Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.

Transcriptie

1 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties : h () =a +b+c f Op dezelfde manier kunnen we spreken over derdegraadsfuncties, vierdegraadsfuncties of n-de -5 graadsfuncties, waarbij n de grootst voorkomende -6 eponent is van de veranderlijke. De verzamelnaam voor al die functies is veeltermfuncties. Hun -7 voorschriften zijn opgebouwd uit de bewerkingen -8 + en. (machtsverheffingen met natuurlijke eponenten zijn ook vermenigvuldigingen). -9 Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. - Veeltermfuncties hebben we onder andere nodig voor de beschrijving van oppervlakten en inhouden, processen in de fsica en chemie... Om beter inzicht te krijgen in deze problematiek is het belangrijk de voornaamste kenmerken van een veeltermfunctie grondig te bestuderen.. INLEIDEND VOORBEELD Werkblad fietscomputertjes + Applet: fietscomputertjes Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computertjes per uur geproduceerd moeten worden om winst te maken in de huidige situatie. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie (= aantal geproduceerde computertjes) per uur is : W 8 Winst kan ook negatieve waarden aannemen, we spreken dan van verlies.

2 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina. INLEIDEND VOORBEELD 9 8 W Om een beter beeld van de functie te krijgen, hebben we de grafiek van W () hier afgebeeld GEVRAAGD a) Bij welke productie zal de winst euro bedragen? b) Bij welke productie wordt er winst gemaakt? c) Bij welke productie is de winst gelijk aan 6 euro? Door de grafiek goed te bestuderen, kunnen we de meeste vragen oplossen. Toch willen we in de toekomst gelijkaardige problemen kunnen oplossen zonder gebruik te maken van de grafiek. Verder in dit hoofdstuk ontdekken we methoden om zulke problemen op een correcte en eacte wijze op te lossen. We kunnen natuurlijk altijd gebruikmaken van de grafiek om beter te begrijpen hoe de werkwijzen opgebouwd worden W OPLOSSING a) Bij welke productie zal de winst euro bedragen? De grafiek leert ons dat de snijpunten van de grafiek met de -as aangeven hoe groot de productie moet zijn om euro winst te maken. Dat is het geval bij een productie van, en fietscomputertjes. Die waarden zijn de nulwaarden van de functie W (). - - Werkblad nulwaarden van veeltermfuncties

3 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina. INLEIDEND VOORBEELD Nulwaarden van veeltermfuncties ) Stel W () gelijk aan nul om de nulwaarden te bepalen. ) Ontbind door de gemeenschappelijke factor af te zonderen. ) A. B = A = of B =. ) Vermenigvuldig de termen van de vierkantsvergelijking met factor. 5) Los de vierkantsvergelijking op. 6) Geef de nulwaarden van W (). 7) Formuleer het antwoord = of en, en Bij een productie van of of fietscomputertjes is de winst euro. ONTHOUD De nulwaarden van een veeltermfunctie f zijn de -waarden met functiewaarde. We berekenen de nulwaarden door de vergelijking f () = op te lossen. Of : Als f (a) = dan is a een nulwaarde van de bijbehorende veeltermfunctie f (). Het punt (a, ) is een snijpunt van de grafiek van f met de -as. b) Bij welke productie wordt er winst gemaakt? Er wordt winst gemaakt bij een productie van eenheden waarvoor W () >. Van de grafiek lezen we af dat we winst maken wanneer het aantal te produceren computertjes tussen en ligt. Dat deel van de grafiek ligt boven de -as. Dat bij een negatieve productie de winst ook positief is, heeft in dit voorbeeld geen belang (praktisch domein). W Werkblad ongelijkheden oplossen

4 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina. INLEIDEND VOORBEELD Ongelijkheden oplossen ) Noteer de ongelijkheid (linker- of rechterlid moet nul zijn). ) Bepaal de nulwaarden van de winstfunctie. ) Ontbind het functievoorschrift. ) Maak de tekentabel. 8 8 = of = of = W () + + 5) Lees de -waarden af waarvoor W () >. 6) Noteer de praktische oplossing van dit probleem. 7) Formuleer het antwoord. < of < < < < a) Bij een productie van 5, 6, 7, 8, 9, of fietscomputertjes zal het bedrijf winst boeken. b) Als de productie kleiner is dan of groter is dan computertjes is de winst negatief, m.a.w. het bedrijf zal verlies lijden. ONTHOUD Het tekenonderzoek van een veeltermfunctie f leert ons voor welke -waarden de functiewaarden positief, negatief of nul zijn.

5 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina 5. INLEIDEND VOORBEELD. INLEIDING c) Bij welke productie is de winst gelijk aan 6 euro? We construeren de grafieken van W() = 8 en = 6. We kunnen de snijpunten aflezen of berekenen met behulp van de rekenmachine. Als de grafiek van W () boven de horizontale rechte = 6 ligt, is de winst groter dan 6 euro. We lezen af dat dit het geval is voor een productie die bij benadering tussen 6 en fietscomputertjes ligt. W = Snijpunten van veeltermfuncties ) Stel beide functies aan elkaar gelijk. ) Herleid die gelijkheid naar en werk de noemer weg ) Los de derdegraadsvergelijking op.??? ONTHOUD Uit de grafiek kunnen we afleiden dat die vergelijking drie oplossingen moet hebben. De grafieken snijden elkaar immers in drie punten. Om die te kunnen berekenen moeten we gebruikmaken van nieuwe technieken. INTERLUDIUM : ALGEBRAÏSCH REKENEN ) De Euclidische deling De Euclidische deling van getallen is de gewone staartdeling bij gehele getallen Dit wil zeggen dat 5 =. + Dat leidt tot de eeuwenoude formule van de Euclidische deling: Deeltal = deler maal quotiënt plus rest of in smbolen : D = d. q + r met r < d 5

6 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina 6.. INLEIDING INLEIDEND VOORBEELD We kunnen dit ssteem gebruiken om ons inleidend voorbeeld op te lossen. Hiervoor moeten we eerst uitleggen hoe we een veelterm delen door een veelterm. Omdat we veeltermen bij de vermenigvuldiging term per term behandelen, proberen we dat bij de deling ook. Stap : Stap : Stap : Stap : Stap 5 : Stap 6 : Stap 7 : Zodat : ( + ) ( ) veelterm 6 + = ( + ) ( 9) + Opmerkingen a) De graad van de rest is kleiner dan de graad van de deler. b) Bij een opgaande deling is de rest. Voorbeeld + + ( ) ( ) ( ) In dit geval hebben we ontbonden in factoren. 6

7 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina 7. INLEIDEND. VOORBEELD INLEIDING ) De rekenregel van Horner Het algoritme van de Euclidische deling wordt heel wat eenvoudiger als we afspreken alleen delingen uit te voeren waarbij de deler van de vorm a (a ) is. Let goed op het ontstaan van de coëfficiëntenrij. + + ( 6 ) (8 6) 7 (7 ) De Engelse wiskundige HORNER vond dit allemaal te ingewikkeld en ontwierp een eenvoudig ssteem waarin alleen de coëfficiëntenrij van het deeltal en het getal a van de deler a belangrijk is. Omdat we delen door een veelterm van de vorm a, is de eerste coëfficiënt van het quotiënt dezelfde als die van het deeltal! In plaats van te vermenigvuldigen met en af te trekken, verkoos Horner te vermenigvuldigen met + en op te tellen. Zo ontstaat een eenvoudige rekenregel waarbij we op de onderste rij de coëfficiënten van het quotiënt en de rest van de deling kunnen terugvinden We leiden hieruit af dat het quotiënt is en de rest. Die rest kunnen we ook vinden door de getalwaarde f () van de veelterm f () te berekenen. f () = = ³ ² De reststelling De rest van de deling van een veelterm f () door een tweeterm van de vorm a wordt gegeven door de getalwaarde f (a). BEWIJS Bij een deling van veeltermen zijn er twee mogelijkheden. Ofwel is de rest, ofwel is de graad van de rest kleiner dan de graad van de deler. Als de deler a is, dan moet de rest een constante r zijn. 7

8 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina 8.. INLEIDING INLEIDEND VOORBEELD Als de veelterm q () het quotiënt voorstelt, dan kunnen we het deeltal als volgt schrijven : f () =( a) q () +r Stel in die gelijkheid = a. f (a) =(a a) q (a) +r Na vereenvoudiging krijgen we : f (a) = r Gevolg De veelterm f () is deelbaar door een tweeterm van de vorm a als en slechts als de getalwaarde f (a) gelijk is aan. ) Eigenschappen a) Opdat een veelterm met gehele coëfficiënten deelbaar zou zijn door a, met a een geheel getal, is het nodig dat de constante term van die veelterm deelbaar is door a. b) Stelling van Gauss : Elke veelterm is te ontbinden in factoren van de eerste en/of tweede graad. c) Elke veeltermfunctie van de n-de graad heeft hoogstens n verschillende nulwaarden. ) Toepassingen a) Ontbind de veelterm in factoren. ) Bepaal met de reststelling of met de rekenmachine een nulwaarde a van de bijbehorende veeltermfunctie f () = + ) Voer de regel van Horner uit met als deler. Let op! Voor de ontbrekende termen schrijven we coëfficiënt. a = want f () = ) We noteren het quotiënt. q () = ) De veelterm kan nu al gedeeltelijk ontbonden + =( )( + +) worden. 5) Door te steunen op de ontbinding van een tweedegraadsveelterm verkrijgen we het eindresultaat. + =( )( +) 8

9 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina 9. INLEIDEND. VOORBEELD INLEIDING b) Bepaal de nulwaarden van de veeltermfunctie f () = + ) Stel het functievoorschrift gelijk aan. + = ) Ontbind het linkerlid in factoren. Zie a. ( )( +) = ) A. B = als en slechts als A = of B =. = of ( +) = ) Schrijf de nulwaarden op. = of = Werkblad nulwaarden van veeltermfuncties Opmerking Uit eigenschap volgt dat een veeltermfunctie van de derde graad hoogstens verschillende nulwaarden heeft! Zijn er verschillende nulwaarden gevonden, dan eindigt de zoektocht. Voorbeeld f () = + Met onze rekenmachine vinden we de nulwaarden, en. 9

10 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina.. INLEIDING UITWERKING. UITWERKING VAN HET INLEIDEND VOORBEELD We herhalen even. Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computertjes per uur geproduceerd moeten worden om 6 euro winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie (= aantal geproduceerde computertjes) per uur is : W () = 8 We moeten de gelijkheid 8 6 oplossen. Die vergelijking wordt na omvormen : Oplossen van vergelijkingen ) Met de reststelling of de rekenmachine kunnen we een oplossing van de vergelijking vinden. ) Deel door 6 met behulp van de regel van Horner en ontbind de veelterm. ) Bereken de twee andere oplossingen van de vergelijking door op te lossen. ) Formuleer het antwoord. = en 5 7 De winst zal gelijk zijn aan 6 euro als de productie gelijk is aan 6. De winst zal 6 euro benaderen als de productie gelijk is aan.

11 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina. TOEPASSING. INLEIDING. TOEPASSING Met een hoekijzer van m moet Tim het geraamte van een balkvormig aquarium bouwen. De lengte van het aquarium moet tweemaal zolang zijn als de breedte. a) Tim wil weten hoe de inhoud verandert als de afmetingen aangepast worden. ) Kies een veranderlijke voor de breedte van het aquarium. Breedte = (cm) ) Druk de lengte en de hoogte uit in functie van die veranderlijke. hoogte = Lengte = (cm) 8 75 (cm) ) Schrijf de inhoud I() op in functie van de veranderlijke. ) Geef het praktisch domein van deze functie. I () =.. (75 ) = (cm ) 75 > <5 pdom f = ], 5[ b) Voor welke breedte is de inhoud gelijk aan 9 liter? ) Kies de juiste inhoudsmaat. ) Stel de inhoud gelijk aan 9. ) Los de vergelijking op. 9 l=9dm = 9 cm = = = of 6,9 of,9 ) Formuleer het antwoord, rekening houdend met het praktisch domein. De breedte is cm. De hoogte is cm. De lengte is cm. De breedte is,9 cm. De hoogte is 9, cm. De lengte is,8 cm.

12 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina..5 INLEIDING TOEPASSING.5 TOEPASSING Bepaal het functievoorschrift van de veeltermfunctie f van de de graad waarvan de grafiek hieronder gegeven is. f Oplossing ) Lees de nulwaarden van f af. ) Schrijf alle veeltermfuncties van de derde graad op met de gevonden nulwaarden. ) Bepaal de waarde voor a door een etra punt van de grafiek te bepalen, bv. (, 6). ) Schrijf de veeltermfunctie op., en f () =a ( +)( +)( ) f ()= 6 a ( + ) ( + ) ( ) = 6 a = f () =( +)( +)( ) f () = 7 6

13 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina.5 TOEPASSING Euclides werd ongeveer 65 voor Christus geboren in Aleandrië in Egpte, waar hij gedurende zijn leven ook les gaf. Hij werd beroemd door zijn boeken de Elementen, waarin hij alle meetkunde die toen bekend was heeft samengevat. Deze Elementen bestaan uit delen. In de eerste zes delen wordt de vlakke meetkunde behandeld, deel 7 to 9 behandelen de getallentheorie, deel bevat een verhandeling over irrationale getallen en de laatste drie boeken gaan over ruimtemeetkunde. In het laatste deel gaat Euclides in op vijf regelmatige veelvlakken (de Archimedische lichamen) : het regelmatig viervlak (tetraëder), de kubus (de heaëder), het regelmatig achtvlak (octaëder), het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) en het regelmatig twintigvlak (icosaëder). Hij bewijst ook dat er niet meer regelmatige veelvlakken bestaan dan deze vijf. De boeken hebben een opbouw die ook in de moderne tijd gebruikelijk is. Euclides begint met aioma s en definities en bouwt die op formele wijze uit met stellingen. De formulering van zijn redeneringen is erg helder en goed te begrijpen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat meer dan edities van zijn Elementen zijn gepubliceerd sinds 8. Euclides heeft ook nog andere werken geschreven, maar die zijn voor het grootste deel verloren gegaan. Hij stierf rond het jaar voor Christus. De school van Euclides Fragment uit de Elementen Horner was een wonderkind en studeerde reeds op zijn veertiende af als onderwijzer. Vier jaar later was hij schoolhoofd. In 89 stichtte hij zijn eigen school in Bath. In zijn vrije tijd studeerde hij wiskunde. Hij hield zich vooral bezig met het oplossen van hogeregraadsvergelijkingen.

14 5 ASO H zwak leerboek :9 Pagina OEFENINGEN INOEFENEN Voer de volgende Euclidische delingen uit. Deeltal Deler a) b) c) d) e) 7 + Voer de volgende delingen uit door gebruik te maken van de methode van Horner. Deeltal a) b) c) d) + e) Deler Vergelijk het quotiënt en de rest van de volgende delingen. Wat stellen we vast? Deeltal Deler a) b) Controleer met behulp van de reststelling of de volgende delingen opgaand zijn. Gebruik ICT ter controle. Deeltal Deler a) b) + 7 c) 8 d) 6 + e) 5 +

15 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 5 OEFENINGEN 5 Bepaal a zodat de volgende delingen opgaand zijn. Deeltal Deler a) a 6 b) a 5 c) a a + d) a a 5 e) +(8 a) (6a +8a ) + a 6 Gebruik het volgende schema om de gegeven veeltermen te ontbinden. Ontbinden in factoren Methode : ) Zonder de gemeenschappelijke factor af (buiten de haken brengen). ) Tel het aantal termen in de veelterm. -term verschil van even machten : a b =(a b)(a + b) verschil en som van derde machten : a b =(a b)(a + ab + b ) a + b =(a + b)(a ab + b ) -term a + b + c = a ( )( ) a +ab + b =(a + b) a ab + b =(a b) -term a +a b +ab + b =(a + b) a a b +ab b =(a b) ) Regel van Horner ) Samennemen van termen Uitgewerkt voorbeeld 6 a) e) 5 b) 6 f) c) 8 5 g) 5 d) 6 7 h) ( ) 6 5

16 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 6 OEFENINGEN 7 Bereken de nulwaarden van de volgende functies zonder gebruik te maken van Horner. a) f () = + 5 b) f () = c) f () = + d) f () =( )( +)( 6)( +7) e) f () =( 6 +9) f) f () =6. ( )( +5) g) f () =( ) ( + ) h) f () = 6 i) f () = 7 _ j) f () = + i _ + i - 8 Bepaal de nulwaarden van de volgende veeltermfuncties. a) f () = + b) f () = c) f () = + d) f () = e) f () = 8 f) f () = g) f () = h) f () = i) f () =8 +7 j) f () = Geef de tekentabel van de volgende veeltermfuncties. a) f () = ( )( +)( ) g) f () =( +)( )+ b) f () = +7 + c) f () =( )( +)( h) f () = ) d) f () =( +)( + + ) i) f () = + e) f () = 6 f) f () =( ) ( +) j) f () =

17 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 7 OEFENINGEN Los de volgende ongelijkheden op en geef de oplossingenverzameling. a) < b) > c). ( )( +)( ) d) + 5 6< e) + < f) ( +5)( 6)< g) h) ( )( 5 +) 9 i) j) 5 < Bereken de snijpunten van de grafieken van de volgende functies. Eerste functie Tweede functie a) f () = + g () = + b) f () = g() = + 6 c) f () = + g () = + + d) f () = + g () = + e) f () = + g () = 7

18 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 8 OEFENINGEN TOEPASSEN Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift. a) f () =( )( +)( ) b) f () =( )( +) c) f () =( )( ) d) f () =( +)( )( +) - - π - - π

19 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 9 OEFENINGEN Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift. a) f () = + b) f () = c) f () = d) f () =

20 5 ASO H zwak leerboek : Pagina OEFENINGEN In het volgende assenstelsel staan de grafieken van drie functies afgebeeld. Als we weten dat de absolute waarde van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm telkens,5 is, geef dan het voorschrift van elke functie. f g h

21 5 ASO H zwak leerboek : Pagina OEFENINGEN 5 Het gedrag op oneindig kunnen we op verschillende manieren bepalen. Geef dat aan met behulp van de limietnotatie. a) Gegeven : de grafiek van enkele functies. 8 7 f 6 5 h g -8 b) Gegeven : het voorschrift van enkele veeltermfuncties. f () = +5 g () = h () =( )( + )( +5) 6 Geef een voorbeeld van een veeltermfunctie die aan de gegeven voorwaarden voldoet. Gebruik ICT ter controle. a) De graad is, de helling is en het snijpunt met de -as is ( ;,5). b) De graad is, de top is (6,5 ;,5) en de grafiek is een dalparabool. c) De graad is en alle functiewaarden zijn negatief. d) De graad is, de functie heeft één nulwaarde = en de functiewaarden zijn positief. e) De graad is 6 en de tekentabel is : f() f) De graad is en de functie heeft precies één nulwaarde. g) De nulwaarden van de functie zijn, en. Zij hebben respectievelijk als multipliciteit, en (dat is het aantal maal dat een nulwaarde als nulwaarde van de functie voorkomt).

22 5 ASO H zwak leerboek : Pagina OEFENINGEN EXTRA 7 De 6de-jaarsstudenten van het college starten een minionderneming in het kader van de projectweek. Wenskaarten brachten hen op het idee wens-cd s te ontwerpen en te produceren. Daarvoor hebben ze een grondige kostenbatenanalse uitgevoerd in samenwerking met de leerkracht economie. Die analse leverde het volgende resultaat op waarbij de opbrengst O weergegeven wordt in functie van c, het aantal verkochte wens-cd s. O (c) =,c c +,c a) Wat is de graad van de bovenstaande functie? b) Hoeveel nulwaarden heeft die functie maimaal? c) Bepaal met behulp van ICT het werkelijk aantal verschillende nulwaarden van die functie. d) Bereken de nulwaarde(n) van die functie. e) Stel de tabel op van die functie voor c [, 6] in stapjes van en teken de overeenkomstige grafiek. f) Geef een betekenis aan de gevonden nulwaarde(n) binnen het kader van deze opgave. g) Kleur het praktisch domein op de grafiek van opgave e. h) Hoeveel cd s moeten de studenten verkopen om de winst boven, euro te houden? 8 De volgende functie toont het traject (T ) afgelegd door een auto om van het centrum van het dorp A tot het centrum van het dorp D te rijden, waarbij de afstand in km voorstelt. T () = ( ) 5 a) Bepaal de afstand in vogelvlucht tussen de twee dorpen. b) Toon aan dat het dorp C precies in het midden ligt van de afstand in vogelvlucht tussen de centra van de dorpen A en D. A B C D

23 5 ASO H zwak leerboek : Pagina OEFENINGEN 9 Bij de firma Klop worden dagelijks een aantal kliefhamers geproduceerd. De kostenfunctie (= de gezamenlijke productiekosten) is f() = en de omzetfunctie (= inkomsten) is g () =, waarbij uitgedrukt is in stuks en g () en f () in euro. a) Teken de grafiek van f en g in een zinvol venster. b) Bij welke productie bedragen de kosten 57 euro? c) Bij welke productie is de omzet euro? d) Wanneer wordt er met winst verkocht (dat wil zeggen omzet groter dan kosten)? De bevolking van een Limburgse gemeente is sinds 98 geëvolueerd volgens de functie f () = , waarbij = overeenkomt met het jaar 98. a) Teken de grafiek van f in een zinvol venster. b) Hoeveel inwoners waren er in 98? Waar vinden we dit punt terug op de grafiek? c) Wanneer zullen er inwoners zijn? d) In welke periode was het aantal inwoners kleiner dan 5? De prijs van een video is afhankelijk van verschillende factoren, zoals nieuwe technologieën, verkoopcijfers, concurrentie... In 99 bedroeg de prijs nog euro. De volgende functie berekent de prijs van de video vanaf 99. = a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster. b) Wat is de prijs van een video in? Is dat realistisch? c) Wanneer zal de prijs opnieuw euro bedragen? Om de wachttijden aan de kassa van een supermarkt te verkorten, wordt besloten de gemiddelde wachttijd (in minuten) voor elk uur te meten. De volgende veeltermfunctie geeft die metingen weer. De supermarkt sluit om 9 uur.,, a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster. b) Wanneer is de wachttijd het grootst (met ICT)? c) Wanneer is de wachttijd groter dan minuut? (tijdstip = 9 uur)

24 5 ASO H zwak leerboek : Pagina OEFENINGEN Een projectiel wordt afgeschoten met een beginsnelheid van v m/s, onder een hoek a in de oorsprong van een orthonormaal assenkruis. De ballistiek probeert aan te tonen dat de baan die het voorwerp onder die voorwaarden volgt, gegeven wordt door 5 = - v. +. tan a cos a Op een mooie dag volgen we het lokaal kampioenschap kleiduifschieten en merken we dat de kleiduif altijd onder een hoek van 5 en met een beginsnelheid van m/s weggeschoten wordt. Een schutter richt zijn geweer onder een hoek van en de kogel verlaat de loop van zijn geweer met een beginsnelheid van 5 m/s. a) Volgens welke kromme bewegen de kleiduif en de kogel zich voort? b) Wat is het hoogste punt dat de kleiduif bereikt als de kogel de kleiduif mist? Hoe ver van het startpunt (oorsprong) komt de kleiduif dan neer? c) Wat is de grootste hoogte die de kogel onder dezelfde voorwaarde bereikt? Waar komt de kogel dan neer? d) Als de schutter op het juiste ogenblik afdrukt, bereken dan de hoogte en de afstand van het punt waar de kogel de kleiduif zal raken. Gegeven de veeltermen +, +, +, 5 +, 6 +. Hoeveel van die veeltermen kunnen ontbonden worden als product van veeltermen met reële coëfficiënten? A B C D E (bron : Vlaamse Wiskunde-Olmpiade)

25 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 5 OEFENINGEN 5 Als a en b gehele getallen zijn zodat een factor is van a + b +, dan is b gelijk aan A B C D (bron : Vlaamse Wiskunde-Olmpiade) 6 De som van de kwadraten van de reële oplossingen van is A B C D E (bron : Vlaamse Wiskunde-Olmpiade) Oefening : voorschrift van veeltermfuncties bepalen Oefening : Euclidische deling Oefening : deelbaarheid van veeltermen Oefening : tekenverloop van veeltermfuncties Oefening : tekenverloop van veeltermfuncties en rationale functies Oefening : snijpunten van veeltermfuncties bepalen Oefening : ongelijkheden oplossen 5

26 5 ASO H zwak leerboek : Pagina 6 OEFENINGEN 6