Inhoud. 1 Algebra Rekenen met variabelen Breuken Haakjes Machten Wortels Totaalbeeld 16

Transcriptie

1 Wiskune voor 3 vwo eel 1, Antwoorenoek Versie 2013 Samensteller

2 2013 Het auteursreht op it lesmateriaal erust ij Stihting Math4All. Math4All is erhalve e rehtheene zoals eoel in e hieroner vermele reative ommons lientie. Het lesmateriaal is met zorg samengestel en getest. Stihting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkhei voor onjuistheen en/of onvolleigheen in e moule. Ook aanvaaren ze geen enkele aansprakelijkhei voor enige shae, voortkomen uit (het geruik van) it lesmateriaal Voor eze moule gelt een Creative Commons Naamsvermeling-Niet-ommerieel 3.0 Neerlan Lientie. (zie Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van en is speiaal ontwikkel voor het vak wiskune in het voortgezet onerwijs. Het lesmateriaal op e wesite is afgestem op kernoelen wiskune, tussenoelen wiskune en eintermen voor e vakken wiskune A, B en C. Dit lesmateriaal is meiumneutraal ontwikkel en op iverse manieren te ekijken en te geruiken. Voor informatie en vragen kunt u ontat opnemen via info@math4all.nl. Ook houen we ons altij aanevolen voor suggesties, vereteringen en/of aanvullingen.

3 Inhou 1 Algera Rekenen met variaelen Breuken Haakjes Mahten Wortels Totaaleel 16 2 Vlakke meetkune Gelijk of gelijkvormig Driehoeken Stelling en ewijs Vlakke figuren Vergrotingsfatoren Totaaleel 34 3 Vergelijkingen Basishanelingen Terugrekenen De alansmethoe Ontinen Breuken in vergelijkingen Totaaleel 51 4 Lineaire veranen Reht evenreig Lineaire funties Het hellingsgetal Lineaire moellen Totaaleel 63 5 Goniometrie Vetoren Sinus en osinus Hoeken erekenen Helling en tangens Rekenen in riehoeken Totaaleel 80 6 Kwaratishe veranen Kwaratishe funties Nulpunten en top Kwaratishe vergelijkingen Hanig oplossen 94 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 6.5 Lijnen en paraolen Totaaleel 100

5 1Algera 1.1 Rekenen met variaelen 1 a 6u + 4u m. u 2 + 4u u = 38 m = 69 m en 3 m. 3 a Figuur I: 4u + 2u + u + u + u + u = 6u + 4u Figuur II: 4u + 4u Figuur III: 3u + u + 3u + 3u = 6u + 4u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA Figuur I: = 38 m. Figuur II: = 29 m. Figuur III: 38 m, want even grote omtrek als figuur I. Je het an miner rekenwerk ij het invullen van getallen voor e variaelen. Figuur I: u u + 3 u u = u 2 + 3u u Figuur II: u u + u u = u 2 + u 2 Figuur III: 2 u u + u u + u u = 2u 2 + u u + u 2 e Figuur I: = 54 m 2. Figuur II: = 34 m 2. Figuur II: = 58 m 2. 4 a 2u = u + u en 5u = u + u + u + u + u. Als je it optelt krijg je u + u + u + u + u + u + u = 7u. Eerst e wisseleigenshap toepassen: 2u + 5u + 3u + 4u = 2u + 3u + 5u + 4u. Dan gelijksoortige termen samennemen: 2u + 3u = 5u en 5u + 4u = 9u = u. 18u + 6u + 10u + 4u = 28u + 10u 12u + 6u + 10u + 4u = 26u + 6u e u + 3u + 5u + 8u + 7u = 9u + 8u f u u + u 2 + 3u u + u 2 = 4u u + 2u 2 5 a 3u + 12u + 2u + 4u = 7u + 16u 8u + u + 2u + u = 10u + 2u 4u 3u = 12u u 4u 3u + 5u 2u = 12u u + 10u u = 22u u e 4u 3u + 5u 2u = 12u u + 10u 2 f 6u 2u + 4u u = 12u u + 4u u = 16u u 6 a Zie figuur. Je ziet het vershil meteen in e figuren. Bovenien is u 2 u = u u u en u u 2 = u u u. De oppervlakte van eie rehthoeken is hetzelfe. 7 a 7u + u = 8u 2u u u + 8u u u + u u u = 11u u u 12u 4u + 3u u = 51u u 3u u 2 + 2u 2 u + u 2 u + 4u u 2 = 7u u 2 + 3u 2 u e 4u 3u + 2u u + u 2u = 14u u + 2u 2 f 2u u + u + 4u 2 + 5u = 6u 2 + 6u PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 8 a 7u + 5u = 12u 35u 2 e f 3u + 2u + 5u + 7u = 5u + 2u u + 5u = 4 3u 4u 2u 3u 7u = 8u u 21u u = 29u u 3u u 5u 2u + u u = 3u u + 10u u + u u = 6u u 9 Doen, ga oor tot je (vrijwel) geen fouten meer maakt. 10 a 6u 3u 3u 4u = 18u u + 12u u = 30u u e f 5u u 3u 2u = 5u u + 6u u = u u 3 2u 6 8u = 6u + 48u = 54u -3 2p 6 8p= p+-8p=-9+-10p=-9 10p 4a a2 3aa+2a32=4a2 2a2+6a2 3a2=8a2 3a2 a+2a 3a=1a+2a 3a=0 11 a Je kunt aan eie zijen elen oor 2. Dat levert op u + u = 11. Doen. Omat er ij het vermenigvuligen van twee gehele getallen miner mogelijkheen zijn, an ij het optellen van twee getallen. 3 en 8. e Dan moet je gaan inklemmen met ehulp van e tael. 12 Je vint u + u = 76 en u u = 76. Je kunt nu systematish gaan zoeken met een tael. Maar misshien zie je wel at uit eze twee formules volgt 2u = 98. Je vint an u = 49 m en u = 17 m. 13 a Figuur I: De omtrek is 6u + 6u en e oppervlakte is 2u 2 + 6u u. Figuur II: De omtrek is 6u + 6u en e oppervlakte is 2u 2 + 2u u + 2u 2. Figuur I: De omtrek is 66 m en e oppervlakte is 176 m 2. Figuur II: De omtrek is 66 m en e oppervlakte is 186 m a 7u + 20u = 27u 7u 20u = 140u 2 7u 20u = 140u u 6u u = 5u e 6u 10u u = 60u 2 u f 6u 20u 15u 10u = 120u u 2 = 30u 2 g h u 5u + 3u 2u = 5u u + 6u u = u u u 5u + 3u 2u = 5u u + 6u u = u u 15 a Eerst herleien tot 2u u en an sustitueren. Je vint 100. Eerst herleien tot 15u u u en an sustitueren. Je vint Eerst herleien tot 9u u u en an sustitueren. Je vint 900. Eerst herleien tot 26u u 2 en an sustitueren. Je vint e Eerst herleien tot 3u en an sustitueren. Je vint 30. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 5

8 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA f Eerst herleien tot 0 en an en je meteen klaar. 16 Je vint u u = 104 en u u = 5. Je kunt nu systematish gaan zoeken met een tael. Je vint u = 13 en u = Je vint u + u = 118 en u u = a 40 Je vint at Kees 67 jaar en Johum 51 jaar ou is. u = 4u Vanaf nummer a a 130 u = u (2u + 2) of u = 2u 2 + 2u. Maak een tael. Je vint at it vanaf nummer 22 het geval is. u = u (u + 3) of u = u 2 + 3u. Maak een tael. Je vint at it vanaf nummer 31 het geval is. 1.2 Breuken 1 a Maak eie reuken eerst gelijknamig = = = = = 5 8 (teller en noemer elen oor 3). Maak eie reuken eerst gelijknamig. 5 6 / 3 4 = / 9 12 = a Maak eie reuken eerst gelijknamig. 5 u + 3 u = 5u u u + 3u u u = 3u +5u u u 5 u 3 u = 5u u u 3u u u = 5u 3u u u 5 u 3 u = 15 u u Maak eie reuken eerst gelijknamig. 5 u / 3 u = 5u u u / 3u u u = 5u 3u e Door 0 elen heeft geen etekenis. 3 a Het KGV van eie noemers is u u, us je krijgt 2u 3u u u en u u. 2 u + 3 u = 2u u u + 3u u u = 2u +3u u u, 2 u 3 u = 2u u u 3u u u = 2u 3u u u en 2 u / 3 u = 2u u u / 3u u u = 2u 3u. 2 u 3 u = 6 u u. 4 a Het KGV van eie noemers is 15u, us je krijgt 10 15u en 9 15u. 2 3u + 3 5u = 10 15u u = 19 15u, 2 3u 3 5u = 10 15u 9 15u = 1 15u en 2 3u / 3 5u = 10 15u / 9 15u = u 3 5u = 6 = 2. 15u 2 5u 2 4u 5 a 2u u = 2 u. 2 u + 5 3u = 6u 3u u + 5u 3u u = 6u +5u 3u u. 2 u 5 3u = 10 3u u. 6 a 3 2u + 5 u = 3u 2u u + 10u 2u u = 10u +3u 2u u 3 2u 5 u = 15 2u u PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 7 a 3 2u / 5 u = 3u 2u u / 10u 2u u = 3u 10u 2 3 u + 1 2u = 2u u = 4u 2 6u + 3 6u = 4u u 2 3 u 1 2u = 2u 3 1 2u = 2u 6u = 1 3 (je vereenvouigt e reuk oor teller en noemer oor u te elen) 2 3 u / 1 2u = 2u 3 / 1 2u = 4u 2 6u / 3 6u = 4u 2 3 2u 4u u + 6 3u = 1 2u + 2 u = 1 2u + 4 2u = 5 2u 3u u u / 2u = 3 u 2 u / 2 u = 1,5 2u u u 15u 3 = 2u 5u 4u u 2u 6u 3 = 2u 2u = 4u u 8 Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 9 a Doen. Eerst aan eie zijen van het isgelijkteken oor 2 elen geeft u + u = 10,7. Vervolgens trek je aan eie zijen van het isgelijkteken u af en je krijgt u = 10,7 u. Aan eie zijen van het isgelijkteken elen oor u. Maar an moet wel u 0. Van e variaele u, omat je e formules zo het geshreven at je u makkelijk kunt uitrekenen oor waaren van u in te vullen. e Maak taellen en een grafiek. Met inklemmen vin je een snijpunt als u = 3,2 en an is u = 7,5. 10 a Beie zijen 3u geeft 2u = 8 3u. Beie zijen elen oor 2 geeft u = 4 1,5u. Beie zijen 3u geeft 2u u = 8 3u. Beie zijen elen oor 2u geeft u = 8 3u 8 3u 2u. Dit kun je nog verer herleien: u = 2u = 8 2u 3u 2u = 4 u + 1,5. Eerst e linkerzije herleien: 3u u = 9. Dan eie zijen elen oor 3u en je krijgt u = 9 3u = 3 u. Beie zijen maal 3u geeft u = 27u. Nu eie zijen verwisselen en elen oor 27 en je krijgt u = u 27 = 1 27 u. 11 Neem aan at e twee iagonalen lengtes heen van u m en u m. Vanwege e gegeven oppervlakte 12 a 13 a e f is an u u = 30 en 2u + 2u = 23. Hershrijf eie formules naar u = 30 u en u = 11,5 u en teken ijpassene grafieken. Bepaal e snijpunten van eie grafieken. Je vint u = 4 en u = 7,5 of omgekeer. 2u u + u 3u = 6u 3u + u 3u = 7u 3u 2u u u 3u = 2u 2 3u 2 2u u u 3u = 6u 3u u 3u = 5u 3u 2u u / u 3u = 6u 3u / u 3u = 6 2u u + u 3u = 6u 2 3u u + u 2 3u u = 6u 2 +u 2 3u u 2u u u 3u = 2u u 3u u = u + 3 u = u 2u u + 6u 2u u = 6u +u 2u u 15u u 3u 12u 2 4u = 5u 3u = 2u u 4u 2u 2 3u = u 6 = 1 6 u 1 u 2 u = u u u 2u u u = u 2u u u 6 u / 1 2u = 12 2u / 1 2u = 12 1 u + u 2 = 2 2u + u 2 2u = 2+u 2 2u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 14 a Eerst herleien tot 6u u u 5u 3u = 10 3u. Dan eie getallen invullen geeft Eerst herleien: 3u 1 u = 1 3u. Dan eie getallen invullen geeft: Meteen maar e getallen invullen: = 1 6. Eerst herleien tot 2u u u / 6 u = 1 3. Nu hoef je niet eens meer e getallen in te vullen! 15 a u = 6 3u = 2 u u = u 3u = 1 u 2u 2 = 2u geeft u = 2 3 u. 1 u = 2 1 u = 2u 1 u geeft na gelijknamig maken u u u = u (2u 1) u u en us u = u (2u 1) zoat u = u 2u De formules woren u u = 14 en u u = 5. Deze formules kun je shrijven als u = u + 14 en u = 5u. Hierij kun je twee grafieken in één figuur maken. Maar je kunt ook oplossen 5u = u Je vint u = 3,5 en u = 17,5. 17 a De afstan ie heen is gevlogen eraagt u km. De terugreis is even lang, ook u km. Heen oe je aar u u 900 uur over, terug 960. Over 2u km oe je us u u 960 uur. Je gemiele snelhei is 2u u u 960 km/uur. Dat kun je herleien tot 2u /( u u 16u 960 ) = 2u / ( u ) = 2u /( 31u ) = ( 28800u 31u )/ ( ) = 28800u 31u 929 km/uur. u u Neem aan at e lengte van e rit u km is. Heen oe je aar 100 uur over, terug 120. Over 2u km oe je us u u 120 uur. 2u Je gemiele snelhei is u u 120 km/uur. Dat kun je herleien tot 2u /( u u 6u 120 ) = 2u / ( u 600 ) = 2u /( 11u 600 ) = km/uur. Zijn aarentegen e tijsuren van zowel heenreis als terugreis u uur, an leg je op e heenreis 120u km af en op e terugreis 100u km. In 2u uur he je an 220u km afgeleg, us e gemiele snelhei is 220u /2u = 110 km/uur. 1.3 Haakjes 1 a De oppervlakte van een rehthoek van 2 ij is 2 (3 + 7). Diezelfe rehthoek is te verelen in twee kleinere, één met een oppervlakte van 2 3 en één met een oppervlakte van 2 7. Beie oppervlaktes zijn uiteraar hetzelfe. Maak een rehthoek van 2 ij 7, waar een rehthoek van 2 ij 3 overheen ligt (met rie zijen op e zijen van e rehthoek van 2 ij 7). Reeneer nu ook met oppervlaktes. Doen. 2 a De oppervlakte van een rehthoek van ij is (2 + 5) (3 + 7) = Diezelfe rehthoek is te verelen in vier kleinere, oppervlaktes van 2 3, 2 7, 5 3 en 5 7. Beie oppervlaktes zijn uiteraar hetzelfe. Maak een rehthoek van 5 ij 7, waar een rehthoek van 2 ij 3 overheen ligt (met twee zijen op e zijen van e rehthoek van 5 ij 7). Reeneer weer met oppervlaktes. Denk er om at e twee rehthoeken van 2 7 en 5 3 elkaar overlappen! PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA Doen. 3 a Doen. Doen. u (u + 3) = u 2 + 3u u (2u 3) = u (2u + 3) = 2u 2 + 3u = 2u 2 3u e (u + 5)(2u 3) = 2u 2 3u + 10u 15 = 2u 2 + 7u 15 f (u 3) = 1 (u 3) = 1 u 1 3 = u a 5(u + 2u ) = 5u + 10u 5u (u 2u ) = 5u 2 10u u (u + 4)(u + 5) = u 2 + 9u + 20 (2u 4)(u 5) = 2u 2 14u + 20 e 3(2u + 4) + 5(4 u ) = 6u u = u + 32 f 3(2u + 4) (4 u ) = 6u u = 7u a De GGD van eie termen is 3. De ontining wort aarom: 6u + 9 = 3 2u = 3 (2u + 3) = 3(2u + 3). De GGD van eie termen is 2u. De ontining wort aarom: 8u 6u 2 = 2u 4 2u 3u = 2u (4 3u ). De GGD van alle termen is 2. De ontining wort aarom: 2u 2 6u + 12 = 2 u 2 2 3u = 2(u 2 3u + 6). Nee, er is geen GGD van alle termen, us ontinen oor ie GGD uiten haakjes te halen lukt hier niet. (Nou ja, je kunt een 1 uiten haakjes halen, maar at is wel erg flauw.) Je kunt laten zien at u 2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3) oor links van het isgelijkteken e haakjes uit te werken, of oor een rehthoek te tekenen van u + 2 ij u a 2u + 3(4 u ) = 2u u = u + 12 (2u + 3)(u + 4) = 2u 2 + 8u + 3u + 12 = 2u u u (u u + 5) = 4u 2 4u u + 20u 3(2u 1)(4 u ) = 3(8u 2u u ) = 3( 2u 2 + 9u 4) = 6u u 12 e 2(u 2 3u ) u (2 u ) = 2u 2 6u 2u + u 2 = 3u 2 8u f (6 u ) u + 2(u 3) = 6u + u 2 + 2u 6 = u 2 4u 6 7 a (u + u )(u u ) = u u u u + u u u u = u 2 u 2 (u + u ) 2 = (u + u )(u + u ) = u u + u u + u u + u u = u 2 + 2u u + u 2 (u 5)(u + 5) = u 2 25 (u + 10) 2 = u u e (3u + 1)(1 3u ) = 1 9u 2 f (2u 3) 2 = 4u 2 12u + 9 g (u + 2) 2 (u 2) 2 = u 2 + 4u + 4 (u 2 4u + 4) = 8u h u (5u 4) (u 2)(u + 2) = 5u 2 4u (u 2 4) = 4u 2 4u Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 9 a u (u + 1) 1 u + 1 u +1 = u +1 u (u +1) + 1 u + 1 u +1 = 2u +1 u 2 +u u u (u +1) = 2u +1 u (u +1) 10 a Ja, je kunt altij zelf kiezen hoe je met mintekens omgaat. Soms ziet het er mooier uit als je ze uiten haakjes haalt, soms ook niet. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA Door ij e gevonen uitrukking met haakjes e haakjes weer uit te werken. Ga at ij e ontiningen in het vooreel zelf na. 11 a 6u + 8u = 2 3u + 2 4u = 2(3u + 4u ) 14u 2 21u = 7u 2u 7u 3 = 7u (2u 3) 4u u 12u 2 + 6u = 2u (2u + 6u 3) u 2 u = u (u 1) e 3u u u = u (3u + 16u ) f 12u 2 6u + 18 = 6(2u 2 + u 3) 12 Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 13 a De GGD van alle rie e termen is 1 en at getal uiten haakjes halen is zinloos, het maakt e uitrukking alleen ingewikkeler. 2 en 4. u 2 + 6u + 8 = (u + 2)(u + 4) Doen. 14 a u 2 + 7u + 12 = (u + 3)(u + 4) u u + 20 = (u + 2)(u + 10) u u + 13 = (u + 1)(u + 12) u 2 + 2u + 1 = (u + 1)(u + 1) = (u + 1) 2 e u u + 90 = (u + 9)(u + 10) f u u + 81 = (u + 9)(u + 9) = (u + 2) 2 15 a Je kunt it gemakkelijk laten zien oor e haakjes weer uit te werken. In e tael zie je alle mogelijkheen om met twee getallen het prout 6 te maken. Alleen ij e getallen 6 en 1 is e som 5. u 2 5u 6 = (u 6)(u + 1) u 2 1u 6 = (u 3)(u + 2) Voor het prout he je an maar een eperkt aantal mogelijkheen, voor e som niet. e u 2 2u 8 = (u 4)(u + 2) f g u = u + u en u = u u. Als p = 0, an is u + u = 0 en us = u. Nu he je wel mintekens noig. Vooreel: u 2 + 0u 4 = (u + 2)(u 2). Als q = 0, an is u u = 0 en us a = 0 of = 0. Vooreel: u 2 + 5u + 0 = (u + 5)(u + 0). (Hier kon je gemakkelijker een u uiten haakjes halen.) 16 a u 2 7u + 12 = (u 3)(u 4) u 2 + 2u 48 = (u + 8)(u 6) u 2 9 = (u + 3)(u 3) u 2 2u = u (u 9) e 2u u + 24 = 2(u 2 + 8u + 12) = 2(u + 2)(u + 6) f 3u 2 48 = 3(u 2 16) = 3(u 4)(u + 4) 17 a 2u (u + 5) = 2u u 2u (u + 5) = u 5 (2u 1)(u + 5) = 2u 2 + 9u 5 3(2u 1) 4(u + 5) = 2u 23 e (u + 5) 2 = u u + 25 f (2u 1) 2 (u 5)(u + 5) = 3u 2 4u + 26 PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA g 18 a (2u + u )(u + 5) + 2u (5 u ) = u u + 5u h (2u + u ) 2 (u + 5) 2 = 4u 2 + 4u u 10u 25 2 u u = 2u u (u 2) + 3(u 2) u (u 2) = 5u 6 u 2 2u 3 u u +2 = 3(u +2) (u 2)(u +2) + 2(u 2) (u 2)(u +2) = 5u +2 u a 14u + 21u = 7(2u + 3u ) 3u 2 6u u = 3u (u 2u ) 4u 2 u 4u u = 4u u (u + 1) u 3 3u 2 u = u (u 2 3u 1) 20 a u u + 30 = (u + 2)(u + 15) u 2 u 12 = (u 4)(u + 3) 16 10u + u 2 = u 2 10u + 16 = (u 2)(u 8) u = (u 10)(u + 10) 21 a 12u 2 8u = 4u (3u 2) 6u 16 + u 2 = (u + 8)(u 2) 1 2 u 2 8 = 1 2 (u 2 16) = 1 2 (u 4)(u + 4) 3u 2 6u 9 = 3(u 3)(u + 1) e 4u u + 8u u 2 = 4u u (1 2u ) f 8u 16 u 2 = (u 2 8u + 16) = (u 4) 2 22 Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 23 a u 2 m 2. De reete wort u 3 m en e lengte wort u + 3 m. Na aanleg van het fietspa wort e oppervlakte (u + 3)(u 3) = u 2 9 m. De oer raakt 9 m 2 lan kwijt. 1.4 Mahten 1 a Elk van jouw vijf vrienen stuurt ook weer vijf rieven. 5 3 = is het aantal rieven at e vrienen van jouw vrienen versturen. 5 4 = = = = /5 2 = / (5 5) = = a In e viere rone 5 4 en in e ahtste rone 5 8. Je ent in e ahtste rone preies twee keer zoveel rones verer an in e viere rone. Uitshrijven kan ook: (5 4 ) 2 = ( ) 2 = = 5 8. (5 4 ) 6 = a 5 10 = , us ijna 9,8 miljoen euro voor je goee oel! Al in e tiene rone he je alle Neerlaners en alle Belgen wel geha. En zelfs als je e hele werelevolking mee wilt laten oen is het al vrij snel geeur , en e werelevolking is ongeveer 7 miljar mensen. Dus in rone 14, want in rone 15 he je alweer vijf keer zoveel. 4 a /5 198 = = 5 2 = 25 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 19 (19 50 ) 2 = = = 19 1 = = = = = = = e (15 14 ) / = / = / = 15 2 = a u 5 u 2 = u 5+2 = u 7 3u 5 4u 2 = 12u 3 3u 5 /4u 2 = 3 4 u 3 (3u 5 ) 4 = 81u 20 e ( 2u 3 ) 4 u 3 /( 2u 5 ) 3 = 16u 15 / ( 8u 15 ) = 2 6 a m m = = a 6u 5 u 2 2u 3 u = 12u 8 u 4 6u 5 u 2 2u 3 u = 3u 2 u (4u ) 2 4u 2 = 16u 2 4u 2 = 12u 2 u 3 2u + 2(u u ) 2 = 2u 3 u + 2u 2 u 2 e 8u 3 2u u 2 (2u 2 u ) 2 = 16u 4 u 2 4u 4 u 2 = 12u 4 u 2 2u ( 2u ) f 3 = 16u u 3 = 4 u 2 4u u 4u u 3 8 a 2u 3 (1 6u 2 ) = 2u 3 12u 5 (u 2 4)(u 2 + 1) = u 4 + u 2 4u 2 1 = u 4 3u 2 1 (u 3 2) 2 = u 6 4u u 2 (u + 3) 2u (u 2 4) = 4u u 2 4u 3 + 8u = 12u 3 + 8u e (4 + 3u 2 ) 2 (u 2 1)(u 2 + 1) = u 2 + 9u 4 u = 8u u f (u + 1) 3 = (u + 1) 2 (u + 1) = (u 2 + 2u + 1)(u + 1) = u 3 + 3u 2 + 3u a 2u 4 + 6u 3 = 2u 3 (u + 3) u 2 u 3 4u 3 u 5 = u 2 u 3 (1 4u u 2 ) Nu kun je (naat je e GGD uiten haakjes het gehaal) ook nog e som-en-proutmethoe toepassen. u 3 4u = u (u 2 4) = u (u 2)(u + 2) 24u 2 8u 3 + 2u 4 = 2u 2 (12 4u + u 2 ) = 2u 2 (u 2 4u + 12) = 2u 2 (u 6)(u + 2) 10 a Loop nu e oplossing van e vier vooreelen na. Bekijk vooral het werken met e mahten van 10. u u = 3, , = 32, = 3, u u = 3, , = 3, , = 3, u 3 = (1, ) 3 = 1, e Omat u ten opzihte van u verwaarloosaar klein is a = 2 1, , AE. (Denk er om at je antwooren ook in e wetenshappelijke notatie moeten staan en at veel eimalen of exate waaren nu onzinnig zijn.) 5,2 1, = 7, , ,9 10 = 39 AE. 1, Het liht legt in een jaar ongeveer , km af. Dat is ongeveer AE = (23 ) (2 2 ) 192 = = 2 4 = = a 3u 2 u 3 2u u 2 = 6u 3 u 5 PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 3u 2 u 3 = 1,5u u 2u u 2 (3u 2 ) 3 + 2u 2 u 3 2u 2 5u 4 = 17u 6 + 2u 5 3u 2 (u u 2 2u ) 2u u (u 2 u u ) = 3u 3 u 2 6u 2 u 2u 3 u 2 + 2u 2 u = u 3 u 2 4u 2 u e (u 3 + 5) 2 u 2 u 4 = 10u u f 2 u +3u u 2 2u u = 2u 2 u 2u u + 3u u 2 2u u = u + 1,5u g u 5 (u 2 4)(u 2 + 1) = u 5 (u 4 3u 2 4) = u 9 3u 7 4u 5 h 2u (3u 2 ) 3 2u u u 5 = 52u u 6 14 a 12u 6 18u 3 = 6u 3 (2u 3 3) 4u u u 2 u 4u u = 4u u (u 2 + 3u 1) u 5 u 4 2u 3 = u 3 (u 2 u 2) = u 3 (u 2)(u + 1) 4u 8u 2 + 4u 3 = 4u (u 2 2u + 1) = 4u (u 1) 2 15 a 12 1, = 19, , gram. 12 Uit ongeveer 6, atomen. (Dit getal is e onstante van Avogaro.) 1, Alleei ongeveer 6, atomen. 10 Ongeveer 3 3, , Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 17 a 2 9 = Ongeveer 9, Ongeveer 0,065 9, = 0, , gram en at is ongeveer 5, kg. e Je moet er an 9, m 3 graan in kwijt kunnen. De hoogte wort an 9, /25 = 3, m en at is 3, km oftwel 36 miljar km. 18 a = 1023 Daar komt ook 1023 uit. Stel u = , an is 2u = Daaruit volgt u = 2u u = Wortels 1 a 10 en at is ongeveer 3,16. De oppervlakte van het vierkant is 40 en us is elke zije 40. Maar elke zije is ook a 3 a De oppervlakte van eze rehthoek is en ie oppervlakte is ook 20 = 400 roosterhokjes. Dit is e omtrek van rehthoek AEFD op twee manieren opgeshreven en at is ongeveer 2,15. De inhou van e kuus is 80 en us is elke zije Maar elke zije is ook De inhou van eze alk is en ie inhou is ook 20 = e 3 64 = 4, want 4 3 = = 4, want ( 7) 3 = = 2, want 2 4 = estaat niet, want er is geen getal waarvan e viere maht 16 is = 3, want 3 5 = a Omat hij hoort ij het terugrekenen vanuit een kwaraat, us een tweee maht. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA e Als je ijvooreel u = 2 neemt, an zou 4 = 2 en an krijg je e vervelene situatie at een vierkant met oppervlakte 4 een zije van 2 zou kunnen heen = = = = = 16 3 = a Omat ere mahten ook negatief kunnen zijn. Bijvooreel 64 3 = 4 omat ( 4) 3 = u 6 = u 3 3 u 3 3 = u u = u 2 e = = = = = = a Bij oneven waaren van u. Bijvooreel = 3 omat ( 3) 5 = 243, maar 81 4 kan niet, want er estaat geen getal waarvan e viere maht negatief is. u u 2u = u u u u u = u 2 u 5 7 a 12 3 = = = = = = 22 2 u 0 e f 3 u 2 u u u + 2u 2 = 3u u u u + u 2 = 2u u + u = = = u 3 3u 3 3u 3 2 = 8u u = 2u 9 3 u 9 3 = u a Volgens e stelling van Pythagoras is e hypothenusa u 2 + u 2 = 2u 2 = u 2 2 = u 2. Elke zije van e gelijkzijige riehoek heeft een lengte van 2u en met e stelling van Pythagoras vin je an voor e langste rehthoekszije (2u ) 2 u 2 = 3u 2 = u 3. 9 a Elk zijvlak is een vierkant van u ij u, us een iagonaal is u 2 + u 2 = 2u 2 = u 2 2 = u a Elk zijvlaksiagonaal heeft een lengte van u 2 us een lihaamsiagonaal is (u 2) 2 + u 2 = 2u 2 + u 2 = 3u 2 = u = = = = = = ,25 10 = 1, u u 1 4 u = 2u u u u 1 2 u = 2u u u 1 2 u = 2 u 1 2 u = u 4 u u + u 4 = u 2 + u u 2 = 2u u + 1 u u 2 u = 2 u u = u 2u e 3 u = 2u u 3 2 = 2u 3 u 2 3 u u 3 2 u = 2 u 3 2 u f + 4 u 4 = u u 4 + u 3 4 u 4 = u u 4 u 3 u 4 u + u 4 = u 4 + u 4 = 2 u 4 11 a Werk e haakjes uit = 2(1 3) (1+ 3)(1 3) = = ( ) 2(1+ 3) = ( (1 3)(1+ 3) ) = ( 2(1+ 3) 2 2 ) = (1 + 3) 2 = Oefen jezelf met AlgeraKIT. Daarin kun je ook e antwooren ekijken en uitleg uitklappen. 13 a 1024 = 32 want 32 2 = a = 4 want 4 5 = = 2 want 2 10 = = = = 7 PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA = = 8 7 ( 6 1) 2 = = ( 10) 4 8 = ( 10) 4 4 ( 10) 4 4 = = e 5 = = = 5 f g h = = = 5(2+ 5) (2 5)(2+ 5) = = = = = = 0 15 a 3 4 u u 3 = 1 2 u u 3 = u 3 3u 2 u u u = 3u u u u = 2u u 4 u 2 u 16u 4 2 u 3 = 16u 4 4 u 4 = 2u u 18 2u = (18 2u )(3 u ) = (18 2u )(3 u ) 3+ u (3+ u )(3 u ) 9 u = 2(3 u ) = 6 2 u 16 a Verhef eie zijen tot e viere maht en je krijgt ( u ) 4 = ( u ) 4 4. En ( u ) 4 = u u u u = u u u u = u u = u, maar ook ( 4 u ) 4 = 4 u 4 u 4 u 4 u = 4 u 4 = u. 8 u = u Beie zijen tot e zese maht verheffen. 12 u 3 = u 4 17 a Er zijn twee zijvlakken van u ij 2u m. De vier ijehorene zijvlaksiagonalen zijn u 2 + (2u ) 2 = u 5 m. Er zijn twee zijvlakken van u ij 3u m. De vier ijehorene zijvlaksiagonalen zijn u 2 + (3u ) 2 = u 10 m. Er zijn twee zijvlakken van 2u ij 3u m. De vier ijehorene zijvlaksiagonalen zijn (2u ) 2 + (3u ) 2 = u 13 m. u 2 + (2u ) 2 + (3u ) 2 = u a 8, 8 en 8 2 m. e f g 8 2, 8 2 en 16 m , en 1 m. 4, 8 en 4 3 m. 10, 5 en 5 3 m. 1, 1 2 en m. 6, 2 3 en 4 3 m. 19 a Bereken alle zijen met ehulp van e twee tekenriehoeken. Je vint BD = 4 2, CD = 4 2, AD = en AC = De totale omtrek is aarom ( ) 4 2 = = Ga na at e oppervlakte ie is gegeven preies 9 16 eel is van e oppervlakte ie je ij het gevonen. 9 Dit etekent at alle lengtes van eze figuur 16 = 3 4 eel van e lengtes van e riehoek ij a en zijn. Daarom is BC = 6. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 1.6 Totaaleel 1 a 5u + 2u 3u u = 2u + u 5u 2u 3u u = 10u u + 3u u = 13u u 1 2u + 2 u = 4u +u 2u u 1 2u 2 u +1 = u +1 2u (u +1) 4u 2u (u +1) = 1 3u 2u 2 +2u e (u + 2)(u + 1) u (u + 1) = u 2 + 3u + 2 u 2 u = 2u + 2 f 4 (u + 2) 2 = 4 (u 2 + 4u + 4) = u 2 u g u 2 (2u ) 3 2u 2 4u 3 = 8u 5 8u 5 = 0 h (u 3 2) 2 u 4 (u 2 + 1) = u 6 4u u 6 + u 4 = u 4 4u a Eerst vereenvouigen: 4u u 3 3u u = 4u 2 3. En nu u = 6 invullen levert 48 op. Eerst haakjes uitwerken en samennemen: 2u (u 1) 2u (u 1) = 2u u 2u 2u u + 2u = 2u + 2u. En nu invullen geeft Eerst e reuken optellen: 2u u + 3 u u = 1 2u u + 6 2u u = 7 2u u. Nu invullen geeft Eerst haakjes uitwerken en samennemen: (u + u ) 2 (u u ) 2 = 4u u. Invullen geeft a Dit wort 4u 7 = 2u en us u = 2u 3,5 Eerst haakjes uitwerken geeft u u 2u = 5 en at wort u u = 2u + 5 zoat u = 2u +5 u = u. 1 u = 2 1 u = 2u 1 u geeft u = u 2u 1. 2u = 4(u + 1) geeft u = 2u a 12u 3 u 16u u 2 = 4u u (3u 2 4u ) 12u 3 4u = 4u (3u 2 1) u 2 2u 80 = (u 10)(u + 8) 32 + u u = u u + 32 = (u + 4)(u + 8) e 84 2u 2u 2 = 2(u 2 + u 42) = 2(u + 7)(u 6) f 4u 2 1 = (2u 1)(2u + 1) 5 a 5, , = 5, , = 5, , , = 16, = 1, , , = 7, , = 1, , a = = = = = = = e = = 3 7 a 5u 2 + 6u u (u + 3) = 4u 2 + 3u (u 2 4)(u 2 + 4) u 3 (u + 1) = 16 u 3 4u u 2 2u 2 u + 6u u 4u 6u u 4u = 22u 2 u 20u u 2 4u (8 4u ) = 8u 8 e (u 1) 2 (u 1)(u + 1) = 2 2u f ( 2u ) 3 3u 2 6u u u 2 u = 0 PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN EN ALGEBRA > ALGEBRA 8 a e f 9 a 4 u + 5 u = 5u +4u u u 4 5u 10 u = 1 8u u + 3 u 5 u = 2u +45 3u 2 2 u +2 1 u = u 2 u 2 +2u u 3u / 2 5u = 5u (u 1) 2 u 1 = u (u 1) 2 3u 2 u 4u u u = 3u 4u en at wort 1. ( 2u ) 4 + 6u 6 /( 2u 2 ) = 13u 4 en at wort u (2u + u ) 2u (1 + 2u ) = 8u u 2u en at wort a u = 1 2 u 3 u = 13 2u u = u 24 2 u = 1 3 u = u 3 u 11 a 4u 2 6u = 2u (2u 3) 4u 3 u 6u u 3 = 2u u (2u 2 3u 2 ) 4u 2 4 = 4(u 2 1) = 4(u 1)(u + 1) u 2 9u 22 = (u 11)(u + 2) geeft 2u u u = u (u 3) u u en us 2u = u (u 3) zoat u = 2u u 3. e 4u u + 64 = 4(u u + 16) = 4(u + 2)(u + 8) f 2u + u 2 u 3 = u (u 2 u 2) = u (u 2)(u + 1) 12 a 6, m. 2, m. 0,16 = 0, = 8, , Ongeveer 0,5μm en at is ongeveer 500 nm. 13 a = = = = = = e 1+ 2 = 3(1 2) 1 = a Uit AD = 3 volgt AB = = 3 en us BD = 2 3. En an is BC = DC = 3 2 = 6. De omtrek is Geruik e lengtes van e zijen ie je ij a het gevonen. De oppervlakte is = Dit kun je het gemakkelijkst aanpakken met een vergrotingsfator. Als e lengtevergrotingsfator u is, an is e oppervlaktevergrotingsfator u 2. De oppervlakte is preies 2 3 keer e oppervlakte ie je ij 2 het gevonen. Dus e lengtes van eze vierhoek zijn 3 keer ie van e vierhoek ij a en. 2 De zijen zijn nu us AD = 3 3 = 6, AB = = 2 en BC = CD = = a Als je kiest u = u 3, an is u 6 = (u 3 ) 2 = u 2. u 2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3) u 6 + 5u = (u 3 + 2)(u 3 + 3) Omat u 5 (u 3 ) 2. e u 4 3u 2 18 = (u 2 3)(u 2 4) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 f u 10 12u = (u 5 4)(u 5 8) g 2 u 3 u 6 = (u 3 + 2)(u 3 1) h Nu is het werken met een u niet noig, je kunt gewoon u 6 uiten haakjes halen: u 12 13u 6 = u 6 (u 6 13). 16 a Doen. Vanwege e voorrangsregels moet e eling eigenlijk woren opgeshreven als (2u 2 5u 3) /(u 3). (3u + 5)(2u 1) = 6u 2 + 7u 5 (u 2 + 5u 6)(2u 4) = 2u 3 + 6u 2 22u + 24 (3u u + 18) /(u + 3) = 3u + 6 e (3u u u + 16) /(3u 1) = u 2 + 6u 16 f 3u u u + 16 = (3u 1)(u 2 + 6u 16) = (3u 1)(u + 8)(u 2) 17 a Als T P groter wort, an wort 1 T P kleiner, us moet er een groter getal van 1 T A woren afgetrokken, us moet 1 T groter woren en T juist kleiner. T A = 365,25 agen, us 1 T P = 1 365, ,6 0, en T P 4365 agen. 1 T = en T 781 agen. T P 3, (1, ) 3 1, en T P agen. En aaruit volgt 1 T = 1 365, ,00265 en us T 378 agen.

21 2Vlakke meetkune 2.1 Gelijk of gelijkvormig 1 Als je kiest voor 200%, woren alle afmetingen, us e lengte en e reete twee keer zo groot. De oppervlakte wort an vier keer zo groot. Dus je moet een kleiner perentage instellen. Als e oppervlakte 2 keer zo groot moet woren en je vergroot e lengte en e reete eie met fator u, an is u u = u 2 = 2 us u = 2 1,41. De kopieermahine moet us op 141% vergroten staan. 2 De rehthoeken I en V zijn gelijk. De rehthoeken I en III zijn niet gelijk maar heen gelijke verhouingen, evenals e rehthoeken II en IV. 3 a In zijen ie gelijk zijn staat hetzelfe tekentje. Omat it riehoeken zijn. Daarin zijn e rie hoeken samen altij 180. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE e f 0,5 g De overeenkomstige hoeken staan an op ezelfe plaats. Het zijn F-hoeken ij evenwijige lijnen. Ja, ook nu woren e overeenkomstige hoeken op ezelfe plek gezet. Ja. e 4 a Omat ze allemaal gelijke hoeken heen en omat alle zijen gelijk zijn. Vergelijk je an twee willekeurige vierkanten met elkaar an zijn e overeenkomstige hoeken altij hetzelfe. En verer als een zije van het éne vierkant u keer zo groot is an e overeenkomstige zije van het anere vierkant, an gelt it voor alle anere zijen ook. Ze heen wel allemaal gelijke hoeken, maar niet alle zijen zijn gelijk. Vergelijk je an twee willekeurige rehthoeken met elkaar an zijn e overeenkomstige hoeken altij hetzelfe. Maar als een zije van e éne rehthoek u keer zo groot is an e overeenkomstige zije van e anere rehthoek, an hoeft it voor alle anere zijen niet automatish ook te gelen. Ja, ze heen allemaal gelijke hoeken heen en alle zijen zijn gelijk. Nee, e hoeken en e zijen kunnen vershillen. Van ongruente figuren zijn overeenkomstige hoeken gelijk en overeenkomstige zijen gelijk. Dus zijn ze gelijkvormig met vergrotingsfator 1. 5 a Bereken van alle rie e rehthoeken e verhouingen van e zijen 20 /16 = 1,25, 36 /24 = 1,50 en 165 /110 = 1,5. Afeeling B past aarom na vergroten preies op het sherm. Ga maar na, at 1650 /36 = 1100/ 24. Nu is 1650 /20 = 82,5 en 1100 /16 = 68,75. De afeeling komt alleen volleig in eel als hij met een fator 68,75 wort vermenigvulig. Er lijft an in e reete ruimte over en wel ,75 16 = 550 mm. 6 a Nee, je moet voor e vierhoek in ieer geval ook een hoek of een iagonaal opmeten. De riehoek ligt wel vast als je alleen e zijen weet. Teken eerst ΔABD oor e hoek ij A op te meten en e twee zijen AB en AD op e enen van ie hoek af te passen. Dan kun je vervolgens met e passer ΔBCD er op zetten. Je werkt op ezelfe manier, maar alle zijen woren 1,5 keer zo lang, terwijl e hoeken even groot lijven. 7 a In e tael hieroner zie je at elke zije van NKLM een lengte heeft ie 1,5 keer zo groot is als ie van e overeenkomstige zije van vierhoek ABCD. AB BC CD DA 4 m 3 m 2 m 2 m NK KL LM MN 6 m 4,5 m 3 m 3 m Nee, at hoeft niet. De overeenkomstige hoeken moeten ook gelijk zijn. 8 a 9 De hoeken ij A en D heen ze gemeenshappelijk. De hoeken ij B en E zijn gelijk, at is in e figuur aangegeven. Omat e hoeken van een vierhoek samen 360 zijn, moeten e hoeken BCD en BFD ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn us gelijk. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE Maar nu e zijen. Zije AB wort vergroot tot zije AE met fator 9 /5 = 1,8. Maar zije AD wort zije AD en us helemaal niet vergroot. De overeenkomstige zijen woren niet allemaal met ezelfe fator vergroot en us zijn e twee vierhoeken niet gelijkvormig. De hoek ij A heen ze gemeenshappelijk. De hoeken ij B en E zijn gelijk, at is in e figuur aangegeven. De hoeken ij D en I zijn gelijk, at is in e figuur aangegeven. Omat e hoeken van een vierhoek samen 360 zijn, moeten e hoeken BCD en EGI ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn us gelijk. Maar nu e zijen. Maak een tael met e overeenkomstige zijen oven elkaar. AB 5 BC 4 CD 2 DA 3 AE 9 EG 5,4 GI 3,6 IA 7,2 Ga na at voor alle paren overeenkomstige zijen met ezelfe fator 1,8 woren vergroot. 9 Overeenkomstige zijen waarvan e lengtes eken zijn, zijn BC en QR. Dus e vergrotingsfator van vierhoek ABCD naar vierhoek PQRS is 8 /6 = 1,25. Dus is PQ = 1,25 AB = 1,25 5 = 6,25 m. 10 a Doen, geruik je passer. e Je krijgt ezelfe ΔABC oor te eginnen met zije AB. Nee, er zijn an nog vershillene mogelijkheen. In het Pratium kun je at nagaan. Knip ΔABC uit en pas e hoeken op ie van ΔDEF. Pas e hoeken ΔABC op ie van ΔKLM en ga zo na at e overeenkomstige hoeken gelijk zijn. 11 a Doen, geruik je passer. Omat e hoeken van elke riehoek samen 180 zijn en e anere hoeken al gelijk zijn. Je vint BC 3,5 en AC 3,1 m. En ij e anere riehoek EF 5,3 en DF 4,7 m. De vergrotingsfator is telkens (innen e onnauwkeurighei van het meten) 6 /4 = 1,5. Nee, neem maar een vierkant en een rehthoek ie niet vierkant is. Ze heen een vershillene vorm, terwijl hun hoeken allemaal reht zijn. 12 a Omat A = A en ABC = ADE. Maak een tael waarin e overeenkomstige zijen van eie riehoeken staan. Omat eie riehoeken gelijkvormig zijn is it een verhouingstael. AB 6 m AD 8 m BC 3 m DE u m CA 5 m EA u m De vergrotingsfator is 8 /6 = Dus DE = BC = = 4 m. En EA = AC = = m, zoat CE = = m. 13 De vergrotingsfator kan 6 /18 = 1 3 zijn, e afmetingen van e verkleining zijn an 6 ij 10 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE De vergrotingsfator kan 6 /30 = 1 5 zijn, e afmetingen van e verkleining zijn an 6 ij 3,6 m. 14 a A = GFC (alleei reht), H = BCF (alleei reht), A = GFC, ABG = BGF (Z-hoeken) en BGH = GBC (Z-hoeken). En verer zijn e overeenkomstige zijen gelijk, ga maar na. Alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Maar e overeenkomstige zijen vormen geen verhouingstael, want GE = 8 6 AB en BG = GB. Deze vierhoeken zijn aarom niet gelijkvormig. Alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Maar e overeenkomstige zijen vormen geen verhouingstael, want DE = 1 2 AD en CD = 2 5 AH. Deze rehthoeken zijn aarom niet gelijkvormig. 15 Maak een verhouingstael van e overeenkomstige zijen van eie riehoeken. AB 9 PQ 13 BC 5 QR AC 7,2 PR De vergrotingsfator is En us is QR = 9 5 = 65 9 en PR = ,2 = 10,4. 16 Maak een verhouingstael van e overeenkomstige zijen van eie riehoeken. AB 7,4 KL BC 5 LM 3,5 AC KM 2,8 De vergrotingsfator is van ΔABC naar ΔKLM is 3,5 /5 = 0,7. En us is KL = 0,7 7,4 = 5,18 en AC = KL /0,7 = De vergrotingsfator is 504 /18 = 28. Dus e afstan van e fotograaf tot e vrahtwagen is = 980 m. De vrahtwagen staat aarom 9,45 m verer van e fotograaf. 18 Er zijn twee mogelijkheen: > De lengte van e poster zo houen. De reete moet an = 48 m woren. De oppervlakte van e poster wort an = 3840 m 2. > De reete van e poster zo houen. De lengte moet an ,3 m woren. Dat kan ehter niet, want e lengte is maar 80 m. En us kies je voor e eerste mogelijkhei. 19 Bereken ij vershillene waaren van u e verhouingen AE EF en EF BE en zoek e waare van u waarvoor eze verhouingen gelijk zijn. Dat lukt het este als u 2,47. De afmetingen van rehthoek AEFD zijn an ongeveer 6,47 ij 4. De Gulen Snee is ongeveer 1,62. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE 2.2 Driehoeken 1 a Doen, egin met AB = 5 m en zet aar A op. Pas vervolgens AC = 4 m af en trek BC. Ieereen ie it oet krijgt ezelfe riehoek. Doen, egin met AB = 5 m en zet aar A op. Cirkel vervolgens BC = 4 m om en vint punt C. Er zijn twee mogelijkheen! Nee, er zijn twee riehoeken mogelijk. 2 a Kies voor zije AB een lengte en teken ie zije. Zet e twee hoeken op e uiteinen van eze zije en maak e riehoek af. Doe it twee keer met vershillene lengtes voor zije AB. Ze zijn gelijkvormig. 3 a Als je vershillene mensen een riehoek laat tekenen waarvan je een hoek geeft en e lengtes van e zijen op e enen van ie hoek, an krijgen ze allemaal ezelfe riehoek. Je kunt an twee vershillene riehoeken tekenen (tenzij e gegeven hoek reht is). Zie voor het antwoor het overziht in e Theorie. 4 a Dit zijn X-hoeken, overstaane hoeken. Dit zijn Z-hoeken ij evenwijige lijnen. Ja, e overeenkomstige hoeken staan op ezelfe plaats. 1,5 /6 = 0,25 e CD = 0,25 7 = 1,75 m en DC = 0,25 4,5 = 1,125 m. 5 Er zijn vier mogelijkheen: > De rie paren overeenkomstige zijen vormen een verhouingstael. > Er zijn twee paren gelijke overeenkomstige hoeken. (Het ere paar is an automatish ook gelijk.) > Er is één paar gelijke overeenkomstige hoeken en e twee paren overeenkomstige zijen op e enen van ie hoeken vormen een verhouingstael. > Beie riehoeken heen een rehte hoek en twee paren overeenkomstige zijen vormen een verhouingstael. 6 a Omat e hoeken van elke riehoek samen 180 zijn en us het ere paar hoeken ook wel gelijk moet zijn. De vergrotingsfator van ΔDEF naar ΔABC eraagt 3 2. Als je ie wilt geruiken om vanuit zije BC e lengte van EF te erekenen, moet je BC = 3 2 EF omwerken tot EF = BC / a Omat A = E en e overeenkomstige zijen op e enen van ie hoeken ezelfe vergrotingsfator heen: AB = 2,5 ED en AC = 2,5 EF. ΔABC ΔEDF BC = 2,5 DF = 2,5 4,5 = 11,25. 8 a Omat ze twee paar gelijke hoeken heen, at is een gelijkvormigheiskenmerk. DE = AE AD = 12 4 = 8. Uit e tael en e vergrotingsfator volgt u = 2 3 (u + 3) en us 3u = 2(u + 3) = 2u + 6 en aaruit volgt u = CE = 6. 9 a Omat A = A en ABC = ADE (F-hoeken). Maak een verhouingstael van overeenkomstige zijen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE AB 12 m AD 5 m BC 10 m DE u m AC u + 5 m AE u m De vergrotingsfator van ΔABC naar ΔADE is 5 /12 = DE = = 6 m. u = 5 12 (u + 5) geeft 12u = 5u + 25 en us AE = u = 25 7 m. 10 a ΔABC ΔAED omat BAC = EAD (X-hoeken) en ABC = DEA (Z-hoeken). Maak een verhouingstael van overeenkomstige zijen. AB 10 m AE 4 m BC 9 m ED u m AC u + 5 m DA 2,5 m De vergrotingsfator van ΔABC naar ΔADE is 4 /10 = 0,4. DE = 0,4 9 = 3,6 m. AC = 2,5 /0,4 = 6,25 m. 11 a Omat BAC = ADC = 90 en ACB = DCA. Doen. Omat AD = krijg je met e stelling van Pythagoras: ( ) 2 + BD 2 = 12 2 en us BD = 122 ( ) 2 9,9. Je kunt ook met ehulp van e tael uit het vooreel eerst e lengte van DC erekenen en an eze lengte aftrekken van e lengte van BC. Ga na, at je hetzelfe vint. 12 Bereken eerst DB met e stelling van Pythagoras: DB 2 = us DB = = 13. Geruik ΔABC ΔEBD en maak een verhouingstael van overeenkomstige zijen. AB 18 m EB 12 m BC u m BD 13 m AC u m ED 5 m De vergrotingsfator van ΔEBD naar ΔABC is 18 /12 = 1,5. AC = 1,5 5 = 7,5 m. 13 a EDC = EFB (gegeven) en DEC = FEB (X-hoeken). Maak een verhouingstael van e zijen. De vergrotingsfator van ΔDEC naar ΔFEB is 3 /10 = 0,3. Dus EB = 0,3 12 = 3,6 m. Bijvooreel ΔABC ΔDEC. (Je kunt ook geruik maken van ΔABC ΔFEB.) PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE Maak een verhouingstael van e zijen. De vergrotingsfator van ΔDEC naar ΔABC is 15,6 /10 = 1,56. Dus AB = 1,56 10 = 15,6 m. 14 a ΔABC ΔBDC, want C = C en DBC = A (gegeven). Maak een verhouingstael van e zijen. De vergrotingsfator van ΔABC naar ΔBDC is 6 /7 = 6 7. Dus DC = = 36 7 en AD = = 13 7 m. 15 Bereken eerst met ehulp van e stelling van Pythagoras at BC = 13 en AD = 160. Nu is ΔAEC ΔDEB, want ACE = DBE (Z-hoeken ij e evenwijige lijnen AC en BD) en AEC = DEB (overstaane hoeken). Maak een verhouingstael van e zijen. AE u DE 13 u EC u EB 160 u AC 5 DB 4 De vergrotingsfator van ΔAEC naar ΔDEB is 4 /5 = 0,8. Uit 0,8u = 13 u volgt u = 13 /1,8 7,2. En uit 0,8u = 160 u volgt u = 160 /1,8 7,1. Dus CE 7,2 en ED 5,5. 16 Maak een shets, neem aan at e oom een lijnstuk is at vertiaal op e gron staat en at Boris at ook is. Bij Boris zit een rehthoekige riehoek met rehthoekszijen van 1,40 m en 1,80 m. Bij e oom zit een aarmee gelijkvormige rehthoekige riehoek met rehthoekszijen van 25 m en h m. Hierin is h e hoogte van e oom. Hierij hoort een verhouingstael: 1,40 1,80 25 h De vergrotingsfator van e riehoek ij Boris naar e riehoek ij e oom is 25 /1,40 17,86. Dus h 17,86 1,80 32 m. 17 Bij Heleen zit een rehthoekige riehoek met rehthoekszijen van 10 m en 9 m. Over het kanaal ligt een aarmee gelijkvormige rehthoekige riehoek met rehthoekszijen van 36 m en u m. Hierin is u e reete van het kanaal. Hierij hoort een verhouingstael: u De vergrotingsfator van e riehoek ij Heleen naar e riehoek op het kanaal is 36 /10 3,6. Dus u = 3, m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE 18 Bereken om te eginnen met e stelling van Pythagoras at PB = 24 mm. Nu is ΔPBQ ΔSAP. Dat moet je wel aantonen. Eerst merk je op at B = A = 90. Vervolgens is (gestrekte hoek ij P) BPQ = APS = 90 APS en (in ΔAPS) ASP = APS = 90 APS. En us heen eie riehoeken twee paren gelijke hoeken. De vergrotingsfator van ΔBPQ naar ΔSAP is 1,3 /2,6 0,5. Dus AP = 0,5 10 = 5 mm en AS = 0,5 24 = 12 mm. De gevraage afmetingen zijn us = 29 mm en = 22 mm. 19 Bereken eerst e lengte van AN met e stelling van Pythagoras: AC 2 = = 32 us AC = 32 = 4 2. Diagonaalvlak ACGE is een rehthoek met AE = 4 en AC = 4 2 m. Hierin kun je met e stelling van Pythagoras erekenen at AG = 4 3 en BM = 24 = 2 6. Ga na, at e riehoeken ABN en GMN gelijkvormig zijn en maak aar een verhouingstael ij. Je vint an AN = = en CN = = Antwoor. 2.3 Stelling en ewijs 1 Een mielloolijn van een lijnstuk is lijn ie looreht op at lijnstuk staat en oor het mien ervan gaat. Teken zelf een nieuwe riehoek en aarin e rie mielloolijnen. Ga na, at ze oor één punt gaan en at je met it punt als mielpunt een irkel oor e roe hoekpunten kunt tekenen. Proeer aarna een goee reenering op te zetten. 2 a Omat (volgens e efinitie) e mielloolijn oor het mien P van AB gaat en er looreht op staat, is ΔAPM ΔBPM (AP = PB, APM = BPM en PM = PM). En us is AM = MB. Omat AM = MB = BM = MC. Neem aan at je van punt M alleen weet at AM = MC. Teken nu een lijn oor M en looreht op AC. Het punt waar ie lijn AC snijt is R. Dan weet je at ΔARM ΔCRM ( ARM = CRM = 90, AM = MC en RM = RM). En us is AR = RC en is R het mien van AC. De lijn ie je vanuit M looreht op AC het geteken gaat us ook oor het mien van AC. Het is us e mielloolijn van AC. 3 a Doen. e Ja. Doen, ie lijnstukken zijn ineraa even lang. Maar ij het meten kan it wel eens niet preies kloppen. ΔAPD ΔARD ( APD = ARD = 90, AA = AD en PAD = RAD). En us is DP = DR. Doen. 4 a Doen. Ja. Als je e riehoek van karton zou maken en uitknippen an kon je hem in evenwiht laten steunen op it zwaartepunt. Dat komt omat elke zwaartelijn e riehoek vereel in twee stukken met ezelfe oppervlakte (us hetzelfe gewiht). (Snap je waarom at zo is?) Zoek gelijkvormige riehoeken (trek e hulplijn QR) en eenk an een waterihte reenering. Zie?Vooreel? voor een ewijs. 5 a Opnieuw zijn e riehoeken ASC en BSC ongruent (ZZZ). En aaruit volgt at ACS = BCS en us at CS eellijn van C is. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE Nu mag je uitgaan van ACS = BCS. Verer is AB = AC (ΔABC is gelijkenig) en CS = CS. Daaruit volgt at e riehoeken ASC en BSC ongruent zijn (ZHZ). En us is AS = SB en ASC = BSC = 90. En aarmee is eellijn CS ook mielloolijn van AB. 6 Teken zo n riehoek. De zwaartelijnen zijn ook mielloolijnen en eellijnen. Het snijpunt M van e mielloolijnen is ook snijpunt van e eellijnen en us mielpunt van zowel e omgeshreven irel als e ingeshreven irkel. De omgeshreven irkel gaat oor e hoekpunten van e riehoek, e ingeshreven irkel oor e miens van e zijen. 7 Noem e rie hoeken ij punt C van links naar rehts C 1, C 2 en C 3 Omat e lijn oor C evenwijig is met AB, gelt A = C 1 en B = C 3 (Z-hoeken). Omat C 1 + C 2 + C 3 = 180 is ook A + C 2 + B = a Omat AM = BM = CM e straal van een irkel zijn. e De riehoeken AMC en BMC zijn gelijkenig. Dit etekent at A = ACM en B = BCM. Noem e zwaartelijn CS, het snijpunt met AB is us punt S. Een zwaartelijn gaat vanuit punt C naar het mien van zije AB. Dus is AS = SB. De riehoek was gelijkenig en us gelt ook AB = AC. Omat ook CS = CS zijn e riehoeken ASC en BSC ongruent (ZZZ). En aarom is A = B. A + ACM + BCM + B = 180 en A = ACM en B = BCM. Dus is ACM + ACM + BCM + BCM = 180 zoat ACM + BCM = 90. Nee, C mag niet samenvallen met A of B want an he je geen riehoek. 9 Maak e tekening en geruik e stelling van Thales in?vooreel?. In ΔABC gelt e stelling van Thales, us C is reht. In ΔABD gelt e stelling van Thales, us D is reht. In ΔBDA gelt e stelling van Thales, us A is reht. In ΔBBC gelt e stelling van Thales, us C is reht. 10 a Omat ze C gemeenshappelijk heen en CF = 1 2 CA en CE = 1 2 CB. De vergrotingsfator van ΔABC naar ΔFEC eraagt 1 2. Dus is EF = 1 2 AB. Verer volgt uit e gelijkvormighei ij a at BAC = EFC, us EF AB. Omat EF AB is BAZ = FEZ, ABZ = EFZ (Z-hoeken). En verer is AZB = EZF (X-hoeken). Beie riehoeken heen us gelijke overeenkomstige hoeken. Die volgt uit EF = 1 2 AB, zie. 11 Maak eerst een shets van e situatie. De zwaartelijnen noem je AE, BF en CD. Omat e riehoek gelijkenig is, is e zwaartelijn AE ook hoogtelijn, us kun je e stelling van Pythagoras geruiken: AE = 6 2. Daarom is AE = 32 = 4 2. Omat AZ : ZE = 2 : 1 is AZ = = a Doen, maak alle hoeken en alle zijen vershillen. In ΔABC is PQ = 1 2 AC en at PQ AC, zoiets he je in e vorige opgave aangetoon. In ΔABD is RS = 1 2 AC en at RS AC. En us is PQ = RS = 1 2 AC en at PQ RS. Een parallellogram. 13 Maak eerst een geshikte shets. Noem e hoogtelijn ie ook eellijn is PM. Je wilt laten zien at PQ = PR. Je weet nu at PMQ = PMR = 90 en at MPQ = MPR. Verer is PM = PM. Dus gelt: ΔPMQ ΔPMR. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > VLAKKE MEETKUNDE En aarom is PQ = PR. 14 Bekijk e twee riehoeken KLP en MLQ. Deze riehoeken heen eie een hoek van 90 en ze heen 15 a 360 een hoek gemeenshappelijk. Ze zijn aarom gelijkvormig. En us zijn ook e anere hoeken van eze riehoeken gelijk. Je kunt elke vijfhoek opelen in rie riehoeken oor vanuit één geshikt gekozen hoekpunt e twee iagonalen te trekken. De som van e hoeken is aarom 540. Je kunt elke u -hoek opelen in u 2 riehoeken oor vanuit één geshikt gekozen hoekpunt e iagonalen te trekken. De som van e hoeken is aarom (u 2) Teken lijnstuk AB. Prisilla staat in punt P. Volgens e stelling van Thales krijg je een rehte hoek als P op een irkel ligt waarvan AB e miellijn is. Dus je tekent een irkel met als mielpunt het mien van AB en je legt punt P ergens op e halve irkel voor het or. 17 Maak eerst een shets van e situatie. Teken e zwaartelijnen er in. Omat ΔPQT rehthoekig is, kun je e stelling van Pythagoras toepassen. Dus QT = 5 m. Dat etekent at QR = 10 m. Met ehulp van e stelling van Pythagoras vin je an RU = 244. Omat RZ : RU = 2 : 1 is RU = Maak eerst een shets van e situatie. Noem e riehoek ABC met M als mien van AB, terwijl ook MC = MA = MB. De rie punten liggen an op een irkel met miellijn AB en us is e riehoek rehthoekig (volgens e stelling van Thales). 19 Geef eerst in een eigen tekening e hoeken van 45 aan. Je kunt (met Z-hoeken) aantonen at e eellijnen twee aan twee evenwijig zijn. Dus is EFGH een parallellogram. Verer is FEH = AED = 90. Dus is EFGH een rehthoek. Nu moet je nog laten zien at ijvooreel EF en EH even lang zijn. Daartoe geruik je e vier gelijkenige rehthoekige riehoeken in e figuur Maak eerst een shets van e situatie. Noem het parallellogram ABCD en teken e vier eellijnen. Geef e gelijke hoeken in je figuur aan en toon aan at e ingesloten vierhoek een parallellogram is. De rehte hoek kun je aantonen met ehulp van e hoekensom van een riehoek en ie van een vierhoek en e vershillene gelijke hoeken. 2.4 Vlakke figuren 1 Je kunt it op twee manieren oen: > Elke vijfhoek kun je verelen in rie riehoeken, us e hoekensom ervan is 540. Elke hoek is aarom 540 /5 = 108. > Elke vijfhoek kun je verelen in vijf ongruente gelijkenige riehoeken met e top in het mielpunt van e irkel oor e hoekpunten van e vijfhoek. De tophoek van zo n riehoek is 360 /5 = 72, us e asishoeken zijn elk (180 72) /2 = 54. Elke hoek van e vijfhoek estaat uit twee van ie asishoeken en is aarom 108. De onstrutie van e vijfhoek kun je ook op twee manieren oen: > Begin met een zije en zet aarop hoeken van 108 af. Pas op e enen van ie hoeken ezelfe lengte af als je eerste zije was en ga zo oor. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013