en een lk, wrvn het grondvlk telkens evenwijdig is met het projectievlk. Griekse letters In Griekenlnd (en yprus) zie je ze nog steeds: Griekse letters. Ze zijn met 4 en worden soms in wiskunde geruikt om een hoek n te duiden. Ook een vlk (denk mr n het vlk p) krijgt meestl een Grieks letter. lf èt Γ γ gmm d delt E e epsilon Z z zèt H h èt Θ θ thèt I i iot K k kpp L l lmd M m mu T T N n nu Ξ ξ xi O o omikron P p pi Ρ ρ rho S s sigm E F T t tu Υ υ ypsilon Φ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ω ω omeg H G Proefexemplr

15 9 ) Europese projectie Of projectie in voornzicht, linkerzijnzicht en ovennzicht. We projecteren het lichm op drie vlkken die loodrecht op elkr stn: het voorvlk VV, het zijvlk ZV en het horizontle vlk HV. We krijgen zo drie projecties - voornzicht V - linkerzijnzicht L - ovennzicht. hoofstuk 1 THlES EN GElijkvORMIGHEEN Plooien we nu de drie vlkken zo, dt ze smen in één en hetzelfde vlk komen, dn heen we de drie nzichten vn het lichm nst elkr. VV HV HV HV HV V L ZV ZV Omwille vn fsprken met ndere vkken en toepssingsgeieden (en ook het gemk ij het meten), wordt meestl vnuit isometrisch perspectief overgegn nr de projectienzichten. VV V HV L ZV ZV ZV VV HV VV HV Proefexemplr V V VV HV V L L L ZV ZV ZV 15

16 16 Met eplde softwrepkketten zols geocdr kun je kuushuisjes (lokkendoos) tekenen en tevens het voor-, zij- en ovennzicht eplen. Proefexemplr

17 10 ) Smenvtting hoofstuk 1 THlES EN GElijkvORMIGHEEN Je kunt het eeld vn een figuur eplen door evenwijdige projectie op een projecties volgens een projectierichting. Nottie: E O E F c F G G H p ^h p ^Δ h p ] cg 6 E p ^HGh " G, Je weet dt een evenwijdige projectie de gelijkheid vn evenwijdige lijnstukken ehoudt. Gevolg: ls evenwijdige rechten vn een snijlijn gelijke lijnstukken fsnijden, dn snijden ze ook even lnge lijnstukken f vn elke ndere snijlijn "" Je weet dt ij de loodrechte projectie de projectierichting loodrecht stt op de projecties. Nottie: S S R P p ^ Δ h p ^ PQRS h 6 S p ^ H h 6 F Je kunt vlkke figuren en ruimtefiguren loodrecht projecteren op een vlk. Q Q F F Proefexemplr Je kunt de lengte vn een lijnstuk eplen ls het lijnstuk evenwijdig is met de x-s of de y-s. x - x ls ' x-s met co^h `x, y j en co^h `x, y j y - y ls ' y-s G G L L H "" 17

18 18 11 ) Oefeningen 1 Projecteer de punten,, en op volgens. Projecteer de punten M, N, P en Q op volgens. 3 is een prllellogrm. Vul in. p ^h p ^h c p ^h d p ^h e p ^h f p ^h g p ^h h p ^h P N Proefexemplr M Q

19 hoofstuk 1 4 Teken het punt S ls S p S" p ^Sh ^Sh 5 RSTU is een prllellogrm. Vul in. p ^Uh RS ST RS R p ` j RU c p ^Th S d p TU ^Rh R 6 epl de eelden vn de volgende figuren door p of p. door p door p c door p U U R R S S THlES EN GElijkvORMIGHEEN Proefexemplr S T M P T S N 19

20 0 7 en zijn de projectieeelden vn en. Vind jij de projecties en de projectierichting? 8 Op zoek nr een pssende projectierichting. epl een projectierichting s zodt de evenwijdige projectie op r de vier hoekpunten vn de rechthoek feeldt op c 4 verschillende punten 3 verschillende punten verschillende punten c d Proefexemplr r r r

21 hoofstuk 1 9 Klopt dit wel? Kunnen en de eelden zijn vn eenzelfde evenwijdige projectie vn en op? Verklr je ntwoord. J Verklring: NEEN 10 Teken voor elk vn onderstnde situties 6 zodt XY X Y. XY ' XY ( 11 Gegeven: Δ Gevrgd: X Y Teken, en zodt p ^h p ^h ^ h p THlES EN GElijkvORMIGHEEN X Y Proefexemplr 1

22 F E fex em pl r 1 Gegevens: c EFGH m is een kuus H G M Vul in: e loodrechtte projectie vn E op het vlk is e loodrechtte projectie vn op het vlk G is c e loodrechtte projectie vn M op het vlk G is d e loodrechtte projectie vn M op het vlk is e e loodrechtte projectie vn Δ EH op het vlk EH is f e loodrechtte projectie vn Δ EH op het vlk is g e loodrechtte projectie vn Δ HG op het vlk FGH is 13 e volgende lichmen zijn getekend in isometrisch perspectief. Teken vn elk vn volgende lichmen het V, L en. isometrisch perspectief 30 Pr oe 30

23 ho ofds tuk 1 T hl es en ge li jk vormigheden fex em pl r 14 e volgende lichmen zijn getekend in cvlièreperspectief. Teken vn elk vn volgende lichmen het V, L en. cvlièreperspectief In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kuussen getekend. Tel het ntl dt telkens in de voorstelling nwezig is. oe Pr c 3

24 4 16 Teken het voor-, linkerzij- en ovennzicht 17 In het hiernst fgeeelde pllet zijn stenen verpkt. Hoeveel stenen zitten hierin verpkt? Proefexemplr

25 hoofstuk 1 18 epl de coördintgetllen vn,,,, E en F. 19 Plts in het fgeeelde ssenstelsel volgende punten: G 3, 1, 3, 0, 1, 3 0, 5 ^- - h H^- h I - l en J - l E Welke figuur is? y y ^-,3h ^4, 3h ^-, - 1h ^4, - 1h F THlES EN GElijkvORMIGHEEN co^ h co^ h co^ h co^ h co^e h co^f h epl de omtrek vn. c epl de oppervlkte vn. x Proefexemplr x 5

26 6 0 _ -4, i ^-1, 7h _ -6, epl de coördint vn, en N ls je weet dt ' ' P ' x-s. epl de oppervlkte vn. c epl de oppervlkte vn Δ MNP. 1 In een crtesins ssenstelsel zijn de punten en gegeven. epl telkens. co] g co] g ^, 5h ^, 9h ^-4, 5h ^-4, 0h c c3, - 1 m c3, m 3 d c- 1, - 4m c- 1, 4m 4 4 i y P^1, 5h ^0, 3h N_ 4, i M^7, 1h Proefexemplr x

27 epl de coördinten vn, E en G. hoofstuk 1 y THlES EN GElijkvORMIGHEEN epl de omtrek vn de c epl de oppervlkte vn de getekende figuur. H^-1, h ^1, 6h ^6, 6h ^1, 5h G F^3, - h getekende figuur. Proefexemplr E x 7

28 8 3 Klr (K), Wrren (W), Slim (S) en Levi (L) ereiden zich voor op het voetltoernooi dt op het schoolfeest wordt georgniseerd. Triner Ilke (I) vindt smenspel heel elngrijk en drom oefenen ze op het oefenveld vn de school y I 0 x ls Wrren de l recht op het doel schiet, wr epl de totle fstnd die de l flegt. moet de triner zich dn in het doel evinden om de l te kunnen vngen? 4 Willy stpelt een ntl identieke kuussen recht oven elkr op een vlkke vloer en verkrijgt het ouwwerk uit de nevenstnde figuur. epl het kleinst ntl kuussen dt volstt om dit ouwwerk c 19 d 0 e 1 JWO 004, 1ste ronde, vrg 6 Junior Wiskunde Olympide vzw L W Proefexemplr K S

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas.

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze Eric Willockx. Wendy Luyckx Els Sas. Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze Eric Willockx EWERkt voor het GO! onderwijs vn de Vlmse Gemeenschp door Wendy Luyckx Els Ss RTooNS Dve Vnroye Proefexemplr Leerwerkoek Trnsformties

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 4. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx Björn Carreyn.

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 4. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx Björn Carreyn. MTKUN leerweg Philip ogert ilip eeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze rik Willok jörn rreyn RToons ve Vnroye Proefeemplr ooklsvolgtformuleren: '' '' 5 ) ijeenevenredigheidmgje elijkvormige driehoeken

Nadere informatie

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v.

Proefexemplaar. MEETKUNDE leerweg 5. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx m.m.v. MEETKUNE leerweg 5 hilip ogert Filip Geeurik Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willok m.m.v. jörn rreyn RToons ve Vnroye roefeemplr ook ls volgt formuleren: '' '' 5 ) ij een evenredigheid mg je Gelijkvormige

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 99 993 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel

De cirkel M22. het middelpunt een koorde de straal de diameter een middelpuntshoek een middellijn. 2 cm 4 cm. Cirkel en elementen van een cirkel M De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde de strl de dimeter een middelpuntshoek een middellijn O:... [XY]:... OS

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim

a = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +

Nadere informatie

Formularium Wiskunde 1 ste graad

Formularium Wiskunde 1 ste graad Kls: Nm: Formulrium Wiskunde 1 ste grd Vkwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Ptrongestrt 51 9060 Zelzte Tel. (09)45 7 1 Fx (09)45 40 65 Internet: http://tislmm.pndor.be E-mil: so.tislmm.zelzte@frcrit.org

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symbool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN

Permanente kennis 3de trimester 4de jaar Grootheden en eenheden BASISGROOTHEDEN Permnente kennis 3de trimester 4de jr Grooteden en eeneden BASISGROOTHEDEN Bsisgrooteid Symool Eeneid lengte l meter m mss m kilogrm kg tijd t seonde s elektrise stroom I mpère A AFGELEIDE GROOTHEDEN EN

Nadere informatie

MEETKUNDE 4 Driehoeken

MEETKUNDE 4 Driehoeken MEETKUNDE 4 Driehoeken M18 Driehoeken in de ruimte 38 M19 Driehoeken tekenen 4 M0 Merkwrdige lijnen in een 44 M1 Omtrek, oppervlkte en volume 47 37 M18 Driehoeken in de ruimte 738 E Vul n. In KLM zijn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders

MEETKUNDE 5 Cirkels en cilinders MEETKUNDE 5 Cirkels en ilinders M22 De irkel 254 M23 De ilinder 262 253 M22 De irkel Cirkel en elementen vn een irkel 781 E Geef de nm vn de ngeduide delen in de irkel. Y X O T S het middelpunt een koorde

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde 2 Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak Meetkunde 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M4 Spiegelingen herkennen en tekenen 200 M5 Eigenshppen vn de spiegeling 205 M6 Symmetrie 208 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 210 M8 Eigenshppen

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek

Nadere informatie

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN

MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende

Nadere informatie

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN

OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jr moet je gn kiezen welke wiskunde je wilt gn volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wt wiskunde A, en D inhouden. Wiskunde

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus

Basisbegrippen. Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. balk cilinder kubus sisegrippen Dit kun je l de enmingen vn vershillende soorten driehoeken en vierhoeken geruiken een kuus, een lk en een ilinder herkennen evenwijdige en snijdende rehten herkennen sherpe, stompe en rehte

Nadere informatie

Platte en bolle meetkunde

Platte en bolle meetkunde Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting.

De noodzakelijke voorwaarden voor een evenwicht kunnen derhalve samengevat worden als: F = 0 geen resulterende kracht in x richting. 1. EVENWICHT Zols in het eerste gedeelte over krchten en momenten reeds n de orde is gesteld werken op een lichm meestl meerdere krchten tegelijkertijd. We zeggen dt het lichm onderhevig is n een stelsel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6

INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN

Nadere informatie

Toepassingen op Integraalrekening

Toepassingen op Integraalrekening Toepssingen op Integrlrekening ) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn.

MEETKUNDE. leerplan D. Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx. M.m.v. Björn Carreyn. pl r Philip ogert Filip Geeurikx Mr Muylert Roger Vn Nieuwenhuyze Erik Willokx Pr oe leerpln D fex em MEETKUNDE M.m.v. jörn rreyn rtoons Dve Vnroye ook ls volgt formuleren: D '' 'D' D 5 ) ij een evenredigheid

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM HEREXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : TIJ : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde

van basis tot Handleiding limiet Meetkunde Mrk De Feyter Filip Geeurickx Jn Thoelen Roger Vn Nieuwenhuyze ewerkt voor het gemeenschpsonderwijs door Wendy Luyckx o Roefs rtoons Dve Vnroye vn sis tot limiet Hndleiding Meetkunde 1 voorwoord ISN: 978

Nadere informatie

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO

15 5 omhoog. Hoofdstuk 26 RECHTE LIJNEN. 6 ad 26.0 INTRO Hoofdstuk 6 RECHTE LIJNEN 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,9 drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls je nr rechts zou gn, zou je omhoog

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye

Proefexemplaar. Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze. Wendy Luyckx Els Sas. Dave Vanroye Mark De Feyter Filip Geeurickx Jan Thoelen Roger Van Nieuwenhuyze bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas artoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eigenschappen van

Nadere informatie

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.

Het reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken. Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

Breuken en verhoudingen

Breuken en verhoudingen WISKUNDE IN DE BOUW Breuken en verhoudingen Leerdoelen N het estuderen vn dit hoofdstuk moet je in stt zijn om: te rekenen met reuken en verhoudingen; reuken toe te pssen in erekeningen vn onder ndere

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen.

Rangschik van klein naar groot. Vul aan. Meet de lengte van onderstaande voorwerpen. 582 Rngshik vn klein nr groot. 583 Vul n. 0,3 km 500 m 200 000 m 25 000 dm... 0,3 m 40 m 12 dm 240 mm... 1 mm is... mm kleiner dn 1 m. 8 m is... m kleiner dn 1 m. d 9 92 70 47 3 m is... mm kleiner dn 1

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde Junior Wiskunde Olympide 0-03: de tweede ronde Volgende enderingen kunnen nuttig zijn ij het oplossen vn sommige vrgen.,44 3,73 5,36 π 3,46.ls + =en =3,dnis gelijkn () 5 () 6 () 3 () 9 (E) 3.Hetgetl (

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden Werkoek Alger (cursus voor u wiskunde) hoofdstuk : Oplossen ongelijkheden vn e gr met on in Nm:. Hoofdstuk : Ongelijkheden - -. Ongelijkheden Vul in met of : 0,... 0,07 we zeggen dt 0,... is dn 0,07 -,...

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel

Natuurlijke getallen op een getallenas en in een assenstelsel Turf het ntl fouten en zet de resultten in een tel. Vlmingen Nederlnders resultt ntl resultt ntl 9 9 en nder tlstelsel U Ontijfer de volgende hiërogliefen met ehulp vn het overziht op p. in het leerwerkoek.........................

Nadere informatie

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek.

Meet de lengte en de breedte van de rechthoek. M15 Rechthoek en lk 692 E Je kunt hieronder eenvoudig de oppervlkte vn een rechthoek vinden door de ruitjes te tellen. Elk ruitje is 1 cm². Hoe groot is de oppervlkte vn deze rechthoek?... 693 B Bereken

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie